FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
2012
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA
CURSO:
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TEMA:
FUNCIONES, DERIVADAS E INTEGRALES APLICADAS A LA ECONOMIA
PROFESOR:
WILFREDO MORALES VARGAS
INTENGRANTES: ALVA PAREDES MIGUEL ANGEL
1123110193
AREVALO VALLE KEVIN ARNOLD
1123120315 1123120 315
BERROA MATOS BRIAN ANDRE
1123110618 1123110 618
JAUREQUI ALFARO RODRIGO SEBASTEAN
1123120137
SORIANO MEJIA GIAN FRANCO
1123110201 11231102 01
14 DE NOVIEMBRE DEL 2012.
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FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
2012
INDICE
INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………………. 3
FUNCIONES APLICADAS ALA ECONOMIA…………………………………………………………………
4
PROBLEMAS PROPUESTOS ……………………………………………………………………………………
8
DERIVADAS APLICADAS A LA ECONOMIA………………………………………………………………
15
PROBLEMAS PROPUESTOS……………………………………………………………………………………
18
INTEGRALES APLICADAS A LA ECONOMIA………………………………………………………….... 31
PROBLEMAS PROPUESTOS…………………………………………………………………………………..
34
CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………………...
40
2
FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
2012
INDICE
INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………………. 3
FUNCIONES APLICADAS ALA ECONOMIA…………………………………………………………………
4
PROBLEMAS PROPUESTOS ……………………………………………………………………………………
8
DERIVADAS APLICADAS A LA ECONOMIA………………………………………………………………
15
PROBLEMAS PROPUESTOS……………………………………………………………………………………
18
INTEGRALES APLICADAS A LA ECONOMIA………………………………………………………….... 31
PROBLEMAS PROPUESTOS…………………………………………………………………………………..
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CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………………...
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FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
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INTRODUCCIÓN Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable. Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.
En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones
multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una
son las derivadas parciales respecto a x o y, son
manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.
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FUNCIONES APLICADAS A LA ECONOMIA 1. Funciones Costo. Ahora se considera distintos tipos de costo, que son funciones del siguiente tipo: Función costo total. Esta función representa el dinero que sale de una organización y se encuentra definida en términos de dos componentes: costo variable y costo fijo. Donde los costos variables representan los costos de las materias primas y los costos relacionados con la mano de obra, entre otros; los costos fijos representan los costos en los que se incurre, por ejemplo, por concepto de renta del edificio y manutención de la organización. Ambas componentes deben sumarse para obtener el costo total, así: Costo total = Costo variable + Costo fijo
Función costo promedio.
Anteriormente se definió la función costo total .Ahora se define una función que se llama función costo promedio, la cual se re…ere al costo por producir una sola unidad, es decir:
2. FUNCION INGRESO
Los ingresos totales son el efectivo que el fabricante o el productor recibe por la venta de su producción. Relaciona a las cantidades vendidas por el precio de cada una de ellas, es decir: Ingreso total = (precio por unidad). (Número de unidades vendidas)
El precio algunas veces lo rige el mercado, por lo cual se pude determinar que la variable “p” estará determinada por la función de demanda en el mercado, es decir: Ingreso total = (función de demanda). (Número de unidades vendidas)
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FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
INGRESO PROMEDIO
3. FUNCIONES OFERTA Y DEMANDA Si
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es el número de Unidades de un bien; siendo; el Precio de cada unidad entonces las
Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por:
Dónde: en la práctica x se toma siempre positivo. Si:
Si:
; la función es de oferta
; La función es de Demanda.
Oferta y demanda 70 60 50 s o i c e r p
40 30 20 10 0 0
100
200
300
400
cantidades
500
600 demanda oferta
El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.
Cuando Ed> 1 Demanda elástica Ed= 1 Demanda unitaria Ed< 1 Demanda inelástica
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Si
UTILIDAD O GANANCIA :
es el número de Unidades; siendo
entonces es:
el Ingreso Total;
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el costo total; la ganancia
Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa :
Entonces en el máximo de la Ganancia e l ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal.
A continuación los problemas desarrollados:
Problemas 6
Para el libro “La casa de los espíritus” en su última edición, se determinó que la función de oferta es
y la función demanda está dada por
, donde p es el precio en dólares. Tenemos que y
representan el
número de libros ofrecidos y demandados, respectivamente: a) ¿Cuál es el precio de equilibrio
?
b) Determine la cantidad de libros ofrecidos y demandados en el precio de equilibrio.
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Solución: a) Para encontrar el precio de equilibrio entre l a oferta y la demanda igualamos las ecuaciones:
Entonces el precio de equilibrio es 10 dólares.
b) Para encontrar la cantidad de libros ofrecidos y demandados basta con reemplazar el precio de equilibrio en una de las ecuaciones:
Reemplazando en la ecuación de la oferta:
Reemplazando en la ecuación de la demanda:
Entonces la cantidad de libros ofrecidos y demandados es 480 libros.
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Problema7:
Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar, determina que la cantidad de kilogramos embalados por día, donde:
El ingreso total
es una función del número de trabajadores
, que se recibe por la exportación de
embalados está dado por:
,
kilogramos de fruta
a) ¿Cuál es el Ingreso total si el embalaje de 120 trabajadores es vendido? b) En invierno se reduce la cantidad de trabajadores de la parte a) en un 40%, ¿Cuántos kilogramos se embalan por día? c) ¿Cuál es el ingreso total para el exportador si el embalaje de n trabajadores es vendido? Solución:
a) Como el ingreso total embalados
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está en función de la cantidad en kilogramos de frutas
primero hallamos
y luego
:
FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
Entonces el ingreso total es
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u.m. (unidad monetaria)
b) Como se reducen los trabajadores en un trabajadores restantes eran
entonces
, entonces los
, reemplazando en la ecuación
:
Entonces se embalan 2 488 441 kilogramos de fruta por día cuando hay 72 trabajadores.
c) Hallando el ingreso total haciendo
en función de
entonces
.
Problema 8:
Un fabricante puede vender q unidades de un producto al precio p por unidad, en
donde
. Como una función de la cantidad q demandada en el mercado,
además se sabe que el ingreso semanal está dado por depende
Solución:
9
del precio
?
. ¿En qué forma
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Despejando
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:
() ()
en función de :
Problema 9:
El número de viviendas construidas por año, , depende de la tasa de interés hipotecaria r de acuerdo con la fórmula:
Donde
está en millones de viviendas. La tasa de interés actualmente está en 12% y se
predice que disminuirá a 8% en los dos siguientes años de acuerdo con la fórmula:
Donde t es el tiempo medido en meses, a partir de ahora. a) Exprese el número de viviendas en función del tiempo.
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b) ¿Cuál es el número de viviendas en este instante? c) ¿Cuál es el número de viviendas transcurrido un año y 6 meses?
Solución:
a) número de viviendas en función del tiempo:
Así que expresado el número de viviendas en función del tiempo
b) Para calcular el número de viviendas en este instante basta con reemplazar el tiempo en la función
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:
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() Entonces el número de viviendas en este instante es aproximadamente 204 918 viviendas.
c) Para calcular el número de viviendas en un año y 6 meses ahí que reemplazar en
tiempo en la función
teniendo en cuenta que en tiempo está en meses entonces
()
Entonces el número de viviendas en un año y 6 meses es aproximadamente 288 235 viviendas.
DERIVADAS APLICADA EN LA ECONOMIA Las funciones que hemos estudiado y que se usan frecuentemente en Economía tales como funciones de costos, ofertas, etc. Ahora con la ayuda de la derivada estudiaremos algunos problemas de interés; para esto se sabe que las razones de cambio en el campo de la economía, no se miden con respecto al tiempo; por ejemplo los economistas se refieren al beneficio marginal, ingreso marginal y costo marginal respecto al número de unidades producidas o vendidas.
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1. COSTOS MARGINAL Si C(x) representa el costo total de producir x unidades de cierta mercancía, entonces el costo marginal cuando se producen a unidades está dado por C'(a) , si ésta existe. La función C '(x) se llama la función de Costo Marginal.
COSTO PROMEDIO MARGINAL:
2. INGRESOS MARGINAL: Si I (x) representa la función de ingreso total obtenido cuando se demandan x unidades de cierta mercancía, entonces el ingreso marginal cuando se producen a unidades está dado por I '(a) , si ésta existe. La función I '(x) se llama la función de Ingreso Marginal.
A continuación los problemas desarrollados: Actividad 1:
̅
1. Sea
, el costo promedio de producir q unidades.
a) encuentre la función de costo marginal. b) calcule el costo marginal para c) interprete sus resultados Desarrollando a) Encontrar la función del costo marginal
El costo promedio
Derivando el corto promedio para hallar el costo marginal queda:
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̅
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b) calcular el costo marginal para
c)
e l costo para 30 unidades será de 85.04 por unidad
2. Sea
el costo total de producir q unidades de un producto. a) encuentre la función de costo marginal. b) encuentre el costo marginal para c) interprete el resultado Desarrollando a) encontrando las función de costo marginal
b) encontrando el costo marginal para
c) el costo de producir 3 unidades será de 15
3. suponga
representando la ecuación de la demanda de un determinado
producto. Determine a) la función de ingreso marginal. b) la función ingreso marginal para c) interprete sus resultados Desarrollando a) la función de ingreso marginal . la función de la demanda seria
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El ingreso
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El ingreso marginal
b) la función ingreso marginal para q= 2
c) el ingreso aumentara en 11.52 de un determinado producto por la demanda 2 unidades
4. sea
̅
el costo promedio de producir q unidades. a) Encuentre la función de costo marginal y el costo para b) Interprete resultados Desarrollando
a) El costo promedio es
̅ ̅ ̅ ̅
El costo margina se halla derivando el costo promedio
el costo marginal cuando
b) El costo de producción por unidad es de 20.75 de 98 unidades
5. Sea
la ecuación de la demanda de un determinado artículo. a) determine la función de ingreso marginal b) la función ingreso marginal para
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c) interprete sus resultados Desarrollando a) determine la función de ingreso margina
. Para hallar el ingreso promedio
Hallando el ingreso marginal
b) la función ingreso marginal para q =98
c) la cantidad de ingreso por articulo disminuirá 3.38 por la cantidad de 98 unidades
6. (precio marginal) la ecuación de demanda de cierto artículo es
a) determine la función de precio marginal b) evalué el precio marginal para un nivel de producción de 100 unidades c) interprete sus resultados (recuerde que el precio marginal es )
Desarrollando a) determine la función de precio marginal . Para encontrar el precio marginal debemos derivar
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FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
b) evalué el precio marginal para un nivel de producción de
c) el precio de cierto articula disminuirá 0.
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por cada por
unidades
unidades
7. Una maquina se desprecia años después de su compra a un valor dado por a) calcule la razón de cambio b) la razón de cambio porcentual con respecto al tiempo
Desarrollando a) Primero es hallar la razón de cambio
b) Hallando el razón de cambio porcentual
c) la máquina para un intervalo de tiempo se devaluara
8. Sea
la función de ahorro de cierto país a) Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando miles de millones b) interprete Desarrollando a) Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando . Hallaremos la función del consumo y del ahorro
Ahorro
. Consumo
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Hallando propensión de ahorro y consumo
Ahorro Para
Consumo
Para un
b) El país dedica miles de millones al ahorro, y dedica país dedica miles de millones al consumo adicional a la renta
9. Un capital de
se deposita en un banco a una tasa anual de capitalizable continuamente a) Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo Desarrollando a) Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo La ecuación para una taza capitalizable continúa Por lo dado
. Para hallar la tasa de cambio porcentual
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10.Un capital de
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%
se deposita en un banco a una tasa anual de 8% capitalizable continuamente Desarrollando a) Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo Por lo dado
. para hallar la tasa de cambio porcentual
%
Actividad 2:
1. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es
Determine: a)
La función ingreso marginal (
b)
Calculo el ingreso marginal si las ventas se incrementan en 300 unidades.
Solución:
a)
b)
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)
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2. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular esta dado como una función del tiempo t por la fórmula :
, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana. Determine la tasa de cambio cuando: a) b)
y ¿Qué significa?
y ¿Qué significa?
c) Compare los resultados. ¿Qué encuentra? Solución: Calculando la función Ingreso marginal:
a)
Esto significa que la cantidad de discos vendidos ira creciendo a razón de 400 discos por semana.
b)
Esto significa que la cantidad de discos vendidos ira decreciendo a razón de 1200 discos por semana.
c) Analizando los resultados en y , nos damos cuenta que si el tiempo dado en semanas no sobrepasa en
, la cantidad de discos vendidos incrementaran,
dándose caso contrario si sobrepasan los
20
semanas.
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3. El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora de
discos, está dado por :
a) Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad. b) Calcule Solución:
. ¿Qué significa?
a)
b)
Esto significa que la cantidad del costo irá creciendo a razón de 2997 miles de pesos por 100 mil CDs.
4. Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores
pequeños sea:
,
, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e interprételo cuando la cantidad vendida es 300,500 y 600.
Solución:
a) Cuando
El ingreso marginal para las 300 unidades vendidas será 40 mil dólares. b) Cuando
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FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
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El ingreso marginal para las 500 unidades vendidas será 0 dólares. No hay ingresos.
c) Cuando
El ingreso marginal para las 600 unidades vendidas será 20 (negativo). Esto traerá un descenso en el ingreso total. 5. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por la ecuación:
,
, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20000 barriles (es decir Solución:
)
Calculando la función ingreso marginal:
a) Cuando
El ingreso marginal para los 20mil barriles de petróleo será 60mil dólares.
6. Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este producto, su ingreso está dado por :
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, 0
, donde es el número de unidades vendidas y ingreso marginal en
está en dólares. Encuentre el
, interprete el resultado.
Solución:
Calculando la función ingreso marginal:
a) Cuando
El ingreso marginal para la cantidad de 500 personas será 1480 dólares.
7. La producción semanal de cierto producto es
, donde x es el
número de trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60 trabajadores en la línea. Encuentre
y calcule el cambio en la producción ocasionada por la
suma de un trabajador, interprete el resultado. Solución:
a)
El tiempo de producción para la cantidad de 60 trabajadores es la de 920 semanas.
b)
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El tiempo de producción por la suma de un trabajador será la de 932 semanas. Por lo tanto, la llegada de un nuevo trabajador en la línea de ensamblaje traerá consigo la diferencia de 12 semanas de trabajo en la producción.
Actividad 3: 1.
Halla la derivada de en la siguiente ejercicio
2.
Hallar la derivada de en el ejercicio presentado
3.
Hallar la derivada de en el ejercicio mostrado
4. Hallar la derivada de
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FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
5.
Hallar la derivada de Y
6.
Hallar la derivada de Y
7. Calcular la ecuación de la recta tangente en la curva -----deviramos
……… ahora reemplazando para x=1
entonces…….
la ecuación de la recta tangente
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cuando
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INTEGRALES APLICADAS A LA ECONOMIA APLICACIONES A LA ECONOMIA Y LOS SEGUROS. Los economistas sostienen que algunas veces es más fácil obtener los datos que reflejan los incrementos ocasionados en los costos e ingresos, obtenidos con la producción y venta adicional de un determinado artículo, es por esta razón que no es posible dete rminar directamente las funciones costo e ingreso total a las que corresponden dichos datos, pero se pueden conocerla funciones costo e ingreso marginal a las que corresponden, de esta manera se pueden determinar las funciones costo e ingreso total de la s iguiente manera.
1. Costo marginal. Si la función costo marginal está dada por
Entonces, el costo total será la integral con respecto a x de la función costo marginal, es decir,
Para obtener una única función costo total, al integrar dicha función, debe especificarse una condición inicial, la cual es el costo.
2. Ingreso marginal. El ingreso marginal que depende de la cantidad demandada, es la derivada del ingreso total con respecto a x; es decir,
por tanto, la función ingreso total es la integral, con respecto a x; de la función ingreso margina ,es decir,
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FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
y dado que,
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se tiene que especificar una condición inicial para obtener una única función ingreso total. Para evaluar la constante de integración puede usarse la condición inicial de que el ingreso es nulo cuando la cantidad de demanda es nula
3. Beneficio (Ingresos contra costos). La integración se utiliza en administración y economía para determinar el bene…cio total o las ganancias netas totales. En general, se maximiza el bene…cio (suponiendo libre competencia) cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. El bene…cio total se determina integrando la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal, desde ¤
cero hasta la cantidad x para la cual el beneficio es máximo, es decir:
1. EXEDENTE (O SUPERÁVIT) DEL CONSUMIDOR
Las cantidades de un artículo que podría comprarse a diversos precios, se representan
mediante la función demanda. Cuando el precio en el mercado es cantidad demandada es
y la correspondiente
entonces los consumidores que estuviesen dispuestos a pagar
un precio mayor que el del mercado, se benefician por el hecho de que el precio es solamente
∫ ∫
De acuerdo a ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del consumidor está representada por el área bajo la línea de demanda
y sobre la recta
se conoce como excedente (o superávit) del consumidor y que es calculado así:
La otra forma de calcular es así:
Excedente del consumidor:
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y que
FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
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∫ ∫ 2. EXDENTE (O SUPERÁVIT) DEL PRODUCTOR
Las cantidades de un artículo que se ofrecen en el mercado a diversos precios, se
representan mediante la función oferta Cuando el precio en el mercado es correspondiente cantidad ofrecida es
y la
entonces los productores que estuviesen
dispuestos a pagar un precio inferior al del mercado, se benefician por el hecho de que el precio es
∫
De acuerdo a ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del productor está representada por el área bajo la curva de oferta
y bajo la recta
y que se
conoce como excedente (o superávit) del productor y que es calculado así:
La otra forma de calcular es así:
Excedente del consumidor:
∫
∫ ∫
INGRESOS FRENTE A COSTOS
En administración y economía para determinar la utilidad total o las ganancias netas se utiliza la integración y para esto se maximiza la utilidad que ocurre cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal de donde la utilidad total se determina integrando la diferencia entre el ingreso marginal (IM) y el costo marginal (CM) desde cero hasta la cantidad en la cual la ganancia es máxima. Esto es:
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FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
∫
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A continuación los problemas desarrollados: 1.- Sea la función demanda
, determinar el excedente del
consumidor empleando dos métodos distintos. a) Si b) Si
Resolución utilizando el primer método
∫ ∫ ∫
Sea la ecuación de la demanda
a)
Sea la ecuación demanda
Para hallar
b)
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entonces el excedente del consumidor será:
entonces el excedente del consumidor será:
debemos despejar x de
esto es:
FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
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∫
∫ ∫ ∫
2.- Sea la función demanda
, determinar el excedente del consumidor
empleando dos métodos distintos. a) Si b) Si
Primer método a) Si
Para hallar
debemos despejar de
Segundo método c) Si
30
esto es:
FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
3.- Sea la función demanda
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, determinar el excedente del
consumidor empleando dos métodos distintos.
∫ ∫ √ √ ∫ √ √ √ √
a) Si
b) Si
Primer método a) Si
Para hallar
debemos despejar x de
esto es:
Segundo método b) Si
4.- si la función de demanda es
, evaluar el excedente del
consumidor mediante dos métodos distintos. Primer método a)
Para hallar
debemos despejar x de
Segundo método
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esto es:
FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
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√ ∫ √ √ b) Si
5.- la cantidad vendida y el correspondiente precio de en un mercado monopólico, se determina por la función de demanda
y por la función casto marginal
de manera q se maximice la ganancia. Determinar el correspondiente
excedente de consumidor. Resolución
∫ √ Sea la función demanda
entonces
el ingreso total es
Ingreso marginal es: Costo marginal es:
La ganancia máxima se obtiene igualando ambas funciones:
Luego el excedente del consumidor es:
6.- si la función oferta es
y se fija el precio en
excedente del productor. Resolución: Si
El excedente del productor se obtiene a partir de la siguiente fórmula:
32
, obtener el
FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
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∫ Entonces el excedente del productor en el problema es:
√ √ √ ∫ √
7.- La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado delibre competencia,
están determinados por las funciones de demanda y oferta
y
respectivamente. Obtener el correspondiente excedente de producción.
Resolución:
Se necesita tener el precio de equilibrio para obtener el excedente de producción y esto se logra igualando ambas funciones estos es: Luego en el excedente de producción será:
∫
8.- La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado delibre competencia,
están determinados por las funciones de demanda y oferta
y
respectivamente. Determinar los correspondientes excedentes del consumidor y
del productor. Resolución:
Se necesita tener el precio de equilibrio para obtener el excedente de producción y esto se logra igualando ambas funciones estos es: Luego en el excedente de producción será:
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FUNCIONES,DERIVADAS, INTEGRALES APLICADAS EN LA ECONOMIA
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∫ Luego el excedente del consumidor será:
∫
9.- Evaluar la cantidad producida que maximice la utilidad, y determinar la utilidad total en dicho punto, si las funciones de ingreso marginal IM y costo marginal CM están dados por:
Resolución:
La utilidad total producida se encuentra evaluando en el punto donde se maximice la utiliza y se calcula de la siguiente manera:
∫
Encontrando el punto que maximice utilidades:
∫( )
Luego hallando la utilidad total:
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