Unidad 3 Calculo

Unidad 3 Aplicaciones de la integral.

3.1 Areas. 3.1.1

Area bajo la grafica de una funcion. funcion.

Area bajo el gráfico de una función La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas. El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función. El área aproximada bajo el gráfico de una función puede formularse al representar un rectángulo pequeño de altura y anchura fijas lo cual equivale al valor de la función en el medio del intervalo correspondiente. Área = fi x Aquí f(x) es la función de x. Debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el ancho del rectángulo, mejor será la aproximación. El rectángulo puede ser rectángulo interior o rectángulo exterior. El área de todos los rectángulos se añade para obtener el área final bajo el gráfico de la función. Con el fin de disminuir los esfuerzos de sumar las áreas individuales de todos los rectángulos, se desarrolló el concepto de la integral definida. El área bajo la gráfica de la función se puede determinar mediante la realización de las integrales definidas entre los puntos dados. El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la ayuda de las integrales definidas: Área = f(x) dx La expresión puede ser más simplificada como: f(x) dx = [F(x)]ba= F(b) – F(a)

El resultado es positivo en el caso que la curva esté por encima del eje x y es negativo cuando la curva se encuentra por debajo del eje x. En el caso que la gráfica esté parcialmente porarriba y parcialmente por debajo del eje x, se debe prestar atención. En ese caso, el resultado neto de estos dos casos es generado, el cual es la diferencia entre el área cuando la curva está por debajo del eje x y cuando la curva está por encima del eje x. El área encontrada por las integrales se conoce siempre como el área bajo la gráfica de la función, independientemente del hecho de que esté por debajo o por encima del eje de coordenadas x. El concepto principal de las integrales es aumentar el número de rectángulos mediante acercarse al infinito y considerar el ancho del rectángulo como el límite. Veamos un ejemplo para ilustrar mejor el concepto: Ahora suponga que el áreadel grafico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por ser determinado.

Podemos proceder de la forma siguiente: Área = (7 – x2) dx = | (7x – 1/3 x3)|−12 = [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)] = 18 Si el área será calculada con respecto al eje y, entonces, la integración se lleva a cabo con relación a y en lugar de x. Es decir, la fórmula se convierte en: Área = f(y) dy Por ejemplo: Supongamos que el área de la curva está limitada por la ecuación , y =5, y = 1 y por el eje y.

Para esto, debemos expresar a x como una función de y y= y2 = x – 1 x = y2 + 1 Por tanto, el área puede ser calculada como: Área = (y2 + 1) dy = [ + y]15 = 45 1/3 unidades cuadradas.