Aplicacion de las EDO en la trayectoria de un cohete

Utilizando las aplicaciones de modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales de segundo orden en trayectorias de un proyectil se obtuvo una ecuación que nos permite conocer el movimiento de un cohete en la cual se obtiene una parábola.
Mediante un software de simulación y con la ecuación de la trayectoria de un proyectil obtenida se pude ayudar al mejoramiento de técnicas de armamento artillero, que es de vital importancia, pues al aumentar la precisión de los disparos, no solo aumenta la efectividad de aniquilación del enemigo sino que minimiza los costos en municiones.
Al analizar las gráficas del software de simulación con la trayectoria de nuestro ensayo, se observó que estas son similares y que forman una trayectoria de forma parabólica.
Mediante el software de simulación utilizado (Tracker), se pudo obtener los datos necesarios como son: tiempo, desplazamiento, altura máxima, al igual que la trayectoria recorrida, los cuales son muy similares con los datos tomados al momento de realizar el ensayo.


Supongamos que se dispara un cohete en dirección vertical desde la superficie terrestre. Si la dirección positiva es hacia arriba y no se toma en cuenta la resistencia del aire, la ecuación diferencial del movimiento después de quemar el combustible, es:
md2ydt2=-kMmy2
O sea:
d2ydt2=-kMy2
Donde k es una constante de proporcionalidad, y es la distancia del centro de la Tierra al cohete, M es la masa de la Tierra y m es la masa del cohete. Para calcular la constante k aprovechamos que cuando:
y=R, =kMmR2=mg
O bien:
k=gR2M
Entonces la última de las ecuaciones se transforma en:
d2ydt2=-gR2y2
Velocidad de escape
Como v=dydt es la velocidad, podemos expresar la aceleración del cohete de los párrafos anteriores de la forma:
d2ydt2=dvdt=dvdy*dydt=vdvdy
Por lo tanto se transforma en una ecuación de primer orden en v, esto es:
vdvdy=-gR2y2
Esta última ecuación se la puede resolver por separación de variables. A partir de:
v dv=-gRy-2dy
Obtenemos:
v22=gR2y+c
Si suponemos que la velocidad del cohete v=vo cuando se acaba el combustible y que y R en ese momento, podemos aproximar el valor de c. Con la ecuación anterior obtenemos:
c=-gR+vo22
Al sustituir ese valor de nuevo en esa ecuación y multiplicar por dos las ecuación resultante. Se obtiene:
v2=2gR2y-2gR+vo2