INDICE Introducción……………………………………………………….. Unidad 4 4.1 Definición de sucesión………………………………………………… sucesión ………………………………………………… 4.2 Definición de serie……………………………………………………… serie……………………………………………………… 4.2.1 Finita…………………………………………………………............... Finita…………………………………………………………............... 4.2.2 Infinita………………………………………………………………….. Infinita………………………………………………………………….. 4.3 Serie numérica y convergencia. Criterio de la razón. Criterio de la raíz. Criterio de la integral………………………………………….. integral ………………………………………….. 4.4 Series de potencias……………………………………………………. potencias ……………………………………………………. 4.5 Radio de convergencia………………………………………………... convergencia ………………………………………………... 4.6 Serie de Taylor ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. 4.7 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. 4.8 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. Conclusión…………………………………………………………………… Bibliografías………………………………………………………………….
INTRODUCCION En esta unidad podremos aprender sobre la sucesión y series del cálculo integral sus diferentes aplicaciones de función respectivamente.
Las series tienen unas características fundamentales con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis. Lo interesante de las sucesiones es que se observan los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera. Para ello se debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesión de diversas entidades matemáticas.
4.1 Definición de s ucesión. uces ión. Una sucesión infinita, o simplemente sucesión, es una función cuyo dominio está constituido por el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido, que es un subconjunto de los números reales, se expresa en un listado como sigue: Como variable independiente se acostumbra usar la letra "n" para indicar que, a diferencia de las funciones cuyos dominios son denotados con las últimas letras del abecedario y que consideran valores reales, en las sucesiones el dominio son los números naturales. Al enésimo término de la Sucesión f(n) también se le identifica con a(n), con o bien con { }.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
GRAFICA DE UNA SUCESIÓN El grafico de una sucesión se puede obtener marcando los puntos {1, 2, 3, 5, … … … …} sobre una recta o bien marcando los puntos ( , ) en el plano cartesiano.
4.2 Definici Defini ción ón de s erie. Una serie es la generalización de la noción de suma aplicada a los términos de una sucesión matemática. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: Lo que suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un paso al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente. Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran
cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o noconvergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.
Tipos Tipos de s eries eries Sumas parciales Para cualquier sucesión matemática { } de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:
La sucesión de sumas parciales { } asociada a una sucesión { } está definida para cada k como como la suma de la sucesión { } desde 1 hasta
Convergencia Por definición, la serie
sumas parciales
∑= converge al límite L si y sólo si la sucesión de asociada converge a L. Esta definición suele escribirse como:
4.2.1 Finita Fi nita.. Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 2, 4, 8, 16, 32, 64,.... 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 3, 6, 10, 12, 14, 20 Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita. 0 para todo
i > n y 0 para todo i > m. En este caso el producto de
Cauchy de Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series. 0 para todo
i > n y 0 para todo i > m.
En este caso el producto de Cauchy de
y
se verifica es
Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.
Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1. La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.
4.2.2 Infinita Infi nita.. Es un arreglo ordenado de números reales, uno para cada entero positivo. Más formal mente una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante 1 , 2 , 3 ...., simplemente por { }. Se puede especificar una sucesión dando suficientes términos iniciales para establecer un patrón como en 1, 4, 7, 10, 13.... Mediante una formula explicita para el n-énesimo termino, como en
= 3n-2, n ≥ 1 Para
alguna
,
sea
y
.
Entonces
por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente,
y
, se ha demostrado que . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series, se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo
4.3 Serie numérica y convergencia. Criterio de la razón. C ri teri teri o de de la la raíz. C rite ri teri ri o de la integ ra. ¿Para que valores de la serie es convergente? Al aplicar la regla de comparación. comparación. Si denota con como se acostumbra, el nésimo término de la serie, después . Si . comparación, la serie es divergente cuando . En estos términos, la serie dada converge cuando
Según
la
regla
de
Por la prueba de la razón, la serie original es absolutamente convergente; por lo tanto, converge cuando y diverge cuando Ahora bien y converge cuando
y diverge cuando
La prueba de la razón no proporciona información para el caso debemos de considerar por separado cuando y . Con
asi que la serie, esta se
transforma en , una serie armonica divergente. Si la serie es que converge de acuerdo con la prueba de la serie alternante.
,
C rite ri teri ri o de de D'A lembe lembert rt
Sea una serie
, tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe con , el Criterio de D'Alembert establece que: si L < 1, la serie converge. si L > 1, entonces la serie diverge. si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
C riterio de C auchy
Sea una serie que existe
, al que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos , siendo
Entonces, si: L < 1, la serie es convergente. L > 1 entonces la serie es divergente. L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
4.4 S eries de pot potencias. encias . Una serie de potencias es aquella que tiene la forma:
En donde “x” “x” es una variable y los son constantes, llamadas llamadas “constantes de la serie” y cada “x”, fija, la serie (1) es una serie de constantes que podemos probar para ver si es convergente. Una serie de potencias puede converger ante ciertos valores de “x” y divergir de otros. La suma de la serie de una función:
Cuyo dominio es el conjunto de todas las para las cuales la la serie es convergente. Observe que es parecida a un polinomio. La única diferencia es que tiene una cantidad infinita de términos. Se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a o serie de potencia alrededor de a. Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
En el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión.
4.5 R adio de converg enci encia a. En
matemáticas,
según
el
teorema
convergencia de una serie de la forma dado por la expresión:
de
Cauchy-Hadamard, con
el
radio
de
viene
Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | − | < r , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x
pertenecientes al intervalo ( − , + ), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para , 0. Si lo hace para cualquier valor de , ∞
4.6 S erie de Taylo Taylor. r. Una serie de potencias de x convergente se adapta bien al propósito de calcular el valor de la función que representa para valores pequeños de x (próximos a cero).Ahora deduciremos un desarrollo de potencias de x-a, siendo a un número fijo. La serie que así se obtiene se adapta al objeto de calcular la función que representa para valores de x cercanos a a. La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tengan la serie más exacto será el resultado que se está buscando.
Si f es una función tal que . Para todo x en un intervalo abierto que contiene a c, entonces y
existe para
Por lo tanto,
Usando la conversión
la serie de Tylor en lo anterior se puede escribir
con la notación de sumatoria como sigue: El caso especial cuando
se llama Serie de Maclaurin de f(x).
4.7 R epres enta entación ci ón de funciones func iones mediant mediante e la la s erie de Taylor. Taylor.
Sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua).
Puedes observar el comportamiento de aproximación usando algún polinomio de Taylor por . El valor en x = π en cada función se despliegan al lado derecho.
4.8 Calculo de integrales de funciones expresadas como s eri er i e de Taylor. Taylor . Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes. El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a. Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor: f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n, el segundo miembro de esta f órmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas. Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más rápidamente que (x-a)n. Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n. Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad. Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo miembro un término más, llamado resto: f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)(c)(x-a)n+1
El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x. La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia. Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y por ello
pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisión deseada. La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista práctico. La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teoría de la aproximación de funciones.
CONCLUSION Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, matemática es la serie geométrica + 2 + 3 + 4 + ⋯ donde “…” indica que la serie continúa indefinidamente. Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros términos. Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros términos:
BIBLIOGRAFIAS http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S ERIES_I.pdf http://www.bdigital.unal.edu.co/11730/1/bernardoacevedofrias.20143.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica http://calculointegralunidad4.blogspot.mx/ http://garciasanchezj.blogspot.mx/2011/05/46-representacion-de-funcionesmediante.html https://docs.google.com/document/d/1FP_PsxJ3SQws8aHDCFUiVQw0GiFoC2P-I4EHaB0shQ/edit
