Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnologico de Cerro Azul MATERIA: CALCULO VECTORIAL
NOMBRE DEL TRABAJO: RESUMEN DE LA UNIDAD 4
CATEDRATICO: M.C. JOSE VICTOR TRINIDAD PUENTE
ALUMNO: GARCIA OLMOS ALEXIA REGINA
ING. INDUSTRIAL CERRO AZUL VER.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN (RESUMEN POR UNIDAD) Deficiente 1
Regular 3
Bueno 5
A) PRESENTACIÓN 1. Página de presentación 2. Indice 3. Ortografía
5%
4. Tiempo de entrega Parcial: B) CONTENIDO 5. Objetivo 6. Información completa
5%
7. Actualidad del contenido 8. Calidad Parcial: C) ESTRUCTURA 9. Extension en el contenido 10. Orden en la estructura
2%
11. Anexos 12. Bibliografia Parcial: D) ESTILO 13. Claridad en las ideas. 14. Formato
5%
15. Terminología. 16. Conclusiones Conclusiones personales Parcial:
20%
TOTAL
PROMEDIO
CRITERIOS DE EVALUACIÓN (RESUMEN POR UNIDAD) Deficiente 1
Regular 3
Bueno 5
A) PRESENTACIÓN 1. Página de presentación 2. Indice 3. Ortografía
5%
4. Tiempo de entrega Parcial: B) CONTENIDO 5. Objetivo 6. Información completa
5%
7. Actualidad del contenido 8. Calidad Parcial: C) ESTRUCTURA 9. Extension en el contenido 10. Orden en la estructura
2%
11. Anexos 12. Bibliografia Parcial: D) ESTILO 13. Claridad en las ideas. 14. Formato
5%
15. Terminología. 16. Conclusiones Conclusiones personales Parcial:
20%
TOTAL
PROMEDIO
INDICE 4.1.- Grafica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel. 4.2.- Definición de una función de varias variables.
4.3.- Límite y continuidad de una función de varias variables.
4.4.- Derivadas parciales.
4.5.-Incrementos y diferenciales.
4.6.-regla de la cadena y derivada implícita.
4.7.- Derivadas parciales de orden superior.
4.8.- Derivada direccional y gradiente.
4.9.- Valores extremos de funciones de varias.
4.1.- GRAFICA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL
Gráfica de una función de varias variables y curvas de nivel. Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del comportamiento de una función de dos variables dibujando se gráfica. La gráfica de una función fde dos variables es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) para los que z=f(x,y) y (x,y) está en el dominio de f. Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es como un campo escalar que asigna al punto (x,y) el escalar Z=f(x,y). Un campo escalar se caracteriza por sus curvas de nivel ó líneas de contorno a lo largo de las cuales el valor f(x,y) es constante. Ejemplos. • Un mapa meteorológico muestra las curvas de nivel de igual presión, llamadas isobaras. • También en los mapas meteorológicos, las curvas de nivel que representan puntos de igual temperatura se llaman isotermas. • En la
representación de campos de potencial eléctrico reciben el nombre de curvas equipotenciales. • Los mapas topográficos (mapas de contorno ) representan
regiones de la superficie terrestre, en cuyo caso las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Características de las curvas de nivel. 1. Toda curva se cierra por sí misma. 2. Una curva no puede dividirse o ramificarse. 3. No se pueden fundir dos o más curvas en una sola. 4. Si en algún lugar las curvas de nivel se cruzan indican una cueva o una saliente. 5. En una zona dependiente uniforme quedaran las curvas equidistantes. 6. Si las curvas están muy separadas será porque hay pendiente suave, y cuando están muy cercanas la pendiente es fuerte.
Realice y obtenga las curvas de nivel, de las siguientes funciones: Z=senxy ; Z=cosy^2 e^(-√(x^2+y^2 )) ; Z=2/(y-x^2 ) ; Z=(x-2y)/(x^2+y^2 ) ; Z=senxy/xy
Z=e^xy ; Z=xy/(x^2+y^2 ) ; Z=√(64-x^2-y^2 ) Esto lo realizará en geogebra en una hoja nueva, cambiando la función, en el apartado de función multivariable. En este ejemplo sólo desplace a "n", para que observe como se van obteniendo las curvas nivel
4.2.- DEFINICION DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES Definición:
Función de dos variables Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales( x, y ) un y sólo un número real z . El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio. Una función de dos variables se denota usualmente con la notación z = f ( x, y )
Las variables x , y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas ( x , y , z ) en donde ( x , y ) está en el dominio de f y z = f ( x , y ). Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.
Líneas o curvas de nivel Si tenemos una función de dos variables dada por z = f ( x , y ), entonces la gráfica de la ecuación f ( x , y ) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas ( x , y , c ). Todos estos puntos tienen el mismo valor para la coordenada z , es decir, z = c . Por lo tanto, todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano xy, o sea que están "al mismo nivel" sobre el plano xy .
Coordenadas cartesianas en el espacio En el espacio existen tres ejes, un eje vertical y dos horizontal, considerando al plano xy como horizontal y z como vertical. Dichos ejes tienen secciones positivas y negativas por lo regular únicamente utilizamos las positivamente orientadas, en los cuales al ver hacia abajo el eje z se observa el plano xy . Se especifica un punto en el espcio mediante coordenadas (x, y, z) con respecto a los ejes; primero comenzamos en el origen, avanzamos x unidades en el eje de las x, paralelamente avanzamos y unidades en el eje y y finalmente z unidades paralelas al eje z, las coordenada pueden ser positivas, cero o negativas. Para graficar dichas funciones se deben cumplir que z=0, si esta coordenada es cero debemos entrar en nivel vertical en el plano horizontal.
Para encontrar la distancia entre puntos en un eje tridimensional es necesario notar que el puno PE es el eje de las x, EF eje y y FG eje z. Por lo que para hallar la distancia entre puntos obtenemos que:
PG^2=PF^2+FG^2=PE^2+EF^2+FG^2= *(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 .
4.3.- LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES Son aplicaciones entre espacios eucludeos, IRn, f : X ⊂ IRn −→ Y ⊂ IRm x −→ y x = (x1, x2, ··· , xn), y = (y1, y2, ··· , ym) e yj = fj (x1, x2, ··· , xn), 1 ≤ j ≤ n n = 1, m = 1: función real de variable real. n > 1,m = 1: función real de variable vectorial o función real de varias variables reales o función escalar de varias variables. A las funciones, fj, reales de variable vectorial se les denomina funciones coordenadas.
4.4.- DERIVADAS PARCIALES
En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, física matemática, etc. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
Donde
es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se
puede representar como a la variable y así sucesivamente. Cuando una magnitud
que es la primera derivada respecto
es función de diversas variables (
), es decir:
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función en un punto dado. Esta recta es paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada. Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función. Supongamos que es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,
Un gráfico de z = x 2 + xy + y 2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x . Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x , y aquellas que son paralelas al eje y .
Este es un corte del gráfico de la derecha donde y = 1. Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x , tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:
en el punto (1, 1, 3), o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."
Ejemplos
El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)
Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula
Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:
Otro ejemplo, dada la función
la derivada parcial de
tal que:
respecto de es:
mientras que con respecto de es:
4.5.- INCREMENTOS Y DIFERENCIALES Resulta: Y = f (x) dy = f´(x) dx Recordando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto, tenemos:
dy = f´(x) dx dy = tg θ (PB) En base a la gráfica, tenemos que: BC.
CATETO OPUESTO
tg θ = PB
CATETO ADYACENTE
Sustituyendo, se obtiene:
dy = tg θ (PB)
BC dy = PB (PB) = BC} representa el incremento de la ordenada de la “tg” corresp. a dx.
Si dx representa un incremento cualquiera de la variable independiente x para un punto P(x,y) de la curva y = f (x), tiene por derivada: dy dx = f´(x) = tg θ
Generalmente la diferencial de la función (dy) y el incremento (Δx) no son iguales por ejemplo: de la grafica tenemos que:
dy = BC } incremento de la ordenada de la tg en P. Δy = BP´ } incremento de la ordenada de la función de P a P´
4.6.- REGLA DE LA CADENA Y DERIVADA IMPLICITA Derivada de una constante
La pendiente de una recta horizontal en cualquier punto es CERO. La pendiente para una diagonal en cualquier punto será UNO.
EJEMPLO
EJEMPLO
3.- Derivada de un múltiplo constante
Constante por derivada de una función. EJEMPLO
4.- Suma de derivadas
EJEMPLO
5.- Regla de la sustracción de derivadas
EJEMPLO
6.- Regla de Potencias
REGLA DEL COCIENTE
La derivada de un consiente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado; lo cual se representa en la siguiente fórmula:
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
En muchas ocasiones las funciones que nos brindan están definidas en forma implícita, esto es cuando nos aparece despejada la "Y" sino que la relación entre "X" y "Y" viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar "Y". Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora.
EJEMPLOS
4.7.- DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
4.8.- DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.
Derivada direccional Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de dirección de un vector unitario arbitrario superficie
con ecuación
en el punto
en la
. Para esto consideramos la (la gráfica de
) y sea
.
Entonces el punto está sobre . El plano vertical que pasa por el punto en la dirección del vector interseca a la superficie en la curva . La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es la tasa de cambio de en la dirección de . En la liga, se puede arrastrar con el mouse el punto y/o el vector como varía la tasa de cambio en en la dirección de
para observar
Si
es otro punto sobre la curva
sobre el plano de los vectores vector , y por consiguiente
para algún escalar
. Así pues,
y
, y si
y
son las proyecciones
, entonces el vector
es paralelo al
y la razón de cambio está dada por
y al tomar el límite cunado obtenemos la tasa de cambio instantanea de (con respecto a la distancia) en la dirección de , la cual se llama derivada direccional de
en la dirección de
.
Definición (derivada direccional) Sea
una función escalar y sean un vector unitario, entonces la derivada direccional de en la dirección del vector
y en
, está dada por :
Observación: al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direccional (1), podemos notar que si
direccionales
en
la
entonces
y si
, es decir, las derivadas parciales son derivadas dirección de los vectores canónicos.
Gradiente
La derivada direccional Duf(x,y) puede expresarse como el producto escalar del vector unitario
y el vector
Este vector es importante y tiene usos diversos. Lo llamamos vector gradiente de f . Definición 1.2 Si z=f(x,y), entonces el gradiente de f, que se denota mediante , es el vector
Otra notación para el gradiente es grad f(x,y) Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada direccional de f en la dirección de u como
En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el contenido del siguiente teorema. Teorema 1.2 Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es
Ejemplo 1.3 Calcular la derivada direccional de en (-1,3) en la dirección que va desde P(-1,3) a Q(1,-2) Solución Un vector en la dirección especificada es
y un vector unitario en esta dirección es
Como, el gradiente (-1,3) es
En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es
Ya hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de una superficie. En muchas aplicaciones nos gustaría conocer en qué dirección movernos para que f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de máxima pendiente, y viene dada por el gradiente,
Sea f definida en una región abierta R conteniendo (x0,y0). Decimos que (x0,y0) es un punto crítico de f si se verifica una de las siguientes afirmaciones:
Recordemos del teorema 1.3 que si f es diferenciable y
entonces toda derivada direccional en (x0,y0) ha de ser cero. Eso implica que la función tiene un plano tangente horizontal en el punto (x0,y0) como se ilustra en las figuras 2.3 y 2.4. Es evidente que ese punto es candidato a que haya en el un extremo relativo.
figura 2.3
Máximo relativo
figura 2.4
Mínimo relativo
Teorema 2.2 Si f(x0,y0) es un extremo realtivo de f en una región abierta R, entonces (x0,y0) es un punto crítico de f.
Ejemplo 2.1 Determinar los extremos relativos de
Solución Comenzamos buscando los puntos críticos de f. Como
se hallan definidas para todo x e y, los únicos puntos críticos son aquellos en que se anulan ambas derivadas parciales primeras. Para localizar estos puntos, anulamos fx y fy, y resolvemos el sistema de ecuaciones 4x+8=0 y 2y-6=0 para obtener el punto crítico (-2,3). Completando cuadrados, podemos concluir que para todo (x,y) distinto de (-2,3),
Por lo tanto, hay un mínimo relativo de f en (-2,3). El valor del mínimo relativo es f(-2,3)=3, como se ve en la figura 2.5.
figura 2.5 El ejemplo 2.1 nos muestra un mínimo relativo para un tipo de punto crítico -aquel en que ambas derivadas parciales primeras son nulas-. En el ejemplo 2.2 nos fijamos en un máximo relativo que ocurre en el otro tipo de punto crítico -aquel para el que las derivadas parciales primeras no existen-.
Ejemplo 2.2 Determinar los extremos relativos de
Solución Como
vemos que ambas derivadas parciales están definidas en todo el plano xy, excepto en (0,0). Además, este es el único punto crítico, ya que las derivadas parciales no pueden anularse simultáneamente salvo que x e y sean nulos. En la figura 2.6 vemos que f(0,0)=1. Para cualquier otro (x,y) está claro que
<1 Luego, f(0,0) es un máximo relativo de f.
figura 2.6 fx y fy no están definidas en (0,0) En este ejemplo, fx(x,y)=0 para todo punto del eje y, excepto (0,0). Sin embargo, como fy(x,y) no es nula, estos puntos no son puntos críticos. Recordemos que una de las derivadas parciales debe no estar definida o ambas deben anularse en caso de conducir a un punto crítico. El teorema 2.2 nos dice que para encontrar los extremos relativos necesitamos solamente examinar valores de f(x,y) en puntos críticos. Sin embargo, al igual que se cumple para una función de una variable, los puntos críticos de una función de dos variables no siempre nos conduce a máximos o mínimos relativos. Algunos puntos críticos conducen a puntos de silla, que no son ni máximos ni mínimos relativos. Por ejemplo, el punto de silla que se muestra en la figura 2.7 no es un extremo relativo, ya que en un disco abierto centrado en el (0,0) la función toma ambos, valores negativos (sobre el eje x) y valores positivos (sobre el eje y).
figura 2.7 Punto de silla en (0,0,0): fx(0,0=fy(0,0)=0 Para las funciones de los ejemplos 2.1 y 2.2, es relativamente fácil determinar los extremos relativos, ya que cada función fue, o bien dada o susceptible de escribirse en forma de cuadrados perfectos. Para funciones más complicadas, los argumentos algebraicos no son tan útiles, y dependemos de los medios más analíticos que se introducen en el siguiente criterio de las derivadas parciales segundas. Este es el criterio que en dos variables corresponde al criterio de la segunda derivada para funciones de una variable. Criterio de las segundas derivadas parciales
Teorema 2.3 Sea una función f con derivadas parciales primeras y segundas continuas en una región abierta que contiene un punto (a,b) para el que fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0. Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la cantidad
Si d > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) en un mínimo relativo. Si d > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) en un máximo relativo. Si d < 0, entonces (a,b,f(a,b)) es un punto de silla. Este criterio no da información si d=0. Si d > 0, entonces fxx(a,b) y fyy(a,b) deben tener el mismo signo. Esto significa que se puede reemplazar fxx(a,b) por fyy(a,b) en las dos primeras partes del criterio. Una técnica apropiada para recordar la fórmula de d en el criterio anterior viene dada por el determinante siendo fxy(a,b)=fyx(a,b).
Ejemplo 2.3
Encontrar los extremos relativos de
Solución Comenzamos buscando los puntos críticos de f. Puesto que
están definidas para todo x e y, los únicos puntos críticos son aquellos para los cuales ambas derivadas parciales primeras son nulas. Para localizar estos puntos, hacemos fx(x,y) y fy(x,y) cero y obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:
De la segunda ecuación vemos que x=y, y sustituyendo en la primera obtenemos dos soluciones: y=x=0 e y=x=4/3. Como fxx(x,y) = -6x, fyy(x,y) = -4 y fxy(a,b) = 4 se sigue que para el punto crítico (0,0),
y, por el criterio de las derivadas parciales segundas, concluimos que (0,0,1) es un punto de silla de f. Para el punto crítico (4/3,4/3),
y como
Concluimos que f(4/3,4/3) es un máximo relativo, como se muestra en la figura 28.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento del campo escalar, y cuya magnitud es la mayor tasa de cambio. Una generalización del gradiente de funciones en un espacio euclidiano que tienen valores en otro espacio euclidiano es el jacobiano. Una generalización de una función de un espacio de Banach a otro es la derivada de Fréchet. Interpretaciones Considere la posibilidad de una habitación en la que se da la temperatura de un campo escalar, T , por lo que en cada punto (x,y,z) la temperatura es T (x,y,z) (vamos a suponer que la temperatura no cambia en el tiempo). En cada punto de la habitación, el gradiente de T en ese momento se mostrará la dirección que la temperatura se eleva más rápidamente. La magnitud del gradiente determinará la rapidez con la temperatura se eleva en esa dirección. Considere la posibilidad de una superficie cuya altura sobre el nivel del mar en un punto (x,y) es H (x,y). El gradiente de H en un punto es un vector que apunta en la dirección de la empinada pendiente o grado en ese punto. La inclinación de la pendiente en ese punto está dado por la magnitud del vector gradiente. El gradiente también se puede utilizar para medir cómo cambia un campo escalar en otras direcciones, en lugar de la dirección de mayor cambio, por tomar un producto escalar. Supongamos que la pendiente más pronunciada en una colina es de 40%. Si la carretera va directamente a la colina, a continuación, la pendiente más pronunciada en la carretera también será de 40%. Si, en cambio, el camino va alrededor de la colina en un ángulo (el vector gradiente), entonces tendrá una pendiente menos profunda. Por ejemplo, si el ángulo entre el camino y la dirección hacia arriba, proyectada sobre el plano horizontal, es de 60 °, a continuación, la pendiente más inclinada a lo largo de la carretera será de 20%, que es 40 veces% el coseno de 60 °. Esta observación puede ser matemáticamente declaró lo siguiente. Si la altura de la colina función H es diferenciable, entonces el gradiente de H de puntos con una unidad de vector da la pendiente de la colina en la dirección del vector. Más precisamente, cuando H es diferenciable, el producto escalar del gradiente de H
con un vector unidad dada es igual a la derivada direccional de la H en la dirección de ese vector
4.9.- VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
¿Qué es un punto de extremo absoluto o global sobre un conjunto a para una función real de n variables reales? Es un punto de A en el cual la función alcanza el mayor o el menor valor respecto al resto de los valores que toma dicha función en los puntos de A.
¿Y cuándo hablamos de puntos de extremo local o relativo? Pues cuando el máximo o el mínimo lo es respecto al resto de los valores que toma la función en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al esto de los valores de la función en los demás puntos de A. Ejemplos: El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por: El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por: Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias variables aunque solo será enunciado para el caso de tres variables. Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no
necesario que la función sea diferenciable).A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios. Análogamente al caso de una o dos variables existen en el caso de tres variables puntos estacionarios que no son puntos de extremo local. ¿Cómo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremo local? Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden expresarse en términos de determinantes de matrices reales simétricas o en términos de valores propios de tales matrices. Recordemos que si A es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad del mismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio característico de A y a sus ceros o raíces se les denomina valores propios, auto valores o valores característicos de A. Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de puntos de extremo local) Sea una función con segundas derivadas parciales continuas en el punto estacionario Sea la matriz llamada Hessiana de:
IIc Hessiana de en . Entonces: a) Si todos los valores propios de M son positivos es un punto de mínimo local. b) Si todos los valores propios de M son negativos es un punto de máximo local. c) Si todos los valores propios de M son no negativos es un punto de mínimo local o no es un punto de extremo local. d) Si todos los valores propios de M son no positivos es un punto de mínimo local o no es un punto de extremo local. e) Si los valores propios de M son al menos uno positivo y otro negativo pero ninguno nulo entonces no es un punto de extremo local.
BIBLIOGRAFIA
https://es.scribd.com/mobile/doc/455072668/4-1Definicion-de-una-funcion-devarias-variables
https://sites.google.com/site/calculovectorialverano2012/funciones-reales-devarias-variables
www.scoop.it/t/calculo-vectorial/p/3707570726/2012/12/13/4-1-definicion-de-unavarias-variables
https://vectorialtest.wikispaces.com/UNIDAD+4+FUNCIONESREALES+DE+VARIAS+VARIABLES
CONCLUSION
