TECNOLÓGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE METALMECANICA ENERO- JUNIO 2017. CARRERA: INGENIERÍA AERONAUTICA TRABAJO PARA QUE PRESENTA: PRESENTA: Cl!"l C#$%& C'#()*(& A#*+#% 1,2100, PARA ACREDITAR LA MATERIA DE CLCULO /ECTORIAL
EJERCICIO 1 1.Las siguientes cantidades son vectores o escalares? Explique. (a) el costo de un boleto de teatro (b) la corriente de un río (c) la trayectoria de vuelo inicial de Houston a Dallas (d) la población del mundo Los incisos (a) y (d) corresponden a cantidades escalares puesto que carecen de dirección y sentido, son solo magnitudes. Mientras tanto, los incisos (c) y (b) son cantidades vectoriales, ya que cumple con todas las características de un vector; tiene magnitud, dirección y sentido. 2. Cual es la relación entre el punto (! "# $ el vector %!"&? Ilustre con un 'osqueo. i el punto de inicio del vector !",#$ esta locali%ado en el origen, entonces !",#$ es el vector de posicion del punto (",#).
). *o+'re los vectores iguales en el paralelogra+o +ostrado.
EJERCICIO 1 1.Las siguientes cantidades son vectores o escalares? Explique. (a) el costo de un boleto de teatro (b) la corriente de un río (c) la trayectoria de vuelo inicial de Houston a Dallas (d) la población del mundo Los incisos (a) y (d) corresponden a cantidades escalares puesto que carecen de dirección y sentido, son solo magnitudes. Mientras tanto, los incisos (c) y (b) son cantidades vectoriales, ya que cumple con todas las características de un vector; tiene magnitud, dirección y sentido. 2. Cual es la relación entre el punto (! "# $ el vector %!"&? Ilustre con un 'osqueo. i el punto de inicio del vector !",#$ esta locali%ado en el origen, entonces !",#$ es el vector de posicion del punto (",#).
). *o+'re los vectores iguales en el paralelogra+o +ostrado.
. Escri'e cada co+'inación de vectores co+o un solo vector. ,. Copie los vectores de la -igura $ e+plelos para di'uar los siguientes vectores.
(a) u'v
u v
(b) uv
u
v
(c) v'&
v
(d) &'v'u
&
&
u v
/. Copie los vectores de la -igura $ util0celos para di'uar los siguientes vectores
(a) a'b
(b) ab
(c) a
(d) * + b
(e) a'b
() b-a
-. Halle un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector dado.
. -i ' #/
√ (−3 ) +( 7 ) 0 √ 9 +49 0 √ 58 0 #.1 2
1
2
−3
(-i '#/) 0
7.61
i'
7.61
7 7.61
/
. !",,"$
√ (−4 ) +( 2) +( 4 ) 0 √ 16 +4 +16 0 √ 36 0 1 2
1 6
2
2
−4
!",,"$ 0
6
i'
2 6
/ '
4 6
20
−4 6
i'
1 3
/ '
4 6
2
-. 3i ' / ' "2
√ (8 ) +(1 ) +( 4 ) 0 √ 64 + 1 +16 0 √ 81 0 4 2
8
0
9
2
i
1 9
2
4
/ '
9
2
". Determine un vector que tenga la misma dirección que !,",$ pero tiene una longitud de 1. 1 6
−2
! i, "/, 2 $ 0
6
i'
4 6
/ '
2 6
20
−1 3
i'
4 6
/ '
5. i v se encuentra en el primer cuadrante y orma un 6ngulo positivo y 8 v 8 0 ", determine v en orma de componentes. 9ateto adyacente (7) C . adyacente Hipotenusa
cos θ=¿
9.a. 0 cos : (Hip.) π (") 0 9.a. 0 9os 3
9ateto opuesto (y) sen
θ=¿
C . opuesto Hipotenusa
1 3
2 π 3
con el e/e 7
9.o. 0 en θ (Hip.) π 9.o. 0 en (") 0-."1 3
1.i un nio /ala un trineo por la nieve con una uer%a de 5< = e/ercida a un angulo de -3> arriba de la ?ori%ontal, encuentre las componentes ?ori%ontal y vertical de la uer%a. 9ateto adyacente cos θ=¿
C . adyacente Hipotenusa
9.a. 0 cos : (Hip.) 9.a. 0 9os -3> ( 5< ) 0 -4."<
9ateto opuesto C . opuesto Hipotenusa
θ=¿
sen
9.o. 0 en θ (Hip.) 9.o. 0 en -3 > ( 5< ) 0 -<.#3 #. @n mariscal de campo lan%a un balon con angulo de elevacion de "<> y una velocidad de 1< tAs. Bncuentre las componentes ?ori%ontal y vertical del vector de velocidad. 9.a. 0 cos "<> ( 1< ) 0 "5.41 9.o. 0 sen "<> ( 1< ) 0 -3.51 34. Bncuentre la magnitud de la uer%a resultante y el 6ngulo que orma con el e/e 7 positivo.
3. C7 0 cos "5>( < ) 0 "." Cy 0 sen "5>( < ) 0 "." 7 0 cos -< > ( 1 ) 0 -.31 y 0 sen -< > ( 1 ) 0 3 E C7 ' 7 0 #.44 E Cy ' y 0 1." 0
√ (27.99 ) +( 6.14 ) 0 3.15
Fan θ 0
2
2
Σ Ay + By Σ Ax + Ay
θ 0 Fan (
Σ Ay + By ) Σ Ax + Ay
θ 0 .-#
4. C7 0 9os 1< ( << ) 0 << Cy 0 en 1< ( <<) 0 #-.< 7 0 9os y 0 en 3< ( -<< ) 0 < E C7 ' 7 0 << E Cy ' y 0 #-.< 0
√ (−200 ) +( 173.20 ) 0 1".5#
θ 0 Fan (
2
Σ Ay + By Σ Ax + Ay
2
) 0 "4.<
3<
(
-<<
)
0
-<<
I = B
G 5<= "5>
x J(5<=)9os1<>K J(5<=)9os"5>K 0 89.64N $ J(5<=)en1<>K ' J(5<=)en"5>K 0 251.86N R
√ ( 89 . 645 ) +( 251 . 86 )
2
5<= 2/".)* R 1<> 251.86 θ= arctan ( )= 70.41 ° NE
miA?
M - miA?
2
3x (22+i45#Cos67 8 ) +i45Cos967 3x 22+i45 3$ (22+i45#Cos67 8 () +i45#Cos967 3$ (22 +i45# :en67 8 () +i45#:en967 3$ ) +i45
89.645
/h )=7 ° 45 ' 22 mi / h 22 millas / hr ¿ ¿ 3 millas / hr ¿ +¿ ¿ V r =√ ¿ θ= arctan (
3 mi 2
2
)2.;
11; 12 :i u es un vector unitario! encuentre u . v $ u . <
1. ara qu valores de b son ortogonales los vectores !1, b, $ y !b, b , b$N 9os 4< 0 ( a O b ) A ( l a l l b l ) aOb0< ! 1 , b, $ ! b, b , b$ 0 1b ' b - 'b a O b 0 b- "b 0 b (b ") 0< 0 b0<, b0, b0
b
(
b
'
)
(
b
)
#. Bncuentre un vector unitario que es ortogonal a i 8 e i 8 =. a ' a 0 < a (i '2) 0 < a ' a- 0 < a 0 a 0 a0 a ' a ' a- 0 -a -a 0 a 0
1 3
0
1
√ 3
4-- Halle los cosenos directores y los 6ngulos directores del vector. (D los 6ngulos directores correctos ?asta el grado m6s pró7imo.) 4. !-, ", 5$
lal0
√ (3 ) +( 4 ) +( 5 ) 0 √ 50 2
2
2
≈ 7.071
cos P 0 - A #.<# cos Q 0 " A #.<# cos R 0 5 A #.<# P 0 cos (3 / 7.07) ≈ 1".34 Q 0 cos (4 / 7.07) ≈ 55.5" R 0 cos (5 / 7.07) ≈ "".44
-<. !, , $ lal0
√ ( 1 ) +(−2) +(−1 ) 0 √ 6 2
2
2
≈ ."5
cos P 0 A ."5 cos Q 0 A ."5 cos R 0 A ."5 P 0 cos (1 / 2.45) ≈ 15.4 Q 0 cos ( -2 / 2.45) ≈ "".# R 0 cos ( -1 / 2.45) ≈ ".<4
-. i'-/'12
-. i/'2
--. !c,c,c$ donde c$<
-". i un vector tiene 6ngulos directores cos α ' cos 'cos ! 0 cos ! 0 cos α cos cos
! 0 cos
cos ! cos ! cos ! ! 0 ! 0
π
( ) 4
0 (+ )(S) 0S 0 " 1 /2
π / 3 2 π / 3
cos(
π 3
)
α =
π 4
y
=
π 3
, encuentre el tercer angulo director
3. i a0 i2 y b0/'2, encuentre a7b. Frace a,b y a7b como vectores que se indican en el origen.
4 Bncuentre el vector, no con determinantes, sino usando las propiedades de productos cru%. 4. (i 7 /) 7 2 i7/02 2720< <. 2 7 (i /) 0 (2 7 i) ' (2 7 /) 0 / i 0 i ' /
. ( / 2 ) 7 ( 2 i) ( / 2 ) 7 ( 2 ) ' ( / 2) 7 ( i) ( / 7 2) ' ( 2) 7 ( 2 ' /) 7 (i) ' (2) 7 (i) (/ 7 2 ) ' ( ) ( 2 7 2 ) ' ( i) (/ 7 i ) ' (i) (2 7 i) . ( i ' / ) 7 ( i / ) ( i ' / ) 7 (i)(i ' /) 7 (/) (i 7 i ) ' (/ 7 i) ' ( i 7 (/)) ' (/ 7 (/)) (i 7 i) ' ( / 7 i ) ' () ( i 7 /) ' ()(/ 7 /) 0 2 2 0 2
a. b. c. d. e. .
-. Diga si cada e7presión es signiicativa. i no, e7plique por qu. Bn caso airmativo, diga si es un vector o un escalar. a O ( b 7 c ) i es signiicativa, es escalar. a 7 ( b O c ) =o es signiicante porque solo puede ser por dos vectores (producto cru%). a 7 ( b 7 c ) =o es signiicante. ( a O b ) 7 c =o signiicante. ( a O b ) 7 ( c O d) =o signiicante ya que se obtienen dos escalares y el producto cru% no se puede reali%ar de esta manera. ( a 7 b ) O ( c 7 d ) igniicante, es un escalar.
"5 Bncuentre l u 7 v l y determine si u 7 v est6 dirigido ?acia la pagina o ?acia auera de esta. ". u 0 < v0 5
= 60
⊖
5 ( < ) sen 1< 0 5< (
√ 3 2
) 0 5
√ 3
Bst6 ?acia adentro de la p6gina (regla de la mano derec?a). 5. u 0 1 v0 3
= 180−150 =30
⊖
3 ( 1 ) sen -< 0 " Bst6 ?acia adentro de la p6gina (regla de la mano derec?a).
Encuentre las ecuaciones para+tricas $ las ecuaciones si+tricas para la recta. /. La recta por el origen $ el punto (1!2!)# v0!,,-$ 70 t y0 t %0 --t
". La recta por los puntos (1!)!2# $ (;!)!6# v0 !5,<,$ r <0 (i ' -/ ' 2) r0 (i'-/'2) ' t(5i 2)
r0 ('5t)i' -/ ' ('t)2
>. La recta por los puntos (/!1!;)# $ (2!!,# v0 !",-,3$ r <0 1i ' / -2 r0 (1i'/-2)'t("i'-/'32) r 0 (1"t)i'('-t)/'(-'3t)2
9. La recta por los puntos (6! ! 1# $ (2!1!;)# v0 !, + ,"$ r <0 (<,+ , ) r0 (< i'/ 2) 't(i'/"2) r 0 (t)i'()/'("t)2
16. La recta por (2!1!6# $ perpendicular a i8 $ i8=
70 't y0 t %0 t t0 7 0 y 0 % 11. La recta por (1!;1!1# $ paralela a la recta x82 $ @;) 70 't y0 t %0 -'t v0 !,,$ 70 't y0 't %0 't
12. La recta de intersección de los planos x+y+z =1 $ x+z=0 con 70 < v 0 n 7 n 0 !,,$ 7 !,<,$ 0 !,<,$ <0 (,<,) 70 t y0 %0 t t 0 7 0 % 1). La recta que pasa (;!;/!1# $ (;2!6!;)# es paralela a la recta que pasa por (16!1>!# $ (,!)!1#?
NO SON PARALELAS 1. La recta que pasa por (!1!;1# $ (2!,!)# es perpendicular a la recta que pasa por (;)!2!6# $ (,!1!#?
NO SON PERPENDICULARES 1,. (a# Encuentre ecuaciones si+tricas para la recta que pasa por el punto (1!;,!/# $ es paralela al vector %;1!2!;)&. r0 ( 5/ '12 )' t (i '/ -2) 0 (t )i ' (5't )/ ' (1-t )2 70 t y0 5't %0 1-t
('#Encuentre los puntos en los que la recta requerida en el inciso (a# corta los planos coordenados. (,<,<) (<,5,<)
(<,<,1) 1/. (a#Encuentre las ecuaciones para+tricas de la recta que pasa por (2!!/# que es perpendicular al plano x;$8 )@ " . n 0 !,,-$ 70 ' t y0 "t %0 1 ' -t t0 7 0 " y 0 (%1)A('# En qu puntos esta recta corta los planos coordenados? con %0 < (<,1,<) con y0 < (<,1,<) con 70 < (1,<,3)
1.(a#Aue representa la ecuación $ x 2 co+o una curva en R 2? Tepresenta una parabola
('# Aue representa co+o una super-icie en R )? Bn R), la ecuacion y0 7 , no involucra a %, asi que cualquier plano ?ori%ontal con la ecuacion %02 intersecta la graica en una curva con la ecuacion y07 . Csi, la supericie es un cilindro parabolico, compuesto ininitamente de muc?as copias cambiadas de puesto de la parabola misma. (c#Aue representa la ecuación @ $ 2 Bn T-, la ecuacion %0 y tambien representa un cilindro parabolico. 9omo 7 no aparece, la graica es ormada moviendo la parabola %0y en direccion del e/e de las 7Us. 2.(a# Bosquee la gr-ica de $ ex co+o una curva en R 2.
('# Bosquee la gr-ica de $ e x co+o una super-icie en R ) .
(c# escri'a $ 'osquee la super-icie @ e $. La ecuacion %0 e y no involucra al e/e 7, asi que las tra%as verticales en 702 son copias de la curva %0 ey
);>. escri'a $ 'osquee la super-icie ). $2 8 @2 La ecuacion representa a un cilindro eliptico con tra%as paralelas al e/e 7.
. @ ;x2 9omo la ecuacion no involucra y cada tra%a de la ecuacion %0 " 7 es una copia de la misma parabola en el plano y0 2.
,. x; $2 6 La ecuacion reoresenta una parabola con copias a lo largo del plano %02
/. $@ La supericie representa una copia de la misma ?iperbola a lo largo del plano 702. @n cilindro ?iperbolico.
". @ cos x 9ada tra%a vertical, es una copia de una curva cosenoidal en el plano y02.
>. x2 ; $2 1 La ecuacion representa un cilindro ?iperbolico paralelo al e/e de las %.
3. 9ompare la ecuación con su gr6ica. De ra%ones para su elección. . 7 ' "y ' 4% 0 Vraica IWW %0< 7 ' "y 0 7 ' "y 0 42 Despe/e 42 0 < 42 0 2 0 A4 20 70<
√
1 9
"y ' 4% 0 "y ' 4% 0 2 Despe/e 2 0 < 2 0 2 0 2 0 √ 12 . 47 ' "y ' % 0 Vraica WI %0< 47 ' "y 0 47 ' "y 0 2 Despe/e 2 0 < 2 0 2 0 20 X 70< "y ' % 0 "y ' % 0 47 Despe/e 47 0 < 47 0 47 0 7 0 A4 70 y0<
√
1 9
47 ' % 0 47 ' % 0 "2 Despe/e "2 0 < 20
√
1 4
-. 7 y % 0 Vr6ica WW %0 < 7 y 0 ' 2 Despe/e ' 2 0 < 2 0 2 no e7iste ( √ −1 ) 70<
y % 0 2 Despe/e 2 0 < 2 0 < 2 0 2 0 20X y0< 7 % 0 ' y 2 no e7iste (indeinida)
". 7 ' y *% 0 Vraica WWW Y0< Z % 0 '7 Despe/e '2 0 < [ no ?ay Z0< 7 * % 0 7 * % 0 * y Despe/e * 2 0 < [ 0 [0 \ 0< 7 ' y 0 ' % Despe/e ' 2 0 < [ 0 \ no ?ay 5. Z 0 7 ' % Vraica IW <0 7 ' % *y Y 0< 7 0 % * y Despe/e 2 0< Y0< Z0<
\ 0< 1. y 0 7 ' % Vraica W 70< <0% y 7 0% y Despe/e [0< y0< y 0 < 20< %0< 20< #. Y ' % 0 Vraica IWWW Y 0< % 0 % 0 * 2 Despe/e < 0 * 2 [ 0 [ 0 √ 1 \0< Y 0 Y 0 * % Despe/e * 2 0 < 2 0 [ 0 + 3. Z 0 7 * % Vr6ica I Y0< Y *% * y 0 < % * y 0 < % * y 0 7 Despe/e [0< Z0< Y * % * y 0< Y * % 0<
Y * % 0 y Despe/e 2 0 < \0< Y * y 0 < Y * y 0 % Despe/e [ 0 <
