EJERCICIOS DE LÍMITES DE FUNCIONES Ejerci cio nº 1.-
A partir de la gráfica de f(x) , calcula:
Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x x
b) l i m f x x
c) l i m f x x 1
d) l i m f x x 1
e) l i m f x x 5
Ejerci cio nº 2.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x) . Sobre ella, calcula los límites: Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x x
b) l i m f x x
c) l i m f x x 3
f x d) l i m
e) l i m f x
x 3
x 0
Ejerci cio nº 3.-
Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican: Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x x
b) l i m f x x
c) l i m f x x 2
d) l i m f x x 2
e) l i m f x x 0
1
Ejerci cio nº 4.-
Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f (x ): Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x x
c) l i m f x
b) l i m f x x
x 3
d) l i m f x
e) l i m f x
x 3
x 0
Ejerci cio nº 5.-
Sobre la gráfica de f(x), halla : Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x x
c) l i m f x
b) l i m f x x
x 2
d) l i m f x x 2
e) l i m f x x 0
Ejerci cio nº 6.-
Representa gráficamente los siguientes resultados: a) l i m f x
b) l i m g x
x
x
Ejerci cio nº 7.-
Para la función f x l i m
x 1
x 3 x 3
y
x 1 x 3
, sabemos que :
l i m
x 1
x 3 x 3
Representa gráficamente estos dos límites.
2
Ejerci cio nº 8.-
Representa gráficamente: a) l i m f x 1 x
b) l i m g x 0 x 1
Ejerci cio nº 9.-
Representa los siguientes límites: l i m f x
x 2
l i m f x
x 2
Ejerci cio nº 10.-
Representa en cada caso los siguientes resultados: a) l i m f x 2 x
b) l i m g x x
Ejerci cio nº 11.-
Calcula: a) l i m 3 x
2
x 2
b) l i m 1 2 x x 8
c) l i m s e n x x
2
Ejerci cio nº 12.-
Halla los límites siguientes: a) l i m x 2
x 3 2
x
x 1
b) l i m 6 3 x x 1
c) l i m l og x x 1
Ejerci cio nº 13.-
Resuelve: x 2 x 3 a) l i m x 2 4 2 b) l i m 3 x 1 x 2
c) l i m tg x x
4
3
Ejerci cio nº 14.-
Calcula el límite de la función f x
4
x
3
x
2
en x 1 y en x 3.
Ejerci cio nº 15.-
Calcula los siguientes límites: a) l i m x 3
4 2
x
2 x 3
b) l i m x 9 2
x 3
c) l i m c o s x x 0
Ejerci cio nº 16.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2: l i m x 2
x 1
x 22
Ejerci cio nº 17.-
Dada la función f x
x 1 2
x
5 x 6
, calcula el límite de f ( x ) en x 2. Representa la
información que obtengas.
Ejerci cio nº 18.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3: 1
l i m 2 x 3 x 9
Ejerci cio nº 19.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0: 2 x 1 l i m 2 x 0 x 2 x
Ejerci cio nº 20.-
Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento comportamiento por por la izquierda y por la derecha: f x
1 x 3
4
Ejerci cio nº 21.-
Calcula el límite cuando x y cuando x de la siguiente función
y representa la información que obtengas: f x
1 2 x 2 4 x 3
Ejerci cio nº 22.-
Halla el límite cuando x de las siguientes funciones y representa gráficamente
la información que obtengas: a) f x b) f x
3
x
x
2
2
1
3 x 2 2 x 3 5
Ejerci cio nº 23.-
Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
a) l i m 2 x x 4 x
x 3
b) l i m x
3
2 x 2 2
x
Ejerci cio nº 24.-
Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas: x x 2 x x 4 3 4 x x x b) l i m x 4 3 a) l i m
Ejerci cio nº 25.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: a) l i m 4 x
2
b) l i m 4 x
2
x
x
Ejerci cio nº 26.-
Calcula y representa gráficamente la información obtenida l i m
x 1
2
3 x 4
2
2 x 1
x
x
5
Ejerci cio nº 27.-
Halla el límite siguiente y representa la información obtenida: 4 x 5 3 x 2 3 x 1 2
l i m 3 x 1 x
x
Ejerci cio nº 28.-
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente. 2 x 2 12 x 18
l i m
x x 6 2
x 3
Ejerci cio nº 29.-
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos: 2
2 x l i m 4 3 x 0 x 2 x
Ejerci cio nº 30.-
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente: 4 x 2 2 x 4 2
l i m
x
Ejerci cio nº 31.-
Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos a) l i m x
b) l i m x
1
1 x 3 3 x 3 2
x
Ejerci cio nº 32.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas: a) l i m x
2 3 x 1
2 x 3 2 x
3
b) l i m x
2
x
1
6
Ejerci cio nº 33.-
Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: a) l i m x
b) l i m x
x 4 2 x 4 3 x
4
3 x 2 2 x 1 2
x
1 x 3
Ejerci cio nº 34.-
Halla el límite cuando x y cuando x de la siguiente función,
y representa los resultados que obtengas: f x
x 2
1 x 3
Ejerci cio nº 35.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: a) l i m x
b) l i m x
3 x 5 3 x 3 x 5 3 x
Continuidad Ejerci cio nº 36.-
A partir de la gráfica de f (x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser ser continua, indica la causa de la discontinuidad. Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
4 6
7
Ejerci cio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f x : Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
X
8
4 6
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los los puntos no es continua, continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad. Ejerci cio nº 38.-
¿Son continuas las siguientes funciones en x 2? a)
b) Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
8 6 4 2 2
4
4
6
6
2
4
6
8
X
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Ejerci cio nº 39.-
Dada la gráfica de f x : Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
4 6
a) ¿Es continua en x 1? 8
b) ¿Y en x 2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad. Ejerci cio nº 40.-
Esta es la gráfica de la función f x : Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6
a) ¿Es continua en x = 2? b) ¿Y en x 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad. Ejerci cio nº 41.-
Halla el valor de k para que que f x sea continua en x 1 : f x
2 x 1 si x 1 k si x 1
Ejerci cio nº 42.-
Estudia la continuidad de: f x
x 2 2 x si x 1 si x 1 3 x 1
Ejerci cio nº 43.-
Comprueba si la siguiente función es continua en x 0 2 x 2 1 si f x x 2 si 2
x 0 x 0
9
Ejerci cio nº 44.-
Averigua si la siguiente función es continua en x 2: f x
2 x x 2
si si
x 2 x 2
Ejerci cio nº 45.-
Estudia la continuidad de la función: f x
x 1 3 2 x 15
si
x 4
si
x 4
10
SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES Ejerci cio nº 1.-
A partir de la gráfica de f(x) , calcula:
Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x x
b) l i m f x x
c) l i m f x x 1
d) l i m f x
e) l i m f x
x 1
x 5
Solución:
a) li m f x x
b) li m f x x
c) li m f x 2
d) li m f x 3
x 1
e) li m f x 0 x 5
x 1
Ejerci cio nº 2.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x) . Sobre ella, calcula los límites: Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x x
b) l i m f x x
c) l i m f x x 3
d) l i m f x x 3
e) l i m f x x 0
Solución:
a) l im f x 0 x
b) l im f x x
c) li m f x x 3
d) li m f x x 3
e) li mf x 1 x 0
11
Ejerci cio nº 3.-
Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican: Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x x
b) l i m f x x
d) l i m f x
c) l i m f x x 2
e) l i m f x
x 2
x 0
Solución:
a) li m f x x
b) li m f x x
c) li m f x 2
d) li m f x 4
x 2
e) l imf x 0 x 0
x 2
Ejerci cio nº 4.-
Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f (x ): Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x x
b) l i m f x x
f x c) l i m x 3
d) l i m f x x 3
e) l i m f x x 0
Solución:
a) l im f x 0 x
b) l i m f x 0 x
c) li m f x x 3
d) li m f x x 3
e) li mf x 1 x 0
12
Ejerci cio nº 5.-
Sobre la gráfica de f(x), halla : Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) l i m f x
c) l i m f x
b) l i m f x
x
x
x 2
d) l i m f x x 2
e) l i m f x x 0
Solución:
a) l i m f x 1 x
b) l i m f x 1 x
c) li m f x x 2
d) li m f x x 2
e) l i mf x 1 x 0
Ejerci cio nº 6.-
Representa gráficamente los siguientes resultados: a) l i m f x
b) l i m g x
x
x
Solución:
a)
b)
Ejerci cio nº 7.-
Para la función f x l i m
x 3
x 1 x 3
y
x 1 x 3
, sabemos que :
l i m
x 3
x 1 x 3
Representa gráficamente estos dos límites.
13
Solución:
3
Ejerci cio nº 8.-
Representa gráficamente: a) l i m f x 1 x
b) l i m g x 0 x 1
Solución:
a) 1
1
o bien b) Por ejemplo:
1
Ejerci cio nº 9.-
Representa los siguientes límites: l i m f x
x 2
l i m f x
x 2
Solución:
2
Ejerci cio nº 10.-
Representa en cada caso los siguientes resultados: a) l i m f x 2 x
b) l i m g x x
14
Solución:
a) 2
2
o bien b)
Ejerci cio nº 11.-
Calcula: a) l i m 3 x
2
x 2
b) l i m 1 2 x x 8
c) l i m s e n x x
2
Solución: 2
a) li m 3 x 52 25 x 2
b) li m 1 2 x 1 16 1 4 5 x 8
c ) li m sen x sen x
2
2
1
Ejerci cio nº 12.-
Halla los límites siguientes: a) l i m x 2
x 3 2
x
x 1
b) l i m 6 3 x x 1
c) l i m l og x x 1
Solución:
x 3 1 1 a) li m 2 x 2 x x 1 4 2 1 7 b) li m 6 3 x 6 3 9 3 x 1
c) li m lo log g x lo log g 1 0 x 1
15
Ejerci cio nº 13.-
Resuelve: x 2 x 3 x 2 2 4
a) l i m
b) l i m 3 x 1 x 2
c) l i m tg x x
4
Solución:
x 2 x 3 2 2 0 a) li m x 2 2 4 b) l i m 3 x 1 3 1 x 2
c) l im tg x tg x
4
4
1 3
1
Ejerci cio nº 14.-
Calcula el límite de la función f x
4
x
3
x
2
en x 1 y en x 3.
Solución:
x 4 x 1 1 1 li m x 1 3 2 3 2 6 x 4 x 3 51 27 li m x 3 2 2 2 3
Ejerci cio nº 15.-
Calcula los siguientes límites: a) l i m x 3
4 2
x
2 x 3
b) l i m x 2 9 x 3
c) l i m c o s x x 0
Solución:
4 4 4 2 a) l i m 2 x 3 x 2 x 3 9 6 3 18 9
b) li m x 2 9 9 9 0 0 x 3
c) li mcos x cos 0 1 x 0
16
Ejerci cio nº 16.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2: x 1
l i m
x 22
x 2
Solución:
l im
x 2
x 1 2
x 2
l i m x 2
x 1 2
x 2
lim x 2
x 1
x 22
2
Ejerci cio nº 17.-
Dada la función f x
x 1 2
x
5 x 6
, calcula el límite de f ( x ) en x 2. Representa la
información que obtengas. Solución:
x 1 x 5 x 6 2
x 1
x 2 x 3
Calculamos los límites laterales: li m
x 2
x 1
x 2 x 3
li m
x 2
x 1 x 2 5 x 6
2
Ejerci cio nº 18.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3: 1
l i m 2 x 3 x 9
Solución:
1 1 li m li m 2 x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 Calculamos los límites laterales: 17
li m
x 3
1 2
x 9
li m
x 3
1 2
x 9
3
Ejerci cio nº 19.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0: 2 x 1 l i m 2 x 0 x 2 x
Solución:
2 x 1 2 x 1 li m li m x 0 x 2 2 x x 0 x x 2 Calculamos los límites laterales: li m
x 0
2 x 1 x 2 2 x
li m
x 0
2 x 1 x 2 2x
Ejerci cio nº 20.-
Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento comportamiento por por la izquierda y por la derecha: f x
1 x 3
Solución:
x 3 0 x 3 Calculamos los límites laterales: 1 l i m x 3 x 3
li m
x 3
1 x 3
3
18
Ejerci cio nº 21.-
Calcula el límite cuando x y cuando x de la siguiente función
y representa la información que obtengas: f x
1 2 x 2 4 x 3
Solución:
li m
1 2 x 2 4 x
x
3
li m
x
1 2 x 2 4 x 3
Ejerci cio nº 22.-
Halla el límite cuando x de las siguientes funciones y representa gráficamente
la información que obtengas: a) f x b) f x
3
x
x
2
2
1
3 x 2 2 x 3 5
Solución:
x x 3 1 a) li m x 2 2
b) li m
x
3 x 2 2 x 3 5
Ejerci cio nº 23.- 19
Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
a) l i m 2 x x 4 x
x 3
b) l i m x
3
2 x 2 2
x
Solución:
a) l im 2 x x 4 x
b)
x 3 x 2 2 x li m x 3 2
Ejerci cio nº 24.-
Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas: x x 2 x x 4 3 4 x x x b) l i m x 4 3 a) l i m
Solución:
x x 2 x a) li m x 3 4
x x 4 x b) li m x 3 4
20
Ejerci cio nº 25.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: a) l i m 4 x
2
b) l i m 4 x
2
x
x
Solución: 2
a) li m 4 x x
2
b) li m 4 x x
Ejerci cio nº 26.-
Calcula y representa gráficamente la información obtenida 3 x 4 2 x 2 x 1 2
l i m
x 1
x
Solución:
li m
x 2 3 x 4
x 1 x 2
2 x 1
x 1 x 4 x 4 li m x 1 x 1 x 1 x 12
li m
Calculamos los límites laterales: li m
x 1
x 4 x 1
li m
x 1
x 4 x 1
1
21
Ejerci cio nº 27.-
Halla el límite siguiente y representa la información obtenida: 4 x 5 3 x 2 3 x 1 2
l i m 3 x 1 x
x
Solución:
x 1 x 5 x 5 x 2 4 x 5 li m li m li m x 1 x 3 3 x 2 3 x 1 x 1 x 1 x 12 x 13
1
Ejerci cio nº 28.-
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente. 2 2 x 12 x 18
l i m
x 3
x x 6 2
Solución:
li m
x 3
2 x 2 12 x 18 x 2 x 6
2
li m
x 3
2 x 3
x 3 x 2
li m
x 3
2 x 3
x 2
0
3
Ejerci cio nº 29.-
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos: 2
2 x l i m 4 x 0 x 2 x 3
Solución:
2 x 2
2 x 2
2 li m 3 li m li m 4 3 x 0 x 2 x x 0 x x 2 x 0 x x 2 22
Calculamos los límites laterales: li m
2
x 0 x x
2
li m
2
x 0 x x
2
Ejerci cio nº 30.-
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente: 4 2 x 4 2
l i m
x 2
x
Solución:
lim
x 2 4
x 2
2 x 4
x 2 x 2 x 2 4 lim 2 x 2 x 2 2 x 2 2 2
li m
2 2
Ejerci cio nº 31.-
Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos a) l i m x
1
1 x 3 3 x
3
b) l i m x
2
x
Solución:
a) l im
x
b)
l im
x
1
1 x 3
3 x 3 x 2
0
23
Ejerci cio nº 32.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas: a) l i m x
2 3 x 1
2 x 3 2 x
3
b) l i m x
2
x
1
Solución:
a) l im
x
b)
l im
3 x 2 1
2 x 3
2 x 3
x x 2
1
0
Ejerci cio nº 33.-
Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: a) l i m x
b) l i m x
x 4 2 x 4 3 x 4 2 3 x 2 x 1
x 1 x 2
3
Solución:
a)
lim
x
x 4 2 x 4
4 3 x
1 1 3 3
24
1/3
b)
l im
x
3 x 2 2 x 1 x 2 1 x 3
0
Ejerci cio nº 34.-
Halla el límite cuando x y cuando x de la siguiente función,
y representa los resultados que obtengas: f x
x 2
1 x 3
Solución:
lim
x
x 2 3
1 x
0
lim
x
x 2
1 x 3
0
Ejerci cio nº 35.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: a) l i m x
b) l i m x
3 x 5 3 x 3 x 5 3 x
Solución:
a)
lim
x
3 x 5 3 x
3 3
1
1
25
b)
li m
x
3 x 5 3 x
1
1
Continuidad Ejerci cio nº 36.-
A partir de la gráfica de f (x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser ser continua, indica la causa de la discontinuidad. Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
4 6
Solución:
En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
Ejerci cio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f x : Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los los puntos no es continua, continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad. 26
Solución:
En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que li m f x li m f x x 1 x 1 . En x 2 sí es continua.
Ejerci cio nº 38.-
¿Son continuas las siguientes funciones en x 2? a)
b) Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
8 6 4 2 2
4
4
6
6
2
4
6
8
X
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad. Solución:
a) No es continua en x 2; aunque esté definida en discontinuidad evitable porque existe li mf x x 2 . b) Sí es continua en x 2.
x
2, tiene el punto desplazado. Es una
Ejerci cio nº 39.-
Dada la gráfica de f x : Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
4 6
a) ¿Es continua en x 1? b) ¿Y en x 2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad. 27
Solución:
a) Sí es continua en x 1. b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable.
Ejerci cio nº 40.-
Esta es la gráfica de la función f x : Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2
2
4
6
X
8
4 6
a) ¿Es continua en x = 2? b) ¿Y en x 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad. Solución:
a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical). b) Sí es continua en x 0.
Ejerci cio nº 41.-
Halla el valor de k para que que f x sea continua en x 1 : f x
2 x 1 si x 1 k si x 1
Solución:
li m f x l im 2 x 1 3
x 1
x 1
li m f x k
x 1
f 1 3
Para que sea continua en x 1, li m f x li m f x f 1 x 1
Ha de ser
k
x 1
.
3.
28
Ejerci cio nº 42.-
Estudia la continuidad de: f x
x 2 2 x si x 1 si x 1 3 x 1
Solución:
Si x 1, la función es continua. Si x 1:
l im f x li m x 2 2 x 1
x 1
x 1
l i m f x l im 3 x 1 2
x 1
x 1
No es continua en x 1 porque li m f x li m f x . Es decir, no tienelímiteen ese ese punto. x 1
x 1
Ejerci cio nº 43.-
Comprueba si la siguiente función es continua en x 0 2 x 2 1 si f x x 2 si 2
x 0 x 0
Solución:
l i m f x li m 2 x 2 1 1
li m f x li m f x f 0. 1 Es continuaen x 0 porque x l im 0 x 0 x 0 2 f 0 1 x 0
x 0
x 2
Ejerci cio nº 44.-
Averigua si la siguiente función es continua en x 2: f x
2 x x 2
si si
x 2 x 2
Solución:
l i m f x l i m 2 x 4
x 2
x 2
x 2
x 2
li m f x l i m x 2 4 Es continuaen x 2 porque l im f x f 2.
f 2 4
x 2
29
Ejerci cio nº 45.-
Estudia la continuidad de la función: x 1 f x 3 2 x 15
si
x 4
si
x 4
Solución:
Si x 4, la función es continua. Si x 4: x 1
x 4 x 4 3 2 l i m f x l im x 15 1 Tambiénes continuaen x 4 porque l i mf x f 4. x 4 x 4 x 4 f 4 1 l im f x l im
1
30
