Winifred D. Vides C.
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
El fundamento del cálculo diferencial es la derivada. La derivada es el ritmo de cambio de una función en un punto. ¿Que qué es una función? Por ejemplo, en un vehículo con aceleración constante de 3.600 km/h, significa que cada segundo nuestra velocidad aumenta un kilómetro por hora. Nuestra función aceleración será f(x)= 3.600x. En el primer segundo nuestra velocidad es de 1 km/h, en el primer minuto será de 60km/h, así sucesivamente. El concepto de derivada, como herramienta matemática, se esconde bajo las relaciones que las cosas tienen entre sí. Por ejemplo la tasa de natalidad respecto a la renta media, el ritmo de consumo de combustible en un avión respecto a su aceleración, etc. Para entender el concepto de derivada (que es en principio un concepto intuitivo) necesitamos entender las reglas de diferenciación. Vamos a ello.
Imaginemos una cuesta o plano inclinado. ¿Por qué un plano inclinado está inclinado?Pues porque según avanzamos por él, nuestra altura cambia en relación con la distancia horizontal que recorremos. Esta relación la denominamos pendiente. Si para subir 30 metros de altura recorremos 100 metros en horizontal, la pendiente es de 0,30. Si al recorrer una distancia no subimos ni bajamos, la pendiente es igual a cero, y si descendemos la pendiente es negativa.
En un recorrido el menor esfuerzo se hace cuando el conjunto de pendientes de un trayecto es cero o se aproxima a cero. Pero no siempre nos vamos a encontrar cuestas rectilíneas, sino curvas. ¿Cuál es la pendiente de una curva? En 1629, Fermat respondió diciendo que la pendiente de una curva en un punto es la pendiente de una recta tangente a esa curva en ese punto. Nos puede parecer hoy en día una perogrullada, pero es la base de todo lo que vino después. Y sabemos que lo que vino después fue una cosa bárbara, armas atómicas incluídas. Por su parte, René Descartes desarrolló independientemente su propio método para hallar la pendiente de una curva. Lo que nos recuerda a lo que posteriormente sucedió con el cálculo diferencial entre Isaac Newton y Leibniz (pero en este caso no se llevaban tan bien).
Es como si la historia estuviera madura para que estos cálculos se revelaran, e incluso por si las moscas, con redundancia (parejas de matemáticos hacían el mismo descubrimiento de forma separada). ¿Cómo se halla la pendiente en un punto de una curva? Cogiendo otro punto (cualquiera) en la curva y uniendo ambos por una línea recta. Cuanto más vayamos acercando nuestro segundo punto al original (que no podemos mover), parece que esa recta se va volviendo tangente a la curva en el punto original. Por tanto, la pendiente de la curva es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto (interpretación geométrica de la derivada).
El valor límite de la aproximación es la derivada en ese punto, o sea, su "cambio instantáneo" en ese punto.
El "cambio instantáneo" es más fácil de ver si pensamos en la velocidad. La velocidad es la tasa de cambio del espacio con respecto al tiempo. Si tenemos una velocidad, la podemos medir sabiendo el tiempo que pasa entre dos localizaciones. Si esas dos localizaciones se aproximan infinitesimalmente, tendremos la velocidad instantánea. Como vimos antes, la pendiente es un cociente entre el componente vertical y el componente horizontal. Si la aproximación es infinitesimal, el cociente va a ser entre un número chiquitito y otro número chiquitito. Los números chiquititos se expresan con la letra delta ("incremento de "). Pero como estos números son taaan chiquititos, son prácticamente cero y en lugar de la delta, ponemos una letra "d". Ahora, sabemos que en el eje de las abscisas están las equis y en el de ordenadas las i griegas, por tanto, el cociente se representa como: dy/dx
Que se lee "derivada de y con especto a equis". Hallar la derivada en cada punto significa hallar una función derivada. Imagínate: se puede derivar una derivada. Es decir, hallar la tasa de cambio instantáneo de la tasa de cambio instantáneo de una función. Es más, puedes hacer derivadas sucesivas hasta que no queda ningún cambio y todo da cero.
La función derivada de una recta es una constante (la pendiente de esa recta). La función derivada del seno es el coseno, etc. Le debemos la vida a que no exista aleatoriedad. Es decir, si una recta tuviera distintas pendientes en cada punto, probablemente no existiríamos. Existen reglas irrompibles e incuestionables. Por ejemplo, la regla de la suma: la derivada de una suma, es la suma de las derivadas (que es un conocimiento innato). La regla del producto: la derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda más la segunda función sin derivar por la derivada de la primera. Que se resume en el famoso: "un día vi a un soldado vestido de uniforme":
d(u*v) = u*dv + v*du Fórmula que nos sirve para derivar cualquier función polinómica.
Los cimientos matemáticos nos sirven para construir el edificio de la física. Y llama la atención poderosamente que lo que los más listos entre los más listos averiguaban hace trescientos años sea hoy de uso común entre adolescentes escolarizados. Es más, no creo que fuera muy complicado que niños más pequeños estudiaran esto. Hace falta un poquito de voluntad, paciencia y tirar a la hoguera todos los planes educativos. Creo que se desaprovehan conocimientos casi-innatos como distinguir una cantidad de otra, y el cambio de algo respecto al tiempo. Se fuerza a los niños a ser adoctrinados porque un señor encorbatado en un despacho decide lo que debe aprender y cómo debe aprenderlo. Por cierto, señores encorbatados que dudo mucho que sepan hacer una simple derivada o enunciarme la Ley de la Gravitación Universal.
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.
Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función. El concepto de derivada segunda de una función derivada de la derivada de una función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda. Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc.).
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio • Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y •Continuidad •Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer: •
Intervalos de crecimiento / decrecimiento
•
Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:
En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0)
m=0
m>0
m<0
m=0
m<0
En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa.
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”
y=3 y=1,2x+1,5
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2. f’(-2)= 0
f’(4)=0
f’(2)=1,2
f’(6)=-1,3
y=-1,3x+13 y=-3/2x-24
y=-4
Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo calcular su ecuación. Pasa por (1,-1) (3,2)
y=mx+n
-1=m+n Pasa por (3,2)
(1,-1)
2=m·3+n Resolviendo el sistema: y= 3/2 x-5/2
De esta manera f’(3)=3/2
(3,2)=(x1,y1)
(1,-1) )=(x0,y0)
Lo anterior es muy largo pues lo único que me interesa saber es la “m”. Para calcularla hay una manera muy fácil:
y1 - y0 2 - (- 1) 3 m= = = x1 - x0 3 - 1 2
De esta manera f’(3)=3/2
y1 - y 0 m= x1 - x0 O LO QUE ES LO MISMO:
f ( x1 ) - f ( x0 ) m= x1 - x0
Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Resolvamos la cuestión en varias etapas.
Recta t
A(a,f(a))
Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h))
P(a+h,f(a+h)) A(a,f(a))
Recta t a
a+h
Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P.
P(a+h,f(a+h))
f(a+h)-f(a) A(a,f(a)) Recta t
h
a
a+h
f (a + h) - f (a) f (a + h) - f (a) m= = a+ h- a h
Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma:
P
A h
a
0
a+h
P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque sí todo lo pequeño que se quiera. Y aquí interviene el concepto de límite.
P
A h
a
0
a+h
P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
lim(pendientes de las secantes)= pendiente de la tangente h® 0
f ( x + h) - f ( x ) lim = f '(a) h® 0 h
P
A
a Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite
a+h
Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2
f (2 + h) - f (2) f '(2) = lim h® 0 h 2 ìï (2 + h) 4 + 4h + h 2 ïï = = 1+ h + 0,25h 2 ïí f (2 + h) = 4 4 ïï ïïî f (2) = 1
f (2 + h) - f (2) h + 0,25h2 = lim = lim(1+ 0,25h) = 1 h® 0 h® 0 h® 0 h h
f '(2) = lim
f(x)=x2/4 * La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es:
f '(2) = 1 * Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente.
y = f (a) + f '(a)(x - a) y = 1+ 1( x - 2)
y = x- 1
(x0,y0) y=y +m(x 0 -x0)
¿Por que se utiliza la derivada? ◦
Para conocer la variación de una magnitud en función de otra.
La derivada nos permite conocer por
ejemplo:
la variación del espació en función del tiempo. El crecimiento de una bacteria en función del tiempo.
Para conocer la variación de una magnitud en función de otra.
La derivada nos permite conocer por
ejemplo:
El desgaste de un neumático en función del tiempo. Los beneficios en función del tiempo.
¿Pero la variación de una magnitud va ser siempre en función del tiempo?.
La respuesta es negativa, ya que por ejemplo: si calculamos la derivada en una función, calculamos la variación de y en función de x.
La derivadas se puede utilizar en cualquier situación de la vida real.
Pero en esta tema nos vamos a centrar en:
La aplicación en la Física. La aplicación de la medicina. La aplicación de la ingeniería y la tecnología. La aplicación en la economía.
En el ámbito de la Física. En cualquier situación de la vida real que se relacione el espacio en función del tiempo, se puede aplicar la derivada.
En el ámbito de la Física. La ecuación que describe el movimiento de un cuerpo.
1 2 x(t ) x0 v0t at 2
La velocidad: es la derivada del espacio en función del tiempo
dx v(t ) v0 at dt
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, o la 2ª derivada del espacio respecto al tiempo
d 2x a (t ) 2 dt
En el ámbito de la Física. Un cochecito teledirigido se mueve según la ecuación d=0.2t2+0.03t3, para una 0
En el ámbito de la ingeniería. En muchos de los problemas de la ingeniería se utiliza la derivada. Ejemplos:
du dq dw dq pdv dh du pdv vdp df du Tds du Tds sdT dq pdv Tds sdT dg dh Tds sdT du pdv vdp Tds sdT
Termodinámica: Estudiar los fenomenos de transmisión de calor.
En el ámbito de la ingeniería.
Electricidad: circuitos RLC
di R L dt d 2v R 2 dt L
d 2i i 0 2 dt C dv 1 V v dt LC LC
En el ámbito de la ingeniería. En muchos de los problemas de la ingeniería se utiliza la derivada. Ejemplos:
Para conocer el consumo eléctrico del país en un determinado instante.
En el ámbito de la ingeniería. En muchos de los problemas de la ingeniería se utiliza la derivada. Ejemplos:
En problemas de dinámica de fluidos, para conseguir una mejor aerodinámica.
En el ámbito de la ingeniería.
Si una catenaria entre dos torres está definida por la función:
y
1 (e 2 x 2 e 2 x 1,5) 10
Donde x e y se miden en hectómetros, halla la altura que tiene el cable en el punto más bajo entre las dos torres.?
En el ámbito de la medicina En la medicina también se usa la derivada, de hecho muchas de las enfermedades pueden ser descritas por ecuaciones, en las que se estudian el crecimiento de bacterias o células malignas, es decir el número de bacterias en un instante determinado.
En el ámbito de la medicina La estatura del feto a lo largo del embarazo viene dado por la función:
x3 3x 2 x f ( x) 10 125 10 3
Donde x se mide en semanas, e y, en centímetros. Calcula:
¿Si el embarazo dura 40 semanas cual es la altura del niño al nacer? ¿En qué momento crece más rápidamente el feto?
En el ámbito de la medicina En una ciudad de 250000 habitantes hay una epidemia de gripe, y la función que define el número de enfermos es:
f ( x) 1000 150 x 10 x
2
Donde x se mide en días. ¿Cuál es el día en el que hay mayor número de enfermos?
En el ámbito de la Economía En este ámbito existen muchas aplicaciones, ya que el objetivo de cualquier empresa es maximizar unos beneficios y minimizar unos costes.
En el ámbito de la economía
Maximizar o minimizar es el objetivo de cualquier problema de optimización.
Un problemas de optimización, consiste en calcular el máximo o mínimo sujeto a unas condiciones.
Calcular el máximo o mínimo, implica la utilización de la derivada.
En el ámbito de la economía Los valores de las acciones de una determinada empresa a lo largo de los 12 meses de un año, están definidos por la función:
x3 3x 2 f ( x) x 10 125 10
Donde x es el mes y es el valor de cada acción en euros. Calcula: ¿El valor de las acciones al inicio y al final del año? ¿En que mes se alcanzo el valor máximo y el mínimo de las acciones? ¿El valor máximo y mínimo de las acciones?
Hidráulica:
P 2 (V )u g x u x P 2 (V )v g y v y P 2 (V ) w g z w z
Predicción meteorológica:
dV 1 p g 2xV F dt dq dT dp dQ L c p dt dt dt 1 d m 1 dq V m dt 1 q dt
Química: velocidades de reacción
2 A A2 dC A 2 K CA dt
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA ECONOMIA Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable. Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista. De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total. En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc. NO hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una función cualesquiera se maximiza (minimiza) -sea cual sea el número involucrado de variables independientes-. De nuevo el cálculo difrencial es de gran ayuda en estas situaciones. También para la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funciones mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (esta última para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida con desigualdades).
Lagrange: Sea la función objetivo: F(x1,...,xn) s.a: g(x1,...,xn)= C. Donde g es la restricción igualada a una constante C.
f'(x1,...,xn)=tg'(x1,...,xn), donde t= un escalar que multiplica la restricción y que se simboliza con la letra griega lambda. Kühn-Tucker: f(x1,...,xn), s.a: g(x1,...,xn) > C, ó g(x1,...,xn) < C Finalmente la premisa para la diferenciabilidad es la continuidad de las funciones, o sea que auellas no posean saltos. Una de las limitantes cotidianas del desempeño profesional en economía es contar siempre con funciones continuas. Suele ser repetido que los datos existentes se manifiesten en secuencia discreta o discontinua. Sin embargo estoe obstáculo no niega la validez conceptual y técnica de las aplicaciones en economía del cálculo diferencial. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA Las derivadas en sus distintas presentaciones ( Interpretación geométrica, Razón de cambio, variación Instantánea, etc.,) son un excelente instrumento en Economía, para toma de desiciones, optimización de resultados ( Máximos y Mínimos).
FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA.Si x es el numero de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por: Y = f (x) Donde:, en la practica x se toma siempre positivo. Si: f’ > 0 ; la función es de oferta Si: f < 0; La función es de Demanda. El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.
Oferta y demanda 70 60 precios
50 40 30 20 10 0 0
100
200
300 cantidades
400
500
600 demanda oferta
Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda : Respectivamente : Y = (2008 -8x – x^2) / 16 ; y = (1 x^2)/13 Y = (208 -8x – x^2)/16 x=8 ; y = 5 Y = (1 + x^2)/13 -11,5 : y = 10.4 Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que : x debería ser positivo. La pendiente de la demanda en: P(8,5) Y = (208 -8x – x^2) /16 Y’ = ½ -x/8 Reemplazando x=8 y’(s) = -3/2 <0 La pendiente de la oferta en: P(8,5) Y= 0 1 + x^2 / 13 y’(8) = 16/13 > 0
Por la interpretación geométrica de la Derivada, una Derivada es una Pendiente es una Razón o relación de Variación Instantánea. Por tanto en el anterior calculo de las pendiente de las funciones de oferta y Demanda, representan las variaciones instantáneas de los Precios Unitarios (y) con respecto al numero de Unidades (x); exactamente en el instante en que: x = 8. Tomando en Valor absoluto las Pendientes de la Demanda 3/2 ; de la Oferta 16/13, se aprecia que mayor es la variación de la demanda. La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio, o un concepto margina. El concepto Promedio , es la variación de una primera cantidad, respecto a un Intervalo limitado de la Segunda cantidad. El concepto Marginal, es la variación de una Primera Cantidad, respecto a un intervalo tendiente a Cero de una Segunda Cantidad, es decir se trata de una variación Instantánea. Comúnmente la primera cantidad es de un concepto Económico (Costo, Ingreso, etc.), La segunda Cantidad es el numero de unidades. COSTOS
Si el numero de unidades de un bien es . x ; entonces el costo Total puede expresarse como: A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos: COSTO PROMEDIO: Cp = C (x) / x = y COSTO MARGINAL: Cm = C ‘ (x) = dy / dx COSTO PROMEDIO MARGINAL: Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x^2
d/dx * Cp
Ej: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x
Costo Marginal: Cm = C’(x) = a Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2
INGRESOS: Si el Numero de unidades de un bien es x: Siendo la Función de demanda : y = f(x); donde y es el Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es: R(x) = xy = x-f(x) A partir de esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos: INGRESO PROMEDIO Rp = r(x) / x
INGRESO MARGINAL: Rm = R ‘(x) Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien. Ejemplo : Una función de Demanda es: Y = 12 – 4x El Ingreso : R(x) = xy = x(12 -4x) El Ingreso Marginal: R’ (x) = 12 -8x Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de Máximos y mínimos conocidas ( Derivar e igualar a Cero) Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y = 60 -2x La demanda: y = 60 – ex El Ingreso: R(x) = xy = x( 60 – 2x) = 60x – 2x^2 El Ingreso Marginal: R’(x) = 60 – 4x Maximizando la ecuación de Ingreso Total: Si. R8x) = 60x – 2x^2 R’(x) = 60 – 4x = 0 x=15 Rmax. = 60+15 – 2*15^” = 450 En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante la derivada igualada a Cero, determina evidentemente a un máximo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada problema ( de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada)
GANACIAS: Si x es el numero de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x), el costo total; la ganancia entonces es:
G(x) = R(x) – C(x) Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa : G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0 r’(x) = C’(x) Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal. Ejemplo Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x El costo total C(x) = 20 + 14x La Demanda y = 90-2x El ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x)
La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x) = x(90-2x) – (20 + 14 x) = -2x^2 +76x – 20 Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0 x = 19 GMax. = 2+19^2 + 76*19 – 20 = 702
Se supone que las unidades del ingreso ; Costo, Ganancia son unidades monetarias iguales. Similarmente en el problema se supone que las unidades monetarias de la Demanda y Costo son iguales. Hasta el momento se ha operado en los distintos problemas, con funciones ya conocidas de Demanda, costo, etc. Sin embargo en la practica es preciso a veces obtener tales funciones a partir de las situaciones que presenten los problemas, que utilizan a las Derivadas como aplicación económica. Para obtener las funciones de costo demanda, etc. Es conveniente ordenar datos, que provienen de las condiciones del problema de ser necesario se utilizaran variables auxiliares, que posteriormente dieran ser eliminadas, siguiendo luego pasos equivalentes a los sugeridos en los problemas de Máximos y mínimos. Se obtendrán los resultados pedidos.
Ejemplos: 1) Un propietario de 40 departamentos(dep.) puede alquilarlos a 100 $ c/u, sin embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vez que alquila un Departamento menos. ¿ cuantos Departamentos debe alquilar para un máximo ingreso? Reordenando los datos: Nº Total Dep.
: 40
Nº Dep. Alquilados : x Nº Dep. no alquilados: u Alquiler de 1 dep. originalmente : 100$ Incremento por 1 Dep. no alquilado : 5$ Ingreso por u Dep. no alquilados: 5u$ Ingreso por alquiler de 1 DEp. : 100 + 5u Ingreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u) Reemplazando la ecuación de ingreso es: R = x((100+5(40-x)) = -5x^2 + 300x R’ = -10x + 300 = 0 x = 30 Rmax. = -5*30^2 + 300*30 = 4500$ Nótese que no se alquilan 10 dep. ( u = 10) El alquiler de 1 Dep. es : 100 + 5u = 100 + 5*10 = 150$
2. Una entidad bancaria cobra una tarifa de 20$; por cada 1000$ de transacción comercial que efectúa, ofreciendo una rebaja de 0,1$ por cada 1000$ encima del monto de 100000 $. Hallar su máximo Ingreso si: a) La rebaja afecta al monto total de la transacción. b) La rebaja afecta únicamente al monto por encima de 100000$ Reordenando datos: Nº de miles de $ d4e transacción total : x Nº de miles de $ encima de 100 mil $ :u x = u + 100 Tarifa original por mil $ : 20$ Rebaja por mil $ encima de 100mil : 0,1 $ Rebaja por u miles, encima de 100mil : 0,1u $ Tarifa con rebaja: 20 – 0,1u a) Si la rebaja afecta al monto total de la transacción (x en miles de $); el ingreso es: R = x(20-0,1u) R’ = o,2x+30 = 0 x = 150 = x ( 20 – 0,1(x-100) Rmax. = 0.1*150^2 + 30*150 = 2250 mil = 0,1x^2 + 30x =2250000$ b) Si la rebaja afecta únicamente a 1 monto por encima de 100miles de $ ( u en miles de $) ; el ingreso provendrá del monto con tarifa fija, mas el monto con rebaja: R = 100*20 + u(20-0,1u) R’ = -0,2x + 40 = 0 =0> x=200 = 2000 + ( x-100) (20-0,1(x-100) Rmax = -0,1 -0,2x +40 0 0 x=200 = -0,1x^2 + 40 x – 1000 = 3000 miles de $ = 3000000$
TASA DE VARIACIÓN MEDIA INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función. TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir: T.V.M. [a, b] =
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2] Solución T.V.M. [0, 2] =
. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir : A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a. Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:
Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable. Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función en x =0 son 1 y –1.
Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0. Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco es falso.
Ejemplo 2.
es continua en 0, pero no es derivable en 0.
Aplicaciones de la derivadas a la Física La Física es una ciencia cuyas aplicaciones en la matemática son muy importantes, una de ellas es la derivada, a la cual también se le denomina diferenciación. La velocidad es la derivada de la distancia en función del tiempo. La aceleración es la derivada de la velocidad en función del tiempo.
Aceleración Velocidad y Posición Las Fórmulas que necesitaremos para desarrollar los problemas sobre aplicaciones de la derivada a la Física son las siguientes:
1 2 at v0 t x0 , v0 , x0 R 2 dx v v at v0 dt dv a= dt
x=
Debemos conocer también los conceptos de ciertas palabras: Hockey.-Es el juego en donde se utiliza un disco y se empuja sobre hielo Posición.-Ubicación de un cuerpo o partícula con respecto a un sistema de referencia. Velocidad.-Cambio de posición en el tiempo. Aceleración.-Cambio de velocidad en el tiempo. Celeridad.-velocidad, rapidez. Se debe conocer además la derivación implícita que se desarrolló en clases, así como las siguientes fórmulas de integración.
du u =lnu +k
u
n
du =
u n 1 +k n 1
Estas fórmulas serán utilizadas para resolver algunos problemas de los que se dan a continuación.
1.-Una partícula se mueve en línea recta con. s=t3-6t2+9t, en pies y segundos. Hallar su velocidad y aceleración considerando los siguientes tiempos: t=1/2; t=3/2; t=5/2; t=4 2.-La distancia de una locomotora desde un punto fijo sobre una vía recta en el instante t viene dada por s=3t4-44t3+144t2 ,¿Cuándo va marcha atrás? 3.- En cada uno de los movimientos rectilíneos hallar: a) s y a cuando v=0 b) s y v cuando a=0 c) ¿Cuándo s es creciente? d) ¿Cuándo es v creciente? e) ¿Cuándo cambia la dirección del movimiento? 4.- Un disco de hockey sobre hielo se desliza se desliza sobre una película de hielo horizontal animado de una aceleración directamente proporcional a su celeridad. a(v)=-0.50v m/s2 v>0 , donde la velocidad se expresa en metros por segundo, si el disco lleva una velocidad de 15m/s cuando x=0,determinar su velocidad en función de la distancia y calcular su velocidad cuando x=20
5.- El aire frena a los objetos que se mueven a través suyo con una fuerza que aumenta Como al cuadrado de la velocidad. A causa de ello, la aceleración de un ciclista que Ciclista que baja por una pendiente resulta ser: a(v)=0.122-0.0007v2m/s2, donde la velocidad se expresa en metros por segundo Determinar la velocidad del ciclista en función de la distancia si la velocidad es nula Cuando x=0.
6.-Dada la gráfica de la velocidad en función del tiempo y las posiciones iniciales Construye la correspondiente gráfica de la posición en función del tiempo.
5 0 0 5 0 1 0 0
0 60
10 20
30
40 50
7.- Un globo se eleva desde el punto A de la tierra a una velocidad de 15m/s y su Ascenso se observa desde otro punto B, situado en la horizontal que pasa por A y a una distancia de 50 metros. Encuentre la rapidez de variación de la distancia del punto B al globo, cuando la altura de este es 50metros.
x
50
50 8.-Si el precio de cierto producto es p dólares, se venden q miles de unidades de acuerdo con la ecuación p+2q+pq=28.Si p y q dependen del tiempo(en semanas)¿Con qué velocidad(unidades/semana)están cambiando las ventas semanales cuando estas alcanzan las 3000 unidades y el precio está cayendo a razón de 0.40dólares/semana? 9.- Se han colocado 60 árboles en un terreno rectangular, cada uno de los cuales rinde 45 frutos. Sin embargo por cada 5 árboles sembrados adicionalmente, la producción de cada árbol disminuye en 12 frutos. Emplee el concepto de derivada para calcularla máxima producción posible.
10.-Un fabricante de calzado puede destinar su planta a producir zapatos para caballero o para dama. Si se produce x e y miles de pares por semana respectivamente, se sigue que x e y están relacionados por la ecuación de transformación x2+xy+y2=1.Si el costo del fabricante se expresa mediante C=x2+y2 ,determine ¿Cuántos pares de cada tipo deberá producir con el fin de minimizar su costo(exprese el costo en función de x)?
11.-Se sabe que la ganancia G depende de las ventas V, de acuerdo con la función G(V)=0.02V4+10;mientras que V depende de la publicidad S, de acuerdo con V(S)=S1.5+2.Encontrar: i) La rapidez de cambio de G con respecto a S, cuando S=4. ii)La rapidez de variación de la ganancia con respecto a la publicidad cuando V=3.
Matemáticas zodiacales: Calcula tu número personalizado La Numerología y la Astrología son dos antiguas ramas de conocimiento que una vez conocidas se pueden integrar de una forma práctica en la vida diaria. No olvidemos que el horóscopo diario nos da las predicciones generales para el signo, por tanto, para sacarles el mayor partido es menester personalizarlas, o sea, comparar el tránsito de la Luna ese día, los planetas si están directos o retrógrados y otros factores para que unido al conocimiento individual de la Carta Natal se pueda utilizar de una forma sorprendente. Una de esas aplicaciones consiste en la armonización de la fecha natal con el número que impera universalmente cada día, y los números subsiguientes recomendados para un signo en particular. Por supuesto, al igual que ocurre con una predicción meteorológica en que tenemos un 80% de lluvia, podemos salir y ver un cielo despejado y decir ¿qué pasó? ¡No ha caído una gota de lluvia! Olvidando entonces que te encuentras en el otro 20% de las posibilidades. No obstante, por si acaso ¿no sería mejor llevar el paraguas? Para obviar ese problema y poder utilizar de forma efectiva el número de la suerte que se indica cada día en tu horóscopo diario tienes aquí los pasos, explicados de forma sencilla y concreta, que debes seguir para individualizar tu horóscopo y ganar dinero, o concursos, competencias, rifas y otras actividades del azar usando tu número a la hora adecuada. A continuación verás cómo hacerlo, sigue leyendo. Lo primero que vas a hacer es tomar una hoja de papel y escribir tu día de nacimiento, luego le sumas el mes para obtener el primer total. Sin embargo, debes reducir todas las sumas a un solo dígito, del 1 al 9, sumando los números del total entre sí. Por ejemplo, si naciste en octubre el número será 1 (octubre es el mes 10 y por tanto 1+0=1) si naciste en noviembre el número del mes será 2 (noviembre es mes 11 y por tanto 1+1=2) y en diciembre 3 (12=1+2). Lo mismo harás con los días de nacimiento, o sea, si naciste un 22 lo conviertes en 4 porque 22=2+2=4, su naciste un 27 lo conviertes en 9 porque (27=2+7=9) y así con todos los números. Recuerda sumar este número con el del mes para obtener tu primer número clave. Ejemplo, si naciste un 25 de diciembre sumas 25=7 con el mes 12=3 y por tanto 7+3=10 o sea, 1, que será el primer número clave obtenido. Una vez que tengas tu primer número clave, o sea, el total de tu día de nacimiento con el mes, reducido a un solo dígito del 1 al 9, le vas a sumar tu signo zodiacal usando esta correspondencia. Para Aries=1, Tauro=2, Géminis=3, Cáncer=4, Leo=5, Virgo=6, Libra=7, Escorpión=8, Sagitario=9, Capricornio=1, Acuario=2, Piscis=3, y obtendrás otro total. Ejemplo si naciste un 14 de enero eres Capricornio, por tanto sumas: 14=5 con el 1 y el 1 y el resultado es 7. Recuerda que el orden de los sumandos no altera la suma así que de cualquier forma que hagas el cálculo te dará el mismo número siempre.
Matemáticas zodiacales: Calcula tu número personalizado Ya tienes ahora tu total que vamos a seguir analizando. O sea la suma de tu día de nacimiento, con tu mes de nacimiento y tu signo zodiacal todo reducido a un solo número. Y ahora viene la concordancia, o sea, la forma en que ese número se intercala al número diario que aparece en tu horóscopo y es general para tu signo en ese día. Esta parte es sumamente importante ya que aquí es donde verdaderamente está el secreto de tu número personalizado, el día y la hora. ¿Cómo usarlo? Observa los números de la suerte y las horas propicias de tu signo que aparecen cada día en el horóscopo diario. Hay varias probabilidades: Primera, si el número anterior coincide con uno de los números afortunados del día, entonces existen muchas potencialidades de que si lo aplicas la hora correspondiente –según tu horario nacional- coincida con un número premiado en un juego lícito, rifa, evento o algo similar.
Si no coincide entonces lo sumarás a los números que aparecen ese día una vez que los hayas reducido a un dígito, digamos, si aparece el número 17 como afortunado, lo reduces a 8 y si coincide con el tuyo tendrás ahí tu número de la suerte que debes aplicar a la hora adecuada. Recuerda que el secreto está en reducir los números, buscar la correspondencia indicada anteriormente, ver que se repita en tu horóscopo diario y aplicarlo a la hora propicia indicada para tu signo. Las horas en el horóscopo diario están dadas como horas estándar del este de EU, por tanto debes reducirlas. Por ejemplo, si aparecen las 4:00 am como hora afortunada, se refiere a la zona Este y en California y el Pacífico sería la 1:00 am mientras en México DF las 3:00 am y en España las 9 am. Debes tener tu horario para que puedas aplicarlas apropiadamente. Como ves son varios los factores que debes conjugar ya que de no ser así entonces ¡todos los días habría miles de ganadores simplemente por seguir un número, que es general, pero no está personalizado! Este sistema te ayuda a personalizar y descubrir cómo ese número que se indica para tu signo lo puedes adaptar, transformar y calcular para que te sirva a ti en un momento, ciudad y hora específicos. La teoría de las probabilidades está a tu favor cuando efectúas todos estos cálculos. Revisa bien la metodología, sigue cada uno de los pasos como está explicado anteriormente y prepárate para tentar la suerte y la fortuna, recordando siempre que cuando ganes algún dinero por esa vía, deberás compartir parte de tu alegría con los más necesitados. Tu generosidad te hará sentir bien y estarás poniendo tu granito de arena también para ayudar a quienes más lo necesitan ¡a seguir las matemáticas zodiacales ¡y ganar!
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