IES JULIO CARO BAROJA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONTROL DE LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVABABILIDAD Grupo: 1ª Evaluación 2º BB CSH Fecha:
Nombre:
Ejercicio nº1.- (1 nº1.- (1 punto)
Halla, observando la gráfica de la función f (x ), ), los siguientes límites:
a) l í m f x
b) l í m f x
c) l ím f x
f x e) l í m
f x f) lí m
g) l í m f x
x
x 1
x
x 1
x 1
f x d) l í m x 1
x 0
SOLUCIÓN Para hallar los límites de éste ejercicio debemos mirar la gráfica de la función en el lugar hacia donde tiende la x en cada caso y ver dónde se acerca la gráfica de la función: a) b) c) d) e) f) g)
Ejercicio nº 2.- (1 2.- (1 punto)
Calcula los siguientes límites:
a) lí m x 3 log x x
3 x b) lí m 2 x x 1
SOLUCIÓN
a)
Un polinomio crece más rápido que la exponencial, luego para calcular el límite basta con sustituir en . b)
Notar que lo primero que hacemos es sustituir la x por –x y el
del límite por
Ejercicio nº 3.- (1 3.- (1 punto)
Obtén el valor de los siguientes límites: a) lí m x
d)
8 x 2 3 x 2 x 2 x
x 2 x 3 b) lí m 2 x x 2 x 1
x 3 c) lí m x 2 x 1
3 x 1
3 1 2 l ím x 1 x 1 x 1
SOLUCIÓN a) b) c) d)
Tenemos que calcular los límites laterales.
.
Ejercicio nº 4.- (1 4.- (1 punto)
Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad (evitable, infinita ...): f x
x 3 x 2 5 x 3 x 2 1
SOLUCIÓN Ésta función tendrá algún punto de discontinuidad si hay algún punto que anule el denominador. Por lo tanto, para buscar los posibles puntos de discontinuidad igualamos el denominador a 0 y resolvemos la sencilla ecuación de segundo grado que resulta. Las soluciones a esta ecuación, luego los puntos donde vamos a encontrar una discontinuidad son y . Tenemos que estudiar los límites en ambos puntos.
*+ Tenemos que estudiar los límites laterales:
Tenemos una discontinuidad inevitable de salto infinito.
Pero
Así
, luego tenemos una discontinuidad evitable.
es continua en
.
Ejercicio nº5.- (1 nº5.- (1 punto)
Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua: ax 2 3 x 1 si f x x si 3a 2
x 1 x 1
SOLUCIÓN
⇒⇒
La función es continua tanto en su primera parte como en la segunda, por ser polinomios, sea cual sea el valor de a. El problema puede existir en . Para que sea continua se tiene que cumplir que: Vamos pues a hacer que esta cadena de igualdades se cumpla para calcular el valor de a:
Así, la función es continua si
.
Ejercicio nº 6.- (1 6.- (1 punto)
Dada la función:
{
i)
Estudiar su continuidad y su derivabilidad.
ii)
Calcular su derivada en x=2, aplicando la definición de derivada.
SOLUCIÓN i.
Continuidad Tenemos que estudiar la continuidad en la punto donde pasamos de la primera parte de la función a la segunda, pero al tener un denominador, también debemos ver si el denominador se anula en alguno de los puntos que toma la función. Para esto segundo igualamos el denominador a cero y vemos que se anula en , que efectivamente sería un valor que debería tomar la función. Luego ya sabemos que la función no es continua (tampoco derivable entonces), en el Veamos ahora que sucede con aplicando la definición de continuidad en un punto.
⇒ } *++
*+
Así,
es continua en
Derivabilidad
.
Como es no es continua en , tampoco es derivable en ese punto. En el resto de puntos sabemos que es derivable por ser las funciones polinomios, excepto en el , donde debemos usar la definición de derivada en un punto para ver si es derivable. Derivada cuando nos acercamos a
por la izquierda:
Derivada cuando nos acercamos a
por la derecha:
Como la definición de derivada no coincide por la izquierda y por la derecha, la función no es derivable en . Luego es derivable en . ii.
Calcular su derivada en x=2, aplicando la definición de derivada.
Aplicamos la definición de derivada para el valor de
.
Luego
.
Ejercicio nº 7.- (4 7.- (4 puntos)
Calcula las siguientes derivadas y simplifica lo máximo posible: a)
c) e) g)
b) d) f) h)
√
√ √
SOLUCIÓN a)
Antes de derivar aplicamos las propiedades de los logaritmos para que la derivada resulte mas sencilla:
Tenemos que aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada. Tenemos que tener en cuenta que el 3, al ser un número, su derivada es 0, luego no hace falta que apliquemos la regla del producto.
b)
( )
√
Primero escribimos la raíz como exponencial:
√ Tenemos que aplicar la regla del producto y la de la cadena:
√ √ √ √ c)
√ √
Tenemos que aplicar la regla del cociente y la de la cadena:
d)
√
Antes de derivar aplicamos las propiedades de los logaritmos para que la derivada resulte mas sencilla. Además escribimos la raíz como potencia:
( ) ( ) √ =
Tenemos que aplicar la regla de la cadena:
e)
Tenemos que aplicar la regla de la cadena:
f)
√
Primero escribimos la potencia en el numerador y la raíz como una potencia:
Tenemos que aplicar la regla de la cadena:
g)
Tenemos que aplicar la regla del cociente y la de la cadena:
h)
Tenemos que aplicar la regla la de la cadena:
