Monografia de Aplicacion de Las Derivadas-1

INDICE 1. Índice 2. Intr Introd oduc ucci ción ón 3. Defi Defini nici ción ón 4.

Ejercicios Propuestos

5. Ejer Ejercic cicio ioss Resue Resueltltos os 6. Bibl Biblio iogr graf afía ía

INTRODUCCIÓN La Matemática como ciencia ha proporcionado al hombre las más poderosas herramientas para enfrentar los más disímiles problemas de la cotidianidad. La mayoría de los campos del saber humano se valen de técnicas matemáticas para indagar indagar en la explicación explicación de relaciones relaciones causales causales de los procesos procesos y fenómenos fenómenos que ocurren en cada especialidad. Hoy en día resulta frecuente encontrarnos artículos de las ciencias médicas, químico-farmacéuticas, ciencias sociales (o de cualquier área general del saber), en que se haga referencia a algún concepto o ente ente matemá matemátic tico. o. Especi Especialm alment ente e en las ciencia cienciass económi económicas cas son utiliz utilizado adoss conceptos conceptos como la derivada, derivada, la integral, integral, las ecuaciones ecuaciones difere diferenciale nciales, s, las series series temporales, entre otros. Los métodos más modernos de medición de la eficiencia y la opti optimi miza zaci ción ón econ económ ómic ica a tien tienen en como como sust sustra rato to esen esenci cial al algú algún n mode modelo lo matemático. Probablemente uno de los conceptos más útiles y aplicables en la Economía sea la derivada de una función. Cualquier curso de matemática superior contiene, inel ineludi udible bleme ment nte, e, un tema tema dedi dedica cado do espe especi cial alme ment nte e a las las apli aplica caci cion ones es de la derivada. Generalmente se acostumbra presentar el estudio, de acuerdo al área específica del conocimiento desde donde se aborde la temática, en dos partes. De una, la utilización de la derivada en la obtención de soluciones estrictamente matemáticas; a saber: el cálculo de límites indeterminados y el trazado general de curvas. De otra, las aplicaciones específicas en la especialidad de que se trate. El objetivo de este trabajo es ilustrar las aplicaciones generales de la derivada, con la intención de que este escrito sea utilizado por estudiantes de Economía. Se estructura en tres apartados: el primero, dedicado a la resolución de límites

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indeterminados; el segundo, al trazado de curvas; y por último, la resolución de problemas económicos de optimización. Toda aplicación formalizada de la ciencia tiene su nacimiento en un problema de la práctica práctica objetiva. Probablement Probablemente e uno de los más bonitos bonitos y útiles útiles ejemplos de utilización de la optimización se puede encontrar en el siguiente suceso de la segunda mitad del siglo XX 1: En febrero de 1953 se produjo en Holanda la inundación más importante de su historia. Los diques que protegían el país fueron arrasados y murieron más de 1800 personas. Los daños se cifraron en el 7 % del Producto Interno Bruto de aquel año. Se creó una comisión comisión de investigaci investigación ón sobre los hechos y sobre cómo prevenir desastres semejantes en el futuro. La reconstrucción de los diques de tal forma que la seguridad fuera total, requería desembolsos astronómicos, y podía no ser factible. El problema real era, entonces, lograr una especie de equilibrio, entre costos y seguridad: diques más altos eran más costosos, pero reducían las posibil posibilida idades des de futuras futuras inundac inundacion iones. es. Por tanto, tanto, la comisi comisión ón se enfren enfrentó tó al problema de seleccionar la altura óptima de los diques. Estos tipos de equilibrios son centrales en economía. Conducen a problemas de optimización de un tipo que el análisis matemático maneja de forma natural. En este capítulo ilustraremos cómo resolver este tipo de problemas económicos. El estudio estudio de las operaci operacione oness con deriva derivadas das,, junto junto con las integra integrales les,, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.















APLICACIÓN DE UNA DERIVADA 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA Incremento de una función Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

Tasa de variación media Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio cambio)) T.V. T.V.M. M.,, de la func funció ión n y =f(x =f(x)) en el intervalo [a, [a, b] al coci cocien ente te entr entre e los los incr increm emen ento toss de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2] Solución T.V.M. [0, 2] =

Ejercicio Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2.















La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería

.

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

= Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x 2 +4x el punto punto de abscisa x =1. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ Observación 2. También (obligatorio (obligatorio que f sea continua) continua) según se considere considere el límite para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable. Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función 1.

en x =0 son 1 y –















Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco es falso. Ejemplo 2.

es continua en 0, pero no es derivable en 0.

APLICACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA Consideremos la función espacio E= E(t). La tasa tasa de variación variación media media de la función función espacio espacio en el intervalo intervalo [t0, t] es: vM(t)= , que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t 0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:

LA DERIVADA DEL ESPACIO RESPECTO RESPECTO DEL TIEMPO TIEMPO ES LA VELOCIDAD VELOCIDAD INSTANTÁNEA. ecuaci ción ón de un movi movimi mien ento to es , Ejercicio 3. La ecua calcula la velocidad en el instante t =5.

,

Solución v(t)=E’(t)= 2t -6

en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4 =4

3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La tasa de variación media de una función función f en [a, a +h] es la pendiente pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h. Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:















La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar y - f(a) = f ´(a)(x-a) . Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica gráfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a) Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)

Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta recta tangente tangente a la gráfica gráfica de f(x) f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0 Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax +5x –1 sean paralelas en x = 1. 2

Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

4. FUNCIÓ CIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN. CÁLCUL CULO DE DERIVADAS La función derivada La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.

TABLA DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES 1) f(x) =k  f´(x) =0 2) f(x) = xn  f´(x) = nxn-1

3) f(x) =



f´(x) =

















6) f(x) = sen x  f´(x) = cos x 7) f(x) = cos x  f´(x) = -sen x

Reglas de derivación Si f y g son funciones funciones derivables derivables en a entonces entonces f +g y f.g son derivables derivables en a y se verifica: -(f +g)´= f´(a) + g´(a) -(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a) Además si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-

Ejercicio 6. Calcula la derivada de:

a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)

c) h(x) = tan x; d)

Estudi dia a en qué qué punt puntos os no son son deri deriva vabl bles es las las sigui siguien ente tess Ejerci Ejercicio cio 7. Estu

















Observación:

la

gráfica

de

esta

función

es:

b) y =

c) g(x)=

Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.

Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda, y f ´´´, f ´ v que se dice son las derivadas sucesivas de f.

b) g( g(x) = ; c) c) Ejercicio Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= e x; b) h(x)= sen x.

















Derivación logarítmica Como Como apli aplica caci ción ón de la regl regla a de la cade cadena na se tien tiene, e, si



, y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.

Método: Sea 1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad ln y =ln

=g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2º Se deriva

3º Se despeja y’

[

que puede escribirse :

]

[

]

y’



















y’=xx(ln x +1)

Derivada de la función inversa Es otra aplicación de la regla de la cadena. Como f f -1= I, se tiene (f f –1)’(x)= f ’(f –1(x))(f –1)’(x)=1, luego despejando 



(f –1)’(x)= 1/f ’(f –1)’(x),

Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x = 1 +tg2y, de donde:



x = tg y , y derivando x ’

Ejercicio 9. Calcula la derivada de Tabla de derivadas (propuesta como ejercicio)

Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f(x)=

c) y =

;

b)

;

;

d) h(x) =cos3(x2-2);

















Proposición. Si una función f es derivable en un punto a, y f’(a)>0 entonces f es creciente en el punto a.

Figura 1 La demo demost strac ració ión n de este este resul resulta tado do pued puede e hace hacerse rse usando usando la defi defini nici ción ón de derivada y e concepto de límite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geométrico de la derivada (ver figura 1). Si f es derivable en un intervalo I y f ’ >0 en ese intervalo entonces f crece en en I.

El recíproco no se cumple en general. Ejemplo 5. La función y =x 3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f ’(0) =0. Análogamente si f es derivable en un punto a y f ‘(a)<0 entonces f es decreciente en a. Si f ‘<0 en todo un intervalo I, f es decreciente en I. (Ver figura 1)

6. MÁ MÁXI XIMO MOS S Y MÍ MÍNI NIMO MOS S REL RELAT ATIV IVOS OS (O LO LOCAL CALES ES)) DE FU FUNCI NCION ONES ES DERIVABLES Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un



















Figura 2

Condición necesaria de extremo Proposición. Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0. Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f ’(a)>0 entonces por la proposición anterior f sería creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de extremo. La condición no es suficiente.



















nción se pide estudiar el cre crecimiento y Ejer Ejerci cici cio o 9.Dada la funci decrecimiento, máximos y mínimos relativos.

Condición suficiente de extremo Proposición. Sea f una función derivable en a y tal que f ‘(a)=0: a) Si f ’’>0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a. b) Si f ‘’<0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto a. Esta proposición nos da también un método para resolver los problemas de máximos y mínimos para funciones derivables. Se presentarán en tablas estos estos resultados:

f(x) f '(x) f ''( )

Crece +

Máximo 0

Decrece -



















rectángulos de 20cm de perímetro perímetro halla el que tiene Ejercicio 12. Entre todos los rectángulos diagonal mínima.

7. Algunas “precisiones” sobre los extremos de funciones OBSERVACIÓN 1. Decir que f posee un máximo local en un punto x 0, significa que existe un intervalo (x 0 - r, x0 + r) r) tal tal que que f(x f(x)) f(x f(x0) para todo x pertenecient perteneciente e al conjunto (x0 - r, x0 + r)  Df . Análogamente para mínimo local. Esta matización en la definición de extremo, de intersecar el entorno con el dominio de f, Df , es esencial. En otro caso se puede llegar al absurdo de decir que una función continua, definida en un dominio compacto, no tiene extremos locales (cuando sabemos sabemos por el teorema teorema de Weiertrars que los posee incluso absolutos), absolutos), cuando éstos se alcanzasen en puntos no interiores del dominio. OBSE OBSERV RVAC ACIÓ IÓN N 2. No se debe deben n asoc asocia iarr tant tanto o los los extr extrem emos os loca locale less a las las derivadas, ya que éstos pueden encontrarse en los puntos en que la función no es derivable.



















Si no tuvieras las gráficas ¿cómo les localizarías? Tenien Teniendo do expuest expuesto o anterio anteriorme rmente nte deduce razo razona nada dame ment nte e como como se pued pueden en calcular los extremos (absolutos y relativos) de una función.

Ejercicio 14. Calcula los extremos (indica si son absolutos o no) de las siguientes funciones, en caso de que existan: a) f(x)=-x3 +3x;

b)

; c)

d) e) 8. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN Una función es convexa[3] en a, si existe un intervalo que contiene al punto a, tal que la diferencia entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente a la gráfica de f en el punto ( a, f(a)) es positiva en dicho intervalo.



















Ejemplo 7. En la gráfica aparece la función y = x 3 y la tangente en el punto x =0. Se aprecia que en dicho punto la gráfica posee una inflexión.

Figura 5 Proposición. Si la función es derivable en a y f’’(a)>0 se verifica que f es convexa en a. Análogamente si f es derivable en a y f’’(a)<0 se verifica que f es cóncava en a. Para calc calcula ularr los los punt puntos os de infl inflex exió ión n se hall halla a la deriv derivad ada a Criterio Criterio práctico práctico. Para segunda de f, se igual a cero y se resuelve la ecuación. En las soluciones de la ecuación se estudia y si cambia la curvatura hay punto de inflexión.

f ’’(x) f (x)

+ 0 Convexa P.inf

Cóncava

























9. APLICA APLICACIÓ CIÓN N DE LA DERIVA DERIVADA DA A LA REPRES REPRESENT ENTACI ACIÓN ÓN GRÁFIC GRÁFICA A DE FUNCIONES El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta: I) Estudio de f (resumen) 1º Dominio de f. 2º Puntos de corte con los ejes. 3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo).





















III) Estudio de f’’(resumen (resumen)) 1º Concavi Concavidad dad y convexidad, convexidad, f ’’>0 ’’>0 convexa , f ’’<0 ’’<0 cóncava  2º S i f ’’(x 0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura cu rvatura es punto de inflexión. Ejemplo 8. Representamos gráficamente la función I) Estudio de f 1º D =R 2º Puntos de corte, el (0, 0)





















2º Tiene un mínimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un máximo relativo en el punto (1, 1/2). III) Estudio de f ’’ f ’’(x)=

x f ’’ f

=

f ’’(x)=0  -



0 + inflexión 

0 0 inflexión 

+ 0 inflexión























Ejemplo 10. La gráfica de y =ln (x2-1)





















Deducir de forma razonada: ¿Qué distancia distancia ha recorrido recorrido el atleta atleta cuando alcanza su velocidad velocidad máxima?¿cuál máxima?¿cuál es ésta velocidad?

Problema 4. El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto producto viene dado por C(x) = . Definir Definir la función función que determina determina el cost coste e medi medio o por por litr litro o prod produc ucid ido o y dete determ rmin inar ar de form forma a razo razona nada da con con qué qué producción dicho coste medio será mínimo. ¿cuál es el valor de dicho coste?

Problema 5. Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función f(x) =2x 2-12x +23, donde f indica los litros consumidos consumidos en una hora y x viene expresada expresada en miles de























PROBLEMAS DEL DEL TEMA (DERIVADAS) PROPUESTOS La funci función ón f(t) f(t)= = 2`1t 2`1t2+ 0`8 0`8 t-1, -1, para para , dond donde e el tie tiempo, mpo, t, viene iene 1. La expresado en años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años 1991 (t =0) y 2000 (t =9).























PROBLEMAS PROPUESTOS 1 A un vendedor de ordenadores le cuesta 140000 soles. cada modelo de la























a) Deducir razonadamente la cantidad de dinero que le conviene invertir a un cliente en dicho plan .(en soluciones gráficas es el 11) b) ¿Qué cantidad obtendría?























EJERCICIOS RESUELTOS inversión genera una rentabilidad rentabilidad que depende de la cantidad de 1. Un fondo de inversión dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x 2+0.8x-5 donde R(x) representa la























se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0





































































































































































































































































































































































































































Monografia de Aplicacion de Las Derivadas-1

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