LIMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES VECTORIALES Los conceptos de limite y continuidad son completamente análogos a los que hemos introducido en el tema anterior asi la empleamos la notación
Para indicar los valores vectoriales de la función se aproximan a
cuando el punto
tiende a
, cualquiera que sea la trayectoria de aproximación. Es decir, podemos hacer que los valores se a proximen a próximo a ocurrir que
tanto como se quiera tomando el punto
con la única restricción que
También es cierto que si
Si
=
deberá
, la longitud del vector
a medida que se aproxima a de una función vectorial
suficientemente
tiende a cero
. Cualquiera de estas condiciones sirve para definir el limite
DEFINICION ( LIMITE DE UNA FUNCION VECTORIAL) Dada
una función vectorial definida en
Un punto de la adherencia del mismo, definimos
Siempre que existan los limites de todas las funciones componentes. EJEMPLO ( LIMITE DE UNA FUNCION VECTORIAL Dada la función vectorial
determine su dominio de
definición D y calcule a continuación el limite de la misma en un punto Si llamamos
cualquiera de D
al dominio de cada una de las componentes de la función vectorial tenemos En el caso que nos ocupa :
Calculemos el limite en el punto
TEOREMA 4.1 Sea
:
una función vectorial definida en el dominio real
y
Un punto de acumulación del mismo, se cumple entonces que
DEMOSTRACION Para demostrar la condición necesaria partimos de la definición original del limite, es decir
Ahora bien, la norma de un vectores un escalar y variables
es una función real escalar de las
; por las propiedades de las funciones escalares tenemos
De manera que podemos calcular primero el limite de la norma al cuadrado para extraer después la raíz. Se verifica entonces
Y como
Con lo cual
Se trata ahora de probar que
resulta que
Es condición suficiente para que se cumpla la definición de limite
Ahora bien, teniendo en cuenta la condición inicial resulta que
Y para que la suma de cuadrados sea nula todos y cada uno de los sumandos deben ser cero. Asi
De donde se deduce que
TEOREMA ( PROPIEDADES ARITMETICAS DE LOS LIMITES) Sean
dos funciones vectoriales y una función escalar definidas en
. si
,
se cumple que:
DEMOSTRACION La demostración de estas propiedades no presenta dificultad alguna si se parte de la definición de limite como limite de las funciones componente. Nos limitaremos a dar la demostración de la primera de ellas, dejando las demás como problemas o ejercicios para el lector, teniendo en cuenta las definiciones de función suma y de limite podemos escribir
El estudio del limite cuando
se aproxima
nos permite explorar el comportamiento de la
función en una vecindad de
, tan pequeña como se quiera, pero que excluye el punto central
y por tanto nada nos dice sobre el valor de la función en dicho punto. La relación entre el limite de una función y el valor de la misma en el punto
es la base de la idea de continuidad.
DEFINICION (CONTINUIDAD DE UNA FUNCION VECTORIAL) Una función vectorial cumple que
definida en el dominio real
es continua en
Por extensión se dice que una función vectorial es continua en su dominio todos los puntos del mismo
si se
si es continua en
Resulta conveniente realizar algunos comentarios que permitan comprender mejor la definición precedente: De la definición deducimos inmediatamente que una función vectorial es continua si y solo si todas sus componentes son funciones escalares continuas, es decir,
La condición de continuidad puede expresarse como
Por lo tanto si una función
es continua en su dominio de definición ( o en su subconjunto del
mismo ) podemos situar los extremos de los vectores quiera pemitiendo que
se aproxime suficientemente a
tan próximos como se
Observese también que la definición de continuidad que hemos introducido involucra no solo al dominio de la función, sino también a su frontera. Si la función no esta definida en un punto de la frontera decimos que pose una discontinuidad en dicho punto. EJEMPLO DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCION VECTORIAL Estudie la continuidad de la función vectorial
Definida en
¿puede extenderse la definición
de manera que sea continua en todo La continuidad de componentes
.
en su dominio
resulta evidente a partir de la definición de sus
es continua en todos los puntos del plano con
lo es siempre que
.
Para poder redefinir la función de manera que sea continua en todo limite de
en los puntos de la forma
y el de
En el primer caso efectuamos el siguiente cambio lim
lim
mientras que
asi
Y efectuando un desarrollo en serie del numerador, resulta
Por lo que podemos escribir
Procediendo de manera similar encontramos que
es necesario que exista el en puntos como
de manera que
Con lo cual debemos definir
para que
este definida y sea continua en Las propiedades de los limites enumeradas en el teorema 4.2 conducen de forma inmediata a que las funciones con valores vectoriales continuas satisfacen las siguientes propiedades. TEOREMA (PROPIEDADESDE LAS FUNCIONES CONTINUAS) sean
dos
funciones vectoriales y una función escalar definifas en el dominio continuas en
Son continuas en
. Si las tres funciones son
se verifica que
.
INTEGRALES DE FUNCIONES VECORIALES La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de derivada de una función vectorial Definición de la integral de una función vectorial
La integral indefinida de una función vectorial r (t) es una familia de funciones vectoriales (las primitivas de r) que difieren unas de otras en un vector constante C. Por ejemplo, si r (t) es una función vectorial tridimensional, entonces al hallar su integral indefinida obtenemos tres constantes de integración
CÁLCULO DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL 2
EJEMPLO1:Hallar la integral indefinida siguiente:
(ti 3 j )dt t i 3tj C 2
r (t ) (ti 3 j)dt
EJEMPLO 2: Calcular la integral definida de la siguiente función vectorial:
1
0
r t dt (3 t i 1
0
1 j e t 1
t
k )dt
3 4 t t 3 i ln t 1 j e k 4
3 1 i (ln 2) j 1 k 4 e CÁLCULO DE LA PRIMITIVA PARTICULAR DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Tal como ocurría para funciones con valores reales, podemos aislar una sola primitiva de entre la familia de funciones vectoriales que constituye la integral indefinida de una función vectorial r´, sin más que imponer una condición inicial, como se ilustra en el ejemplo siguiente: EJEMPLO 3: Hallar la primitiva de la siguiente función vectorial
r t cos 2ti 2sentj
1 1 t
2
Que satisface la condición inicial Solución:
r t r t dt
k
r 0 3i 2 j k
TOPOLOGIA EN n
2
X ( x1, x2 ,...xn ) : xi
con las operaciones +( suma)
y . (producto por escalar)
Es un espacio vectorial sobre La norma euclidiana de un vector X
2
se define por
X ( x1 ,...xn x12 ..... xn 2 Recuerde que las propiedades de una norma en un espacio vectorial Un resultado importante son las desigualdades:
xk x para cada componente xk del vector X A partir de la norma se define la nocion de distancia entre dos puntos
X ( x1 ,....xn ) e Y ( y1 ,..., yn ) de
2
por
d ( X , Y ) X Y ( x1 y1 )2 ... ( xn yn ) 2
En
n
se tiene también un producto interior definido por n
X , Y x1 y1 ... xn yn xk yk k 1
Y para lo cual se tiene X
X , X o bien X , X X
También es valida la desigualdad de schwarz En
2
y
3
2
X ,Y X Y .
: X , Y X Y cos , donde es el angulo 180 formado por los dos
vectores, lo que implica que
X ,Y 0 X Y BOLA ABIERTA, PUNTO INTERIOR Y CONJUNTO ABIERTO Vecindad abierta de un punto en n
Sea X 0 un punto de
n
¿Cuáles son todos los puntos vecinos de el? ( los que están mas próximos
, los que lo rodean) DEFINICION .- se llama bola abierta de centro X 0 y radio r 0 al conjunto
B X 0 , r X
n
: d X , X 0
X
n
: X X 0 r
Cuanto mas pequeño es el r 0 , el conjunto contiene a los puntos mas próximos de X 0 En
2
y
3
este conjunto es respectivamente, un circulo y una esfera abierta de centro X 0 y radio
r. Definición 2 seam A
n
y X 0 A . Se dice que X 0 es un punto interior de A cuando r 0
tal que B( X 0 , r ) A Por ejemplo, para el conjunto A ( x, y) : x 0, y 0 el punto (1, 2) es un punto exterior y el punto (0, 2) no es un punto interior. Para el conjunto C ( x, y) : x 0, y 0 , todos sus puntos son interiores. Definición 3 un conjunto A es abierto cuando todos sus puntos son interiores
Definicion 4 con A
n
, A X : X es un punto interior de A se llama interior de A
Es claro que: A A , A es un conjunto abierto y A es el mayor conjunto abierto contenido en A Una bola abierta es un conjunto abierto PUNTO DE ACUMULACION Definición 5 sean A
n
y X0
n
( es posible que X 0 A ) se dice que X 0 es un punto de
acumulación de A cuando
r 0 : B( X 0 , r ) X 0 A Por ejemplo, para el conjunto C ( x, y) : x 0, y 0 , (cual es abierto) los puntos (1, 2) y
0, 2 son de acumulación. Uno pertenece al conjunto y el otro no. Un ejercicio interesante es mostrar que, siendo X 0 un punto de acumulación de A es posible
1 . Es n decir, los puntos X n se acercan al punto X 0 , o equivalentemente, la sucesión de puntos de A encontrar una sucesión X 1 , X 2 ,..., X n ,... de puntos (distintos) de A , tal que d ( X n , X 0 )
converge al punto X 0 . Se define el conjunto
1 Nociones de Topología en Rn. 2
Rn = {X = (x1 , x2, ..., xn) : xi ∈ R} con las operaciones + (suma) y · (pro- ducto por escalar) es un espacio vectorial sobre R. 1. La norma euclidiana de un vector X ∈ Rn se define por
X = (x1 , ..., xn) =
x2 + ... + x2 1
n
Recuerde las propiedades de una norma en un espacio vectorial. Un resultado importante son las desigualdades: |xk | ≤ X para cada componente xk del vector X
2. A partir de la norma se define la noción de distancia entre dos puntos X = (x1, ..., xn) e Y = (y1, ..., yn) de Rn por d(X, Y ) = X − Y = (x1 − y1)2 + ... + (xn − yn)2
3. En Rn se tiene también un producto interior definido por
n X, Y = x1y1 + ... + xnyn =
xk yk k=1
y para el cual se tiene: X = X, X o bien X, X = X 2 . También es válida la desigualdad de Schwarz: | X, Y | ≤ X Y . En R2 y R3 : X, Y = X Y cos θ , donde θ es el ángulo (≤ 180◦) formado por los dos vectores, lo que implica que X, Y = 0 ⇔ X ⊥ Y
1.1 Bola abierta, punto interior y conjunto abierto.
Vecindad abierta de un punto en Rn.-
Sea X0 un punto de Rn.¿Cuáles son todos los puntos vecinos de él? (los que están más próximos, los que lo rodean)
Definición 1 Se llama bola abierta de centro X0 y radio r > 0 al conjunto B(X0, r) = {X ∈ Rn : d(X, X0) < r} = {X ∈ Rn : X − X0 < rHéctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.
2
Cuanto más pequeño es el r > 0, el conjunto contiene a los puntos más próximos de X0 . En R2 y R3 este conjunto es, respectivamente, un círculo y una esfera (abierta) de centro X0 y radio r.
Definición 2 Sean A ⊂ Rn y X0 ∈ A. Se dice que X0 es un punto interior de A cuando: ∃r > 0 tal que B(X0, r) ⊂ A.
Por ejemplo, para el conjunto A = ,(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0- el punto (1, 2) es un punto interior y el punto (0, 2) no es un punto interior. Para el conjunto C = {(x, y) : x > 0, y > 0}, todos sus puntos son interiores.
Definición 3 Un conjunto A es abierto cuando todos sus puntos son inte- riores.
Definición 4 Con A ⊂ Rn, A = {X : X es punto interior de A} se llama el interior de A.
◦
◦
Es claro que:
◦
A ⊂ A, A es un conjunto abierto y A es el mayor conjunto abierto contenido en A. Una bola abierta es un conjunto abierto.
1.2 Punto de acumulación. Definición 5 Sean A ⊂ Rn y X0 ∈ Rn (es posible que X0 ∈/ A). Se dice que X0 es un punto de acumulación de A cuando
∀r > 0 : *B(X0, r) − ,X0-+ ∩ A = φ
Por ejemplo, para el conjunto C = {(x, y) : x > 0, y > 0}, (el cual es abierto) los puntos (1, 2) y (0, 2) son de acumulación. Uno pertenece al conjunto y el otro no. Un ejercicio interesante es mostrar que, siendo X0 un punto de acumu- lación de A, es posible encontrar una sucesión X1, X2, ..., Xn, ... de puntos (distintos) de A tal que d(Xn, X0) < 1 . Es decir, los puntos Xn se acercan al punto X0 , o equivalentemente, la sucesión de puntos de A converge al punto X0. Se define el conjunto A′ = ,X ∈ Rn : X es punto de acumulación de A} . Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.
3
1.3 Conjunto cerrado, clausura, punto frontera. Definición 6 Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado cuando F C es abierto.
Por ejemplo, B¯(X0 , r) = {X ∈ Rn : X − X0 ≤ r-, llamado bola ce- rrada de centro X0 y radio r (positivo), es un conjunto cerrado.
Teorema 7 F es cerrado⇔ F contiene todos sus puntos de acumulación.
Definición 8 Se llama clausura de F al conjunto F¯ = F ∪ F ′ (F junto con todos sus puntos de acumulación)
Es obvio que: F ⊂ F¯ y, según el Teorema, F es cerrado⇔ F¯ = F. Además, F¯ es el menor cerrado que contiene a F. Un punto X ∈ F¯ se llama punto de clausura o punto de adherencia de F.
Definición 9 Sean A ⊂ Rn y X0 ∈ Rn. Se dice que X0 es un punto frontera de A cuando:
∀r > 0 : B(X0, r) ∩ A = φ ∧ B(X0 , r) ∩ AC = φ
X0 es punto frontera de A cuando pertenece a la clausura de A y a la clausura de su complemento.
1.4 Conjunto compacto. Definición 10 Un conjunto K ⊂ Rn es acotado cuando ∃r > 0 tal que K ⊂ B(θ, r).
Definición 11 Un conjunto K ⊂ Rn es compacto cuando es cerrado y es acotado.
Por ejemplo, una bola cerrada es un conjunto compacto; mientras que el conjunto A = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0- no es compacto, porque (aunque es cerrado) no es acotado.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.
4
