Ejercicios Primera Unidad Calculo

Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A. Vásquez Concha EJERCICIOS PRIMERA UNIDAD. I.

FUNCIONES

1. El ingres ingreso o I (en dólares) dólares) de un cierto cierto produc producto to como como función función de la demanda demanda x , viene viene x

−

dado por la expres expresión ión:: I ( x) = 150 • x • e 25 , si se venden venden 50 unidade unidadess del produc producto to , entonces el ingreso es de :

2. eg!n estimaci estimaciones ones , el porcenta" porcenta"ee de casa #ue tienen tienen reproducto reproductorr $%$ , est& est& dado por P (t )

=

' 1 + 21,' • e

−

0 , '2 t

$onde t se mide mide en a*os + t0 corresponde corresponde al inicio de 1--5

/u tanto por ciento de las casa tenan estos aparatos al inicio de 1--5

3. e estim estimaa #ue #ue el porce porcent nta" a"ee de #ue

466E 66E una una cier cierta ta marc marcaa de circu circuit itos os de

comp comput utad ador oras as desp despu uss de t a*os a*os de uso uso es P (t )

=

100 (1 − e

−

0 ,1 t

) 7u& 7u&ll es el

porcenta"e esperado de circuitos de esta marca #ue ser&n útiles dentro de tres a*os

8. i cierta cierta marca marca de automó automóvil vil se compra compra por 7 pesos, pesos, su valor valor comer comercia ciall v(t ) al final de t a*os, est& dado por v( t ) = 0, ⋅ C ⋅ 0,5t −1 . i el cost costo o ori origina ginall es de 9'.500.000, calcule el valor del automóvil despus de tres a*os.

5. $eido a una depresión, depresión, cierta cierta región región económica económica tiene una una polación polación #ue decrece decrece.. En el a*o 2000, su polación fue de 500.000 ;aitantes + de a; en adelante su su polación se rigió por la fórmula:

P = 500.000 e

−0 , 02 t

en donde t es el tiempo en a*os. 7alcule la

polación para el a*o 2018

'. i el valo valorr de los ienes ienes rac races es se incr increm emen enta tan n a ra<ó ra<ón n del del 10= 10= por por a*o, entonc entonces es desp despu uss de t a*os a*os,, el valo valorr de una una casa casa comp compra rada da en > peso pesos, s, est& est& dada dada por por v(t ) = P ⋅ 1,1t . i una casa fue comprada en 980.000.000 en el a*o 2001. 7u&l ser& su

precio en el a*o 2018

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. 7alcula los siguientes logaritmos: 1. y 2. . y 3. y

=

log 2 '8

= =

log 3 1 log 5 25

8. y= log ' 21' 5. y

=

log  383

'. y

=

log 8 8

. y

=

log 3 1

. 6a cantidad > en #ue un capital 7 se convierte despus de t a*os a una tasa de inters compuesto?anual i, se determina mediante la expresión:

e ;a invertido un capital de 98.000.000 a una tasa de inters anual de un '= ;asta alcanor cuantos a*os fue la inversión

-. El crecimiento del n!mero de ;aitantes de una polación viene dado por la expresión: , donde

es el n!mero de ;aitantes de la polación en un instante inicial,

> es el n!mero de ;aitantes de la polación en un instante t + @ es una constante de proporcionalidad. El puelo de $o*igue en el a*o 1--0 tena 18.2- ;aitantes + en el a*o 2000 dic;a polación ;aa aumentado a 1'.818. 7alcular: a) 7u&l es el valor de la constante @ de proporcionalidad ) 7u&l es la polación para el a*o 2015 10. El valor de una m&#uina ad#uirida ;ace  a*os por 10.000 dólares viene dado por la expresión (t)  10.000 e?0,3 t, donde

t mide los a*os despus de su ad#uisición. En

cu&nto tiempo la m&#uina tendr& un valor de 2.231,30 dólares

11. Ana polación crece de acuerdo con la fórmula: P = 5 .000.000e 0, 0't donde t es el tiempo en a*os. 7u&nto tiempo tardar& la polación en aumentar 50=


12. e ad#uiere una m&#uina atidora industrial por 9850.000 + se deprecia continuamente desde la fec;a de ad#uisición. u valor despus de t a*os est& dado por la fórmula: V = 850.000 ⋅ e

−0, 2 t

En cu&nto tiempo la m&#uina tendr& un valor de 9200.000

13. 6a ventas de un cierto ien, en una empresa, se pueden aproximar mediante la función V ( x )

=

1-,8 • ln( x) + 1 donde x es el n!mero de unidades producidas del ien .i se

producen -2 unidades, entonces las ventas estimadas son de aproximadamente.

18. $adas las siguientes funciones: Ballar: (f o g) (x) + (g o f) (x)

15. aiendo #ue f(x)  3x2 + g(x)  1 C (x D 2) #ue composición de función da como resultado:

1'. sociar cada gr&fico a su ecuación

1. En un contrato de al#uiler de una casa figura #ue el coste suir& un 2= cada a*o. i el primer a*o se pagan 98.200.000 pesos (en 12 recios mensuales): 7u&nto se pagar& al final del siguiente a*o  dentro de 2 a*os Ftn la función #ue nos d el coste anual al cao de x a*os.


1. Eval!a la función en el valor indicado de x, sin usar calculadora

1-. 7ondensar las siguientes expresiones al logaritmo de una sola expresión

20. Gesolver las siguientes ecuaciones:

21. uponga una polación cu+o modelo de crecimiento est& dado por >(t)  8e0,02t millones, a partir del a*o 2000. 7uando la polación tendr& 5 millones de ;aitantes

22. An economista predice #ue el poder de compra >(t), de una unidad monetaria a los t a*os a partir de ;o+, ser& de >(t)0,-5t 7u&ndo ese poder de compra ser& la mitad de lo #ue es ;o+


23. 6a polación de un pas >(t) en millones de ;aitantes, t a*os despus de 2010, esta modelada por >(t)  >0e0,08t 7u&ndo se duplicar& la polación

28. ean los siguientes pares ordenados (2,5) + H(0,?2). $etermine: a) 6a pendiente de la función lineal. ) 6a ecuación de la función lineal c) El valor de f(0), f(8) + f(?8). rafi#ue.

25. ea (?2,?) + m ?0,03. $etermine a) 6a ecuación de la función lineal. ) >ara #u valor de x, +  0

25. Escriir la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a) >asa por los puntos A (8, ) + B (5, ?1) ) Es paralela a y  3 x + pasa por el punto P (2, 0)

2'. Balla la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a) Jiene pendiente ?2 + corta al e"e Y en el punto (0, 3) ) >asa por los puntos M (8, 5) + N (2, ?3)

2'. Balla la ecuación de cada una de estas rectas: a) >asa por los puntos A (15, 10) + B (, ?') ) >aralela al e"e X + #ue pasa por el punto P (8, 5)

2. An tcnico de reparaciones de electrodomsticos cora 915.000 por la visita, m&s 20.000 por cada ;ora de traa"o. a) Escriir la función lineal #ue da el dinero #ue se dee pagar en total (y), en función del tiempo #ue est traa"ando ( x). ) 7u&nto se le pagara si ;uiera estado 3 ;oras


2. e le pide determinar una función lineal, #ue determine la producción de un articulo >(x), donde x es el dinero invertido. i se invierte 910.000 dólares, se producen -2 artculos, si se invierten 950.500 dólares, se producen 8- artculos. a) $esarrolle la función de producción. ) 7alcule cuanto se produce con 9.000 dólares.

2-. Ana planta tiene la capacidad para producir desde 0 a 100 computadores por da. El costo fi"o diario de la planta son 5.000 dólares, + el costo variale (mano de ora + materiales) para producir un computador es 05 dólares. a) Escria la función de costo total de producir x computadores en un da. ) Escria la función de costo unitario (costo promedio por computador) en un da. c) 7u&l es el dominio de estas funciones

30. Envasamos 2' litros de agua en otellas iguales. Escrie la función #ue relaciona el n!mero de otellas + su capacidad.

31. An grifo con un caudal de  litrosCmin tarda 82 minutos en llenar un depósito. 7u&nto tardara si el caudal fuera de 28 litrosCmin Escrie la función caudal tiempo.

32. $etermine la función cuadr&tica si tiene por vrtice (8,?8) + pasa por (3,1)

33. Ana función cuadr&tica tiene una expresión de la forma +  xK D ax D a + pasa por el punto (1, -). 7alcular el valor de a

38. raficar las funciones siguientes: a) f(x)  x2 L x D 3 ) f(x)  x2 L 'x D 8


c) f(x)  ?x2 D 2x

35. 6a coti
3'. upongamos #ue el rendimiento r en = de un alumno en un examen de una ;ora viene dado por: r  300t (1Mt). $onde 0 N t N 1 es el tiempo en ;oras. e pide: a) En #u momentos aumenta o disminu+e el rendimiento ) 7uando se otiene el ma+or rendimiento + cu&l es

3. e lan
3. En una f&rica de automóviles se comproó #ue para velocidades ma+ores a 10 kmC h + menores a 150 kmC h , el rendimiento r (en kmC l ) est& relacionado con la rapide< v mediante la función r (v)  0,002v O(10 ?v) a) 7on #ue rapide< el rendimiento ser& m&ximo ) 7u&l ser& ese rendimiento m&ximo 3-. Identifica la pendiente de la función lineal 80.  7u&l es el valor m&ximo de la función 81.  7u&l es el valor de la función

y

=

y

y

=

=

5x − 3

' x − x 2

3 • 8 x cuando

82. 7u&l es el valor de P QR en la función

y

=

log 2 x

x2 cuando +8


83. El porcenta"e de &roles en una plantación #ue se ;a infectado por cierta plaga est& dado por

P (t )

=

100 1 + 20 e 0 , 05 −

t

•

$onde t es el n!mero se semanas despus #ue se Geporto la plaga. 7u&l es el porcenta"e despus de 20 semanas

88. i se agregan 20 gramos de sal a una cantidad de agua, la cantidad #(t), de sal sin disolver luego de t segundos est& dada por: t

 8  q (t ) = 20 •    5 

7u&nta cantidad de sal sin disolver ;a+ luego de 10 segundos

85. uponga

una

polación

P (t ) = 8e 0 , 02

•

cu+o

modelo

de

crecimiento

est&

dado

por

t

millones a partir del a*o 2000. 7u&ndo la polación tendr& 5

millones de ;aitantes

8'. ea la función del tipo exponencial, es decir f(x)  7 ax, cu&l es el valor de a + c, respectivamente

II.

LIMITE Y CONTINUIDAD


1. El valor del @ilo de acero se calcula con la siguiente fórmula: 80000 p ( x ) = 00 + 500 • e 1, 02 x $onde p(x) es el valor del @ilo (9) + x es el tiempo medido en das. 7u&l es el valor −

del acero a largo pla
2. 6as ventas de una empresa se modelan de acuerdo a la función V ( x) =

155000 x

−

1 + 8--- • 1,01

$onde %(x) son las ventas en miles de pesos +

x es el tiempo en das. 7u&l es el

valor de las ventas a largo pla
1.

lim x → 0

2.

lim x → 0

3.

lim x → 0

=

x sen  x

5x sen x

5.

8 x

lim sen12 x = x → 0

=

1 − cos 3 x = lim x x 0 1 − cos - x . lim = 3x 0 x '.

=

→

3x

→

8.

lim x → 0

sen 18 x sen 2 x

=



lim x → 0

1 − cos 3 x

=

-x

Importate. APOYO

>ara explicar la división de polinomios nos valdremos de un e"emplo pr&ctico: >(x)  x5 D 2x3 M x M 

/(x)  x2 M 2x D 1

P!"# $ %!"# A la i&'(ier)a sit(amos el )i*i)e)o. i el polinomio o es +ompleto de"amos (e+os en los lugares #ue correspondan.

A la )ere+a sit(amos el )i*isor )etro )e (a +a-a. Di*i)imos el primer moomio )el )i*i)e)o etre el primer moomio )el )i*isor.


x5 : x2  x3 M(ltipli+amos +a)a trmio )el poliomio )i*isor por el res(lta)o aterior / lo restamos )el poliomio )i*i)e)o$

%olvemos a )i*i)ir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.  el resultado lo multiplicamos por el divisor + lo restamos al dividendo. 2x8 : x2  2 x2

>rocedemos igual #ue antes. 5x3 : x2  5 x

%olvemos a ;acer las mismas operaciones. x2 : x2  


10x M 1' es el resto, por#ue su 0ra)o es meor '(e el )el )i*isor + por tanto no se puede continuar dividiendo. x3 D 2x2 D 5x D  es el +o+iete.

8. 7alcular los siguientes lmites:

5.

8 x

lim sen12 x = x → 0



5. $etermine el lmite + grafi#ue la función

'. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones. Cuando X

Cuando X

. $ada la función lmites laterales.

 3

 !3

7alcule el lmite de la función en x  2. Atilice


. Estudie la continuidad de las siguientes funciones

-. $etermine el valor de a para #ue la función sea continua

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