APLICACIÓN DE DE LAS DERIVAD DERIVADAS AS EN LA ECONOMIA
1. INTRO NTRODU DUC CCIÓN CIÓN Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción
!n otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un peque"o cambio #infinitesimal$ en la segunda cantidad o variable
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA Las derivada derivadass en sus distint distintas as presenta presentacion ciones es #%nterpr #%nterpretac etación ión geométri geométrica, ca, &azón &azón de cambio, variación %nstantánea, etc,$ son un e'celente instrumento en !conomía, para toma de decisiones, optimización de resultados # (á'imos y (ínimos$
FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA.)i ' es el numero de *nidades de un bien+ siendo+ y el recio de cada unidad entonces las -unciones de .ferta y demanda pueden representarse por: / 0 f #'$ 1onde:, en la practica ' se toma siempre positivo )i: f2 3 4 + la función es de oferta )i: f 5 4+ La función es de 1emanda
!l punto de intersección de las -unciones de oferta y 1emanda se llama punto de equilibrio
Oferta y demanda 70 60 50 s o i c e r p
40 30 20 10 0 0
100
2 00
300
cantidades
400
50 0
600 demanda oferta
6allar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de .ferta y 1emanda : &espectivamente :
/ 0 #7448 98' ';7$ < =>
/ 0 #748 98' ';7$<=> / 0 #= A ';7$<=?
+ y 0 #= ';7$<=?
'08 + y 0 @
9==,@ : y 0 =4B
)e tomara únicamente la =ra solución como punto de equilibrio, ya que : ' debería ser positivo
La pendiente de la demanda en: #8,@$
/ 0 #748 98' ';7$ <=>
&eemplazando '08
/2 0 C 9'<8
y2#s$ 0 9?<7 54
La pendiente de la oferta en: #8,@$ /0 4 = A ';7 < =?
y2#8$ 0 =><=? 3 4
or la interpretación geométrica de la 1erivada, una 1erivada es una endiente es una &azón o relación de Dariación %nstantánea
or tanto en el anterior calculo de las pendiente de las funciones de oferta y 1emanda, representan las variaciones instantáneas de los recios *nitarios #y$ con respecto al numero de *nidades #'$+ e'actamente en el instante en que: ' 0 8
Eomando en Dalor absoluto las endientes de la 1emanda ?<7 + de la .ferta =><=?, se aprecia que mayor es la variación de la demanda La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio, o un concepto margina
!l concepto romedio, es la variación de una primera cantidad, respecto a un %ntervalo limitado de la )egunda cantidad
!l concepto (arginal, es la variación de una rimera Fantidad, respecto a un intervalo tendiente a Fero de una )egunda Fantidad, es decir se trata de una variación %nstantánea Fomúnmente la primera cantidad es de un concepto !conómico #Fosto, %ngreso, etc$, La segunda Fantidad es el número de unidades
3.1.2 COSTOS )i el numero de unidades de un bien es ' + entonces el costo Eotal puede e'presarse como:
G partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:
COSTO PROMEDIO: Fp 0 F #'$ < ' 0 y
COSTO MARGINAL: Fm 0 F H #'$ 0 dy < d'
COSTO PROMEDIO MARGINAL:
Fpm 0 dy
d
!K: )i la función de Fosto es Lineal F#'$ 4 a'A b donde a,b son constantes
Fosto romedio: Fp 0 F#'$ < I 0 a'Ab < ' 0 a A b<'
Fosto (arginal: Fm 0 F2#'$ 0 a
Fosto promedio (arginal: Fpm 0 d
3.1.3 INGRESOS: )i el umero de unidades de un bien es ': )iendo la -unción de demanda : y 0 f#'$+ donde y es el recio de la unidad demandada, entonces el %ngreso es:
&#'$ 0 'y 0 '9f#'$
G partir de esta e'presión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:
INGRESO PROMEDIO &p 0 r#'$ < '
INGRESO MARGINAL: &m 0 & H#'$
ótese que la e'presión de %ngreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien
!Kemplo : *na función de 1emanda es: / 0 =7 B'
!l %ngreso : &#'$ 0 'y 0 '#=7 9B'$
!l %ngreso (arginal: &2 #'$ 0 =7 98'
Fomúnmente se procura ma'imizar el %ngreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de (á'imos y mínimos conocidas # 1erivar e igualar a Fero$
!Kemplo: 6allar el %ngreso (arginal y el %ngreso (á'imo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y 0 >4 97'
La demanda: y 0 >4 e'
!l %ngreso: &#'$ 0 'y 0 '# >4 7'$ 0 >4' 7';7
!l %ngreso (arginal: &2#'$ 0 >4 B'
(a'imizando la ecuación de %ngreso Eotal:
)i &8'$ 0 >4' 7';7
&2#'$ 0 >4 B' 0 4
'0=@
&ma' 0 >4A=@ 7J=@;M 0 B@4
!n este problema no se verifica que el unto Fritico hallado mediante la derivada igualada a Fero, determina evidentemente a un má'imo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada problema # de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada$
3.1.4 GANACIAS: )i ' es el numero de *nidades+ siendo &#'$ el %ngreso Eotal + c##'$, el costo total+ la ganancia entonces es:
N#'$ 0 &#'$ F#'$
ara ma'imizar la Nanancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa :
N2 #'$ 0 &2#'$ F2#'$ 0 4 r2#'$ 0 F2#'$
!ntonces en el má'imo de la Nanancia el ingreso (arginal, debe ser igual al Fosto (arginal
!Kemplo
6allar la ganancia (á'ima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Fosto total es: F#'$ 0 74 A =B' + La 1emanda que posee el bien es: y0 O497'
!l costo total F#'$ 0 74 A =B'
La 1emanda y 0 O497'
!l ingreso Eotal: &#'$ 'y 0 '#O497'$
La Nanancia: N#'$ 0 &#'$ F#'$ 0 '#O497'$ #74 A =B '$ 0 97';7 AP>' 74
(a'imizando N2#'$ 0 9B' A P> 0 4
' 0 =O
N(a' 0 7A=O;7 A P>J=O 74 0 P47
)e supone que las unidades del ingreso + Fosto, Nanancia son unidades monetarias iguales
)imilarmente en el problema se supone que las unidades monetarias de la 1emanda y Fosto son iguales
6asta el momento se ha operado en los distintos problemas, con funciones ya conocidas de 1emanda, costo, etc
)in embargo en la practica es preciso a veces obtener tales funciones a partir de las situaciones que presenten los problemas, que utilizan a las 1erivadas como aplicación económica
ara obtener las funciones de costo demanda, etc !s conveniente ordenar datos, que provienen de las condiciones del problema de ser necesario se utilizaran variables au'iliares, que posteriormente dieran ser eliminadas, siguiendo luego pasos equivalentes a los sugeridos en los problemas de (á'imos y mínimos )e obtendrán los resultados pedidos
!Kemplos: =$ *n propietario de B4 departamentos#dep$ puede alquilarlos a =44 Q c
&eordenando los datos:
T Eotal 1ep
: B4
T 1ep Glquilados : ' T 1ep no alquilados: u
Glquiler de = dep originalmente : =44Q %ncremento por = 1ep no alquilado : @Q %ngreso por u 1ep no alquilados: @uQ %ngreso por alquiler de = 1!p : =44 A @u
%ngreso por alquiler de ' 1ep : '#=44A@u$
&eemplazando la ecuación de ingreso es:
& 0 '##=44A@#B49'$$ 0 9@';7 A ?44'
&2 0 9=4' A ?44 0 4
' 0 ?4
&ma' 0 9@J?4;7 A ?44J?4 0 B@44Q
ótese que no se alquilan =4 dep # u 0 =4$ !l alquiler de = 1ep es : =44 A @u 0 =44 A @J=4 0 =@4Q
7 *na entidad bancaria cobra una tarifa de 74Q+ por cada =444Q de transacción comercial que efectúa, ofreciendo una rebaKa de 4,=Q por cada =444Q encima del monto de =44444 Q 6allar su má'imo %ngreso si: a$ La rebaKa afecta al monto total de la transacción b$ La rebaKa afecta únicamente al monto por encima de =44444Q
&eordenando datos: T de miles de Q dBe transacción total : ' T de miles de Q encima de =44 mil Q :u
' 0 u A =44
Earifa original por mil Q : 74Q &ebaKa por mil Q encima de =44mil : 4,= Q &ebaKa por u miles, encima de =44mil : 4,=u Q Earifa con rebaKa: 74 4,=u
a$ )i la rebaKa afecta al monto total de la transacción #' en miles de Q$+ el ingreso es:
& 0 '#7494,=u$
&2 0 9 o,7'A?4 0 4
' 0 =@4
0 ' # 74 4,=#'9=44$
&ma' 0 4=J=@4;7 A ?4J=@4 0 77@4 mil
0 4,=';7 A ?4'
077@4444Q
b$ )i la rebaKa afecta únicamente a = monto por encima de =44miles de Q # u en miles de Q$ + el ingreso provendrá del monto con tarifa fiKa, mas el monto con rebaKa: & 0 =44J74 A u#7494,=u$
&2 0 94,7' A B4 0 4 043 '0744
0 7444 A # '9=44$ #7494,=#'9=44$
&ma' 0 94,= 94,7' AB4 4 4
0 94,=';7 A B4 ' =444
'0744
0 ?444 miles de Q 0 ?444444Q
3.2 TASA DE VARIACIÓN MEDIA INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN )ea y 0 f#'$ y a un punto del dominio de f )uponemos que a aumenta en h, pasando al valor a Ah, entonces f pasa a valer f#a Ah$, al valor h se le lama incremento
de la variable ,
y a la diferencia entre f#a Ah$ y
f#a$ el incremento de la función
TASA DE VARIACIÓN MEDIA Llamamos tasa de variación media #o tasa media de cambio$ ED(, de la función y 0f#'$ en el intervalo Ua, bV al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
ED( Ua, bV 0
!Kemplo = 6alla la tasa de variación media de la función f#'$ 0?9'7 en el intervalo U4,7V )olución ED( U4, 7V 0
3.3. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA
Fonsideremos un valor h #que puede ser positivo o negativo$ La tasa de variación media en el intervalo Ua, a AhV sería
os interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :
G este valor se le llama la de!"ada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 4
0 )i f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
O#$e"a%!&' 1 )i hacemos ' 0a Ah , la derivada, en el punto a , también puede e'presarse así:
O#$e"a%!&' 2. Eambién se puede hablar de de!"ada$ (a)ea(e$ , f 2A y f 92 #obligatorio que f sea continua$ según se considere el límite para h34 o h54 )i e'isten los dos límites laterales y coinciden la función es derivable !Kemplo 7 Las derivadas laterales de la función
en ' 04 son = y =
Luego la función valor absoluto no es derivable en el 4
P*+*$!%!&'. Eoda función derivable en un punto es continua en dicho punto !l recíproco es falso !Kemplo 7
es continua en 4, pero no es derivable en 4
