FACULTAD DE INGENIERIA Curso: Cálculo 1
SOLUCIÓN HOJA DE TRABAJO N° 03 Sesión N°3: Continuidad y Asíntotas de una función Continuidad de funciones 1. Determinar los valores de “x” para los cuales la función es discontinua : 2 x 1 ; x 2 a) f ( x) 3 ; x 2 Solución: Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en el punto i. De la función tenemos: f (2)
x
2:
3
Se cumple la primera condición de continuidad.
j. De la función tenemos: lim lim f ( x) lim lim (2 x 1)
lim lim f ( x) lim lim 3
x 2
x 2
x 2
x 2
3
3
Como los límites laterales son iguales, entonces cumple la segunda condición de continuidad.
k. De la función tenemos: f (2) lim lim f ( x) x 2
Se cumple la tercera condición de continuidad. Como se cumplen las tres condiciones, luego la función es continua. x3 1 ; x 1 b) f ( x) x 1 8 ; x 1
Solución: Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en el punto
x
1:
i. De la función tenemos: f (1)
8
Se cumple la primera condición de continuidad.
j. De la función tenemos:
1
Continuidad y Asintotas de una función
lim f ( x) lim
x 1
x3 1
lim f ( x) lim
x 1
x 1
lim
Cálculo 1
x 1 x2 x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
lim
x3 1 x 1
x 1 x 2 x 1 x 1
x 1
lim x 2 x 1
x 1
x 1
lim f ( x) 3
lim x 2 x 1
lim f ( x) 3
x 1
x 1
Como los límites laterales son iguales, entonces cumple la segunda condición de continuidad.
k. De la función tenemos: f (1) lim f ( x) x 1
No se cumple la tercera condición de continuidad. Como no se cumple la tercera condición de continuidad, la función es discontinua en x 1.
x 3 x 2 2x 2 ; x 1 c) f ( x) x 1 4 ; x 1
Solución: Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en el punto
x
1:
i. De la función tenemos: f (1)
4
Se cumple la primera condición de continuidad.
j. De la función tenemos: lim f ( x) lim
x3 x 2
lim
2
2
x3 x 2
lim
x 1
lim f ( x) 3
lim x x 1
2 x 2
x 1 x 2 2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
lim x x 1
lim f ( x) lim
x 1 x 2 2
x 1
2 x 2
x 1
x 1
x 1
2
2
lim f ( x) 3
x 1
x 1
Como los límites laterales son iguales, entonces cumple la segunda condición de continuidad.
k. De la función tenemos: f (1) lim f ( x) x 1
No se cumple la tercera condición de continuidad. Como no se cumple la tercera condición de continuidad, la función es discontinua en x 1
2
Continuidad y Asintotas de una función
Cálculo 1
x 3 2 x 2 5 x 6 , x 3 x 3 d) f ( x) x 1 2 , x 3 x 3 Solución: Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en el punto i. De la función tenemos: f (3)
3 1 2 33
0 0
x
3
Indetermina do
No se cumple la primera condición de continuidad. Como no se cumple la primera condición de continuidad, la función es discontinua en x
3.
2. Determinar los valores de dominio.
y
a
b
de modo que la función “f” sea continua en todo su
x 2a ; x 2 a) f ( x) 3ax b ; 2 x 1 6 x 2b ; x 1
Solución: Como la función es continua, entonces: i. Es continua en x 2 : Esto significa que los límites laterales son iguales, es decir:
lim f ( x) lim f ( x) x 2
x 2
lim x 2a lim 3ax b
x 2
x 2
2 2a 6a b
8a b 2
j. Es continua en x 1 : Esto significa que los límites laterales son iguales, es decir: lim f ( x) lim f ( x)
x 1
x 1
lim 3ax b lim 6 x 2b x 1
x 1
3a b 6 2b
3a 3b 6
8a b 2 De los puntos anteriores tenemos el sistema: . Resolviendo este sistema 3a 3b 6 tenemos:
a
4
9
b
14
.
9
3
Continuidad y Asintotas de una función
Cálculo 1
−−4 b) ()= { +3
<22≤<3 2+ ≥3
Solución: Como la función es continua, entonces: 2: i. Es continua en Esto significa que los límites laterales son iguales, es decir: x
lim f ( x ) lim f ( x)
x 2
x 2
x 2 4 lim ax 2 bx 3 lim x 2 x 2 x 2 4 4a 2b 3
4a 2b
1
j. Es continua en x 3 : Esto significa que los límites laterales son iguales, es decir:
lim f ( x )
x 3
lim ax 2
bx 3
x 3
lim f ( x )
x 3
lim 2 x a b
x 3
9a 3b 3 6 a b
10a 4b
3
4a 2b 1
De los puntos anteriores tenemos el sistema: . 10a 4b 3
Resolviendo este sistema tenemos:
a
1/ 2
b
1/ 2.
3. Halle los valores de x para los cuales la función dada no es continua y decir que tipo de discontinuidad posee. a) f ( x)
x
x
2
4
Solución: Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en i. De la función tenemos: f (4)
4 2
44
0 0
x
4:
Indetermina do
No se cumple la primera condición de continuidad. Como no se cumple la primera condición de continuidad, entonces la función es discontinua en x 4 . A pesar de saber que la función es discontinua en x 4 calculemos el siguiente límite:
lim f ( x) lim x 4
x 4
x 4
2
x 4
lim x 4
x 2 x x 4
x 4 lim 4 x x 4 4 x 2
lim x
lim f ( x)
x
2
x 2 1 x
2
1 4
4
Continuidad y Asintotas de una función
Cálculo 1
Como el límite anterior existe, entonces la función tiene una DISCONTINUIDAD EVITABLE en el punto x 4 . x 2 1 , x 1 b) f ( x) x 1 x 2 3 , x 1
Solución: Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en
x
1:
i. De la función tenemos: f ( 1)
2
Se cumple la primera condición de continuidad.
j. De la función tenemos: lim f ( x) lim
x1
x 1
lim
x 2
1
x 1 x 1 x 1
x1
x1
x 1 lim x 1
x 1
lim f ( x) lim x 2
3
1 3
lim f ( x) 2
x1
x 1
lim f ( x) 0
x1
Como los límites laterales son diferentes, entonces no se cumple la segunda condición de continuidad. Como no se cumple la segunda condición de continuidad, entonces la función es 1. Ahora bien, como los límites laterales son diferentes, la función discontinua en x tiene una DISCONTINUIDAD DE SALTO o DE PRIMERA ESPECIE en el punto x 1.
c) f ( x)
3 x 2
x
2
3x 18
Solución: En primer lugar iguales a cero el denominador: x
2
3 x 18
x
6
x
x
6
0
0
3
x 3
Ahora veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en los puntos x 6 x 3 :
i. De la función tenemos: f (6)
18 2
16
62 18 18
0
f (3)
92
9 9 18
11
0
Valores indeterminados. Por tanto, no se cumple la primera condición de continuidad. Como no se cumple la primera condición de continuidad, entonces la función es discontinua en x 6 x 3 . A pesar de saber que la función es discontinua en x 6 x 3 calculemos los siguientes límites: 5
Continuidad y Asintotas de una función
lim f ( x) lim
x 3
x 3
lim
x 3
Cálculo 1
3 x 2 x 2
lim f ( x) lim
3 x 18 3 x 2
x 6
x 6
( x 6)( x 3)
3 x 2 x 2
lim x 6
lim f ( x)
3 x 18 3 x 2
( x 6)( x 3)
lim f ( x)
x 3
x 6
Como los límites no existen (indeterminados), la función tiene una DISCONTINUIDAD ASÍNTOTICA o DE SEGUNDA ESPECIE en los puntos x 6 x 3 .
Aplicaciones de Continuidad: 4. Si una esfera hueca de radio “R” se carga con una unidad de electricidad estática, entonces la intensidad de campo eléctrico E(x) en el punto P situado a “x” unidades del
centro de la esfera satisface: 0 ; si 0 x R 1 ;xR E ( x ) 2 2 x 1 x 2 ; x R
Determinar si la función intensidad de campo eléctrico es continua para x>0.
Solución: Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en el punto
x
R :
i. De la función tenemos: E ( R)
1
2 R 2
Se cumple la primera condición de continuidad.
j. De la función tenemos: lim E ( x) lim 0 x R
lim E ( x) lim x R
x R
x R
0
lim E ( x) x R
x
2
1 R
lim E ( x) 0 x R
1
2
1 R
2
Como los límites laterales no son iguales, entonces no cumple la segunda condición de continuidad. Como no se cumple la segunda condición de continuidad, la función es discontinuidad en x R
5. Un mayorista vende azúcar a 50 centavos de dólar el kilo en el caso de cantidades hasta de 100 kilos. Si se trata de cantidades entre 100, y 200 kilos inclusive la tarifa es de 45 centavos de dólar el kilo y para ordenes por encima de los 200 kilos el precio es de 40 centavos de dólar, ¿en qué puntos la función de ingreso es discontinua? (Interprete). 6
Continuidad y Asintotas de una función
Cálculo 1
Solución: 0.50 x; 0 x 100 Del enunciado tenemos la siguiente función: I ( x) 0.45 x; 100 x 200 0.40 x; x 200 Ahora, analicemos:
i. La continuidad en
x
100 :
a) De la función tenemos: I (100)
50
Se cumple la primera condición de continuidad. b) De la función tenemos: lim
x10 0
lim
x10 0
I ( x)
I ( x)
lim I ( x ) lim 0.45 x
lim 0.50 x
x10 0
x10 0
50
50
x 10 0
45
lim I ( x ) 45
x10 0
Como los límites laterales no son iguales, entonces no cumple la segunda condición de continuidad. Como no se cumple la segunda condición de continuidad, la función es discontinuidad en x 100 .
j. La continuidad en
x
200 :
a) De la función tenemos: I (200)
90
Se cumple la primera condición de continuidad. b) De la función tenemos: lim
x20 0
lim
x20 0
I ( x)
I ( x)
lim 0.45 x
x10 0
90
90
lim x 200
I ( x)
lim x 200
0.40 x
80
lim
I ( x) 80
x 200
Como los límites laterales no son iguales, entonces no cumple la segunda condición de continuidad. Como no se cumple la segunda condición de continuidad, la función es discontinuidad en x 200 .
El hecho de que la función de ingreso sea discontinua en los puntos x 100 x 200 significa que es una FUNCIÓN INESTABLE cerca de los puntos x 100 x 200 , es decir, no podemos predecir con exactitud el comportamiento de la función ingreso cuando estamos cerca de vender 100 y 200 kilos.
7
Continuidad y Asintotas de una función
Cálculo 1
Asíntotas de una función 6. Calcular las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( x )
1
x 1
Solución: i. Asíntotas verticales: Hagamos: x
1
0
x 1
Por lo tanto, vertical
x
1es
la ASÍNTOTA VERTICAL.
ii. Asíntotas Horizontales: Calculemos el siguiente límite: y lim f ( x) lim x
1
x
x 1
y 0
Por lo tanto, la recta horizontal
y
0 es
la ASÍNTOTA HORIZONTAL.
iii. Asíntotas Oblicuas: Calculemos el siguiente límite: m lim
x
f ( x ) x
lim
x
1 x 2 x
m0
Esto significa que no existen asíntotas oblicuas.
b) f ( x )
x2 x 1
Solución: i. Asíntotas verticales: Hagamos: x 1
Por lo tanto, vertical
0
x 1
x 1
es la ASÍNTOTA VERTICAL. 8
Continuidad y Asintotas de una función
Cálculo 1
ii. Asíntotas Horizontales: Calculemos el siguiente límite: y lim f ( x) lim x
x
x 2 x 1
y
Esto significa que no existen asíntotas horizontales.
iii. Asíntotas Oblicuas: Calculemos los siguientes límites: x 2 m
lim
x
lim
x m
f ( x)
x x
x 2 b lim f ( x ) mx lim x x x x 1 2 2 x x x x lim lim x x x 1 x 1 b 1
lim x 1 x x
x 1
1
Por lo tanto, la recta
y
x 1
es la ASÍNTOTA OBLICUA.
3x 2 2 c) f ( x ) x 1
Solución: i. Asíntotas verticales: Hagamos: x 1
0
x 1
Por lo tanto, vertical
x 1
es la ASÍNTOTA VERTICAL.
ii. Asíntotas Horizontales: Calculemos el siguiente límite: y lim f ( x) lim x
x
3 x 2 2 x 1
y 9
Continuidad y Asintotas de una función
Cálculo 1
Esto significa que no existen asíntotas horizontales.
iii. Asíntotas Oblicuas: Calculemos los siguientes límites: 3 x 2 m
lim
x
lim
x m
f ( x )
x 3 x 2 x
2
2
3 x 2 2 b lim f ( x ) mx lim 3 x x x x 1 3 x 2 3 x 2 2 3 x 2 3 x lim lim x x x 1 x 1 b 3
lim x 1 x x
2
x
3
Por lo tanto, la recta
y
3x
3
es la ASÍNTOTA OBLICUA.
Problemas de aplicación 7. Suponga que la demanda de un alimento no perecible (en miles de unidades) está dado por la función d(t)
320t 4t
0.4
0.4
90
. Donde
t
es el número de semanas después del
9
lanzamiento del producto al mercado nacional. Determine la demanda al inicio del lanzamiento y cuando t
Solución: Reescribiendo la función, tenemos: d (t )
320 90t 0.4
Entonces:
4 9t 0.4
a) La demanda al inicio del lanzamiento será: d (0)
320 90(0)0.4 4 9(0)0.4
80
Es decir, la demanda al inicio del lanzamiento será de 80 miles de unidades. b) La demanda cuando
t
será:
lim d (t ) lim t
t
320 90t 0.4 4 9t 0.4
10
10
Continuidad y Asintotas de una función
Cálculo 1
Es decir, si el número de semanas aumenta sin límite, la demanda se aproxima cada vez más a 10 miles de unidades.
8. En una simulación computacional se muestra una relación particular huésped-parásito, en ella se determinó que cuando la densidad de huésped (número de huésped por unidad de área) es n , el número de huéspedes parasitados en un periodo es N
900n
10
45n
, si la densidad de huésped aumenta indefinidamente, ¿a qué valor se
aproximaría?
Solución: Según el enunciado debemos calcular el siguiente límite: lim t
900n
20
10 45n
Esto significa lo siguiente: si la densidad de huésped aumenta indefinidamente, el número de huéspedes se aproxima cada vez más a 20.
9. Para estudiar la tasa con la que aprenden los animales, un estudiante de psicología realizó un experimento en el que enviaba a una rata repetidamente a través de un laberinto. Suponga que el tiempo requerido (en minutos) para que la rata atraviese el laberinto en el n-ésimo intento está dado por la siguiente función: T(n)
5n17 n
¿Cuál es el tiempo mínimo en que la rata atraviesa el laberinto?
Solución: Para responder esta pregunta calculemos el siguiente límite: lim T (n) lim n
n
5n 7 n
5
Esto significa lo siguiente: si el número de intentos aumenta indefinidamente, el tiempo mínimo (en el límite) será 5 minutos.
10. El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora, las siguientes funciones indicaran en cada momento (t, medido en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera:
t 2 8t 50 si 0 t 10 P(t ) 38t 100 si t 10 0,4t a) Confirma que dicha función es continua y que, por tanto, no presenta un salto en t=10. b) Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no se llegara nunca?
Solución: a) Para estudiar la continuidad en un punto hay que calcular:
P(t 10) 10
2
8(10) 50 70 11
Continuidad y Asintotas de una función
Cálculo 1
lim P(t )
t 10
Como P(t) es una función por partes tendremos que calcular los limites laterales:
lim P(t ) lim t 2 8t 50 70 t 10
t 10
lim P(t ) lim t 10
38t 100
t 10
lim P(t )
Como:
t 10
38(10) 100
280
70
0, 4t 0, 4(10) 4 lim P(t ) 70 entonces: lim P(t ) 70
t 10
t 10
Por lo tanto la función P(t) es continua en t=10. b) Cuando “t” sea muy grande es decir pase mucho tiempo:
lim P (t ) lim t
t
38t 100 0, 4t
38 0, 4
95
Por lo tanto nunca se llegara al 95%o más.
12
