Clases laterales Si un grupo G se puede particionar en celdas de modo que la operación inducida este bien definida en cada una de las celdasy el conjunto formado por las celdas tenga una estructura de grupo, entonces sea B e la celda, que contiene contiene la identidad, se sabe por el el teorema siguiente que que Be es subgrupo de G. Teorema 1 Si un grupo G se puede partir en celdas donde la operación inducida está bien definida y si las celdas forman un grupo bajo esta operación inducida, entonces, la celda que contiene la identidad e de G debe ser un subgrupo de G. Sea Ba otra celda que contiene un “a” G. Si escogemos un representante a Ba y todos los | + debe elementos de Be, mostrado en la siguiente ecuación B aBe=Ba, el conjunto aBe= *| estar contenido en Ba. Lo anteriormente descrito hace referencia que aB e son las clases laterales de un subgrupo B e.
Sea H un subgrupo del grupo G y sea a G, la clase lateral derecha Ha de | + + es decir: conjunto *|
H en G es el
Ha = * | +
Sea H un subgrupo del grupo de G y sea a G. La clase lateral izquierda aH de H en G es el conjunto *| | + + es decir: aH = * | +
Consideremos el conjunto de los números enteros Z, que como sabemos tiene estructura estructura de grupo con operación suma. Vamos a descomponer este este conjunto en tres subconjuntos subconjuntos de forma que cada elemento de Z esté en uno solo de los subconjuntos (lo cual se denomina partición). * + Consideramos a S0 la celda Be que contiene al elemento
identidad que es el cero. * + Consideramos a S1 la celda Ba
* +
En los dos primeros subconjuntos está bien definida la operación suma (si sumamos cualesquiera números del subconjunto el resultado está en el subconjunto) pero sólo uno de los subconjuntos tiene estructura de grupo, el que tiene el cero, que es el elemento neutro para la suma. Vemos también que si sumamos un elemento del primer subconjunto con un elemento del segundo subconjunto el resultado es un elemento del segundo subconjunto El subconjunto S0 es el más importante porque tiene estructura de grupo y porque nos permite generar los otros. En efecto, si escogemos un elemento cualquiera y lo 'sumamos' a S 0 obtenemos S1 .O sea, tomando cualquier elemento siempre se genera uno de los dos subconjuntos. El efecto de aplicar el subconjunto S 0 (que es subgrupo) a cualquiera de los elementos del conjunto es la obtención de otro subconjunto determinado. A esos subconjuntos obtenidos se les llama clases laterales del subgrupo S 0. Ejemplos: 1) Sea G=P(A), A= {a,b}; (diferencia simétrica) (G,*) es un grupo
*+ *+ * +
*+ * + *+ *+
*+ * + *+ *+
* + *+ *+ * +
*+ *+ * +
* *++ es un subgrupo de G Entonces
*+ **+ + *+ **+*++ * + ** + *++ * *++
*+ **+ + *+ **+*++ * + ** + *++ * *++
El grupo G tiene: Dos clases laterales izquierdas:
*+ **+ + *+ * + **+*++
Dos clases laterales derechas:
*+ **+ + *+ * + **+*++
Sea G un grupo, H un subgrupo de G, para ab G decimos que a es congruente con b mód H, lo que escribimos a b mód H, si ab -1 H. La relación es una relación de equivalencia. Para que sea una relación de equivalencia debe cumplirse, la ley de reflexividad, ley de simetría y la ley de reflexividad para todo a,b,c G. 1) ; 2) implica ; 3) implica Demostración: 1) H es un subgrupo de G, por definición de subgrupo, sabemos que el elemento neutro pertenece a H es decir e H. También sabemos , por consiguiente entonces por definición . 2) , por definici , como H es un subgrupo de G, sus elementos tiene elemento simétricos en H, por con siguiente () , sabemos que () , luego y por definición . 3) Tomando como hipótesis y . Por definición y hipótesis tenemos y ; como H es un subgrupo de G, por la ley de cerradura, ()( ) . Pero ()( ) () , luego , por consiguiente
Para todo , * +
Sea ,- * + .
,-
Sabemos Ha = * | + entonces para que este incluido en ,-, debe darse ha ,- por ello a de cumplirse la condición a(ha) -1 H. () ( ) . , como H es un subgrupo de G, su elemento simétrico también pertenece a H, es decir . Según la definición de congruencia mód H esto implica que ,- para todo , luego ,,-
Supongamos, que ,-, debemos probar que . Por la definición de congruencia . El elemento simétrico está también en H, es decir ( ) , por lo tanto , para algún . Multiplicando ambos lados por a la derecha obtenemos , luego . Por tanto, ,- . Probado las dos inclusiones ,- y ,- podemos concluir que ,- , que es lo que afirma el lema.
Hay una correspondencia biyectiva entre dos clases laterales derechas cualquiera de H en G Definimos ()
Para demostrar que es biyectiva debemos demostrar que es inyectiva y sobreyectiva. i) Inyectiva: Sabemos que para que sea inyectiva debe cumplir que : () ( )
Sean Hipótesis: () () Por definición ( ) y () Entonces por hipótesis y definición: Por ley cancelativa: Multiplicamos por la derecha por a
( ) ( )
por lo tanto
es inyectiva
ii) Sobreyectiva Sabemos que para que sea sobreyectiva debe cumplir que: () ()
Sea Por hipotesis tenemos Si () () Por definicion () () ( ) ()
Por lo tanto ()
De i y ii
El Lema 03 nos garantiza la existencia de una correspondencia biyectiva entre dos clases l aterales a derecha cualesquiera. El lema sólo garantiza la existencia de esta correspondencia pero no dicta la forma que esta tendrá (Es decir, queda a nuestro criterio el encontrarla o definirla). Sabemos que una relación se puede expresar tanto con una regla de correspondencia como con un conjunto de pares ordenados. Tomemos el siguiente ejemplo y usemos la segunda forma: 1) Sea G=P(A), A={a,b}; (diferencia simétrica) (G,*) es un grupo *+ *+ * +
*+ * + *+ *+
*+ * + *+ *+
*+ *+ *+ *+
*+ *+ *+
* *++ es un subgrupo de G
El grupo G tiene dos clases a derecha:
*+ * *+ + *+ * + **+*++
Si establecemos la correspondencia R entre estas dos cla ses mediante pares ordenados tal que: *(*+ *+)(*+)+
Esta correspondencia es inyectiva pues a pre imágenes diferentes le corresponde imágenes diferentes (o en otras palabras no se repiten las segundas componentes) Esta relación también es sobreyectiva, pues para todo elemento de *+, es decir, *+ y * +, existen elementos que en el dominio a los que ellos corresponden mediante R (A *+ le corresponde *+ y a le corresponde * +). Por tanto, R es biyectiva. Además, notamos que el teorema garantiza la existencia de una correspondencia biyectiva pero en ningún momento garantiza que esta sea única. Existe al menos una relación biyectiva pero pueden existir más, por ejemplo: *(*+ * +)(*+)+ *(*+ *+)(*+)+ *(* + *+) (*+)+
Son también correspondencias biyectivas entre dos clases laterales a derecha de G Como se ha dicho antes, dos clases laterales tiene el mismo número de elementos, entonces intuitivamente es correcto pensar que a cada elemento de una clase lateral se le puede hacer corresponder uno a uno, un elemento de otra clase lateral hasta relacionar todos los elementos de esta segunda clase; por lo que se tendría una correspondencia inyectiva y sobreyectiva (y por ende biyectiva) Por el lema N°03, se puede afirmar, si H es un subgrupo finito, dos clases laterales derechas de H tienen el mimo número de elementos. Como H= H.e es una clase lateral derecha de H, entonces cualquier clase lateral derecha de H en G tiene o (H).
Si G es un grupo finito y H un subgrupo de G, entonces o (H) es un d ivisor de o (G). Demostración:
Sea K el número de clases laterales derecha de H en G, entonces por el lema N°02 y el lema N°03 se tiene que dos clases laterales derechas no tienen elementos en común, luego el número de elementos de las clases laterales derechas será: o(H) Para cualquiera a G se tiene una única clase lateral derecha Ha.Por lo tanto todas las clases laterales derechas Ha, llenan totalmente a G. Si K es el número distinto de clases laterales derechas de H en G, entonces, Se tiene que: K o(H) = o(G)
() ()
() ()
Si H es un subgrupo de G, el índice de H en G, es el número de distintas laterales derechas de H en G. Denotamos el índice de H en G por:
clases
ig(H) (Índice de H en G) Observación.- Si G es finito, entonces por el teorema de Lagrange se tiene que: ()
ig(H) = ()
Observación 1. Toda clase lateral es diferente del vacío Observación 2. El número de clases laterales a derecha es igual al número de clases a izquierda Observación 3. El número de elementos de cada clase lateral es igual al número de elementos del subgrupo Observación 4. En las clases laterales no siempre se cumple la propiedad conmutativa Observación 5. La intersección de dos clases diferentes es el vacío Observación 6. La unión de las clases laterales derechas (izquierdas) es igual al grupo Observación 7. Si , entonces no implica que
Si un grupo G se puede partir en celdas donde la operación inducida está bien definida y si las celdas forman un grupo bajo esta operación inducida, entonces, la celda que contiene la identidad e de G debe ser un subgrupo de G. Demostración Si Be es un subgrupo de G debe cumplir: i) ii)
Tomamos como hipótesis que G está partido en celdas con la operación inducida descrita anteriormente bien definida y formando un grupo, y sea B e la celda que contiene la identidad. i)
ii)
Al operar Be.Br, tomamos un elemento de cada una de las celdas. Sean e y r Be.Br = e.r = r por lo tanto B e. Br = Br Br.Be = r.e = r por lo tanto B r. Be = Br Be es la identidad de las celdas. Por tanto Be.Be=Be Be es cerrado bajo la operación inducida en G. Por definición, Be contiene a e Sean a y a-1 . Sabemos que Be es la celda identidad entonces Be.Bk=Bk. Si operamos los elementos a y a-1 , observamos que Be.Bk=Be, pero Be.Bk=Bk por lo tanto Bk=Be y a-1 Be. Por lo tanto por i y ii, B e es un subgrupo de G.
1) “Algebra Moderna” - I.N.Herstein – Editorial Trillas, México 2) “Algebra Abstracta” Jon Fraleig - Addison Wesley Iberoamericana 1988. 3) “Teoría de Grupos” Camilo Quintos- Eulalio Altamirano- 1998
