Naser Prljača Zenan Šehić
AUTOMATSKO UPRAVLJANJE -Analiza i Dizajn-
Predgovor Svrha ove knjige je predstavljanje osnovnih metoda i tehnika analize i dizajna kontinualnih linearnih sistema automatskog upravljanja. Akcent je na klasičnim i na modernim (matričnim) metodama analize i dizajna. Želja i cilj autora ove knjige je bila da u jednoj knjizi predstave kako tehnike analize isto tako i tehnike dizajna sistema automatskog upravljanja, i na taj način olakšaju čitaocima usvajanje i razumijevanje problematike teorije automatskog upravljanja. Knjiga je namijenjena studentima tehničkih fakulteta koji izučavaju sisteme automatskog upravljanja u planu studija, te inženjerima koji se bave automatikom u profesionalnom radu. Autori pretpostavljaju da čitaoci imaju osnovna znanja iz teorije signala i sistema, matematičke analize, kompleksne analize te linearne algebre. Nadamo se da će ova knjiga stimulisati čitaoce da nastave izučavanje ove značajne i izazovne inženjerske discipline, izvan njenih okvira. Zahvaljujemo recenzentima na korisnim savjetima i sugestijama, te našim kolegama na domaćim i inostranim univerzitetima sa kojim smo sarađivali i od kojih smo mnogo naučili. Zavaljujemo našim sponzorima bez čije pomoći ova knjiga ne bi bila štampana. Ovu knjigu posvećujemo svojim obiteljima, za trajnu podršku i razumijevanje.
U Tuzli, maj 2008.
Autori
5
Sadržaj 1. Automatsko upravljanje sistemima – osnovni pojmovi
1.1 Uvod 1.2 Upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi 1.3 Upravljanje sa zatvorenom povratnom spregom 1.4 Primjeri iz historijata automatskog upravljanja 1.5 Primjeri savremenih sistema automatskog upravljanja 1.6 Dizajn upravljačkog sistema
2. Matematičko modeliranje fizikalnih sistema
2.1 Osnove matematičkog modeliranja 2.2 Modeli električnih sistema 2.3 Modeli mehaničkih sistema 2.4 Modeli elektromehaničkih sistema 2.5 Modeli termičkih sistema 2.6 Modeli fluidnih sistema 2.7 Analogije dinamičkih sistema 2.8 Linearizacija modela dinamičkih sistema 2.9 Rješavanje matematičkih modela dinamičkih sistema 2.9.1 Laplace-ova transformacija 2.9.2 Primjena Laplace-ove transformacije za rješavanje diferencijalnih jednačina
3. Analiza sistema automatskog upravljanja u domenu prenosnih funkcija 3.1 Prenosna funkcija linearnog sistema 3.2 Prenosne funkcije nekih elementarnih sistema 3.3 Prenosna funkcija multivarijabilnog sistema 3.4 Osnovne karakteristike sistema sa zatvorenom povratnom spregom 3.5 Algebra dijagrama blokova 3.6 Graf toka signala 3.7 Ocjene kvalitete sistema automatskog upravljanja 3.7.1 Vremenske ocjene kvalitete – tranzijentni i ustaljeni odziv 3.7.2 Tranzijentni odziv sistema drugog reda 3.7.3 Tranzijentni odziv sistema višeg reda 7
3.7.4 Ustaljeni odziv 3.7.5 Princip internog modela 3.7.6 Integralne ocjene kvalitete 3.8 Stabilnost dinamičkih sistema 3.9 Algebarski kriterijumi stabilnosti 3.9.1 Routh-ov kriterij stabilnosti 3.9.2 Hurwitz-ov kriterij stabilnosti 3.10 Geometrijsko mjesto korijena 3.10.1 Konstrukcija geometrijskog mjesta korijena 3.10.2 Ekstenzija geometrijskog mjesta korijena
4. Dizajn regulatora u domenu prenosnih funkcija 4.1 Efekti polova i nula regulatora na sistem automatskog pravljanja 4.2 Kraćenje nula i polova regulatora i objekta upravljanja 4.3 Regulator sa postavljanjem polova 4.4 Svi stabilizirajući regulatori (Youla parametrizacija) 4.5 Regulatori PID tipa 4.5.1 Dizajn P regulatora 4.5.2 Dizajn PI regulatora 4.5.3 Dizajn PD regulatora 4.5.4 Dizajn PID regulatora 4.6 Eksperimentalno podešavanje PID regulatora 4.6.1 Ziegler-Nichols-ove preporuke podešenja PID regulatora 4.6.2 Cohen-Coon-ove preporuke podešenja PID regulatora 4.6.3 Chien-Hrones-Reswick-ove preporuke podešenja PID regulatora 4.6.4 Optimalno podešenje PID regulatora po integralnom kriteriju (ITAE) 4.7 Kaskadno upravljanje 4.8 Smith-ov prediktor 5. Analiza sistema automatskog upravljanja u frekventnom domenu 8
5.1 Frekventna karakteristika linearnog sistema 5.2 Konstrukcija Bode-ovih dijagrama
5.3 Analiza stabilnosti u frekventnom domenu (Nyquist-ov kriterij stabilnosti) 5.4 Margine stabilnosti sistema po pojačanju i fazi 5.4.1 Margina stabilnosti po pojačanju 5.4.2 Margina stabilnosti po fazi 5.5 Analiza stabilnosti korištenjem Bode-ovih dijagrama 5.6 Ocjene kvalitete sistema automatskog upravljanja 5.6.1 Relacije između tranzijentnog odziva zatvorenog sistema i njegove frekventne karakteristike 5.6.2 Relacije između frekventne karakteristike otvorenog i zatvorenog sistema, konstantni M i N krugovi 5.6.3 Relacije između tranzijentnog odziva zatvorenog sistema i frekventne karakteristike otvorenog sistema
6. Dizajn regulatora u frekventnom domenu
6.1 Dizajn P regulatora 6.2 Dizajn PD regulatora 6.3 Dizajn PI regulatora 6.4 Dizajn PID regulatora
7. Analiza sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja
7.1 Koncept prostora stanja 7.2 Matrične jednačine linearnih sistema 7.3 Rješavanje diferencijalnih jednačina u prostoru stanja 7.3.1 Metod varijacije konstanti 7.3.2 Primjena Laplace-ove transformacije 7.4 Transformacije sličnosti 7.5 Dobijanje jednačina u prostoru stanja 7.5.1 Dobijanje jednačina u prostoru stanja iz obične diferencijalne jednačine 7.5.2 Dobijanje jednačina u prostoru stanja iz simulacionih Dijagrama
7.6 Analiza stabilnosti u prostoru stanja 7.7 Teorija stabilnosti Lyapunov-a 7.8 Kontrolabilnost i observabilnost sistema
9
8. Dizajn regulatora u prostoru stanja
8.1 Problem regulacije - regulator sa postavljanjem polova u prostoru stanja 8.2 Izbor lokacije polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom po stanju 8.3 Problem praćenja 8.4 Princip internog modela 8.5 Estimator vektora stanja sistema 8.6 Estimator vektora stanja i vanjske smetnje 8.7 Princip separacije 8.8 Optimalni regulator u prostoru stanja 8.8.1 Optimalni linearni deterministički regulator 8.8.2 Optimalni Kalman-ov filter 8.8.3 Optimalni linearni stohastički regulator
9. Digitalno upravljanje
9.1 Dizajn digitalnog regulatora pomoću emulacije 9.2 Euler-ov metod diskretizacije (razlika unaprijed) 9.3 Euler-ov metod diskretizacije (razlika unazad) 9.4 Tustin-ov metod diskretizacije 9.5 Izbor perioda uzorkovanja 9.6 Diskretizacija PID regulatora 9.7 Diskretizacija linearnih regulatora
Indeks Literatura
10
1. Automatsko upravljanje sistemima osnovni pojmovi
1.1 Uvod
Teorija automatskog upravljanja se bavi metodama analize i sinteze tehničkih dinamičkih sistema (sistema automatskog upravljanja) koji bez prisustva čovjeka realiziraju željenu funkciju cilja, odnosno željeno dinamičko i statičko ponašanje tehničkog sistema. Drugačije rečeno, sistem automatskog upravljanja (SAU) realizira upravljanje određenim objektom (uređajem, procesom, postrojenjem, pokretnim objektom itd.). Potrebe za automatskim upravljanjem su prisutne u svim sferama ljudske djelatnosti: od regulacije temperature u sobi do upravljanja letom svemirskih letjelica. Pod upravljanjem se podrazumijeva dovođenje objekta iz jedne radne tačke u drugu radnu tačku, dok se pod regulacijom podrazumijeva održavanje objekta u željenoj radnoj tački. Teorija automatskog upravljanja se bazira na: - Teoriji signala i sistema - Matematičkoj analizi - Tehnikama softverskog i hardverskog inženjeringa - Tehnikama vještačke inteligencije U opštem slučaju problem automatskog upravljanja se može predstaviti kao na slici 1.1 u(t) ulaz
Proces
y(t) izlaz
Slika 1.1 Tehnički sistem
i formulisati kao: naći ulaz u (t ) takav da izlaz iz procesa y (t ) bude što je moguće “bliži” ili jednak željenom izlazu y d (t ) . Na slici 1.2 su prikazani y (t ) i y d (t ) . Izlaz i ulaz su odgovarajuće fizikalne veličine. Kada se ulaz u (t ) primijeni na sistem, izlaz sistema treba da bude što bliže željenom izlazu y d (t ) . 11
y(t) yd(t)
t Slika 1.2 Problem automatskog upravljanja – željeni i stvarni izlaz sistema
U opštem slučaju objekat (proces) kojim se upravlja opisan je sa diferencijalnom jednačinom kretanja. u(t) ulaz
diferencijalna jednačina
y(t) izlaz
Slika 1.3 Dinamički sistem
Diferencijalne jednačine koje predstavljaju modele stvarnih dinamičkih sistema se dijele na: - -
Obične diferencijalne jednačine Parcijalne diferencijalne jednačine
Generalno, problem automatskog upravljanja može biti riješen na jedan od dva načina (ako je rješenje uopšte moguće): 1. Upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi (open loop control) 2. Upravljanje sa zatvorenom povratnom spregom (closed loop control)
1.2 Upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi
Rješenje problema upravljanja u otvorenoj povratnoj sprezi se svodi na nalaženje ulaznog upravljačkog signala u = u (t ) , u funkciji vremena i samo u funkciji vremena (slika 1.3), koji osigurava da izlazni signal y (t ) prati što je moguće bolje željeno yd (t ) . 12
Primjer 1.1 Potrebno je izvršiti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze robu iz skladišta do teretnog aviona (slika 1.4).
AGV
F (t )
Avion
L
x
Slika 1.4 Automatska kolica
Pri rješavanju ovog problema treba slijediti slijedeće korake: 1. Naći matematički model sistema (jednačina kretanja kolica u zavisnosti od sile) 2. Postaviti specifikacije (zahtjeve) na željeno ponašanje sistema (kako kolica treba da se kreću od skladišta do aviona). Konkretno, za ovaj primjer potrebno je imati slijedeće početne uslove: x(0) = 0 , početna pozicija kolica (skladište) dx (0) = 0 , početna brzina kolica (miruju) dt i krajnje uslove: x(T ) = L , krajnja pozicija kolica (avion) dx (T ) = 0 , krajnja brzina kolica (miruju) dt Postoji neograničen broj načina da se ovi uslovi zadovolje, kao npr. na slici 1.5.
13
x(t)
L
t
Slika 1.5 Moguće putanje kolica
Na primjer, izaberimo takvo rješenje pri kome kolica pređu udaljenost L za najkraće moguće vrijeme. To rješenje implicira da će kolica u prvoj polovini puta maksimalno ubrzavati, a u drugoj polovici maksimalno usporavati. x( t ) A T/2
T t
-A
Slika 1.6 Profil ubrzanja kolica x ( t )
T/2
T
Slika 1.7 Profil brzine kolica
14
t
x( t ) L
T/2
T
t
Slika 1.8 Profil pozicije kolica
t
t
dx(t ) = v(t ) = ∫ a (t )dt = ∫ Adt = At dt 0 0 v(t ) =
T /2
∫
t
∫
Adt +
0
At 2 2
T /2
t
0
T /2
za 0 ≤ t ≤ T / 2
∫ v(t )dt + ∫ v(t )dt x(t ) =
za t = T ⇒ x(T ) = L ⇒ L =
za T / 2 ≤ t ≤ T
T /2
x(t ) = ∫ v(t )dt = x(t ) =
− Adt = AT − At
za 0 ≤ t ≤ T / 2
(1.1)
za T / 2 ≤ t ≤ T
AT 2 AT 2 At 2 − + ATt − 4 2 2
AT 2 4
Jednačina kretanja sistema je: m0 A, d 2x m0 2 = F (t ) ⇒ F (t ) = dt −m0 A,
0≤t ≤T /2 T /2
(1.2)
Da bi se odredila potrebna sila (upravljanje) F (t ) , potrebno je poznavati m0 i A. Masa tereta koji prevoze kolica, uključujući i masu samih kolica, se kreće u određenim granicama. Odnosno, može se pisati: m = m0 + ∆m , gdje je | ∆m |≤ M 15
nepoznata ograničena varijacija mase. Parametre sistema ne možemo nikada znati potpuno tačno. Diferencijalna jednačina kretanja stvarnog sistema je: (m0 + ∆m)
d 2x = F (t ) dt 2
(1.3)
gdje je sa ∆m označeno odstupanje u masi i može biti pozitivno ili negativno. Prema tome, unutar vremena 0 ≤ t ≤ T / 2 sistem se pod dejstvom sračunate sile (1.2), može opisati diferencijalnom jednačinom: m0 d 2x = A 2 dt m0 + ∆m
(1.4)
m0 d 2x =− A 2 dt m0 + ∆m
(1.5)
a unutar T / 2 ≤ t ≤ T sa:
Dakle, odstupanje ∆m će unijeti odstupanja u konačnoj poziciji kolica za neko ∆L , kao što je pokazano na slici 1.9. Ovo odstupanje (greška) je veće što je varijacija mase veća i planirano putovanje kolica duže traje. x( t ) L
∆L
T/2
T
t
Slika 1.9 Odstupanja od željene pozicije, uzrokovane varijacijom mase kolica
Pored razmatranih promjena (varijacija) parametara sistema, na sistem uvijek djeluju slučajne vanjske smetnje (npr. trenje kotrljanja, otpor vazduha).
16
Jednačina koja bi realno opisala ovakav sistem je slijedeća: (m0 + ∆m)
d 2x = F (t ) + ξ (t ) dt 2
(1.6)
gdje je sa ξ (t ) označena slučajna vanjska smetnja. Vanjska smetnja dodatno doprinosi greški u pozicioniranju kolica. Očigledno je da ovakav način upravljanja, tj. upravljanje u otvorenoj sprezi tačno upravlja pozicijom kolica samo u idealnom slučaju, tj. kada nema značajnih promjena parametara sistema i kada na sistem ne djeluju značajne vanjske smetnje. Nalaženje upravljačkog signala F (t ) je bilo bazirano na poznavanju modela sistema i njegovih početnih uslova. Prema prethodnoj analizi moglo se zaključiti da je svaki model sistema bolja ili lošija aproksimacija stvarnog ponašanja sistema. U prethodnom slučaju to je pokazano na primjeru promjene ili nepoznavanja apsolutne mase kolica. Pored toga, na sistem uvijek djeluju i vanjske smetnje, pa se može generalno zaključiti da su sistemi sa upravljanjem u otvorenoj sprezi ograničene tačnosti.
1.3 Upravljanje sa zatvorenom povratnom spregom
Za razliku od upravljanja sa otvorenom povratnom spregom, upravljanje sa zatvorenom povratnom spregom zahtijeva nalaženje upravljanja u (t ) koje je funkcija i stvarnog (mjerenog) izlaza iz sistema y (t ) (slika 1.10). u(t)
Sistem
y(t)
u=u(t, y(t)) Senzor Regulator Slika 1.10 Sistem upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom
U najčešćem broju slučajeva signal povratne sprege y (t ) se koristi za nalaženje razlike između željenog i stvarnog stanja (izlaza) sistema. Razlika između željenog i stvarnog stanja sistema se naziva greška odstupanja sistema automatskog upravljanja (regulaciona greška). 17
yd(t)
+
Regulator
-
u(t)=u(e(t))
Sistem
y(t)
e(t)=yd(t)-y(t) Senzor
Slika 1.11 Sistem sa povratnom spregom po greški odstupanja
Kao što se može vidjeti sa slike 1.11, upravljanje u (t ) je funkcija regulacione greške. Želi se postići što manje e(t ) , tj. osigurati da e(t ) → 0 , ukoliko je to moguće. Primjer 1.2 Neka je sada potrebno izvršiti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze teret iz skladišta do transportnog aviona korištenjem upravljanja u zatvorenoj sprezi. Najprije se razvije odgovarajući matematički model sistema, tj. postave se diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema.
(m0 + ∆m)
d 2x = F (t ) + ξ (t ) dt 2
(1.7)
Izlaz sistema predstavlja poziciju kolica. Krajnji uslovi su: x(T ) = L
18
dx (T ) = 0 dt
(1.8)
Neka je upravljačka sila F (t ) generisana na slijedeći način (slika 1.12):
F (t ) = K p ( L − x(t )) − K d
dx(t ) dt
(1.9)
Dakle, upravljačka sila F (t ) je funkcija stvarne (mjerene) pozicije i brzine kolica, gdje su K p i K d odgovarajuće konstante. Prema tome, dobija se slijedeća diferencijalna jednačina koja opisuje ponašanje sistema sa prethodno definisanom upravljačkom silom: (m0 + ∆m) d 2 x K d dx ξ (t ) + + x(t ) = L + 2 Kp dt K p dt Kp
(1.10)
Rješavanjem prethodne diferencijalne jednačine dobijemo vremenski profil pozicije kolica x(t ) . Stacionarno stanje (svi izvodi u jednačini su nule) daje x(T ) = L uz ξ (t ) = 0 . Na ovaj način je osigurano da kolica u trenutku T stignu u poziciju L. Iz prethodnog primjera uočavaju se najvažnije prednosti korištenja povratne sprege (feedback) za upravljanje: - -
Varijacija mase kolica ne utiče na tačnost pozicioniranja kolica u stacionarnom stanju Tačnost stacionarnog stanja kolica ne zavisi od početnih uslova kolica
-
Uticaj vanjske smetnje ξ (t ) se smanjuje u ovisnosti o parametru K p
Prema tome, sistem sa povratnom spregom se vrlo efikasno nosi sa poremećajima tipa: - - -
Početnih uslova Promjenama parametara sistema Vanjskih slučajnih smetnji
19
L
+-
Kp
+-
F(t)
AGV
x(t)
Kd
d dt
x(t)
Senzor
Slika 1.12 Upravljanje kolicima sa zatvorenom povratnom spregom
1.4 Primjeri iz historijata automatskog upravljanja 1. Centrifugalni regulator brzine vrtnje parne mašine Centrifugalni regulator
Dovod pare
Regulacioni ventil
Parna mašina
Slika 1.13 Watt-ov sistem automatskog upravljanja brzinom vrtnje parne mašine
20
2. Elektronsko pojačalo sa negativnom povratnom spregom
Uu(t)
+
Ui(t)
A
-
H
Slika 1.14 Elektronsko pojačalo sa negativnom povratnom spregom
Ulazni i izlazni naponi pojačala sa slike 1.14 su povezani jednačinom:
U i (t ) =
A U u (t ) = 1 + AH
A 1 U u (t ) ≅ U u (t ) H 1 A + H A
(1.11)
5 7 U slučaju velikog pojačanja elektronskog pojačala, npr. u opsegu A ≈ 10 − 10 , pojačanje pojačala sa negativnom povratnom spregom je potpuno određeno elementom u povratnoj sprezi H (najčešće pasivni element). Drugačije rečeno, neizbježne varijacije (promjene) pojačanja pojačala A u relativno velikom opsegu neće bitnije utjecati na varijacije (promjene) pojačanja pojačala sa negativnom povratnom spregom ukoliko je element u povratnoj sprezi izabran da bude temperaturno i starosno stabilan te u željenoj klasi tačnosti.
3. Automatsko upravljanje vatrom protivavionskog topa Upravljačka šema rada automatskog protivavionskog topa je data na slici 1.15. Radar
+-
Hidraulički sistem
Top
ugao
Potenciometar
Slika 1.15 Automatsko upravljanje vatrom protivavionskog topa
21
Radarski sistem mjeri i prati poziciju i brzinu aviona, te u cilju obaranja aviona, šalje potrebne ugaone pozicije protivavionskom topu.
1.5 Primjeri savremenih sistema automatskog upravljanja 1. Sistem upravljanja automobilom
Put
+-
Dinamika automobila
Vozač
Vizualni senzor
Slika 1.16 Sistem upravljanja automobilom
2. Robotski manipulator
Slika 1.17 Upravljanje kretanjem robotskog manipulatora
22
3. Upravljanje proizvodnjom električne energije Kotao Voda Gorivo
Turbina
Generator
Ventil Ventil Ventil
Zrak
Mjerenje temperature
Mjerenje pritiska
Upravljanje brzinom
Računar
Željene vrijednosti parametara
Slika 1.18 Sistem upravljanja proizvodnjom električne energije
4. Ekonomski sistem – model sistema nacionalnog dohotka Sistemom upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom mogu se modelirati i socijalni, ekonomski i politički sistemi. Jedan takav primjer je model upravljanja nacionalnim dohotkom koji je predstavljen na slici 1.19. Privatne investicije
+-
Mjerenja
Vlada
+ ++
Proizvodnja
Stvarni nacionalni dohodak
Potrošači
+
Porezi
Slika 1.19 Model upravljanja nacionalnim dohotkom
23
1.6 Dizajn upravljačkog sistema
Na slici 1.20 prikazan je tipičan primjer sistema sa zatvorenom povratnom spregom. yd(t)
+-
e(t)
Regulator (Kontroler)
Pojačalo snage
Izvršni organ
Proces
Mjerenje (senzor)
Slika 1.20 Sistem upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom
Inženjerski dizajn je centralni zadatak svakog inženjeringa. Dizajniranje je kompleksan proces u kojem analiza i kreativnost igraju centralnu ulogu. Proces dizajniranja se u opštem slučaju može predstaviti pomoću dijagrama toka kao na slici 1.21. Svakako najveći izazov koji se postavlja pred dizajnera je pisanje specifikacija za tehnički proizvod. Specifikacije definišu svrhu i način rada sistema. Obično, proces dizajniranja pretpostavlja izbor kompromisa izmjeđu različitih konfliktnih kriterija postavljenih na sistem. Problem dizajniranja sistema upravljanja se može formulisati i na slijedeći način: Dat je model sistema, senzora, aktuatora (izvršnog organa) i skup ciljeva sistema. Problem se svodi na nalaženje odgovarajućeg regulatora (kontrolera) koji postiže ciljeve sistema, ili se utvrdi da takav regulator ne postoji.
24
y(t)
Postavljanje ciljeva sistema
Identifikacija varijabli za upravljanje
Specifikacija varijabli koje upravljamo
Uspostavljanje željene konfiguracije (regulator, aktuator i senzor)
Postavljanje mat. modela svih komponenata sistema
Izbor parametara regulatora koji mogu biti podešavani
Optimizacija parametara i analiza performansi
NE Specifikacije zadovoljene? DA Kraj procedure dizajna
Slika 1.21 Procedura dizajniranja sistema upravljanja
25
Primjeri dizajna sistema upravljanja a) Dizajn sistema za pokretanje magnetnog diska u otvorenoj sprezi +
Disk Podešavanje brzine
DC pojačavač DC motor
Slika 1.22 Upravljanje brzinom magnetskog diska računara u otvorenoj sprezi
U ovom primjeru upravljanja u otvorenoj sprezi DC (istosmjerni) pojačavač ima ulogu regulatora. DC (istosmjerni) motor ima ulogu aktuatora, a sam proces je disk koji se vrti određenom ugaonom brzinom. Naponski izvor obezbjeđuje napon proporcionalan željenoj brzini obrtanja diska. Ovaj napon se dalje pojačava i vodi istosmjernom (DC) motoru koji okreće disk. Ovaj sistem se može predstaviti blok dijagramom kao na slici 1.23. Željena brzina (napon)
Regulator
Aktuator
Proces
DC pojačavač
DC motor
Disk
Stvarna brzina
Slika 1.23 Blok dijagram sistema upravljanja brzinom diska
Ovakav sistem ne može garantovati da će se disk okretati željenom brzinom (promjena parametara sistema, vanjska smetnja), te ovakvo rješenje ne može zadovoljiti ako se traži velika tačnost u brzini obrtanja diska. b) Dizajn sistema upravljanja brzinom magnetnog diska sa zatvorenom povratnom spregom Ovo rješenje koristi povratnu informaciju o stvarnoj brzini obrtanja diska, te omogućava tačnije upravljanje brzinom.
26
+
Disk Podešavanje brzine
+-
DC pojačavač
DC motor Tahometar
Slika 1.24 Upravljanje brzinom magnetskog diska sa zatvorenom povratnom spregom
U ovom slučaju koristimo tahogenerator koji na svom izlazu daje napon proporcionalan stvarnoj brzini obrtanja diska, pa se na taj način dobija povratna (izmjerena) informacija o stvarnoj brzini diska. Izlaz iz tahogeneratora se vodi na komparator gdje se vrši oduzimanje signala željene i stvarne vrijednosti brzine i na taj način se formira signal greške koji se dalje vodi na pojačavač. Ovaj sistem se može predstaviti blok dijagramom kao na slici 1.25. Željena brzina (napon)
+-
Greška
Regulator
Aktuator
Proces
DC pojačavač
DC motor
Disk
Izmjerena brzina (napon)
Stvarna brzina
Senzor Tahometar
Slika 1.25 Blok dijagram sistema upravljanja brzinom diska sa zatvorenom spregom
27
2. Matematičko modeliranje fizikalnih sistema
2.1 Osnove matematičkog modeliranja
Da bi se razumjelo i upravljalo složenim sistemima, prvo se mora doći do validnih kvantitativnih matematičkih modela sistema. Ovi matematički modeli služe za analizu relacija (veza) između relevantnih varijabli u sistemu. Kako su razmatrani sistemi dinamički, njihovi matematički modeli su dati u formi diferencijalnih jednačina. Rješavanjem dobijenih diferencijalnih jednačina dobijaju se veze između relevantnih varijabli sistema. Matematičko modeliranje složenih sistema se bazira na primjeni relevantnih fizikalnih zakona na dati sistem. Ova primjena vodi diferencijalnim jednačinama kretanja datog sistema. Jednačine koje opisuju dinamičke sisteme mogu biti u slijedećoj formi: 1. Algebarske ili statičke jednačine f ( x, u ) = 0 (Statički sistemi kao specijalna forma dinamičkih sistema) 2. Obične diferencijalne jednačine. U ovom slučaju imamo jednačinu gdje figuriše nepoznata funkcija jedne nezavisno promjenljive, te njeni izvodi f ( x ( n ) (t ), x ( n −1) (t ),..., x(t ), u (t )) = 0 . Obične diferencijalne jednačine opisuju sisteme sa koncentrisanim parametrima. Funkcije u jednačini su samo funkcije vremena. Obične diferencijalne jednačine se mogu podijeliti na linearne i nelinearne. Linearne diferencijalne jednačine se predstavljaju u formi: d n x(t ) d n −1 x(t ) + + + a0 x(t ) = u (t ) a n −1 dt n dt n −1
(2.1)
Linearne diferencijalne jednačine mogu biti sa konstantnim ili sa vremenski promjenljivim koeficijentima ( koeficijenti su funkcije vremena tj. a = a(t)). Sistemi opisani linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima se nazivaju linearni vremenski invarijantni (nepromjenjivi) sistemi (tzv. LTI sistemi). Rješenje linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima (LTI) se sastoji iz dvije komponente: komponente slobodnog odziva i komponente 29
prinudnog odziva. Slobodni odziv je dio rješenja koje je posljedica početnih uslova (prethodno nagomilane energije u sistemu), dok je prinudni odziv dio rješenja koje je posljedica dejstva ulazne veličine (buduće ulazne energije u sistem). ∂ 2u ∂ 2 u ∂u + + = 0 , gdje je ∂x ∂y ∂x ∂z ∂t u = u ( x, y, z , t ) . Parcijalne diferencijalne jednačine opisuju sisteme sa distribuiranim parametrima. Varijable u jednačini su, pored vremena, ovisne i o prostornim koordinatama.
3. Parcijalne difrencijalne jednačine, npr.
Fizički sistem
Distribuirani parametri
Koncentrisani parametri
Parcijalne diferencijalne jednačine
Obične diferencijalne jednačine
Linearne diferencijalne jednačine
Nelinearne diferencijalne jednačine
Jednačine sa konstantnim koeficijentima
Slika 2.1 Mogući matematički modeli fizikalnih sistema
Pored izgradnje matematičkog modela primjenom relevantnih zakona fizike (matematičko modeliranje), model sistema se može dobiti i tzv. eksperimentalnom identifikacijom, što je posebno podesno za modeliranje kompleksnih sistema. Za dati ulaz se vrši snimanje vrijednosti ulaza-izlaza tehničkog sistema (izvođenjem eksperimenta), te se na osnovu odgovarajućeg postupka formira model sistema. 30
2.2 Modeli električnih (elektroničkih) kola
Električna (elektronička) kola se sastoje od naponskih i/ili strujnih izvora, te električnih elemenata kao što su otpornici, kondenzatori, zavojnice i tranzistori. Osnovne jednačine električnih kola su definisane Kirchhoff-ovim strujnim i naponskim zakonima, te relacijama ‘napon-struja’ električnih elemenata. U složenim električnim kolima je važno napisati navedene jednačine na dobro organiziran način. Postoji mnogo načina organizovanog pisanja osnovnih električnih jednačina, od kojih se najčešće koristi tzv. metod napona čvorova. Primjer 2.1 Naći matematički model (diferencijalnu jednačinu) sistema na slici 2.2. i1
L
R1
R2
ei(t)
i2
C
eo(t)
i3
Slika 2.2 Električno kolo
Postavljanjem strujnih i naponskih jednačina dobijamo: di1 (t ) + R1i1 (t ) + eo (t ) dt i1 (t ) = i2 (t ) + i3 (t )
ei (t ) = L
i1 (t ) =
eo (t ) de (t ) +C o R2 dt
d 2 eo (t ) L + R1 R2C deo (t ) R1 + R2 ei (t ) + + e ( t ) = o 2 R LC dt LC R2 LC dt 2
(2.2)
31
Zamjenama: ao =
R1 + R2 L + R1 R2C 1 , a1 = i bo = R2 LC R2 LC LC
(2.3)
prethodna jednačina prelazi u oblik: d 2 eo (t ) de (t ) + a1 o + ao eo (t ) = b0 ei (t ) 2 dt dt
(2.4)
S obzirom da su koeficijenti u ovoj diferencijalnoj jednačini konstantni, može se zaključiti da se radi o linearnom vremenski invarijantnom sistemu.
2.3 Modeli mehaničkih sistema
Kretanje mase je definisano Newton-ovim zakonom te relacijama ‘sila-brzina’ na mehaničkim elementima. Newton-ov zakon može biti primijenjen i na sisteme sa više masa. U tom slučaju je potrebno nacrtati dijagram slobodnog tijela za svaku masu sa dejstvom eksternih i internih sila, te onda primijeniti Newton-ov zakon. Primjer 2.2 Potrebno je naći matematički model mehaničkog sistema predstavljenog na slici 2.3. Sa oznakom B je označen tzv. prigušivač. Ovaj element modeluje viskozno trenje koje postoji u većini mehaničkih sistema. Koeficijent viskoznog trenja B predstavlja vezu između sile viskoznog trenja i brzine kretanja tijela:
F=B
dx(t ) dt
(2.5)
Sa oznakom K je obilježena konstanta opruge. Ovaj element (opruga) modeluje elastična svojstva sistema. Koeficijent K se može posmatrati i kao veza između djelujuće sile i relativnog istezanja opruge: F = Kx
32
(2.6)
K1
K2 m2 B2
m1 B1
F2(t)
x2
F1(t)
x1
Slika 2.3 Primjer mehaničkog translatornog sistema
Primjenom Newton-ovog zakona na sistem na slici 2.3 (sistem od dvije mase) i korištenjem relacija za navedene elemente mehaničkog sistema, dolazi se do slijedećih diferencijalnih jednačina:
m1
m2
d 2 x1 (t ) dx (t ) dx (t ) + B1 1 − 2 + K1 ( x1 (t ) − x2 (t )) = F1 (t ) dt dt dt
(2.7)
d 2 x2 (t ) dx (t ) dx (t ) dx (t ) − B1 1 − 2 − K1 ( x1 (t ) − x2 (t )) + B2 2 + K 2 x2 (t ) = F2 (t ) dt dt dt dt
Prema tome, sistem sa slike 2.3 je predstavljen sistemom linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima.
2.4 Modeli elektromehaničkih sistema
Raznolike interakcije električne struje i magnetskog polja čine temelj elektromehaničkih sistema, odnosno elektromehaničkih pretvarača. Prva važna interakcija je bazirana na zakonu da električna struja uspostavlja magnetsko polje. Druga važna interakcija je bazirana na zakonu pojave mehaničke sile na provodniku kroz koji teče električna struja, ukoliko se provodnik nalazi u vanjskom magnetskom polju. I treća interakcija se bazira na zakonu o indukovanju napona u provodniku koji se kreće u magnetskom polju. Ova tri zakona definišu jednačine elektromehaničkih sistema.
33
Primjer 2.3 Zvučnik za reprodukciju zvuka iz električnog signala predstavlja elektromehanički pretvarač. Tipična geometrija zvučnika skicirana je na slici 2.4.
konus konus
____ ........
elektromagnet
kalem
____ ........ namotaj Niska suspenzija snage
Permanentni magnet
Slika 2.4 Materijalna struktura zvučnika
Permanentni magnet uspostavlja radijalno polje u cilindričnom zazoru između polova magneta. Električna struja koja protiče kroz provodnik, namotan na kalemu, uzrokuje silu koja pomjera konus lijevo ili desno kroz zrak. Kako se konus pomjera naprijed i nazad, fluktuacije pritiska zraka se šire i čuju se kao zvuk. Sila koja djeluje na provodnik dužine l (dužina provodnika namotanog na kalem) u magnetskom polju indukcije B (permanentni magnet), kroz koji protiče električna struja i (struja iz audio pojačivača) data je sa: F = Bli
34
(2.8)
Tada je mehanička jednačina kretanja konusa: d 2 x(t ) dx(t ) M + B1 + Kx(t ) = Bli (t ) 2 dt dt
(2.9)
gdje su: M - masa pokretnog dijela zvučnika (konus i vazdušni stub) B1 - koeficijent viskoznog trenja konusa K - konstanta krutosti veze konusa i nepokretnog dijela zvučnika U provodniku dužine l, koji se kreće brzinom v u magnetskom polju indukcije B, indukuje se napon e na njegovim krajevima čija je vrijednost: e(t ) = Blv(t )
(2.10)
Ekvivalentno električno kolo električnog podsistema zvučnika dato je na slici:
R
i
L
x
+ va -
+ enamotaj -
Slika 2.5 Električno kolo zvučnika
35
Sada je električna jednačina data sa:
L
di (t ) dx(t ) + Ri (t ) + Bl = Va (t ) dt dt
(2.11)
gdje su: L - induktivnost namotaja R - omski otpor namotaja Prethodne dvije spregnute jednačine mehaničkog i električnog podsistema predstavljaju dinamički model zvučnika (elektromehaničkog pretvarača). Primjer 2.4 Potrebno je naći jednačine kretanja DC (istosmjernog) motora upravljanog naponom armature te sa permanentnim magnetom na statoru. Materijalna struktura DC motora data je na slici 2.6. Ra
La T Θm
+
.
+
e=KeΘ m
va -
-
Jm
Tl
. bΘm
Slika 2.6 Materijalna struktura DC motora
Mehanička jednačina kretanja rotora motora je: d 2θ m (t ) dθ (t ) Jm + Bm m = K t ia (i ) − Tl (t ) 2 dt dt 36
(2.12)
gdje su: θ m -ugaona koordinata rotora ia (t ) -struja armature (rotorskog kruga) J m -moment inercije rotora motora Bm -koeficijent viskoznog trenja rotora K t -momentna konstanta motora Tl -moment opterećenja motora Električna jednačina armaturnog kruga je:
La
dia (t ) dθ (t ) + R a ia (t ) + K e m = va (t ) dt dt
(2.13)
gdje su: ia (t ) -struja armature (rotorskog kruga) v a (t ) -napon armature (rotorskog kruga) La -induktivnost armaturnog kruga Ra -omska otpornost armaturnog kruga K e -naponska konstanta motora Prethodne dvije spregnute jednačine mehaničkog i električnog podsistema predstavljaju dinamički model DC motora.
2.5 Modeli termičkih sistema
Termički sistemi su vezani sa prenosom i akumulacijom toplotne energije. Prenos toplotne energije može biti u formi provođenja, prenošenja i radijacije. Zakoni o održanju energije i materije definišu ponašanje termičkih sistema. Primjer 2.5 Naći matematički model koji određuje temperaturu u sobi prikazanoj na slici 2.7. Četiri zida su idealno izolovana.
37
R2
q2
To TI
q1 R1 Slika 2.7 Sobna temperatura
Primjenjuje se jednačina toplotnog toka pri provođenju toplote:
q (t ) =
1 (T1 (t ) − T2 (t )) R
(2.14)
gdje su: R - termička otpornost materije T1 , T2 – temperature na granici materije Toplina takođe može da protiče kada toplija masa (fluid) utiče u hladniju masu i obratno, tj. vrši se prenos toplote prenošenjem. U ovom slučaju toplotni tok je dat sa: q (t ) =
dm(t ) cv (T1 (t ) − T2 (t )) dt
gdje su: dm(t ) - maseni protok fluida temperature T1 koji utiče u rezervoar dt temperature T2 cv - specifični toplotni kapacitet fluida Jednačina akumulacije toplotne energije u materiji data je sa:
38
(2.15)
C
dT (t ) = q (t ) dt
(2.16)
gdje su : T - temperatura materije C - termički kapacitet materije q - toplotni tok R - termički otpor Sada je jednačina koja opisuje temperaturu u sobi data sa:
CI
dTI (t ) 1 1 = + (To (t ) − TI (t ) )+ qh (t ) dt R1 R2
(2.17)
gdje su: C I - termalni kapacitet zraka unutar sobe To - vanjska temperatura TI - unutrašnja temperatura R1 - toplotni otpor zida sobe R2 - toplotni otpor plafona sobe q h - toplotni tok koji prizvodi grijač u sobi
2.6 Modeli fluidnih sistema
Ponašanje fluidnih sistema je određeno zakonima o održanju materije, ravnoteži sila i otpornosti. Primjer 2.6 Naći matematički model nivoa tekućine u rezervoaru datom na slici 2.8.
39
win
pritisak p1
h
wout
Slika 2.8 Nivo fluida u rezervoaru
Jednačina održanja mase (jednačina kontinuiteta) je: dm(t ) = win (t ) − wout (t ) dt
(2.18)
gdje su: m(t ) - masa fluida u posmatranom prostoru win (t ) - maseni tok u posmatrani prostor wout (t ) - maseni tok iz posmatranog prostora Tok fluida kroz cijev je ograničen otpornošću cijevi i karakteristikama toka (laminarni, turbulentni): 1
1 w = ( p1 − p 2 ) α R gdje su: w - maseni tok p1 − p2 -razlika pritisaka na krajevima cijevi
R, α -konstante koje zavise od cijevi i karakteristika toka 40
(2.19)
Primjena prethodnih relacija na rezervoar daje: dh(t ) = win (t ) − wout (t ) dt
(2.20)
dh(t ) 1 + ρ gh(t ) = win (t ) dt R
(2.21)
Aρ odnosno:
Aρ
gdje su: h -nivo tekućine u rezervoaru A - površina rezervoara ρ -gustina tekućine g -gravitaciona konstanta R -otpornost izlazne cijevi rezervoara
2.7 Analogije dinamičkih sistema
Naći jednačine kretanja sistema datih na slikama 2.9 i 2.10. i
K m
i1 F
L
i2
i3
R
C
B x
Slika 2.9 Mehanički sistem
Slika 2.10 Električni sistem
dx(t ) Brzina kretanja će se označiti sa v(t) ( v(t ) = ), pa se mehanički sistem na dt slici 29. može opisati jednačinom:
m
d 2 x(t ) dx(t ) +B + Kx(t ) = F (t ) 2 dt dt
(2.22) 41
odnosno: t
dv(t ) + Bv(t ) + K ∫ v(t )dt = F (t ) m dt −∞
(2.23)
S druge strane, električni sistem sa slike 2.10 se može opisati slijedećom jednačinom: i = i1 + i2 + i3
(2.24)
odnosno: C
t
du (t ) u (t ) 1 + + ∫ u (t )dt = i (t ) dt R L −∞
(2.25)
gdje je sa u(t) označen napon na krajevima elemenata. Poređenjem dobijenih diferencijalnih jednačina mehaničkog i električnog sistema može se zaključiti da između njih postoji analogija. Zaista, slijedećim zamjenama: F (t ) ≡ i (t ) , m ≡ C , B ≡
1 1 , v(t ) ≡ u (t ) i K ≡ R L
(2.26)
jednačina kretanja mehaničkog sistema postaje jednačina kretanja električnog sistema i obratno. Prema tome, može se zapaziti da se svi dinamički sistemi sastoje od 3 tipa elemenata: 1. Disipativni elementi, tj. elementi na kojima se bespovratno troši energija 2. Elementi koji predstavljaju gomilišta kinetičke (elektrostatičke) energije 3. Elementi koji predstavljaju gomilišta potencijalne (magnetske) energije Analogija između veličina omogućuje generalisanje, odnosno izvođenje diferencijalnih jednačina primjenjivih na mehaničke, električne, termičke, hidrauličke i druge sisteme. Analogija između mehaničkih i električnih sistema je predstavljena u narednoj tabeli. 42
i
R
V2
V1
R≡
1 B
F v2
v1
u≡v i= i
V2 − V1 u = R R L V1
V2
u = V2 − V1 u=L
i≡F
1 L≡ K
F = B (v2 − v1 ) = Bv
K
i≡F
di dt
v1
v2
u≡v
v = v 2 − v1 v=
1 dF K dt
C
i
V1
V2
u = V2 − V1 i=C
du dt
C≡m
m
v
i≡F
u≡v
F
F =m
dv dt
Tabela 2.1 Analogija mehaničkih i električnih sistema
2.8 Linearizacija modela dinamičkih sistema
Kao što je poznato postoji samo opšta teorija analize i sinteze linearnih dinamičkih sistema. Nekada je moguće izvršiti dobru aproksimaciju nelinearnih modela sistema odgovarajućim linearnim modelima, tj. moguće je izvršiti linearizaciju nelinearnih modela sistema oko nominalnih radnih trajektorija (radnih tačaka), te ih je potom moguće analizirati kao linearne modele. a) Linearizacija modela nelinearnog sistema prvog reda U opštem slučaju sistem prvog reda je opisan sa diferencijalnom jednačinom: 43
dx(t ) = f ( x(t ), u (t )) , x(0) = x0 dt
(2.27)
Pretpostavimo da se sistem kreće po nominalnoj trajektoriji x n (t ) , pogonjen nominalnim ulazom u n (t ) . Tada se njegovo kretanje (ponašanje) opisuje jednačinom: xn (t ) = f ( xn (t ), un (t ))
(2.28)
Pretpostavimo sada da se sistem kreće dovoljno blizu oko nominalne trajektorije (poremećeno kretanje) kao na slici 2.11.
x(t)
xn(t)
t
Slika 2.11 Nominalna i poremećena trajektorija
Neka je poremećeno (stvarno) kretanje sistema označeno sa x(t ) . Tada se može pisati: x(t ) = x n (t ) + ∆x(t )
(2.29)
Dakle, stvarno kretanje se može prikazati kao suma nominalnog stanja i odstupanja označenog sa ∆x(t ) . Analogno se može predstaviti i stvarni upravljački signal u (t ) : u (t ) = u n (t ) + ∆u (t )
(2.30)
Sada se jednačina kretanja sistema može pisati u obliku: x (t ) = f ( x(t ), u (t )) ⇒ xn (t ) + ∆x (t ) = f ( xn (t ) + ∆x(t ), un (t ) + ∆u (t )) 44
(2.31)
Razvojem funkcije f ( xn (t ) + ∆x(t ), un (t ) + ∆u (t )) zanemarivanje članova višeg reda dobija se:
x n (t ) + ∆x (t ) = f ( x n , u n ) +
u Taylor-ov red uz
∂f ∂f ∆x + ∆u ∂x ∂u
(2.32)
odnosno: ∆x (t ) =
∂f ∂f | x = xn ∆x + | x = x ∆u ∂x u =un ∂u u =unn
(2.33)
Dobijena linearna diferencijalna jednačina opisuje odstupanje od nominalne trajektorije, i može se zapisati u obliku: ∆x (t ) + a∆x(t ) = b∆u
(2.34)
U opštem slučaju koeficijenti a i b su funkcije vremena, tj. a = a (t ) i b = b(t ) . Ako se model sistema linearizira u okoline nominalne radne tačke, tada su koeficijenti a i b konstantni. b) Linearizacija modela sistema drugog reda Sistem drugog reda je opisan diferencijalnom jednačinom: x(t ) = f ( x(t ), x (t ) , u (t ), u (t )) , x(0) = x0 , x (0) = x0
(2.35)
Nominalna trajektorija sistema se kao i u prethodnom slučaju obilježava sa x n (t ) a nominalni upravljački signal sa u n (t ) . Stvarne (poremećene) trajektorije su: x(t ) = x n (t ) + ∆x(t )
(2.36)
u (t ) = u n (t ) + ∆u (t ) gdje su sa x(t ) i u (t ) obilježene stvarne (poremećene) trajektorije sistema i upravljačkog signala respektivno. 45
Sada se diferencijalna jednačina sistema može napisati u obliku: xn (t ) + ∆x(t ) = f ( x n + ∆x, x n + ∆x , u n + ∆u n , u n + ∆u )
(2.37)
Razvojem funkcije f ( x n + ∆x, x n + ∆x , u n + ∆u n , u n + ∆u ) u Taylor-ov red, zanemarivanjem članova višeg reda i sređivanjem dobija se slijedeći izraz:
∆x(t ) =
∂f ∂f ∂f ∂f ∆x + ∆x + ∆u + ∆u ∂x ∂x ∂u ∂u
pri čemu su parcijalni izvodi sračunati u
(2.38)
nominalnim trajektorijama
( x n , u n , x n , u n ) . Jednačina se da napisati u kompaktnoj formi kao: ∆x + a1 ∆x + a 2 ∆x = b0 ∆u + b1 ∆u
(2.39)
Dobijena linearna diferencijalna jednačina opisuje odstupanja sistema od nominalnih trajektorija. Ista tehnika se jednostavno proširuje na sisteme proizvoljnog reda. Primjer 2.7 Sistemi za automatsko održavanje željene brzine automobila (cruise control) su široko u upotrebi kod savremenih automobila. Model kretanja automobila potreban za svrhu dizajna regulatora brzine je dat sa:
m
dv(t ) = − mg sin(α ) − µ mg cos(α ) − kv(t ) 2 + F (t ) dt
gdje su: v(t ) -brzina automobila m -masa automobila g -gravitaciona konstanta α -ugao nagiba autoputa µ -koeficijent trenja kotrljanja 46
(2.40)
k -koeficijent otpornosti vazduha
F (t ) - sila uzrokovana motorom vozila Prethodna nelinearna jednačina može biti linearizirana oko nominalne radne tačke v n , α n , Fn = const dajući linearni model odstupanja u formi: m
d ∆v(t ) + 2kvn 2 ∆v(t ) = (− mg cos(α n ) + µ mg cos(α n ) )∆α + ∆F (t ) dt
(2.41)
2.9 Rješavanje matematičkih modela dinamičkih sistema
Linearni vremenski invarijantni sistemi sa jednim ulazom i jednim izlazom (SISO) su opisani linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima, tj.: d n y (t ) d n −1 y (t ) d mu (t ) + + + = + + b0u (t ) a a y ( t ) b n −1 0 m dt n dt n −1 dt m
(2.42)
gdje su: a n −1 , a n − 2 ,..., a 0 , bm , bm −1 ,..., b0 - konstantni koeficijenti u (t ) - je ulaz u sistem y (t ) - je izlaz iz sistema n-predstavlja red sistema, i za svaki realni fizički sistem vrijedi n ≥ m , odnosno svaki realni dinamički sistem se ponaša kao niskopropusni (NP) filter (ima inerciju) Pored toga, postoji n početnih uslova: y (0) = y 0 , y (1) (0) = y (1) 0 , , y ( n −1) (0) = y 0
( n −1)
(2.43)
Linearne diferencijalne jednačine se mogu rješavati na više načina: - -
Metodom varijacije konstanti Primjenom Laplace-ove transformacije 47
2.9.1 Laplace-ova transformacija
U analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja koristi se Laplace-ova transformacija za nalaženje rješenja diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima. Laplace-ova transformacija pojednostavljuje problem rješavanja diferencijalnih jednačina svođenjem problema na rješavanje odgovarajućih algebarskih jednačina. Jednostrana Laplace-ova transformacija s = σ + jω i definiše se kao: F (s) =
∞
∫
je funkcija kompleksne varijable
f (t )e − st dt
(2.44)
0−
pri čemu za funkciju f (t ) važi: 0, f (t ) = f (t ), Uslovi egzistencije Laplace-ove ∞
∫ | f (t ) | e
0−
−σ t
t<0 t≥0
(2.45)
transformacije zahtijevaju da je integral
dt < ∞ , odnosno da dati integral konvergira za neko realno
nenegativno σ . Inverzna Laplace-ova transformacija se definiše kao: γ + jω
1 f (t ) = F ( s )e st ds ∫ 2π j γ − jω
(2.46)
gdje je γ izabrana vrijednost koja je desno od svih singulariteta F(s) u s-ravni. a) Osnovne osobine Laplace-ove transformacije Osobina linearnosti: L{a1 f (t ) + a2 g (t )} = a1 L{ f (t )} + a2 L{g (t )} = a1 F ( s ) + a2G ( s ) 48
(2.47)
Osobina diferenciranja:
L{
L{
d n f (t ) dt
n
df (t ) } = sF ( s ) − f (0− ) dt
} = s n F ( s ) − s n−1 f (0− ) − − f ( n−1) (0− )
(2.48)
(2.49)
Osobina integriranja:
t
L{∫ f (τ )dτ } = 0
F (s) s
(2.50)
Osobina pomjeraja u vremenskom domenu: L{ f (t − τ )} = e − τ s F ( s )
(2.51)
Osobina superpozicije (konvolucija): t
L{∫ f (t − τ ) g (τ )dτ } = F ( s ) * G ( s )
(2.52)
0
Osobina o krajnjoj vrijednosti (važi samo za funkcije koje imaju konačan i definisan limes): lim f (t ) = lim sF ( s ) t →∞
s→0
(2.53)
Osobina o početnoj vrijednosti: lim f (t ) = lim sF ( s ) t →0
s →∞
(2.54)
49
Osobina pomjeraja u kompleksnom domenu: L{e − at f (t )} = F ( s + a )
(2.55)
Osobina o diferenciranju u kompleksnom domenu: d n F ( s) {t f (t )} = (−1) ds n n
n
(2.56)
b) Laplace-ove transformacije osnovnih funkcija U narednoj tabeli su date Laplace-ove transformacije često upotrebljavanih funkcija:
Original
Laplace-ova slika
Dirac-ov impuls: δ (t ) t≠0 0, ∞ δ (t ) = ∫ δ (t )dt = 1 −∞
1
step (odskočna, Hevisade -ova) funkcija: u (t ) 0, u (t ) = 1, e − at u (t )
1 s+a
t n e − at u (t )
n! ( s + a ) n +1
cos(ωt )u (t )
50
1 s
t<0 t≥0
s s +ω2 2
ω s + ω2 s+a ( s + a) 2 + ω 2
sin(ωt )u (t )
2
e − at cos(ωt )u (t )
ω ( s + a) 2 + ω 2
e − at sin(ωt )u (t ) t cos(ωt )u (t )
s2 − ω2 (s 2 + ω 2 ) 2
t sin(ωt )u (t )
2ωs (s + ω 2 ) 2
te − at cos(ω t )u (t )
(s + a)2 − ω 2 (( s + a ) 2 + ω 2 ) 2
te − at sin(ω t )u (t )
2ω ( s + a ) (( s + a ) 2 + ω 2 ) 2
2
c) Nalaženje inverzne Laplace-ove transformacije Ukoliko je Laplace-ova transformacija G (s ) racionalna funkcija kompleksne promjenljive u obliku:
G (s) = odnosno:
bm s m + bm−1 s m−1 + + b0 s n + a n −1 s n −1 + + a 0
G (s) =
bm s m + + b0 ( s − s1 ) ( s − s n )
(2.57)
(2.58)
tada je za nalaženje inverzne Laplace-ove transformacije potrebno sliku G(s) rastaviti u parcijalne razlomke (Hevisade-ov razvoj), i na taj način svesti funkciju na sumu tabličnih Laplace-ovih transformacija. Pri ovom postupku mogu se javiti slijedeći karakteristični slučajevi: 51
1. Svi polovi sistema (nule karakteristične jednačine) su realni i jednostruki. Tada se funkcija G(s) može prikazati u obliku: G (s) =
Q( s) Q( s) , pri čemu je: = P( s ) ( s − s1 ) ( s − s n )
s1 ≠ s 2 ≠ ≠ s n .
Razvojem ove funkcije u parcijalne razlomke dobija se slijedeći izraz:
G ( s) =
n k k k Q( s) = 1 ++ n = ∑ k ( s − s1 ) ( s − s n ) s − s1 s − s n k =1 s − s k
(2.59)
gdje su k k , k = 1,..., n konstante koje se određuju na slijedeći način:
( s − sk )G ( s ) = ( s − sk )
s − sk s − sk Q(s) = k1 + ... + k k + ... + kn ( s − s1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( s − sk ) ⋅ ⋅ ⋅ ( s − sn ) s − s1 s − sn (2.60)
Odavde slijedi:
kk = lim( s − sk ) s → sk
Q( sk ) Q( s) = P( s ) ( sk − s1 ) ( sk − sk −1 )( s − s k +1 ) ( sk − sn )
(2.61)
Prema tome, iz tablica Laplace-ovih transformacija slijedi: n kk L {∑ } = ∑ kk e sk t s − sk k =1 k =1 −1
n
(2.62)
2. Svi polovi sistema su jednostruki, ali postoje i konjugovano-kompleksni * polovi. Neka vrijedi, radi jednostavnosti, s 2 = s1 , dok su ostali polovi prosti. Tada se funkcija G(s) može predstaviti u obliku:
52
k k k k* Q( s) = 1 + 1 * + 3 ++ n P( s ) s − s1 s − s1 s − s3 s − sn
G ( s) =
(2.63)
*
neka je s1 = −α + jω , s 2 = s1 = −α − jω , k1 = a + jb i k1* = a − jb , tada se dobija:
G (s) =
n k a + jb a − jb + +∑ k ( s + α ) − jω ( s + α ) + j ω k = 3 s − s k
(2.64)
Sređivanjem prethodnog izraza dobija se:
G ( s) =
n kk 2a (α + s ) 2bω − + ∑ 2 2 2 2 (s + α ) + ω (s + α ) + ω k =3 s − s k
(2.65)
Svi članovi prethodne sume se mogu pronaći u tabeli Laplace-ovih transformacija, pa konačno, za inverznu Laplace-ovu transformaciju se dobija: n
g (t ) = L−1{G ( s )} = 2ae −αt cos ω t − 2be −αt sin ω t + ∑ kk e sk t
(2.66)
k =3
3. Pored jednostrukih polova sistema, postoje i višestruki polovi sistema. Neka je na primjer pol s1 višestrukosti 3, dok su svi ostali polovi jednostruki. Tada se funkcija G(s) može prikazati u obliku: G (s) = =
Q( s) Q( s) = 3 P( s ) ( s − s1 ) ( s − s4 ) ⋅⋅⋅ ( s − sn )
n k13 kk k11 k12 + + + ∑ 3 2 ( s − s1 ) ( s − s1 ) ( s − s1 ) k = 4 s − sk
(2.67)
Konstante k11 , k12 i k13 se mogu odrediti na slijedeći način:
53
kk k =4 s − s k n
( s − s1 ) 3 G ( s ) = k1 + k12 ( s − s1 ) + k13 ( s − s1 ) 2 + ( s − s1 ) 3 ∑
(2.68) Odavde slijedi: k11 = lim ( s − s1 )3 G ( s ) s → s1
d ( s − s1 )3 G ( s ) s → s1 ds
k12 = lim
1 d2 k13 = lim 2 ( s − s1 )3 G ( s ) 2 s→ s1 ds
(2.69)
Korištenjem tablica, inverzna Laplace-ova transformacija se dobije kao: n k g (t ) = L−1{G ( s )} = 1 t 2 e s1t + k12 te s1t + k13 e s1t + ∑ k k e s k t 2 k =4
(2.70)
Ova tehnika razvoja se jednostavno generalizira na transformacije sa proizvoljnim realnim i konjugovano-kompleksnim višestrukim i jednostrukim polovima.
2.9.2 Primjena Laplace-ove transformacije za rješavanje linearnih diferencijalnih jednačina
Laplace-ova transformacija pruža elegantan način rješavanja linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima. Ona prevodi problem iz vremenskog domena u kompleksni domen, tj. diferencijalne jednačine prevodi u algebarske. Opšta forma linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima je: d n y (t ) d n −1 y (t ) d mu (t ) + an −1 + + a0 y (t ) = bm + + b0u (t ) dt n dt n −1 dt m 54
(2.71)
gdje su: a n−1 , ..., a 0 , bm ,..., b0 konstantni koeficijenti i vrijedi n ≥ m . Data je ulazna funkcija u (t ), t ≥ 0 . Dati su početni uslovi: y (0− ) = y0 ,
dy (0− ) d n −1 y (0− ) = y0(1) , , = y0 ( n −1) dt dt n −1
(2.72)
Potrebno je odrediti y (t ), t ≥ 0 . S obzirom da je: L{
dny } = s nY ( s ) − s n −1 y0 − − y0 ( n −1) dt n
(2.73)
te primjenjujući Laplace-ovu transformaciju na lijevu i desnu stranu jednačine dobija se:
Y ( s ) s n + an −1s n −1 + + a0 − y0 s n −1 + an −1s n − 2 + + a1 − − y0 ( n −1) = U ( s ) bm s m + + b0
(2.74)
Dalje se može pisati: bm s m + + b0 1 Y (s) = U (s) n + + y0 ( n −1) n n −1 s + + an −1s + + a0 s + + an −1s n −1 + + a0
(2.75)
Ako se prvi sabirak sa desne strane znaka jednakosti obilježi sa YI , a ostali sabirci sa YII , tada se prethodna jednačine može kraće napisati u obliku: Y ( s ) = YI ( s ) + YII ( s )
(2.76)
YI (s ) predstavlja posljedicu djelovanja ulaza U(s), a YII ( s ) je posljedica djelovanja početnih uslova (akumulirane energije u početnom trenutku), te se ove dvije komponente sukladno nazivaju prinudni i prirodni odziv sistema. 55
Rješenje diferencijalne jednačine je onda dato kao: y (t ) = L−1{Y ( s )}, t ≥ 0
(2.77)
Primjer 2.8 Naći rješenje diferencijalne jednačine: d 2 y (t ) + y (t ) = 0 , dt 2
y (0− ) = α ,
dy (0− ) =β dt
(2.78)
Primjenom prethodnog postupka dobija se: s 2 Y ( s ) − αs − β + Y ( s ) = 0 ( s 2 + 1)Y ( s ) = αs + β Y ( s) =
αs β + 2 s +1 s +1 2
y (t ) = L−1{Y ( s )}, t ≥ 0
(2.79)
Nakon pogleda u tablicu transformacija za dva izraza sa desne strane gornje jednačine, dobija se : y (t ) = [α cos t + β sin t ], t ≥ 0
(2.80)
Primjer 2.9 Naći rješenje diferencijalne jednačine: d 2 y (t ) dy (t ) dy (0− ) − , = =β + 5 + 4 y ( t ) = 3 y (0 ) α , dt 2 dt dt
(2.81)
Primjenom Laplace-ove transformacije na jednačinu dobije se: s 2Y ( s ) − sα − β + 5 [sY ( s ) − α ]+ 4Y ( s ) = 56
3 s
(2.82)
Rješavajući po Y(s): Y (s) =
s ( sα + β + 5α ) + 3 s ( s + 1)( s + 4)
(2.83)
razvoj u parcijalne razlomke: 3 3 − β − 4α 3 − 4α − 4β 3 12 Y (s) = 4 − + s s +1 s+4
(2.84)
daje konačno rješenje: 3 −3 + β + 4α − t 3 − 4α − 4β −4t y (t ) = + e + e , t ≥0 4 3 12
(2.85)
57
3. Analiza sistema automatskog upravljanja u domenu prenosnih funkcija
3.1 Prenosna (transfer) funkcija linearnog sistema
Prenosna funkcija linearnog stacionarnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom (SISO – single input single output) se definiše kao odnos Laplaceovih transformacija funkcija izlaza i ulaza sistema sa nultim početnim uslovima. To znači da prenosna funkcija opisuje dinamiku sistema koji se posmatra, tj. predstavlja njegovu ulazno-izlaznu deskripciju (opis). Linearni vremenski invarijantni sistem je opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: d n y (t ) d n −1 y (t ) d mu (t ) + + + = + + b0u (t ) a a y ( t ) b n −1 0 m dt n dt n −1 dt m
(3.1)
Primjenom Laplace-ove transformacije na prethodnu jednačinu uz nulte početne uslove dobija se slijedeće:
(
)
(
Y ( s ) s n + an −1s n −1 + + a0 = U ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + + b0
)
(3.2)
Odavde slijedi: Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + + b0 = n = G ( s) U (s) s + an −1s n −1 + + a0 Odnos
(3.3)
Y (s) , se obilježava sa G (s ) , i naziva se prenosna funkcija sistema. U (s)
Ako je poznata prenosna funkcija sistema i Laplace-ova transformacija ulaza, tada se Laplace-ova transformacija izlaza može dobiti kao: Y ( s ) = G ( s )U ( s )
(3.4)
Prenosna funkcija je racionalna funkcija promjenljive s i data je u vidu količnika dva polinoma:
59
G (s) =
Q( s) P( s)
(3.5)
Polinom P(s ) se naziva karakteristični polinom sistema, a jednačina P( s ) = 0 se naziva karakteristična jednačina sistema. Korijeni (nule) karakteristične jednačine se nazivaju polovi sistema. Korijeni (nule) jednačine Q( s ) = 0 se nazivaju nule sistema. Prenosna funkcija G (s ) se često piše i u tzv. pol-nula formi: G ( s) = K
( s − z1 ) ( s − z n ) ( s − p1 ) ( s − p n )
(3.6)
Prenosna funkcija sistema G(s) se može pisati i u tzv. vremenskoj konstanta formi: G ( s) = K e
(τ b1s + 1) ⋅⋅⋅ (τ bm s + 1) (τ a1s + 1) ⋅⋅⋅ (τ an s + 1)
(3.7)
Važno je napomenuti da prenosna funkcija sistema nosi kompletnu informaciju o sistemu, odnosno o njegovom impulsnom odzivu. To znači, da ako se sistem pobudi ulaznim Dirac-ovim impulsom tada vrijedi: Y (s) = G (s)
(3.8)
jer je Laplace-ova transformacija Dirac-ovog impulsa 1. Ako se u ovom slučaju potraži inverzna Laplace-ova transformacija, dobija se: L−1{Y ( s )} = L−1{G ( s )} = g (t )
(3.9)
i naziva se impulsni odziv sistema. Proizvod Laplace-ovih transformacija funkcija u kompleksnom domenu je ekvivalentan konvoluciji funkcija u vremenskom domenu. Prema tome: Y ( s ) = G ( s )U ( s ) ⇔ y (t ) = g (t ) * u (t ) 60
(3.10)
dalje vrijedi: t
t
0
0
y (t ) = ∫ g (τ )u (t − τ )dτ = ∫ g (t − τ )u (τ )dτ
(3.11)
3.2 Prenosne funkcije nekih elementarnih sistema
U narednim primjerima bit će izvedene prenosne funkcije nekih karakterističnih sistema R
C
u1(t)
u2(t)
Slika 3.1 Pasivni aproksimativni integrator
U 2 (s) 1 1 = ≈ (R C > 1) U1 ( s ) RCs + 1 RCs
(3.12)
C
u1(t)
R
u2(t)
Slika 3.2 Pasivni aproksimativni diferencijator
U 2 (s) RCs = ≈ RCs ( RC << 1) U1 ( s ) RCs + 1
(3.13)
61
R1 R2
+
u1(t)
u2(t)
Slika 3.3 Invertujuće operaciono pojačalo
U 2 (s) R =− 1 U1 ( s ) R2
(3.14)
C R
+
u1(t)
u2(t)
Slika 3.4 Integrator sa operacionim pojačalom
U 2 ( s) 1 =− U 1 ( s) RCs
(3.15) R
C + u1(t)
u2(t)
Slika 3.5 Diferencijator sa operacionim pojačalom
62
U 2 (s) = − RCs U 1 (s)
(3.16)
3.3 Prenosna funkcija multivarijabilnog sistema
Prenosna funkcija multivarijabilnih sistema (MIMO – multi input multi output) dovodi u vezu Laplace-ovu transformaciju vektora ulaza i vektora izlaza sistema uz pretpostavku svih nultih početnih uslova. Ulazi
Izlazi
U1
Y1
U2 U3 Ur
. . .
MIMO sistem
Y2 . . .
Y3 Yp
Slika 3.6 Multivarijabilni sistem
U ovom slučaju vrijedi: Y ( s ) = G ( s )U ( s )
(3.17)
gdje je sa Y (s ) obilježena Laplace-ova transformacija vektora izlaza dimenzija ( p x 1) , sa U (s ) je obilježena Laplace-ova transformacija vektora ulaza dimenzija (r x 1) , a sa G (s ) je označena matrica dimenzija ( p x r ) i predstavlja prenosnu matricu multivarijabilnog sistema. G11 G1r G (s) = G p1 G pr
(3.18)
Koeficijent Gij (s ) u matrici G (s ) predstavlja prenosnu funkciju između j-tog ulaza i i-tog izlaza kada su svi ostali ulazi nula, tj.: Yi ( s ) = Gij ( s ) U j (s)
(3.19)
63
3.4 Osnovne karakteristike sistema sa zatvorenom povratnom spregom
Grafički opis je vrlo pogodan način prezentacije dinamičkih sistema. Grafički opis daje jasnu sliku svih komponenti u dinamičkom sistemu, te toka signala u sistemu. Takva prezentacija sistema se naziva dijagram blokova. On može biti iskorišten za nalaženje relacija između ulazno-izlaznih varijabli, odnosno prenosnih funkcija. Najjednostavniji mogući dijagram blokova je primjer SISO sistema dat na slici 3.7.
U(s)
G(s)
Y(s)
Slika 3.7 Blok dijagram SISO sistema
Strelice u dijagramu blokova se koriste za označavanje toka signala. Vidljivo je i osnovno pravilo dijagrama blokova: Y ( s ) = G ( s )U ( s ) , tj. izlazni signal Y (s ) je proizvod prenosne funkcije G (s ) i ulaznog signala U (s ) . a) Osnovna struktura sistema sa zatvorenom jediničnom povratnom spregom
R(s)
+ -
E(s)
G(s)
Y(s)
Slika 3.8 Osnovna struktura sistema sa zatvorenom jediničnom povratnom spregom
Ekvivalentna prenosna funkcija sistema na slici 3.8 se može odrediti kao: Y ( s ) = E ( s )G ( s ) = [R ( s ) − Y ( s ) ]G ( s )
(3.20)
dalje slijedi: Y ( s ) [1 + G ( s ) ] = G ( s ) R ( s ) ⇒ 64
Y (s) G (s) = = M (s) R( s) 1 + G ( s)
(3.21)
Prema tome prenosna funkcija sistema sa zatvorenom jediničnom povratnom spregom ima formu: M (s) =
G (s) 1 + G (s)
(3.22)
b) Opštija struktura sistema sa zatvorenom jediničnom povratnom spregom Na slici 3.9 je predstavljena opštija struktura sistema automatskog upravljanja sa zatvorenom jediničnom povratnom spregom: D(s)
R(s)
+ -
E(s)
G r(s)
U(s)
+
+
G o(s)
Y(s) + +
N(s)
Slika 3.9 Opštija struktura sistema sa zatvorenom jediničnom povratnom spregom
U blok dijagramu na slici 3.9 upotrijebljene su slijedeće oznake: Gr (s ) - prenosna funkcija regulatora (kontrolera) sistema Go (s ) - prenosna funkcija objekta upravljanja (objekat u širem smislu, tj.: aktuator, objekat upravljanja, mjerni pretvarač) R(s ) - referentna (zadana) vrijednost Y (s ) - izlaz sistema (upravljana varijabla) D(s ) - vanjska smetnja-poremećaj (slučajna i nemjerljiva) N (s ) - mjerni šum Prenosna funkcija objekta upravljanja se obično sastoji od:
Ga (s ) - prenosna funkcija aktuatora
G p (s ) - prenosna funkcija procesa (dinamika sistema)
Gm (s ) - prenosna funkcija mjernog pretvarača 65
Sada se mogu formulisati i osnovne funkcije koje regulator (kontroler) treba da ostvari: 1. Stabilizira sistem. Sistem je stabilan ako ograničen ulaz uzrokuje ograničen izlaz 2. Poboljša tranzijentni odziva sistema (najčešće ubrzavanje reakcije sistema) 3. Reducira (ili eliminira) greške u stacionarnom stanju 4. Reducira (ili eliminira) dejstva vanjskih slučajnih smetnji 5. Reducira dejstvo mjernog šuma 6. Smanji osjetljivost sistema na promjenu (varijaciju) parametara sistema Očito da sistem dat na slici 3.9 ima tri ulaza: R(s ) , D(s ) i N (s ) a jedan izlaz Y (s ) . Za izlaz sistema se može na osnovu principa superpozicije pisati: Y ( s ) = M ( s ) R ( s ) + L( s ) D ( s ) − M ( s ) N ( s )
(3.23)
Prenosne funkcije M (s ) i L(s ) se mogu odrediti na slijedeći način: -
Neka je D( s ) ≡ 0, N ( s ) ≡ 0 (SISO sistem), tada vrijedi: E ( s) = R( s) − Y ( s)
(3.24)
Y ( s ) = E ( s )Gr ( s )Go ( s )
(3.25)
Eliminacijom E (s ) iz prethodne dvije jednačine dobija se: G r ( s )Go ( s ) Y (s) = = M (s) R ( s ) 1 + Gr ( s )Go ( s ) -
Neka je sada R( s ) ≡ 0, D( s ) ≡ 0 , tada se na isti način pokazuje da je : G r ( s )Go ( s ) Y (s) =− = −M (s) N (s) 1 + Gr ( s )Go ( s )
-
66
(3.26)
Neka je sada R( s ) ≡ 0, N ( s ) ≡ 0 , tada se L(s ) može odrediti na slijedeći način:
(3.27)
F ( s ) = D( s ) − Gr ( s )Y ( s ) Y ( s ) = Go ( s ) F ( s )
(3.28)
Eliminacijom F (s ) iz prethodne dvije jednačine dobija se: Go ( s ) Y (s) = = L( s ) D( s ) 1 + Gr ( s )Go ( s )
(3.29)
Sada na osnovu principa superpozicije vrijedi: Y ( s ) = M ( s ) R ( s ) + L( s ) D ( s ) − M ( s ) N ( s )
(3.30)
odnosno:
Y (s) =
G r ( s )Go ( s ) Go ( s ) G r ( s )Go ( s ) R(s) + D( s) − N ( s ) (3.31) 1 + G r ( s )Go ( s ) 1 + G r ( s )Go ( s ) 1 + G r ( s )Go ( s )
Prenosna funkcija objekta upravljanja je najčešće fiksna (unaprijed data, već projektovano postrojenje) i ne može se jednostavno mijenjati. Mijenjati se može prenosna funkcija regulatora (kontrolera) Gr (s ) . Poželjno je da M ( s ) → 1 , što implicira da će izlaz sistema automatskog upravljanja Y (s ) dobro pratiti referentni ulaz R(s ) . To se dešava u slučaju ako je | Gr ( s ) |>> 1. Međutim, povećanje pojačanja kontrolera sistema implicira i skuplje komponente (npr. aktuatore), veće energetske utroške, a može dovesti i do nestabilnosti sistema. Drugi razlog koji takođe ograničava pojačanje regulatora je mjerni šum. Naime reduciranje dejstva mjernog šuma N (s ) (široko pojasni signal) na izlaz sistema zahtijeva da M ( s ) → 0 , što implicira | Gr ( s ) |→ 0 . Jasno je da postoje konfliktni i protivrječni zahtjevi, između što boljeg praćenja referentne vrijednosti i što boljeg reduciranja dejstva mjernog šuma. S druge strane analizirajući uticaj smetnje (poremećaja) može se zaključiti da je poželjno imati | L( s ) |→ 0 u cilju redukcije dejstva smetnje. Ovo se takođe dešava u slučaju kada je | Gr ( s ) |>> 1 . Naravno, kako je prethodno objašnjeno, pojačanje regulatora se ne može birati proizvoljno veliko. Pored prethodno postavljenih zahtjeva na sistem automatskog upravljanja, u formi što boljeg praćenja zadate vrijednosti i što boljeg reduciranja uticaja vanjskih 67
smetnji i mjernog šuma, od sistema se takođe očekuje nizak nivo osjetljivosti na promjene njegovih parametara. Naime, za potrebe dizajna regulatora ima se na raspolaganju nominalni model sistema (nominalna prenosna funkcija). Kako je već pomenuto, model sistema odnosno njegova prenosna funkcija, je uvijek više ili manje tačna aproksimacija stvarnog ponašanja sistema. Ovo znači da regulator sistema koji se dizajnira na bazi poznavanja nominalnog modela sistema, mora da bude robusan [36], [37], odnosno mora da osigura zadovoljavajuće ponašanje pri upravljanju čitave familije sistema koji su bliski nominalnom sistemu. Neka se posmatra sistem automatskog upravljanja sa zatvorenom jediničnom povratnom spregom sa slike 3.8. Prenosna funkcija sistema sa otvorenom povratnom spregom, tj. G ( s ) = Gr ( s )Go ( s ) se dobije matematičkim modeliranjem sistema. Stvarna prenosna funkcija sistema je: G s ( s ) = G ( s ) + ∆G ( s )
(3.32)
gdje je ∆G (s ) apsolutna greška prenosne funkcije sistema, dok je relativna greška data sa: G s ( s ) − G ( s ) ∆G ( s ) = G (s) G (s)
(3.33)
Prenosna funkcija zatvorenog sistema, sa nominalnim modelom, je: M (s) =
G (s) 1 + G (s)
(3.34)
Dok je prenosna funkcija zatvorenog sistema, sa stvarnim modelom, data sa: M s (s) =
Gs (s) 1 + Gs (s)
(3.35)
Apsolutna greška prenosne funkcije sistema sa zatvorenom povratnom spregom je:
68
M (s) − 1 M s ( s ) = M ( s ) + ∆M ( s ) ⇒ ∆M ( s ) = M s ( s ) − M ( s ) = M ( s ) s M (s) Gs (s) − G (s) ∆G ( s ) 1 = M (s) = S (s) 1 + Gs (s) G (s) G (s)
(3.36)
Što konačno daje relativnu grešku prenosne funkcije zatvorenog sistema, u funkciji relativne greške prenosne funkcije otvorenog sistema: ∆M ( s ) ∆G ( s ) = S (s) M (s) G (s)
(3.37)
gdje je:
S (s) =
1 1 + Gs (s)
(3.38)
i naziva se funkcija osjetljivosti sistema. Iz jednačine (3.37) slijedi, da će sistem sa zatvorenom povratnom spregom biti malo osjetljiv na promjene parametara otvorenog sistema (sistem je robusan), ukoliko je funkcija osjetljivosti dovoljno mala. S obzirom da je Gs ( s ) = Gr ( s )Gso ( s ) , to vrijedi da će funkcija osjetljivosti biti mala, tj. S ( s ) << 1 , ukoliko je pojačanje otvorenog sistema (direktne grane) veliko, tj. | Gr ( s )Gso ( s ) |>> 1 odnosno Gr ( s ) >> 1 . Funkcija osjetljivosti ujedno predstavlja i prenosnu funkcija između referentne vrijednosti i regulacione greške: E (s) = S (s) R( s)
(3.39)
Takođe se definiše i komplementarna funkcija osjetljivosti sistema, koja je jednaka prenosnoj funkciji sistema sa zatvorenom jediničnom povratnom spregom, tj.: T (s) = M s (s) =
Gs (s) 1 + Gs (s)
(3.40)
69
Pri čemu vrijedi: T (s) + S (s) = 1
(3.41)
3.5 Algebra dijagrama blokova
Algebra dijagrama blokova je skup pravila koja omogućuju modifikacije i simplifikacije dijagrama blokova. To su jednostavna pravila bazirana na principima algebre: -
Kaskadna (serijska) veza blokova: G1(s)
G2(s)
...
G n(s)
U(s)
Y(s) Slika 3.10 Kaskadna veza blokova
Ekvivalentna prenosna funkcija ovog sistema je data slijedećim izrazom:
M ( s) = -
n Y (s) = G1 ( s )G2 ( s ) Gn ( s ) = ∏ Gi ( s ) U ( s) i =1
Paralelna veza blokova: G1(s) ...
...
G2(s) R(s) ...
...
Gn(s)
Slika 3.11 Paralelna veza blokova
70
Y(s)
(3.42)
Ekvivalentna prenosna funkcija sistema sa slike 3.11 data je izrazom: M ( s) = -
slijedećim
n Y (s) = ∑ Gi ( s ) U ( s ) i =1
(3.43)
Struktura sa jediničnom povratnom vezom:
R(s)
+
G(s)
-
Y(s)
Slika 3.12 Struktura sa jediničnom povratnom spregom
Ekvivalentna prenosna funkcija ovog sistema se može odrediti prema izrazu: M (s) =
G (s) 1 + G (s)
(3.44)
Ako se u povratnoj grani nalazi prenosna funkcija H ( s ) ≠ 1 (slika 3.13). R(s)
+-
E(s)
G
Y(s)
H
Slika 3.13 Struktura sa povratnom spregom
Onda se ekvivalentna prenosna funkcija računa prema izrazu: M (s) =
G (s) 1 + G (s) H (s)
(3.45) 71
Pored algebarskih pravila, algebra dijagrama blokova je komplementirana slijedećim “geometrijskim” pravilima: G(s)
X
Y
G(s)
X
Y
1 G(s)
X
X
Slika 3.14 Geometrijska pravila
G(s)
X
X
Y
Y
G(s)
Y
G(s)
Y
Slika 3.15 Geometrijska pravila
X1
G(s)
++
Y
X1
++
X2
Slika 3.16 Geometrijska pravila
72
G(s)
Y
1 G(s)
X2
Primjer 3.1 Y (s) Potrebno je odrediti prenosnu funkciju G ( s ) = sistema predstavljenog U ( s ) dijagramom blokova na slici 3.17. G 3(s)
U(s)
+-
G1(s)
+ +
G2(s)
Y(s)
H(s)
Slika 3.17 Dijagram blokova izvornog sistema
Primjenom pravila algebre blokova dobija se slijedeće pojednostavljenje: G3 (s) G1(s)
U(s)
+-
++
G1(s)
G2 ( s)
Y(s)
H(s)
Slika 3.18 Dijagram blokova ekvivalentnog sistema
Sada se dva sumatora (slika 3.18) mogu zamijeniti pa se dobije ekvivalentan dijagram blokova:
73
G3 (s) G1(s)
++
U(s)
+-
G1(s)
Y(s)
G2 ( s)
H(s)
Slika 3.19 Dijagram blokova ekvivalentnog sistema
Može se uočiti kaskadna veza G1 ( s ) i G2 ( s ) zajedno sa povratnom vezom preko H (s ) G3 ( s ) i paralelna veza G1 ( s ) sa jediničnom prenosnom funkcijom. Prema tome, sada se dijagram blokova znatno pojednostavljuje i dobija se: U(s)
G3 (s) +1 G1(s)
G1(s)G2 (s) 1 + G1(s)G2 (s)H(s)
Y(s)
Slike 3.20 Dijagram blokova ekvivalentnog sistema
te konačno: U(s)
G3 (s) G1(s)G2 (s) G (s) + 1 1 + G (s)G (s)H(s) 1 2 1
Y(s)
Slika 3.21 Blok ekvivalentnog sistema
Dakle, ekvivalentna prenosna funkcija sistema sa slike 3.17 je : G (s) G1 ( s )G2 ( s ) G ( s ) = 3 + 1 G1 ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 74
(3.46)
3.6 Graf toka signala Pored algebre blokova, za nalaženje ekvivalentne prenosne funkcije sistema u upotrebi je i tzv. Graf toka signala ili Mason-ovo pravilo. Postoji čista analogija između dijagrama blokova i grafa toka signala. Glavni elementi grafa toka signala su čvorovi i grane. Grane povezuju čvorove grafa. Grana je ekvivalentna bloku u dijagramu blokova i predstavlja prenosnu funkciju. Ona se sastoji od ulaznog, izlaznog čvora i strelice koja pokazuje tok signala. Sa ovakvom granom je asocirana prenosna funkcija. Čvor u grafu predstavlja signal. Osnovno pravilo za čvor je da je signal u čvoru jednak sumi signala koji dolaze u taj čvor iz vanjskih grana (važno je znati da se računaju samo signali koji dolaze u čvor, ali ne i oni koji iz njega odlaze). Signal koji ulazi u čvor iz neke grane, jednak je ulaznom signalu te grane pomnoženom sa prenosnom funkcijom te grane. Na primjer, graf toka signala sistema za sistem sa slike 3.22 je predstavljen na slici 3.23. U(s)
+-
E(s)
Y(s)
G
H
Slika 3.22 Dijagram blokova sistema sa povratnom spregom
U
1
E
G
1
Y
-H Slika 3.23 Graf toka signala sistema za sistem sa slike 3.22
Potrebno je uvesti još neke termine vezane za graf toka signala: 1. Čvor izvor, to je čvor u grafu toka signala iz kojeg signali samo izviru (ulazni signali su predstavljeni ovim čvorovima) 2. Čvor ponor, to je čvor u grafu u kojeg signali samo poniru (izlazni signali) 75
3. Put, to je serija grana u grafu od čvora izvora do čvora ponora, koje imaju strelice u istom smjeru, a koje ne prolaze niti jedan čvor više od jednom, pojačanje puta je proizvod svih prenosnih funkcija na putu 4. Petlja, to je zatvoren put grana sa strelicama u istom smjeru u kome se ni jedan čvor ne pojavljuje više od jednom, čvor izvor i čvor ponor ne mogu biti dio petlje, pojačanje petlje je proizvod svih prenosnih funkcija u petlji 5. Nedodirujuće petlje, to su dvije petlje koje nemaju zajednički čvor Primjer 3.2 G6
U
1
G2
G1
G4
G3
−H1
G5
1
Y
−H2
−H3
Slika 3.24 Graf toka signala 1. U je čvor izvor 2. Y je čvor ponor 3. Postoje dva puta: P1 : P1 = G1G2 G3G4 G5 P2 : P2 = G1G6 G4 G5
(3.47)
4. Postoje četiri petlje: L1 : L1 = −G1 H 1 L2 : L2 = −G3 G4 H 2 L3 : L3 = −G1G2 G3 G4 G5 H 3 L4 : L4 = −G1G6 G4 G5 H 3
76
(3.48)
5. Postoje dvije nedodirujuće petlje: L1 = −G1 H 1 L2 = −G3 G4 H 2
(3.49)
Mason je otkrio elegantnu formulu za nalaženje prenosne funkcije između ulaznih i izlaznih čvorova za sisteme date grafom toka signala: N
G (s) =
∑P ∆ k =1
k
k
∆
(3.50)
gdje su: Pk - pojačanja puteva koji vode od ulaza do izlaza N - broj puteva između ulaznog i izlaznog čvora ∆ - determinanta grafa toka signala ∆ k - kofaktor puta k Determinanta grafa toka signala se računa kao: ∆ = 1 − Ls + Ls 2 − Ls 3 + −
(3.51)
gdje su: L - suma pojačanja svih petlji s L - suma proizvoda pojačanja svih mogućih kombinacija nedodirujućih s2 petlji, koje se uzimaju po dvije L
- suma proizvoda pojačanja svih mogućih kombinacija nedodirujućih s3 petlji, koje se uzimaju po tri Kofaktor puta k, ∆ k je jednak Δ za graf toka signala koji se dobije od originalnog grafa kad se iz njega izdvoji dati k-ti put. Primjer 3.3 Odrediti prenosnu funkciju sistema predstavljenog dijagramom blokova na slici 3.25. 77
G5
U(s)
+-
+-
+-
G1
++
G2
G3
Y(s)
G4
H2 H1 H3
Slika 3.25 Dijagram blokova složenog sistema
Ekvivalentna prenosna funkcija sistema bit će izračunata korištenjem Masonovog pravila, tj. prevođenjem dijagrama blokova u ekvivalentni graf toka signala. G5 U
1
1
G1
G2
1
−H1
1
G3
G4
1
Y
−H2
−H3
Slika 3.26 Graf toka signala sistema sa slike 3.25
Analizom grafa toka signala sa slike 3.26 dobija se: Putevi: P1 = G1G2 G3 G4 P2 = G1G5 G3 G4
(3.52)
Petlje: L1 = −G1G2 H 1 78
L2 = −G2 G3 H 2
(3.53)
L3 = G1G5 G3 H 2 G2 H 1 L4 = −G1G5 G3 G4 H 3 L5 = −G1G2 G3 G4 H 3 Nema nedodirujućih petlji. Prema tome vrijedi: ∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 ) ∆1 = 1 , ∆ 2 = 1
(3.54)
te za prenosnu funkciju sistema G (s ) se dobije:
G (s) =
P1 + P2 1 − ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 )
(3.55)
odnosno:
G ( s) =
G1G3G4 (G2 + G5 ) 1 + G1G2 H1 + G2G3 H 2 (1 − G1G5 H1 ) + G1G3G4 H 3 (G5 + G2 )
(3.56)
3.7 Ocjene kvalitete (performansi) sistema automatskog upravljanja 3.7.1 Vremenske ocjene kvalitete - tranzijentni i ustaljeni odziv U analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja vrlo je važno naći metod specifikacije kvalitete (performansi) sistema automatskog upravljanja. Takve specifikacije se prirodno daju u vremenskom domenu. Generalno, specifikacije sistema se odnose na specifikacije tranzijentnog i ustaljenog ponašanja sistema. Odziv linearnog vremenski invarijantnog sistema je u opštem slučaju sastavljen iz dvije komponente: y (t ) = y tr (t ) + y s (t )
(3.57)
gdje su: 79
y tr (t ) - tranzijentni odziv sistema y s (t ) - ustaljeni odziv sistema pri čemu za stabilne sisteme vrijedi: lim y tr (t ) = 0
(3.58)
t →∞
Nakon uspostavljanja specifikacija ponašanja sistema u vremenskom domenu, bit će određene relacije između parametara u vremenskom domenu i pozicija nula i polova prenosne funkcije sistema.
3.7.2 Tranzijentni odziv sistema drugog reda
Sistem drugog reda sa zatvorenom povratnom spregom je prikazan na slici 3.27.
R(s)
+-
E(s)
G(s) =
K s(Ts + 1)
Y(s)
Slika 3.27 Sistem drugog reda sa zatvorenom jediničnom povratnom spregom
Ekvivalentna prenosna funkcija je određena izrazom:
gdje su: ωn =
80
K ω 2n Y (s) T M (s) = = = 2 R( s ) s 2 + s + K s + 2ξω n s + ω n 2 T T K - prirodna učestanost sistema T
(3.59)
ξ=
1 - faktor prigušenja sistema 2ω nT
Svaki sistem drugog reda se jednostavno može svesti na ovu formu. Kao testna referentna vrijednost sistema automatskog upravljanja najčešće se koristi odskočna (step) funkcija. Step referentna vrijednost se lako generiše, mnogo industrijskih sistema automatskog upravljanja radi u režimu regulacije (stabilizacije), odnosno održavanja konstantnih vrijednosti procesnih varijabli, sa step signalom se jednostavno mogu porediti različiti SAU, odnosno njihovi odzivi. Karakteristična jednačina prethodnog sistema drugog reda je: s 2 + 2ξω n s + ω 2 n = 0
(3.60)
Rješavanjem karakteristične jednačine dobiju se polovi sistema: s1/ 2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2 = −ξω n ± jω d
(3.61)
gdje je sa ω d = ω n 1 − ξ 2 označena prigušena učestanost. Položaj polova sistema u kompleksnoj s-ravni je prikazan na slici 3.28. Im
ωn 1 − ξ 2
−ξωn
Re
− ωn 1 − ξ 2
Slika 3.28 Polovi sistema drugog reda u kompleksnoj s-ravni
81
Promjenom ξ i ω n mijenja se položaj polova u kompleksnoj s-ravni i u zavisnosti od toga, kao što će se vidjeti, mijenja se i vremenski odziv sistema. U zavisnosti od vrijednosti faktora prigušenje ξ mogu se pojaviti tri karakteristična slučaja: 1) ξ = 1 , tzv. kritično prigušen sistem (sistem ima dvostruki realan pol) 2) ξ > 1 , tzv. nadkritično prigušen sistem (sistem ima dva jednostruka realna pola) 3) ξ < 1 , tzv. podkritično prigušen sistem (sistem ima par konjugovanokompleksnih polova) U slučaju kritično prigušenog sistema odziv na step (jedinična odskočna funkcija) referentnu vrijednost je: Y (s) =
ω 2n ω 2n = s ( s 2 + 2ω n s + ω n 2 ) s ( s + ω n ) 2
(3.62)
U ovom slučaju sistem ima dvostruki realni pol: s1/ 2 = −ω n Rastavljanjem Y (s ) na parcijalne razlomke dobija se: ωn 1 1 y (t ) = L−1{Y ( s )} = L−1{ − − } s s + ω n (s + ω n )2
(3.63)
Nalaženjem inverzne Laplace-ove transformacije dobija se odziv sistema u vremenskom domenu: y (t ) = 1 − e −ω nt − ω nte −ω nt = yss (t ) + ytr (t )
(3.64)
Odziv u ustaljenom stanju je: yss (t ) = 1 , a tranzijentni dio odziva je ytr (t ) = −e −ω nt − ω nte −ω nt . Može se zaključiti da tranzijentni odziv iščezava sa vremenom, brzinom koju određuje dvostruki pol sistema lociran u − ω n . U slučaju nadkritično prigušenog sistema (ξ > 1) vrijedi da je odziv na step: 82
Y (s) =
ω 2n s ( s 2 + 2ξω n s + ω 2 n )
(3.65)
U ovom slučaju sistem ima dva realna pola: s1/ 2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 = −ξω n ± ω d
(3.66)
Rastavljanjem Y (s ) na parcijalne razlomke:
Y (s) =
K1 K2 1 + + s s + ξω n + ω d s + ξω n − ω d
(3.67)
za vremenski odziv se dobija: y (t ) = 1 + K1e − (ξω n +ω d )t + K 2 e − (ξω n −ω d )t
(3.68)
Odziv u ustaljenom stanju je: yss (t ) = 1 , dok tranzijentni dio odziva ytr (t ) = K1e − (ξω n +ω d )t + K 2 e − (ξω n −ω d )t iščezava sa vremenom, brzinom koju određuje najsporiji pol sistema −ξω n + ω d . U slučaju podkritično prigušenog sistema (ξ < 1) vrijedi da je odziv na step: ωn2 Y (s) = s ( s 2 + 2ξω n s + ω n 2 )
(3.69)
U ovom slučaju polovi sistema su konjugovano-kompleksni: s1/ 2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2
(3.70)
Rastavljanjem Y (s ) na parcijalne razlomke dobija se:
Y (s) =
K1 K2 K 2* + + s s + ξω n + jω d s + ξω n − jω d
(3.71)
83
Vremenski odziv se dobija inverznom Laplace-ovom transformacijom i iznosi: y (t ) = 1 +
e − ξω nt 1− ξ
2
sin(ω n 1 − ξ 2 t − θ )
(3.72)
gdje je: θ = cos −1 (ξ ) Odziv u ustaljenom stanju je: yss (t ) = 1 , dok tranzijentni dio odziva e − ξω nt sin(ω n 1 − ξ 2 t − θ ) iščezava sa vremenom, brzinom koju ytr (t ) = 2 1− ξ određuje realni dio konjugovano-kompleksnih polova sistema −ξω n . Na slici 3.29 su prikazani vremenski step odzivi sistema za različite vrijednosti faktora prigušenja ξ .
y(t)
ξ=
ωnt
Slika 3.29 Step odziv sistema u ovisnosti o faktoru prigušenja
84
ξ
Tranzijentne performanse sistema se obično definišu u odnosu na odziv sistema na ulaznu step (odskočnu) funkciju kao što je to prikazano na slici 3.30.
Mp t preskok
ess
1.0 + δ
1.0 0.9 1.0 - δ
0.1 0
Tr1
Tp
Ts
Vrijeme
Tr Slika 3.30 Parametri tranzijentnog odziva sistema na step ulaznu funkciju
Slijedeći parametri definišu tranzijentni odziv sistema: Tr - vrijeme porasta (rise time) je vrijeme za koje odziv sistema prođe vrijednosti od 0 do 100 % vrijednosti u stacionarnom stanju. Ovakva definicija vremena porasta se upotrebljava u podkritično prigušenim sistemima (ξ < 1) Tr1 - vrijeme porasta je vrijeme za koje odziv sistema prođe vrijednosti od 10% do 90% vrijednosti u ustaljenom stanju. Ovakva definicija se koristi za nadkritično prigušene sisteme (ξ > 1) T p - vrijeme preskoka (peak time) je vremenski trenutak kada se desi maksimalni preskok stacionarne vrijednosti Ts - vrijeme smirenja (settling time) je vrijeme za koje odziv sistema dostigne i ostane u intervalu od -5% do 5% stacionarne vrijednosti 85
OS - preskok u oznaci OS (overshoot) se definiše kao razlika y (t ) max − r (t ) gdje je r (t ) step referentna vrijednost Obično se za definisanje tranzijentnog odziva koriste vrijeme smirenja i veličina preskoka. Da bi odredili vrijeme i veličinu maksimalnog
preskoka potrebno je odrediti maksimum funkcije y(t) . Stacionarne tačke su date sa dy (Tp ) = 0 . dt Diferenciranjem i sređivanjem izraza dobija se: Tp =
π ωn 1− ξ2
OS = ymax − 1 = y (Tp ) − 1 = exp{−
ξπ 1− ξ2
}
(3.73)
Preskok se često daje u procentima: MPOS = exp{−
ξπ 1− ξ2
} ⋅100%
(3.74)
gdje je sa MPOS (maximum percent overshoot) označen maksimalni preskok u procentima. Iz posljednjeg izraza se može zaključiti da je preskok samo funkcija prigušenja. Iz izraza za odziv sistema u vremenskom domenu se vidi da tranzijentni dio nestaje sa vremenskom konstantom τ = (ξω n ) −1 . Obično se uzima da je prelazni proces praktično završen za 3τ ÷ 5τ , pa se vrijeme smirenja često definiše kao: Ts =
3 ξω n
(3.75)
Dakle, za poznate lokacije polova sistema, odnosno poznat faktor prigušenja ξ i poznatu prirodnu učestanost ω n iz prethodnih jednostavnih relacija se može odrediti tranzijentna performansa sistema, tj. preskok (MPOS) i vrijeme smirenja (Ts). Naravno, moguće je iz prethodnih relacija riješiti i suprotan problem, odnosno za zadato (željeno) vrijeme smirenja i maksimalni preskok odrediti potreban faktor prigušenja ξ i prirodnu učestanost ω n , odnosno odrediti potrebnu lokaciju polova sistema. Na ovaj način je uspostavljena veza između parametara koji karakterišu 86
vremenski odziv sistema drugog reda i lokacije polova njegove prenosne funkcije u kompleksnom domenu. U dosadašnjoj analizi je razmatran sistem drugog reda bez konačnih nula. Naime, ukoliko postoje konačne nule u sistemu one takođe utiču na tranzijentno ponašanje sistema. Prenosna funkcija sistema drugog reda sa jednom konačnom nulom može biti napisana kao: G ( s) =
ω n 2 + sω n / αξ ωn2 ωn2 s = + (3.76) 2 2 2 2 2 2 s + 2ξω n s + ω n s + 2ξω n s + ω n αξω n s + 2ξω n s + ω n
Sistem ima nulu lociranu u s 0 = −αξω n . Efekat konačne nule u tranzijentnom odzivu se primjećuje kroz povećan preskok i smanjeno vrijeme porasta, dok ima vrlo malo uticaja na vrijeme smirenja sistema. Ako je α veliko, tada će nula imati malo uticaja na tranzijentni odziv sistema. Sa druge strane, u slučaju da je α malo, tada će nula imati značajnog uticaja na tranzijentni odziv sistema. Može se pokazati da nula ima malo uticaja na tranzijentni odziv sistema drugog reda ukoliko je α ≥ 3 . Ukoliko se α smanjuje ovaj uticaj postaje značajniji, a posebno za α ≤ 1 . Na slici 3.31 je data familija odziva za 1 ≤ α ≤ ∞ .
Slika 3.31 Odziv sistema u ovisnosti o konačnoj nuli
87
3.7.3 Tranzijentni odziv sistema višeg reda
U prethodnom izlaganju je izvršena karakterizacija odziva sistema drugog reda. U opštem slučaju nije moguće izvesti analitičke izraze za karakterizaciju tranzijentnog odziva sistema višeg reda. Ipak, često je moguće aproksimativno odrediti parametre tranzijentnog odziva sistema višeg reda pomoću parametara odziva sistema drugog reda, odnosno moguće je redukovati model višeg reda na model drugog reda. Prenosna funkcija sistema automatskog upravljanja sa jediničnom povratnom spregom može se predstaviti bez gubitka opštosti kao:
M (s) =
G (s) Q( s) Q( s) = = 2 2 1 + G ( s ) P( s ) ( s + 2ξω n s + ω n )( s − p1 ) ( s − pn − 2 )
(3.77)
Tranzijentno ponašanje sistema praktično određuju tzv. “spori” polovi, tj. polovi najbliži imaginarnoj osi. Polovi dalji od imaginarne ose, daju u vremenskom domenu članove koji daleko brže iščezavaju u vremenu, tj. članove tipa K i e pit . Im
s1
p2
p1
Re
s1
Slika 3.32 Dominantni polovi sistema višeg reda
Sistem višeg reda se može dobro aproksimirati sistemom drugog reda ukoliko ima par konjugovano-kompleksnih polova koji su mnogo bliže imaginarnoj osi od svih ostalih polova. Ovo će važiti u slučaju da tehnički sistem uključuje brzi i spori podsistem (npr. elektro (brzi)-mehanički (spori) sistem). Ovi polovi se nazivaju dominanti polovi i predstavljeni su na slici 3.32. Tada se može koristiti aproksimacija:
88
ωn2 Q( s) ≈ ( s 2 + 2ξω n s + ω n 2 )( s − p1 ) ( s − pn − 2 ) s 2 + 2ξω n s + ω n 2
(3.78)
Primjer 3.4 Aproksimacija sistema višeg reda sa sistemom drugog reda data je kao:
M (s) =
6000 1 ≈ M r (s) = 2 s + s + 1) ( s + s + 1)( s + 10)( s + 20)( s + 30) 2
(3.79)
Step odzivi originalnog i redukovanog modela su dati na slici 3.33.
Slika 3.33 Step odzivi modela višeg i redukovanog modela drugog reda
89
3.7.4 Ustaljeni odziv Na slici 3.34 data je opšta struktura sistema automatskog upravljanja sa jediničnom povratnom spregom: D(s)
R(s)
+ -
E(s)
+
G r(s)
+
G o(s)
Y(s)
Slika 3.34 Sistem sa jediničnom povratnom spregom
Najprije će se izvršiti analiza odziva sistema i grešaka ustaljenog stanja pod pretpostavkom da nema djelovanja smetnje d (t ) . Kao što je ranije pokazano, vremenski odziv sistema se može predstaviti u vidu sume tranzijentnog i ustaljenog (stacionarnog) odziva: y (t ) = y ss (t ) + y tr (t )
(3.80)
pri čemu za stabilan sistem vrijedi: lim y tr (t ) = 0 t →∞
(3.81)
Na ulaz se dovodi referentni signal r (t ) koji predstavlja željeni izlaz sistema. Formira se razlika između referentnog ulaza i stvarnog izlaza i dobija signal greške e(t ) = r (t ) − y (t ) . Ovaj signal zajedno sa kontrolerom Gr (s ) pogoni sistem Go (s ) u cilju redukcije greške e(t ) . Na osnovu strukture sistema može se pisati za regulacionu grešku: E ( s ) = R( s ) − E ( s )Gr ( s )Go ( s ) Ako se označi G ( s ) = Gr ( s )Go ( s ) : 90
(3.82)
E (s) =
R( s) 1 + G (s)
(3.83)
Korištenjem teoreme o konačnoj vrijednosti, greška ustaljenog (stacionarnog) stanja može se dobiti kao: ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim t →∞
s →0
s →0
s ⋅ R( s) 1 + G (s)
(3.84)
Očigledno da greška zavisi od sistema, regulatora i od referentnog ulaza. Najčešći zadatak sistema automatskog upravljanja je praćenje slijedećih referentnih ulaza: -
step (odskočna) funkcija, definisana kao:
0, r (t ) = 1,
t<0 t≥0
-
rampa funkcija, definisana kao:
0, r (t ) = t ,
t<0 t≥0
-
0, r (t ) = 2 t , parabola funkcija, definisana kao:
t<0 t≥0 (3.85)
Tip sistema automatskog upravljanja sa jediničnom povratnom spregom određuje broj polova sistema u koordinatnom početku (broj polova u nuli) prenosne funkcije sistema sa otvorenom povratnom spregom (prenosna funkcija direktne grane). Prema tome, za sistem se kaže da je tipa j ako prenosna funkcija direktne grane ima j polova u nuli. Tada se prenosna funkcija direktne grane može predstaviti u obliku: m
∏ (s − zi )
G (s) = K s
i =1 n− j j
∏ (s − pi ) i =1
,
j≥0 (3.86) 91
Ako se na sistem sa slike 3.34 dovede step referentna vrijednost, tada vrijedi: 1 s ⋅ R( s) 1 s = ess = lim = lim s→0 1 + G ( s ) s→0 1 + G ( s) 1 + lim G ( s ) s⋅
(3.87)
s→0
1 ess = K = lim G ( s ) Neka je p s →0 , tada se za grešku stacionarnog stanja dobija: 1+ K p . Očigledno da je greška manja što je K p veće. Da bi greška stacionarnog stanja u potpunosti bila eliminisana (nulta greška) potrebno je da K p = ∞ , a to će biti ispunjeno kada je: m
∏ (s − zi )
K p = lim G ( s ) = lim K s →0
s →0
s
i =1 n− j j
∏ (s − pi )
za j ≥ 1
=∞
i =1
(3.88)
Prema tome, da bi greška stacionarnog stanja odziva sistema na step referentni ulaz bila svedena na nulu potrebno je da postoji bar jedan (jednostruk) pol u nuli prenosne funkcije direktne grane, G ( s ) = Gr ( s )Go ( s ) . Drugačije rečeno, prenosna funkcija direktne grane mora da ima bar jedan integrator. Ovaj pol u nuli (integrator) može da se sadrži ili u regulatoru ( Gr (s ) ) ili u objektu upravljanja ( Go (s ) ). K p se naziva poziciona konstanta greške. Ako se na referentni ulaz sistema sa slike 3.34 dovede rampa funkcija r (t ) = t 1 , tada je R ( s ) = 2 , pa se greška stacionarnog stanja može računati potpuno s analogno prethodnom slučaju: s ⋅ R( s) 1 1 1 = lim = = s→0 1 + G ( s ) s → 0 s (1 + G ( s )) lim sG ( s ) K v
ess = lim E ( s ) = lim s→0
(3.89)
s→0
sG ( s ) . Da bi se greška potpuno eliminisala potrebno je da gdje je: K v = lim s →0 K v = ∞ , a to će biti ispunjeno kada je:
92
m
∏ (s − zi )
K v = lim sK s →0
s
i =1 n− j j
∏ (s − pi )
=∞
za j ≥ 2 (3.90)
i =1
Prema tome, u direktnoj grani mora postojati bar dvostruki pol u nuli (dvostruki integrator), bilo u regulatoru, objektu upravljanja ili u oba. K v se naziva brzinska konstanta greške. U slučaju da se na referentni ulaz sistema dovede parabola funkcija, analogno se može pokazati da je potreban trostruki pol u nuli (trostruki integrator) u direktnoj grani ukoliko se želi nulta greška u ustaljenom stanju. Osnovne funkcije regulatora (kontrolera) su stabilizacija sistema, poboljšanje dinamičkih karakteristika, poboljšanje ustaljenih karakteristika te redukcija dejstva vanjskih smetnji. Vanjska smetnja je u opštem slučaju stohastička veličina i ne može se analitički opisati, mada je često moguće aproksimirati smetnju sa nekim poznatim funkcijama npr. amplitudno skaliranim step funkcijama. Naime, iz prakse je poznato da većina SAU trpi dejstvo sporopromjenjljivih vanjskih smetnji. Zbog toga je potrebno i važno ispitati kako se sistem automatskog upravljanja nosi sa djelovanjem konstantne smetnje d (t ) = const. S tim ciljem neka je sada r (t ) ≡ 0 , tj. nema referentnog ulaznog signala jer se analizira odziv sistema samo kao posljedica djelovanje smetnje. Sada se može pisati: E ( s ) = −Y ( s ) i E ( s ) = −
D( s )Go ( s ) 1 + Gr ( s )Go ( s )
Uz pretpostavku da vrijedi: d (t ) = 1 ⇒ D( s ) =
(3.91)
1 , dobija se: s
1 s Go ( s) Go ( s) s ess = lim e(t ) = lim sE ( s) = − lim = − lim t →∞ s→0 s → 0 1 + G ( s )G ( s ) s → 0 1 + G ( s )G ( s ) r o o r =−
1 lim Gr ( s) + s→0
1 lim Go ( s) s→0
(3.92) 93
Ako označimo: K eo =
1 = lim Go ( s ) s→0
0, j ≥ 1 = ∏ (s − zio ) Co , j = 0 lim K o j s→0 s ∏ ( s − pio ) 1
K er = lim Gr ( s ) = lim K r s→0
s→0
∏ (s − z ) = ∞, j ≥ 1 s ∏ ( s − p ) C , j = 0
dobija se: ess = −
(3.93)
ir
j
1 K er + K eo
ir
r
(3.94)
(3.95)
Iz prethodnog izraza se vidi da će greška u ustaljenom stanju zbog dejstva konstantne smetnje biti to manja što je statičko pojačanje regulatora K er što veće (član K eo zavisi od objekta upravljanja). Da bi greška stacionarnog stanja u potpunosti bila eliminisana (nulta greška) potrebno je da K er = ∞ , a to će biti ispunjeno kada prenosna funkcija regulatora ima bar jedan pol u nuli (sadrži barem jedan integrator).
94
Slika 3.35 Eliminacija dejstva step smetnje
Prema tome, da bi sistem pratio referentni step ulaz sa nultom greškom u ustaljenom stanju, potrebno je da postoji bar jedan integrator (pol u nuli) ili u regulatoru ili u objektu upravljanja. Da bi se uz to izvršila i potpuna eliminacija dejstva step smetnje u ustaljenom stanju, potrebno je da regulator sadrži bar 95
jedan integrator (pol u nuli). Dakle, regulator sa integratorom (polom u nuli) osigurava potpunu eliminaciju greške stacionarnog stanja pri dejstvu konstantnih referentnih ulaza i konstantnih smetnji. Ovo je razlog zašto većina industrijskih regulatora uključuje integralnu komponentu. Na slici 3.35 dat je uporedan prikaz step odziva sistema (sa integratorom u regulatoru) bez djelovanja step smetnje, vremenski izgled smetnje i odziva sistema sa djelovanjem smetnje. Vidi se da sistem potpuno potiskuje smetnju. Analogno sa prethodnim izlaganjem, može se zaključiti da će sistem potpuno potisnuti dejstvo smetnje u vidu rampa vremenske funkcije u ustaljenom stanju ako regulator sadrži dvostruki pol u nuli, odnosno dvostruki integrator.
3.7.5 Princip internog (unutrašnjeg) modela
Prethodnoj analizi ustaljenog ponašanja SAU pri djelovanju referentnih vrijednosti i smetnji, može se dati i drugačija interpretacija. Iz prethodnog poglavlja, regulaciona greška u ustaljenom stanju je: s ⋅ R( s) s →0 1 + G ( s )
(3.96)
Q( s ) P( s)
(3.97)
ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim t →∞
s →0
Neka je: G ( s ) = Gr ( s )Go ( s ) = B( s) A( s )
(3.98)
P( s) B( s) ( P( s ) + Q( s )) A( s )
(3.99)
R( s) = Tada je:
E ( s) = odnosno vrijedi:
96
ess = lim sE ( s ) = lim s s→0
= lim s s→0
s→0
P ( s ) A( s ) B ( s ) P( s) B( s) = lim s 1 s → 0 ( P( s ) + Q( s )) A( s ) ( P( s ) + Q( s )) A( s )
P1 ( s ) B ( s ) =0 P( s) + Q( s)
(3.100)
Greška u ustaljenom stanju može biti nula samo ako E (s ) ima sve stabilne polove. Polovi E (s ) određeni sa P( s ) + Q( s ) = 0 su stabilni, pošto oni predstavljaju i polove sistema automatskog upravljanja. Znači da bi E (s ) imala sve stabilne polove, P(s ) mora da krati nestabilne polove A(s ) od referentne veličine, tj. mora biti P( s ) = P1 ( s ) * A( s ) . Ovo dalje znači da prenosna funkcija sistema sa otvorenom jediničnom povratnom spregom (funkcija direktne grane) mora imati oblik: G ( s) =
Q( s) Q( s) 1 = = G1 ( s ) P( s ) P1 ( s ) A( s ) A( s )
(3.101)
Prethodna jednačina predstavlja uvjet poznat kao princip internog modela (internal model principle). Drugačije rečeno, da bi sistem pratio referentnu veličinu r (t ) sa nultom greškom u ustaljenom stanju potrebno je da prenosna funkcija direktne grane interno (u sebi) sadrži model nestabilne dinamike od 1 1 referentne veličine R(s ) , odnosno model imenioca od R(s ) tj. A( s ) . A( s )
se može sadržavati ili u regulatoru ili u objektu upravljanja. Preko principa internog modela se sada lako objasne uvjeti asimptotskog praćenja step, rampe i parabole izvedeni u prethodnom poglavlju. Na analogan način se može pokazati, da je za potpuno eliminisanje dejstva U (s) D( s) = V ( s ) u ustaljnom stanju, potrebno da vanjske persistentne smetnje prenosna funkcija regulatora interno (u sebi) sadrži model nestabilne dinamike 1 smetnje D(s ) odnosno model imenioca od D(s ) , tj. V ( s ) . Tada važi da regulator mora imati oblik:
97
Gr ( s ) = Gr1 ( s )
1 V (s)
(3.102)
Sada se takođe lako, korištenjem principa internog modela, pokazuju uvjeti asimptotskog eliminisanja dejstva vanjske step smetnje izvedeni u prethodnom poglavlju. Za simultano asimptotsko praćenje r (t ) i asimptotsku eliminaciju dejstva smetnje d (t ) , potrebno je da prenosna funkcija direktne grane interno sadrži modele nestabilne dinamike referentne vrijednosti i smetnje (njihov najmanji sadržilac). Regulator mora interno sadržavati model smetnje dok model referentne vrijednosti interno može biti ili u regulatoru ili u objektu. Tada prenosna funkcija direktne grane mora imati formu: G ( s ) = Gr ( s )Go ( s ) = Gr1 ( s )
1 1 Go1 ( s ) V ( s ) A( s )
(3.103)
Primjer 3.5 Za sistem dat sa prenosnom funkcijom Go ( s ) =
1 s +1
(3.104)
Potrebno je odrediti regulator koji će u ustaljenom stanju postići tačno praćenje referentne veličine r (t ) = R0 sin( 2t ) , te potpuno eliminisanje dejstva konstantne smetnje d (t ) = D0 . Iz principa unutarnjeg modela slijedi da regulator mora imati oblik: 1 1 Gr ( s ) = Gr1 ( s ) 2 s s + 4
(3.105)
Ovim su u regulator ugrađeni modeli nestabilne dinamike referentne veličine i smetnje. Pored toga, u regulator je dodan član Gr1 ( s ) koji služi da se stabilizira sistem sa zatvorenom povratnom spregom. U narednim poglavljima će biti pokazano da se može naći Gr1 ( s ) , koje stabilizira sistem a ima formu:
98
Gr1 ( s ) =
b3 s 3 + b2 s 2 + b1s + b0 s 3 + a2 s 2 + a1s + a0
(3.106)
3.7.6 Integralne ocjene kvalitete
Pored prethodno izložene ocjene kvalitete sistema automatskog upravljanja preko eksplicitnih parametara vremenskog i ustaljenog odziva, često se koriste i integralni pokazatelji kvalitete. Integralne ocjene kvalitete su zapravo kriteriji koji istodobno ocjenjuju tranzijenti i ustaljeni odziv sistema. Zasnovane su na integralnim pokazateljima koji karakteriziraju odstupanje odziva SAU od idealnog odziva, najčešće na step referentnu vrijednost. Najčešće korišteni integralni pokazatelji su: Naziv
Kriterij ∞
J IAE = ∫ e(t ) dt
Integral apsolutne greške (IAE)
0
Integral apsolutne greške pomnožene sa vremenom (ITAE)
∞
J IAE = ∫ t e(t ) dt 0
∞
J ISE = ∫ e 2 (t )dt
Integral kvadrata greške (ISE)
0
Integral kvadrata greške pomnožen sa vremenom (ITSE)
∞
J ITSE = ∫ te 2 (t )dt 0
Sistem koji ima minimalnu vrijednost nekog od navedenih kriterija naziva se optimalni sistem u smislu tog kriterija. Na primjer, u tabeli su date optimalne vrijednosti koeficijenta prigušenja za različite integralne kriterije standardnog sistema drugog reda:
G (s) =
1 s + 2ξ s + 1 2
(3.107)
99
Kriterij
Optimalni ξ
∞
J IAE = ∫ e(t ) dt
0.7
0
∞
J IAE = ∫ t e(t ) dt
0.707
0
∞
J ISE = ∫ e 2 (t )dt
0.5
0
∞
J ITSE = ∫ te 2 (t )dt
0.6
0
3.8 Stabilnost dinamičkih sistema
Stabilnost sistema je najvažnije svojstvo sistema i vezano je sa postojanjem stabilne tačke ravnoteže sistema (tačke ekvilibrijuma). Moguće su različite definicije stabilnosti, pri čemu se najčešće koristi tzv. BIBO (bounded input bounded output) definicija stabilnosti. Za sistem se kaže da je BIBO stabilan ako za svaki ograničen ulaz sistem reaguje sa ograničenim izlazom. Ovo se matematički može zapisati u obliku: r (t ) ≤ M ⇒ y (t ) ≤ N
(3.108)
Odziv linearnog vremenski invarijantnog sistema dat je sa konvolucionim integralom:
t
y (t ) = ∫ g (τ )r (t − τ )dτ
(3.109)
0
gdje je g (t ) = L−1 {G ( s )}- impulsni odziv sistema, a r (t ) - ulaz u sistem. Dalje vrijedi: y (t ) = 100
t
t
0
0
∫ g (τ )r (t − τ )d τ ≤ ∫ g (τ )
t
r (t − τ ) d τ ≤ M ∫ g (τ ) d τ 0
(3.110)
što implicira da je sistem BIBO stabilan: y (t ) ≤ N = MC , ako je
∞
∫ g (τ ) d τ = C < ∞
(3.111)
0
Prethodni uvjet za BIBO stabilnost je ekvivalentan: lim g (t ) = 0
(3.112)
t →∞
BIBO stabilnost se također zove i vanjska stabilnost, jer njena definicija koristi ulazni i izlazni signal. Za razliku od vanjske stabilnosti, gdje se zahtijeva ograničenost ulaznog i izlaznog signala, unutrašnja (interna) stabilnost zahtijeva ograničenost svih signala u sistemu (svih vanjskih i svih unutrašnjih). Ovo obuhvata potpuna stabilnost sistema. Odnosno, sistem je potpuno stabilan ako su prenosne funkcije svih mogućih ulazno-izlaznih parova signala sistema stabilne. Vanjska i unutrašnja stabilnost su ekvivalentne u slučaju da prenosna funkcija, odnosno impulsni odziv, potpuno opisuje ponašanje sistema, a to će biti u slučaju ako ne postoji kraćenje pozitivnih nula sa pozitivnim polovima u prenosnim funkcijama svih mogućih ulazno-izlaznih parova sistema.
R(s)
(s-1) (s-2)
U(s)
(s-2) (s-1)
Y(s)
Slika 3.36 Vanjsko stabilan - unutrašnje nestabilan sistem (kraćenje pozitivnih polova i nula u sistemu)
Moguće su i slijedeće definicije stabilnosti: g (t ) = 0 , za ovakav sistem se kaže da je asimptotski stabilan 1. lim t →∞ g (t ) ≠ 0 i lim g (t ) ≤ M < ∞ , za ovakav sistem se kaže da je 2. tlim t →∞ →∞ marginalno stabilan g (t ) = ∞ , za ovakav sistem se kaže da je nestabilan 3. lim t →∞
101
Stabilnost LTI sistema direktno zavisi od lokacije polova njegove prenosne funkcije u kompleksnoj s-ravni. Bez gubitka opštosti posmatrajmo prenosnu funkciju datu sa:
G ( s) =
Q( s) Q( s) = q 2 P( s ) ( s − p1 ) ( s − p2 ) ( s − p2 *) 2 ∏ ( s − pi )
(3.113)
i
gdje su: p1 = α 1
realni pol sistema višestrukosti q
p 2 = α 2 + jβ kompleksni pol višestrukosti 2 p 2 = α 2 − jβ konjugovano kompleksni pol višestrukosti 2 pi = α i
realni pol sistema višestrukosti 1
Impulsni odziv sistema je: g (t ) = L−1{G ( s )} q
g (t ) = L−1{∑ i =1
K1i K 23 Ki K 21 K 22 K 24 + + + + +∑ } 2 2 i ( s − p1 ) ( s − p2 ) ( s − p2 *) ( s − p2 ) ( s − p2 *) i s − pi (3.114)
što daje: q
g (t ) = ∑ Ci t i −1e p1t + Cq +1eα 2t sin(βt + θ1 ) +Cq + 2teα 2t sin(βt + θ 2 ) + ∑ K i e pit (3.115) i =1
i
Prema tome da bi sistem bio stabilan, tj. lim g (t ) = 0 , mora biti ispunjen t →∞ slijedeći uslov: Re {pi }< 0,
za ∀i
(3.116)
što znači da je oblast asimptotske stabilnosti lijeva poluravan kompleksne s-ravni. Ako postoji jednostruki pol u nuli (u koordinatnom početku) tada vrijedi: 102
lim g (t ) = M
(3.117)
t →∞
a ako postoje jednostruki konjugovano-kompleksni polovi na imaginarnoj osi, tada vrijedi:
lim g (t ) ≤ M
(3.118)
t →∞
Dakle, sistem je marginalno stabilan, tj. lim g (t ) ≤ M , ukoliko: t →∞
{}
postoje neki jednostruki polovi takvi da je Re p j = 0, za neko j , a svi ostali polovi imaju Re {pi }< 0, za ∀i ≠ j Ovo znači da oblast marginalne stabilnosti imaginarnu osu kompleksne s-ravni.
uključuje lijevu poluravan te
g (t ) = ∞ , ako: postoji barem jedan pol takav da je Sistem je nestabilan, tj. lim t →∞ Re{ pi } > 0, za bilo koje i , ili postoje višestruki polovi takvi da je Re p j = 0
{}
Dakle, oblast nestabilnosti uključuje imaginarnu osu i desnu polovinu kompleksne s-ravni. U zaključku, stabilnost sistema može se utvrditi nalaženjem polova sistema te ispitivanjem njihovih realnih dijelova i njihove višestrukosti. Jasno, da nalaženje polova sistema zahtijeva nalaženje nula polinoma n reda.
3.9 Algebarski kriterijumi stabilnosti
Za davanje odgovora na pitanje da li je sistem stabilan ili nije, nije neophodno naći polove sistema, odnosno naći nule karakteristične jednačine. Dovoljno je odrediti da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni kompleksne s-ravni. Algebarski kriterijumi stabilnosti daju odgovor na pitanje da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni jednostavnim proračunom. Karakteristična jednačina sistema se može predstaviti u obliku: s n + a n−1 s n−1 + + a0 = 0
(3.119) 103
Rješavanjem prethodne jednačine dobiju se polovi p1 , p 2 , , p n . Ako su svi polovi negativni (asimptotski stabilan sistem) tada se karakteristični polinom sistema može napisati u obliku: ( s − p1 ) ( s − p n ) = ( s + α1 ) ( s + α n ) = s n + a n−1 s n−1 + + a0
(3.120)
gdje je α i = − pi > 0 . Tada svi koeficijenti karakterističnog polinoma: a0 , a1 , , a n−1 moraju biti pozitivni. Dakle, ako je bilo koji od koeficijenata karakterističnog polinoma nula ili manji od nule, onda dati sistem ne može biti asimptotski stabilan. Prethodna tvrdnja daje dovoljne uslove za nestabilnost sistema i u isto vrijeme daje potrebne uslove za asimptotsku stabilnost sistema. Obrnuto ne važi, tj. ako su svi koeficijenti karakterističnog polinoma pozitivni to ne znači da su svi polovi sistema negativni, odnosni ako vrijedi da je svako ai > 0 , tada je potrebno dalje ispitivanje za utvrđivanje stabilnosti. Algebarski kriteriji stabilnosti jednostavnim proračunima u funkciji od koeficijenata karakteristične jednačine ai , utvrđuju lokaciju njenih nula (polova sistema). Koriste se dva kriterijuma stabilnosti: - -
Routh-ov Hurwitz-ov 3.9.1 Routh-ov kriterij
n n −1 Za karakterističnu jednačinu sistema: an s + an −1 s + + a0 = 0 , Routh-ov kriterij se svodi na formiranje tabele:
an
a n−2
a n−4
...
a n −1
a n −3
a n −5
...
s n−2
A1
A2
A3
...
s n −3
B1
B2
B3
...
n−4
C1 H1
C2
C3
... ...
sn s
s
n −1
s0
104
Koeficijenti Ai , Bi , Ci se računaju kao:
A1 =
a n −1 a n − 2 − a n a n −3 a n −1
B1 =
A1 a n −3 − a n −1 A2 A1
C1 =
B1 A2 − A1 B2 B1
A2 =
a n −1 a n − 4 − a n a n −5 a n −1
B2 =
A1 a n −5 − a n −1 A3 A1
C2 =
B1 A3 − A1 B3 B1
(3.121)
Da bi karakteristična jednačina imala sve nule (polove sistema) u lijevoj polovini s-ravni (asimptotski stabilan sistem) potrebno je i dovoljno da svi koeficijenti u prvoj koloni Routh-ove tablice imaju isti znak. Primjer 3.6 Ispitati stabilnost sistema datog sa prenosnom funkcijom: G ( s) =
1 s + 6 s + 13s 2 + 12 s + 4 4
3
(3.122)
Odgovarajuća Routh-ova tablica je: s4 s3 s2 s1 s0
1 6 11 9.8 4
13 12 4 0
4 0
Elementi u prvoj koloni su istog znaka, pa prema tome sistem je asimptotski stabilan. Primjer 3.7 Ispitati stabilnost sistema datog sa slijedećom prenosnom funkcijom:
105
G ( s) =
2s + 1 s + s + 3s + 2 s 3 + s 2 + 2s + 1 6
5
4
(3.123)
Odgovarajuća Routh-ova tablica je:
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 1 1 3 -1.33 3.25 1
3 2 -1 1 1 0
1 2 1 0
1 0
Prema tome, može se zaključiti da je sistem nestabilan. Broj promjena znaka elemenata u prvoj koloni Routh-ove tablice određuje broj nestabilnih polova. Za prethodni slučaj, sistem je nestabilan i ima dva nestabilna pola (polovi sa pozitivnim realnim dijelovima). Jedna od važnih karakteristika algebarskih kriterija stabilnosti je mogućnost analize stabilnosti sistema u funkciji od nepoznatog parametra. Primjer 3.8 Odrediti opseg promjene parametra K tako da sistem dat prenosnom funkcijom: G (s) =
s +1 s + 2 s + Ks 2 + s + 3 4
3
bude asimptotski stabilan. Za dati sistem se formira Routh-ova tablica:
106
(3.124)
1 2 2K − 1 2 2 K − 13 2K − 1 3
s4 s3 s2 s1 s0
K 1
3 0
3 0
Da bi sistem bio stabilan potrebno je da budu ispunjeni uslovi: 2K − 1 2 K − 13 >0 i >0 2 2K − 1
(3.125)
Odakle slijedi da K > 6.5 . Prema tome sistem je asimptotski stabilan ukoliko je parametar K > 6.5 . Prilikom primjene Routh-ovog kriterija moguća je pojava nultih elemenata u prvoj koloni tablice. Pored ovoga, moguće je da se pojavi i kompletan nulti red. U oba slučaja sistem nije asimptotski stabilan, ali je interesantno razmatrati ove slučajeve u cilju otkrivanja da li je sistem možda marginalno stabilan, ili da se utvrdi broj nestabilnih polova. U slučaju da se pojavi nulti element u prvoj koloni koeficijenata, tada se nulti element zamijeni sa nekim malim pozitivnim brojem ε i procedura se dalje normalno nastavi. Na kraju se potraži lim i izvrši standardna analiza znaka ε →0 + elemenata prve kolone. Primjer 3.9 Ispitati stabilnost sistema datog slijedećom prenosnom funkcijom: G ( s) =
6s + 1 s + 2 s + 3s 3 + 4 s 2 + 5s + 6 5
4
(3.126)
Za dati sistem formira se Routh-ova tabela: 107
s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 2 1 ε 2ε − 6 ε 1
3 4 2 6
5 6 0
0 0
0
U četvrtom redu Routh-ove kolone se pojavila nula koja je zamijenjena sa ε lim (gdje je ε > 0 ). Nakon izvođenja ε →0+ tablica dobija slijedeći oblik: s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 2 1 0+ −∞ 1
3 4 2 6 0
5 6 0
0
Prema tome, uočavaju se dvije promjene znaka pa se može zaključiti da je sistem nestabilan i da ima dva nestabilna pola (u desnoj s poluravni). U slučaju kada se pojavi kompletan nulti red, sistem nije asimptotski stabilan, ostaje da se ispita da li je evantualno marginalno stabilan. Procedura je slijedeća: 1. Kada se pojavi nulti red, formira se pomoćni parni polinom d (s ) od koeficijenata reda iznad nultog reda d (d ( s )) , a zatim se koriste koeficijenti ovog polinoma ds umjesto dobijenih nultih koeficijenata
2. Nađe se
3. Nastavi se uobičajeno formiranje tabele 108
Prethodni koraci jedan i dva impliciraju da polinom d (s ) dijeli karakteristični polonom P(s ) , tj.: P( s ) = P1 ( s )d ( s )
(3.127)
Primjer 3.10 Ispitati stabilnost sistema: 1
G ( s) =
5
4
(3.128)
3
s + s + 2s + 2s 2 + s + 1
Prva tri reda Routh-ova tablica:
s5 s4 s3
1 1 0
2 2 0
1 1 0
0 0
U ovom slučaju u trećem redu se pojavljuje nulti red, pa se formira pomoćni polinom: d ( s) = s 4 + 2s 2 + 1
(3.129)
d (d ( s )) = 4 s 3 + 4 s ds
(3.130)
Dalje je:
Sada Routh-ova tablica poprima oblik: s5 s4 s3 s2 s
1 1 4 1 0
2 2 4 1 0
1 1 0
0 0
109
Sada se ponovo pojavljuje nulti red, u petom redu tablice. Ponovo se formira pomoćni polinom: d1 ( s ) = s 2 + 1
(3.131)
d (d1 ( s )) = 2 s ds
(3.132)
Diferenciranjem se dobija:
Konačno tablica ima izgled: 1 1 4 1 2 1
s5 s4 s3 s2 s1 s0
2 2 4 1 0
1 1 0
0 0
Obzirom da je: d1 ( s ) = s 2 + 1 = 0 ⇒ s1/ 2 = ± j d ( s ) = ( d1 ( s )
2
= 0 ⇒ s1 / 2 = ± j , s3 / 4 = ± j
(3.133)
sistem je nestabilan jer na imaginarnoj osi postoje polovi ± j višestrukosti 2.
3.9.2 Hurwitz-ov kriterijum
Za karakterističnu jednačinu: an s n + an −1 s n −1 + + a0 = 0 formira se matrica oblika:
110
(3.134)
an−1 a n 0 ∆h = 0 0 0
an−3 an−2 an−1 an 0 0
an−5 an−4 an−3 an−2
a1 a2
0 0 0 0 0 0 a0
(3.135)
Potreban i dovoljan uvjet da je sistem sa datom karakterističnom jednačinom asimptotski stabilan (ima sve polove u lijevoj s-poluravni), zahtijeva da svi dijagonalni minori prethodne matrice i koeficijent a n budu pozitivni. To se može zapisati na slijedeći način: an > 0 ∆ 1 = a n −1 > 0
∆2 =
a n −1 an
a n −1 ∆ 3 = an 0
a n −3 >0 an−2
a n −3 a n−2 a n −1
a n −5 a n−4 > 0 a n −3
∆ n = a 0 ∆ n −1
(3.136)
Posljednji dijagonalni minor ∆ n je sama Hurwitz-ova determinanta. Prema tome, ako su svi prethodni minori pozitivni, onda uslov da posljednji minor bude takođe veći od nule se svodi na to da slobodni član karakteristične jednačine a 0 bude pozitivan. 111
Sistem će biti marginalno (granično) stabilan ako je posljednji dijagonalni minor jednak nuli, a svi prethodni veći od nule. Posljednji dijagonalni minor ∆ n može biti nula ako je a0 = 0 , ∆ n −1 = 0 ili a 0 = ∆ n −1 = 0 . Ako je a 0 = 0 , tada sistem ima pol u koordinatnom početku, a ako je ∆ n −1 = 0 sistem ima konjugovanokompleksne polove na imaginarnoj osi. Primjer 3.11 Ispitati stabilnost sistema: G (s) =
1 3
2
s − s + s −1
(3.137)
Na osnovu karakteristične jednačine sistema: s 3 − s 2 + s − 1 = 0 , formira se Hurwitz-ova matrica:
Tada vrijedi:
− 1 − 1 0 1 1 0 0 − 1 − 1
(3.138)
a3 = 1 > 0 , ∆ 1 = −1 < 0 , ∆ 2 = 0 i ∆ 3 = 0
(3.139)
Dakle, sistem je nestabilan jer je minor ∆ 1 < 0 .
3.10 Geometrijsko mjesto korijena – GMK (Root Locus)
Geometrijsko mjesto korijena (GMK) (root locus) je metod koja služi za nalaženje lokacija polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom u funkciji nepoznatog parametra. U mnogim slučajevima parametar od interesa je statičko pojačanje sistema K koje zadovoljava uvjet 0 ≤ K < +∞ . Međutim, umjesto statičkog pojačanja K može biti korišten bilo koji nepoznati varijabilni parametar sistema koji utiče na lokacije polova. Šta više, ovaj metod može biti formulisan za nekoliko nepoznatih i varijabilnih parametara. Originalno je predstavljen u [8]. Važnost metoda GMK-a u teoriji sistema automatskog upravljanja leži u činjenici da lokacija polova sistema određuje stabilnost sistema te njegov tranzijentni odziv. U nekim slučajevima, željene performanse sistema automatskog 112
upravljanja mogu biti dobijene pravilnim izborom samo statičkog pojačanja K . Ako se samo promjenom pojačanja K ne mogu postići svi zahtjevi upravljačkog sistema, onda se mora dizajnirati dinamički regulator. Tehnika GMK-a omogućuje analizu lokacija polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom u funkciji promjene statičkog pojačanja. Sistem sa zatvorenom povratnom spregom može biti predstavljen u formi blok dijagrama (slika 3.37):
Regulator -Objekt R(s)
G(s) +
-
Y(s)
H(s) Element povratne sprege Slika 3.37 Blok dijagram sistema sa povratnom spregom
Karakteristična jednačina sistema sa zatvorenom povratnom spregom data je sa: 1 + G ( s) H ( s) = 0
(3.140)
1 + KG1 ( s ) H1 ( s ) = 0
(3.141)
što može biti napisano kao:
gdje K predstavlja ukupno statičko pojačanje u petlji (umnožak statičkih pojačanja regulatora, objekta upravljanja u širem smislu te elementa povratne sprege) (slika 3.38).
113
Regulator -Objekt R(s)
K +
G1(s)
-
Y(s)
H1(s) Element povratne sprege Slika 3.38 Sistem sa povratnom spregom i statičkim pojačanjem u direktnoj grani
Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom data je sa:
M (s) =
M (s) =
Y (s) G (s) G (s) = = R( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) 1 + KG1 ( s ) H1 ( s )
G ( s )( s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 )
( s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 ) + K ( s m + bm−1s m−1 + + b0 )
,
n≥m (3.142)
Karakteristična jednačina sistema je: ( s n + an −1s n −1 + + a1s + a0 ) + K ( s m + bm −1s m −1 + + b0 ) = 0
(3.143)
Postavlja se pitanje, kako pronaći lokacije polova sistema (nula karakteristične jednačine) za sve vrijednosti 0 ≤ K < +∞ . Odgovor na ovo pitanje doveo je do razvoja GMK-a tehnike. Glavna ideja koja stoji iza GMK-a dolazi iz jednačine: G1 ( s ) H1 ( s ) = −
114
1 K
(3.144)
koja je kompleksna algebarska jednačina kompleksne promjenljive s. Ona u stvari predstavlja dvije jednačine (za realne i imaginarne dijelove, odnosno za amplitudu i ugao). Iz prethodne jednačine slijedi jednačina za amplitudu:
| G1 ( s ) H1 ( s ) | =
1 K
(3.145)
l = 0, ± 1, ± 2,
(3.146)
i za ugao:
arg G1 ( s ) H1 ( s ) = (2l + 1)π ,
Ako se faktor G1 ( s ) H1 ( s ) izrazi kao:
G1 ( s ) H1 ( s ) =
( s − z1 )( s − z2 ) ( s − zm ) ( s − p1 )( s − p2 ) ( s − pn )
(3.147)
onda korištenjem elementarne algebre sa kompleksnim brojevima dobija se: m
| G1 ( s ) H1 ( s ) |=
∏ s−z
i
i =1 n
∏ s− p
i
i =1
m
n
i =1
i =1
=
1 K
(3.148)
arg G1 ( s ) H1 ( s ) = ∑ arg( s − zi ) − ∑ arg( s − pi ) = (2l + 1)π , l = 0, ± 1, ± 2, (3.149) Posljednje dvije jednačine su presudne u razvoju GMK-a metode. Pošto je metoda relativno dugačka, ona se razbija u jedanaest pravila, od kojih je svako predstavljeno i dokazano u narednom odjeljku.
115
Neka je dato: G ( s) H ( s) =
K ( s + 1) s ( s + 2)( s + 4)
(3.150)
Lokacije polova i nula sistema sa otvorenom povratnom spregom predstavljene su na slici 3.39.
Slika 3.39 Tačka u kompleksnoj ravni koja ne leži na geometrijskom mjestu korijena
Izabere se bilo koja tačka s1 u kompleksnoj ravni. Ako tačka pripada geometrijskom mjestu korijena, ona mora da zadovolji jednačine amplitude (3.148) i ugla (3.149) GMK-a. Na primjer, za tačku s1 = −2 + j 2 , iz ( ) se dobija:
s1 + 1 a 1 5 16 = = = ⇒K= s1 + 0 s1 + 2 s1 + 4 K b ⋅ c ⋅ d 8 ⋅ 2⋅ 8 5
(3.151)
Prema tome, ako tačka s1 pripada geometrijskom mjestu korijena, statičko pojačanje K u ovoj tački mora biti jednako 16 / 5 . Sada razmotrimo jednačinu ( 3.149), onda za tačku s1 mora biti zadovoljeno: 116
arg G1 ( s ) H1 ( s ) = arg( s1 + 1) − arg( s1 + 0) − arg( s1 + 2) − arg( s1 + 4) = (2l + 1)π (3.152)
koja vodi ka: α1 − β1 − β 2 − β3 = (2l + 1)π , l = 0, ± 1, ± 2, 116.57o − 135o − 90o − 45o = −143.33o ≠ (2l + 1)π
(3.153)
Iz prethodnog se zaključuje da tačka s1 = −2 + j 2 ne može pripadati geometrijskom mjestu korijena zato što jednačina (3.153) očigledno nije zadovoljena. Ovaj primjer pokazuje da samo ograničen broj tačaka iz kompleksne ravni može pripadati geometrijskom mjestu korijena.
3.10.1 Konstrukcija geometrijskog mjesta korijena
U ovoj sekciji se predstavlja jedanaest pravila koja služe za konstrukciju geometrijskog mjesta korijena [11], [6], [28]. Geometrijsko mjesto korijena predstavlja lokaciju polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom sa izborom svih mogućih pojačanja K ∈[0, +∞ ). Karakteristična jednačina sistema data je sa: 1 + KG1 ( s ) H1 ( s ) = 1 + K
( s − z1 )( s − z2 ) ( s − zm ) =0 ( s − p1 )( s − p2 ) ( s − pn )
(3.154)
ili: ( s − p1 )( s − p2 ) ( s − pn ) + K ( s − z1 )( s − z2 ) ( s − zm ) = 0
(3.155)
Gdje su zi i pi nule i polovi sistema sa otvorenom povratnom spregom, respektivno. Primjećuje se da prenosna funkcija sistema sa otvorenom povratnom spregom G1 ( s ) H1 ( s ) , sa dodatnih m konačnih nula, ima n-m beskonačnih nula. Postavljanjem K = 0 u (3.155) dobija se: ( s − p1 )( s − p2 ) ( s − pn ) = 0
(3.156)
117
Ovo pokazuje da geometrijsko mjesto korijena počinje, za K = 0 , u polovima sistema sa otvorenom povratnom spregom. Za K → ∞ jednačina (3.155) daje: ( s − z1 )( s − z2 ) ( s − zm ) = 0
(3.157)
što vodi do zaključka, da geometrijsko mjesto korijena završava u nulama sistema sa otvorenom povratnom spregom. Iz ove dvije opservacije, mogu se formulisati dva pravila za konstrukciju GMK-a. Pravilo 1. Geometrijsko mjesto korijena, koje predstavlja polove sistema sa zatvorenom povratnom spregom, počinje za K = 0 u polovima sistema sa otvorenom povratnom spregom. Pravilo 2. Geometrijsko mjesto korijena završava za K = ∞ u nulama sistema sa otvorenom povratnom spregom, naime m polova završava u m konačnih nula a preostalih n-m polova završava u n-m beskonačnih nula. Karakteristična jednačina je reda n, tako da postoji n polova za svako K ∈[0, +∞ ), te prema tome slijedi da ovi polovi putuju po n grana u s-ravni, kako K raste od 0 do +∞ . Iz razloga što su rješenja polinomskih jednačina sa realnim koeficijentima realna ili konjugovano-kompleksna, proizilazi da geometrijsko mjesto korijena mora biti simetrično u odnosu na realnu osu u s-ravni. Iz ovih činjenica slijede dva pravila. Pravilo 3. Geometrijsko mjesto korijena je sastavljeno od n grana. Pravilo 4. Geometrijsko mjesto korijena je simetrično u odnosu na realnu osu. Ako tačka koja pripada GMK-a leži na realnoj osi onda je doprinos uglova (3.149) zbog realnih polova i nula, dok se doprinos uglova konjugovanokompleksnih polova i nula međusobno poništava. Ovo se pokazuje u slijedećem primjeru. Neka je prenosna funkcija sistema sa otvorenom povratnom spregom data sa:
118
G1 ( s ) H1 ( s ) =
( s − z1 ) ( s + 3) = 2 ( s + 1)( s + 4)( s + 2 s + 2) ( s − p1 )( s − p2 )( s − p3 )( s − p3 ) (3.158)
razmatra se tačka s1 = −2 , onda: arg( s1 + 3) = 0o , arg( s1 + 1) = 180o , arg( s1 + 4) = 0o , arg( s12 + 2 s1 + 2) = arg( s1 + 1 + j1) + arg( s1 + 1 − j1) = 45o − 45o = 0o (3.159) tako da: arg G1 ( s ) H1 ( s ) = arg( s1 + 3) − arg( s1 + 1) − arg( s1 + 4) - arg( s1 + 1 + j1) − arg( s1 + 1 − j1) = 0o − 180o − 0o − 0o − 0o = −180o
(3.160)
Iz ovog primjera, može se takođe vidjeti da uglovni doprinos polova i nula lijevo od tačke na realnoj osi iznosi 0 o . Prema tome, da se zaključiti da jedino polovi i nule koje se nalaze desno od tačke na realnoj osi doprinose svaki sa faznim uglom od 180 o . Čak šta više, iz (3.149) slijedi: arg G1 ( s ) H1 ( s ) = (neparan broj ) × π
(3.161)
Dakle tačka na realnoj osi može pripadati geometrijskom mjestu korijena ako je ukupan broj polova i nula desno od te tačke neparan. Rezultat može biti formulisan u obliku sljedećeg veoma korisnog pravila. Pravilo 5. Tačka ne realnoj osi pripada geometrijskom mjestu korijena, ako je ukupan broj konačnih polova i nula sistema sa otvorenom povratnom spregom desno od tačke na realnoj osi neparan. Snaga ovog pravila leži u činjenici da su neki polovi realni za sve vrijednosti K ∈[0, +∞ ), tako da njegova primjena u potpunosti određuje dijelove nekih grana GMK-a. 119
Lokacije polova i nula sistema sa otvorenom povratnom spregom iz prethodnog primjera prikazane su na slici 3.40. Pored konačne nule z1 = −3 , prenosna funkcija ima i tri nule u beskonačnosti. Sa obzirom na pravilo 2, tri grane ( n − m = 3 ) geometrijskog mjesta korijena će završiti u beskonačnosti a jedna od njih će završiti u z1 = −3 . Koristeći pravilo 5, može se zaključiti da neke tačke realne ose, tj. (− ∞,−4] i (− 3,−1] pripadaju geometrijskom mjestu korijena. Ovo potpuno definiše dvije grane GMK-a, pošto pol p1 = −1 (za K = 0) ide u nulu z1 = −3 za K = +∞ , a pol p 2 = −4 ide u nulu u beskonačnosti duž negativne ose. Djelimičan GMK-a za ovaj primjer dat je na slici 3.41.
Slika 3.40 Lokacija polova i nula sistema sa otvorenom povratnom spregom
Slika 3.41 Djelimičan GMK-a iz primjera
120
Preostale dvije grane koje počinju sa kompleksno-konjugovanim polovima p 3 i p 3 , će otići u beskonačnost (pravilo 2) kako K raste od 0 do + ∞ . Za velike vrijednosti s, tj. kada s → ∞ , može se vidjeti iz (3.154) da vrijedi:
lim G1 ( s ) H 1 ( s ) = s →∞
1 s
n−m
(3.162)
gdje se iz (3.149) dobija : lim arg G1 ( s ) H1 ( s ) = (2l + 1)π = − arg s n−m = −(n − m) arg s
s →∞
(3.163)
Pošto su n-m grana teoretski u beskonačnosti, može se zaključiti da svi konačni polovi i nule proizvode isti uglovni doprinos na bilo koju tačku u beskonačnosti koja leži na geometrijskom mjestu korijena, onda iz (3.163) slijedi da je ugao Θ i tačaka na ovim granama: Θi = −
(2l + 1)π , l = 0, ± 1, ± 2, n−m
(3.164)
Prema tome, uglovi asimptota za s → ∞ (3.164), pri čemu ima samo n-m grana koje odlaze u beskonačnost neznatno se modificiraju tako da:
Θi =
(2l + 1)π , n−m
l = 0, ± 1, ± 2, , ± (n-m-1)
(3.165)
Primjećuje se da je ukupan broj uglova u (3.165) 2(n-m). Uzrok za ovo je da izraz (3.165) takođe vrijedi za K → −∞ . Kao što je pokazano ranije, razmatra se geometrijsko mjesto korijena samo za K ≥ 0 . S obzirom na to, dovoljno je da se uzmu samo pozitivne vrijednosti za l u (3.165). Prethodne činjenice su sažete u slijedećem pravilu. Pravilo 6. Uglovi između asimptota i realne ose koji odgovaraju n-m grana GMK-a koje završavaju u beskonačnosti dati su sa (3.165). Zbog činjenice da je GMK-a simetrično u odnosu na realnu osu (pravilo 4), može se zaključiti da su asimptote takođe simetrične sa obzirom na iste ose, 121
tako da se one moraju presjeći na realnoj osi. Tačka presjeka je jedinstvena za sve njih (n-m asimptota) pošto svi konačni polovi i nule gledano iz s = ∞ ponašaju se kao jedna tačka. Tačka se često naziva centroid asimptota ili centar gravitacije a može biti određena na sljedeći način. Razmatra se 2(n-m) asimptota koje su predstavljene sa odgovarajućim vektorima koji imaju zajednički presjek na realnoj osi ( slika 3.42).
Slika 3.42 Presjek asimptota →
Očigledno je iz ove slike da vektori a i zadovoljavaju: 2( n−m) →
∑ i =1
ai = 0
(3.166)
Relacije imeđu ovih asimptota i 2(n-m) polova u beskonačnosti (primjećuje se da n-m polova u beskonačnosti pripadaju komplementarnom geometrijskom mjestu korijena) jednostavno su dobijene korištenjem njihove vektorske reprezentacije predstavljene na slici 3.42, koja uključuje: →
→ →
a i = s i − ρ , i = 1, 2, , 2(n − m) 122
(3.167)
→
Na slici je predstavljen samo pol s1 . Zamjenom (3.167) u (3.166) dobija se: → 2( n−m) → ∑ si − 2(n − m) ρ = 0 i =1
(3.168)
S druge strane, iz karakteristične jednačine (3.154) ima se:
m
( s + bm −1s
m −1
s n + an −1s n −1 + + a1s + a0 + + b1s + b0 ) K + m =0 s + bm −1s m −1 + + b1s + b0
(3.169)
koji nakon izvođenja u srednjim zagradama , donosi:
(
)
( s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0 ) K + s n − m + (an −1 − bm −1 ) s n − m −1 + = 0 (3.170) Prva polinomska jednačina u ovom proizvodu daje konačne nule sistema sa otvorenom povratnom spregom (ili m polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom za K = ∞ ). Preostalih n-m polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom dobijeni su iz druge polinomske jednačine: K + s n−m + (a n−1 − bm−1 ) s n−m−1 + = 0
(3.171)
Koristeći opšte poznate rezultate u vezi korijena polinomskih jednačin dobija se iz (3.171): n−m →
∑s i =1
i
= −(a n −1 − bm −1 )
(3.172)
Primjećuje se da je formula ispravna i za K ≥ 0 i K ≤ 0 . Neka se označe →
→
→
komplementarni korijeni sa s n − m +1 , s n − m + 2 , ..., s 2 ( n − m ) . Onda, prema (3.172) , Viete-ove formule daju sljedeću vezu između komplementarnih korijena: 2( n−m) →
∑
si = −(a n −1 − bm −1 )
(3.173)
i = n − m +1
123
Koristeći (3.172) i (3.173) u (3.168) dobije se: − 2(a n −1 − bm −1 ) − 2(n − m)ρ = 0
(3.174)
Korištenjem Viete-ovih formula ima se: n
∑ pi = −a n−1 , i =1
m
∑ zi = −bm−1
(3.175)
i =1
Korištenjem (3.175) u (3.174) vodi do konačnog izraza za centar gravitacije (presjek asimptota) u formi:
ρ=
n
m
i =1
i =1
∑ pi − ∑ z i n−m
(3.176)
Prema tome dokazano je slijedeće pravilo. Pravilo 7. Presjek asimptota leži na realnoj osi u tački koja je data sa (3.176). Grane GMK-a koje odlaze u beskonačnost mogu sasvim ostati u lijevom dijelu kompleksne s-ravni (region asimptotske stabilnosti) ili da krenu u desnu stranu (prema regionu nestabilnosti) te da za neku vrijednost K presijeku imaginarnu osu. Ovo jednostavno može biti provjereno korištenjem Routh-ovog kriterija stabilnosti, kako je pokazano u slijedećem primjeru. Razmatra se karakteristična jednačina koja odgovara prenosnoj funkciji sistema sa otvorenom povratnom spregom iz prethodnog primjera: 1 + KG1 ( s ) H1 ( s ) = 1 +
K ( s + 3) =0 ( s + 1)( s + 4)( s 2 + 2 s + 2)
(3.177)
tj.: s 4 + 7 s 3 + 16 s 2 + (18 + K ) s + (8 + 3K ) = 0 Primjenom Routh-ovog kriterija, dobija se: 124
(3.178)
s4 s
1 16 7 18 + K (94 − K ) / 7 8 + 3K (1300 − 71K − K 2 ) /(94 − K ) 0 8 + 3K 0
3
s2 s1 s0
8 + 3K 0 0
Analizom prve kolone Routh-ove tabele, nalaze se vrijednosti statičkog pojačanje K za koje sistem ostaje asimptotski stabilan: 0 ≤ K < 15.1
(3.179)
Uzimanjem K = 15.1, u Routh-ovj tablici se dobija kompletan nulti red uz s1, tako da pomoćni polinom sa parnim stepenom, dobijen korištenjem koeficijenata iz prethodnog reda je:
d (s) =
94 − 15.1 2 s + (8 + 3 × 15.1) = 11.27 s 2 + 53.3 = 0 7
(3.180)
Iz Routh-ovog kriterija stabilnosti, zna se da rješenja ove polinomske jednačine, dato sa s1,2 = ± j 2.17 , predstavlja presjek geometrijskog mjesta korijena sa imaginarnom osom, odnosno dovođenje sistema na granicu (marginalna) stabilnosti. Korištenjem pravila 6 i pravila 7, mogu se kompletirati izgledi grana GMK-a koje odlaze u beskonačnost iz prethodnog primjera. Uglovi asimptota ovih grana su: Θ0 =
π 5π , Θ1 = π, Θ 2 = 3 3
(3.181)
Formula (3.176) daje vrijednost za tačku presjeka ovih asimptota sa realnom osom: ρ=
3−7 4 − 1 − 4 − 1 + j1 − 1 − j1 + 3 4 =− = =− 4 −1 3 4 −1 3
(3.182)
125
Odgovarajući GMK-a predstavljen je na slici 3.43. On kompletira preostale dvije grane djelimičnog GMK-a predstavljenog na slici (3.42). Slijedeća pravilo daje veoma korisne činjenice u vezi presjeka GMK-a sa imaginarnom osom. Pravilo 8. Tačke presjeka, ako ih ima, GMK-a i imaginarne ose mogu se dobiti iz Routh-ovog kriterija stabilnosti primjenjenog na karakterističnu jednačinu (3.155). Isti test daje vrijednosti statičkih pojačanja u tačkama presjeka sa imaginarnom osom.
Slika 3.43 Kompletiran GMK-a
Promjenom statičkog pojačanja K moguće je pomjeranje polova duž grana GMK-a. Ako se izabere pojedinačna tačka na GMK-a kao radna tačka sistema automatskog upravljanja koji zadovoljava zahtijevane specifikacije dizajna (vrijeme smirenja, preskok, itd), tada se vrijednost statičkog pojačanja K koje osigurave tu radnu tačku računa iz (3.145). Ovo se može precizno postaviti u formu pravila. 126
Pravilo 9. Ako tačka s1 pripada GMK-a (predstavlja pol zatvorenog sistema), onda je statičko pojačanje K u toj tački dato sa: n
K=
∏s i =1 m
1
∏s i =1
1
− pi
(3.183)
− zi
Razdaljine između tačke s1 i svih polova i nula mogu se dobiti analitički i grafički. Slijedeće pravilo pomaže dobijanju bolje slike GMK-a u susjedstvu konjugovanokompleksnih polova. Kako konjugovano-kompleksni polovi, predominantno određuju sistem sa prelaznim oscilatornim ponašanjem, tako se posebna briga mora posvetiti u vezi njihovih lokacija. Pravilo 10. Odlazni i dolazni uglovi iz konjugovano-kompleksnih polova i nula mogu se dobiti iz formule: m
n
i =1
i =1
∑ arg(s1 − zi ) − ∑ arg(s1 − pi ) = (2l + 1)π ,
l = 0, ± 1, ± 2,
(3.184)
gdje je s1 bilo koja tačka na GMK-a u susjedstvu razmatranih konjugovanokompleksnih polova. Ako se tačka s1 izabere dovoljno blizu nekog konjugovanokompleksnog pola pi, onda se iz prethodne formule može izračunati ugao između pi i s1, što predstavlja dobru aproksimaciju ugla sa kojim grana odlazi iz pola pi. Ovaj ugao pomaže da se GMK-a nacrta mnogo preciznije. U nastavku su iskorišteni pravilo 9 i pravilo 10 da poboljšaju skicu GMK-a iz prethodnog primjera koji je sada dat na slici 3.44.
127
Slika 3.44 Odlazni uglovi grana GMK-a
Sada, pretpostavimo da dominantni konjugovano-kompleksni polovi moraju biti locirani u tačakama s 2 i s 2 GMK-a u skladu sa željenim tranzijentnim odzivom. Pravilo 9 pomaže da se nađe vrijednost statičkog pojačanja K koje osigurava željene dominantne polove: _
K=
s 2 − p1 s 2 − p 2 s 2 − p3 s 2 − p3 s 2 − z1
≅5
(3.185)
U nekim slučajevima, kako K raste, tako par konjugovano-kompleksnih polova se približava realnoj osi i u tački presjeka sa osom, postaje dvostruki realni pol. Ako se K dalje povećava, ovi polovi se nastave kretati duž realne ose u 128
suprotnim smjerovima, proizvodeći dva realna različita pola. Takođe je moguće da se dva prvobitno realna pola susretnu negdje na realnoj osi i da se onda razdvoje u konjugovano-kompleksni par. Ovdje je od interesa naći koordinate tačaka spajanja i razdvajanja grana GMK-a na realnoj osi ukoliko one postoje. Ove tačke su određene slijedećim pravilom. Pravilo 11. Potreban uslov za tačke razdvajanja (spajanja) dat je sa: d G1 (δ ) H 1 (δ ) = 0 dδ
(3.186)
m 1 1 − ∑δ − p ∑δ − z = 0 i i i =1 i =1
(3.187)
Ili sa: n
Sva prethodna pravila za konstrukciju GMK-a su sumirana u narednoj tabeli: 1 2
GMK-a počinje u polovima sistema sa otvorenom povratnom spregom (K = 0) GMK-a završava u nulama sistema sa otvorenom povratnom spregom( K = ∞ )
3
GMK-a je sastavljen od n grana
4
GMK-a je simetričan u odnosu na realnu osu
5
Ako je ukupan broj konačnih polova i nula sistema sa otvorenom povratnom spregom na desno od tačke na realnoj osi neparan, tačka ta tačka realne ose pripada GMK-a
6
Uglovi asimptota grana koje odlaze u beskonačnost su: (2l + 1)π Θi = , l = 0,1,..., n - m - 1 n−m Presjek asimptota sa realnom osom:
7
ρ=
n
m
i =1
i =1
∑ pi − ∑ z i n−m
=
bm −1 − a n −1 n−m 129
8
Routh-ov kriterij stabilnosti otkriva informaciju u vezi tačaka presjeka grana GMK-a i imaginarne ose Statičko pojačanja u tački s1: n
9
K=
∏s i =1 m
1
∏s i =1
1
− pi − zi
Uglovi odlaska i/ili dolaska grana iz konjugovano-kompleksnih polova/nula: 10
m
n
i =1
i =1
∑ arg(s1 − zi ) −∑ arg(s1 − pi ) = (2l + 1)π ,
l = 0, ± 1, ± 2,...
gdje je s1 proizvoljna tačka na grani blizu pola/nule 11
Potreban uslov za tačku razdvajanja: n m 1 1 d − G1 (δ ) H 1 (δ ) = 0 ∑ δ − p ∑ δ − z = 0 i i dδ i =1 , i =1 Pravila za konstrukciju GMK-a
3.10.2 Ekstenzija geometrijskog mjesta korijena
Kao što se vidjelo u prethodnom poglavlju, GMK-a prikazuje lokacije polova SAU-a (nula karakteristične jednačine) kada se mijenja statičko pojačanje zatvorene konture. Pri tome su razmatrane polinomske karakteristične jednačine, koje su posljedica analize linearnih vremenski invarijantnih sistema. Međutim metod GMK-a se može primijeniti za analizu šire klase sistema, sistema sa čistim (transportnim) vremenskim kašnjenjem i sistema sa nelinearnim elementima. Čisto vremensko kašnjenje Vremensko kašnjenje često nastaje u realnim tehničkim sistemima, kako radi kašnjenja u samom procesu tako i radi kašnjenja u prenosu i obradi mjernih i upravljačkih signala. Na primjer, u hemijskoj industrija često se pojavljuju procesi sa čistim vremenskim kašnjenjem kao posljedica potrebnog vremena za prenos materijala kroz transportni sistem (konvejeri, cijevi). Dalje, npr. pri upravljanju preko komunikacione mreže, postoji vremensko kašnjenje 130
radi prenosa podataka od jednog računarskog čvora do drugog. Takođe postoji vremensko kašnjenje u bilo kojem digitalnom upravljačkom sistemu usljed konačnog vremena instrukcijskog ciklusa računara. Vremensko kašnjenje uvijek reducira stabilnost sistema. Stoga, važno je da se nađe način analize njegovih efekata korištenjem GMK-a metode. Prenosna funkcija sistema sa čistim vremenskim kašnjenjem je: G ( s ) = e −Td S
Q( s) P( s)
(3.188)
gdje je član e −Td S posljedica čistog vremenskog kašnjenja od Td . Odgovarajuće jednačine GMK-a su: 1 + KG ( s ) = 0 Q( s) 1 + Ke −Td S =0 P( s) P( s ) + Ke −Td S Q( s ) = 0
(3.189)
Pošto karakteristična jednačina u ovom slučaju nije polinom, ne mogu se primijeniti prethodno iznesena pravila za konstrukciju GMK-a, čak šta više pretodna jednačina ima beskonačno puno rješenja (beskonačno puno polova). Zbog toga je potrebno na odgovarajući način aproksimirati član e −Td S sa racionalnom funkcijom, a nakon toga primjeniti standardnu tehniku konstrukcije GMK-a. Pošto je aproksimacija vezana za potrebe analize i sinteze sistema automatskog upravljanja, zatijeva se dobra aproksimacija funkcije e −Td S pri niskim frekvencijama odnosno oko s = 0 . Jedna od opšte prihvaćenih aproksimacija je Pade-ova aproksimacija. Pade-ova aproksimacija bazira se na izjednačavanju željenog broja prvih članova stepenih redova razvoja funkcija Qm ( s ) −Td S e i aproksimirajuće racionalne Pn ( s ) funkcije reda (m, n) (količnik polinoma reda m i polinoma reda n). Vrijednost Pade-ove aproksimacije leži u činjenici da je moguće izjednačiti prvih (m + n +1) članova stepenog reda Qm ( s ) −Td S funkcije e sa (m + n + 1) članova stepenog reda racionalne funkcije Pn ( s ) reda (m, n).
131
Da bi se ovaj proces ilustrirao, počnimo sa (1, 1) aproksimatorom. Početno će se izračunati aproksimatori za e − s , a u konačnom rezultatu zamijeniće se Td s umjesto s da se uračuna proizvoljno željeno kašnjenje. U slučaju aproksimatora (1, 1), potrebno je izabrati koeficijente b0, b1 i a0 racionalne funkcije tako da je greška aproksimacije funkcije e − s mala, tj.: b0 s + b1 =ε a0 s + 1
(3.190)
s 2 s3 s4 − + − 2! 3! 4!
(3.191)
e −s − Stepeni red od e − s je:
e −s = 1 − s +
dok je stepeni red od
b0 s + b1 : a0 s + 1
b0 s + b1 = b1 + (b0 − a 0 b1 ) s − a 0 (b0 − a 0 b1 ) s 2 + a02 (b0 − a0 b1 ) s 3 + (3.192) a0 s + 1 Izjednačavajem koeficijenata prva tri jednačine po tri nepoznata koeficijenta:
člana stepenih redova, dobijamo tri
b1 = 1 b0 − a 0 b1 = −1 − a 0 (b0 − a 0 b1 ) =
1 2
(3.193)
čijim rješenjem dobijamo: b1 = 1 1 2 1 a0 = 2
b0 =
132
(3.194)
Rezultirajući Pade-ov aproksimator (1, 1) je: e −Td s
Td s 2 ≅ Td s 1+ 2 1−
(3.195)
Slijedeći istu proceduru, Pade-ov (2, 2) aproksimator dat je sa: T s (T s ) 1− d + d 2 12 ≅ 2 Td s (Td s ) 1+ + 2 12 2
e −Td s
(3.196)
Polovi aproksimatora su u lijevoj poluravni, dok su nule u desnoj poluravni, odnosno polovi i nule su simetrični u odnosu na imaginarnu osu. U nekim slučajevima vrlo gruba aproksimacija je prihvatljiva, tj. može se koristiti aproksimator (0, 1) dat sa:
e −Td s ≅
1 1 + Td s
(3.197)
Primjer 3.12 Za sistem dat sa prenosnom funkcijom: G ( s) = e − s
1 1 + 5s
(3.198)
konstruisati GMK-a korištenjem Pade-ovog aproksimatora (2, 2). U ovom slučaju aproksimacija prenosne funkcije data je sa: G (s) =
s 2 − 6 s + 12 ( s 2 + 6 s + 12)(1 + 5s )
(3.199)
i rezultirajući GMK-a dat je na slici 3.45. 133
Slika 3.45 GMK-a sistema sa čistim vremenskim kašnjenjem
Tačnija analiza efekata čistog vremenskog kašnjenja se lakše izvodi korištenjem metoda frekventnog odziva. Dakle, ako Pade-ova aproksimacija za vremensko kašnjenje relativno niskog reda nije dovoljna, bolji pristup je korištenje metoda frekventne analize opisanih u narednim poglavljima.
134
4. Dizajn regulatora u domenu prenosnih funkcija Za sistem automatskog upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom po izlazu na slici 4.1, problem dizajna linearnog regulatora svodi se na slijedeće korake: 1. Izbor strukture regulatora (broj nula i broj polova) 2. Određivanje parametara regulatora ( statičko pojačanje, nule i polovi) D(s)
R(s)
E(s)
+-
++
Gr (s)
G o(s)
Y(s)
Slika 4.1 Opšta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom
Opšti linearni regulator se može predstaviti u obliku prenosne funkcije:
l
Gr ( s) =
B( s) = A( s )
K r ∏ ( s − z ir ) k
i =1
∏ (s − p i =1
ir
=
)
d l s l + d l −1 s l −1 + + d 0 s k + c k −1 s k −1 + + c0
(4.1)
gdje su: pir - polovi regulatora zir - nule regulatora K r - statičko pojačanje regulatora k ≥ l - red i uslov realizibilnosti regulatora a prenosna funkcija opšteg linearnog objekta data je sa:
135
m
Go ( s ) =
Q( s) = P( s)
K o ∏ ( s − z io ) n
i =1
∏ (s − p i =1
io
)
=
bm s m + bm −1 s m −1 + + b0 s n + a n −1 s n −1 + + a 0
(4.2)
gdje su: pio - polovi objekta zio - nule objekta K o - statičko pojačanje objekta n ≥ m - red objekta
4.1 Efekti polova i nula regulatora na SAU
Analiza uticaja dodavanja nula i polova regulatora (kontrolera) na karakteristike sistema bit će provedena na jednostavnom primjeru sistema: Go ( s ) =
1 s ( s + 2)
(4.3)
Najprostiji regulator predstavlja samo statičko pojačanje, tj. Gr ( s ) = K r . GMK-a ovakvog sistema je prikazan na slici 4.2.
Slika 4.2 GMK-a sistema sa kontrolerom
136
Gr ( s) = K r
Promjena statičkog pojačanja regulatora K r uzrokuje kretanje polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom (na slici prikazani kvadratićima) po granama GMK-a. Posmatrajmo sada dinamički regulator dat sa prenosnom funkcijom: Gr ( s) =
Kr ( s + a)
(4.4)
tj. pored statičkog pojačanja uvodi se pol u p1r = −a, (a > 0) . GMK-a SAU sa ovim regulatorom za slučaj a = 4 ima slijedeći oblik (slika 4.3):
Slika 4.3 GMK-a sistema sa dinamičkim regulatorom G r ( s ) =
Kr s+4
Analizirajući sliku 4.3 može se zaključiti da dodavanje pola u regulator zakreće grane GMK-a udesno u odnosu na sistem sa samo statičkim regulatorom slika 4.2. Sistem postaje “manje stabilan”, odnosno grane skreću prema desnoj s-poluravni . Promjena statičkog pojačanja K r uzrokuje pomicanje polova sistema po granama GMK-a i sada postoji određeno kritično pojačanje za koje sistem postaje nestabilan.
137
Posmatrajmo dinamički regulator dat sa prenosnom funkcijom: G r ( s ) = K r ( s + b)
(4.5)
tj. pored statičkog pojačanja uvodi se nula u z1r = −b, (b > 0) GMK-a SAU sa ovim regulatorom za slučaj b = 4 prikazan je na slici 4.4.
Slika 4.4 GMK-a sistema sa regulatorom
Gr ( s ) = K r ( s + 4)
U slučaju dinamičkog regulatora sa dodanom nulom, grane GMK-a se zakreću ulijevo u odnosu na slučaj sa samo statičkim regulatorom. Sistem postaje “stabilniji”, odnosno grane skreću dublje u lijevu polovinu s-ravni. Interesantno je primijetiti da regulator dat sa prenosnom funkcijom Gr ( s ) = K r ( s + b) uključuje idealni diferencijator, što praktično nije moguće realizovati jer je takav sistem nekauzalan (moguće je ostvariti aproksimaciju, odnosno tzv. realni diferencijator). Ovakav regulator diferencira grešku i može imati nepovoljan efekat naročito u slučaju prisustva šuma mjerenja koji je inherentno visokofrekventni, pa moži doći do znatnog izobličenja signala.
138
4.2 Kraćenje polova i nula regulatora i objekta
Teoretski gledajući moguće je izabrati prenosnu funkciju regulatora tako da Q( s) , na primjer moguće je izabrati sadrži inverzni model objekta Go ( s ) = P ( s ) regulator u formi:
Gr ( s) =
B ( s) P( s) B( s ) B1 ( s ) 1 = = 1 A( s ) A1 ( s ) Go ( s ) A1 ( s ) Q( s )
(4.6)
Tada bi prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom bila: B1 ( s) P( s) Q( s) G r ( s )G o ( s ) B1 ( s ) A1 ( s) Q( s) P( s) = = M ( s) = B ( s) P( s) Q( s ) A1 ( s ) + B1 ( s ) 1 + G r ( s )G o ( s ) 1+ 1 A1 ( s) Q( s ) P( s )
(4.7)
Dakle u ovom slučaju nule i polovi regulatora su pokratile polove i nule objekta, tj. inverzni model objekta sadržan u regulatoru efektivno je eliminisao kompletnu dinamiku objekta. Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom je potpuno diktirana preostalom dinamikom regulatora. Drugačije rečeno, preostala dinamika regulatora može biti izabrana da osigura željeno ponašanje sistema sa zatvorenom povratnom spregom. Izneseni način dizajna regulatora ima ozbiljne nedostatke za praktičnu primjenu. Naime regulator koji sadrži inverzni model realnih objekata mora biti relativno visokog reda da bi bio realizibilan (ostvariv) ( n > m ), odnosno da bi izbjegli idealna diferenciranja signala greške. Iako kraćenje polova reducira red modela sistema ono skriva činjenicu da u stvarnom sistemu ti polovi i dalje postoje. Dalje, nije dopušteno kraćenje nestabilnih nula i polova objekta polovima i nulama regulatora iz dva razloga. Nije moguće idealno kraćenje nule i pola zato što nule i polovi objekta nisu nikad apsolutno tačno poznati. U slučaju stabilne nule i pola ovo nije veliki problem (njihov količnik je onda stabilna prenosna funkcija približna jedinici), međutim kod nestabilnih ovo znači da nestabilna nula nije skratila nestabilni pol (njihov količnik je nestabilna prenosna funkcija a ne jedinica). Čak i da je moguće idealno kraćenje, ono bi sakrilo unutrašnju 139
nestabilnost u sistemu, odnosno sakrilo bi činjenicu da u sistemu postoji signal koji neograničeno raste (slika 4.5) iako je ukupna ulazno-izlazna relacija stabilna.
R(s)
(s-1) (s-2)
U(s)
(s-2) (s-1)
Y(s)
Slika 4.5 Unutrašnja nestabilnost
4.3 Regulator sa postavljanjem polova
U slučaju proizvoljnog linearnog regulatora, prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom po izlazu je: M (s) =
B ( s )Q( s ) A( s ) P ( s ) + B ( s )Q( s )
(4.8)
Karakteristični polinom sistema sa zatvorenom povratnom spregom je: A( s ) P ( s ) + B( s )Q( s )
(4.9)
Sada se može postaviti fundamentalno pitanje, da li je moguće izabrati (dizajnirati) ostvariv regulator Gr (s ) tako da sistem sa zatvorenom povratnom spregom ima sve polove u željenim lokacijama (određenim željenim tranzijentnim ponašanjem sistema). Drugačije rečeno, da li je moguće izabrati regulator tako da karakteristični polinom sistema sa zatvorenom povratnom spregom ima željenu vrijednost tj.: A( s ) P( s ) + B( s )Q( s ) = α ( s )
(4.10)
gdje je α (s ) željeni karakteristični polinom. Ovakav način dizajniranja regulatora sa naziva dizajn sa postavljanjem polova. Očigledno ovo je moguće, ukoliko možemo riješiti tzv. Diophantineovu jednačinu (4.10) po nepoznatim A( s ) i B ( s ) , za proizvoljno date 140
P ( s ), Q( s ) i α ( s ) . U stvari pitanje je, koliko ima jednačina i koliko nepoznatih ako izjednačimo koeficijente uz iste stepene u jednačini (4.10). Ako je stepen od P( s ) n (dat) i stepen od A( s ) i B( s ) k = l (treba biti izabran), onda direktno brojanje daje 2k + 1 nepoznatih u A( s ) i B( s ) , a ima n + k jednačina dobijenih izjednačavanjem koeficijenata uz iste stepene Diophantine-ove jednačine. Dakle slijedi potreba da je: 2k + 1 ≥ k + n
(4.11)
k ≥ n −1
(4.12)
odnosno:
Znači minimalno rješenje Diophantine-ove jednačine zahtijeva A( s ) i B ( s ) stepena n − 1 i α (s ) stepena 2n − 1 . Naravno moguća su i druga rješenja višeg stepena, naprimjer rješenje koje daje B (s ) stepena n − 1 , A(s ) stepena n i α (s ) stepena 2n . Pored osiguranja željenih lokacija polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom (tranzijentno ponašanje), ovaj metod dizajna takođe omogućuje osiguranje željenog ustaljenog ponašanja odnosno elimisanje grešaka praćenja referentnih trajektorija i grešaka radi djelovanja smetnji. Asimptotsko eliminisanje grešaka ustaljenog stanja osigurava se ugradnjom modela referentnih trajektorija i smetnji u regulator (princip internog modela). Drugačije rečeno, ukoliko se zahtijeva asimptotsko praćenje trajektorije r ( s ) = smetnje d ( s ) =
Q1 ( s ) i asimptotsko eliminisanje dejstva P1 ( s )
Q2 ( s ) , tada regulator mora imati strukturu: P2 ( s ) Gr ( s) =
B( s) B( s) = A( s ) A1 ( s ) P1 ( s ) P2 ( s )
(4.13)
što vodi potrebi rješavanja Diophantine-ove jednačine u obliku:
A1 ( s ) P1 ( s ) P2 ( s ) P( s ) + B( s )Q( s ) = α ( s )
(4.14) 141
Primjer 4.1 Za sistem dat prenosnom funkcijom: Go ( s ) =
1 Q( s) = 3 P( s ) s + 0.1s 2 + s
(4.15)
dizajnirati regulator sa postavljanjem polova, tako da su svi polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom locirani u p = −3 . O načinu selekcije željenih polova biti će riječi u budućim poglavljima. Prema prethodno izloženoj proceduri regulator može imati strukturu: Gr ( s) =
B( s) d 2 s 2 + d1 s + d 0 = 2 A( s ) s + c1 s + c0
(4.16)
a karakteristični polinom sistema sa zatvorenom povratnom spregom onda ima vrijednost: α ( s ) = ( s + 3)5 = s 5 + 15s 4 + 90s 3 + 270s 2 + 405s + 243
(4.17)
Diophantine-ova jednačina za ovaj slučaj je:
(s
2
)(
)(
)
+ c1s + c0 s 3 + 0.1s 2 + s + d 2 s 2 + d1s + d 0 = ( s + 3)5
(4.18)
Izjednačavanje koeficijenata uz iste stepene polinoma na lijevoj i desnoj strani Diophantine-ove jednačine daje sistem linearnih jednačina čije rješenje daje nepoznate parametre regulatora kao: Gr ( s ) =
246.3s 2 + 317.5s + 243 s 2 + 14.9 s + 87.51
(4.19)
što vodi prenosnoj funkciji sistema sa zatvorenom povratnom spregom u obliku: 246.3s 2 + 317.5s + 243 M (s) = 5 s + 15s 4 + 90 s 3 + 270s 2 + 405s + 243 142
(4.20)
Step odziv sistema sa dizajniranim regulatorom dat je na slici 4.6.
Slika 4.6 Step odziv sistema sa regulatorom sa postavljanjem polova
Primjer 4.2 Za sistem dat prenosnom funkcijom: Go ( s ) =
1 Q( s) = 2 P ( s ) s + 0.1s + 1
(4.21)
dizajnirati regulator tako da sistem sa zatvorenom povratnom spregom ima sve polove u p = −3 i osigurava nultu grešku praćenja step referentne vrijednosti te potpunu eliminaciju dejstva step smetnje u ustaljenom stanju. Prema prethodno izloženoj proceduri željeni regulator može da ima strukturu: 143
Gr ( s ) =
B( s ) 1 d 2 s 2 + d1s + d 0 = 2 A1 ( s ) s s + c1s + c0 s
(
(4.22)
)
Diophantine-ova jednačina za ovaj slučaj je:
(s
2
)(
)(
)
+ c1s + c0 s 3 + 0.1s 2 + s + d 2 s 2 + d1s + d 0 = ( s + 3)5
(4.23)
Izjednačavanje koeficijenata uz iste stepene polinoma na lijevoj i desnoj strani Diophantine-ove jednačine daje sistem linearnih jednačina čije rješenje daje nepoznate parametre regulatora kao: Gr ( s ) =
246.3s 2 + 317.5s + 243 s 2 + 14.9 s + 87.51 s
(
)
(4.24)
što vodi prenosnoj funkciji sistema sa zatvorenom povratnom spregom u obliku: M (s) =
246.3s 2 + 317.5s + 243 s 5 + 15s 4 + 90 s 3 + 270s 2 + 405s + 243
(4.25)
Odziv sistema sa dizajniranim regulatorom na step referencu i step smetnju dat je na slici 4.7.
144
Slika 4.7 Odziv sistema na step referentnu vrijednost i step smetnju
Prethodni pristup dizajniranju regulatora ima dva važna nedostatka za praktičnu primjenu: 1. Dobijeni regulator može biti vrlo visokog reda, odnosno relativno kompleksan za praktičnu realizaciju 2. Prenosna funkcija objekta u praktičnim problemima je često samo aproksimativno (približno) poznata, kako sa aspekta poznavanja reda sistema tako i sa aspekta poznavanja parametara sistema
4.4 Svi stabilizirajući regulatori (Youla parametrizacija)
U prethodnom poglavlju dat je odgovor na pitanje nalaženja regulatora koji stabilizira dati objekat. Sada se može postaviti pitanje: da li je moguće naći sve regulatore koji stabiliziraju dati objekat [37]. Neka je struktura regulatora i objekta data na slici 4.8. 145
R(s)
+ -
E(s)
Gr ( s ) =
(U ( s ) + Q( s ) D( s )) (V ( s ) − Q( s ) N ( s ))
Go(s)
Y(s)
Slika 4.8 Youla parametrizacija regulatora
Neka: Go ( s ) =
N ( s) D( s )
(4.26)
predstavlja prostu stabilnu faktorizaciju prenosne funkcije objekta gdje su: N (s ) - stabilna prenosna funkcija, koja uključuje kao svoje nule sve nestabilne nule od Go (s ) D(s ) -stabilna prenosna funkcija, koja uključuje kao svoje nule sve nestabilne polove od Go (s ) Tada: Gr ( s) =
(U ( s ) + Q( s ) D( s ) (V ( s ) − Q( s ) N ( s )
(4.27)
predstavlja sve stabilizirajuće regulatore datog objekta u funkciji parametra Q(s ) (proizvoljna stabilna prenosna funkcija), gdje su V (s ) i U (s ) stabilne funkcije koje zadovoljavaju Diophantine-ovu jednačinu: U ( s) N ( s) + V ( s) D( s) = 1
(4.28)
Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom je sada data sa: M ( s) =
Gr ( s )Go ( s ) = (U ( s ) + Q( s ) D( s ) N ( s ) 1 + Gr ( s )Go ( s )
koja je jasno stabilna uz stabilne U (s ) , Q(s ) , D(s ) i N (s ) . 146
(4.29)
U slučaju da je prenosna funkcija sistema u otvorenom Go (s ) stabilna onda je moguće uzeti da je N ( s ) = Go ( s ) , D( s ) = 1 , U ( s ) = 0 i V ( s ) = 1 što vodi svim stabilizirajućim kontrolerima u formi: Gr ( s) =
Gr ( s )Go ( s ) Q( s) , M (s) = = Q( s )Go ( s ) 1 − Q( s )Go ( s ) 1 + Gr ( s )Go ( s )
(4.30)
Prethodna relacija definiše tzv. šemu upravljanja sa internim modelom (internal model control) [37]. Iz (4.30) slijedi da je moguće dizajnirati “regulator“ Q(s ) kao regulator u otvorenoj povratnoj sprezi. Primjer 4.3 Za sistem dat prenosnom funkcijom: Go ( s ) =
B( s) 1 = 3 A( s ) s + 0.1s 2 + s
(4.30)
naći sve stabilizirajuće regulatore. Jedna prosta stabilna faktorizacija prenosne funkcije objekta je: 1 N (s) ( s + 3) 3 Go ( s ) = = 3 D( s ) s + 0.1s 2 + s ( s + 3) 3
(4.31)
V (s ) i U (s ) su rješenja Diophantine-ove jednačine:
U (s)
1 s 3 + 0.1s 2 + s ( ) V s + =1 ( s + 3)3 ( s + 3)3
(4.32)
i mogu biti traženi u formi: d 2 s 2 + d1 s + d 0 s 2 + c1 s + c0 s 3 + 0.1s 2 + s 1 + =1 ( s + 2) 2 ( s + 3) 3 ( s + 2) 2 ( s + 3) 3
(4.33)
147
dajući rješenja: 246.3s 2 + 317.5s + 243 s 2 + 14.9 s + 87.51 , U (s) = V (s) = ( s + 2) 2 ( s + 2) 2
(4.34)
Sad su svi stabilizirajući regulatori datog objekta dati sa: 246.3s 2 + 317.5s + 243 s 3 + 0.1s 2 + s + Q ( s ) ( s + 2) 2 ( s + 3)3 Gr ( s ) = s 2 + 14.9 s + 87.51 1 − Q( s) 2 ( s + 2) ( s + 3)3
(4.35)
gdje je Q(s ) proizvoljna stabilna prenosna funkcija. Za Q( s ) = 0 dobijemo jedan konkretan stabilizirajući regulator: Gr ( s ) =
246.3s 2 + 317.5s + 243 s 2 + 14.9 s + 87.51
(4.36)
4.5 Regulatori PID tipa
Osnovni elementi koji su potrebni za realizaciju (implementaciju) linearnih dinamičkih regulatora su proporcionalni, derivativni i integrirajući članovi. Proporcionalni element vrši pojačanje (slabljenje) ulaznog signala tj. izlazni signal je proporcionalan ulaznom signalu. Proporcionalni član regulatora se opisuje jednačinom: y (t ) = Ku (t )
(4.37)
i njegov grafički simbol je prikazan na slici 4.9. u(t)
K
y(t)
Slika 4.9 Proporcionalni element
Prenosna funkcija proporcionalnog elementa je data izrazom:
148
Y (s) =K U (s)
(4.38)
Proporcionalni član se fizički realizira pomoću operacionog pojačala kao na slici 4.10. R1 R2
+
u1(t)
u2(t)
Slika 4.10 Fizička realizacija proporcionalnog člana
Invertirajuće pojačalo prikazano na slici 4.10 se može opisati izrazom: u 2 (t ) = −
R1 u1 (t ) R2
(4.39)
Integrirajući (integralni) član vrši integraciju ulaznog signala i opisuje se slijedećim izrazom: t
y (t ) = ∫ u (t )dt
(4.40)
−∞
u(t)
∫ ( )dt
y(t)
Slika 4.11 Integrirajući element
Prenosna funkcija integrirajućeg elementa je data izrazom: Y (s) 1 = U (s) s
(4.41)
149
Integralni član se fizički realizira pomoću operacionog pojačala kao na slici 4.12. C R
+
u1(t)
u2(t)
Slika 4.12 Fizička realizacija integratora
Integrator prikazan na slici 4.12 se može opisati izrazom: t
1 u2 (t ) = − ∫ u1 (t )dt RC −∞
(4.42)
Derivativni član vrši diferenciranje ulaznog signala i opisuje se izrazom:
y (t ) = u(t)
du (t ) dt
d () dt
(4.43) y(t)
Slika 4.13 Derivativni element
Prenosna funkcija derivativnog elementa je: Y (s) =s U (s)
(4.44)
Idealni derivativni element se realizira pomoću operacionog pojačala kao na slici 4.14.
150
R C + u1(t)
u2(t)
Slika 4.14 Realizacija idealnog diferencijatora
te je opisan sa jednačinom: u2 (t ) = − RC
du1 (t ) dt
(4.45)
S obzirom da čisti diferencijator nije realizibilan sistem, realizibilan tzv. realni diferencijator se opisuje prenosnom funkcijom: Y (s) s = U (s) τ s + 1
(4.46)
Kombiniranjem ovih elemenata moguće je realizovati linearne regulatore potrebnog reda i kompleksnosti. U skladu sa izloženim u prethodnim poglavljima, uz pretpostavku tačnog poznavanja modela sistema moguće je izvršiti dizajn linearnog regulatora (strukture i parametara) koji postiže potrebne performanse SAU. Takav regulator je većinom visokog reda i njegova performansa je vezana sa tačnošću poznavanja modela sistema. U vezi sa ovim teškoćama u svakodnevnoj inženjerskoj praksi projektovanja SAU široko su prihvaćeni regulatori jednostavne i fiksne strukture čiji parametri se podešavaju za konkretne objekte a postižu zadovoljavajuće praktične performanse. U praksi su najčešće u upotrebi linearni dinamički regulatori sastavljeni od linearne kombinacije proporcionalnog, integralnog i derivativnog člana tzv. PID regulatori. Ako se sa e(t ) obilježi ulazni signal, a sa u (t ) izlazni signal, dejstvo PID regulatora se opisuje izrazom:
151
u (t ) = K p e(t ) + K d
t
de(t ) + K i ∫ e(t )dt dt −∞
(4.47)
a prenosna funkcija regulatora je: GPID ( s ) =
K U (s) = K p + Kd s + i E ( s) s
(4.48)
gdje su prametri regulatora: K p - proporcionalno pojačanje K i - integralno pojačanje K d - derivativno pojačanje Prema tome, procedura projektovanja PID regulatora pretpostavlja nalaženje vrijednosti parametara K p , K d , K i tako da SAU ispuni postavljene specifikacije [1], [9], [11], [28]. PID regulator je jednostavan regulator koji se može koristiti da popravi tranzijentna ponašanja sistema, te karakteristike ustaljenog stanja sistema. Opšta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom i PID regulatorom je data na slici 4.15. D(s)
Kp
R(s)
+-
E(s)
Ki s
++ +
++
Go(s)
K ds
Slika 4.15 Sistem automatskog upravljanja sa PID regulatorom
152
Y(s)
4.5.1 Dizajn P regulatora
Ponekad i jednostavni P (proporcionalni) regulator može riješiti upravljački problem. U principu, pošto P regulator ima samo jedan parametar tj. statičko pojačanje K p , moguće je postići proizvoljno ponašanje samo za sistem prvog reda: Go ( s ) =
Ko Ts + 1
(4.49)
U tom slučaju prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom i P regulatorom je: M (s) =
K p Ko Ts + (1 + K p K o )
(4.50)
dajući mogućnost smještanja pola u proizvoljnu lokaciju odgovarajućim izborom K p . U slučaju sistema višeg reda, njegov GMK-a će odrediti mogućnosti P regulatora. Dizajn regulatora počinje od specifikacija performansi SAU. Ove specifikacije se najčešće postavljaju na tranzijentno i ustaljeno ponašanje SAU. Specifikacije na tranzijentno ponašanje se obično daju u obliku željenog maksimalnog preskoka i željenog vremena smirenja. S druge strane, specifikacije na ustaljeno ponašanje obično se odnose na greške u ustaljenom stanju (najčešće se zahtjeva potpuna eliminacija grešaka). S obzirom da se maksimalni preskok računa po izrazu: ξπ MPOS = exp − 2 1 − ξ
⋅100%
(4.51)
to se za zadani preskok (overshoot) može izračunati koeficijent prigušenja ξ po izrazu:
153
MPOS ln 2 100 ξ= MPOS π 2 + ln 2 100
(4.52)
Prirodna učestanost ω n se može izračunati na osnovu zadatog vremena smirenja i izračunatog koeficijenta prigušenja po formuli: ωn =
3 Tsξ
(4.53)
Na osnovu izračunatih parametara ξ i ω n par dominantnih konjugovanokompleksnih polova koji uzrokuju željeno tranzijentno ponašanje određen je izrazom: s1/ 2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2
(4.54)
Primjer 4.3 1 dizajnirati regulator tako s ( s + 1) da sistem sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljava slijedeće:
Za sistem dat prenosnom funkcijom G ( s ) =
-
tranzijentno ponašanje: MPOS ≤ 20% i Ts ≤ 6 s
-
ustaljeno ponašanje: lim e(t ) = ess = 0 za step referentnu vrijednost t →∞
Na osnovu zadatog maksimalnog preskoka i vremena sirenja izračunaju se koeficijent prigušenja i prirodna učestanost: MPOS ln 2 100 ξ= = 0.45 2 2 MPOS π + ln 100 154
ωn =
3 rad = 1.11 Tsξ s
(4.55)
Odavde slijedi da su potrebne lokacije dominantnih polova: s1/ 2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2 = −0.5 ± j 0.99
(4.56)
Geometrijsko mjesto korijena ovog sistema dato je na slici 4.16.
Slika 4.16 GMK-a sistema
Kao što se vidi sa slike, grane GMK-a prolaze kroz željene polove, pa je samo potrebno naći vrijednost pojačanja za koje su polovi sistema u s1,2 = −0.5 ± j 0.99 . Potrebno pojačanje regulatora se računa kao: n
Kp =
∏s −p i =1 m
i
1
∏ s −z i =1
1
i
= 1.25 (4.57)
S obzirom da objekat upravljanja sadrži integrator to se, na osnovu prethodnih izlaganja, može zaključiti da će greška u stacionarnom stanju biti nula pri step 155
referentnom ulazu. Prema tome, jednostavan P regulator je dovoljan da riješi zadati upravljački problem. Primjer 4.4 1 dizajnirati regulator ( s + 1)( s + 2) tako da sistem sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljava:
Za sistem dat prenosnom funkcijom G ( s ) = -
tranzijentno ponašanje: MPOS ≤ 20% i Ts ≤ 6 s
-
ustaljeno ponašanje:
lim e(t ) = ess = 0 za step referentnu vrijednost t →∞
Odmah se može vidjeti da prenosna funkcija procesa ne sadrži integrator, pa uslov nulte stacionarne greške ne može biti ispunjen korištenjem P regulatora. Minimalno je potrebno upotrijebiti PI regulator (integralni član za eliminaciju greške ess ). Prema tome, zadati upravljački problem nije moguće riješiti upotrebom P regulatora. Algoritam dizajna P regulatora se sastoji od slijedećih koraka: 1. Prevesti vrijednosti tranzijentnih specifikacija u lokaciju dominantnih polova sistema 2. Konstrukcijom GMK-a utvrditi da li grane GMK-a prolaze dovoljno blizu željene lokacije dominantnih polova. Ako je to slučaj, onda se potrebno pojačanje K p određuje po formuli: n
Kp =
∏s i =1 m
1
∏s i =1
1
− pi − zi
(4.58)
3. Provjeriti da li su zadovoljene specifikacije ustaljenog stanja 4. Ukoliko bilo koji od 2-3 nije zadovoljen, onda P regulatorom nije moguće riješiti zadati upravljački problem
156
4.5.2 Dizajn PI regulatora
PI regulator je dat sa prenosnom funkcijom: Gr ( s ) = G PI ( s ) = K p +
Ki s
(4.59)
Pošto PI regulator ima dva parametra, tj. pojačanja K p i K i , moguće je postići proizvoljno ponašanje samo sistema prvog reda: Go ( s ) =
Ko Ts + 1
(4.60)
U tom slučaju prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom i PI regulatorom je: M (s) =
K p Ko s + Ki Ko 2
Ts + (1 + K p K o ) s + K i K o
(4.61)
dajući mogućnost smještanja oba pola u proizvoljne lokacije odgovarajućim izborom K p i K i . PI regulator se može zapisati i u nešto drugačijoj formi:
GPI = K p +
Ki K p s + Ki s + zc = = Kp s s s
(4.62)
gdje je: zc =
Ki Kp
(4.63)
PI regulator se može koristiti da popravi tranzijentno stanje sistema (koliko je to moguće) i da eliminiše grešku ustaljenog stanja pri step (konstantnim) referentnim vrijednostima i step (konstantnim) smetnjama. Na osnovu same prenosne funkcije PI regulatora se vidi da, ukoliko je z c dovoljno blizu nule, onda se efekat člana ( s + z c ) / s može skoro zanemariti jer se taj član ponaša 157
kao dipol i ne utiče značajno na pomjeranja ostalih grana GMK-a . Naime, stabilna nula - z c će privući pol iz nule te stabilnost sistema neće biti ugrožena dodavanjem ovog dipola. Algoritam dizajna PI regulatora Algoritam dizajna PI regulatora sastoji se od slijedećih koraka: 1. Iz tranzijentnih specifikacija sistema odrediti da li je moguće postići te specifikacije sa P regulatorom i sračunati odgovarajuće K p . Jasno je da će ustaljeni režim zahtjevati pol u nuli u regulatoru. 2. Izabrati nulu regulatora - z c dovoljno malu odnosno dovoljno blizu polu u nuli (npr. 0.01 ≤ zc ≤ 1) . Na osnovu vrijednosti z c izračunati pojačanje K i po formuli: K i = z c K p 3. Provjeriti ponašanje sistema analizom GMK-a i simulacijom sistema sa uključenim PI regulatorom Primjer 4.5 Dizajnirati regulator sistema datog sa prenosnom funkcijom: G (s) =
s+6 ( s + 10)( s 2 + 2 s + 2)
(4.64)
tako da sistem sa povratnom spregom zadovoljava: -
MPOS ≤ 20%
-
ess = 0 pri r (t ) = const. i d (t ) = const.
Za zadati maksimalni preskok dobije se koeficijent prigušenja: ξ = 0.45
(4.65)
S obzirom da je cos θ = ξ , gdje je θ ugao koji prava povučena iz koordinatnog početka u kompleksnoj ravni zatvara sa negativnim dijelom realne ose. GMK-a ovog sistema je dat na slici 4.17. 158
Slika 4.17 GMK-a sistema
Lokacije željenih dominantnih polova nalaze se u presjeku pravaca koji predstavljaju ograničenja za koeficijent prigušenja ξ = 0.45 i grana GMK-a. Željeni polovi se mogu dobiti geometrijskim putem ili nekim pogodnim softverskim alatom. Pokazuje se da su za pojačanje K p = 8 dominantni polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom dovoljno blizu željenim. Time je zadovoljen uslova da preskok nije preko dozvoljenog. S druge strane postoji zahtjev za potpunom eliminacijom greške ustaljenog stanja pri step referentnoj vrijednosti i step smetnji. To implicira da regulator mora sadržavati pol u nuli (integrator), pa se kao prirodno rješenje nameće upotreba PI kontrolera. Bira se malo z c = 0.1 tako da nula - z c sa polom u ishodištu obrazuje dipol, kako ne bi došlo do značajnijeg pomjeranja grana GMK-a, odnosno narušavanja tranzijentnog ponašanja. Prema tome, za prenosnu funkciju regulatora se konačno dobija: Gr ( s ) = G PI ( s ) =
8( s + 0.1) 0.8 =8+ s s
(4.66)
GMK-a sistema sa PI regulatorom dat je na slici 4.18.
159
Slika 4.18 GMK-a sistema sa PI regulatorom
Step odziv sistema dat je na slici 4.19.
Slika 4.19 Odziv sistema sa PI regulatorom na step referentnu vrijednost ( z c
160
= 0.1 )
Odziv na slici 4.19 ima prihvatljiv tranzijentni odziv što se tiče uticaja dominantnih konjugovano-kompleksnih polova, ali i sporo dostizanje nulte greške u ustaljenom stanju što je posljedica sporog (takođe dominantnog) aperiodskog pola koji ubacuje PI regulator, odnosno njegov dipol ( s + z c ) / s . U principu dobro je izabrati z c što veće, a da se značajno ne naruši tranzijentno ponašanje sistema. Tako, ako za ovaj isti problem izaberemo z c = 1 , dobija se regulator u obliku: Gr ( s ) = G PI ( s ) =
8( s + 1) 8 =8+ s s
(4.67)
GMK-a sistema sa ovim PI regulatorom dat je na slici 4.20.
Slika 4.20 GMK-a sistema sa PI regulatorom
161
Step odziv sistema sa ovim regulatorom dat je na slici 4.21.
Slika 4.21 Odziv sistema sa PI regulatorom na step referentnu vrijednost ( z c
= 1)
Odziv na slici 4.21 dosta dobro ispunjava postavljene specifikacije.
4.5.3 Dizajn PD regulatora
PD regulator dat je sa prenosnom funkcijom:
Gr ( s ) = GPD ( s ) = K p + K d s
(4.68)
Pošto PD regulator ima dva parametra, tj. pojačanja K p i K d , moguće je postići prozvoljno ponašanje samo za sistem drugog reda:
162
Go ( s ) =
Ko
T2 s 2 + T1 s + 1
(4.69)
U tom slučaju prenosna funkcija zatvorenog sistema sa PD regulatorom je: M (s) =
Kd Kos + K p Ko 2
T2 s + (1 + K d K o ) s + (1 + K p K o )
(4.70)
dajući mogućnost smještanja oba pola u proizvoljne lokacije odgovarajućim izborom K p i K d . Prenosna funkcija PD regulatora može biti zapisana i u obliku: Gr ( s ) = GPD ( s ) = K p + K d s = K d ( s + zc )
(4.71)
gdje je: zc =
Kp Kd
(4.72)
Kao što se može vidjeti iz prenosne funkcije, PD regulator dodaje nulu u sistem upravljanja što za posljedicu ima zakretanje grana GMK-a ulijevo. U opštem slučaju, PD regulator se može koristiti za popravak tranzijentnog odziva sistema, i smanjenje uticaja vanjskih smetnji. Jedan od glavnih efekata PD regulatora je prigušivanje oscilacija u odzivu sistema. Upotrebljava se u slučajevima kada je potrebno da se zadrži brzina odziva, a smanji amplituda oscilacija sistema. Karakteristična jednačina sistema sa zatvorenom povratnom spregom kada se koristi PD regulator je data slijedećim izrazom: 1 + K d ( s + z c )G ( s ) = 0
(4.73)
arg{( s + zc )G ( s )} = π
(4.74)
Odavde slijedi:
163
ili u drugačijem obliku: m
n
i =1
i =1
arg( s + zc ) + ∑ arg( s − zi ) − ∑ arg( s − pi ) = π
(4.75)
Posljednji izraz, zapravo, predstavlja uslov da neka tačka s pripada GMK-a. Taj uslov se može iskoristiti za određivanje vrijednosti zc . Im sd
αc
α1
β1
β2
− zc
Slika 4.22 Određivanje ugla
Re
αc
Određivanje vrijednosti zc je moguće preko određivanja ugla α c (slika 4.22), koji se određuje iz uslova da željena tačka s d pripada GMK-a. Prema tome, vrijedi: m
n
i =1
i =1
α c = arg( s d + z c ) = π − ∑ arg( s d − z i ) + ∑ arg(s d − pi )
(4.76)
Na osnovu poznatog ugla α c izračunatog pod uslovom da željeni pol sd = −ξω n + jω n 1 − ξ 2 pripada GMK-a slijedi: zc =
ωn (ξtgα c + 1 − ξ 2 ) tgα c
Dalje se pojačanje K d računa kao: 164
(4.77)
n
Kd =
∏s i =1
d
− pi
m
sd + zc ∏ sd − zi i =1
(4.78)
Algoritam dizajna PD regulatora Algoritam dizajna PD regulatora (kontrolera) se sastoji od slijedećih koraka: 1. Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova sd 2. Pokušati riješiti problem sa P regulatorom 3. Ako se problem ne može riješiti sa P regulatorom onda odrediti nulu − zc korištenjem izvedene formule (4.77) 4. Odrediti pojačanje K d preko formule (4.78 ) 5. Provjeriti analizom GMK-a i simulacijom da li sistem postiže željene performanse Primjer 4.6 Za sistem dat sa prenosnom funkcijom: G (s) =
s + 10 ( s + 1)( s + 2)( s + 12)
(4.79)
dizajnirati regulator tako da se postignu slijedeće performanse: -
MPOS ≤ 20% i vrijeme smirenja Ts ≤ 1.5 s
Za zadate specifikacije izračunaju se koeficijent prigušenja ξ i prirodna učestanost ωn , i na osnovu njih par dominantnih polova: ξ = 0.45 , rad ωn = 4.348 ⇒ sd = −2 ± j 3.86 s 165
Slika 4.23 GMK-a sistema
G (s)
Na slici 4.23 su pored GMK-a ucrtana i ograničenja vezana za koeficijent prigušenja ξ = 0.45 (prave) i prirodna učestanost ωn = 4.348 (krug). Kao što se vidi, grane GMK-a ne prolaze dovoljno blizu željenih polova, pa se problem ne može riješiti P regulatorom. Grane GMK-a je potrebno zakrenuti ulijevo, a to se postiže dodavanjem nule, odnosno PD regulatorom. Na osnovu prethodno izvedenih formula za α c , zc i K d dobija se: zc = 24.18 i K d = 0.825 Prema tome, prenosna funkcija regulatora je: Gr ( s ) = GPD ( s ) = 0.825( s + 24.18) Step odziv sistema dat je na slici 4.24.
166
Slika 4.24 Step odziv sistema sa PD regulatorom
(4.80)
Kao što se vidi sa slike 4.24 regulator je postigao tražene tranzijentne specifikacije no postoji greška u ustaljenom stanju, ali to se moglo i očekivati s obzirom da ni proces ni kontroler ne sadrže integrator, no to specifikacijama nije ni traženo. Da bi se izvršila eliminacija greške ustaljenog stanja potrebno je koristiti i integralni dio, tj. PID regulator.
4.5.4 Dizajn PID regulatora
PID regulator je univerzalna kombinacija proporcionalnog, integralnog i derivativnog člana i koristi se kako za poboljšanje tranzijentnog odziva, tako i za eliminaciju grešaka ustaljenog stanja. PID regulator je dat prenosnom funkcijom: Gr ( s ) = GPID ( s ) = K p +
Ki + Kd s s
(4.81)
Pošto PID regulator ima tri parametra, tj. pojačanja K p , K i i K d moguće je postići proizvoljno ponašanje za sistem drugog reda: Go ( s ) =
Ko
T2 s 2 + T1 s + 1
(4.82)
U tom slučaju prenosna funkcija zatvorenog sistema sa PID regulatorom je:
M (s) =
K d Ko s 2 + K p Ko s + Ki Ko T2 s 3 + (T1 + K d K o ) s 2 + (1 + K p K o ) s + K i K o
(4.83)
dajući mogućnost postavljanja sva tri pola u proizvoljne lokacije odgovarajućim izborom K p , K i i K d . Prenosna funkcija PID regulatora se može zapisati i u formi: GPID ( s ) =
Kd 2 K p K 1 (s + s + i ) = K d ( s + zc1 ) ( s + zc 2 ) = GPD ( s )GPI ( s ) (4.84) s Kd Kd s
167
Na osnovu prethodne jednačine slijedi da je PID regulator serijska veza PD i PI regulatora. Kako PD član popravlja tranzijentno ponašanje sistema a PI član ustaljeno ponašanje sistema to se oni mogu dizajnirati neovisno jedan od drugog, odnosno sekvencijalno. Algoritam dizajna PID regulatora Algoritam dizajna PID regulatora se sastoji od slijedećih koraka: 1. Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova sd i analizirati zahtjeve za ustaljenim stanjem 2. Izvršiti sintezu PD regulatora, tj. odrediti K d i zc1 prema prethodno razvijenom algoritmu sinteze PD regulatora 3. Izabrati nulu - zc 2 dovoljno blizu polu u nuli (na primjer, 0.01 ≤ zc 2 ≤ 1 ) 4. Analizom GMK-a sistema sa PID regulatorom i simulacijom provjeriti da li sistem zadovoljava željene specifikacije Primjer 4.7 Za sistem dat prenosnom funkcijom: G (s) =
s + 10 ( s + 1)( s + 2)( s + 12)
(4.85)
izvršiti sintezu regulatora tako da budu zadovoljene specifikacije: -
MPOS ≤ 20% , Ts ≤ 1.5s
-
ess (t ) = 0 pri r (t ) = const. i d (t ) = const.
S obzirom da se u ovom slučaju zahtjeva potpuna eliminacija greške u ustaljenom stanju, jasno je da će regulator sadržavati integrator (pol u nuli). Da bi se omogućilo da grane GMK-a prođu dovoljno blizu željenim polovima, potrebno je izvršiti sintezu PD kontrolera (prethodni primjer). U prethodnom primjeru su izračunati parametri PD regulatora: 168
zc1 = 24.18 K d = 0.825
(4.86)
Da bi se izvršila eliminacija greške ustaljenog stanja, mora se dodati integrator, tj. pol u koordinatnom početku. Parametar zc 2 se bira da bude vrlo blizak nuli, kako bi sa polom u koordinatnom početku obrazovao dipol sa ciljem da ne dođe do značajnog pomjeranja grana GMK-a. Izaberimo z c 2 = 0.1 . Prema tome, prenosna funkcija PID regulatora dobija oblik:
GPID ( s ) =
0.825( s + 24.18)( s + 0.1) s
(4.87)
Step odziv sistema sa dizajniranim regulatorom je predstavljena na slici 4.25.
Slika 4.25 Step odziv sistema sa PID regulatorom ( z c 2
= 0.1 ) 169
Odziv sa slike 4.25 može biti ubrzan izborom z c 2 = 0.8 dajući regulator: GPID ( s ) =
0.825( s + 24.18)( s + 0.1) s
(4.88)
Odziv sistema sa ovim regulatorom dat je na slici 4.26.
Slika 4.26 Step odziv sistema sa PID regulatorom ( z c 2
= 0.8 )
U narednoj tabeli je prikazano kako promjene pojedinih parametara PID regulatora generalno utiču na odziv sistema: Parametar Brzina odziva Stabilnost Kp
170
Tačnost
Ki
Kd
(neznatno)
bez značajnog uticaja
4.6 Eksperimentalno podešavanje PID regulatora
Mnogi industrijski procesi su stabilni i mogu se prikazati monotonom tranzijentnom karakteristikom. Takvi procesi se mogu opisati prenosnom funkcijom u obliku (proces prvog reda sa čistim vremenskim kašnjenjem):
G (s) = K o
e −τs T s +1
(4.89)
Step odziv ovakvog sistema za slučaj K o = 1 , T = 0.5s i τ = 1s prikazan je na slici 4.27.
Slika 4.27 Odziv sistema sa čistim vremenskim kašnjenjem
Sistemi sa čistim vremenskim kašnjenjem su teški za analizu, jer su to sistemi beskonačnog reda. Često se i sistemi sa nepoznatim prenosnim funkcijama visokog reda mogu dobro aproksimirati modelima sistema prvog reda sa čistim vremenskim kašnjenjima, tj.: G ( s) = Ko
e −τ s e −τ s ili G ( s ) = K o Ts + 1 s
(4.90)
Ovakva aproksimacija je aproksimacija u sigurnu stranu, naime teže je upravljati sistemom beskonačnog nego konačnog reda. Drugačije rečeno, ako možemo upravljati sistemom sa čistim vremenskim kašnjenjem (beskonačnog reda), tim prije možemo upravljati sistemom konačnog reda. 171
Nepoznate koeficijente K o , τ i eksperimentalnim putem.
T modela
objekta moguće je odrediti
∆u( t ) t
∆y( t ) τ
Slika 4.28 Određivanje
t
T
K o , τ i T izvođenjem eksperimenta
Izvrši se snimanje odziva sistema na step pobudu, a zatim nepoznati parametri modela τ i T odrede na način prikazan na slici 4.28. Preostali parametar K o se odredi kao: Ko =
∆y ∆u
(4.91)
Na ovaj način se može aproksimativno odrediti model nepoznatog sistema. Za dizajn PID regulatora ovakvih sistema upotrebljavaju se iskustvene metode, kao npr. Ziegler-Nichols-ova metoda [40].
4.6.1 Ziegler-Nichols-ove preporuke podešenja PID regulatora
a) Ziegler-Nichols-ov metoda za podešenje PID regulatora izvođenjem eksperimenta sa otvorenom povratnom spregom U narednoj tabeli su date preporuke za izbor parametara PID regulatora u formi: 172
GPID ( s ) = K (1 +
1 + Td s ) Ti s
(4.92)
za objekat dat sa prenosnom funkcijom: e −τ s G ( s) = Ko Ts + 1
(4.93)
Parametri prenosne funkcije (4.93) se određuju pomoću izvođenja prethodno opisanog eksperimenta sa otvorenom povratnom spregom.
Tip regulatora
K
Ti
Td
P
1/ a
-
PI
0.9 / a
3τ
PID
1.2 / a
2τ
τ /2
-
gdje je: a=
τ Ko T
(4.94)
S obzirom da PID regulator može biti prikazan i u formi: GPID ( s ) = K p +
Ki + Kd s s
(4.95)
to se veza između parametara u različitim formama može uspostaviti na slijedeći način: Kp = K K d = KTd K Ki = Ti
(4.96)
173
Ziegler-Nichols-ove preporuke podešavaju regulator za režim regulacije (stabilizacije), a ne za režim praćenja (slijeđenja). Drugačije rečeno, regulator je podešen za dobro otklanjanje smetnji a ne za dobro praćenje referentne veličine.
A1 A2
t
Slika 4.29 Otklanjanje smetnje
Pravila podešenja treba da osiguraju otklanjanje dejstva step smetnje prema A kriteriju A2 = 1 (opadanje amplitude četiri puta po periodu, vidi sliku 4.29). 4 Z-N preporuke treba koristiti kada je: 0.1 ≤
τ ≤1 T
(4.97)
b) Ziegler-Nichols-ov metoda za podešenje PID regulatora izvođenjem eksperimenta sa zatvorenom povratnom spregom Za razliku od prethodne metode, kod ove varijante se ne vrše nikakve pretpostavke o obliku modela procesa. r(t)
+-
e(t)
PID
crna kutija
y(t)
Slika 4.30 Z-N podešavanje PID regulatora sa eksperimentom u zatvorenoj sprezi
Način podešavanja parametara PID regulatora korištenjem eksperimenta sa zatvorenom povratnom spregom sastoji se iz slijedećih koraka: 174
1. Izbace se integralno i derivativno dejstvo u regulatoru, pa se onda postepeno povećava K (proporcionalno pojačanje regulatora), sve dok izlaz u ustaljenom stanju ne dođe do stabilnih oscilacija (slika 4.31). Ova vrijednost pojačanja se naziva kritično pojačanje y(t)
t
Tu
Slika 4.31 Odziv sistema na margini stabilnosti
2. Za kritičnu vrijednost pojačanja K = K kr , odredi se period Tu stabilnih oscilacija izlaza sistema 3. Na osnovu Z-N tabele preporuka, odaberu su vrijednosti za K , Ti i Td regulatora Tip regulatora
Ti
Td -
P
K 0.5 K kr
PI
0.45 K kr
0.83Tu
PID
0.6 K kr
0.5Tu
0.125Tu
Ova pravila su uvijek korisna, bar kao inicijalno podešavanje parametara regulatora, koji mogu biti poslije dodatno optimirani nekom od optimizacionih metoda.
4.6.2 Cohen-Coon-ove preporuke podešenja PID regulatora
Cohen-Coon (C-C) procedura koristi parametre modela koji se dobiju iz prethodne procedure izvođenjem eksperimenta sa otvorenom povratnom spregom, tj. pretpostavlja se model procesa u formi: 175
G ( s) = Ko
e −τ s Ts + 1
(4.98)
Parametri PID regulatora se tada biraju iz slijedeće tabele:
Tip regulatora P PI PID
K 1 1 (0.35 + ) K µ 1 0.9 (0.083 + ) K µ 1 1.35 (0.25 + ) K µ
Ti
Td
-
-
3.3 + 0.3µ τ 1 + 2.2 µ 2.5 + 0.46 µ τ 1 + 0.61µ
0.37 τ 1 + 0.19 µ
gdje je: µ=
τ T
(4.99)
C-C procedura takođe podešava parametre regulatora u odnosu na problem τ A regulacije i sa istim kriterijima ( A2 = 1 ) . Za male vrijednosti µ = , Z-N i T 4 C-C će dati slične rezulatate. C-C je superiorniji u odnosu na Z-N u slučaju τ . većih vrijedosti za µ = T
4.6.3 Chien-Hrones-Reswick-ove preporuke podešenja PID regulatora
C-H-R preporuke su takođe bazirane na modelu sistema dobijenog izvođenjem eksperimenta u otvorenoj povratnoj sprezi. Pretpostavlja se model: G ( s) = Ko
e −τ s Ts + 1
(4.100)
C-H-R preporuke podešavaju regulator za režim praćenja (slijeđenja) referentne vrijednosti. 176
Pored preporuka za izbor parametara regulatora C-H-R daju i preporuke za izbor tipa regulatora: T 1 = τ µ R > 10 7.5 < R < 10 3 < R < 7.5 R<3 R=
Tip regulatora P PI PID Višeg reda
C-H-R preporuke postoje za dva tipa željenog ponašanja: a) Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom treba biti aperiodička b) Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom treba biti oscilatorna sa 20% preskokom Za slučaj pod a) C-H-R preporuke su date u tabeli:
Tip regulatora
K
Ti
Td
P
0.3 / K o
-
-
PI
0.35 / K o
1.2T
-
PID
0.6 / K o
T
0.5τ
Za slučaj b) C-H-R preporuke su date u tabeli:
Tip regulatora
K
Ti
Td
P
0.7 R / K o
-
-
PI
0.6 / K o
T
-
PID
0.95 / K o
1.35T
0.47τ
177
4.6.4 Optimalno podešenje PID regulatora po integralnom kriteriju (ITAE)
Optimalne parametre regulatora je moguće dobiti metodama numeričke optimizacije za razne modele procesa i razne kriterije, odnosno režime rada sistema. Jedan od najčešće korištenih kriterija je ITAE kriterij dat sa: ∞
J ITAE = ∫ t e(t ) dt
(4.101)
0
Za slučaj procesa prvog reda sa čistim vremenskim kašnjenjem, optimalni parametri regulatora po ITAE kriteriju su dati u tabeli: Tip regulatora
Režim rada
Ti
K
Td
1.084
Regulacija
0.49 T Ko τ
0.916
PI
Praćenje
0.586 T Ko τ
T (1.03 − 0.165 τ T )
Regulacija
0.859 T Ko τ
0.977
PI
T τ 0.674 T
0.856
Praćenje
0.965 T Ko τ
0.929 T τ 0.308T (0.796 − 0.147 τ T ) T
0.947
Regulacija
1.357 T Ko τ
T τ 0.842 T
P
PID PID
0.68
0.738
τ 0.381T T
0.995
Ovim se naravno ne iscrpljuju sve preporuke za podešavanje parametara slavnog PID regulatora poznate u bogatoj literaturi. Vrlo detaljan pregled preporuka podešavanja može biti nađen u [39].
4.7 Kaskadno upravljanje
Kvalitet sistema automatskog upravljanja može biti značajno poboljšan sa kaskadnom šemom upravljanja datom na slici 4.32. 178
D1(s) + R(s)
-
G r2(s)
+ -
Gr1(s)
+
D 2(s)
+ Go1(s)
+
+
Y1(s)
Go2(s) Y(s)
Slika 4.32 Kaskadno upravljanje
Ukoliko je moguće mjeriti neku pomoćnu varijablu Y1 ( s ) u objektu upravljanja, koja se odaziva puno brže na smetnju D1 ( s ) od glavne upravljane varijable Y (s ) , onda je moguće daleko brže otkloniti dejstvo smetnje upravljanjem (regulacijom) ove pomoćne varijable (brzog podsistema) sa njenom unutrašnjom upravljačkom konturom, i na taj način smanjiti ako ne i potpuno eliminisati, njen uticaj na vanjsku konturu. Pored otklanjanja smetnje, unutrašnja kontura takođe povećava brzinu unutrašnjeg podsistema i time efektivno omogućuje bolje dinamičko ponašanje vanjske konture. Vanjska upravljačka kontura onda efektivno upravlja sporim podsistemom i djeluje na smetnju D2 ( s ) koja djeluje na spori podsistem. U slučaju kaskadne regulacije, regulator vanjske konture postavlja referentnu vrijednost regulatoru unutrašnje konture. Tipičan primjer primjene kaskadnog upravljanja je kod upravljanja elektromotornim pogonima (podsistemi različitih brzina: moment (struja), ugaona brzina rotora motora, ugao rotora motora), ili regulacija pritiska u kotlu termoelektrane (podsistemi različitih brzina: temperatura u ložištu, pritisak pare u kotlu). Različitost brzina unutrašnje i vanjske konture omogućuje sekvencijalno podešavanje parametara regulatora. Naime, prvo se podesi unutrašnji regulator nekom od prethodno navedenih metoda, a onda se podesi vanjski regulator prema već podešenom unutrašnjem regulatoru.
4.8 Smith-ov prediktor
U sistemima koji imaju veliko čisto vremensko kašnjenje u poređenju sa vremenskom konstantom sistema, navedene procedure podešavanja vjerovatno neće dati dobar odziv sistema. U ovom slučaju upotrebljava se Smith-ova shema upravljanja (Smith-ov prediktor) [38] bazirana na modelu sistema, koja efektivno eliminiše kašnjenje iz zatvorene konture i omogućuje dizajn regulatora koji je baziran na modelu sistema bez čistog kašnjenja. Neka je prenosna funkcija objekta: 179
Go ( s ) = e −τs G ( s )
(4.102)
i neka je prenosna funkcija regulatora Gr (s ) .
R(s)
+ -
e-τsG(s)
Gr(s)
e-τs
G(s) +
Y(s)
+ -
+
Slika 4.33 Regulator sa Smith-ovim prediktorom
Posmatrajmo Smith-ovu strukturu upravljanja na slici 4.33. Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom je: M ( s) =
Gr ( s )G ( s ) −τs e 1 + Gr ( s )G ( s )
(4.103)
što pokazuje da rezultirajući zatvoreni sistem ima dinamiku konačno dimenzionog sistema izuzev čistog vremenskog kašnjenja, odnosno za dizajn regulatora potrebna je samo prenosna funkcija G (s ) . Primjer 4.8 Dizajnirati PI regulator sa Smith-ovim prediktorom za sistem dat sa: Go ( s ) =
e −2 s 0.5s + 1
(4.104)
Parametri regulatora su određeni tako da sistem sa zatvorenom povratnom spregom (4.103) ima dvostruki pol u p = −2 (kritično prigušen sistem) dajući K p = 1 i K i = 2 . Odziv sistema na step referencu i step smetnju dat je na slici 4.34. 180
Slika 4.34 Odziv sistema na step referencu i step smetnju
181
5. Analiza sistema automatskog upravljanja u frekventnom domenu Kao što se moglo vidjeti iz prethodnog izlaganja, jedan od načina predstavljanja sistema je pomoću Laplace-ove transformacije njegovog impulsnog odziva, tj. sistem se predstavlja prenosnom funkcijom u domenu kompleksne promjenljive s = σ + jω . Međutim, nedostatak prenosne funkcije je taj da nema jasan fizikalni smisao, pa su razvijene i tzv. frekvente metode analize i sinteze sistema. U ovom slučaju sistem se predstavlja preko frekventne prenosne funkcije (frekventne karakteristike) u domenu kompleksne učestanosti jω , koja je u stvari Fourierova transformacija njegovog impulsnog odziva.
5.1 Frekventna karakteristika linearnog sistema
Frekventna karakteristika stabilnog sistema definiše ustaljeni (stacionarni) odziv sistema na sinusoidalni ulazni signal i može biti određena na slijedeći način. Neka se na sistem koji je predstavljen prenosnom funkcijom G ( s ) , kao na slici 5.1, dovede ulazni sinusoidalni signal oblika u (t ) = A1 sin(ωt + ϕ1 ) . G(s)
u(t)
y(t)
Slika 5.1 Sinusoidalna pobuda sistema
Prenosna funkcija sistema se može predstaviti u obliku: G (s) =
bm s m + bm −1s m −1 + + b0 s n + an −1s n −1 + + a0
(5.1)
Odziv sistema se može predstaviti u formi: Y ( s ) = G ( s )U ( s )
(5.2)
gdje je U ( s ) Laplace-ova transformacija ulaza i za sinusoidalni signal je: U ( s ) = A1
ω cos ϕ1 + s sin ϕ1 s2 + ω 2
(5.3) 183
odavde slijedi: n+ 2
Y (s) = ∑ i =1
Ki s − si
(5.4)
dakle Laplace-ova transformacija izlaza je predstavljena razvojem u parcijalne razlomke, pri čemu se koeficijenti K i ( i = 1, 2 ,..., n ), uz predpostavku jednostrukih polova, određuju na slijedeći način: Ki = lim ( s − si )Y ( s )
(5.5)
s→ si
Koeficijenti K n +1 i K n + 2 se određuju kao: ω cos ϕ1 + s sin ϕ1 ( s − jω )( s + jω )
(5.6)
1 1 A1G ( jω )e j (ϕ1 −π / 2) = A1 | G ( jω ) | e j (arg G ( jω )+ϕ1 −π / 2) 2 2
(5.7)
K n +1 = lim ( s − jω )Y ( s ) = lim ( s − jω ) A1G ( s ) s → jω
s → jω
Dalje je: K n+1 =
Koeficijent K n + 2 je: K n+ 2 = K n*+1 =
1 A1 | G ( jω ) | e− j (arg G ( jω )+ϕ1 −π / 2) 2
(5.8)
Odziv sistema se nalazi kao inverzna Laplace-ova transformacija od Y ( s ) , tj.: n+ 2
y (t ) = L−1{ ∑ i =1
n Ki } = ∑ Ki e sit + K n+1e jωt + K n+ 2e− jωt s − si i =1
(5.9)
Odziv sistema u ustaljenom stanju je: yss (t ) = lim y (t ) = K n+1e jωt + K n+ 2e − jωt t →∞
= A1 G ( jω ) sin(ω t + arg G ( jω ) + ϕ1 ) 184
(5.10)
Odavde slijedi važan zaključak: Ukoliko je na ulaz linearnog vremenski invarijantnog sistema dovedena prostoperiodična funkcija u (t ) = A1 sin(ωt + ϕ1 ) , onda je izlaz iz sistema u ustaljenom stanju takođe prostoperiodična funkcija iste učestanosti ω , a izmijenjene amplitude i faze y (t ) = A1 G ( jω ) sin(ωt + ϕ1 + arg G ( jω ) = A2 sin(ωt + ϕ1 + ϕ (ω ) Prema tome, vrijedi: A2 = A1 G ( jω ) ⇒
A2 = G ( jω ) A1
ϕ (ω ) = arg G ( jω )
(5.11)
gdje je: G ( jω ) = G ( s ), s = jω
(5.12)
Odavde se može zaključiti da funkcija G ( jω ) potpuno definiše veze između prostoperiodičnog ulaznog i prostoperiodičnog izlaznog signala sistema u stacionarnom stanju. Vremenski oblici ulaznog i izlaznog signala za slučaj linearnog sistema su prikazani na slici 2.
u(t)
y(t) t
Slika 5.2 Vremenski oblici ulaznog i izlaznog signala
Kao što se vidi sa slike 5.2, razlika između ulaznog i izlaznog signala je samo u amplitudi i fazi. Drugo značenje frekventne karakteristike dolazi iz Fourier-ove transformacije. Fourier-ova transformacija funkcije g (t ) se definiše kao [12]: F ( g (t )) = G ( jω ) =
+∞
∫ g (t )e
− jω t
dt
(5.13)
−∞
185
odnosno: G ( jω ) = G ( s ), s = jω
(5.14)
Dakle, G ( jω ) je Fourier-ova transformacija impulsnog odziva sistema. G ( jω ) se naziva amplitudno-fazna (frekventna) karakteristika sistema i u potpunosti opisuje linearni sistem. Postoje različiti načini grafičkog predstavljanja funkcije G ( jω ) koja je kompleksna funkcija kompleksnog argumenta jω : a) Polarni dijagram funkcije G ( jω ) , tzv. Nyquist-ov dijagram: G ( jω ) = Re{G ( jω )} + j Im{G ( jω )} = u (ω ) + jv(ω ) = G ( jω ) e j arg G ( jω ) (5.15) v(ω) −ω
ω=∞
ω=0
u(ω)
+ω
Slika 5.3 Polarni (Nyquist-0v) dijagram amplitudno-fazne karakteristike
b) Bode-ovi [3] dijagrami predstavljaju dvije karakteristike: -
Amplitudno-frekventnu karakteristiku, tj.: G ( jω )
-
Fazno-frekventnu karakteristiku: arg G ( jω )
186
(5.16)
(5.17)
Amplitudno-frekventna karakteristika daje dijagram amplitude u ovisnosti o frekvenciji. Amplituda se obično daje u decibelima [dB ] ( 20 log G ( jω ) ), faza u stepenima, a frekventna osa je u logaritamskoj razmjeri radi mogućnosti prikaza širokog opsega frekvencija na dijagramu. Na slici 5.4 dat je primjer Bode-ovih dijagrama. Amplituda (dB)
log ω
Faza (°)
log ω
Slika 5.4 Bode-ovi amplitudno-frekventni i fazno-frekventni dijagrami
U praksi se obično ne crtaju precizni (tačni) amplitudno-frekventni Bode-ovi dijagrami ( 20 log G ( jω ) ), već aproksimativni asimptotski dijagrami (krive se aproksimiraju asimptotama).
5.2 Konstrukcija Bode-ovih dijagrama
Neka je prenosna funkcija sistema data u obliku: m
G ( s) =
K ∏ (βi s + 1) i =1 n
s k ∏ (α i s + 1) i =1
(5.18)
Ovo je vremenska konstanta – forma prenosne funkcije. Na osnovu prenosne funkcije G ( s ) dobija se G ( jω ) u obliku ( s = jω ): 187
m
G ( jω ) =
K ∏ (βi jω + 1) i =1
n
( jω ) k ∏ (α i jω + 1)
(5.19)
i =1
Odavde slijedi: m
n
i =1
i =1
20 log G ( jω ) = 20 log K + ∑ 20 log βi jω + 1 − 20k log ω − ∑ 20 log α i jω + 1 (5.20) m
arg G ( jω ) = ∑ arg(βi jω + 1) − k i =1
π n − ∑ arg(α i jω + 1) 2 i =1
(5.21)
Primjer 5.1 Konstruisati Bode-ove dijagrame za slučaj sistema G ( s ) = K . Zamjenom s sa jω dobija se: G ( jω ) = K 20 log G ( jω ) = 20 log K
(5.22)
arg G ( jω ) = 0 Bode-ovi dijagrami za dati sistem su prikazani na slici 5.5. 20 log G( jω)
20 log K
log ω
arg{G( jω)}
log ω
188
Slika 5.5 Bode-ovi dijagrami sistema
G ( jω ) = K
Primjer 5.2 Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem dat prenosnom funkcijom:
G (s) =
1 s
(5.23)
1 jω
(5.24)
Zamjenom s sa jω dobija se:
G ( jω ) = Odavde slijedi:
20 log G ( jω ) = 20 log arg G ( jω ) = −
π 2
1 = −20 log ω ω (5.25)
Bode-ovi dijagrami za dati sistem su prikazani na slici 6. 20 log G( jω) (dB) -20 dB/dec 20 -20
0.1
1
10
100
log ω
-40
arg{G( jω)} log ω -90°
Slika 5.6 Bode-ovi dijagrami sistema
G ( jω ) =
1 jω 189
Vidi se da sistem unosi slabljenje od 20 dB po dekadi (dekada je povećanje frekvencije 10 puta). Primjer 5.3 Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem: G (s) = s
(5.26)
U ovom slučaju vrijedi: G ( jω ) = jω ⇒ 20 log G ( jω ) = 20 log ω arg G ( jω ) =
π 2
(5.27)
Bode-ovi dijagrami su prikazani na slici 5.7. 20 log G( jω) (dB)
20 dB/dec
40 20 -20
0.1
1
10
100
log ω
arg{G( jω)}
90° log ω
Slika 5.7 Bode-ovi dijagrami sistema
G ( jω ) = jω
Kao što se može vidjeti sa slike 5.7 sistem G ( jω ) = jω (diferencijator) vrši pojačanje signala i unosi pozitivno fazno kašnjenje.
190
Primjer 5.4 Konstruisati Bode-ove dijagrame za aperiodski sistem prvog reda dat prenosnom funkcijom: G (s) =
1 Ts + 1
(5.28)
odavde je: 1 1 Tω = −j ⇒ 2 Tjω + 1 (T ω ) + 1 (T ω ) 2 + 1 1 ⇒ 20 log G ( jω ) = −20 log 1 + (T ω ) 2 G ( jω ) = 2 1 + (T ω )
G ( jω ) =
arg G ( jω ) = tan −1 (−T ω )
(5.29)
Bode-ovi dijagrami su prikazani na slici 5.8. 20 log G( jω)
ω=
1 T
log ω
-20 dB/dec arg{ G( jω)}
log ω
-45° -90°
Slika 5.8 Asimptotski Bode-ovi dijagrami sistema
G ( jω ) =
1 jωT + 1
Amplitudno-frekventni dijagram predstavlja asimptotsku karakteristiku za dati sistem jer vrijedi:
191
−20 log (Tω ) 2 + 1 ≈ 0 za ω << T −20 log (T ω ) 2 + 1 ≈ −20 log(T ω ) = −20 log T − 20 log ω za ω >> T (5.30) Primjer 5.5 Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem: G ( s ) = Ts + 1
(5.31)
Analogno prethodnom primjeru, može se pisati: G ( jω ) = Tjω + 1 ⇒ G ( jω ) = (T ω ) 2 + 1 ⇒ 20 log G ( jω ) = 20 log (T ω ) 2 + 1
(5.32)
−1
arg G ( jω ) = tan (ωT ) Asimptotske karakteristike Bode-ovih dijagrama su date na slici 5.9. 20 log G( jω)
20 dB/dec
1 ω= T log ω
arg {G( jω)}
90° 45° log ω
Slika 5.9 Asimptotski Bode-ovi dijagrami sistema
192
G ( jω ) = Tjω + 1
Primjer 5.6 Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem drugog reda dat prenosnom funkcijom (sistem sa konjugovano-kompleksnim polovima): ω n2 G (s) = 2 s + 2ξω n s + ω n2
(5.33)
Zamjenom s sa jω dobija se: ω n2 G ( jω ) = 2 ⇒ ω n − ω 2 + 2 jξω nω G ( jω ) = G ( jω ) =
ω n2 (ω n2 − ω 2 ) −2ξω n3ω j + ⇒ (ω n2 − ω 2 ) 2 + (2ξω nω ) 2 (ω n2 − ω 2 ) 2 + (2ξω nω ) 2 ω n2 (ω n2 − ω 2 ) 2 + (2ξω nω ) 2
e
− jarctg
2ξω nω
ω n2 −ω 2
(5.34)
Odavde slijedi: 20 log G ( jω ) = 20 log ω n2 − 20 log (ω n2 − ω 2 ) 2 + (2ξω nω ) 2
(5.35)
Na slici 5.10 su prikazani Bode-ovi dijagrami za sistem drugog reda. 20 log G( jω)
log ω
ωn
-40 dB/dec arg{ G( jω)}
log ω
-180°
Slika 5.10 Asimptotski Bode-ovi dijagrami sistema
G ( jω ) =
ω n2 ω n2 − ω 2 + 2 jξω nω 193
Za frekvencije ω >> ωn amplituda opada asimptotski sa nagibom −40 dB / dec . Stvarni dijagram može odstupati, više ili manje od asimptotskog, u zavisnosti od koeficijenta prigušenja ξ . Frekvencija maksimalne vrijednosti (rezonantna frekvencija) a-f karakteristike se dobije kao: d G ( jω r ) =0⇒ dω ω r = ω n 1 − 2ξ 2
(5.36)
Za maksimalnu vrijednost amplitude se dobija: Mr =
1 2ξ 1 − ξ 2
(5.37)
A-f karakteristika ima maksimum ukoliko su vrijednosti prigušenja ξ < 0.707 . Slijedeća važna osobina a-f karakteristike sistema je opseg frekvencija pri kojim slabljenje nije veće od −3dB = 20 log(1/ 2) od vrijednost slabljenja pri nultoj frekvenciji. Ovaj opseg se naziva propusni opseg sistema. Smatra se da je sistem sa propusnim opsegom od [0, ωBW ] ekvivalentan niskopropusnom filteru sa graničnom frekvencijom od ω BW . Širina opsega je u direktnoj vezi sa kvalitetom reprodukcije ulaznog signala u izlaznom signalu, drugačije rečeno u vezi sa kvalitetom praćenja ulaznog signala od strane izlaznog signala, odnosno u vezi sa brzinom odziva sistema. Primjer 5.7 Bode-ovi dijagrami sistema sa konjugovano-kompleksnim nulama: s 2 + 2ξω n s + ω n2 G (s) = ω n2
(5.38)
su slike u ogledalu oko ω ose Bode-ovih dijagrama iz Primjera 6. Prethodno predstavljene osnovne dinamičke komponente i njihove frekventne karakteristike spadaju u tzv. klasu komponenti minimalne faze, odnosno komponenti sa polovima i nulama u lijevoj polovini s-ravni (stabilni polovi i nule). Sistemi minimalne faze imaju dvije važne osobine. Prvo, za sistem 194
relativnog reda (n − m) pri promjeni frekvencije od ω = 0 do ω = ∞ neto π promjena faze iznosi ∆ = (n − m) odnosno: 2 π lim arg {G ( jω )}= −(n − m) (5.39) ω →∞ 2 dok je nagib asimptote amplitude pri ω → ∞ : −20(n − m) dB / dec
(5.40)
Drugo, prva osobina implicira drugu a to je da Bode-ova amplitudno-frekventna karakteristika sama, potpuno i jednoznačno određuje i Bode-ovu fazno-frekventnu karakteristiku odnosno i prenosnu funkciju sistema G (s ) . U drugu ruku, dinamičke komponente koje imaju polove i nule locirane u desnoj polovini s-ravni (nestabilni polovi i nule) spadaju u klasu tzv. komponenti neminimalne faze. Karakteristika ovih sistema je da unose dodatni fazni pomjeraj (fazno kašnjenje) u odnosu na sisteme minimalne faze. Drugačije rečeno, modul fazne karakteristike sistema neminimalne faze je uvijek veći od fazne karakteristike sistema minimalne faze, pod pretpostavkom da imaju istu amplitudnu karakteristiku. Shodno uvećanom faznom kašnjenju, sistemi neminimalne faze su teži za upravljanje od sistema minimalne faze. Primjer 5.8 Konstruisati Bode-ove dijagrame sistema. Sistem minimalne faze dat sa:
GMF ( s ) =
1 + T2 s 1 + T1s
(5.41)
1 − T2 s 1 + T1s
(5.42)
Sistem neminimalne faze dat sa:
GNMF ( s ) =
195
GMF ( jω ) =
GNMF ( jω ) =
1 + (T2ω ) 2
−1 ω (T1 − T2 ) = − , arg G ( j ω ) tan { } MF 1 + (T1ω ) 2 1 + ω 2T1T2
(5.43)
1 + (T2ω ) 2
−1 ω (T1 + T2 ) = − , arg G ( j ω ) tan { } NMF (5.44) 1 + (T1ω ) 2 1 − ω 2T1T2
Na slici 5.11 su dati Bode-ovi dijagrami ovih sistema. 20 log G( jω)
log ω
GNMF
GMF
arg{G( jω)}
-180°
GNMF
GMF
log ω
Slika 5.11 Bode-ovi dijagrami minimalno i neminimalno faznih sistema
Prenosna funkcija sistema neminimalne faze uvijek može biti predstavljena kao kaskadna veza odgovarajućeg sistema minimalne faze i elementa za čisti fazni pomjeraj (element sa jediničnom amplitudnom karakteristikom). Neminimalno fazni sistem iz prethodnog primjera može biti predstavljen kao:
GNMF ( s ) =
1 − T2 s 1 − T2 s 1 + T2 s = = GPPS ( s )GMF ( s ) 1 + T1s 1 + T2 s 1 + T1s
(5.45)
gdje je: GPPS ( s ) element čistog faznog kašnjenja. U opštem slučaju jasno je da element čistog faznog kašnjenja mora imati polove i nule simetrično raspoređene oko imaginarne ose. 196
5.3 Analiza stabilnosti u frekventnom domenu (Nyquist-ov kriterij stabilnosti)
Nyquist-ov kriterij stabilnosti [29] je baziran na Cauchy-jevom principu argumenta koji glasi: Neka je kompleksna funkcija F ( s ) analitička izuzev u konačnom broju tačaka i neka je data neka zatvorena kontura C po kojoj putuje argument s u s-ravni, tada će fazor funkcije F ( s ) takođe putovati po zatvorenoj konturi u F ( s ) -ravni. Dalje, ako funkcija F ( s ) ima Z nula i P polova unutar konture C, onda za jedan obrtaj varijable s po zatvorenoj konturi C u smjeru kazaljke na satu, fazor funkcija F ( s ) će da napravi N = Z − P obrtaja oko koordinatnog početka u F ( s ) -ravni u istom smjeru (slika 5.12). Im(s)
Im{F(s)}
Re(s)
Re{F(s)}
Slika 5.12 Cauchy-jev princip argumenta
Ako se funkcija F ( s ) može predstaviti u obliku racionalne funkcije: m
F (s) =
K ∏ ( s − zi ) i =1 n
∏ (s − p ) i =1
Tada se može pisati:
(5.46)
i
m
n
i =1
i =1
arg F ( s ) = arg ∑ ( s − zi ) − arg ∑ ( s − pi )
(5.47)
197
Ako zatvorena kontura C u s-ravni obuhvata Z nula i P polova tada je ukupna promjena ugla fazora F ( s ) u F ( s ) - ravni: 2π N = 2π Z − 2π P
(5.48)
Svaka nula i pol unutar konture doprinosi promjeni od 2π , dok svaka nula i pol izvan konture ima nulti doprinos. Odavde slijedi da je broj obrtaja fazora F ( s ) oko koordinatnog početka u F ( s ) -ravni: N =Z−P
(5.49)
Nyquist-ov kriterij stabilnosti daje odgovor o stabilnosti sistema sa zatvorenom povratnom spregom na bazi analize sistema sa otvorenom povratnom spregom (slika 5.13).
R(s)
+
G(s)
-
Y(s)
Slika 5.13 Sistema sa zatvorenom povratnom spregom
Posmatra se sistem sa otvorenom povratnom spregom prenosne funkcije: G (s) =
Q( s) P( s)
(5.50)
Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom je u dobro poznatom obliku: M (s) =
G ( s) Q( s) = 1 + G ( s) P( s) + Q( s)
(5.51)
Neka se definiše funkcija D( s ) kao: D( s) = 1 + G ( s) = 198
P( s) + Q( s) P( s)
(5.52)
koja jasno ima osobine: -
Nule funkcije D( s ) su polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom
-
Polovi D( s ) su polovi sistema sa otvorenom povratnom spregom
Nyquist-ov dijagram funkcije D( s ) je polarni dijagram funkcije D( s ) kada kompleksna varijabla s putuje po konturi datoj na slici 5.14. Im(s)
Re(s)
r→0 R→∞
Slika 5.14 Kontura u s-ravni koja obuhvata desnu (nestabilnu) poluravan
Ova kontura obuhvata kompletnu desnu (nestabilnu) polovinu s-ravni, tj. R → ∞ . Takođe, D( s ) mora biti analitička i na konturi, te su polovi D( s ) na imaginarnoj osi izbjegnuti polukrugovima beskonačno malog poluprečnika r → 0 . Sada se može formulisati Nyquist-ov kriterij stabilnosti koji glasi: Broj nestabilnih polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom je jednak zbiru broja nestabilnih polova sistema sa otvorenom povratnom spregom i broja obuhvatanja koordinatnog početka Nyquist-ovog dijagrama funkcije D( s ) u D( s ) -ravni. Dakle vrijedi: Z =N+P
(5.53) 199
gdje je: Z - broj polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom u desnoj poluravni (nestabilnih) P - broj polova sistema s otvorenom povratnom spregom u desnoj poluravni (nestabilnih) N - broj obuhvatanja koordinatnog početka Nyquist-ovog dijagrama funkcije D( s) = 1 + G ( s) Ako je P = 0 , kao što je to najčešće slučaj, tada mora biti N = 0 , tj. Nyquist-ov dijagram ne smije ni jednom obuhvatiti koordinatni početak za slučaj stabilnog sistema. Za detaljniju analizu preslikavanja konture u s domenu u Nyquist-ov dijagram potrebno je razmotriti kako se preslikavaju pojedini dijelovi konture: a) Dio konture s = Re jΦ (polukrug poluprečnika R) R → ∞ i −
π π < Φ < se preslikava kao: 2 2 G (s) =
Q( s ) bm s m + + b0 = n P( s) s + + a0
(5.54)
S obzirom da je n ≥ m , slijedi: 0, G (Re jΦ ) = bm = const ,
n>m n=m
(5.55)
tj. ovaj dio konture se preslikava u jednu tačku i to obično koordinatni početak.
b) Dio konture koji predstavlja imaginarnu osu, tj. s = jω, − ∞ < ω < ∞ se preslikava kao: D( s ) = D( jω ) = 1 + G ( jω )
(5.56)
G ( jω ) predstavlja frekventnu karakteristiku sistema i preslikava se u konturu u zavisnosti od oblika prenosne funkcije. Dovoljno 200
je naći preslikavanje G ( jω ), za 0 ≤ ω < ∞ pošto G ( jω ), za − ∞ < ω ≤ 0 simetričan oko realne G ( jω ) = G ( − jω ) * .
je dio konture ose tj. vrijedi
c) Dio konture koji isključuje polove na imaginarnoj osi, tj. s = re jΦ π π (r → 0, − < Φ < ) 2 2 D( s) = 1 + G ( s) ⇒ G (s) =
bm s m + + b0 ⇒ s k ( s n + an −1s n −1 + + a0 )
b /a G (re ) ≈ 0 k 0 e − jk Φ r jΦ
(5.57)
Odavde se može zaključiti da kada r → 0 i ugao Φ se mijenja od −
π 2
π , ovaj dio konture se preslikava u polukrug (krug) beskonačnog 2 π π poluprečnika sa promjenom ugla od k do − k . 2 2
do
Nyquist-ov kriterij se može uprostiti ako se umjesto polarnog dijagrama D( s ) = 1 + G ( s ) nacrta polarni dijagram G ( s ) i onda se posmatra obuhvatanje kritične tačke ( −1 + j 0 ). Prema tome, modificirani Nyquist-ov dijagram glasi: Broj nestabilnih polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom je jednak sumi broja nestabilnih polova sistema sa otvorenom povratnom spregom i broja obuhvatanja kritične tačke ( −1 + j 0 ) Nyquist-ovim dijagramom funkcije G ( s ) . Ako Nyquist-ov dijagram prolazi kroz kritičnu tačku ( −1 + j 0 ) sistem je marginalno stabilan. Sistemi sa čistim transportnim kašnjenjem Sistem s čistim transportnim kašnjenjem se može jednostavno prikazati i analizirati u frekventnom domenu. Sistem sa čistim transportnim kašnjenjem se predstavlja prenosnom funkcijom: G ( s ) = Ke −τ s
Q( s) P( s)
(5.58) 201
ili u frekventnom domenu: G ( jω ) = Ke − jωτ
G ( jω ) = K
Q( jω ) P ( jω )
Q( jω ) ⇒ P( jω )
arg{G ( jω )} = arg{
(5.59)
Q( jω ) } − ωτ P ( jω )
(5.60)
Jedna od značajnih prednosti Nyquist-ovog kriterija stabilnosti, u odnosu na algebarske kriterije stabilnosti, je u mogućnosti njegove primjene za egzaktno ispitivanje stabilnosti sistema sa čistim vremenskim kašnjenjem. Primjer 5.9 Ispitati stabilnost sistema datog na slici 5.15 korištenjem Nyquist-ovog kriterija stabilnosti: R(s)
1 s(s + 3)(s + 5)
+-
Y(s)
Slika 5.15 Sistem sa povratnom spregom
Najprije se prekine povratna sprega, tj. analizira se sistem sa otvorenom povratnom spregom: G (s) =
1 s ( s + 3)( s + 5)
(5.61)
Zatim se u s-ravni nacrta kontura koja obuhvata desnu poluravan (slika 5.14). Onda se data kontura, odnosno njeni karakteristični segmenti preslikaju funkcijom G ( s ) : a) Izvrši se smjena s = jω i posmatra dio konture od 0 < ω < ∞ (dio −∞ < ω < 0 je simetričan u odnosu na realnu osu). Prema tome dobija se: 202
G ( jω ) =
(15ω − ω 3 ) −8ω 2 j − 64ω 4 + ω 2 (15 − ω 2 ) 2 64ω 4 + ω 2 (15 − ω 2 ) 2
(5.62)
Skicira se grubi polarni dijagram od G ( jω ) , ispitivanjem ponašanja funkcije pri ω → 0 i ω → ∞ te nalaženjem tačaka u kojim dijagram presijeca realnu i imaginarnu osu. Tačke presijecanja dijagrama sa realnom i imaginarnom osom se dobiju rješavanjem jednačina: Im{G ( jω )} = 0 Re{G ( jω )} = 0
(5.63)
po ω čime se dobiju frekvencije za koje funkcija presijeca realnu, odnosno imaginarnu osu, a zatim uvrštavanjem tih frekvencija u G ( jω ) dobiju se stvarne presječne tačke. Na osnovu izloženog slijedi: lim G ( jω ) = −0.0356 − j∞
(5.64)
ω → 0+
π − j3 1 1 2 = = e lim 0 ω →∞ ( jω )3 + 8( jω ) 2 + 15( jω ) ω →∞ ( jω ) 3
lim G ( jω ) = lim
ω →∞
(5.65)
Može se zaključiti da će G ( jω ) završiti u trećem kvadrantu. Za tačke presjeka se dobija: Im {G ( jω c )}= 0 ⇒
(
− 15 − ω c2
(
)
64ω c3 + ω c 15 − ω c 2
)
2
=0
(5.66)
Odavde slijedi da je frekvencija za koju G ( jωc ) siječe realnu osu ωc = 15 , a za tačku presjeka se dobija: G ( j 15) = −0.083 + j 0
(5.67)
Presjek sa realnom osom je važan podatak jer je od suštinskog značaja za stabilnost sistema sa zatvorenom povratnom spregom. 203
Na osnovu: Re {G ( jω )}≠ 0 ∀ω
(5.68)
može se zaključiti da nema presjeka polarnog dijagrama i imaginarne ose.
b) Dio konture s = re
jΦ
lim G (re jΦ ) = lim r →0
r →0
pri čemu r → 0 i −
π π < Φ < se preslikava u: 2 2
1 jΦ 3
jΦ 2
jΦ
(re ) + 8(re ) + 15(re )
1 r → 0 15( re jΦ )
= lim
(5.69)
1 − jΦ e = ∞e − j Φ r → 0 15r
= lim
c) Dio konture s = Re jΦ pri čemu je R → ∞ −
1 1 = lim = 0e − j 3Φ (5.70) j Φ 2 j Φ j Φ 3 R →∞ (Re ) + 8(Re ) + 15(Re ) R→∞ (Re )
lim G (Re jΦ ) = lim
R →∞
π π < Φ < se preslikava u: 2 2
jΦ 3
Na osnovu dobijenih podataka može se skicirati Nyquist-ov dijagram funkcije G(s). Na slici 5.16 je prikazana kontura koja obuhvata desnu stranu kompleksne s-ravni te Nyquist-ov dijagram funkcije G(s) dobijen preslikavanjem ove konture. Im(s)
Im(G)
ω = 0−
Re(s)
r→0
( −1, j0)
ω = +∞
Re(G)
ω = −∞
ω=0+
R→∞
Slika 5.16 Nyquist-ov dijagram sistema (5.61)
204
Pošto je sistem sa otvorenom spregom stabilan, tj. P = 0 a Nyquist-ov dijagram sistema ne obuhvata ni jednom kritičnu tačku (−1, j 0) , tj. N = 0, onda Nyquistov kriterij stabilnosti daje Z = 0, tj. sistem sa zatvorenom spregom je stabilan. Primjer 5.10 Naći oblast promjene pojačanja K za koje je sistem dat na slici 5.17 asimptotski stabilan. G ( s) =
R(s)
K s ( s + 3)( s + 5)
+-
G(s)
(5.71)
Y(s)
Slika 5.17 Ispitati stabilnost sistema
Na osnovu analize u prethodnom primjeru dobije se tačka presjeka krive G ( jω c ) , za K = 1 , sa realnom osom: G ( j 15) = −0.083 + j 0
(5.72)
Kritično pojačanje koje dovodi sistem na granicu stabilnosti je dato sa: G ( jω c ) ⋅ K r = 1 ⇒ Kr =
1 1 1 = = G ( jω c ) G 15 0.083
( )
(5.73)
Prema tome sistem je stabilan ukoliko je K < K r , odnosno:
K<
1 0.083
(5.74) 205
Opšta procedura određivanja kritičnog pojačanja (opseg pojačanja za koje je sistem stabilan) je slijedeća: -
Nacrta se Nyquist-ova kriva za K = 1
-
Nađe se kritično pojačanje iz K r G ( jωc ) = 1 , gdje se ωc dobije
rješavanjem Im {G ( jω c )}= 0 . Sada je opseg pojačanja za koje je sistem
stabilan: 0 < K < K r Prethodni problem se može riješiti ako se umjesto obuhvatanja tačke (−1, j 0) 1 posmatra obuhvatanje tačke (− , j 0) . K Primjer 5.11 Ispitati stabilnost sistema sa slike 5.18 korištenjem Nyquist-ovog kriterija stabilnosti. R(s)
K(s + 3)(s + 5) (s − 2)(s − 4)
+-
Y(s)
Slika 5.18 Ispitati stabilnost sistema
Preslikavanje konture koja okružuje desnu stranu kompleksne s-ravni u Nyquistovu krivu je predstavljeno na slici 5.19. Im(s)
Im(G)
2
4
Re(s)
( −1, j0)
Slika 5.19 Nyquist-ova kriva sistema
206
Re(G)
S obzirom da sistem u otvorenoj sprezi posjeduje dva nestabilna pola u s = 2 i s = 4 iz Z =N+P
(5.75)
slijedi da Nyquist-ova kriva mora 2 puta obuhvatiti tačku (−1, j 0) u kontra smjeru (smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu) kako bi vrijedilo: Z =N+P=0
(5.76)
Područje stabilnosti ovog sistema je: K > 0.75
(5.77)
U ovom slučaju, da bi sistem bio stabilan, Nyquist-ova kriva mora obuhvatiti tačku (−1, j 0) dva puta u suprotnom smjeru, pa zbog toga pojačanje mora biti veće od 0.75, jer za manje vrijednosti pojačanja Nyquist-ova kriva ne obuhvata tačku (−1, j 0) pa je u tom slučaju N = 0 odnosno: Z =N+P=2
(5.78)
tj. sistem sa zatvorenom spregom ima dva nestabilna pola. Geometrijsko mjesto korijena ovog sistema je prikazano na slici 5.20. Im(G)
-5 -3
2
4
Re(G)
Slika 5.20 GMK-a sistema sa slike 5.18
207
Primjer 5.12 Ispitati stabilnost sistema sa slike 5.21 korištenjem Nyquist-ovog kriterija.
R(s)
Ke −sτ
+-
Y(s)
Slika 5.21 Sistem sa čistim vremenskim kašnjenjem
Prenosna funkcija sistema sa otvorenom spregom je G ( s ) = Ke−τ s odnosno u domenu frekvencije G ( jω ) = e − jωτ . Im(G)
Re(G)
-1
Slika 5.22 Nyquist-ov dijagram sistema sa čistim transportnim kašnjenjem
Sa slike se vidi da je sistem marginalno stabilan za K r = 1 , pa je područje stabilnosti određeno sa: 0 < K <1
(5.79)
Step odzivi sistema za τ = 1 u slučaju K < 1 i K > 1 su dati na slikama 5.23 i 5.24. 208
Slika 5.23 Step odziv sistema sa čistim vremenskim kašnjenjem za
K <1
Slika 5.24 Step odziv sistema sa čistim vremenskim kašnjenjem za
K >1 209
Primjer 5.13 Ispitati stabilnost sistema sa slike 5.25 korištenjem Nyquist-ovog kriterija. R(s)
Ke −s (s + 1)
+-
Y(s)
Slika 5.25 Ispitati stabilnost sistema
Prenosna funkcija sistema sa otvorenom povratnom spregom je: Ke− s G ( s) = 1+ s
(5.80)
odnosno u frekventnom domenu za K = 1 :
G ( jω ) =
e − jω ω cos ω + sin ω cos ω − ω sin ω = −j 2 1 + jω 1+ ω 1+ ω 2
(5.81)
Dalje slijedi: lim G ( jω ) = 1 + j 0
ω → 0+
(5.82)
te vrijedi da:
lim G ( jω ) = 0 ⋅ e
π − j +ω 2
ω →∞ +
(5.83)
odnosno: ω → +∞ ⇒ arg{G ( jω )} → ∞
210
(5.84)
Tačka presjeka frekventne karakteristike sa realnom osom se dobije rješavanjem jednačine: Im{G ( jω )} = 0 ⇒ ω cos ω + sin ω = 0
(5.85)
Numeričkim postupkom rješavanja date jednačine dobije se ωc = 2.03 rad / sec , što implicira tačku presjeka sa realnom osom u: G ( jω c ) = −0.44 + j 0
(5.86)
Kritično pojačanje je: K kr G ( jω c ) = 1, K kr 0.44 = 1, ⇒ K r = 2.26
(5.87)
te je sistem stabilan za vrijednosti pojačanja u opsegu: 0 < K < 2.26
(5.88)
Nyquist-ov dijagram je dat na slici 5.26. Im(G)
-1
1
Re(G)
a
Slika 5.26 Nyquist-ov dijagram sistema sa čistim vremenskim kašnjenjem
Prema tome, može se zaključiti da Nyquist-ov dijagram sistema sa čistim transportnim kašnjenjem beskonačno puta obuhvati koordinatni početak, te je uvijek moguće destabilizirati takav sistem sa dovoljno velikim pojačanjem K. 211
5.4 Margine (rezerve) stabilnosti sistema po fazi i po pojačanju
Za sistem automatskog upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom, analiza stabilnosti se može izvršiti preko Nyquist-ovog kriterija kako je prethodno pokazano. Pored analize apsolutne stabilnosti sistema, razmatra se i relativna stabilnost, koja je mjera udaljenosti sistema od granice nestabilnosti. Relativna stabilnost se određuje preko margina stabilnosti. Definišu se slijedeće margine stabilnosti: -
Margina stabilnosti po pojačanju
-
Margina stabilnosti po fazi
Na slici 5.27 je prikazana definicija margina stabilnosti korištenjem polarnog dijagrama frekventne karakteristike sistema sa otvorenom povratnom spregom G ( jω ) . Im(G)
-1
Gm
1
Re(G)
Φm
Slika 5.27 Polarni dijagram sistema
G ( jω ) , definicije margina stabilnosti
5.4.1 Margina stabilnosti po pojačanju
Margina (rezerva) stabilnosti po pojačanju se definiše kao najveći faktor promjene statičkog pojačanja (kritično pojačanje) koji dovodi sistem na granicu stabilnosti tj.: 212
K kr ⋅ G ( jω cp ) = 1 ⇒ K r =
1 G ( jω cp )
(5.89)
ili izraženo u dB: GM = 20 log K r = −20 log G ( jω cp ) [dB ]
(5.90)
pri čemu je:
{
}
arg G ( jω cp ) = −180°
(5.91)
gdje je: ωcp - presječna učestanost faze Margina stabilnosti po pojačanju pokazuje opseg u kome se može promijeniti statičko pojačanje orginalnog (nominalnog) sistema G ( jω ) a da sistem sa zatvorenom spregom ostane stabilan (mjera robusnosti sistema). Drugačije rečeno svi sistemi: KG ( jω )
(5.92)
sa zatvorenom povratnom spregom biti će stabilni ukoliko je zadovoljeno: 0 < K < Kr
(5.93)
5.4.2 Margina stabilnosti po fazi
Margina (rezerva) stabilnosti po fazi se definiše kao:
{
}
Φ m = 180° + arg G ( jω cg )
(5.94)
pri čemu je: G ( jω cg ) = 1
(5.95) 213
gdje je: ωcg - presječna učestanost pojačanja Margina stabilnosti po fazi pokazuje koliko se može tolerisati dodatno fazno kašnjenje u originalnom (nominalnom) sistemu G ( jω ) a da sistem sa zatvorenom povratnom spregom ostane stabilan (mjera robusnosti sistema). Drugačije rečeno, svi sistemi: e − jτω G ( jω )
(5.96)
sa zatvorenom povratnom spregom biti će stabilni ukoliko je zadovoljeno: Φ m − ω cg τ = 0 ⇒ τ <
Φm ω cg
(5.97)
U zaključku, očigledno je da margine stabilnosti po pojačanju i fazi definišu relativnu stabilnost sistema (robusnost sistema), odnosno definišu udaljenost frekventne polarne karakteristike od kritične tačke (−1, j 0) .
5.5 Analiza stabilnosti korištenjem Bode-ovih dijagrama
Pored određivanja stabilnosti, odnosno margina stabilnosti pomoću polarnog dijagrama frekventne karakteristike, margine stabilnosti se mogu ugodnije odrediti korištenjem Bode-ovih dijagrama frekventne karakteristike. Slika 5.28 ilustruje način određivanja margina stabilnosti očitanjem sa Bode-ovih dijagrama. 20 log G( jω)
20 dB/dec
ωcg
ωcp
ωcg
ωcp
Gm
log ω
arg{G( jω)}
-180°
214
Φm
log ω
Slika 5.28 Određivanje margina stabilnosti pomoću Bode-ovih dijagrama
5.6 Ocjene kvalitete sistema automatskog upravljanja
5.6.1 Relacije između tranzijentnog odziva zatvorenog sistema i njegove frekventne karakteristike
Za sistem drugog reda sa zatvorenom povratnom spregom prikazan na slici 5.29 moguće je uspostaviti vezu između tranzijentnog odziva sistema u vremenskom domenu i njegove frekventne karakteristike. R(s)
ωn2 s(s + 2ξωn )
+-
Y(s)
Slika 5.29 Sistem drugog reda sa zatvorenom povratnom spregom
Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom je data izrazom: ω n2 G (s) M (s) = ⇒ M (s) = 2 1 + G (s) s + 2ξω n s + ω n2
(5.98)
Obično se željene tranzijentne specifikacije sistema u vremenskom domenu daju u obliku maksimalno dopustivog preskoka i dopustivog vremena smirenja MPOS i Ts : −ξπ
MPOS = e
1−ξ 2
⋅100% = f (ξ ) , Ts =
3 ξω n
(5.99)
a) Relacija između maksimalnog preskoka sistema i njegove frekventne karakteristike Frekventna karakteristika sistema je data sa: M ( jω ) =
ω n2 ( jω ) 2 + 2ξω n jω + ω n2
(5.100)
odakle slijedi: 215
M ( jω ) =
ω n2 (ω n2 − ω 2 ) 2 + 4ξ 2ω n2ω 2
(5.101)
Maksimalna vrijednost amplitudno-frekventne karakteristike (rezonantni vrh) se dobije kao: d M ( jω r ) =0 dω
⇒ ω r = ω n 1 − 2ξ 2 ⇒
M ( jω r ) = M r =
1
(5.102)
(5.103)
2ξ 1 − ξ 2
Frekventni odziv sistema drugog reda je predstavljen na slici 5.30. 20 log M( jω)
� r 0 dB -3 dB
�
r
�
log ω BW
Slika 5.30 Frekventni odziv sistema drugog reda
Na osnovu dobijenog izraza (5.103) vidi se da rezonantni vrh M ( jωr ) zavisi samo od koeficijenta prigušenja sistema ξ ,baš kao i izraz za maksimalnu veličinu preskoka sistema drugog reda u vremenskom domenu (5.99). Odnosno, postoji direktna veza između maksimalnog preskoka u vremenskom domenu i rezonantnog vrha u frekventnoj karakteristici. Ova veza se može predstaviti i grafički kao na slici 5.31.
216
� r
8 4
50
MPOS(%)
100
Slika 5.31 Funkcionalna zavisnost
M r = f ( MPOS )
Maksimalan preskok u vremenskom domenu je direktno povezan sa rezonantnim vrhom amplitudno-frekventne karakteristike. Rezonantni vrh u frekventnoj karakteristici se javlja samo ako je ξ < 0.707 . Ako je ξ > 0.707 ne postoji lokalni maksimum u frekventnom domenu, ali postoji preskok u vremenskom domenu 0.707 < ξ < 1 . b) Relacija između vremena smirenja sistema i njegove frekventne karakteristike Sistem automatskog upravljanja se može posmatrati kao niskopropusni (NF) filter. Širina propusnog opsega sistema je opseg frekvencija [0, ωBW ] pri 1 = 0.707 . Frekvencija ωBW se kojim slabljenje ulaznog signala nije veće od 2 definiše kao granična frekvencija gdje je slabljenje sistema tako da važi: M ( jω BW ) M ( j 0)
=
1 2
(5.104)
1 ili ako se pretpostavi da je M ( j 0) = 1 , tada slijedi M ( jωBW ) = odnosno 2 u dB: 20 log M ( jω BW ) = −20 log 2 = −3 dB
(5.105)
rješavanjem jednačine: M ( jω BW ) =
1 2
(5.106) 217
dobije se: ω BW = ω n (1 − 2ξ 2 ) + 4ξ 4 − 4ξ 2 + 2
(5.107)
Kako ωBW sistema raste, tada se bolje reprodukuje ulazni signal na izlazu jer se tada visokofrekventne komponente ulaza manje prigušuju, odnosno sistem ima brži odziv. S obzirom da je vrijeme smirenja tranzijentnog odziva dato sa: Ts =
3 ξω n
(5.108)
i uzimajući u obzir izraz za ωBW , može se zaključiti da postoji direktna veza između vremena smirenja u vremenskom domenu i širine propusnog opsega frekventne karakteristike sistema, tj.:
Ts =
3 ξω BW
(1 − 2ξ 2 ) + 4ξ 4 − 4ξ 2 + 2
(5.109)
Prema tome, postoji eksplicitna veza parametara tranzijentnog odziva sistema drugog reda sa zatvorenom povratnom spregom i parametara frekventne karakteristike sistema sa zatvorenom povratnom spregom. Ova veza se može prikazati kao: G ( jω ) ⇔ M ( jω )( M r , ω BW ) ⇔ y (t )( MPOS , Ts )
(5.110)
5.6.2 Relacija između frekventne karakteristike otvorenog sistema i frekventne karakteristike zatvorenog sistema, konstantni M i N krugovi
Za sistem sa otvorenom povratnom spregom G ( s ) ekvivalentna prenosna funkcija sistema koji se dobija zatvaranjem jedinične povratne sprege je:
M (s) =
G (s) 1 + G ( s)
⇒
M ( jω ) =
S obzirom da se G ( jω ) može napisati u obliku: 218
G ( jω ) 1 + G ( jω )
(5.111)
G ( jω ) = P ( jω ) + jQ( jω )
(5.112)
dalje je: M ( jω ) =
P(ω ) + jQ(ω ) (1 + P (ω )) + jQ(ω )
2
M ( jω ) =
⇒
P 2 (ω ) + Q 2 (ω ) (1 + P (ω )) 2 + Q 2 (ω )
⇒ (5.113)
2
M2 M2 2 P Q + + = ( M 2 − 1) 2 M 2 − 1
(5.114)
Posljednja jednačina predstavlja jednačinu kruga sa koordinatama centra i poluprečnikom: M2 C− 2 , M −1
M 0 , R = 2 M −1
(5.115)
Za različito M dobija se familija tzv. konstantnih M krugova. Im(G) M =1 M = 1.5
M = 0. 7
M=2
M = 0. 5 Re(G)
G( jω)
Slika 5.32 Konstantni M krugovi
Ukoliko bi se preko M krugova (slika 5.32) nacrtao polarni dijagram frekventne funkcije otvorenog sistema G ( jω ) , u svim tačkama presjeka 219
G ( jω ) i odgovarajućeg M kruga je tačka koja predstavlja amplitudu frekventne karakteristike prenosne funkcije zatvorenog sistema tj. M ( jω ) = M . Slično se može analizirati i fazna karakteristika: Φ = arg{M ( jω )} Q(ω ) Q(ω ) Φ = tan −1 − tan −1 ⇒ P (ω ) P(ω ) + 1 Q(ω ) Q(ω ) − P (ω ) P(ω ) + 1 Φ = tan −1 ⇒ Q(ω ) Q(ω ) 1+ ⋅ P (ω ) P(ω ) + 1 Q tan Φ = 2 P + P + Q2
(5.116)
Ako se tan Φ označi sa N dobija se: N= 2
Q ⇒ P + P + Q2 2
(5.117)
2
1 1 N 2 +1 P + + Q − = 2 2N 4N 2
(5.118)
Zadnja jednačina takođe predstavlja jednačinu kruga sa koordinatama centra i poluprečnikom: N 2 +1 1 1 2 , C− , R = 2 2 N 4N 2
(5.119)
Geometrijsko mjesto svih mogućih faza sistema sa zatvorenom povratnom spregom ( arg M ( jω ) ) predstavlja familiju N krugova s različitim Φ . Konstantni N krugovi su dati na slici 5.33.
220
Im(G)
50° 70° Re(G) -70° -50° G( jω)
Slika 5.33 Konstantni N krugovi
Ukoliko bi preko N krugova nacrtali polarni dijagram funkcije otvorenog sistema G ( jω ) , u svim tačkama presjeka G ( jω ) i odgovarajućeg N kruga je tačka koja predstavlja fazu frekventne karakteristike prenosne funkcije zatvorenog sistema, tj. arg M ( jω ) = tan −1 N . Ukoliko bi na jednom dijagramu nacrtali M i N krugove pa preko njih polarni plot G ( jω ) , tada bi presjek G ( jω ) i odgovarajućih M i N krugova potpuno definisao i odredio frekventnu karakteristiku zatvorenog sistema M ( jω ) . Međutim, u praksi je obično potrebno odrediti samo frekvencije ωr i ωBW . Frekvencija ωr predstavlja rezonantnu frekvenciju, a ωBW je granična frekvencija sistema. Postupak određivanja ovih frekvencija je slijedeći: -
Frekvencija ωBW se određuje u tački
presjeka kruga M = 0.707
(tj. M ( jωBW ) = 0.707 ) i polarnog dijagrama G ( jω ) -
Frekvencija ωr se određuje tako da se nacrta najveći M krug koji tangira krivu G ( jω ) (tj. M ( jωr ) = M r = M ). Na osnovu ovog M kruga odredi se ωr u tački tangiranja 221
Ovaj postupak je prikazan na slici 5.34. Im(G) M2
M1
Re(G)
G( jω)
Slika 5.34 Određivanje
ωr i ωBW
Prema tome, parametri frekventne karakteristike sistema sa zatvorenom povratnom spregom koji određuju tranzijentno ponašanje sistema, mogu biti određeni iz frekventne karakteristike otvorenog sistema i M i N krugova, dakle bez potrebe za eksplicitnom konstrukcijom frekventne karakteristike zatvorenog sistema. Ova veza se može prikazati kao: G ( jω ) ⇔ ( M r (ω r ), ω BW ) ⇔ y (t )( MPOS , Ts )
(5.120)
Primjer 5.14 Za sistem sa slike 5.35 procijeniti veličinu preskoka i vrijeme smirenja korištenjem M i N krugova. +-
50 s(s + 3)(s + 6)
Slika 5.35 Tranzijentne karakteristike sistema iz M i N krugova
222
Provodeći prethodno opisan postupak, dobija se polarni dijagram kao na slici 5.36. Im(G) M = 0.707
M=2
Re(G)
G( jω)
Slika 5.36 Polarni dijagram sistema
G ( jω )
Iz tačke presjeka G ( jω ) sa krugom M = 0.707 dobija se frekvencija ωBW = 3.5 [rad / sec]. Takođe, konstruiše se najveći krug M = 1.8 koji tangira polarni dijagram. Iz jednačina (5.103) i (5.109) slijedi: ξ = 0.29 Ts = 4.5 sec
(5.121)
Na osnovu poznatog koeficijenta prigušenja ξ , može se izračunati maksimalni preskok u vremenskom odzivu sistema: −ξπ
MPOS = e
1−ξ 2
⋅100% = 38.6%
(5.122)
223
5.6.3 Relacije između tranzijentnog odziva zatvorenog sistema i frekventne karakteristike otvorenog sistema
a) Relacija između koeficijenta prigušenja zatvorenog sistema i margine stabilnosti po fazi otvorenog sistema Neka je dat sistem drugog reda sa prenosnom funkcijom u otvorenoj sprezi: G (s) =
ω n2 s ( s + 2ξω n )
(5.123)
odnosno u zatvorenoj sprezi: ω n2 M (s) = 2 s + 2ξω n s + ω n2
(5.124)
Margina stabilnosti po fazi se definiše kao:
{
}
Φ m = 180° + arg G ( jω cg )
(5.125)
uz uslov: G ( jω cg ) = 1
(5.126)
gdje je: ωcg - presječna frekvencija pojačanja Amplituda sistema drugog reda G ( jω ) je određena izrazom: G ( jω ) =
ω n2 −ω 2 + j 2ξωω n
(5.127)
što vodi do: G ( jω cg ) = 224
ω n2 −ω cg 2 + j 2ξω cg ⋅ ω n
=1⇒
(5.128)
ω cg = ω n −2ξ 2 + 1 + 4ξ 4
(5.129)
Margina stabilnosti po fazi za ovaj sistem je:
Φ m = 90° − tan −1
−2ξ 2 + 1 + 4ξ 4 2ξ
= tan −1
2ξ 2
−2ξ + 1 + 4ξ
4
(5.130)
Prema tome može se zaključiti da je margina stabilnosti po fazi funkcija od koeficijenta prigušenja ξ : Φ m = f (ξ )
(5.131)
Ova monotono rastuća ovisnost fazne margine od koeficijenta prigušenja sistema je grafički predstavljena na slici 5.37 (gruba linearna aproksimacija ove veze je Φ m = 100ξ ). Φm 80° 60° 40° 20° ξ 0.2
0.4
0.6
Slika 5.37 Funkcionalna ovisnost
0.8
Φ m = f (ξ )
S obzirom, da je maksimalan preskok u vremenskom domenu funkcija koeficijenta prigušenja ξ , to slijedi da je maksimalan preskok u funkciji fazne margine sistema.
225
b) Relacija između vremena smirenja zatvorenog sistema i amplitudno frekventne karakteristike otvorenog sistema Kao što je prethodno rečeno, granična frekvencija propusnog opsega sistema sa zatvorenom povratnom spregom ωBW je definisana kao frekvencija pri kojoj sistem ima slabljenje od 0.707 ili -3 dB, a određena je tačkom presjeka polarnog dijagrama G ( jω ) i M = 0.707 kruga. Dijagram (lokus) M kruga za M = 0.707 u dB, kome odgovara slabljenje od −3 dB sistema sa zatvorenom spregom, ima zavisnosti od faznog ugla kao što je to prikazano na slici 5.38. (dB)
-6 -7 -220° -180° -140° Slika 5.38 Zavisnost lokusa M = 0.707 kruga od faznog ugla
Sa slike se može uočiti da se amplituda lokusa M = 0.707 kruga, u opsegu promjene faznog ugla između −135° i −225° , promijeni samo u opsegu od -6 dB do -7.5 dB, tj. amplituda se u ovom opsegu može dobro aproksimirati konstantom ( npr. -7 dB). Pošto je granična frekvencija ωBW određena tačkom presjeka polarnog dijagrama G ( jω ) i M = 0.707 kruga, te uzimajući u obzir prethodnu analizu, slijedi da je frekvencija ωBW određena tačkom gdje je 20 log G ( jω ) = [−6 dB − 7.5 dB ]. Ova analiza omogućava uspostavljanje veze između propusnog opsega sistema sa zatvorenom povratnom spregom ωBW odnosno vremena smirenja sistema Ts i amplitudno frekventne karakteristike sistema sa otvorenom povratnom spregom. Na osnovu provedene analize može se zaključiti: Propusni opseg sistema sa zatvorenom povratnom spregom ωBW se određuje na onom mjestu gdje je slabljenje sistema sa otvorenom povratnom spregom 20 log G ( jω ) između −6 dB i -7.5 dB, a fazno kašnjenje između −135° i −225° . 226
6. Dizajn regulatora u frekventnom domenu Neka je dat sistem automatskog upravljanja kao na slici 6.1.
R(s)
+-
Gr(s)
Go(s)
Y(s)
Slika 6.1 Opšta struktura sistema automatskog upravljanja
Problem sinteze regulatora se svodi na određivanje strukture i parametara kako bi se postigle zadovoljavajuće performanse sistema.
6.1 Dizajn P regulatora
Sistem automatskog upravljanja sa P regulatorom dat je na slici. R(s)
+-
Kp
Go(s)
Y(s)
Slika 6.2 Sistem upravljanja sa P regulatorom
Algoritam dizajna P regulatora se sastoji iz slijedećih koraka: 1. Nacrtati Bode-ove dijagrame otvorenog sistema za pogodno izabrano K p (npr. K p = K ps = 1 ) 2. Iz specifikacija procenta preskoka ( MPOS ) odrediti potrebnu rezervu stabilnosti po fazi Φ m korištenjem slijedećih formula:
227
−ξπ
MPOS = e
1−ξ
2
MPOS ln 2 100% ⋅100% ⇒ ξ = MPOS π 2 + ln 2 100%
Φ m = tan −1
(6.1)
2ξ (6.2)
−2ξ 2 + 1 + 4ξ 4
3. Naći frekvenciju ωΦm na Bode-ovim dijagramima koja određuje željenu vrijednost rezerve stabilnosti po fazi 4. Podići-spustiti Bode-ovu amplitudnu karakteristiku sistema za potreban iznos AB tako da novodobijena Bode-ova amplitudna karakteristika prolazi kroz 0 dB u ωΦm . Iznos AB (promjena pojačanja K ∆ ) je dodatno potrebno pojačanje koje osigurava željenu rezervu stabilnosti po fazi. Novodobijeno pojačanje je dato sa:
20 log K p = 20 log K ps + 20 log K ∆ ⇒ K p = K ps K ∆ = K ps 10
AB 20
(6.3)
5. Provjeriti simulacijom da su specifikacije zadovoljene
Primjer 6.1 Za sistem dat sa prenosnom funkcijom: G (s) =
1 ( s + 1)( s + 2)( s + 10)
(6.4)
dizajnirati P regulator tako da se postigne: MPOS ≤ 20% . Na osnovu zadatog preskoka slijedi: MPOS ln 2 100% = 0.45 ⇒ ξ= MPOS π 2 + ln 2 100% 2ξ Φ m = tan −1 = 53° 2 4 −2ξ + 1 + 4ξ 228
(6.5)
Primjenom prethodno izloženog algoritma dizajna dobije se parametar regulatora: K p = 75 . Bode-ovi dijagrami sistema sa i bez P regulatora dati su na slici 6.3, a step odziv sistema na slici 6.4.
Slika 6.3 Bode-ovi dijagrami sistema sa i bez P regulatora
Slika 6.4 Step odziv sistema sa P regulatorom
229
6.2 Dizajn PD regulatora
Opšti oblik prenosne funkcije PD regulatora je: GPD ( s ) = K p + K d s
(6.6)
odnosno u drugačijoj formi: K GPD ( s ) = K p d s + 1 = K p (Td s + 1) Kp
(6.7)
Sada se sistem upravljanja može prikazati u obliku kao na slici 6.5.
R(s)
+-
Kp
Tds + 1
Go(s)
Y(s)
Slika 6.5 Sistem upravljanja sa PD regulatorom
Bode-ovi dijagrami W ( s ) = Td s + 1 su već ranije konstruisani i prikazani su na slici 5.9. Kao što je poznato, derivativni član unosi pozitivan fazni pomjeraj, prigušujući time sistem i čineći ga na taj način stabilnijim. Analiza uticaja derivativnog člana W ( jω ) = Td jω + 1 se može izvršiti konstruisanjem Bode-ovih dijagrama objekta Go ( jω ) i W ( jω ) . Uporedni prikaz dijagrama je dat na slici 6.6.
230
20 log Gp ( jω)
log ω
{
}
arg Gp ( jω)
log ω
20 log W( jω)
log ω
arg{W( jω)}
ωd
Slika 6.6 Bode-ovi dijagrami
log ω
Go ( jω ) i W ( jω )
1 , tada će uticaj W ( jω ) na amplitudnu Td karakteristiku Go ( jω )W ( jω ) biti manji u odnosu na uticaj W ( jω ) na faznu karakteristiku Go ( jω )W ( jω ) za frekvencije manje od ω d . Može se zaključiti da ako je ωd =
231
Algoritam dizajna PD regulatora u frekventnom domenu se sastoji iz slijedećih koraka: 1. Iz specifikacija sistema (MPOS i Ts ) odrediti potrebnu marginu stabilnosti po fazi Φ m i potrebni propusni opseg sistema ωBW korištenjem formula: MPOS ln 2 2ξ 100% ξ= ⇒ Φ m = tan −1 MPOS −2ξ 2 + 1 + 4ξ 4 π 2 + ln 2 100% ω BW =
3 Ts ⋅ ξ
(1 − 2ξ )+ 2
4ξ 4 − 4ξ 2 + 2
(6.8)
(6.9)
1 , te nacrtati Bode-ove dijagrame ω BW funkcije G1 ( s ) = K ps (Tds s + 1)Go ( s ) za pogodno izabrano Kps (najčešće jedinica)
2. Izabrati Td takvo da je Td = Tds =
3. Promijeniti pojačanje Kps za potrebno K ∆ tako da Bode-ov amplitudni dijagram prođe kroz -7 dB u tački ω = ωBW , odnosno potrebno je podići (spustiti) amplitudnu karakteristiku za potreban iznos AB. Novodobijeno pojačanje Kp se određuje kao: AB
K p = K ps K ∆ = K ps 10 20
(6.10)
4. Odrediti Φ ms nalaženjem ωΦm pri kojoj novodobijena amplitudna karakteristika postiže 0 dB, te je uporediti s potrebnom rezervom Φ m dobijenom iz specifikacija sistema 5. Formirati razliku: ∆ = Φ m − Φ ms 232
dalje slijedi da potrebni promjenom Tds :
(6.11)
fazni doprinos može biti osiguran
∆ = tan −1 (ω ΦmTd ) − tan −1 (ω ΦmTds )
(6.12)
koji daje novu vrijednost za Td :
Td =
tan ∆ + tan −1 (ω ΦmTds ) ω Φm
(6.13)
6. Sa određenim K p i Td provjeriti analizom Bode-ovih dijagrama i simulacijom da li su specifikacije zadovoljene Primjer 6.2 Za sistem dat sa prenosnom funkcijom: G (s) =
1 ( s + 1)( s + 2)( s + 10)
(6.14)
dizajnirati PD regulator tako da se postigne: MPOS ≤ 20% i Ts ≤ 1.5sec .
Iz specifikacija slijedi : ξ = 0.45 , ωn = 4.4 rad sec , što zahtijeva potrebnu rezervu stabilnosti po fazi od Φ m = 53 deg i propusnu učestanost od ω BW = 5.89 rad/sec . Primjenom prethodno izloženog algoritma dizajna dobija su parametri regulatora: K p = 142 i Td = 0.17 . Bode-ovi dijagrami sistema sa i bez PD regulatora dati su na slici 6.7, a step odziv zatvorenog sistema sa PD regulatorom na slici 6.8.
233
Slika 6.7 Bode-ovi dijagrami sistema sa i bez PD regulatora
Slika 6.8 Step odziv sistema sa PD regulatorom
234
6.3 Dizajn PI regulatora
Opšti oblik prenosne funkcije PI regulatora je: GPI ( s ) = K p +
Ki s
(6.15)
Obično se koristi slijedeća forma regulatora:
GPI ( s ) = K p +
Ki T s +1 = Ki i s s
(6.16)
Sada se sistem upravljanja sa PI regulatorom može prikazati u obliku kao na slici 6.9. D(s)
R(s)
+-
Ki
Ts i +1 s
++
Go(s)
Y(s)
Slika 6.9 Sistem upravljanja sa PI regulatorom.
U cilju analize uticaja PI regulatora konstruisane su Bode-ove karakteristike T jω + 1 . člana W ( jω ) = i jω
235
20 log W( jω)
20 logTi ωi =
1 Ti
log ω
arg{W( jω)}
log ω -90°
Slika 6.10 Bode-ove karakteristike
W ( jω ) =
Ti jω + 1 jω
Kao što se vidi sa slike 6.10 postoje NF (niskofrekventni) domen ( ω < ωi ) i VF (visokofrekventni) domen ( ω > ωi ). U VF domenu faza je praktično jednaka nuli, a amplituda je konstantna i iznosi 20 log Ti , dok u NF domenu imamo veliko amplitudno pojačanje i fazno kašnjenje praktično od −90 deg . Algoritam dizajna PI regulatora se sastoji od slijedećih koraka: 1. Odrediti pojačanje K i = K is prema algoritmu sinteze P regulatora u cilju postizanja željenog preskoka (koeficijenta prigušenja) 2. Izabrati proizvoljno Ti (na primjer 1 ≤ Ti ≤ 100 i što je moguće manje), tako da se sa ubacivanjem člana W ( jω ) značajno ne poremeti ponašanje osigurano u koraku 1 3. Korigovati vrijednost K i = K is koja je nađena u koraku 1 za iznos od 20 log Ti , jer je dodavanjem člana W ( jω ) došlo do podizanja amplitudne karakteristike. Potrebno je izvršiti korekciju na slijedeći način: 20 log K i = 20 log K is − 20 log Ti ⇒ K i =
K is Ti
4. Provjeriti validnost dizajna konstruisanjem Bode-ovih dijagrama i simulacijom datog sistema 236
(6.17)
Primjer 6.3 Za sistem dat sa prenosnom funkcijom: G (s) =
1 ( s + 1)( s + 2)( s + 10)
(6.18)
dizajnirati regulator tako da se postigne: e(t ) = es = 0, pri r = const i d = const . MPOS ≤ 20% i lim t →∞ Primjenom prethodno izloženog algoritma dizajna, dobiju su parametri regulatora: K i = 37.5 i Ti = 2 . Bode-ovi dijagrami sistema sa i bez PI regulatora dati su na slici 6.11, a step odziv zatvorenog sistema na slici 6.12.
Slika 6.11 Bode-ovi dijagrami sistema sa i bez PI regulatora
237
Slika 6.12 Step odziv sistema sa PI regulatorom
6.4 Dizajn PID regulatora
Opšti oblik prenosne funkcije PID regulatora je: GPID ( s ) = K P + K d s +
Ki s
(6.19)
Za dizajn ovog tipa regulatora se obično koristi slijedeća forma:
GPID ( s ) = K i
(Td s + 1)(Ti s + 1) s
gdje su: K i (Td + Ti ) = K p K iTd Ti = K d
238
(6.20)
Ako se označi: GPD ( s ) = K i (Td s + 1) Ti s + 1 s GPID ( s ) = GPD ( s )GPI ( s ) GPI ( s ) =
(6.21)
može se zaključiti da PID regulator predstavlja kaskadno povezane PD i PI regulatore. Dakle opšta struktura sistema upravljanja sa PID regulatorom se može predstaviti kao na slijedećoj slici: D(s)
R(s)
+-
Ki(Tds+1)
Ts i +1 s
++
Go(s)
Y(s)
Slika 6.13 Struktura sistema upravljanja sa PID regulatorom
S obzirom da PD član popravlja tranzijentno ponašanje sistema (srednje frekventno područje) a PI član popravlja ustaljeno ponašanje sistema (niskofrekventno područje) to se oni mogu dizajnirati neovisno jedan od drugog, odnosno sekvencijalno. Algoritam dizajna PID regulatora se može sada formulisati kao: 1. Dizajnirati PD dio regulatora, tj. odrediti parametre K i = K is i Td prema algoritmu za dizajniranje PD regulatora 2. Dizajnirati PI dio regulatora, tj. proizvoljno izabrati parametar Ti (na primjer, 1 < Ti < 100 ) i izvršiti korekciju pojačanja Ki prema izrazu: Ki =
K is Ti
(6.22)
3. Formirati strukturu regulatora u obliku:
239
GPID ( s ) = K i
(Td s + 1)(Ti s + 1) s
(6.23)
4. Analizom Bode-ovih dijagrama dobijenog sistema i simulacijom provjeriti da li su zadovoljene tražene specifikacije Primjer 6.4 Za sistem dat sa prenosnom funkcijom: G (s) =
1 ( s + 1)( s + 2)( s + 10)
(6.23)
dizajnirati regulator tako da se postigne: MPOS ≤ 20% , Ts ≤ 1.5sec i lim e(t ) = es = 0, pri r = const i d = const . t →∞
Primjenom prethodne procedure za dizajn PID regulatora dobiju se parametri: K i = 71, Td = 0.17, Ti = 2
(6.24)
Bode-ovi dijagrami sistema sa i bez PID regulatora dati su na slici 6.14, a step odziv zatvorenog sistema sa PID regulatorom na slici 6.15.
240
Slika 6.14 Bode-ovi dijagrami sistema sa i bez PID regulatora
Slika 6.15 Step odziv sistema sa PID regulatorom
241
Primjer 6.5 Na slici 6.16 su prikazani odzivi sistema sa dizajniranim P, PI, PD i PID regulatorima iz primjera 1, 2, 3, 4.
Slika 6.16 Step odziv sistema sa P, PI, PD, PID regulatorima
242
7. Analiza sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja Generalno, vremenski invarijantni sistem (LTI) se može predstaviti na neki od slijedećih načina:
-
U domenu kompleksne promjenljive s = σ + jω , pomoću Laplaceove transformacije njegovog impulsnog odziva, tj. pomoću prenosne funkcije
-
U frekvencijskom domenu ( s = jω ), pomoću Fourier-ove transformacije njegovog impulsnog odziva, tj. pomoću frekventne karakteristike
-
U vremenskom domenu, tj. pomoću diferencijalne jednačine 7.1 Koncept prostora stanja
Diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema se mogu zapisati na više načina. Standardni način zapisa diferencijalne jednačine je u slijedećoj formi: d n y (t ) f( ,..., y (t ), u (t ), t ) = 0 dt n
(7.1)
Kao što je dobro poznato, linearni vremenski invarijantni sistem se može opisati diferencijalnom jednačinom u obliku:
an
d n y (t ) d n −1 y (t ) d m u (t ) a a y ( t ) b + + + = + + b0 u (t ) n −1 0 m dt n dt n −1 dt m
(7.2)
Bilo koja od prethodnih diferencijalnih jednačina n-tog reda, se može zapisati i u tzv. normalnoj (Cauchey-evoj) formi kao n jednačina prvog reda:
243
dx1 (t ) = f1 ( x1 (t ),..., xn (t ), u (t ), t ) dt dx2 (t ) = f 2 ( x1 (t ),..., xn (t ), u (t ), t ) dt dxn (t ) = f n ( x1 (t ),..., xn (t ), u (t ), t ) dt y (t ) = g ( x1 (t ),..., xn (t ), u (t ), t ) gdje su:
(7.3)
u (t ) - ulaz sistema y (t ) - izlaz sistema T x = [x1 xn ] - vektor stanja sistema, tj. minimalni skup međusobno nezavisnih koordinata xi (i = 1, 2,..., n) koje jednoznačno opisuju evoluciju sistema u vremenu fi (i = 1, 2,..., n), g - funkcije višepromjenljivih Prethodni sistem jednačina se može zapisati i u kompaktnoj vektorskoj formi: x = f ( x, u, t ) y = g ( x, u , t )
gdje su:
(7.4)
x = [x1 xn ] - vektor stanja sistema T
f = [ f1 f n ]T - vektor funkcija Prethodni zapis jednačina u normalnoj formi (7.3) i (7.4) se još naziva i zapis jednačina u prostoru stanja, odnosno model sistema u prostoru stanja (state space model). Ovakav zapis sistema omogućuje slijedeće koristi: 1. Rješavanje jednačina je daleko jednostavnije (lakše je riješiti n jednačina prvog reda nego jednu jednačinu n-tog reda), numeričke metode integracije diferencijalnih jednačina eksplicitno zahtijevaju jednačine u prostoru stanja 244
2. Jednačine u prostoru stanja jednostavno opisuje kako linearne tako i nelinearne sisteme, te multivarijabilne sisteme, odnosno sisteme sa više ulaza i izlaza 3. Teorija optimalnog upravljanja sistemom zahtijeva matematički model sistema u prostoru stanja 4. Model u prostoru stanja je vrlo pogodan za računarske metode analize i sinteze
7.2 Matrične jednačine linearnih vremenski invarijantnih sistema
Linearni vremenski invarijantni sistem, sa jednim ulazom i jednim izlazom, se može opisati u prostoru stanja kao: dx1 (t ) = a11 x1 (t ) + a12 x2 (t ) + + a1n xn (t ) + b1u (t ) dt dx2 (t ) = a21 x1 (t ) + a22 x2 (t ) + + a2 n xn (t ) + b2 u (t ) dt dxn (t ) = an1 x1 (t ) + an 2 x2 (t ) + + ann xn (t ) + bn u (t ) dt
(7.5)
y = c1 x1 (t ) + + cn xn (t ) + Du (t ) Prethodni sistem jednačina se može kompaktno zapisati u matričnoj formi: x1 a11 x a 2 = 21 xn an1 y = [c1
a12 a1n x1 b1 a22 a2 n x2 b2 + u an 2 ann xn bn
c2
x1 x cn ] 2 + [d ]u xn
(7.6)
245
ili u kraćoj formi: x = Ax + Bu y = Cx + Du
(7.7)
x(0) = x0
(7.8)
uz početne uslove:
gdje su:
[A]n x n - matrica sistema [B ]n x1 - vektor ulaza sistema [C ]1x n - vektor izlaza sistema [D ]1x1 - vektor ulaz-izlaz sistema Svaki linearni sistem je jednoznačno određen s matricama A, B, C i D . 7.3 Rješavanje diferencijalnih jednačina u prostoru stanja Diferencijalne jednačine se u opštem slučaju mogu rješavati klasičnim putem ili primjenom neke pogodne transformacije kao što je Laplace-ova transformacija. Homogenu diferencijalnu jednačinu: x = ax , x(0) = x0
(7.9)
je moguće riješiti razdvajanjem promjenljivih: dx dx = ax ⇒ = adt dt x
(7.10)
Rješenje jednačine se dobija jednostavnom integracijom: x = Ce at 246
(7.11)
pri čemu se konstanta C određuje iz početnog uslova: x(0) = x0 , pa se konačno dobija: x(t ) = x(0)eat
(7.12)
Analogno se može riješiti i homogena matrična diferencijalna jednačina: x = Ax , x(0) = x0
(7.13)
Neka je sa Φ (t ) obilježena eksponencijalna matrična forma, tj. matrica e At . Matrica Φ (t ) se definiše kao: ( At ) n ( At ) 2 = I + At + + n! 2! n =0 ∞
Φ (t ) = e At = ∑
(7.14)
gdje je sa I označena jedinična matrica. Sada slijedi: de At d ( At ) 2 ( At ) 2 = I + At + + = A I + At + + = Ae At dt 2! 2! dt
(7.15)
Prema tome, rješenje matrične diferencijalne jednačine x = Ax se dobija u obliku: x(t ) = e At x(0) = Φ (t ) x(0)
(7.16)
Matrica Φ (t ) se naziva matrica prelaza stanja. Matrica prelaza stanja Φ (t ) zadovoljava homogenu matričnu jednačinu (7.17) sa početnim uvjetima jednakim jediničnoj matrici, tj.: d Φ (t ) = AΦ (t ), Φ (0) = I dt
(7.17)
Iz prethodnih jednačina slijede osnovne osobine matrice prelaza stanja: 247
-
Φ (0) = I
-
Φ −1 (t ) = Φ (−t ) , regularna matrica za svako t
-
Φ (t 2 − t 0 ) = Φ (t 2 − t1 )Φ (t1 − t 0 )
-
Φ (t ) k = Φ (kt )
Matrica prelaza stanja se može naći korištenjem Laplace-ove transformacije ili Cayley-Hamilton-ove teoreme. Sistem nehomogenih linearnih diferencijalnih jednačina: x = Ax + Bu , x(0) = x0 y = Cx + Du
(7.18)
u opštem slučaju može biti riješen na dva načina: 1. Rješavanjem metodom varijacije konstanti 2. Rješavanje primjenom Laplace-ove transformacije
7.3.1 Metod varijacije konstanti
U metodi varijacije konstanti, rješenje diferencijalne jednačine se traži u formi: x(t ) = e At f (t )
(7.19)
x (t ) = Ae At f (t ) + e At f (t )
(7.20)
Onda je:
a iz jednačine (7.18) i (7.20) slijedi da: e At f (t ) = Bu (t )
(7.21)
Integriranjem prethodne jednačine dobija se: t
f (t ) = e − At Bu (t ) ⇒ f (t ) − f (0) = ∫ e − Aτ Bu (τ )d τ , f (0) = x(0) 0
248
(7.22)
Zamjenom (7.22) jednačine:
u
(7.19), dobije se traženo rješenje diferencijalne t
x(t ) = e x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )d τ At
(7.23)
0
Ili: t
x(t ) = Φ (t ) x(0) + ∫ Φ (t − τ ) Bu (τ )d τ
(7.24)
0
homogeni dio Φ (t ) x(0) je posljedica uticaja početnih uslova, tj. predstavlja t
prirodni odziv sistema, a partikularni dio ∫ Φ (t − τ ) Bu (τ )dτ predstavlja prinudni 0
odziv sistema, koji je posljedica ulaznog signala.
7.3.2 Primjena Laplace-ove transformacije
Primjenom Laplace-ove transformacije na sistem: x = Ax + Bu , x(0) = x0 y = Cx + Du
(7.25)
dobija se: sX ( s ) − x(0) = AX ( s ) + BU ( s ) ⇒ ( sI − A) X ( s ) = x(0) + BU ( s ) ⇒ X ( s ) = ( sI − A) −1 x(0) + ( sI − A) −1 BU ( s )
(7.26)
1 adj ( sI − A) = Φ ( s ) det( sI − A)
(7.27)
gdje je: ( sI − A) −1 =
Prema tome, dalje se može pisati: X ( s ) = Φ ( s ) x(0) + Φ ( s ) BU ( s )
(7.28)
Φ ( s ) = ( sI − A) −1
(7.29)
gdje:
249
predstavlja Laplace-ovu transformaciju matrice prelaza stanja. Vektor varijabli stanja u vremenskom domenu se dobija nalaženjem inverzne Laplace-ove transformacije od X ( s ) , tj.: x(t ) = L−1{ X ( s )}
(7.30)
Odziv sistema se određuje iz izraza: y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
(7.31)
primjenom Laplace-ove transformacije dobija se : Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )
(7.32)
X ( s ) = Φ ( s ) x(0) + Φ ( s ) BU ( s )
(7.33)
s obzirom da je:
to je: Y ( s ) = C (Φ ( s ) x(0) + Φ ( s ) BU ( s ) ) + DU ( s )
(7.34)
Uz pretpostavku nultih početnih uslova, x(0) = 0 ima se: Y ( s ) = (C Φ ( s ) B + D )U ( s )
(7.35)
Prethodni izraz omogućuje da se lako nađe prenosna funkcija sistema iz modela sistema u prostoru stanja, tj.: Y ( s) = CΦ ( s ) B + D = G ( s ) U ( s)
(7.36)
Primjer 7.1 Naći matricu prelaza stanja, te naći rješenje diferencijalne jednačine date u prostoru stanja sa: 250
1 x1 x1 0 x = −12 −7 x 2 2
(7.37)
uz početne uslove: 1 x(0) = 1
(7.38)
Matrica prelaza stanja se dobija kao: Φ (t ) = L−1 {Φ ( s )}
(7.39)
gdje je Φ ( s ) : s+7 adj ( sI − A) s 2 + 7 s + 12 Φ ( s ) = ( sI − A) −1 = = −12 det( sI − A) 2 s + 7 s + 12
1 s + 7 s + 12 s s 2 + 7 s + 12 2
(7.40)
Odavde je:
( (
−3e−4t + 4e−3t Φ (t ) = L−1 {Φ ( s )}= 12e −4t − 12e−3t
) (−e ) (4e
−4t
−4t
) )
+ e −3t −3t − 3e
(7.41)
i na kraju se dobija: x1 (t ) 1 −4e −4t + 5e −3t ( ) = Φ t x (t ) 1 = −4t −3t 16e − 15e 2
(7.42)
7.4 Transformacije sličnosti
Vektor stanja sistema nije jedinstven. Ova činjenica implicira da postoji beskonačno puno različitih modela sistema u prostoru stanja. Neka je sistem dat modelom u prostoru stanja: 251
x = Ax + Bu y = Cx + Du
(7.43)
x(0) = x0
(7.44)
uz vektor početnih uslova:
Smjenom x = Txˆ , gdje je T bilo koja regularna matrica dobija se: Txˆ = ATxˆ + Bu y = CTxˆ + Du
(7.45)
x = Txˆ ⇒ xˆ = T −1 x
(7.46)
S obzirom da vrijedi:
prethodni sistem se može zapisati u slijedećem obliku: xˆ = T −1 ATxˆ + T −1 Bu y = CTxˆ + Du
(7.47)
uz vektor početnih uslova: xˆ (0) = T −1 x(0)
(7.48)
odnosno: ˆ ˆ + Bu ˆ , xˆ (0) = xˆ xˆ = Ax 0 ˆ ˆ + Du ˆ y = Cx
(7.49)
gdje se transformacije: Aˆ = T −1 AT Bˆ = T −1 B Cˆ = CT Dˆ = D nazivaju transformacije sličnosti. 252
(7.50)
Ove transformacije mogu poslužiti za dovođenje sistema u prostiju formu za svrhe analize. Najprostija forma (ukoliko je moguća) je svakako dijagonalna forma matrice sistema, tj.: λ1 0 Aˆ = 0 λ n n x n
(7.51)
Homogeni dio sistema tada prelazi u oblik: xˆ1 λ1 0 0 xˆ1 xˆ2 0 λ 2 0 xˆ2 = xˆn 0 0 λ n xˆn
(7.52)
odnosno u sistem potpuno nezavisnih jednačina prvog reda: xˆ1 = λ1 xˆ1 xˆ = λ xˆ 2
2 2
xˆn = λ n xˆn
(7.53)
Matrica A se može prevesti u dijagonalnu formu transformacijom sličnosti (modalna transformacija) samo ako ima jednostruke realne svojstvene vrijednosti ili ako je simetrična. U ovom slučaju kolone željene transformacione matrice su sopstveni vektori orginalne matrice sistema A, a elementi na dijagonali matrice Aˆ su sopstvene vrijednosti matrice A . Za opštu formu matrice A, uvijek se može naći transformaciona matrica koja je prevodi, transformacijom sličnosti, u blok dijagonalnu formu [5]. Transformacije sličnosti ne mijenjanju sopstvene vrijednosti matrice sistema i prenosnu funkciju sistema. Drugačije rečeno, sopstvene vrijednosti sistema i njegova prenosna funkcija su invarijantne na transformacije sličnosti. Ovo su vrlo važne i značajne osobine, koje su i očekivane. Naime, transformacija sličnosti ne može promijeniti internu strukturu sistema, odnosno modela sistema. Ovo može biti pokazano jednostavnom manipulacijom determinanti: 253
det( sI − Aˆ ) = det( sI − T −1 AT ) = det(T −1 (sI − A)T ) = det(T −1 ) det( sI − A) det(T ) = det( sI − A)
(7.54)
Takođe invarijantnost prenosnih funkcija može biti pokazana kako slijedi:
(
Gˆ ( s ) = Cˆ sI − Aˆ
) Bˆ + Dˆ = CT (sI − T −1
−1
AT
)
−1
T −1 B + D =
−1
CT T −1 (sI − A)T T −1 B + D = CTT −1 (sI − A) TT −1 B + D = −1
C (sI − A) B + D = G ( s ) −1
(7.55)
7.5 Dobijanje jednačina u prostoru stanja a) Dobijanje jednačina u prostoru stanja direktno iz obične diferencijalne jednačine sistema i) Za sistem opisan diferencijalnom jednačinom: y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) + + a0 y (t ) = u (t )
(7.56)
jednačine u prostoru stanja se dobijaju uvođenjem slijedećih smjena: x1 (t ) = y (t ) x2 (t ) =
dy (t ) = x1 (t ) dt
d n −1 y (t ) = xn −1 (t ) dt n −1 d n y (t ) = − a0 x1 (t ) − a1 x2 (t ) − − an −1 xn (t ) + u (t ) xn (t ) = dt n xn (t ) =
Ovaj sistem jednačina se može predstaviti u matričnoj formi kao:
254
(7.57)
1 0 x1 0 x 0 0 1 2 = xn − a0 − a1 − a2
0 x1 0 0 x2 0 + u − an −1 xn 1
(7.58)
x1 x 2 y = [1 0 0] + [0]u xn Odgovarajuće matrice su: 1 0 0 0 0 1 A= − a0 − a1 − a2
0 0 0 , B = 0 − an −1 1
C = [1 0 0], D = [0]
(7.59)
Primjer 7.2 Za datu diferencijalnu jednačinu naći jednačine u prostoru stanja. d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) + 3 +4 + 2 y (t ) = u (t ) 3 2 dt dt dt
(7.60)
Slijedećim smjenama: x1 = y x2 = x1 = y x3 = x2 = y x3 = y
(7.61)
dobija se matrična jednačina u prostoru stanja:
255
1 0 x1 0 x1 0 x = 0 0 1 x2 + 0 u 2 x3 −2 −4 −3 x3 1 x1 y = [1 0 0] x2 x3
(7.62)
ii) Za sistem opisan običnom diferencijalnom jednačinom: y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) + + a0 y (t ) = b0u (t ) + b1u (1) (t ) + + bmu ( m ) (t ) ( n > m ) (7.63) predstava u prostoru stanja se dobija korištenjem principa superpozicije svojstvenog linearnim sistemima. Posmatra se diferencijalna jednačina: ξ ( n ) (t ) + an −1ξ ( n −1) (t ) + + a0ξ (t ) = u (t )
(7.64)
Na osnovu prethodnih razmatranja (slučaj i) dobija se slijedeća matrična predstava u prostoru stanja: 1 0 x1 0 x 0 0 1 2 = xn − a0 − a1 − a2
0 x1 0 0 x2 0 + u − an −1 xn 1
pri čemu su varijable stanja izabrane na uobičajen način:
256
(7.65)
x1 (t ) = ξ (t ) x2 (t ) = x1 (t ) = ξ (1) (t ) xm (t ) = xm −1 (t ) = ξ ( m −1) (t ) xm +1 (t ) = xm (t ) = ξ ( m ) (t ) xn (t ) = xn −1 (t ) = ξ ( n −1) (t )
(7.66)
Za linearni sistem vrijedi princip superpozicije: L(au1 (t ) + bu2 (t )) = aL(u1 (t )) + bL(u2 (t ))
(7.67)
Prema tome, izlaz sistema (7.63) se može pisati u obliku: y (t ) = b0ξ (t ) + b1ξ (1) + + bmξ ( m) (t )
(7.68)
Zamjenom derivacija ξ (t ) sa izabranim varijablama stanja dobija se: y (t ) = b0 x1 (t ) + b1 x2 (t ) + + bm xm +1 (t )
(7.69)
odnosno u matričnoj formi:
y (t ) = [b0 bm
Primjer 7.3
x1 xm +1 0 0] xm + 2 xn
(7.70)
Za datu običnu diferencijalnu jednačinu napisati ekvivalentne jednačine u prostoru stanja: y (3) (t ) + y (2) (t ) + y (1) (t ) + 6 y (t ) = 3u (t ) + 4u (1) (t )
(7.71) 257
Zadata diferencijalna jednačina se može, prema prethodnom razmatranju, zamijeniti slijedećim jednačinama: ξ (3) (t ) + ξ (2) (t ) + ξ (1) (t ) + 6ξ (t ) = u (t )
(7.72)
y (t ) = 3ξ (t ) + 4ξ (1) (t )
(7.73)
Promjenljive stanja se biraju kao: x1 (t ) = ξ (t ) x2 (t ) = x1 (t ) = ξ (1) (t ) x3 (t ) = x2 (t ) = ξ (2) (t )
(7.74)
Odavde je: x3 (t ) = ξ (3) (t ) = u (t ) − x3 − x2 − 6 x1
(7.75)
Konačno, matrična jednačina u prostoru stanja je: x1 0 1 0 x1 0 x = 0 0 1 x + 0 u 2 2 x3 −6 −1 −1 x3 1
(7.76)
x1 y = [3 4 0] x2 x3 iii) Za sistem opisan sa diferencijalnom jednačinom: y ( n ) (t ) + an−1 y ( n−1) (t ) + + a0 y (t ) = u (t ) + b1u (1) (t ) + + bnu ( n ) (t )
(7.77)
analogno, kao i u prethodnom slučaju data diferencijalna jednačina se može zamijeniti slijedećim jednačinama: ξ ( n ) (t ) + an −1ξ ( n −1) (t ) + + a0ξ (t ) = u (t ) 258
(7.78)
y (t ) = bnξ ( n ) (t ) + bn −1ξ ( n −1) (t ) + + b0ξ (t )
(7.79)
Uvođenjem promjenljivih stanja: x1 (t ) = ξ (t ) x2 (t ) = x1 (t ) = ξ (1) (t ) xn (t ) = xn −1 (t ) = ξ ( n −1) (t )
(7.80)
odavde se može pisati: xn (t ) = u (t ) − a0 x1 (t ) − − an −1 xn (t )
(7.81)
y = b0 x1 + + bn −1 xn + bn xn = b0 x1 + + bn −1 xn + bn [u (t ) − a0 x1 − − an −1 xn ] Sređivanjem se dobija: y (t ) = (b0 − bn a0 ) x1 (t ) + + (bn −1 − bn an −1 ) xn (t ) + bnu (t )
(7.82)
Sada se prethodni sistem jednačina može zapisati u matričnoj formi: 1 0 x1 0 x 0 0 1 2 = xn − a0 − a1 − a2
0 x1 0 0 x2 0 + u − an −1 xn 1
(7.83)
x1 x 2 y = [(b0 − bn a0 ) (b1 − bn a1 ) (bn −1 − bn an −1 ) ] + [bn ]u xn U opštem slučaju, obična nelinearna diferencijalna jednačina oblika: f ( y ( n ) (t ),..., y (t ), u (t ), t ) = 0
(7.84)
može biti prevedena u jednačine u prostoru stanja, ako se može eksplicitno riješiti 259
po najvišem izvodu, tj. ako se može prevesti u oblik: y ( n ) (t ) = g ( y ( n −1) (t ),..., u (t ), t )
(7.85)
Odavde, jednostavne smjene: x1 (t ) = y (t ) x2 (t ) = x1 (t ) = y (1) (t ) (7.86)
xn (t ) = xn −1 (t ) = y ( n −1) (t ) prevode jednačinu u prostor stanja.
b) Dobijanje jednačina u prostoru stanja iz simulacionih dijagrama Simulacioni dijagram je način predstavljanja prenosne funkcije sistema, sa ciljem nalaženja odziva sistema korištenjem računarskih mašina, bilo analognih ili digitalnih. Simulacioni dijagram se konstruiše (programira) iz različitih simulacionih elemenata: Osnovni simulacioni elementi su: - - - -
Integrator Sumator Pojačavač Nelinearni elementi (zasićenje, relej, histereza i sl.)
U simulacionim dijagramima se koriste slijedeći grafički simboli za osnovne simulacione elemente: Simbol
Jednačina y (t ) =
t
∫
x(τ )d τ
Naziv Integrator
−∞ n
y = ∑ xi
Sumator
y = Kx
Pojačalo
i =1
260
Dobijanje jednačina sistema u prostoru stanja, iz simulacionih dijagrama može biti izvršeno na više načina, u zavisnosti od načina programiranja prenosne funkcije, pri čemu imamo: - - -
Direktno programiranje funkcije prenosa Paralelno programiranje funkcije prenosa Serijsko programiranje funkcije prenosa
Neka je prenosna funkcija sistema u s domenu data kao: G (s) =
Y ( s) Q( s) = U ( s) P( s)
(7.87)
Različiti načini programiranja prenosne funkcije, koriste različite forme zapisa prenosne funkcije.
i) Direktno programiranje prenosne funkcije – kontrolabilna kanonska forma
Direktno programiranje koristi prenosnu funkciju sistema u formi G ( s) =
Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + + b0 = n U (s) s + an −1s n −1 + + a0
(7.88)
Prenosna funkcija se može transformisati na slijedeći način:
G (s) =
b s m + + b0 Y (s) Y (s) V (s) V (s) Y (s) 1 = ⋅ = ⋅ = n ⋅ m (7.89) U ( s ) U ( s ) V ( s ) U ( s ) V ( s ) s + + a0 1
Odavde je: ( s n + an −1s n −1 + + a0 )V ( s ) = U ( s ) (bm s m + bm −1s m −1 + + b0 )V ( s ) = Y ( s )
(7.90)
ili u vremenskom domenu: v ( n ) (t ) + an −1v ( n −1) (t ) + + a0 v(t ) = u (t ) bm v ( m ) (t ) + bm −1v ( m −1) (t ) + + b0 v(t ) = y (t )
(7.91) 261
Kompletan simulacioni dijagram sistema G ( s ) , izveden pomoću direktnog programiranja funkcije prenosa za najopštiji slučaj (n = m) dat je na slici 7.1.
+ + +
bn
+
u
. xn
Σ +
+
+
xn
y
b0
bn-1
1 s
Σ
1 s
xn-1
...
1 s
x1
-an-1 -an-2
...
-a0
Slika 7.1 Simulacioni dijagram dobijen direktnim programiranjem prenosne funkcije – kontrolabilna kanonska forma
Ako se kao promjenljive stanja izaberu izlazi iz integratora dobije se matrična jednačina: 1 0 x1 0 x 0 0 1 2 = xn − a0 − a1 − a2
0 x1 0 0 x2 0 + u − an xn 1
(7.92)
x1 x 2 y = [(b0 − bn a0 ) (b1 − bn a1 ) (bn −1 − bn an −1 ) ]⋅ + [bn ]u xn Ovakva forma matrica A i B se naziva kontrolabilna kanonska forma sistema. 262
ii) Direktno programiranja prenosne funkcije – observabilna kanonska forma
I ova tehnika direktnog programiranja koristi prenosnu funkciju sistema u formi: G ( s) =
Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + + b0 = n U (s) s + an −1s n −1 + + a0
(7.93)
Dalje se može pisati: Y ( s )( s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 ) = U ( s )(bn s n + bn−1s n−1 + + b1s + b0 ) (7.94) te riješiti po Y(s): Y (s) = −
1 s
n
(an−1s n−1 + + a1s + a0 )Y ( s ) +
1 s
n
U ( s )(bn s n + bn−1s n−1 + + b1s + b0 )
odnosno: 1 1 1 1 Y ( s ) = − an−1Y ( s ) − 2 an− 2Y ( s ) − − n−1 a1Y ( s ) − n a0Y ( s ) + s s s s 1 1 1 1 bnU ( s ) + bn−1U ( s ) + 2 bn− 2U ( s ) + + n−1 b1U ( s ) + n b0U ( s ) s s s s
(7.95)
(7.96)
Ova relacija može biti implementirana korištenjem simulacionog dijagrama koji se sastoji od n integratora u kaskadi, i dopuštajući da odgovarajući signali prođu kroz određeni broj integratora. Odgovarajući simulacioni dijagram prikazan je na slici 7.2.
263
u(t)
b0
b1
. X1
+ +
-a0
1/s
bn-1
. X2
x1 + +
+
1/s
x2
...
. Xn-1
1/s
Xn-1
+ +
-a1
+
bn
.
xn
1/s
xn
+
+
y(t)
-an-1
Slika 7.2 Simulacioni dijagram dobijen direktnim programiranjem prenosne funkcije – observabilna kanonska forma
Uzimajući za varijable stanja izlaze iz integratora i uočavajući veze između varijabli stanja i izlaza sistema, iz gornje slike se dobija: y (t ) = xn (t ) + bnu (t ) .
x1 (t ) = − a0 y (t ) + b0u (t ) = − a0 xn (t ) + (b0 − a0bn )u (t ) .
x 2 (t ) = − a0 y (t ) + b1u (t ) + x1 (t ) = x1 (t ) − a1 xn (t ) + (b1 − a1bn )u (t ) .
x3 (t ) = − a0 y (t ) + b2u (t ) + x2 (t ) = x2 (t ) − a2 xn (t ) + (b2 − a2bn )u (t ) .
x n (t ) = − an−1 y (t ) + bn−1u (t ) + xn−1 (t ) = xn−1 (t ) − an−1 xn (t ) + (bn−1 − an−1bn )u (t ) (7.97) Odnosno, matrična forma jednačina u prostoru stanja se dobija kao:
264
0 1 . 0 x(t ) = 0 0
0 0 − a0 b0 − a0bn b −ab 0 0 − a1 1 1 n b2 − a2bn 1 0 0 − a2 x(t ) + u (t ) 0 1 0 0 − an− 2 0 0 1 − an−1 bn−1 − an−1bn (7.98) y (t ) = [0 0 1]x(t ) + bn u (t )
Ovakva forma matrica A i C se naziva observabilna kanonska forma sistema.
iii) Paralelno programiranje prenosne funkcije– jednostruki polovi
Paralelno programiranje funkcije prenosa, koristi prenosnu funkciju u formi njenog razvoja u zbir parcijalnih razlomaka, što za slučaj jednostrukih realnih polova daje: G (s) =
n Ki Q( s) Q( s) = =∑ P( s ) ( s − p1 ) ( s − pn ) i =1 s − pi
(7.99)
Kompletan simulacioni dijagram se dobija paralelnim vezivanjem pojedinih simulacionih elemenata. +
Σ
. x1 1 s
+ . . .
K1
p1
+
u
x1
Σ
+
. xi
1 s
. . .
xi
Ki
+
Σ
+
. xn 1 s
+
Σ
+
pi
. . .
+
y
. . .
xn
Kn
pn
Slika 7.3 Simulacioni dijagram dobijen paralelnim programiranjem – modalna kanonska forma
265
Izborom za koordinate stanja, izlaze iz integratora dobija se: x1 = p1 x1 + u x2 = p2 x2 + u xn = pn xn + u y = K1 x1 + K 2 x2 + + K n xn
(7.100)
ili u matričnoj formi: x1 p1 x 0 2 = xn 0
y = [K1
0 p2 0
K2
0 x1 1 0 x2 1 + u pn xn 1
(7.101)
x1 x 2 K n ] xn
ovakva forma sistema u prostoru stanja (matrica A je dijagonalna) se naziva modalna kanonska forma sistema. U slučaju da pored jednostrukih realnih postoje i jednostruki konjugovanokompleksni polovi, tada se jednostruki polovi implementiraju kao u prethodnom slučaju, dok se prenosne funkcije drugog reda koje odgovaraju konjugovanokompleksnim polovima, implementiraju direktnim programiranjem i paralelno dodaju simulacionom dijagramu.
iiii) Paralelno programiranje prenosne funkcije– višestruki polovi
Kada prenosna funkcija ima višestruke realne polove, onda nije moguće da se sistem predstavi u modalnoj kanonskoj formi (dijagonalna matrica sistema). Na primjer, neka je realni pol p1 višestrukosti r, a ostali polovi su realni i jednostruki , tj.:
266
Y (s) N ( s) = r U ( s ) ( s − p1 ) ( s − pr +1 ) ( s − pn )
(7.102)
Razvoj u parcijalne razlomke daje: k k k12 k1r k Y (s) = 11 + ++ + r +1 + + n 2 r U ( s ) s − p1 ( s − p1 ) s − pr +1 s − pn ( s − p1 )
(7.103)
Simulacioni dijagram za ovaj sistem prikazan je na slici 7.4. k11 k1r-1
.
xr
+ +
1/s
...
p1
u(t)
x2 +
+
x2 + 1/s + +
p1
.
x1
1/s
x1
k1r
+ +
+ +
Σ
y(t)
+
p1
.
.
xr+1
+
.
xr
+
1/s
xr+1
kr+1
pr+1 + +
.
xn
1/s
xn
kn
pn
Slika 7.4 Simulacioni dijagram dobijen paralelnim programiranjem – Jordan-ova kanonska forma
Uzimanjem za varijable stanja izlaze iz integratora, dobija se matrična forma jednačina u prostoru stanja:
267
p1 0 0 0 A= 0 0 0 0
1 0 0 p1 1 0 0 0 1 0 0 p1 1 0 0 p1 1 0 p1 0 0
0 B = [0
C = [k1r
0 0 0 0
0
pr +1
0
0
0
0 0
pr + 2
0 0 0 0 pn
0
(7.104)
0 0 1 1 1]
T
k1r −1 k12
k11
kr +1
kr + 2 kn ], D = 0
Ova forma sistema u prostoru stanja, je poznata kao Jordan-ova kanonska forma. U slučaju kompleksno-konjugovanih polova, sistem drugog reda koji odgovara kompleksno-konjugovanom paru polova, se implementira direktnim programiranjem i dodaje u paralelu sa ostatkom sistema.
iiiii) Serijsko programiranje funkcije prenosa
Serijsko programiranje funkcije prenosa koristi formu: G (s) =
Q( s) K = P( s ) ( s − p1 ) ( s − pi ) ( s − pn )
(7.105)
pri čemu se pretpostavljaju realni polovi. Prenosna funkcija sistema se može zapisati u obliku: G (s) = Element 268
K 1 1 ( s − p1 ) ( s − pi ) ( s − pn )
(7.106)
X (s) 1 = se može prikazati simulacionim dijagramom kao: U ( s ) s − pi
X (s) 1 = ⇒ ( s − pi ) x( s ) = U ( s ) ⇒ x (t ) − pi x(t ) = u (t ) U ( s ) s − pi
(7.107)
odavde se dobija: x (t ) = pi x(t ) + u (t )
(7.108)
Koristeći standardne simulacione elemente, simulacioni dijagram prethodne jednačine je dat na slici 7.5.
+
u
Σ
. x
+
1 s
x
pi
Slika 7.5 Simulacioni dijagram elementa
1 s − pi
Kompletan simulacioni dijagram predstavlja kaskadnu vezu ovakvih elemenata:
K
+
Σ
+
. xn 1
s
Pn
xn
+ . . .
u
Σ
+
. x1 1 s
x1
y
P1
Slika 7.6 Simulacioni dijagram sistema dobijen serijskim programiranjem
Ako se kao koordinate stanja izaberu izlazi integratora iz simulacionog dijagrama, dolazi se do jednačina u prostoru stanja:
269
x1 p1 x 0 2 = xn 0
1 0 p2 1 0 0
0 x1 0 0 x2 0 + u pn xn K
(7.109)
x1 x 2 y = [1 0 0] + [0]u xn U slučaju konjugovano-komplesnih polova, sistem drugog reda koji odgovara konjugovan-kompleksnom paru polova, se implementira direktnim programiranjem i dodaje u seriju sa ostatkom sistema.
7.6 Analiza stabilnosti dinamičkih sistema u prostoru stanja
Analiza stabilnosti sistema u prostoru stanja se provodi za sistem bez ulaznog pobudnog signala, tj. samo uz dejstvo početnih uslova. Već ranije je pokazano da je rješenje diferencijalne jednačine: x = Ax
(7.110)
x(0) = x0
(7.111)
x(t ) = Φ (t ) x0 = e At x0
(7.112)
uz početne uslove:
dato preko matrice prelaza stanja:
Za linearni vremenski invarijantni sistem (LTI) se uvode slijedeće definicije: a) LTI sistem, dat u prostoru stanja sa jednačinom x = Ax uz početne uslove x(0) = x0 , kaže se da je asimptotski stabilan ako za modul vektora stanja vrijedi: 270
lim x(t ) = 0
(7.113)
t →∞
Ovaj slučaj je grafički predstavljen na slici 7.7. x3
x0 x2
x1
Slika 7.7 Asimptotski stabilan sistem
b) Za sistem se kaže da je marginalno stabilan ako je: lim x(t ) ≤ M , t →∞
0< M <∞
(7.114)
ovaj slučaj je grafički predstavljen na slici 7.8. x3
x0 x2
x1 Slika 7.8 Marginalno stabilan sistem
271
c) Sistem je nestabilan ako je: lim x(t ) = M = ∞
(7.115)
t →∞
x3
x0
x2
x1 Slika 7.9 Nestabilan sistem
S obzirom da je: x(t ) = Φ (t ) x(0)
(7.116)
to se može zaključiti da stabilnost sistema određuje matrica prelaza stanja: Φ (t ) = e At = L−1{( sI − A) −1}
(7.117)
Laplace-ova transformacija matrice prelaza stanja je:
Φ ( s ) = ( sI − A) −1 =
1 adj ( sI − A) det( sI − A)
(7.118)
odnosno u opštem obliku: G11 ( s ) G1n ( s ) 1 Φ(s) = det( sI − A) Gn1 ( s ) Gnn ( s ) Analizirajući Φ ( s ) može se pisati:
272
(7.119)
X ( s ) = Φ ( s ) x(0) G11 ( s ) G1n ( s ) x1 (0) 1 X (s) = det( sI − A) Gn1 ( s ) Gnn ( s ) xn (0) n
X i (s) =
∑ G (s) x (0) j =1
ij
j
det( sI − A) −1
xi (t ) = L
{X i (s)}
(7.120)
Jednačina: Ax = λ x
(7.121)
definiše sopstvene vektore i sopstvene vrijednosti matrice A. Dalje se može pisati: λ x − Ax = 0 (λ I − A) x = 0
7.122)
te su sopstvene vrijednosti matrice određene uslovom: det(λ I − A) = 0
(7.123)
Izraz det(λ I − A) je polinom n-tog reda. Sada se iz (7.120) dobija: n
X i (s) =
∑ G (s) x (0) j =1
ij
j
( s − λ1 )( s − λ 2 ) ( s − λ n )
(7.124)
gdje su sa λi ( i = 1, 2,..., n ) obilježene sopstvene vrijednosti matrice A. Za sistem zadat u prostoru stanja:
273
x = Ax + Bu
y = Cx
(7.125)
prenosna funkcija sistema se može odrediti kao: Y (s) = C ( sI − A) −1 B ⇒ U (s) G (s) =
(7.126)
Cadj ( sI − A) B Cadj ( sI − A) B = det( sI − A) ( s − λ1 )( s − λ 2 ) ( s − λ n )
Na osnovu prethodnih izlaganja, prenosna funkcija sistema se zapisuje kao: G (s) =
Q( s) Q( s) = P( s ) ( s − p1 )( s − p2 ) ( s − pn )
(7.127)
Prema tome, može se zaključiti da su polovi prenosne funkcije sistema jednaki sopstvenim vrijednostima matrice sistema A. Za koordinate stanja (7.124) se može pisati: xi (t ) =
j =n
∑ Cij e
λ jt
(7.128)
j =1
Odakle se može zaključiti slijedeće: lim x(t ) = lim
∑x
lim x(t ) = ∞ ,
ko je bilo koji λi >0
t →∞
t →∞
t →∞
i
2
= 0 , ako je svako λi < 0 (7.129)
lim x(t ) = M , ako je neki λk = 0 , a svi ostali λi < 0, i ≠ k t →∞
Na osnovu ovoga vrijedi: a) Sistem dat u prostoru stanja sa x = Ax je asimptotski stabilan, ako sve sopstvene vrijednosti matrice sistema A imaju negativne realne dijelove (nalaze se u lijevoj polovini s - ravni) 274
b) Sistem je marginalno stabilan ako matrica A ima neke jednostruke sopstvene vrijednosti sa nultim realnim dijelom, a sve ostale sopstvene vrijednosti imaju negativne realne dijelove c) Sistem je nestabilan ako ima bar jednu sopstvenu vrijednost sa pozitivnim realnim dijelom ili bar jednu višestruku sopstvenu vrijednosti sa nultim realnim dijelom
7.7 Teorija stabilnosti Lyapunov-a
Prema teoriji Lyapunov-a [10], moguće je dokazati asimptotsku stabilnost tačke ekvilibrijuma (koordinatnog početka) sistema (linearnog i nelinearnog) ako se može naći neka funkcija V (x) (x-vektor stanja sistema) takva da je: V ( x) > 0, x ≠ 0 i V (0) = 0, x = 0
(7.130)
te ako je moguće pokazati da je: dV ( x) ∂V ( x) dx = <0 dt ∂x dt
(7.131)
Ukoliko su prethodni uvjeti zadovoljeni funkcija V (x) se naziva funkcija Lyapunov-a. Na slici 7.10 je prikazano kretanje sistema (fazna trajektorija) u prostoru stanja za slučaj asimptotski stabilnog sistema: x3
x0 x2
x1 Slika 7.10 Asimptotski stabilan sistem
275
Vidi se da fazna trajektorija sistema konvergira prema koordinatnom početku, tj. za dovoljno velik interval vremena praktično se zaustavi u koordinatnom početku. Prema tome, intuitivno je jasno, da potencijalni kandidat za funkciju Lyapunov-a može biti energetska funkcija, tj. funkcija od kvadrata modula vektora stanja (po analogiji sa kinetičkom energijom) . Ako se za linearan sistem x = Ax , formira kvadratna forma, tada je kandidat za funkciju Lyapunov-a: V ( x) = xT Px
(7.132)
te se ima: dV ( x) ∂V ( x) dx = = x T Px + xT Px = AT xT Px + xT PAx = xT AT Px + PAx dt ∂x dt T T = x A P + PA x
(
(
)
)
(7.133) T
gdje je P = P > 0 , simetrična i pozitivno definitna matrica. Prema tome, da bi uslov asimptotske stabilnosti bio ispunjen, tj.: dV ( x) <0 dt
34)
slijedi da matrica: AT P + PA = −Q
(7.135)
mora biti negativno definitna, odnosno matrica Q mora biti pozitivno definitna. Teorema stabilnosti LTI sistema se može formulisati i na slijedeći način: LTI sistem x = Ax je asimptotski stabilan, ako i samo ako, za bilo koju simetričnu i pozitivno definitnu matricu Q (Q = QT > 0) postoji jedinstveno rješenje matrične jednačine Lyapunov-a AT P + PA = −Q po P , tako da je P = P T > 0 , tj. simetrična i pozitivno definitna matrica. Praktičan i veliki značaj teorije stabilnosti po Lyapunov-u leži u otvaranju mogućnosti direktnog ispitivanja stabilnosti opšte klase nelinearnih sistema. 276
7.8 Kontrolabilnost (upravljivost) i observabilnost (osmotrivost) sistema
Neka je sistem dat u prostoru stanja: x = Ax + Bu , x(0) = x0 y = Cx
(7.136)
Provjera kontrolabilnosti (upravljivosti) sistema daje krucijalni odgovor na pitanje, da li je uopšte moguće upravljati nekim sistemom. Kaže se da je sistem kontrolabilan, ako ga je moguće prevesti iz bilo kojeg početnog stanja x(0) = x0 u bilo koje drugo konačno krajnje stanje x f (t f ) , za konačno vrijeme t f pod dejstvom konačnog ulaza u (t ) . x3
u2 (t) x0
x(t f )
u1 (t)
x2
x1 Slika 7.11 Kontrolabilnost sistema
Linearni vremenski invarijantni sistem je kontrolabilan ako matrica kontrolabilnosti C: C = B
AB
A2 B An −1 B
(7.137)
ima rang n (n je red sistema) [5]. Za sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom (SISO), uslov rang C = n je ekvivalentan uslovu det C ≠ 0 (matrica C je regularna matrica). 277
Provjera observabilnosti (osmotrivosti) sistema daje odgovor na pitanje, da li je moguće, samo na bazi mjerenja izlaza sistema y (t ) , rekonstruisati kompletan vektor stanja x(t ) . Drugačije rečeno, daje odgovor na pitanje, da li su svi interni modovi sistema vidljivi u izlazu sistema. Za sistem dat u prostoru stanja se može pisati: y (0) = Cx(0) dy (0) d ( x(0)) =C = CAx(0) dt dt d 2 y (0) d 2 ( x(0)) = = CA2 x(0) C dt 2 dt 2 d n −1 y (0) d n −1 ( x(0)) = = CAn −1 x(0) dt n −1 dt n −1
(7.138)
ili u matričnoj formi: y (0) dy (0) C x1 (0) dt CA x (0) d 2 y (0) 2 2 = CA x3 (0) 2 dt n −1 CAn −1 xn (0) d y (0) dt n −1
(7.139)
C CA se naziva matrica observabilnosti. Prethodni sistem Matrica O = n −1 CA linearnih jednačina ima jedinstveno rješenje po nepoznatom vektoru stanja ukoliko je matrica O regularna, odnosno moguće je sračunati vektor stanja sistema samo na bazi mjerenja izlaza sistema. 278
Općenito, za sistem se kaže da je observabilan ako matrica O ima rang n [5]. Za sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom (SISO) ovaj uslov je ekvivalentan uslovu det O ≠ 0 (matrica O je regularna matrica). Sistem dat sa prenosnom funkcijom je observabilan i kontrolabilan ukoliko nema zajedničkih polova i nula u prenosnoj funkciji sistema.
279
8. Dizajn regulatora u prostoru stanja Općenito, problem sinteze upravljanja u prostoru stanja se klasificira u dva problema: a) Problem regulacije (stabilizacije) b) Problem praćenja (slijeđenja)
8.1 Problem regulacije - regulator sa postavljanjem polova u prostoru stanja
Za sistem dat u prostoru stanja sa: x = Ax + Bu , x(0) = x0
y = Cx
(8.1)
problem regulatora se formuliše kao: Potrebno je naći upravljački signal u = f ( x) , odnosno upravljanje u funkciji vektora stanja koje na željeni način otklanja poremećaj tipa početnih uslova. Izabere se najjednostavnije moguće upravljanje u formi linearne kombinacije koordinata vektora stanja: u = −K T x
(8.2)
odnosno u razvijenoj formi: u = − K x = − [k1 T
gdje su:
x1 kn ] = − k1 x1 − − kn xn xn
(8.3)
K T - vektor statičkih pojačanja, dimenzija 1 x n x
- vektor stanja sistema, dimenzija n x 1 281
Sada se može pisati: u = −K T x
x = Ax + Bu ,
(
(8.4)
)
x = Ax − BK T x = A − BK T x
(8.5) Dinamika sistema sa zatvorenom povratnom spregom je određena matricom A − BK T . Ovo je tzv. regulator sa postavljanjem polova (pole placement state feedback controller) u prostoru stanja, jer se odgovarajućim izborom vektora pojačanja K , mogu postaviti svi polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom u željene lokacije. Drugačije rečeno, mogu se postići željene lokacije sopstvenih vrijednosti matrice zatvorenog sistema. Neka je sistem dat u kontrolabilnoj kanonskoj formi: x1 0 x 0 2 = xn − a0
1 0
0 1
− a1
− a2
0 x1 0 0 x2 0 + u − an −1 xn 1
(8.6)
y = Cx Prenosna funkcija ovog sistema je: G ( s) =
Q( s) s + an −1s n −1 + + a0 n
(8.7)
a karakteristični polinom sistema: P( s ) = s n + an −1s n −1 + + a0
(8.8)
Upravljanje u = − K T x , u stvari predstavlja povratnu spregu po stanju, pomoću koje se svi polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom mogu smjestiti u željene lokacije: Pd ( s ) = ( s − λ1 )( s − λ 2 ) ( s − λ n ) = s n + an −1s n −1 + + a0 gdje su λi (i = 1, 2,..., n) željeni polovi. 282
(8.9)
Dalje je: x1 0 x 0 2= x n − a0
1 0
0 1
− a1
− a2
0 x1 0 x1 0 x2 0 − [k k ] ⇒ n 1 x n − an −1 xn 1 (8.10)
0 1 0 x1 x 0 0 1 2 = xn −(a0 + k1 ) −(a1 + k2 ) −(a2 + k3 )
x1 x 2 −(an −1 + kn ) xn
0 0
Karakteristični polinom sistema sa zatvorenom povratnom spregom je: Pf ( s ) = s n + (an −1 + kn ) s n −1 + + (a0 + k1 )
(8.11)
a željeni karakteristični polinom sistema sa zatvorenom spregom je: Pd ( s ) = ( s − λ1 )( s − λ 2 ) ( s − λ n ) = s n + and−1s n −1 + + a0d
(8.12)
Izjednačavanjem koeficijenata uz iste stepene ova dva polinoma, dobija se sistem jednačina: and−1 = an −1 + kn and− 2 = an − 2 + kn −1 a0d = a0 + k1
(8.13)
čije rješenje daje vektor pojačanja regulatora: kn = and−1 − an −1 kn −1 = and− 2 − an − 2 k1 = a0d − a0
(8.14)
283
Struktura regulatora sa postavljanjem polova u prostoru stanja je prikazana na slici 8.1.
+
+
B
1 s
+
x
C
y
A u
-KT
x
Slika 8.1 Regulator sa postavljanjem polova (pole placement) u prostoru stanja
Kako je prethodno pokazano, vektor nepoznatih pojačanja regulatora sa postavljanjem polova, se nalazi vrlo jednostavno za sistem dat u kontrolabilnoj kanonskoj formi (8.14). Vektor pojačanja K regulatora, za opštu formu sistema tj. za proizvoljne matrice sistema A i B, se može odrediti pomoću tzv. Ackermannove formule [9]:
gdje su:
K = [0 0 1]Pc−1q ( A)
(8.15)
Pc = B AB An −1 B - matrica kontrolabilnosti sistema Pd ( s ) = ( s − λ1 )( s − λ 2 ) ( s − λ n ) = s n + and−1s n −1 + + a0d - željeni karakteristični polinom sistema q ( A) = An + and−1 An −1 + + a0d I - matrični polinom izveden iz karakterističnog polinoma Primjer 8.1 Za nestabilni sistem dat sa: x1 0 1 x1 0 x = −2 3 x + 1 u 2 2
284
x1 y = [1 0] x2
(8.16)
dizajnirati linearni regulator sa povratnom spregom po vektoru stanja, tako da sistem sa zatvorenom povratnom spregom ima dvostruki pol u − 1 . Primjenom prethodne procedure dolazi se do vektora pojačanja regulatora: K = [−1 5]
T
(8.17)
i linearnog zakona upravljanja: x1 u = − K T x = − [−1 5] = x1 − 5 x2 x2
(8.18)
koji daje sistem sa zatvorenom povratnom spregom: x1 0 1 x1 0 0 1 x1 x = −2 3 x − 1 ( x1 − 5 x2 ) = −1 −2 x 2 2 2
(8.19)
Odziv sistema sa povratnom spregom (8.19) na poremećaj tipa početnih uslova T x(0) = [1 1] dat je na slici 8.2.
Slika 8.2 Odziv sistema sa regulatorom na poremećaj tipa početnih uslova
285
8.2 Izbor lokacije polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom po stanju
Prvi korak pri dizajnu regulatora sa postavljanjem polova je odluka o lokacijama polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom. Kod izbora lokacije polova, uvijek je korisno da se ima na umu da je amplituda upravljačkog signala direktno povezana sa stepenom pomicanja polova sistema sa otvorenom povratnom spregom u polove sistema sa zatvorenom povratnom spregom. Stoga, filozofija postavljanja polova koja teži da ukloni nepoželjne aspekte odziva sistema sa otvorenom povratnom spregom i izbjegava preveliko povećanje širine propusnog opsega sistema, će tipično zahtijevati manja pojačanja u povratnoj sprezi (manju amplitudu upravljačkog signala) nego filozofija koja proizvoljno izabire sve polove bez obzira na originalne lokacije polova sa otvorenom povratnom spregom. U nastavku se razmatraju dvije tehnike koje pomažu u procesu selekcije polova. Prva tehnika, pristup baziran na dominantnim polovima drugog reda, i druga tehnika, pristup baziran na prototipu sistema. Obadvije tehnike su bez eksplicitnog razmatranja potrebne amplitude upravljačkog signala. U narednim poglavljima će biti predstavljene metode koje eksplicitno uzimaju u obzir potreban upravljački napor (optimalno upravljanje – linearni kvadratni regulator). Odziv koji odgovara prenosnoj funkciji drugog reda sa konjugovanokompleksnim polovima, prirodne učestanosti ω n i koeficijenta prigušenja ξ je diskutovan u prethodnim poglavljima. Preskok i vrijeme smirenja sistema se mogu ocijeniti direktno iz lokacije polova. Znači, mogu se izabrati polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom, kao željeni par dominantnih polova, a ostali polovi se mogu izabrati tako da imaju realne dijelove koji odgovaraju dovoljno prigušenim modovima. Ovo implicira da će sistem aproksimirati odziv sistema drugog reda sa umjerenim upravljačkim naporom. Na primjer, sistemi sa nekoliko brzih slabo prigušenih vibracijskih modova plus dva niskofrekventna moda upravo podržavaju ovaj pristup. Ovdje se mogu izabrati niskofrekventni modovi da se postigne željena vrijednosti za ω n i ξ i izabere se ostatak polova tako da se uveća prigušenje visokofrekventnih modova, dok se njihova prirodna frekvencija zadržava konstantnom da bi se minimizirao upravljački napor. Drugi pristup izboru lokacija polova sistema je baziran na odabiru željenog ponašanja sistema u skladu sa poznatim ponašanjem, tzv. prototip sistemom, 1 tj. G pro ( s ) = . Postoji nekoliko skupova prototip sistema, od kojih su Ppro ( s ) 286
ITAE i Bessel-ovi prototip sistemi (filteri) najčešće korišteni. Skup prototipa tranzijentnih odziva sistema (za graničnu frekvenciju propusnog opsega od ω 0 = 1 rad/sec), Bessel-ovih prototipa i onih koji minimiziraju ITAE kriterij dati su u narednim tabelama: Red sistema
Lokacije nula Ppro(s), za ω 0 = 1 rad/sec
1 2 3 4 5 6
s+1 s+0.7071 ± 0.7071j (s+0.7081)(s+0.5210 ± 1.068j) (s+0.4240 ± 1.2630j) (s+0.626 0 ± 0.4141j) (s+0.8955)(s+0.3764 ± 1.2920j)(s+0.5758 ± 0.5339j) (s+0.3099 ± 1.2634j)(s+0.5805 ± 0.7828j)(s+0.7346 ± 0.2873j) Tabela 8.1 Skup Bessel-ovih prototipa tranzijentnih odziva sistema (za graničnu frekvenciju ω 0 = 1 rad/sec)
Red sistema
Lokacije nula Ppro(s), za ω 0 = 1 rad/sec
1 2 3 4 5 6
s+1 s+0.8660 ± 0.5000j (s+0.9420)(s+0.7455 ± 0.7112j) (s+0.6573 ± 0.8302j)(s+0.5906 ± 0.9072j)(s+0.8516 ± 0.4427j) (s+0.9264)(s+0.5906 ± 0.9072j)(s+0.8516 ± 0.4427j) (s+0.5385 ± 0.9617)(s+0.7998 ± 0.5622j)(s+0.9093 ± 0.1856j) Tabela 8.2 Skup ITAE prototipa tranzijentnih odziva sistema (za graničnu frekvenciju ω 0 = 1 rad/sec)
Lokacije polova za druge vrijednosti granične frekvencije ω 0 mogu biti dobijene zamjenom s sa s/ ω 0 . Step odzivi ITAE i Bessel prototipa su dati na slikama 8.3 i 8.4.
287
1.2 1.0 k=1
Izlaz y
0.8
2
3
4
0.6
5
6
0.4 0.2
0
2
4
6
8
10
12
Vrijeme (sec)
Slika 8.3 Step odziv ITAE prototip sistema različitog reda
1.2 1.0 k=1
Izlaz y
0.8
2
0.6
3
4
5
6
0.4 0.2
0
2
4
6
8
10
12
Vrijeme (sec)
Slika 8.4 Step odzivi Bessel prototip sistema različitog reda
Primjećuje se da polovi u određenom prototip sistemu, imaju slične prirodne frekvencije. Dakle, direktna primjena dizajna baziranog na prototipu sistema koji imaju veliku razliku u frekvencijama polova sa otvorenom spregom (širok spektar modova), će zahtijevati da neki polovi budu premješteni daleko, 288
vjerovatno rezultirajući u prekomjernom upravljačkom naporu (amplitudi upravljačkog signala). U ovom slučaju, alternativan pristup bi bio u korištenju prototipa za niskofrekventne modove i jednostavno dodavanje prigušenja za visokofrekventne modove.
8.3 Problem praćenja
Za sistem dat u prostoru stanja: x = Ax + Bu x(0) = x0
y = Cx
(8.20)
problem praćenja se formuliše kao: Izvršiti sintezu regulatora u prostoru stanja tako da sistem sa zatvorenom povratnom spregom prati referentnu ulaznu vrijednost sa nultom greškom u stacionarnom stanju i željenim tranzijentnim odzivom. Pretpostavimo, da je potrebno pratiti step referentnu vrijednost (tj. r = const , r = 0 ) sa nultom greškom u ustaljenom stanju i željenim tranzijentnim odzivom. Neka je data greška praćenja:
e=r−y
(8.21)
odnosno njen izvod: e = r − y = 0 − y = −Cx
(8.22)
Sada se može formirati prošireni spregnuti dinamički sistem: x = Ax + Bu e = −Cx
(8.23)
Prošireni dinamički sistem se može zapisati u prostoru stanja pomoću slijedećih koraka: x = Ax + Bu e = −Cx
(8.24) 289
Uvođenjem novih promjenljivih z i w kao: z = x ,
w = u
(8.25)
sistem jednačina dobija novi oblik: z = Az + Bw e = −Cz
(8.26)
ili u matričnoj formi: e 0 −C e 0 z = 0 A z + B w
(8.27)
Ako je prošireni sistem kontrolabilan, tada se prema prethodno izloženoj proceduri dizajna regulatora sa povratnom spregom po vektoru stanja, može odrediti linearno upravljanje: e w = − K T = − ke z
e K sT = − ke e − K sT z z
(8.28)
koje će obezbijediti asimptotsku stabilnost proširenog sistema, odnosno praćenje referentnog ulaza sa nultom greškom u ustaljenom stanju i željenim tranzijentnim ponašanjem. Uzimajući u obzira da je w = u , to slijedi da je: u = ∫ wdt = − ke ∫ edt − K sT x
(8.29)
Ulazni signal sistema se sastoji od dvije komponente, komponente povratne sprege po greški praćenja i komponente povratne sprege po vektoru stanja. Struktura regulatora za asimptotsko praćenje step referentne vrijednosti je data na slici 8.5.
290
r
+
-ke
-
1 s
+
u
+
B
+
1 s
+
x
C
y
A
-KsT
x
Slika 8.5 Struktura regulatora za praćenje step referentne vrijednosti
Kao što je jasno i očekivano iz prethodnih izlaganja, regulator uključuje integral greške (pol u nuli) u cilju potpunog eliminisanja greške u ustaljenom stanju na step referentnu vrijednost, te povratnu spregu po vektoru stanja u cilju stabilizacije odnosno osiguranja potrebnog tranzijentnog odziva sistema (8.29). Primjer 8.2 Za nestabilni sistem dat sa: x1 0 1 x1 0 x = −2 3 x + 1 u 2 2
(8.30)
x1 y = [1 0] x2 dizajnirati linearni regulator sa povratnom spregom po vektoru stanja, tako da sistem prati step referentnu vrijednost sa nultom greškom u stacionarnom stanju, te osigurava tranzijentno ponašanje sa vremenom smirenja Ts ≤ 2.5 sec i bez preskoka. Primjenom prethodne procedure, uz osiguranje željenog tranzijentnog ponašanja sa lokacijom trostrukog pola zatvorenog sistema u -2 ( Ts ≈ 5τ = 5 / p ), dolazi se do vektora pojačanja regulatora: K = [−8 10 9]
T
(8.31)
i linearnog zakona upravljanja:
291
edt ∫ T u = − K x1 = 8∫ edt − 10 x1 − 9 x2 x2
(8.32)
Odziv sistema sa regulatorom dat je na slici 8.6.
Slika 8.6 Praćenje step referentne vrijednosti
8.4 Princip internog (unutrašnjeg) modela
Slika 8.5 pokazuje da regulator sadrži interni model referentne vrijednosti (integrator). Općenito, u ovom poglavlju će biti pokazano da, u cilju postizanja perfektnog praćenja referentne vrijednosti u ustaljenom stanju, regulator mora sadržavati interni model referentne vrijednosti. Široka klasa referentnih vrijednosti (step, rampa, parabola, sinus, itd.) može biti generisana kao rješenje homogene linearne diferencijalne jednačine date sa: 292
r (l ) + fl −1r (l −1) + fl − 2 r (l − 2) + + f 0 r = 0, r (0), r (1) (0), , r (l −1) (0) − dato (8.33)
ili u prostoru stanja: xr = Ar xr , xr (0) − dato r = [1 0 0]xr
(8.34)
Postavlja se problem dizajna regulatora sa povratnom spregom po stanju, koji će osigurati perfektno asimptotsko praćenje referentne vrijednosti date kao rješenje jednačine (8.33). Neka je dat sistem: x = Ax + Bu , x(0) = x0
y = Cx
(8.35)
Greška praćenja i njeni izvodi su: e=r−y e = r − Cx e(l ) = r (l ) − Cx (l )
(8.36)
Jednostavnom manipulacijom prethodnih jednačina dolazimo do:
e(l ) + fl −1e(l −1) + fl − 2 e(l − 2) + + f 0 e = r (l ) + fl −1r (l −1) + fl − 2 r (l − 2) + + f 0 r − Cx (l ) − fl −1Cx (l −1) − − f 0Cx
(8.37)
što uz korištenje (8.33) daje: e(l ) + fl −1e(l −1) + fl − 2 e(l − 2) + + f 0 e = −Cx (l ) − fl −1Cx (l −1) − − f 0Cx
(8.38)
Odnosno u prostoru stanja:
293
ξ1 0 ξ2 0 = ξ − f 0 l
1 0 0 1 − f1 − f 2
0 ξ1 0 0 ξ2 0 − C x (l ) + f x (l −1) + + f x l −1 0 − fl −1 ξl 1
(
)
(8.39)
Iz jednačine sistema (8.35) se može pisati: f 0 x = Af 0 x + Bf 0u f1 x = Af1 x + Bf1u x
( l +1)
= Ax (l ) + Bu ( l )
(8.40)
Zbrajanjem prethodnih jednačina dolazimo do: x (l +1) + fl −1 x (l ) + + f 0 x = A( x (l ) + fl −1 x ( l −1) + + f 0 x) + B(u (l ) + fl −1u ( l −1) + + f 0u )
(8.41)
Te uvođenjem smjene: z = x (l ) + fl −1 x ( l −1) + + f 0 x i
w = u (l ) + fl −1u ( l −1) + + f 0u
(8.42)
dobijamo: z = Az + Bw
(8.43)
Prethodna jednačina (8.43) i jednačina (8.39) predstavljaju prošireni spregnuti dinamički sistem dat sa: 0 ξ = Ar ξ − Cz 1 (8.44) z = Az + Bw ili u kompaktnoj matričnoj formi: 294
ξ Ar = z 0
0 − C ξ 0 + w 1 z B A
(8.45)
Ako je prethodni prošireni sistem kontrolabilan, tada se prema prethodno izloženoj proceduri dizajna regulatora sa povratnom spregom po vektoru stanja, može odrediti linearno upravljanje: ξ w = − K T = − K eT z
ξ K sT = − K eT ξ − K sT z z
(8.46)
koje će obezbijediti asimptotsku stabilnost proširenog sistema (8.45), odnosno praćenje referentnog ulaza sa nultom greškom u ustaljenom stanju i željenim tranzijentnim ponašanjem. Uzimajući u obzira da je (8.42): w = u (l ) + fl −1u ( l −1) + + f 0u
(8.47)
1 s − K eT l −1 s u ( s) = l e( s ) − K eT x s + fl −1s + + f 0 s
(8.48)
to slijedi:
Ulazni signal sistema se sastoji od dvije komponente, komponente povratne sprege po greški praćenja i komponente povratne sprege po vektoru stanja. Komponenta povratne sprege po greški praćenja uključuje interni model 1 referentne vrijednosti l . s + fl −1s + + f 0 s Prethodna razmatranja principa internog modela za perfektno praćenje referentne vrijednosti u ustaljenom stanju, takođe važe i za perfektno eliminisanja dejstva smetnje u ustaljenom stanju. Regulator će potpuno otkloniti dejstvo vanjske smetnje u stacionarnom stanju ukoliko uključuje interni model smetnje. 295
8.5 Estimator (observer) vektora stanja sistema
Iz prethodnog izlaganja se vidi da je za dizajn regulatora u prostoru stanja potrebno poznavati koordinate vektora stanja sistema. Međutim, u praksi nisu sve varijable vektora stanja uvijek dostupne mjerenju, odnosno iz raznih razloga se ne mogu mjeriti, pa ih je stoga neophodno na neki način procijeniti (estimirati). Najčešće je u praksi raspoloživo samo mjerenje izlaza sistema, a ne vektora stanja sistema. Koordinate vektora stanja je moguće odrediti (procijeniti), samo na osnovu mjerenja izlaza sistema, pod uslovom da je sistem observabilan. Ovu procjenu vektora stanja izvode vještački konstruisani dinamički sistemi nazvani estimatori ili observeri vektora stanja sistema. Neka je dat sistem u prostoru stanja: x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) , x(0) = x0 y (t ) = Cx(t )
(8.49)
Ako se procjena koordinata vektora stanja označi sa xˆ , onda je jednačina observera (estimatora) stanja data sa: xˆ (t ) = Axˆ (t ) + Bu (t ) + F ( y (t ) − yˆ (t ), xˆ (0) = xˆ0 yˆ (t ) = Cxˆ (t ) gdje su: xˆ - estimacija vektora stanja yˆ - estimacija izlaza sistema y - mjerenje izlaza sistema F - vektor pojačanja estimatora stanja
(8.50)
Greška procjene vektora stanja je: e(t ) = x(t ) − xˆ (t )
(8.51)
e(t ) = x (t ) − xˆ (t )
(8.52)
Odavde je:
296
Zamjenama: x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) xˆ (t ) = Axˆ (t ) + Bu (t ) + F ( y (t ) − yˆ (t )
(8.53)
u prethodnu jednačinu (8.52), te jednostavnim sređivanjem dobija se: e(t ) = x (t ) − xˆ (t ) e(t ) = Ae(t ) − FCe(t ) e(t ) = ( A − FC )e(t ), e(0) = x(0) − xˆ (0)
(8.54)
Prethodna jednačina predstavlja dinamički model greške estimacije. Cilj dizajna estimatora je da učini da ova greška isčezne sa željenim tranzijentnim ponašanjem. Drugačije rečeno, problem dizajna estimatora se svodi na određivanje takvog vektora pojačanja estimatora F , tako da greška estimacije konvergira ka nuli C ) ima željene sa željenim tranzijentnim karakteristikama (tj. matrica (A − F sopstvene vrijednosti). Neka je: L = A − FC ⇒ LT = AT − C T F T
(8.55)
Uzimajući u obzir da su sopstvene vrijednosti matrice jednake sopstvenim vrijednostima njene transponovane matrice, onda se iz prethodnih jednačina (8.54) i (8.55) da zaključiti, da je problem određivanja nepoznatog vektora pojačanja estimatora F u matrici A − F C sa ciljem postizanja željenih sopstvenih vrijednosti matrice, ekvivalentan određivanju F u matrici AT − C T F T sa istim T T T ciljem. Problem određivanja vektora F u matrici A − C F , je identičan problemu nalaženja vektora pojačanja povratne sprege pri sintezi regulatora sa postavljanjem polova. Dakle, može se primijeniti Ackermann-ova formula za određivanje vektora F , tj.:
( )
F = [0 0 1] PoT
gdje su: PoT = C T sistema
AT C T
(A )
T n −1
−1
q ( AT )
(8.56)
C T - transponovana matrica observabilnosti
Pd ( s ) = ( s − λ1 )( s − λ 2 ) ( s − λ n ) = s n + and−1s n −1 + + a0d - željeni karakteristični polinom estimatora 297
( ) + a (A )
q ( AT ) = AT
n
d n −1
T n −1
+ + a0d I - matrični polinom izveden iz
karakterističnog polinoma Pri dizajnu estimatora važno je izabrati odgovarajuće lokacije polova estimatora (sopstvene vrijednosti matrice sistema greške estimacije). I u ovom slučaju nužan je kompromis, tj. balans između brzine konvergencije greške estimacije (polovi sa što većim negativnim realnim dijelom, širok propusni opseg estimatora) i filtriranja mjernog dominantno visoko-frekventnog šuma (uži propusni opseg estimatora). Uobičajena preporuka je da se izaberu realni polovi estimatora, tako da su njihove apsolutne vrijednosti 5-10 puta veće od apsolutnih vrijednosti realnih dijelova polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom.
8.6 Estimator (observer) vektora stanja i vanjske smetnje
Prethodno je pokazan način dizajna asimptotskog perfektnog estimatora vektora stanja uz pretpostavku djelovanja smetnje tipa početnih uslova. Pored dejstva smetnje tipa početnih uslova, na sistem često djeluju i nepoznate persistentne smetnje (step, sinus, itd.). U ovom slučaju, u cilju asimptotske perfektne estimacije vektora stanja, potrebno je asimptotski estimirati i nepoznatu smetnju. Pored nužnosti estimiranja smetnje, radi dobijanja tačne estimacije vektora stanja, estimirana vrijednost smetnje može biti korištenja za njeno direktno eliminisanje. Neka je dat sistem sa dejstvom vanjske smetnje w(t ) : x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + Bw(t ), x(0) = x0 y (t ) = Cx(t )
(8.57)
i neka je w(t ) dato kao rješenje homogene linearne jednačine: w(l ) + fl −1w(l −1) + fl − 2 w(l − 2) + + f 0 w = 0, w(0), w(1) (0), , w(l −1) (0) − dato (8.58) ili u prostoru stanja: xr = Ar xr , xr (0) − dato w = [1 0 0]xr 298
(8.59)
Formirajmo prošireni sistem: Ar 0 xr 0 xr x = B 1 0 0 A x + B u ] [ x y = [0 C ] r x
(8.60)
ili u kompaktnom zapisu: z = Lz + Gu y = Hz
(8.61)
Ukoliko je prethodni sistem observabilan (par matrica (L, H ) je observabilan), može se dizajnirati estimator koji će estimirati vektor stanja i vanjsku smetnju u formi: (8.62) zˆ = Lzˆ + Gu + F ( y − yˆ )
8.7 Princip separacije
U najčešćem broju slučajeva, regulatori u prostoru stanja imaju na raspolaganju, umjesto direktno izmjerenog vektora stanja, estimirani vektor stanja iz estimatora. Upravljačka struktura regulator-estimator data je na slici 8.7.
u
T
-K
y=Cx
sistem
F
model sistema x^ ~ =x
e
+ -
^ ^ y=Cx
Slika 8.7 Upravljačka struktura regulator-estimator
299
Vrlo je važno istaći da struktura regulator-estimator zadržava polove sistema sa zatvorenom povratnom spregom, koji bi se postigli sa perfektnom povratnom spregom po stanju (direktnim mjerenjem vektora stanja). Sistem sa perfektnom povratnom spregom po stanju ima upravljački signal dat sa u = − K T x , što rezultira u dinamici sistema:
(
)
x = A − BK T x
(
(8.63)
)
tako da su sopstvene vrijednosti matrice A − BK T polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom. U slučaju strukture regulator-estimator, stvarni upravljački signal je: u = − K T xˆ = − K T ( x − e) = − K T x + K T e
(8.64)
što uz korištenje jednačina (8.54) i (8.64) daje dinamički sistem: x A − BK T = 0 e
BK T x A − FC e
(8.65)
Matrica sistema u (8.65), je gornja blok trougaona matrica, čije sopstvene vrijednosti su date kao unija sopstvenih vrijednosti dijagonalnih blokova, tj. kao unija spostvenih vrijednosti od matrice A − BK T i matrice (A − FC ). Sopstvene vrijednosti prve matrice su polovi zatvorenog sistema sa perfektnom povratnom spregom, dok sopstvene vrijednosti druge matrice su polovi estimatora.
(
)
Koordinate stanja u prethodnom sistemu (8.65) tj. [x e] , mogu biti transformisane transformacijom sličnosti u koordinate stanja strukture regulatorestimator [x xˆ ]T : T
x I e = I
0 x x =T − I xˆ xˆ
(8.66)
Ova transformacija vodi do dinamičkog modela sistema zatvorenog preko strukture regulator-estimator koji je dat sa: T x −1 A − BK = T 0 xˆ
300
BK T x T A − FC xˆ
(8.67)
Uzimajući u obzir činjenicu da transformacije sličnosti ne mijenjaju sopstvene vrijednosti matrice sistema, to slijedi da i upravljanje sa zatvorenom povratnom spregom preko strukture regulator-estimator, rezultira u sistemu čiji su polovi unija polova perfektne povratne sprege i polova estimatora. Ova važna činjenica se naziva princip separacije (separation principle). Princip separacije omogućuje neovisan dizajn perfektnog regulatora i estimatora stanja, pri čemu sistem, zatvoren sa strukturom regulator-estimator, zadržava neovisno dizajniranu dinamiku regulatora i estimatora. Primjer 8.3 Za sistem dat sa: x1 0 1 x1 0 x = −2 3 x + 1 u 2 2
(8.68)
x1 y = [1 0] x2 dizajnirati linearni regulator sa povratnom spregom po vektoru stanja korištenjem estimatora stanja, tako da sistem prati step referentnu vrijednost sa nultom greškom u stacionarnom stanju, te osigurava tranzijentno ponašanje sa vremenom smirenja Ts ≤ 2.5 sec i bez preskoka. Primjenom procedure dizajna regulatora, uz osiguranje željenog tranzijentnog ponašanja sa lokacijom trostrukog pola zatvorenog sistema u -2, dolazi se do vektora pojačanja regulatora: K = [−8 10 9]
T
(8.69)
i linearnog zakona upravljanja: edt ∫ T u = − K x1 = 8∫ edt − 10 x1 − 9 x2 x2
(8.70)
301
Primjenom procedure dizajna estimatora stanja, uz poštovanje preporuke izbora realnih polova estimatora koji su 5-10 puta veći od realnih dijelova polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom, dolazi se do dvostrukog pola estimatora u -10, što daje vektor pojačanja estimatora: F = [23 167 ]
T
(8.71)
Step odziv sistema sa regulatorom i estimatorom vektora stanja (početni uvjeti T T sistema i estimatora su x(0) = [0.2 0.2] , xˆ (0) = [0 0] ) dat je na slici 8.8.
Slika 8.8 Step odziv sistema sa estimiranim vektorom stanja, sa i bez poremećaja tipa početnih uslova
Greške estimacije koordinata vektora stanja date su na slici 8.9.
302
Slika 8.9 Greške estimacije koordinata vektora stanja
8.8 Optimalni regulator u prostoru stanja
Pored prethodno predstavljenog pristupa pri dizajnu regulatora, tj. traženje regulatora koji će osigurati željeno tranzijentno i ustaljeno ponašanje sistema sa zatvorenom povratnom spregom, moguće je pri dizajnu regulatora tražiti regulator koji će osigurati ispunjenje različitih ciljeva (kriterija). Naime, prethodni metod dizajna regulatora sa postavljanjem polova zatvorenog sistema, eksplicitno uopšte ne uzima u obzir potreban upravljački napor (amplitudu upravljačkog signala) za postizanje željanih lokacija polova zatvorenog sistema. Ovaj problem se rješava višestrukim redizajnom (trial and error) regulatora do postizanja zadovoljavajućeg kompromisa između ostvarenih specifikacija i potrebnog upravljačkog napora. Drugi pristup rješavanju ovog problema, tj. eksplicitnom nalaženju odgovarajućeg balansa između kontradiktornih zahtjeva višeg kvaliteta upravljanja i manjeg upravljačkog napora, može biti realizovan kroz stroge tehnike matematičke optimizacije. Ove tehnike traže regulator koji minimizira (maksimizira) odgovarajući integralni kriterij performanse sistema 303
automatskog upravljanja. Kriterij performanse se formira tako da uključi potrebne zahtjeve na sistem. Ovako dizajnirani regulatori se nazivaju optimalni regulatori [19], [21], [27].
8.8.1 Optimalni linearni deterministički regulator
Neka je dat linearni sistem: .
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ), x(0) = x0
(8.72)
Potrebno je naći optimalni upravljački signal u (t ) koji vodi sistem prema koordinatnom početku, tj. naći u (t ) koje minimizira integralni kvadratni kriterij performanse sistema dat sa: 1 t1 min J = ∫ xT (t ) R1 x(t ) + u T (t ) R2u (t ) dt , R1 ≥ 0, R2 > 0 u (t ) 2 0
(8.73)
Kvadratni kriterij performanse je sasvim logičan. Prvi član u podintegralnoj funkciji je kvadratna forma odstupanja vektora stanja sistema od koordinatnog početka, i njen integral predstavlja mjeru kvaliteta regulacije, dok je drugi član kvadratna forma upravljačkog signala, i njen integral predstavlja utrošenu upravljačku energiju. Minimizacija kriterija nalazi balans između utrošene upravljačke energije i kvaliteta regulacije. Drugačije rečeno, sistem se vodi što brže prema koordinatnom početku dok se minimizira utrošena energija. Težinske matrice R1 ≥ 0, R2 > 0 u kriteriju, predstavljaju dizajnerske parametre za postizanje potrebnog nivoa kompromisa (balansa) između kvaliteta regulacije i utroška energije. Prethodno postavljeni optimizacioni problem, tj. problem mimimizacije funkcionala, može biti riješen varijacionim računom ili dinamičkim programiranjem [21], [24], [27]. Interesantno je pomenuti, da rješenje navedenog problema optimizacije daje optimalno rješenje u formi upravljanja sa otvorenom povratnom spregom, tj. nalazi optimalno u (t ) u funkciji vremena, ali što je još značajnije nalazi optimalno upravljanje i u formi upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom, tj. optimalno upravljanje je funkcija od vektora stanja sistema u (t ) = f ( x, t ) . Čak šta više, upravljanje sa zatvorenom povratnom spregom po stanju je linearno upravljanje po vektoru stanja [27], tj. optimalno upravljanje koje minimizira kvadratni kriterij performanse je dato sa: 304
u (t ) = − K opt (t )T x(t )
(8.74)
i naziva se optimalni linearni deterministički regulator. Optimalni vektor pojačanja (vremenski promjenljiva pojačanja) regulatora dat je sa: K (t )Topt = R2−1 BT P (t )
(8.75)
gdje je P(t ) simetrično, pozitivno definitno rješenje matrične diferencijalne Riccati-jeve jednačine: .
− P(t ) = AT P (t ) + P (t ) A + R1 − P (t ) BR2−1 BT P (t ), P (t f ) = 0
(8.76)
U slučaju beskonačnog intervala optimizacije kriterija (8.73), to jest za t f → ∞ , diferencijalna matrična Riccati-jeva jednačina postaje algebarska matrična Riccati-jeva jednačina: 0 = AT P + PA + R1 − PBR2−1 BT P
(8.77)
Ako je originalni sistem kontrolabilan i observabilan (ili samo detektabilan i stabilizabilan), tada postoji jedinstveno simetrično, pozitivno definitno (semidefinitno) rješenje prethodne Riccati-jeve jednačine ([25], [13], [14], [31], [33], [34], [35]) tako da optimalni linearni zakon upravljanja postaje: u (t ) = − K opt T x(t )
(8.78)
Optimalni vektor pojačanja regulatora (konstantna pojačanja) je: K opt T = R2−1BT P
(8.79)
što daje asimptotski stabilan sistem sa zatvorenom povratnom spregom: .
x(t ) = ( A − BR2−1 BT P) x(t ), x(0) = x0
(8.80) 305
Optimalna (minimalna) vrijednost kriterija performanse data je sa: J=
1 T x0 Px0 2
(8.81)
8.8.2 Optimalni Kalman-ov filter (optimalni estimator stanja)
Neka se posmatra linearni kontinualni stohastički sistem dat sa: .
x(t ) = Ax(t ) + Gw(t ) , E {x(0)}= x0 , Var {x (0)}= Q0
(8.82)
y (t ) = Cx(t ) + v(t ) gdje su: w(t ) - procesni šum (Gaussian-ov bijeli šum), sa stohastičkim karakteristikama E {w(t )} = 0 , Var {w(t )} = W v(t ) - mjerni šum (Gaussian-ov bijeli šum, nekoreliran sa w(t ) ), sa stohastičkim karakteristikama E {v(t )} = 0 , Var {v(t )} = V Pošto je sistem ometan sa bijelim šumom, varijable prostora stanja su takođe stohastičke varijable (procesi). Pod pretpostavkom da su procesni i mjerni šum, Gaussian-ovi stohastički bijeli procesi, onda su takođe i varijable stanja Gaussian-ovi stohastički procesi. Dakle, varijable stanja su stohastički procesi koji su potpuno okarakterisani srednjim vrijednostima i varijansama. Sada se može postaviti problem optimalnog Kalman-ovog filtriranja kao: Naći estimator stanja prethodno datog stohastičkog sistema na bazi mjerenja izlaza sistema y (t ) , koji nalazi optimalnu procjenu x vektora stanja x . Optimalna procjena vektora stanja je ona procjena koja minimizira varijansu greške estimacije: e(t ) = x(t ) − x(t )
(8.83)
Rješenje ovog problema estimacije, poznato kao Kalman-ov filter [17], [27] je dato sa: xˆ (t ) = Axˆ (t ) + Fopt ( y (t ) − Cxˆ (t )) 306
(8.84)
gdje je optimalan vektor pojačanja (vremenski promjenljiv) dat sa: Fopt (t ) = Q(t )C T V −1
(8.85)
a gdje Q(t ) predstavlja minimalnu varijansu greške estimacije, a dato je kao rješenje matrične diferencijalne Riccati-jeve jednačine: .
Q(t ) = AQ(t ) + Q (t ) AT + GWGT − Q(t )C T V −1CQ (t ), Q (0) = Q0
(8.86)
Nakon dostizanja stacionarnog stanja, diferencijalna matrična Riccati-jeva jednačina, postaje algebarska matrična Riccati-jeva jednačina: AQ + QAT + GWGT − QC T V −1CQ = 0
(8.87)
tako da optimalno Kalman-ovo pojačanje postaje konstantno, u stacionarnom radu filtra, te je dato sa: Fopt = QC T V −1
(8.88)
Treba naravno primijetiti da u slučaju kada postoji poznat (mjerljiv) ulaz u sistem, odnosno postoji ulaz u modelu sistema u prostoru stanja, Kalman-ov filter mora biti pogonjen istim ulazom kao i originalni sistem, tj. Kalman-ov filter je tada dat sa: xˆ (t ) = Axˆ (t ) + Bu (t ) + Fopt ( y (t ) − Cxˆ (t ))
(8.89)
8.8.3 Optimalni linearni stohastički regulator
U problemu optimalnog upravljanja (regulacije) linearnog stohastičkog sistema (8.82), definiše se slijedeći stohastički kriterij performanse: 1 min J = min E lim u (t ) u (t ) t f →∞ t f
tf
xT (t ) R1 x(t ) + uT (t ) R2u (t ) dt , R1 ≥ 0, R2 > 0 (8.90) ∫ 0
Cilj je naći optimalnu vrijednost za u (t ) , tako da se kriterij performanse minimizira duž trajektorija dinamičkog sistema. Rješenje gornjeg problema 307
je znatno pojednostavljeno primjenom principa separacije. Princip separacije glasi: dizajniraj optimalni linearni regulator sistema, zatim dizajniraj optimalni estimator stanja sistema, tj. Kalman-ov filter, te uspostavi strukturu regulatorestimator za upravljanje sistema, tj. umjesto vektora stanja x(t ) na ulaz regulatora se dovodi estimirana vrijednost vektora stanja xˆ (t ) . Navedena struktura optimalni regulator-optimalni estimator predstavlja rješenje postavljenog problema optimalnog upravljanja stohastičkim linearnim sistemom. Ova upravljačka struktura je data na slici 8.10. w
G
B
+
x
sistem
+
+
C
v
+ y
u ^x
-KTopt
Kalman filter
Fopt
Slika 8.10 Optimalni linearni stohastički regulator, Kalman-ov filter – optimalni regulator
Optimalna vrijednost kriterija performanse data je sa:
{
}
{
J min = trag PK optVK opt T + QR1 = trag PGWGT + QFopt T R2 Fopt
308
}
(8.91)
9. Digitalno upravljanje Slika 9.1 (a) prikazuje tipični kontinualni sistem automatskog upravljanja, pri čemu se računanje greške odstupanja i prenosne funkcije regulatora (rješavanje diferencijalne jednačine) realizuje sa elektronskim operacionim pojačalima (tj. analognim računarom). Računanje signala greške i funkcije regulatora može biti realizovano i digitalnim putem, odnosno pomoću digitalnog računara, slika 9.1 (b). r(t)
e(t)
+
Gr (s)
u(t)
y(t)
Go(s)
-
(a)
r(t)
+ r(kT)
e(kT) -
Diferentna jednačina
u(kT)
D/A i zadržavanje
u(t)
Go(s)
y(t)
Sat
y(kT)
Sampler T A/D
y(t)
(b)
Slika 9.1 Blok dijagrami osnovnih upravljačkih sistema (a) kontinualni sistem upravljanja (b) digitalni sistem upravljanja
Temeljne razlike između ove dvije implementacije leže u činjenici da digitalni sistem koristi uzorke izlaza sistema u diskretnim trenucima vremena i da rješavanje diferencijalne jednačine regulatora mora biti aproksimirano sa rješavanjem odgovarajuće diferentne jednačine. Uzorci kontinualnog signala se dobijaju pomoću elektronskog sklopa koji se naziva analogno-digitalni konvertor (ADC). Ovaj sklop pretvara kontinualni električni napon sa senzora u datom opsegu (najčešće −10 V ≤ y ≤ 10 V ) u binarni broj (najčešća dužina riječi je od 8 do 16 bita ). Konverzija iz analognog signala u digitalni se odvija periodično, u diskretnim trenucima vremena, sa periodom vremena T . Odnosno, T je period uzorkovanja, a 1 / T predstavlja frekvenciju uzorkovanja u Hz . Drugačije rečeno, ADC vrši vremensku 309
diskretizaciju i amplitudnu kvantizaciju (diskretizaciju) kontinualnog signala. Vremenski i amplitudno diskretiziran signal se naziva digitalni signal. Samo vremenski uzorkovan signal se naziva vremenski diskretan signal (ovo je slučaj kada ADC ima veliku dužinu riječi, odnosno veliku tačnost). Uzorkovani signal je y (kT ) , gdje k može da uzme bilo koju cjelobrojnu vrijednost. Često se umjesto y (kT ) piše samo y (k ) . Sistem koji ima vremenski diskretne signale naziva se vremenski diskretan sistem, a sistem koji ima digitalne signale naziva se digitalni sistem. Najčešći je slučaj sa fiksiranim periodom uzorkovanja. U praksi, digitalni upravljački sistemi mogu imati različite periode uzorkovanja u različitim upravljačkim konturama. Obično, upravljački računarski sistem uključuje sat (real-time clock) koji obezbjeđuje impuls ili prekid svakih T sekundi, a ADC konvertor izvrši konverziju pri svakom prekidu. Takođe, i referentna vrijednost r (t ) može biti uzorkovana pomoću ADC-a ili može biti učitana preko drugog ulaznog uređaja u upravljački računar. Funkcija digitalnog regulatora, se izvodi rješavanjem diferentne jednačine, koja je diskretna aproksimacija diferencijalne jednačine. Rezultat rješavanja diferentne jednačine je digitalni upravljački ulaz u (kT ) u svakom trenutku uzorkovanja. Ovaj signal se mora pretvoriti u analognu vrijednost u (t ) , pomoću digitalnoanalognog konvertora (DAC) i njegovim zadržavanjem (memorisanjem) tokom perioda uzorkovanja. DAC konvertuje računarski binarni broj u analognu vrijednost napona, a ZOH (zero order hold) kolo održava isti napon kroz period uzorkovanja. Rezultujuće u (t ) se onda primjenjuje na aktuator na isti način kao i kod kontinualne implementacije. Postoje dvije osnovne tehnike za dizajn digitalnih regulatora, odnosno nalaženje diferentnih jednačina koje predstavljaju digitalne regulatore: Jedna tehnika, koja se naziva emulacija, sastoji se od dizajniranja kontinualnog regulatora Gr (s ) , a onda se izvrši odgovarajuća aproksimacija Gr (s ) . Druga tehnika je direktni dizajn u diskretnom domenu, odnosno, diferentne jednačine se nalaze odgovarajućim metodama direktno, bez da se prvo dizajnira kontinualni regulator Gr (s ) .
9.1 Dizajn digitalnog regulatora pomoću emulacije
Dizajn pomoću emulacije ide kroz slijedeće etape: 1. Dizajn kontinualnog regulatora 2. Digitalizacija (diskretizacija) kontinualnog regulatora 310
3. Korištenje diskretne analize, simulacije ili eksperimenta za verifikaciju dizajna Pretpostavlja se da je zadat kontinualni regulator sa prenosnom funkcijom Gr (s ) . Jasno da prenosna funkcija regulatora predstavlja diferencijalnu jednačinu. Potrebno je naći odgovarajuću diferentnu jednačinu za digitalnu implementaciju regulatora Gr (s ) , odnosno diferentnu jednačinu čije rješenje dovoljno tačno aproksimira rješenje diferencijalne jednačine kontinualnog regulatora. Ovo je dato na slici 9.2. e(t)
e(kT) T
G r(q) (a)
ZOH
u(t)
e(t)
Gr (s)
u(t)
(b)
Slika 9.2 (a) digitalna i (b) kontinualna implementacija regulatora
Slika 9.3 daje primjer step odziva kontinualnog i digitaliziranog kontinualnog regulatora.
Slika 9.3 Primjer step odziva kontinualnog i digitaliziranog kontinualnog regulatora
311
U principu, problem nalaženja diferentne jednačine koja aproksimira diferencijalnu jednačinu, je ekvivalentan problemu numeričkog rješavanja diferencijalne jednačine. U ovom kontekstu moguće je izvesti nekoliko metoda za diskretizaciju, koje imaju temelj u jednokoračnim, eksplicitnim metodama za numeričko rješavanje diferencijalnih jednačina i to: 1. Euler-ov metod sa razlikom unaprijed (pravougaoni metod integracije) 2. Euler-ov metod sa razlikom unazad (pravougaoni metod integracije) 3. Tustin-ov metod (trapezni metod integracije)
9.2 Euler-ov metod diskretizacije (razlika unaprijed)
Neka je data diferencijalna jednačina: t
du (t ) E (s) = e(t ), u (t ) = u (t0 ) + ∫ e(t )dt , sU ( s ) = E ( s ), U ( s ) = dt s t0
(9.1)
Numerička integracija prethodne jednačine, korištenjem Euler-ovog metoda sa razlikom unaprijed, je data sa: u ((k + 1)T ) − u (kT ) = e(kT ) ⇒ u (k + 1) = u (k ) + Te(k ) ⇒ u (k ) = u (k − 1) + Te(k − 1) T
Uvođenjem operatora pomjeranja sa značenjem: q m x ( k ) = x ( k + m)
(9.2)
(9.3)
prethodna jednačina se može napisati: qu (k ) − u (k ) = e( k ) T
(9.4)
(q − 1)u (k ) = e( k ) T
(9.5)
odnosno:
312
U stvari, lako se pokazuje, da zamjenom:
s=
q −1 T
(9.6)
za svako pojavljivanje s u proizvoljnoj Gr (s ) , daje Gr (q ) koje predstavlja diferentnu jednačinu po operatoru pomjeraja, koja je zasnovana na Euler-ovom metodu numeričke integracije diferencijalne jednačine (razlika unaprijed).
9.3 Euler-ov metod diskretizacije (razlika unazad)
Numerička integracija jednačine (9.1), korištenjem Euler-ovog metoda sa razlikom unazad, je data sa: u (kT ) − u ((k − 1)T ) = e(kT ) ⇒ u (k ) = u (k − 1) + Te(k ) T
(9.7)
Uvođenjem operatora pomjeranja sa značenjem: q − m x ( k ) = x ( k − m)
(9.8)
prethodna jednačina se može napisati: u (k ) − q −1u (k ) = e( k ) T
(9.9)
(1 − q −1 )u (k ) = e( k ) T
(9.10)
Odnosno:
I u ovom slučaju, lako se pokazuje, da zamjenom:
s=
1 − q −1 T
(9.11) 313
za svako pojavljivanje s u proizvoljnoj Gr (s ) , daje Gr (q ) koje predstavlja diferentnu jednačinu po operatoru pomjeraja, koja je zasnovana na Euler-ovom metodu numeričke integracije diferencijalne jednačine (razlika unazad).
9.4 Tustin-ov metod diskretizacije
Numerička integracija jednačine (9.1), korištenjem trapeznog pravila za integraciju, je data sa diferentnom jednačinom: u (k ) − u (k − 1) e (k − 1)+ e (k ) T = ⇒ u (k ) = u (k − 1) + e (k − 1)+ e (k ) (9.12) 2 2 T
Uvođenjem prethodno definisanih operatora pomjeranja, prethodna jednačina se može napisati kao: 2 (1 − q −1 ) u ( k ) = e( k ) T (1 + q −1 )
(9.13)
Lako se pokazuje, da zamjenom: s=
2 (1 − q −1 ) T (1 + q −1 )
(9.14)
za svako pojavljivanje s u proizvoljnoj Gr (s ) , daje Gr (q ) koje predstavlja diferentnu jednačinu po operatoru pomjeraja, koja je zasnovana na trapeznom metodu numeričke integracije diferencijalne jednačine, i naziva se Tustin-ova ili bilinearna aproksimacija. Važno je napomenuti, da za bilo koju stabilnu prenosnu funkciju Gr (s ) (stabilnu linearnu diferencijalnu jednačinu), diskretizacija pomoću Euler-ovog metoda sa razlikom unazad i Tustin-ovog metoda, uvijek daje stabilnu diferentnu jednačinu neovisno od perioda diskretizacije T . Grafička interpretacija ovih metoda je data na slici 9.4.
314
e(t)
kT-T
kT
t
Slika 9.4 Grafička interpretacija metoda integracije (pravougaone, trapezna)
Takođe je moguće koristiti i druge metode numeričke integracije diferencijalnih jednačina za svrhe diskretizacije, kao što su metode tipa Runge-Kutta i prediktorkorektor metode. Pored prethodno predstavljenih tehnika diskretizacije baziranih na metodama numeričke integracije, postoje i mnoge druge tehnike dostupne u literaturi iz digitalnih upravljačkih sistema [2]. Naravno, da je performansa digitalnog regulatora, dobijenog diskretizacijom kontinualnog regulatora, uvijek niža u poređenu sa orginalnim kontinualnim regulatorom. Ovo je najviše posljedica uvođenja dodatnog kašnjenja u upravljačku konturu, koje je asocirano sa zadržavanjem signala sa ZOH kolom (ZOH kolo se može modelirati kao odgovarajuće čisto vremensko kašnjenje). Ovo dodatno fazno kašnjenje smanjuje marginu stabilnosti po fazi, odnosno smanjuje faktor prigušenja sistema. Takođe uvijek treba imati na umu da digitalni upravljački sistem sa zatvorenom povratnom spregom, djeluje na objekat samo u diskretni trenucima vremena, odnosno između dva diskretna trenutka vremena objekat je praktično bez povratne sprege (open loop). Intuitivno je jasno, da performansa digitalnog regulatora zavisi od metode diskretizacije kontinualnog regulatora, a posebno od perioda T , tj. perioda uzorkovanja signala u upravljačkoj petlji.
9.5 Izbor perioda uzorkovanja za upravljanje
Vrlo je važno izabrati odgovarajući period uzorkovanja za digitalni sistem automatskog upravljanja. U sistemima automatskog upravljanja su prisutni signali sa neograničenim spektrom, tako da će se uvijek imati manje ili više preklapanja (aliasing) spektra u uzorkovanim signalima. Ova činjenica zahtijeva što manji period uzorkovanja, što dalje postavlja oštre zahtjeve na računarski upravljački sistem u smislu njegove brzine i potrebne dužine memorijske riječi za tačno 315
prikazivanje uzorkovnih podataka. Sa druge strane, veći period uzorkovanja vodi teškoćama pri rekonstrukciji orginalnih signala, ili još gore ka nestabilnosti zatvorenog sistema. Stoga je potreban kompromis između ove dvije krajnosti. Postoji nekoliko preporuka za izbor perioda uzorkovanja na temelju nekih od pokazatelja performanse sistema sa zatvorenom povratnom spregom kao što su: 1. Kako je propusni opseg sistema ω BW , mjera brzine odziva zatvorenog sistema, to on može poslužiti kod izbora perioda (frekvencije) uzorkovanja. Tako se preporučuje frekvencija uzorkovanja kao : ω S ≥ 20ω BW ⇒ T ≤
π 10ω BW
(9.15)
Za sisteme koji se mogu aproksimirati odgovarajućim sistemom drugog reda, prethodni uslov je ekvivalentan: ω S ≥ 20ω n ⇒ T ≤
π 10ω n
(9.16)
2. Ako se poznaje vrijeme smirenja zatvorenog sistema Ts , tada se preporučuje da period uzorkovanja bude: T≤
Ts 20
(9.17)
Prethodne preporuke predstavljaju samo procjenu od koje treba poći pri izboru pravog perioda uzorkovanja, kojeg je moguće odrediti naknadnim ispitivanjem sistema simulacijom. Detaljan pregled preporuka za izbor perioda uzorkovanja može biti nađen u [2].
9.6 Diskretizacija PID regulatora
Digitalni PID regulator se dobija diskretizacijom kontinualnog PID regulatora:
GPID ( s ) = K p + K d s +
Ki s
(9.18)
Korištenjem Euler-ovog metoda sa razlikom unazad, dobijamo digitalni PID regulator izražen preko operatora pomjeraja u formi: 316
K K p (1 − q −1 ) + d (1 − 2q −1 + q −2 ) + TK i TK i 1 − q −1 T GPID (q ) = K p + K d + = −1 T 1− q 1 − q −1 =
b2 + b1q −1 + b0 q −2 1 − q −1
(9.19)
ili u formi diferentne jednačine: u (k ) = u (k − 1) + b2 e(k ) + b1e(k − 1) + b0 e(k − 2)
(9.20)
U poglavlju 4. u primjeru 4.7 je dizajniran PID regulator:
GPID ( s ) = 20.61 + 0.825s +
15.96 s
(9.21)
za objekat: G ( s) =
s + 12 ( s + 1)( s + 2)( s + 12)
(9.22)
U svrhu digitalne implementacije, regulator se diskretizira kako je prethodno pokazano, sa periodom uzorkovanja T = 0.05 sec , bazirano na preporuci o poznavanju prirodne učestanosti zatvorenog sistema. Digitalni PID regulator po operatoru kašnjenja je onda: GPID (q ) =
37.9 − 53.6q −1 + 16.5q −2 1 − q −1
(9.23)
odnosno u formi diferentne jednačine: u (k ) = u (k − 1) + 37.9e(k ) − 53.6e(k − 1) + 16.5e(k − 2)
(9.24)
Odzivi sistema sa navedenim kontinualnim PID i digitalnim PID regulatorom, na step referencu, su dati na slici 9.5, dok su njihovi upravljački signali dati na slici 9.6. Može se zaključiti da digitalni regulator postiže dosta dobru performansu u poređenju sa kontinualnim regulatorom. 317
Slika 9.5 Odzivi sistema sa kontinualnim i digitalnim PID regulatorima ( T
= 0.05 sec )
Slika 9.6 Upravljački signali kontinualnog i digitalnog PID regulatora ( T
= 0.05 sec )
318
9.7 Diskretizacija linearnih regulatora
U poglavlju 4. u primjeru 4.2 je dizajniran kontinualni regulator sa postavljanjem polova, za objekat dat sa: Go ( s ) =
Q( s) 1 = 2 P ( s ) s + 0.1s + 1
(9.25)
tako da sistem sa zatvorenom spregom ima sve polove u p = −3 i osigurava nulte greške u ustaljenom stanju na step reference i step smetnje. Željeni regulator je dat sa prenosnom funkcijom: Gr ( s ) =
246.3s 2 + 317.5s + 243 s 2 + 14.9 s + 87.51 s
(
)
(9.26)
Regulator je diskretiziran korištenjem Tustin-ove metode sa dva perioda uzorkovanja: T = 0.1 sec , koji je odabran po prethodnoj preporuci o poznavanju prirodne učestanosti zatvorenog sistema, te za period T = 0.15 sec u cilju analize uticaja uvećanog perioda uzorkovanja na performansu regulatora. Digitalni regulator po operatoru kašnjenja, za T = 0.15 sec , dat je sa:
Gr (q ) =
7.802 − 6.276q −1 − 7.645q −2 + 6.433q −3 1 − 1.389q −1 + 0.532q −2 − 0.143q −3
(9.27)
odnosno u formi diferentne jednačine: u (k ) = 1.389u (k − 1) − 0.532u (k − 2) + 0.143u (k − 3) + 7.802e(k ) −6.276e(k − 1) − 7.645e(k − 2) + 6.433e(k − 3)
(9.28)
a za T = 0.1 sec sa:
Gr (q ) =
6.691q3 − 5.82q 2 − 6.629q + 5.882 q3 − 1.796q 2 + 1.037 q − 0.241
(9.29)
319
odnosno: u (k ) = 1.796u (k − 1) − 1.037u (k − 2) + 0.241u (k − 3) + 6.691e(k ) −5.82e(k − 1) − 6.629e(k − 2) + 5.882e(k − 3)
(9.30)
Odzivi sistema sa navedenim kontinualnim i digitalnim regulatorima, na step referencu i step smetnju su dati na slici 9.7, dok su njihovi upravljački signali dati na slici 9.8.
Slika 9.7 Odzivi sistema sa kontinualnim i digitalnim regulatorima ( T = 0.1 sec i T = 0.15 sec )
320
Slika 9.8 Upravljački signali kontinualnog i digitalnih regulatora ( T = 0.1 sec i T = 0.15 sec )
Za period uzorkovanja od T = 0.01 sec i manji, digitalni regulator praktično potpuno postiže performansu kontinualnog regulatora za ovaj primjer, dok praktično za period od T = 0.4 sec i veći sistem postaje nestabilan. Naravno da prezentirani pristup emulacije kontinualnih kontrolera sa digitalnim kontrolerima, može biti na isti način proširen na emulaciju kontinualnih kontrolera u prostoru stanja sa digitalnim kontrolerima u prostoru stanja. Drugačije rečeno, prezentirane metode diskretizacije mogu biti primijenjene za diskretizaciju estimatora stanja i regulatora sa povratnom spregom po stanju. U primjeru 8.3 je dizajniran regulator sa povratnom spregom po stanju i odgovarajući estimator stanja. Regulator je dizajniran tako da su svi polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom locirani u -2, a estimator je dizajniran tako da su svi polovi estimatora locirani u -10. Diskretizacija strukture estimatorregulator je određena diskretizacijom estimatora, kao daleko bržeg podsistema. Dinamički modeli estimatora i regulatora su diskretizirani korištenjem 321
Tustin-ovog metoda, sa periodom uzorkovanja T = 0.05 sec , bazirano poznavanju propusnog opsega estimatora i simulacionim studijama.
na
Odzivi sistema sa navedenim kontinualnim i digitalnim estimatoromregulatorom, na step referencu, su dati na slici 9.9, dok su njihovi upravljački signali dati na slici 9.10.
Slika 9.9 Odzivi sistema sa kontinualnim i digitalnim estimatorom-regulatorom (T
322
= 0.05 sec )
Slika 9.10 Upravljački signali kontinualnog i digitalnog estimatora-regulatora (T
= 0.05 sec )
323
Literatura 1. K. Astrom, T. Hagglund, PID Controllers: Theory, Design and Tuning, Instrument Society of America, 1995 2. K. Astrom, B. Wittenmark, Computer Controlled Systems: Theory and Design, Prentice-Hall, 1997 3. H. Bode, “Relations between attenuation and phase if feedback amplifier design, Bell System Technical Journal“, vol.19, 421-454, 1940 4. A. Bryson, Y. Ho, Applied Optimal Control, Helsted Press, 1975 5. C. Chen, Linear System Theory and Design, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1984 6. R. Dorf, R. Bishop, Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Company, 1995 7. F. Doyle, A. Tannenbaum, Feedback Control Theory, Macmillan, New York, 1992 8. W. Evans, Graphical analysis of control systems, Transactions on AIEE, vol. 67, 547-551, 1948 9. G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami- Naeini, Feedback Control Of Dynamic Systems, Addison-Wesley Publishing Company, 1994 10. A. Fuler, General problem of stability of motion, International Journal of Control, 55, 581-773, 1992 (Prevod na engleski doktorske disertacije A. M. Lyapunova) 11. Z. Gajić, M. Lelić, Modern Control Systems Engineering, Prentice Hall, New Jersey, 1996 12. Z. Gajić, Linear Dynamic Systems and Signals, Prentice Hall, New Jersey, 2003 13. Z. Gajić, M. Lim, Optimal Control of Singularly Perturbed Linear Systems and Applications, Marcel Dekker, 2001 14. Z. Gajić, M. Lim, D. Skatarić, V. Kecman, Optimal Control: Weakly Coupled Systems and Applications, CRC, 2008 15. M. Glavić, N. Prljača, Teorija Optimalnog Upravljanja i Elektroenergetski Sistem, Univerzitet u Tuzli, 1999 16. G. Golub, G. VanLoan, Matrix Computations, John Hopkins University Press, Baltimor and London, 1989 325
17. R. Kalman, R. Bucy, New results in linear filtering and prediction theory, Transactions ASME Journal of Basic Engineering, vol. 83D, 95-108, 1961 18. R. Kalman, Mathematical description of linear dynamical systems, Journal of Control SIAM, Series A, 1(2), 152-192, 1963 19. R. Kalman, Contribution to the theory of optimal control, Boletin Sociedad Matematica Mexicana, vol. 5, 102-119, 1961 20. R. Kalman, P. Falb, M. Arbib, Topics in Mathematical System Theory, McGraw-Hill, 1968 21. D. Kirk, Optimal Control Theory, Prentice Hall, 1970 22. P. Kokotović, H. Khalil, Singular Perturbations in Systems and Control, IEEE Press, New York, 1986 23. B. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, New Jersey, 1995 24. H. Kwakernaak, R. Sivan, Linear Optimal Control Systems, Wiley, 1972 25. A. Laub, Numerical Linear Algebra Aspects of Control Design Cmputations, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC-30, 97108, 1985 26. P. Lancaster, L. Rodman, Algebraic Riccati Equation, Clarendon Press, 1995 27. F. Lewis, Applied Optimal Control and Estimation, Prentice Hall, 1992 28. N. Nise, Control Systems Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, 1995 29. H. Nyquist, Certain topics in telegraph transmission theory, AIEE Transactions, 47, 617-644, 1928 30. K. Ogata, Modern Control Engineering, Prentice Hall, New Jersey, 1997 31. N. Prljača, Z. Gajić, Z. Šehić, Optimal Control and Filtering of Weakly Coupled Linear Continuous-Time Stochastic Systems by the Eigenvector Approach, Iasted MIC 2007 Conference, Insbruck, Austria, February 2007 32. N. Prljača, Z. Gajić, A Transformation for Block Diagonalization of Weakly Coupled Linear Systems Composed of N-Subsystems, WSEAS Transactions on Systems, April 2007 326
33. N. Prljača, Z. Gajić, Optimal Control and Filtering of Weakly Coupled Linear Discrete Time Stochastic Systems by The Eigenvector Approach, WSEAS Transactions on Systems and Control, September 2007 34. N. Prljača, Z. Gajić, General Transformation for Block Diagonalization of Multi Time-Scale Singularly Perturbed Linear Systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 2008 35. N. Prljača, Z. Gajić, A Method For Optimal Control and Filtering of Multitime-Scale Linear Singularly-Perturbed Stochastic Systems, IFAC Automatica Journal-Elsevier, August 2008 36. R. Sanchez-Pena, M. Sznaier, Robust Systems: Theory and Applications, John Wiley & Soons, 1998 37. S. Skogestad, I. Postlethwaite, Multivariable Feedback Control, John Wiley & Sons, 1996 38. O. Smith, Closed control of loops with dead time, Chemical Engineering Progress, vol. 53, 217-219, 1957 39. Z. Vukić, Lj. Kuljača, Automatsko Upravljanje - analiza linearnih sustava, Kigen d.o.o. Zagreb, 2004 40. J. Ziegler, N. Nichols, Optimum settings for automatic controllers, Transactions ASME, vol. 64, 759-768, 1942
327
Ackermann-ova formula Aktuator Algebra dijagrama blokova Algebarski kriteriji stabilnosti Amplitudno frekventna karakteristika, Analitička funkcija Analogije dinamičkih sistema Analogni računar Analogno-digitalni konvertor Asimptotska stabilnost Automatsko upravljanje Bessel filter Bijeli šum Bilinearni (Tustin) metod Blok dijagram Bode-ovi dijagrami Cauchy-jev princip argumenta Centrifugalni regulator Chien-Hrones-Reswick preporuke Cohen-Coon preporuke Čisto vremensko kašnjenje Decibeli Dekada Delta (Dirac-ova) funkcija Derivativni član Determinanta Deterministički proces Digitalni računar Digitalni signal Digitalni PID regulator Digitalni regulator Digitalno-analogni konvertor Dinamička komponenta Direktna grana Diskretni signal Diskretizacija signala
Diskretizacija regulatora Dizajn PID regulatora Dizajn regulatora Dizajn estimatora stanja Dominantni polovi Eksperimentalno podešavanje PID regulatora Električni sistem Elektro-mehanički sistem Estimator stanja Euler-ov metod Faktor prigušenja Fazna trajektorija Fazno-frekventna karakteristika Filter Fluidni sistem Fourier-ova transformacija Frekventna karakteristika Funkcija Lyapunov-a Funkcija osjetljivosti Funkcija prenosa Funkcional Geometrijsko mjesto korijena (GMK) Graf toka signala Greška modela Greška praćenja Greška ustaljenog stanja Homogena jednačina Hurwitz-ov kriterij stabilnosti Impulsna funkcija Impulsni odziv Integralni član1 Integralni pokazatelji kvaliteta Inverzna Laplace-ova transformacija ISE kriterij 329
ITAE kriterij Jedinična povratna sprega Jordan-ova kanonska forma Kalman-ov filter Karakteristična jednačina Karakteristični polinom Kaskadna veza Kaskadno upravljanje Komplementarna funkcija osjetljivosti Konstrukcija geometrijskog mjesta korijena Kontrolabilnost Kontrolabilna kanonska forma Kontroler Konvolucija Kraćenje polova i nula Kritična tačka Krugovi (M, N) Kvantizacija Kvadratna forma Laplace-ova transformacija Linearni sistem Linearizacija LTI sistem Maksimalan preskok u procentima (MPOS) Margina stabilnosti po pojačanju Margina stabilnosti po fazi Marginalna stabilnost Matematički model Matematičko modeliranje Matrični model Matrica kontrolabilnosti Matrica observabilnosti Matrica prelaza stanja Mehanički sistem MIMO sistem 330
Minimalno-fazni sistem Mjerni pretvarač Mjerni šum Model sistema Modalna kanonska forma Neminimalno-fazni sistem Nehomogena jednačina Nule sistema Numerička integracija Nyquist-ov kriterij stabilnosti Nyquist-ov dijagram Objekat upravljanja Observabilost Observabilna kanonska forma Observer Odziv sistema drugog reda Operaciono pojačalo Operator pomjeranja Optimalno upravljanje Optimalni deterministički regulator Optimalni stohastički regulator P regulator Pade-ova aproksimacija Paralelna veza Parcijalni razlomci PD regulator Period uzorkovanja PI regulator PID regulator Početni uvjeti Podešavanja parametara PID regulatora Polarni dijagram Polovi sistema Poremećaji Postavljanje polova Povratna sprega Povratna sprega po izlazu
Povratna sprega po stanju Pozitivno definitna Preskok (OS) Praćenje Prenosna funkcija sistema Princip separacije Princip internog (unutrašnjeg) modela Prirodna učestanost (frekvencija) sistema Prirodni odziv sistema Prinudni odziv sistema Problem regulacije Problem praćenja Proces Proporcionalni član Propusni opseg sistema Prostor stanja Prototip filter Realizibilnost Red (matematički) Red sistema Referentna (zadana) vrijednost Regulacija Regulaciona greška Regulator Regulator sa postavljanjem polova, povratna sprega po izlazu Regulator sa postavljanjem polova, povratna sprega po stanju Relativna stabilnost Rješenje obične linearne diferencijalne jednačine Rješenje linearne diferencijalne jednačine u prostoru stanja Rezerva stabilnosti Rezonantna frekvencija Rezonantni vrh Riccati-jeva jednačina
Robusnost sistema Routh-ov kriterij stabilnosti Senzor Serijska veza Servosistem Simulacija sistema SISO sistem Sistemi sa koncentrisanim parametrima Sistemi sa distribuiranim parametrima Sistem automatskog upravljanja (SAU) Slučajna smetnja Slučajni proces Smith-ov prediktor Stabilizacija Stabilnost sistema (BIBO) Stabilnost sistema u prostoru stanja Stabilnost sistema po Lyapunov-u Step odziv Sopstvene vrijednosti i sopstveni vektori matrice Statičko pojačanje Termički sistem Tip sistema Transformacije sličnosti Tranzijentni odziv sistema Transportno kašnjenje Unutrašnja stabilnost Upravljanje sa internim modelom Upravljanje sa otvorenom spregom Upravljanje sa zatvorenom povratnom spregom Ustaljeni (stacionarni) odziv sistema Uzorkovanje signala
331
Vektor stanja sistema Vremenska konstanta sistema Vremenski pokazatelji kvaliteta SAU Vrijeme smirenja sistema Vremenski invarijantan sistem (LTI) Zakoni Zatvorena povratna sprega Ziegler-Nichols preporuke ZOH kolo
332
