1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales ■ Determinar la continuidad en un punto y en un intervalo abierto. ■ Determinar límites laterales o unilaterales y continuidad en un intervalo cerrado. ■ Usar propiedades de continuidad. ■ Comprender y aplicar el teorema del valor intermedio.
EXPLORACIÓN De modo informal, se podría decir que una función es continua en un intervalo abierto si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápi del papel. Utiliar una !erramienta de graficación para representar las siguientes funciones en el intervalo indicado. De las gráficas, "qu# funciones se dice que son continuas en dic!o intervalo$ "%e puede confiar en los resultados obtenidos gráficamente$ &'plicar el raonamiento. Función 2 3, 3 ) a ¿ y = x + 1 (−3,3
b ¿ y =
c ¿ y =
1
x −2
Intervalo
(−3, 3 )
sen sen x (− π , π ) x 2
x − 4 d ¿ y = (−3, 3) x + 2
{
e ¿ y = 2 x −4, x ≤ 0 (−3, 3) x + 1, x > 0
Continuidad en un punto y en e n un intervalo aierto &n matemáticas, el t#rmino continuo tiene el mismo significado que en su uso cotidiano. Decir, de manera informal, que una función f es continua en x =c
significa que no !ay interrupción de la
gráfica de f en c . &s decir, la gráfica no tiene saltos o !uecos en c . &n la figura (.)* se identifican tres valores valores de x en los que la gráfica gráfica de f no es continua . &n los demás puntos del intervalo + a, b, la gráfica de f no sufre interrupciones y es !ontinua.
&n la figura (.)*, parece que la continuidad continuidad en x =c
puede destruirse mediante cualquiera de las
siguientes condiciones.
1. -a función no está definida en x =c . ". o e'iste el límite de f + x x en x =c . #. &l límite de f ( ( x ) en x =c e'iste, pero no es igual a f ( ( c ) . %i no se se da ninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función f es !ontinua en c , como lo se/ala la importante definición que sigue.
$E%INICIÓN $E CON&IN'I$A$ Una func funció ión n f es !ont Contin Continuid uidad ad en un punto: punto: Una !ontin inua ua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes0
1. f ( ( c ) está definida. lim f ( x ) e'iste ". x→ c #.
lim f ( ( x ) =f ( c ) x→ c
Continuidad en un intervalo abierto: Una función es !ontinua en un intervalo aierto (a) b* si es
continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los n1meros reales (−∞ , ∞ ) es !ontinua en todas partes . Considerar un intervalo abierto I que contiene un n1mero real c . %i una función función f está definida en I +e'cepto, posiblemente, en c y no es continua en c , se dice que f tiene una
dis!ontinuidad en c . -as discontinuidades se clasifican en dos categorías0 evitales o removiles e inevitales o no una disco discont ntin inui uida dad d en c es evit evitab able le o removi removibl ble e si f se puede !acer removiles. %e dice que una ( c ) . 2or ejemplo, las funciones en las continua continua definiendo definiendo +o redefiniendo redefiniendo apropiadamente apropiadamente f (
&n la figura (.)*, parece que la continuidad continuidad en x =c
puede destruirse mediante cualquiera de las
siguientes condiciones.
1. -a función no está definida en x =c . ". o e'iste el límite de f + x x en x =c . #. &l límite de f ( ( x ) en x =c e'iste, pero no es igual a f ( ( c ) . %i no se se da ninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función f es !ontinua en c , como lo se/ala la importante definición que sigue.
$E%INICIÓN $E CON&IN'I$A$ Una func funció ión n f es !ont Contin Continuid uidad ad en un punto: punto: Una !ontin inua ua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes0
1. f ( ( c ) está definida. lim f ( x ) e'iste ". x→ c #.
lim f ( ( x ) =f ( c ) x→ c
Continuidad en un intervalo abierto: Una función es !ontinua en un intervalo aierto (a) b* si es
continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los n1meros reales (−∞ , ∞ ) es !ontinua en todas partes . Considerar un intervalo abierto I que contiene un n1mero real c . %i una función función f está definida en I +e'cepto, posiblemente, en c y no es continua en c , se dice que f tiene una
dis!ontinuidad en c . -as discontinuidades se clasifican en dos categorías0 evitales o removiles e inevitales o no una disco discont ntin inui uida dad d en c es evit evitab able le o removi removibl ble e si f se puede !acer removiles. %e dice que una ( c ) . 2or ejemplo, las funciones en las continua continua definiendo definiendo +o redefiniendo redefiniendo apropiadamente apropiadamente f (
figuras (.)3a y c presentan discontinuidades evitables o removibles en c , mientras que la de la figura l.)3b presenta una discontinuidad inevitable o no removible en c .
%I+'RA 1.", EJEMPLO 1
Continuidad de una función
Analizar la continuidad de cada función. 2
{
x −1 x + 1, x ≤ 0 a ¿ f ( ( x )= b ¿ g ( x x )= c ¿ h ( x )= 2 d ¿ y = sen sen x x x −1 x + 1, x > 0 1
-olu!in a* &l dominio de f lo constituyen todos los n1meros reales distintos de cero. 4 partir del teorema (.5, se puede concluir que f es continua en todos los valores de x de su dominio. &n x =0 , f tiene una discontinuidad inevitable, como se muestra en la figura (.)6 a. &n otras palabras, no !ay modo de
( 0 ) para !acer que la nueva función sea continua en x =0 . definir f ( b* &l dominio de g lo constituyen todos los n1meros reales e'cepto
x =1 . 4plicando 4plicando el teorema teorema
(.5, se puede concluir que g es continua en todos los valores de x de su dominio. &n x =1 , la función presenta una discontinuidad evitable, como se muestra en la figura (.)6 b. %i %i
g ( 1 ) se
define como ), la 7nueva8 función es continua para todos los n1meros reales. c * &l domi domini nio o de h está está form formad ado o por por todo todos s los los n1mer n1meros os real reales. es. -a func funció ión n h es continua en lim h ( x )=1 (−∞ , 0 ) y en (0, ∞ ) , y puest puesto o que x→ 0 , h es continua en toda la recta real, como
ilustra la figura (.)6 c .
d * &l dominio de y está conformado por todos los n1meros reales. Del teorema (.3, se puede concluir que la función es continua en todo su dominio (−∞, ∞ ) , como se muestra en la figura
(.)6d .
%I+'RA 1."/ A0'$A $E E-&'$IO 4lgunas veces se llama a la función del ejemplo ( ª 7discontinua8. 2ero se !a encontrado que esta terminología es confusa. &s preferible decir que la función tiene una discontinuidad en
x =0 , es
decir, que f es discontinua.
Límites laterales y !ontinuidad en un intervalo !errado 2ara comprender la noción de continuidad en un intervalo cerrado, es necesario estudiar antes un tipo diferente de límite, llamado límite lateral. 2or ejemplo, el límite por la dere!a significa que x se apro'ima a c por valores superiores a c +ver la figura (.)9a. &ste límite se denota como +¿
x → c f ( x )= L lim ¿
¿
-ímite por la derec!a.
Del mismo modo, el límite por la i23uierda significa que x se apro'ima a c por valores inferiores a c +ver la figura (.)9b. &ste límite se denota como −¿
x → c f ( x )= L lim ¿
-ímite por la iquierda.
¿
-os límites laterales son 1tiles al calcular límites de funciones que contienen radicales. 2or ejemplo, si n es un entero dado +¿ n
√ x =0
x → 0
lim ¿ ¿
EJEMPLO 2 'n límite lateral
&ncontrar el límite de
f ( x )=√ 4 − x
2
cuando x se apro'ima a :) por la derec!a.
-olu!in Como se muestra en la figura (.);, el límite cuando x se apro'ima a :) por la derec!a es +¿ 2 x → −2 √ 4− x = 0. lim ¿ ¿
-os límites laterales pueden usarse para investigar el comportamiento de las un!iones es!aln. Un tipo com1n de función escalón es la un!in parte entera o mayor entero
⟦ x ⟧
, que se define
como
⟦ x ⟧ =¿
mayor entero n tal que n ≤ x
2or ejemplo,
⟦ 2.5 ⟧ =2
y
⟦−2.5 ⟧ =−3.
EJEMPLO 3 La un!in parte entera o mayor entero
Calcular el límite de la función parte entera o mayor entero iquierda y por la derec!a
f ( x )=⟦ x ⟧ cuando x tiende a = por la
-olu!in Como se muestra en la figura (.5=, el límite cuando x se apro'ima a = por la izquierda está dado por −¿
x → 0
⟦ x ⟧ =−1
lim ¿ ¿
mientras que el límite cuando x se apro'ima a = por la derecha está dado por +¿
x → 0 ⟦ x ⟧ =0 lim ¿ ¿
-a función parte entera o mayor entero no es continua en = debido a que los límites por la iquierda y por la derec!a en ese punto son diferentes. >ediante un raonamiento similar, se puede concluir que la función parte entera o mayor entero tiene una discontinuidad en cualquier entero n. Cuando el límite por la iquierda no es igual al límite por la derec!a, el límite +bilateral no existe. &l siguiente teorema lo e'plica mejor. %u demostración se obtiene directamente de la definición de límite lateral.
&EORE5A 1.16 EXI-&ENCIA $E 'N L75I&E %i f es una función y c y L son n1meros reales, el límite de f + x cuando x se apro'ima a c es L si y sólo si −¿
+¿
x → c f ( x )= L lim ¿ ¿
x → c f ( x )= L
y
lim ¿
¿
&l concepto de límite lateral permite e'tender la definición de continuidad a los intervalos cerrados. ?ásicamente, se dice que una función es continua en un intervalo cerrado si es continua en el interior del intervalo y posee continuidad lateral en los e'tremos. &sto se enuncia de manera formal como sigue.
$E%INICIÓN $E CON&IN'I$A$ EN 'N IN&ER8ALO CERRA$O Una función f es !ontinua en un intervalo !errado 9a) b: si es continua en el intervalo abierto + a, b y +¿
−¿
x → a f ( x )= f ( a) lim ¿ ¿
x → b f ( x )= f ( b )
y
lim ¿ ¿
-a función f es !ontinua por la dere!a en a y !ontinua por la i23uierda en b +ver la figura (.5(.
%e pueden establecer definiciones análogas para incluir la continuidad en intervalos con la forma + a, b@ y Aa, b, que no son abiertos ni cerrados o infinitos. 2or ejemplo, la función f ( x )=√ x
es continua en el intervalo infinito
¿ , y la función
g ( x ) =√ 2 − x
es continua en el intervalo infinito
¿.
EJEMPLO 4 Continuidad en un intervalo !errado
4naliar la continuidad de f ( x )=√ 1− x
2
.
-olu!in &l dominio de f es el intervalo cerrado A:(, (@. &n todos los puntos del intervalo abierto +:(, (, la continuidad de f obedece a los teoremas (.B y (.*. 4demás, dado que +¿
x → −1
2 √ 1− x =0 = f (−1) lim ¿
Continua por la derec!a.
¿
−¿
x → −1
√ 1− x 2= 0= f (1 ) lim ¿ ¿
Continua por la iquierda.
se puede concluir que f es continua en el intervalo cerrado A:(, (@, como se ilustra en la figura (.5).
&l siguiente ejemplo muestra cómo se puede aplicar un límite lateral con el fin de determinar el cero absoluto en la escala elvin. EJEMPLO 5 Ley de Carles y !ero asoluto
&n la escala elvin, el cero absoluto es la temperatura = . 4 pesar de que se !an obtenido temperaturas muy cercanas a = en laboratorio, nunca se !a alcanado el cero absoluto. De !ec!o, e'isten evidencias que sugieren la imposibilidad de alcanar el cero absoluto. "Cómo determinaron los científicos que = es el 7límite inferior8 de la temperatura de la materia$ "Cuál es el cero absoluto en la escala Celsius$
-olu!in -a determinación del cero absoluto proviene del trabajo del físico franc#s Eacques C!arles +(6B3:(9)5, quien descubrió que el volumen de un gas a presión constante crece de manera lineal con respecto a la temperatura. &n la tabla siguiente se ilustra la relación entre volumen y temperatura. 2ara crear los valores que aparecen en la tabla, una mol de !idrógeno se mantiene a una presión constante de una atmósfera. &l volumen V es apro'imado y se mide en litros y la temperatura se mide en grados Celsius.
&n la figura (.55 se muestran los puntos representados en la tabla. &mpleando dic!os puntos, se puede determinar que y V se relacionan a trav#s de la ecuación lineal V =0.08213 T + 22.4334 o T =
V −22.4334 0.08213
>ediante el raonamiento de que el volumen del gas puede tender a = +pero nunca ser igual o menor que cero se puede concluir que la 7temperatura mínima posible8 se obtiene por medio de
−22.4334
+¿ V
V →0
0.08213
0−22.4334 Usar sustitucióndirecta . 0.08213 V → 0+¿ T =lim ¿
=
lim ¿
¿
¿
≈− 273.15
De tal manera, el cero absoluto en la escala elvin += es de apro'imadamente :)65.(*F en la escala Celsius. -a tabla que se encuentra a continuación muestra las temperaturas del ejemplo *, en la escala
NO&A -a -ey de C!arles para los gases +suponiendo una presión constante puede enunciarse como
V = RT Ley de har!es.
donde V es el volumen, ! es una constante y es la temperatura. &n este enunciado de la ley, "qu# propiedad debe tener la escala de temperaturas$
Propiedades de la !ontinuidad &n la sección (.5 se estudiaron las propiedades de los límites. Cada una de esas propiedades genera una propiedad correspondiente relativa a la continuidad de una función. 2or ejemplo, el teorema (.(( es consecuencia directa del teorema (.). +%e muestra una prueba del teorema (.(( en el ap#ndice 4.
&EORE5A 1.11 PROPIE$A$E- $E LA CON&IN'I$A$ %i b es un n1mero real y f y g son continuas en x =c , entonces las siguientes funciones tambi#n son continuas en c .
1. >1ltiplo escalar0 bf ". %uma y diferencia0 f " g #. 2roducto0 fg 4. Cociente0
f , g
si
g (c )# 0
-as funciones de los siguientes tipos son continuas en sus dominios.
1.
).
#.
$ ( x )= an x + an−1 x n
r ( x ) =
n− 1
+ % + a 1 x + a0
$ ( x ) , & ( x ) # 0 & ( x )
f ( x )= √ x n
4.
&l concepto de función continua fue presentado por ve primera por 4ugustin: -ouis Cauc!y en (9)(. -a definición e'puesta en su te'to Cours d"#nalyse establecía que las peque/as modificaciones indefinidas en y eran resultado de las peque/as modificaciones indefinidas en x . 7H f + x será una función continua siH los valores num#ricos de la diferencia
disminuyen de forma indefinida con los de
f ( x + ' )−f ( x )= 0
' H8
EJEMPLO 6 Apli!a!in de las propiedades de la !ontinuidad
2or el teorema (.((, cada una de las siguientes funciones es continua en todos los puntos de su dominio. f ( x )= sen 3 x , f ( x )=√ x + 1 , f ( x )= tan 2
1
x
&EORE5A 1.1" CON&IN'I$A$ $E 'NA %'NCIÓN CO5P'E-&A g ( c ) , entonces la función compuesta dada por
%i g es continua en c y f es continua en
( f g ) ( x )=¿ ∘
f ( g ( x )) es continua en c .
$E5O-&RACIÓN 2or definición de continuidad, el teorema (.* con
L= g ( c ) se obtiene
( f g )= f ( g ( x )) es continua en c . ∘
NO&A
lim g ( x )= g ( c ) x→ c
(
y
lim f ( g ( x ) ) =f lim g ( x ) x→ c
x →c
lim f ( x )=f ( g ( c ) )
x → g (c )
)= f ( g ( c ))
. 4l aplicar
. De esta manera,
Una consecuencia del teorema (.() es que si f y g satisfacen las condiciones se/aladas, es posible determinar que el límite de
f ( g ( x )) cuando x se apro'ima a c es
lim f ( g ( x ) ) =f ( g ( c ) )
x→ c
EJEMPLO 7 Pruea de la !ontinuidad
Describir el intervalo o intervalos donde cada función es continua.
{
{
1
1
sen , x # 0 xsen , x # 0 a ¿ f ( x )=tanx b ¿ g ( x )= c ¿ h ( x )= x x 0, x = 0 0, x =0
-olu!in a* -a función tangente π x = + nπ ,
f ( x )= tan x
no está definida en
donde n es un entero.
2
En todos los demás puntos es continua. De tal modo, los intervalos abiertos %,
(
−3 π 2
,−
π 2
)( ,
−π 2
,−
π 2
) ( ) ,
π 3 π , ,% 2
como muestra la figura (.5B a.
2
f ( x )= tan x
es continua en todos
b* 2uesto que y =1 / x
es continua e'cepto en x =0 y la función seno es continua para todos los
valores reales de x , resulta que
y = sen ( 1 / x ) es continua en todos los valores reales salvo en
x = 0 . &n x =0 , no e'iste el límite de
continua en los intervalos
g ( x ) +ver el ejemplo * de la sección (.). 2or tanto, g es
(−∞ , 0 ) y ( 0, ∞ ) , como se muestra en la figura (.5B b.
c * &sta función es parecida a la del apartado b, con e'cepción de que las oscilaciones están amortiguadas por el factor x . 4plicando el teorema del encaje, se obtiene 1
−| x|≤ xsen ≤| x|, x # 0 x
y se puede concluir que lim h ( x )= 0 x→ 0
De tal manera, h es continua en toda la recta real, como se muestra en la figura (.5B c .
&eorema del valor intermedio &l teorema (.(5 es un importante teorema relativo al comportamiento de las funciones continuas en un intervalo cerrado.
&EORE5A 1.1# &EORE5A $EL 8ALOR IN&ER5E$IO %i f es continua en el intervalo cerrado A a, b@,
f ( a ) # f ( b ) y $ es cualquier n1mero entre f +a y f +b,
entonces e'iste al menos un n1mero c en Aa, b@ tal que f ( c )= ( %
NO&A &l teorema del valor intermedio asegura que e'iste al menos un n1mero c , pero no proporciona un m#todo para encontrarlo. Iales teoremas se denominan teoremas de e;isten!ia. 4l consultar un libro de cálculo avanado, se observará que la demostración de este teorema se basa en una propiedad de los n1meros reales denominada co&pletitud . &l teorema del valor intermedio establece que para una función continua f , si x recorre todos los valores desde a !asta b, entonces f + x debe asumir todos los valores entre f +a y f +b. Como ejemplo sencillo de este !ec!o, tomar en cuenta la estatura de las personas. %upongamos que una ni/a medía (.*) m al cumplir (5 a/os y (.6= m al cumplir (B a/os, entonces, para cualquier altura h entre (.*) y (.6= m, debe e'istir alg1n momento t en el que su estatura fue e'actamente de h. &sto parece raonable debido a que el crecimiento !umano es continuo y la estatura de una persona no cambia de un valor a otro en forma abrupta. &l teorema del valor intermedio garantia la e'istencia de al &enos un n1mero c en el intervalo cerrado Aa, b@. 2uede, claro está, !aber más de uno, tal que
f ( c )= ( , como se muestra en la figura
(.5*. Una función discontinua no necesariamente manifiesta la propiedad del valor intermedio. 2or
ejemplo, la gráfica de la función discontinua de la figura (.53 salta sobre la recta !oriontal dada por y = ( , sin que e'ista valor alguno para en A , @, tal que c a b
f ( c )= ( .
&l teorema del valor intermedio suele emplearse para localiar los ceros de una función continua en un intervalo cerrado. De manera más específica, si f es continua en A a, b@ y f +a y f +b tienen signo distinto, entonces el teorema nos garantia la e'istencia de por lo menos un cero de f en el intervalo cerrado Aa, b@. EJEMPLO 8
Una aplicación del teorema del valor intermedio
Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que la función polinomial 3
f ( x )= x + 2 x −1 tiene un cero en el intervalo [0, 1.
-olu!in Jbservar que f es continua en el intervalo cerrado A=, (@. Dado que NO &A 3 3 f ( 0 )=0 + 2 ( 0 )−1 =−1 y f ( 1 )=1 + 2 ( 1 )−1=2 resulta que
f ( 0 )< 0
y
f ( 1)> 0 . 2or tanto, se puede aplicar el teorema del valor intermedio y
concluir que debe e'istir alg1n c en A=, (@ tal que f ( c )= 0
f tiene un cero en el intervalo cerrado A=, (@.
como se muestra en la figura (.56.
TECNOLOGÍA !ambi"n se puede usar el zoom de una #erramienta de $ra%cación para estimar los ceros reales de una función continua. Al #acer acercamientos de forma repetida a la zona donde la $rá%ca corta al e&e x ' a&ustar la escala de dic#o e&e, se puede estimar el cero de la función con la precisión deseada. El cero de
3
x + 2 x −1
es
alrededor de 0.()*, como se muestra en la %$ura 1.*+.
1.4 E
x → c f ( x ) b −¿ x →c f ( x ) c a ¿ lim lim lim f ( x ) ¿
¿
x→ c
En los e. 1
+¿
x → 8
x + 8
7.lim ¿ ¿
− 3 x + 5 8.lim ¿ −¿
x → 5
¿
x −5
+¿
x → 5
2
x −25
9.lim ¿ ¿
2− x
+¿
x → 2
2
x − 4
10.lim ¿ ¿
−¿
x → −3
x
√ x −9 11. lim ¿ 2
¿
√ x − 3
−¿
x → 9
x − 9
12.lim ¿ ¿
| x|
−¿
x → 0
x
13.lim ¿
¿
+¿
x → 10
| x −10| x −10
14. lim ¿ ¿
1
) x→0
−¿ x
−
1
+ ) x x )x
15. lim ¿ ¿
+¿
) x→0
( x + ) x )2+ x + ) x − ( x2 + x ) )x 16. lim ¿ ¿
−¿
x → 3 f ( x ) ,dondef ( x )=
{
x+2 2
, x ≤3
12− 2 x , x >3 3
17.lim ¿ ¿
{
2
4 x + 6, x < 2 18. lim f ( x ) ,dondef ( x )= x − 2 x → 2 − x + 4 x −2, x * 2
{ ++ 3
1, x < 1 x 1, x * 1
19. lim f ( x ) ,dondef ( x )= x x → 1
{
+¿ x → 1 f ( x ) , donde f ( x ) = x , x ≤ 1 1 − x , x > 1
20.lim ¿
21. lim cot x x → π
¿
22. lim secx x → π / 2
−¿
x → 4
( 5 ⟦ x ⟧−7 )
23.lim ¿ ¿
+¿
x → 2
( 2 x − ⟦ x ⟧ )
24.lim ¿ ¿
25. lim ( 2− ⟦− x ⟧ ) x → 3
( ⟦ ⟧)
26. lim 1− x → 1
− x 2
En los e
1 2
x − 4
2
x + 1 28. f ( x )= x + 1
1 ⟦ x ⟧ + x 2
29. f ( x )=
{
x , x <1 30. f ( x ) = 2, x =1 2 x −1, x > 1
En los e
Intervalo
31. g ( x )=√ 49 − x
2
[ −7,7 ]
32. f ( t ) =3− √ 9 −t
2
33. g ( x )=
34. g ( x )=
[ −3, 3 ]
{
3 − x , x ≤ 0 [−1, 4 ] 1 3 + x , x > 0 2
1 2
x −4
[ −1, 2 ]
En los e
35. f ( x ) =
6
x 3
36. f ( x ) =
x − 2
37. f ( x ) = x
2
38. f ( x ) = x
2
39. f ( x ) =
40. f ( x )=
−9 −2 x + 1 1
4 − x
2
1 2
x + 1
41. f ( x )=3 x −cos x
42. f ( x )=cos
43. f ( x )=
44. f ( x )=
45. f ( x )=
46. f ( x )=
47. f ( x )=
48. f ( x )=
πx 2
x 2
x − x x 2
x −1 x 2
x + 1 x −6 2
x −36 x +2 2
x −3 x −10
x −1 2
x + x − 2
49. f ( x )=
| x +7| x + 7
| x −8| x −8
50. f ( x ) =
51. f ( x ) =
{
52. f ( x ) =
{−
53. f ( x ) =
{
54. f ( x ) =
{
55. f ( x ) =
{
56. f ( x ) =
x , x ≤ 1 2 x , x > 1 2 x + 3, x < 1 2
x , x * 1
1 x + 1, x ≤ 2 2 3 − x , x > 2
−2 x , x ≤ 2 x − 4 x + 1, x > 2 2
tan
{
πx 4
,| x|< 1
x ,| x|>1
πx
,| x −3|≤ 2 6 2,| x −3|> 2
csc
57. f ( x ) =csc 2 x
58. f ( x ) =tan
πx 4
59. f ( x ) =⟦ x −8 ⟧ 60. f ( x )=5− ⟦ x ⟧
En los e
−¿
x → 0 f ( x ) +¿ x → 0 f ( x ) y lim ¿ ¿
lim ¿ ¿
@Es !ontinua la un!in en toda la re!ta realB E;pli!ar la respuesta.
| x −4| x 2
61. f ( x )=
x + 2
| x + 4 x|( x + 2 ) 2
62. f ( x )=
x + 4
En los e
{
2
63. f ( x )= 3 x , x * 1 ax −4, x < 1
{
3
64. f ( x )= 3 x , x ≤ 1 ax + 5, x > 1
{
3
65. f ( x )= x 2, x ≤ 2 a x , x >2
66. f ( x )=
67. f ( x )=
{
4 sen x
x
, x <0
a −2 x , x * 0
{
2, x ≤− 1 ax + b ,−1 < x < 3 −2, x * 3
{
2
2
x −a 68. f ( x )= x −a , x # a 8, x = a
En los e
70. f ( x ) =
1
√ x
g ( x )= x −1
1
71. f ( x ) =
2
x − 6
g ( x )= x + 5
72. f ( x ) =senx g ( x ) = x
2
En los e
74. h ( x )=
1 2
x − x −2
{
2
75. g ( x )= x −3 x , x > 4 2 x −5, x ≤ 4
76. f ( x ) =
{
cosx −1 , x< 0 x 5 x , x * 0
En los e
x 2
x + x + 2
78. f ( x ) = x √ x + 3
79. f ( x ) =sec
πx 4
x + 1 √ x
80. f ( x )=
Redacción En los e
un!in analíti!amente) adems de a!erlo de manera =ri!a. 81. f ( x )=
senx x
3
x −8 82. f ( x )= x −2
Redacción En los e la un!in tiene un !ero en el intervalo
dado.
Función 83. f ( x )=
Intervalo 1 4 3 x − x + 4 [ 1, 2 ] 12
84. f ( x )= x
3
+ 5 x − 3 [ 0, 1 ]
85. f ( x )= x
2
−2−cos x [ 0, π ]
86. f ( x )=
−5 x
+ tan
( )[ πx
10
1, 4 ]
En los e
3
+ x −1
88. f ( x )= x
3
+ 5 x − 3
89. g ( t )=2 cost − 3 t 90. h ( + )=1 + + −3tan +
En los e
2
+ x −1, [ 0, 5 ] , f ( c )=11
92. f ( x )= x
2
−6 x + 8, [ 0, 3 ] , f ( c )=0
93. f ( x )= x
3
+ x2 + x −2, [ 0, 3 ] , f ( c ) =4
2
[ ]
x + x 5 94. f ( x )= , , 4 , f ( c )= 6 x −1 2
$E-ARROLLO $E CONCEP&OD?. &n cada una de las gráficas siguientes especificar cómo se destruye la continuidad en x =c :
D,. &sboar la gráfica de cualquier función f tal que0 −¿
x → 3 f ( x )= 0. +¿ x → 3 f ( x )=1 y lim ¿ lim ¿
¿
¿
"&sta función es continua en x =3 $ &'plicar la respuesta.
D/. %i las funciones f y g son continuas para todos los x reales, " f + g es siempre continua para todos los x reales$ " f / g es siempre continua para todos los x reales$ %i alguna no es continua, elaborar un ejemplo para verificar la conclusión.
Para dis!usin D. Describir la diferencia que e'iste entre una discontinuidad removible y una no removible. &n la e'plicación, incluir ejemplos de las siguientes descripciones0
a Una función con una discontinuidad no evitable en x K B. b Una función con una discontinuidad evitable en x K : B. c Una función que cuenta con las dos características descritas en los incisos a y b.
¿Verdadero o falo! En los e
alsa. -i es alsa) e;pli!ar por 3u> o propor!ionar un e
lim f ( x ) = L y f ( c )= L , x→ c
entonces f es continua en c .
166. %i f ( x )= g ( x ) para x # c y f ( c ) # g ( c ) , entonces ya sea f g no es continua en c . ∘
161. &n una función racional puede !aber infinitos valores de x en los que no es continua. 16". -a función f ( x )=| x −1|/( x −1 ) es continua en (−∞, ∞ ) . 16#. Picina Iodos los días se disuelven )9 onas de cloro en el agua de una piscina. &n la gráfica se muestra la cantidad de cloro f +t en esa agua luego de t días.
+¿
&stimar e interpretar
t → 4 f ( t ) −¿ t → 4 f ( t ) y lim ¿ lim ¿
¿
¿
164. Para "enar Describir en qu# difieren las funciones f ( x )=3 + ⟦ x ⟧ y g ( x )=3− ⟦− x ⟧ 16?. #arifa $elefónica Una llamada de larga distancia entre dos ciudades cuesta L=.B= los primeros (= minutos y L=.=* por cada minuto o fracción adicional. Utiliar la función parte entera o mayor entero para e'presar el costo C de una llamada en t#rminos del tiempo t +en minutos. Dibujar la gráfica de esta función y analiar su continuidad.
16,. %e$ión de in&en$ario &l n1mero de unidades en inventario en una peque/a empresa está dado por
( ⟦ ⟧− )
( t )= 25 2
t + 2 2
t
donde t representa el tiempo en meses. Dibujar la gráfica de esta función y analiar su continuidad. "Con qu# frecuencia la empresa debe reponer e'istencias$
16/. '()* &+ Un sábado a las 90== de la ma/ana, un !ombre comiena a subir corriendo la ladera de una monta/a !acia su campamento de fin de semana. &l domingo a las 90== de la ma/ana baja corriendo la monta/a. Iarda )= minutos en subir y sólo (= en bajar. &n cierto punto del camino de bajada, el !ombre se da cuenta de que pasó por el mismo lugar a la misma !ora el sábado. Demostrar que el !ombre está en lo cierto. A 'ugerencia0 Considerar que
s ( t ) y
r ( t ) son las
funciones de posición de subida y bajada y aplicar el teorema del valor intermedio a la función f ( t )= s ( t )−r ( t ) . ¿
16. Vol+,en Utiliar el teorema del valor intermedio para demostrar que entre todas las esferas cuyos radios pertenecen al intervalo A*, 9@ !ay una con un volumen de ( *== centímetros c1bicos.
16D. Demostrar que si f es continua y carece de ceros en A a, b@, entonces f ( x )> 0 para todo x en Aa, b@ o f ( x )< 0 para todo x en Aa, b@. 116. Demostrar que la función de Diric!let f ( x )= 0, si x esraciona!
{
1, si x esirraciona!
no es continua para ning1n n1mero real.
111. Demostrar que la función f ( x )=
{
0, si x esraciona!
(x ,si x esirraciona!
es continua sólo en x =0 +suponer que $ es cualquier n1mero real distinto de cero.
11". -a un!in si=no se define como
{
−1, x < 0 sgn ( x )= 0, x = 0 1, x > 0 Construir la gráfica de
sgn ( x ) y calcular los siguientes límites +si es posible.
−¿
x → 0 sgn ( x ) b +¿ x → 0 sgn ( x ) c a ¿ lim lim lim sgn ( x ) ¿
¿
x→ 0
11#. Modelo ,a$e,-$ico -a tabla recoge valores de la velocidad ' +en piesMs de un objeto tras caer t segundos.
a Construir la curva con los datos. b "2arece e'istir una velocidad límite para el objeto$ &n caso afirmativo, identificar una posible
causa.
114. Elaboración de ,odelo Un nadador crua una piscina de una anc!ura b nadando en línea recta desde +=, = !asta +) b, b +ver la figura.
a %ea f una función definida como la coordenada y del punto sobre el lado más largo de la piscina
que se encuentra más cerca del nadador en cualquier momento dado durante su trayecto a trav#s de la piscina. &ncontrar la función f y construir su gráfica. "%e trata de una función continua$ &'plicar la respuesta. b %ea g la distancia mínima entre el nadador y el lado más largo de la piscina. &ncontrar la función g y construir la gráfica. "%e trata de una función continua$ &'plicar la respuesta.
11?. &ncontrar todos los valores de c tales que f sea continua en (−∞, ∞ ).
{
2
f ( x )= 1− x ,x ≤c x , x > c
11,. Demostrar que para todo n1mero real y e'iste un x en (−π /2, π / 2) tal que tan x = y . 11/. %ea
2 f ( x )=( √ x + c − c ) / x , c > 0 . "Cuál es el dominio de f( "Cómo se puede definir f en x =0
con el fin de que sea continua en ese punto$
11. Demostrar que si
lim f ( c + ) x ) =f ( c ) ) x→ 0
, entonces f es continua en c .
11D. 4naliar la continuidad de la función h ( x )= x ⟦ x ⟧ . 1"6. a %ean f 1 ( x ) y f 2 ( x ) funciones continuas en el intervalo A a, b@. %i ( ) f 1 ( b )> f 2 ( b ) , demostrar que entre a y b e'iste c tal que f 1 c = f 2 ( c ) . b Demostrar que e'iste c en
[ 0, π / 2 ]
tal que
cos x = x
f 1 ( a )< f 2 ( a )
y
. Utiliar una !erramienta de graficación
para estimar c con tres decimales.
Prepara!in para el e;amen Putnam 2
1"1. 4firmar o desmentir0 si x y y son n1meros reales con
y * 0
2
y ( y - 1 ) ≤ x . ( x ) ¿ + 1 y ( 0 )= 0. 2 1"". &ncontrar todas las polinomiales ) + x tales que ( x + 1 )=¿ 2
y
x + 1 ¿ , y ( y + 1 ) ≤ ¿ entonces
