matemática, cálculo, límite, trigonométrico, una variableDescripción completa
Aqui teneis ejercicios resueltos y la teoría fundamental de limites, asíntotas y continuidad. Además de ejercicios propuestos con sus solucionesDescripción completa
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Descripción: Cap 1, Secc 1.4 Continuidad y Limites Laterales
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Presentacion de la clase correspondiente a limitesDescripción completa
Orientar a los padres en algunas situaciones normales pero de difícil manejo: berrinches,agresión, mentiras y robo, identificar las características deseables de la puesta de límites, recorda…Descripción completa
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Límite y Continuidad
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Análisis Matemático 1
Descripción: Orientar a los padres en algunas situaciones normales pero de difícil manejo: berrinches,agresión, mentiras y robo, identificar las características deseables de la puesta de límites, recordar las p...
Documento de armonia
este articulo presenta el procedimiento y calculo de como realizar los ensayos de granulometria y limites de atterberg
cxcvxc
Cálculo diferencial
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS Y CONTINUIDAD
I.
INTRODUCCIÓN – MOTIVACIÓN MOTIVACIÓN
Algunas funciones tienen un comportamiento diferente al de los modelos estudiados, veamos el siguiente ejemplo y analicemos su comportamiento:
¿Què ocurre con el número de fotografías por minuto cuando la màquina tiene 5 años?
II. CAPACIDAD A LOGRAR Analiza el comportamiento de continuidad en situaciones de contexto real. III. DESARROLLO TEÓRICO – PRÁCTICO PRÁCTICO 3.1. LÌMITES TRIGONOMÈTRICOS TRIGONOMÈTRICOS 3.1.1. Límites trigonométricos. Se conocen así a aquellos límites en los cuales
intervienen las funciones
trigonométricas ¿ Lim senx ?
¿ Lim cos x x 0
x 0
?
3.1.2. Límites notables. Se conocen conocen así a aquellos límites límites que se dan por cierto sin previa demostración a)
Lim Lim x 0
senx
x
1
b) Lim x 0
1 cos x x
2
1 2
MG. ANTENOR LEVA
1
Cálculo diferencial “ A partir de estos límites podemos resolver diversos límites trigonométricos”
Recomendación: estudiar las identidades trigonométricas
Ejemplos. 1) Lim
tg x
2)
Lim
sen kx
3)
Lim
x
x 0
sen x
1
x
cos x
x 0
x
x 0
x 0
= Lim
Lim k
=
senkx
Lim
x 0
x
x
Lim x 0
1
1 cos x
= 1 = 1. 1
k . 1
kx
x 0
sen 8 x 4 x 8 x Lim = (1).(1)(2) = 2. x 0 tg 4 x tg 4 x 4 x 8x
sen 8 x
sen Ax
4) Lim
sen x
senAx senBx
= Lim x 0
A
Ax
B sen Bx
=
Bx
A B
Lim x 0
Lim x 0
sen Ax Ax sen Bx
=
A 1 B 1
=
A B
.
Bx
3.2. CONTINUIDAD 3.2.1.
INTRODUCCIÓN.
La gráfica adjunta representa el crecimiento de una persona en función del tiempo. Midiendo su estatura cada año, se obtiene una gráfica con pequeños saltos entre un punto y el siguiente. Si la gráfica se realiza midiendo la estatura cada cinco años, el incremento entre cada punto y el siguiente (y) será mayor, como lo es también el incremento del tiempo (x). Finalmente, si se considera el crecimiento en cada instante, la gráfica que mide las alturas no sufre ningún salto brusco. Se dice en este caso que la función es continua.
3.2.2. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN A. CONTINUIDAD / DISCONTINUIDAD EN FORMA VISUAL Continuidad
Una función es continua si:
MG. ANTENOR LEVA
2
Cálculo diferencial La gráfica puede dibujarse completamente sin tener que levantar el papel. En el punto donde es necesario levantar el lápiz no hay continuidad Podemos caminar sobre la gráfica sin tener que dar saltos. En el punto donde es necesario saltar no hay continuidad. Discontinuidad
Una función es discontinua en un determinado punto si en dicho punto no existe gráfica (hay un hueco), o en dicho punto la gráfica sufre un salto
1. Analicemos la continuidad de las gráficas anteriores en el punto x=0 a) b) c) d)
Es continua. No hay salto. No hay hueco No es continua. Hay salto. Hay hueco No es continua. Hay hueco NO es continua. Hay salto
2. Analicemos la continuidad de las gráficas anteriores en el punto x=a
MG. ANTENOR LEVA
3
Cálculo diferencial 3. Analicemos la continuidad de las gráficas anteriores en el punto x=a
Desventaja del método visual: Es
necesario conocer la gráfica. Es decir, si no se conoce la gráfica de la función no se puede analizar la continuidad
B. CONTINUIDAD / DISCONTINUIDAD EN FORMA MATEMATICA Continuidad
Una función f es continua en x=a si se cumplen las tres condiciones siguientes: a) f ( a ) debe estar definido b) lim f ( x) debe existir xa
c) lim f ( x) f (a) xa
Discontinuidad
Una función f es discontinua en x=a si no cumple alguna de las tres condiciones anteriores 1. Analicemos ahora la continuidad de las funciones siguientes con criterio matemático en x=a: a) f ( a ) =L b) lim f ( x ) L x a
c) lim f ( x) f (a) xa ES CONTINUA
MG. ANTENOR LEVA
4
Cálculo diferencial a) f ( a ) NO EXISTE b) lim f ( x ) L x a
c) lim f ( x) f (a) xa NO ES CONTINUA
a) f ( a ) = f ( x0 ) b) lim f ( x ) L x a
c) lim f ( x ) f (a ) x a
NO ES CONTINUA
2. Analice la continuidad de las gráficas siguientes con criterio matemático:
a) b) c)
a)
a)
b)
b)
c)
c)
……………….…………
…………….....………..
………….. ……………
C. Ejemplos algebraicos:
1. Sea f ( x)
x
2
x
4
2
¿Es continua en x = 2?
MG. ANTENOR LEVA
5
Cálculo diferencial Solución a) b)
f (2) NO EXISTE
lim f ( x) lim
x 2
c)
x
2
4
x 2
x 2
lim
( x 2)( x 2)
x 2
x 2
lim( x 2) 2 2 4 x 2
lim f ( x) f (1)
x 1
La función NO ES CONTINUA
2. x 2 4 si x 2 Sea f ( x) = x 2 4 si x 2 ¿Es continua en x = 2?
Solución a) b)
f (2)
4
lim f ( x) lim
x 2
c)
x 2
x 2
4
x 2
lim
x 2
( x 2)( x 2) x 2
lim( x 2) 2 2 4 x 2
lim f ( x) f (2)
x 2
La función ES CONTINUA
3. 5 x 1 si x 1 Sea f ( x) = x 3 si x > 1 ¿Es continua en x = 1?
Solución a) b)
f (1)
5(1) 1
4
lim f ( x ) lim (5 x 1) 5(1) 1 4
x 1
x 1
lim f ( x)
x 1
lim ( x 3) 1 3 4
x 1
MG. ANTENOR LEVA
6
Cálculo diferencial Por lo tanto lim f ( x ) 4 x 1
c)
lim f ( x) f (1)
x 1
La función ES CONTINUA
2. x 1 si x 2 Sea f ( x) = x si x > 2 2 ¿Es continua en x = 2?
Solución a) b)
f (2)
2 1 1
lim f ( x) lim ( x 1) (2 1) 1
x 2
x 2
lim f ( x) lim
x 2
x 2
x
2
2
2
1
Por lo tanto lim f ( x) 1 x 2
c)
lim f ( x ) f (2)
x 2
La función ES CONTINUA 3.
1 x si x 1 Sea f ( x) = x 2 si x > 1
Solución a) b)
f (1)
1 1
0
lim f ( x) lim (1 x) (1 1) 0
x 1
x 2
lim f ( x) lim x 2
x 1
x 1
(1) 2
1
Por lo tanto lim f ( x ) NO EXISTE x 2
c)
lim f ( x ) f (1)
x 1
La función NO ES CONTINUA
MG. ANTENOR LEVA
7
Cálculo diferencial
E. TIPOS DE DISCONTINUIDAD Si el lim f ( x ) SI EXISTE entonces la discontinuidad es evitable x a
1. lim f ( x ) SI existe. f (a) NO existe x a
2. lim f ( x ) SI existe. f (a) SI existe. lim f ( x) f (a ) x a
x a
Si el lim f ( x ) NO EXISTE entonces la discontinuidad es inevitable x a
1. Si lim f ( x ) lim f ( x ) la discontinuidad inevitables es de primera especie x a
x a
2. Si lim f ( x ) NO existe v lim f ( x) NO existe la discontinuidad inevitable es de segunda x a
x a
es ecie
Ejemplos 1. Discontinuidad evitable (1) Sea f(x)=2 si x 1, ¿Es continua en x=1?: No Lim f (x) = 2 , x 1
f (1) NO existe
2. Discontinuidad evitable (2) 2 si x 1 Sea f(x) = , 3 si x = 1 ¿Es continua en x=1?: No Lim f (x) = 2 , x 1
f (1)
3,
Lim f (x) f (1) x 1
3. Discontinuidad inevitable (1)
MG. ANTENOR LEVA
8
Cálculo diferencial Sea
2 si x < 1 , 3 si x 1
f(x) =
¿Es continua en x=1?: No Lim f (x) x 1
2 , Lim f (x) 3 x 1
4. Discontinuidad inevitable (2)
Sea f(x) =
1 1- x
,
¿Es continua en x=1?: No
Lim f (x) = x 1
, Lim f (x) = x 1
IV.B. PROBLEMAS PROPUESTOS LÌMITES TRIGONOMÈTRICOS NIVEL 1 1.
Analice la continuidad de las siguientes funciones. Identifique los tipos de continuidad: a)
x+ 1 si x < 0 f(x) = 0 si 0 x < 2 . si x 2 x x si x < 3
c) f(x) = 2 x+ 1 si 3 x < 5 .
2.
4
0 si x < 1
b)
f(x) =
d)
f(x) =
3x si x >1
si x 5
Discutir la continuidad de:
5 - x , g(x)= 2 x - 1 ,
x+ 2 si x < 0 . 2 si x 0
-1 x 2 2
x 3
3. Calcula el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas en los puntos que se indican: ax 4 - 3x 3 si x 0 x+1 si x 1 5 3 a) f(x) = en x=1. b) f(x) = en x=0. 7 + 3 x x 2 3 - ax si x >1 -1 si x = 0
MG. ANTENOR LEVA
1 0
Cálculo diferencial ax 4 - 3x 3 7 5 + 3 3 si x 0 c) f(x) = x x en x=0. 2 si x = 0 5
x 2 + 2x-1 si x < 0 Calcula el valor de a y b para que la función f(x) = ax+b si 0 x <1 2 si x 1
4.
sea continua en todos sus puntos.
6. Sea
si x c
sen x
f (x) =
a x + b si x > c
donde a, b y c son constantes. Si b y c son números fijos,
halla los valores de a (si existe alguno) para los que f es continua en c. 7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a: a)
8.
x 2 + a x si x 2
f (x) =
a-x
si x > 2
ea x
g (x) =
si x 0
x + 2 a si x > 0
Encuentre los valores de las respectivas constantes para los cuales las funciones dadas a continuación son continuas en toda la recta real:
a)
c)
2
b)
cx 1 si x 3 f ( x ) 2 cx 1 si x 3
x si x 2 1 2 g x cx d si x ( ) 1 4 x si x 2
b)
d)
x 2 c 2 si x 4 f ( x) cx 20 si x 4
x 2 1 si x 3 f ( x) 2ax si x 3
REFERENCIAS BIBLIOGRÀFICAS LIBROS
STEWART James. CÁLCULO. Conceptos y Contextos. Tercera Edición. THOMSON. 2007. 10-63 pp. ISBN: 9706865438.
Editorial:
LIBROS ELECTRÒNICOS
ROSELL, José L. Matemàticas aplicadas a las Ciencias Sociales II [en 2004 [fecha de consulta: 12 agosto 2010]. matematica.cl/librosmat/mat_cs_ sociales.pdf Disponible en: www.sector ISBN 8460930130
