Aplicaciones de Las Derivadas en Fisica

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN FÍSICA

En física, las derivadas se aplican en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud una  magnitud o situación. La velocidad La velocidad (velocidad instantánea; el concepto de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo) es la derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.

La aceleración La aceleración es la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad de un objeto.

La Sobreaceleración La Sobreaceleración o el tirón es la derivada, con respecto al tiempo, de la aceleración de un objeto.

Por ejemplo, si la posición de un objeto ob jeto está determinada por la ecuación:

Entonces la velocidad del objeto es:

La aceleración del objeto es:

y el tirón del objeto es:

Si la velocidad la velocidad de un auto un auto está dada como una función del tiempo, del  tiempo,   entonces la derivada de dicha función con respecto al tiempo, describe la  aceleración del auto como una función del tiempo.

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo.

Aplicación física de la derivada Supongamos un móvil que se mueve y conocemos el espacio recorrido en función del tiempo s(t) . La tasa de variación media (TVM) de la función s(t) en un intervalo (t0, t1) indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes t0 y t1 . •

s'(t) es su velocidad en un instante cualquiera t .

•

s''(t) es su aceleración en un instante cualquiera t .

Velocidad media Para encontrar la rapidez o lentitud del movimiento de un móvil entre dos instantes t0 y t1 = t0 + h (h = t1 - t0) se recurre a la velocidad media:

Indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes t0 y t0 + h . En general, esta velocidad media representa la tasa de variación media función s(t) en un intervalo cualquiera.

(TVM)

de la

Velocidad instantánea Para encontrar la velocidad de un móvil en un momento determinado t = t0 hallamos la velocidad instantánea:

En general,

v(t) = s'(t)

es la velocidad instantánea para cualquier instante:

Aceleración Para hallar la aceleración de un móvil en un momento determinado t = t0 :

En general,

s''(t) = v'(t)

es la aceleración para cualquier instante:

Nomenclatura de Leibniz En física es común usar la siguiente nomenclatura para la derivada:

Y para la segunda derivada:

Cálculo de la velocidad media, velocidad instantánea y aceleración 2

La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es s(t) = 3t  - t + 3 , donde t se mide en segundos. 1) Halla la velocidad media en el intervalo [2 , 3] . 2) Halla la velocidad para t = 3 segundos. 3) Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.

1) Halla la velocidad media en el intervalo [2 , 3] .

2) Halla la velocidad para t = 3 segundos.

También podríamos haber hallado la velocidad en t = 3 aplicando las reglas de derivación: v(t0) = s'(t0) = 3·2t0 - 1 = 6t0 - 1 y sustituyendo en t = 3 : v(3) = s'(3) = 6·3 - 1 = 17

3) Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.

Para calcular la aceleración tenemos que hallar:

a = s''(t)

s'(t) = 6t - 1 s''(t) = 6 La segunda derivada es constante igual a 6 , por lo que podemos afirmar que la aceleración es constante para cualquier intervalo ( a = s''(t) ) .