Instituto Tecnológico Superior De Coatzacoalcos
Calculo Vectorial Unidad 3 “
Funciones vectoriales de una variable real
”
Ing. Sistemas Computacionales Computacionales 3ro
“A”
Integrantes Miguel Ramos Martínez
Itzel Guadalupe Hernández Reyes
Beatriz De Jesús Cruz
Salma Keren Mozo Santiago
Luis Felipe Pérez Hernández
Esteban Montoya Flores
Valeria Isabel Sotomayor García
Paola Ivetth Fernández Farrera
Juan Manuel Torres Torres Martínez
Yajahira Janett García Santos
Jorge Antonio Ramírez Ramírez García
Nidia Ivette Martínez Villegas
LIC. CFM. CFM. Violicia Soledad Sala Mazariego
INDICE
INDICE INDICE................................................ ...................................................... ................................................................................... ............................. 2
Unidad 3
“Funciones vectoriales de una variable real” ............................................. ... 3
Presentación. Presentación. ................................................. ...................................................... .......................................................................... .................... 4 Introducción Introducción a las funciones vectoriales de una variable real. ............................................... 5 3.1
Definición Definición de función vectorial de una variable real. ............................................... ... 6
3.2
Graficación Graficación de curvas en función del parámetro t. ...................................................... 6
Evidencia Evidencia 1: ........................................................................................................ .................................................. ........................................................................ .................. 10 3.3
Derivación Derivación de funciones funciones vectoriales vectoriales y sus propiedades. propiedades. ................................. .......... 11
Evidencia 2 : .......................................................................................................................... 12 3.4
Integración Integración de funciones funciones vectoriales. vectoriales. ............................................. ........................... 13
Evidencia Evidencia 3: ........................................................................................................ .................................................. ........................................................................ .................. 13 3.5
Longitud Longitud de arco. .................................................. .................................................... ...................................................... 14
3.6
Vector tangente, normal y binormal. binormal. ......................................................................... 14
Evidencia 4 : .......................................................................................................................... 15 3.7
Curvatura. Curvatura. ............................................................. .................................................... ...................................................... 16
Evidencia Evidencia 5: ........................................................................................................ .................................................. ........................................................................ .................. 16 3.8
Aplicaciones. Aplicaciones. ........................................................ .................................................... ...................................................... 17
Bibliografia Bibliografia ................................................... ...................................................... ........................................................................ .................. 18
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Unidad 3 “Funciones vectoriales de una variable real”
3
Presentación. La siguiente antología está diseñada para que el alumno que cursa la asignatura de CÁLCULO VECTORIAL, aprenda los contenidos temáticos que abordaremos durante el semestre. Cada actividad aborda una competencia que será una herramienta para cursos posteriores, por lo lo que es de vital importancia que el estudiante las realice construyendo su propio conocimiento. Una parte fundamental del presente trabajo se refiere a la resolución de problemas como un aprendizaje significativo realizado por descubrimiento, exige la transformación y reintegración del conocimiento existente para adaptarse a las demandas de una meta específica, es decir, el solucionador relaciona intencionalmente una proposición potencialmente significativa del planteamiento de un problema a su estructura cognoscitiva, con el propósito de obtener una solución significativa.
4
Introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Muchas cantidades se denotan por parámetros se caracterizan por componentes que son f, g y h. Algunas veces las funciones vectoriales se denotan como o
〈 〉
〈 una 〉 en el plano o en el espacio consiste en una colección de Técnicamente 〉 curva
puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Eso quiere decir que, dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Se llama función vectorial a cualquier función de la forma Plano r (t) = (f(t) , g(t) , h(t)) Espacio donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Este concepto se puede generalizar a espacios n dimensionales r (t) = (f(t) , g(t)) Se debe distinguir entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h que son sus componentes y son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t ). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t . Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por Po r ejemplo el dominio de: es el intervalo (0, 1]
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3.1
Definición de función vectorial de una variable real.
3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t. Una función de la forma
O
Es una función vectorial en donde las funciones componentes f,g y h son funciones del parámetro t . Algunas veces las funciones vectoriales se denotan como o
〈 〉 〈 〉 〉
Técnicamente una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Eso quiere decir que, dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Ejemplo:
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(x,y) = (sin(t),cos(t)); 0.0 <= y t <= 360
y <= t <= 360 (x,y) = (sin(t^2),cos(t^2)); 0.0
x
x
Se considera que el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes f,g y h . Ejemplo:
√ Trazado de una curva plana:
Dibujar
la
curva
plana
representada
por
la
7
función
vectorial
Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial
Representar la parábola
mediante una función vectorial
Dibujar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide
Y el cilindro parabólico
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Definición del límite de una función vectorial 1. Si r es una función vectorial tal que
entonces: siempre que existan los límites de y cuando . 2. Si es una función vectorial tal que entonces siempre que existan los límites de y cuando . Si tiende al vector cuando , la longitud del vector tiende a cero. Es decir, ‖ ‖ f g
r
f,g h
L
A medida que t tiende a a , r(t) tiende al límite L. Para que L exista, no es necesario que r(a) esté definida o que r(t) sea igual a I
Definición de continuidad de una función vectorial Una función vectorial r es continua en una punto dado por
cuando existe y
si el límite de
Una función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo. Analizar la continuidad de la función vectorial cuando
+ * + * + *
9
Evidencia 1: 1. Hallar el dominio de la función vectorial a) b)
√ ;
2. Evaluar si es posible, la función vectorial en cada valor dado de t a)
b)
10
3.3
Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.
La derivada de una función vectorial r se define como
Para toda t para el cual existe el límite. Sí existe para todo c en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I . La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.
Derivación de funciones vectoriales: 1. Si dondef y g son funciones derivables en t , entonces,
2. Si donde , y son funciones derivables en , entonces,
f g
h
t
Propiedades de la derivada: Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, f una función real derivable de t y c un escalar
1. 2.
11
3. 4. 5. 6. 7. Si
Evidencia 2: 1. Dibujar la curva plana representada por la función vectorial y dibujar los vectores y . Colocar los vectores de manera que el punto inicial de este en el origen y el punto inicial de este en el punto final de . ¿Qué relación existe entre y la curva? a)
〈 〉 〉
b) c) d)
2. Hallar a) b) c)
y
3. En el ejercicio siguiente, utiliza las propiedades de la derivada para encontrar la respuesta
12
3.4
Integración de funciones vectoriales.
Definición de la integral de una función vectorial: donde f y g son continuas en 1- Si indefinida ( o antiderivada) antiderivada ) de r es
[ ] [[ ] [ ] [[ ] [ ]
, entonces la integral
Y su integral definida en el intervalo
donde f , g y h son continuas en 2- Si integral indefinida ( o antiderivada) antiderivada ) de r es
Y su integral definida en el intervalo
Evidencia 3: 1. Hallar la integral indefinida a) b) c)
∫ ∫ √ ) ∫(
2. Evaluar la integral definida a) b) c)
∫ ∫ ∫
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, entonces la
3.5
Longitud de arco.
Longitud de arco de una curva en el espacio: espac io: Si C es una curva suave dada por entonces la longitud de arco de C en el intervalo es:
en un intervalo
,
‖ ‖ ‖
3.6
Vector tangente, normal y binormal. binormal.
Definición del vector unitario tangente Sea C una curva suave e un intervalo abierto I, representada por r. El vector unitario tangente T(t) en t se define como:
‖ ‖
Definición del vector unitario normal principal Sea C una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. Si el vector unitario normal principal en t se define como:
‖ ‖‖
14
entonces
Evidencia 4:
1. Hallar el vector unitario tangente a) b)
.
15
3.7
Curvatura.
Fórmulas para la curvatura: Si C es una curva suave dada por
‖‖‖‖
, entonces la curvatura K de C en t está dada por:
‖‖ ‖‖
Evidencia 5: 1. Determinar la curvatura de un circulo de radio a. a)
2. Hallar la curvatura de la curva definida utilizando la formula
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‖‖ ‖‖
3.8
Aplicaciones. Aplicaciones.
Muchos de los fenómenos que existen en la naturaleza pueden ser expresados a través defórmulas o modelos matemáticos de tal forma que si estos fenómenos reúnen lascondiciones para expresarse como un vector, entonces su modelo sería una expresiónvectorial, de la forma:
En base en lo anterior, el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez delinstante t vienen dados por:
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Bibliografia http://www.matematica1.com/2012/05/vector-tangente-unitario-ejercicios.html http://www.slideshare.net/anaceb/funciones-vectoriales-de-variable-real-presentation https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-3-funciones-vectoriales-de-unavariable-real
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