CALCULO VECTORIAL Unidad 5 Integración
Fecha 28/MAYO/2011
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INDICE
5.1.- introducción 5.2.- Integral de línea 5.3- Integrales interadas dobles y triples 5.4.-aplicaciónes a áreas y solución de problemas 5.5- integral doble en coordenadas polares 5.6.- coordenadas cilíndricas y esféricas 5.7 aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esfericas
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La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x. La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
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Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva. El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales. Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos. Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:
que tiene su paralelismo en la integral de línea
que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.
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La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar. En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser: • •
•
El cálculo de la longitud de una curva en el espacio; El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva; Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo. Una función vectorial definida en ,
integral
de
diferenciable y acotada en la parametrización de una trayectoria en línea de F sobre a la
; . Se llama integral:
Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así: Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:
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Trabajando Integrales de Línea
A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con éxito nuestro cálculo: Primero debemos parametrizar la curva sobre la cual estamos trabajando: Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrización en dicha función. E integramos:
Luego sustituimos dS por: Teniendo así lo siguiente:
Ejercicio 1 •
Evaluar la integral de línea del campo vectorial sobre la trayectoria de una hélice
Solución: Se resuelve la integral de acuerdo a la definición
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Ejercicio 2
Ejercicio 3
Un hombre de 160 libras lleva una cubeta de pintura de 25 libras a lo alto de un tanque a través de una escalera helicoidal. La escalera tiene 20 pies de radio. Al alcanzar la altura máxima de 90 pies del tanque la escalera ha dado tres vueltas completas. Calcule el trabajo realizado para llevar la cubeta hasta lo más alto del tanque. 'Solución' Sabemos que al dar tres vueltas completas llegaremos a alcanzar 90 pies. De esto establecemos una relación y encontramos que 6πz=90t, por lo tanto z=15/πt. También conocemos la fuerza que va en dirección de z y son 185 lb. Con esto encontramos nuestras ecuaciones:
Con esto podemos evaluar nuestra integral de línea haciendo variar t desde 0 hasta 6π
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Integrales iteradas triples. Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de R3: R = [a, b] × [c, d] × [e, h] = {(x, y, z) 2 R3: a ≤ x ≤ b, c ≤y ≤ d, e ≤z ≤h} Donde a < b, c < d, e < h son números reales fijos. Sean: D1 _ [a, b] × [c, d] 7! [e, h] dos funciones continuas tales que ≤(x, y) ≤ (x, y) para todo (x, y) 2 D1, donde D1 es un dominio simple (respecto de x o respecto de y) en el rectángulo [a, b] × [c, d] del plano x, y. pág. 8
Hágase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenadas x, y, z: el dominio D1 está en el plano “horizontal” z = 0 y proyectándose sobre ´el, en el espacio, están las gráficas de las funciones ≤(x, y) y (x, y). Consideremos el dominio D (tridimensional) contenido en el prisma rectangular R = [a, b] ×[c, d] × [e, h] definido como: D = {(x, y) 2 D1, ≤(x, y) ≤ z ≤ (x, y)} (1) En el dibujo realizado antes D es el sólido comprendido entre las gráficas de las funciones ≤ y , que se proyecta verticalmente sobre el dominio plano D1 del plano x, y. Para cada (x, y) fijos en el dominio plano D1, el segmento (bastón ) vertical _(x, y) ≤ z ≤ (x, y) está contenido en el sólido D. Al mover el punto (x, y) 2 D1, este bastón vertical “barre” el sólido D. Definición El dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simple Respecto de x, y, si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de x; y se llama Dominio (tridimensional) simple respecto de y, x si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es Simple respecto de y. El análisis del solido D a continuación debe seguirse con figuras tridimensionales, como la Explicada antes de la definición 3.1.1: Consideremos primero el dominio (bidimensional) simple D1, simple respecto de x. Entonces, Por la definición 3.1.1, el dominio D (tridimensional) definido en (1) es simple respecto a x, y Adquiere la forma siguiente: D = {a _ x _ b, _(x) _ y _ μ(x), _(x, y) _ z _ (x, y)} (1b) Se puede mirar a D de la forma que describimos más abajo, en vez de verlo como generado por Bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1, que recorren D cuando (x, y) se mueve en D1. Para Cada x = x0 2 [a, b] fijo, la intersección del solido D con el plano vertical x = x0 (este plano es Perpendicular al eje de las x) es un dominio plano, “tajada o feta” del solido D al cortarlo con un Plano vertical, que tiene por ecuación: D \ {x = x0} = {(y, z) : _(x0) _ y _ μ(x0), _(x0, y) _ z _ (x0, y)} (1c)
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Aplicaciones a áreas y solución de problema Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico. Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido. Resolución de problemas de suma de vectores Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.
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Calcular: ¿Cuál es la diferencia total que recorren? ¿Cuál es su desplazamiento? Solución: Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias: Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo de 37º en dirección noroeste.
Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos. Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene pág. 11
un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición. En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores a x y a y así formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo (90º). Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. Un ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector. Solución por método grafico Para encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de intersección del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedara el extremo del vector componente Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo: Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N. Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N. Solución por método analítico Calculo de Fy: Sen 30º = cateto opuesto = Fy Hipotenusa F Despejemos Fy: Fy = F sen 30º = 40N x 0.5 = 20N Calculo de Fx: Cos 30º = cateto adyacente = Fx Hipotenusa F Despejemos Fx: Fx = F cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión
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5.5 integral polares Si deseamos integrar
doble
en
coordenadas
función definida dentro de una región , generalmente lo
haríamos evaluando la integral doble sobre la región de integración que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej. círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definición de su región de integración se vuelve algo complicada. Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares. Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares
Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región definida como El diferencial de área
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se definiría como
está
Y la integral quedaría como
Teorema
Si
es continúa en un rectángulo entonces,
dado por
, donde
Algunas Integrales dobles son mucho más fáciles de calcular en forma polar que en forma Rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardiode o de pétalo de curva Rosa, e integrando donde aparezca
Ejercicio 1
Recordatorio
Evaluar:
•
Donde R es la región del semi-plano superior limitado por los círculos
Y
.
Ejercicio 2 •
Determinar el volumen del sólido acotado por el plano
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y el paraboloide
Resolviendo:
Después de Integrar:
Ejemplo # 3
Calcular el volumen de un sólido que está debajo del paraboloide encima del plano y dentro del cilindro
Complementando al cuadrado:
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, .
Ahora procedemos a integrar:
5.6 coordenadas cilíndricas y esféricas Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones. Representar gráficamente las coordenadas cilíndricas. L a representación de coordenadas cilíndricas de un punto (r, , z), donde r y son las coordenadas polares de la proyección de P en plano polar y z es la distancia dirigida desde el plano hasta P.
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Escribir las formulas para transformar las coordenadas rectangulares a cilíndricas y de cilíndricas a rectangulares y hacer un ejemplo de cada uno. x = rCos , y = rSen , z = z. r2 = x2 + y2, tan = x/y, z = z.
Ejercicio 1. Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se ha expresado en coordenadas cilíndricas, e identifique la superficie: r = 6Sen. r = 6Sen. (r) r2 = 6rSen. x2 + y2 = 6y. x2 + (y - 3)2 = 9. Es un cilindro circular recto, cuya sección transversal en el plano x,y es la circunferencia con centro (0, 3) y radio 3.
Ejercicio 2. Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie cuya ecuación se ha dado en coordenadas cartesianas, e identifique la superficie: x2 - y2 = z. x2 - y2 = z. r2Cos2 - r2Sen2 = z. Cos2 - Sen2 = Cos2. r2Cos2 = z. La grafica es un paraboloide elíptico. Mencionar y explicar los casos de coordenadas cilíndricas, representarlo gráficamente cada uno de ellos y hacer un ejemplo de cada caso.
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Definir el sistema de coordenadas esféricas. Se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. Representar gráficamente las coordenadas esféricas. La representación en coordenadas esféricas de un punto P es (, , ), donde = |OP|, es la medida en radianes del ángulo polar de la proyección de P en el plano polar y es la medida en radianes no negativa del ángulo menor medido desde la parte positiva del eje z a la recta OP.
.
5.7 Aplicación de la integral triple coordenadas cilíndricas y esféricas INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS
En este sistema de coordenadas, el sólido más simple es un bloque cilíndrico. Para obtener la expresión en coordenadas cilíndricas de una integrar triple, supongamos que Q es una región sólida cuya proyección R sobre el plano x,y puede describirse en coordenadas polares. Esto es . pág. 18
Q = ( x,y,z ) : ( x,y ) está en R.h 1 ( x,y ) < z ( h2 ( x,y ) R = ( r, Q) 0, = < 0 < 02 g, ( 0 ) < R < G2 ( 0) S I f es una función continua sobre el sólido Q, podemos escribir la integrar triple de f sobre Q como. /// f ( x,y,z ) d V = / R / [ / h2 ( x,y) f ( x,y,z ) d Z ] d A h2 ( x,y ) Donde la integrar doble sobre R se calcula en polares. Es decir , R es una región plana r – simple o 0 –simple. Si R es r – simple, la forma iterada de la integrar triple en forma cilíndrica es. /// f ( x,y,z ) d V / 02 / 02 ( 0) / h2 ( r cos 0, r sen ( 0) f ( r cos 0 , r sen 0, z ) r d z d z dr d0 Q 02 g 2 ( 0) h 1 ( r cos, 0, r sen, ( 0) ejercicio: CALCULO DE LA MASA EN COORDENADAS CILINDRICAS Hallar la masa de la porción del sólido elipsoidal Q dado por 4×2 + 4×2 + z2 = 16, que está por encima del plano x,y, supuesto que la densidad en un punto del sólido es proporcional a su distancia al plano x,y. SOLUCION : La función densidad es p ( r, 0,z ) = k z. Los límites para z son
16 – 4×2 – 4y2 = 16 – 4 r2 = 2 4 – r2
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS
Las integrales triples que involucran esferas o conos sueles ser más fáciles de calcular en coordenadas esféricas. Recordemos ( sección 10.7 ) que las ecuaciones de conversión de coordenadas rectangulares a esféricas son X = p sen 0 cos 0
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Y = p sen 0 sen 0 Z = p cos 0 En este sistema de coordenadas, la región más simple es un bloque esférico determinado por ( p, 0, 0 ) : p1 < p2 01 < 0 <02 01 <0<02) Donde p1 > 0,02 – 01 < 2 pi, y 0 < 01 < 02 < pi. Si ( p, 0,q, ) es un punto interior del bloque, el volumen del bloque se puede aproximarse por AV = p2 sen Ap AQ A0
Por el proceso habitual de tomar una partición interior, sumar y pasar al límite se llega a la siguiente versión de una integrar triple en coordenadas esféricas para una función continua f definida sobre el sólido Q. Calcular el volumen de la región sólida Q acotada por abajo por la hoja superior del cono z2 = x2 + y2 y por arriba por la esfera x2 + y2 +z2 = 9
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