INDICE 1. Índice 2. Intr Introd oduc ucci ción ón 3. Defi Defini nici ción ón 4.
Ejercicios Propuestos
5. Ejer Ejercic cicio ioss Resue Resueltltos os 6. Bibl Biblio iogr graf afía ía
INTRODUCCIÓN La Matemática como ciencia ha proporcionado al hombre las más poderosas herramientas para enfrentar los más disímiles problemas de la cotidianidad. La mayoría de los campos del saber humano se valen de técnicas matemáticas para indagar indagar en la explicación explicación de relaciones relaciones causales causales de los procesos procesos y fenómenos fenómenos que ocurren en cada especialidad. Hoy en día resulta frecuente encontrarnos artículos de las ciencias médicas, químico-farmacéuticas, ciencias sociales (o de cualquier área general del saber), en que se haga referencia a algún concepto o ente ente matemá matemátic tico. o. Especi Especialm alment ente e en las ciencia cienciass económi económicas cas son utiliz utilizado adoss conceptos conceptos como la derivada, derivada, la integral, integral, las ecuaciones ecuaciones difere diferenciale nciales, s, las series series temporales, entre otros. Los métodos más modernos de medición de la eficiencia y la opti optimi miza zaci ción ón econ económ ómic ica a tien tienen en como como sust sustra rato to esen esenci cial al algú algún n mode modelo lo matemático. Probablemente uno de los conceptos más útiles y aplicables en la Economía sea la derivada de una función. Cualquier curso de matemática superior contiene, inel ineludi udible bleme ment nte, e, un tema tema dedi dedica cado do espe especi cial alme ment nte e a las las apli aplica caci cion ones es de la derivada. Generalmente se acostumbra presentar el estudio, de acuerdo al área específica del conocimiento desde donde se aborde la temática, en dos partes. De una, la utilización de la derivada en la obtención de soluciones estrictamente matemáticas; a saber: el cálculo de límites indeterminados y el trazado general de curvas. De otra, las aplicaciones específicas en la especialidad de que se trate. El objetivo de este trabajo es ilustrar las aplicaciones generales de la derivada, con la intención de que este escrito sea utilizado por estudiantes de Economía. Se estructura en tres apartados: el primero, dedicado a la resolución de límites
indeterminados; el segundo, al trazado de curvas; y por último, la resolución de problemas económicos de optimización. Toda aplicación formalizada de la ciencia tiene su nacimiento en un problema de la práctica práctica objetiva. Probablement Probablemente e uno de los más bonitos bonitos y útiles útiles ejemplos de utilización de la optimización se puede encontrar en el siguiente suceso de la segunda mitad del siglo XX 1: En febrero de 1953 se produjo en Holanda la inundación más importante de su historia. Los diques que protegían el país fueron arrasados y murieron más de 1800 personas. Los daños se cifraron en el 7 % del Producto Interno Bruto de aquel año. Se creó una comisión comisión de investigaci investigación ón sobre los hechos y sobre cómo prevenir desastres semejantes en el futuro. La reconstrucción de los diques de tal forma que la seguridad fuera total, requería desembolsos astronómicos, y podía no ser factible. El problema real era, entonces, lograr una especie de equilibrio, entre costos y seguridad: diques más altos eran más costosos, pero reducían las posibil posibilida idades des de futuras futuras inundac inundacion iones. es. Por tanto, tanto, la comisi comisión ón se enfren enfrentó tó al problema de seleccionar la altura óptima de los diques. Estos tipos de equilibrios son centrales en economía. Conducen a problemas de optimización de un tipo que el análisis matemático maneja de forma natural. En este capítulo ilustraremos cómo resolver este tipo de problemas económicos. El estudio estudio de las operaci operacione oness con deriva derivadas das,, junto junto con las integra integrales les,, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1.
APLICACIÓN DE UNA DERIVADA 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA Incremento de una función Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio cambio)) T.V. T.V.M. M.,, de la func funció ión n y =f(x =f(x)) en el intervalo [a, [a, b] al coci cocien ente te entr entre e los los incr increm emen ento toss de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2] Solución T.V.M. [0, 2] =
Ejercicio Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2. 2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA D ERIVADA Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería
.
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
= Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:
Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x 2 +4x el punto punto de abscisa x =1. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ Observación 2. También (obligatorio (obligatorio que f sea continua) continua) según se considere considere el límite para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable. Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función 1.
Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.
en x =0 son 1 y –
Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco es falso. Ejemplo 2.
es continua en 0, pero no es derivable en 0.
APLICACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA Consideremos la función espacio E= E(t). La tasa tasa de variación variación media media de la función función espacio espacio en el intervalo intervalo [t0, t] es: vM(t)= , que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t 0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
LA DERIVADA DEL ESPACIO RESPECTO RESPECTO DEL TIEMPO TIEMPO ES LA VELOCIDAD VELOCIDAD INSTANTÁNEA. ecuaci ción ón de un movi movimi mien ento to es , Ejercicio 3. La ecua calcula la velocidad en el instante t =5.
,
Solución v(t)=E’(t)= 2t -6
en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4 =4
3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La tasa de variación media de una función función f en [a, a +h] es la pendiente pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h. Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar y - f(a) = f ´(a)(x-a) . Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica gráfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a) Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta recta tangente tangente a la gráfica gráfica de f(x) f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0 Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax +5x –1 sean paralelas en x = 1. 2
Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente
4. FUNCIÓ CIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN. CÁLCUL CULO DE DERIVADAS La función derivada La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.
TABLA DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES 1) f(x) =k f´(x) =0 2) f(x) = xn f´(x) = nxn-1
3) f(x) =
f´(x) =
4) f(x) = ln x
f´(x) =
5) f(x) = ex = ex
6) f(x) = sen x f´(x) = cos x 7) f(x) = cos x f´(x) = -sen x
Reglas de derivación Si f y g son funciones funciones derivables derivables en a entonces entonces f +g y f.g son derivables derivables en a y se verifica: -(f +g)´= f´(a) + g´(a) -(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a) Además si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica
-
Ejercicio 6. Calcula la derivada de:
a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)
c) h(x) = tan x; d)
Estudi dia a en qué qué punt puntos os no son son deri deriva vabl bles es las las sigui siguien ente tess Ejerci Ejercicio cio 7. Estu funciones, razonando la respuesta:
a) f(x)=
Observación:
la
gráfica
de
esta
función
es:
b) y =
c) g(x)=
Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.
Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda, y f ´´´, f ´ v que se dice son las derivadas sucesivas de f.
b) g( g(x) = ; c) c) Ejercicio Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= e x; b) h(x)= sen x.
Regla de la cadena Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f g es derivable en a y se verifica:
(f g)´(a) = f´(g(a)).g´(a)
Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)
Derivación logarítmica Como Como apli aplica caci ción ón de la regl regla a de la cade cadena na se tien tiene, e, si
y’
, y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.
Método: Sea 1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad ln y =ln
=g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)
2º Se deriva
3º Se despeja y’
[
]
[
]
que puede escribirse :
“compleja [1]”” no suele aplicarse aplicarse es Observación. La fórmula por ser muy “compleja[1] preferible aplicar el método en cada ejercicio.
Ejemplo 4. Consideremos la función y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue: , y derivando los dos miembros miembros de la igualdad
y’=xx(ln x +1)
Derivada de la función inversa Es otra aplicación de la regla de la cadena. Como f f -1= I, se tiene (f f –1)’(x)= f ’(f –1(x))(f –1)’(x)=1, luego despejando
(f –1)’(x)= 1/f ’(f –1)’(x),
Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x = 1 +tg2y, de donde:
x = tg y , y derivando x ’
Ejercicio 9. Calcula la derivada de Tabla de derivadas (propuesta como ejercicio)
Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f(x)=
c) y =
;
b)
;
e) y =e arc tg x;
g) y =
j) y = ln
;
d) h(x) =cos3(x2-2); f) j(x) =arc sen(x + 3x2)
;
h) k(x) =(x2+1)cos x;
; k) y =
;
5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Proposición. Si una función f es derivable en un punto a, y f’(a)>0 entonces f es creciente en el punto a.
Figura 1 La demo demost strac ració ión n de este este resul resulta tado do pued puede e hace hacerse rse usando usando la defi defini nici ción ón de derivada y e concepto de límite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geométrico de la derivada (ver figura 1). Si f es derivable en un intervalo I y f ’ >0 en ese intervalo entonces f crece en en I.
El recíproco no se cumple en general. Ejemplo 5. La función y =x 3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f ’(0) =0. Análogamente si f es derivable en un punto a y f ‘(a)<0 entonces f es decreciente en a. Si f ‘<0 en todo un intervalo I, f es decreciente en I. (Ver figura 1)
6. MÁ MÁXI XIMO MOS S Y MÍ MÍNI NIMO MOS S REL RELAT ATIV IVOS OS (O LO LOCAL CALES ES)) DE FU FUNCI NCION ONES ES DERIVABLES Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo.
Figura 2
Condición necesaria de extremo Proposición. Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0. Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f ’(a)>0 entonces por la proposición anterior f sería creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de extremo. La condición no es suficiente.
Ejemplo 6. La función y =x 3 es creciente en 0, por lo que no puede tener extremos, y sin embargo f ’(0)=0. Criterio práctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la función en ese punto es cero (condición necesaria f ‘(0)=0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Ver figura 2. f’ <0 =0 >0 |a
Si hay mínimo relativo en (a, f(a))
mínimo
f
f’
>
=0
< Si
a
hay máximo relativo en (a, f(a)) f
máximo
|
nción se pide estudiar el cre crecimiento y Ejer Ejerci cici cio o 9.Dada la funci decrecimiento, máximos y mínimos relativos.
Condición suficiente de extremo Proposición. Sea f una función derivable en a y tal que f ‘(a)=0: a) Si f ’’>0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a. b) Si f ‘’<0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto a. Esta proposición nos da también un método para resolver los problemas de máximos y mínimos para funciones derivables. Se presentarán en tablas estos estos resultados:
f(x) f '(x) f ''(x)
Crece + -
0 -
-
Decrece Mínimo 0 +
f(x) f '(x) f ''(x)
Máximo
Decrece -
Crece +
Ejercicio 10. Descomponer un número N en dos sumandos x e y de tal manera que x2 +6y sea mínimo. Nota[2] Nota[2].. Cuando busquemos los extremos absolutos de la función f, si esta es continua en un cerrado y derivable en el abierto, buscaremos los valores en que la derivada es cero y los compararemos con los de los extremos, el valor mas grande será el máximo y el más pequeño el mínimo. Ejercicio 11. Se considera la función f(x) =x 3 –3x definida sobre el intervalo [-2,2], se pide hallar los puntos donde f alcanza máximo absoluto.
rectángulos de 20cm de perímetro perímetro halla el que tiene Ejercicio 12. Entre todos los rectángulos diagonal mínima.
7. Algunas “precisiones” sobre los extremos de funciones OBSERVACIÓN 1. Decir que f posee un máximo local en un punto x 0, significa que existe un intervalo (x 0 - r, x0 + r) r) tal tal que que f(x f(x)) f(x f(x0) para todo x pertenecient perteneciente e al conjunto (x0 - r, x0 + r) Df . Análogamente para mínimo local. Esta matización en la definición de extremo, de intersecar el entorno con el dominio de f, Df , es esencial. En otro caso se puede llegar al absurdo de decir que una función continua, definida en un dominio compacto, no tiene extremos locales (cuando sabemos sabemos por el teorema teorema de Weiertrars que los posee incluso absolutos), absolutos), cuando éstos se alcanzasen en puntos no interiores del dominio. OBSE OBSERV RVAC ACIÓ IÓN N 2. No se debe deben n asoc asocia iarr tant tanto o los los extr extrem emos os loca locale less a las las derivadas, ya que éstos pueden encontrarse en los puntos en que la función no es derivable.
Ejercicio 13. La función:
(su dominio es [-2,3]) Cuya gráfica se adjunta
Figura 3
¿Tiene extremos locales? ¿tiene extremos absolutos?. En caso afirmativo ¿en qué puntos se alcanzan?. Razonas la respuestas.
Si no tuvieras las gráficas ¿cómo les localizarías? Tenien Teniendo do expuest expuesto o anterio anteriorme rmente nte deduce razo razona nada dame ment nte e como como se pued pueden en calcular los extremos (absolutos y relativos) de una función.
Ejercicio 14. Calcula los extremos (indica si son absolutos o no) de las siguientes funciones, en caso de que existan: a) f(x)=-x3 +3x;
b)
; c)
d) e) 8. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN Una función es convexa[3] en a, si existe un intervalo que contiene al punto a, tal que la diferencia entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente a la gráfica de f en el punto ( a, f(a)) es positiva en dicho intervalo.
Figura4 Análogamente se dice que es cóncava cuando dicha diferencia es negativa. Se dice que f tiene un punto de inflexión en a si existe un entorno de a en que la diferencia entre la ordenada de f y la de la tangente en a tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha. Por Por lo tant tanto o f tien tiene e un punt punto o de inflexión en a si en dicho punto la tangente atraviesa a la gráfica.
Ejemplo 7. En la gráfica aparece la función y = x 3 y la tangente en el punto x =0. Se aprecia que en dicho punto la gráfica posee una inflexión.
Figura 5 Proposición. Si la función es derivable en a y f’’(a)>0 se verifica que f es convexa en a. Análogamente si f es derivable en a y f’’(a)<0 se verifica que f es cóncava en a. Para calc calcula ularr los los punt puntos os de infl inflex exió ión n se hall halla a la deriv derivad ada a Criterio Criterio práctico práctico. Para segunda de f, se igual a cero y se resuelve la ecuación. En las soluciones de la ecuación se estudia y si cambia la curvatura hay punto de inflexión.
f ’’(x) f (x)
+ 0 Convexa P.inf
Cóncava
Ejemplo 8. En la gráfica de la figura se aprecia que la función es cóncava en el punto –1 es convexa en el punto 3/2 y tiene un punto de inflexión en el 0:
Ejerc Ejercic icio io 15. Dada Dada la func funció ión n inflexión.
estu estudia dia la curv curvat atura ura y los los punt puntos os de
9. APLICA APLICACIÓ CIÓN N DE LA DERIVA DERIVADA DA A LA REPRES REPRESENT ENTACI ACIÓN ÓN GRÁFIC GRÁFICA A DE FUNCIONES El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta: I) Estudio de f (resumen) 1º Dominio de f. 2º Puntos de corte con los ejes. 3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo). 4º Simetrías. - Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas. - Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas - Verticales Si existe a tal que
, x =a es la ecuación de una asíntota vertical.
- Horizontales Si
, y =b es una asíntota horizontal.
- Oblicuas Si
y
, y =m x +n es una asuntota oblicua.
II) Estudio de f’ (resumen (resumen)) 1º Crecimiento y decrecimiento. Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente. 2º Máximos y mínimos relativos Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0.
III) Estudio de f’’(resumen (resumen)) 1º Concavi Concavidad dad y convexidad, convexidad, f ’’>0 ’’>0 convexa , f ’’<0 ’’<0 cóncava 2º S i f ’’(x 0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura cu rvatura es punto de inflexión. Ejemplo 8. Representamos gráficamente la función I) Estudio de f 1º D =R 2º Puntos de corte, el (0, 0) 3º Signo de f, negativa en x<0 y positiva para x>0 4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto del origen. 5º Asuntotas. No hay verticales por que el dominio es todo R Horizontales y =0 No hay oblicua. II) Estudio de f ’
, f ’(x)=0 -x2+1=0 +1=0,, de dond donde e x= 1
x f '(x) f(x)
-
1
-1
-
0 Decrece Mínimo
+ Crece
1º f decrec decrece e en los interva intervalos los ]- , -1[ y ]1,
0 Máximo
Decrece
[ y crece crece en ]-1, ]-1, 1[
2º Tiene un mínimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un máximo relativo en el punto (1, 1/2). III) Estudio de f ’’ f ’’(x)=
x f ’’ f
=
f ’’(x)=0 -
0 + inflexión
0 0 inflexión
+ 0 inflexión
En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexión La gráfica es:
Ejercicio 16. Representar las gráficas de las siguientes funciones: a) ; b) ; c) Ejemplo 9. La gráfica de y = ln (x 2+1) es:
Ejemplo 10. La gráfica de y =ln (x2-1)
. Ejercicio 17. Representa gráficamente: a) y = x e x ; b) 10. APL PLIICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS (Incluimos los propuestos en selectividad )
Problema 1. Nos dicen que la función f(t) = t -2 es la derivada de la inflación en func funció ión n del del tie tiemp mpo o en cier cierto to paí país, s, cuan cuando do 0 . Det Deter ermi mina narr el valo valorr de t para para el el que la inflación alcanza el valor mínimo. Problema 2. Se calcula que el valor de una acción t meses después de salir al mercado durante el primer año viene dado por la función v(t)=t 2-6t+10. Explique Explique razonadamente en qué mes conviene comprar las acciones para adquirirlas al precio mas ventajoso. Problema 3. La velocidad (en m./sg.) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 200 metr metros os vien viene e dado dado en func funció ión n del del espa espaci cio o reco recorri rrido do,, x, por por la sigu siguie ient nte e expresión: f(x) =-0´00055 x (x-300)
Deducir de forma razonada: ¿Qué distancia distancia ha recorrido recorrido el atleta atleta cuando alcanza su velocidad velocidad máxima?¿cuál máxima?¿cuál es ésta velocidad?
Problema 4. El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto producto viene dado por C(x) = . Definir Definir la función función que determina determina el cost coste e medi medio o por por litr litro o prod produc ucid ido o y dete determ rmin inar ar de form forma a razo razona nada da con con qué qué producción dicho coste medio será mínimo. ¿cuál es el valor de dicho coste?
Problema 5. Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función f(x) =2x 2-12x +23, donde f indica los litros consumidos consumidos en una hora y x viene expresada expresada en miles de revoluciones por minuto. Hallar de forma razonada: a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mínimo. b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máximo. c) Dichos consumos. rendimiento, f(t), en un examen que dura una hora en función función del Problema 6. El rendimiento, tiempo t viene dado por , Deducir razonadamente: a) Cuándo el rendimiento es nulo. b) Cuándo el rendimiento es máximo. c) Cuándo el rendimiento es creciente y cuándo es decreciente.
Problema 7. En una pradera se tiene que vallar una zona de 400 m 2, que debe tener forma de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 100 €. Si x es la medida en metros de uno de sus lados, se pide: a) Obtener razonadamente la función f tal que f(x) sea el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar x. b) Deducir razonadamente el valor de x para el que la función f(x) alcanza el valor mínimo.
PROBLEMAS DEL DEL TEMA (DERIVADAS) PROPUESTOS La funci función ón f(t) f(t)= = 2`1t 2`1t2+ 0`8 0`8 t-1, -1, para para , dond donde e el tie tiempo, mpo, t, viene iene 1. La expresado en años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años 1991 (t =0) y 2000 (t =9). a) Calcular de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de esta empresa en este periodo de tiempo. b) Obtener de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de los últimos años. c) ¿Qué podemos concluir acerca de la variación del beneficio en los dos últimos años?
2. Mediante la utilización razonada de la relación de la derivada de una función con su crecimiento o decrecimiento, obtener en qué puntos del intervalo [-2, 2] son crecientes o decrecientes las funciones: a) f(x) = x2 b) f(x) =x3-7. la de derivada de de la la fu función en el el pu punto de de ab abscisa x = 4. 4. 3. Obtener la Explicar lo que significa el valor obtenido de la derivada. Calcular la tasa de variación instantánea en el punto de abscisa x = 5. c) ¿Qué podemos concluir acerca de la variación del beneficio en los dos últimos años?
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. A un vendedor de ordenadores le cuesta 140000 soles. cada modelo de la marca PCHE-COMPR. Ha comprobado que al precio de 240000 soles. unidad, vende 30 ordenadores mensualmente y que por cada 2000 soles. de descuento en el precio puede vender 3 unidades más al mes. Hállese a que precio debe venderlos para obtener el máximo beneficio posible.
define una función del modo siguiente: siguiente: F(x)= 2. Se define a) Hallar el dominio de definición. b) Determinar la función derivada y dar su dominio.
studia iarr los los máxi máximo moss y míni mínimo moss de la funci unción ón:: y = 3 Estud absolutos?
¿los ¿los pose posee e
4. Representación gráfica de
Cierta ta enti entida dad d fina financ ncie iera ra lanz lanza a al merc mercad ado o un plan plan de inve invers rsió ión n cuya cuya 5. Cier rentabilidad, R(x), en miles de € viene dada en función de la cantidad que se invierta x, en miles de € por medio de la siguiente expresión: R(x)= -0,001x2+0,5x+2,5
a) Deducir razonadamente la cantidad de dinero que le conviene invertir a un cliente en dicho plan .(en soluciones gráficas es el 11) b) ¿Qué cantidad obtendría?
6. El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es:
y el precio de venta de uno de ellos es (50-x/4) € Halla el número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea máximo. (en soluciones gráficas es el 12) asociación ecologista. ecologista. Se sabe que el número número de sus 7. En 1980 se fundó una asociación miembros ha variado con los años de acuerdo con la función. N(x) = 50(2x3 - 15x2 + 36x + 2) a) Cuántos fueron los socios fundadores? b) En qué períodos de tiempo aumenta el número de socios? (en soluciones gráficas es el 14)
8. Dada la función y =
, se pide:
a) Representarla gráficamente. b) Ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x =1. c) Hallar sus máximos y mínimos relativos.
9. Hallar a y b para que la función f(x)=x 3+ ax +b tenga un máximo en el punto (1,1)
10. Estudia y representa
EJERCICIOS RESUELTOS inversión genera una rentabilidad rentabilidad que depende de la cantidad de 1. Un fondo de inversión dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x 2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad. Solución a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece Procedimiento: -Se deriva la función: R`(x)=-0,004x+0,8 -Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 ,
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico: f
f´
+
200
-
se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros. c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros
Solución gráfica
5. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t 2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulenci virulencia a en las 6 primeras horas y los intervalos intervalos en que esta crece y decrece. Solución Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero. V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t 2-18t+15=0
Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1. Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars). Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t 3-9t2+15t+40 V(0)=40 V(5)=125-225+75+40 =15 V(1)=1-9+15+40= 47 V(6)=216-324+90+40=22 La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15 0 V’
1 + 0
5 -
0
6 +
Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5)
Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.
6.
Un coche coche de competi competición ción se desplaza desplaza a una una velocida velocidad d que, que, entre entre las las 0 y 2 x horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).e , donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad velocidad en cientos cientos de kilómetros. kilómetros. Hallar Hallar en que momento del interva intervalo lo circula circula a la veloci velocidad dad máxima máxima y calcul calcular ar dicha dicha veloci velocidad dad.. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?
SOLUCIÓN Nos piden q estudiemos estudiemos el crecimiento y decrecimient decrecimiento o y el máximo de la función velocidad v. Por eso utilizamos la derivada, derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer) La derivada es: v’(x)=-1.ex + e x.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = e x- x. ex, sacando sacando factor factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex
Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero) Estudiamos v en los alrededores de 1
v‘
+
y
crece
1
-
2
decrece
Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo: v(x)= (2-x)ex v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes) v(0)=(2-0).1=2 v(2)=(2-2).1=0
como da la velocidad 0 aquí se detuvo.
LA GRÁFICA:
(No es necesaria la gráfica solo la pongo para ayudar a entender lo que se hace, vemos que pasa justo lo que hemos deducido entre 0 y 2)
7.
La cantid cantidad ad de agua agua recogi recogida da en 2002 2002 (en millon millones es de litros litros), ), en cierto cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión
Se pide: a) En que periodo de tiempo aumento aumento la cantidad de agua recogida? b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? c) Cual fue esa cantidad máxima? Solución Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente:
Si
, su derivada es
f’(t)=
Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6
Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f, entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre es positivo)
0 f’
6 +
12 -
Crece hasta el 6 y decrece desde el 6 Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene: a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6
b) en t =6 c) f(6)=10/1=10
NOTA IMPO NOTA IMPORT RTAN ANTE TE:: EN ESTE ESTE TIPO TIPO DE PROB PROBLE LEMA MAS S CASI CASI NUNCA ES ACONSEJABLE DESARROLLAR EL DENOMINADOR.
8. La suma de dos números no negativos negativos es 36. Halla dichos dichos números para que: a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible Solución Sea x e y dichos números, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x a) Definimos f(x, y)= x 2+ y2, como y= 36 –x, podemos sustituir en f con lo q dependerá dependerá solo de una variable, variable, f(x) = x2+(36-x)2, y podremos aplicar la condición necesaria de extremo para funciones derivables. Derivando: f’(x) = 2x-2(36-x), de donde f’(x) = 4x-72
Para que f tenga un mínimo la derivada debe darnos 0, por lo que 4x-72=0 y despejando x= 18 f es continua en el intervalo [0, 36], y f(0)=f(36)=(36) 2>f(18)=2.(18)2 por lo tanto en x=18 tiene el mínimo absoluto. La gráfica es:
Observación: Otra forma de justificar que el mínimo es absoluto, es diciendo que la función f es cuadrática. Por lo tanto en la abscisa del vértice se alcanza su mínimo (a>0) que es el punto de tangente horizontal.
b) Teniendo en cuenta que y= 36 –x, tenemos h(x)=
, h’ h’(x)=0 miembros y operando se llega a que x=18.
, derivando:
, el elevando al al cu cuadrado am ambos
La función h está definida en el intervalo [0, 36], luego el máximo lo tendrá en 18 pues: f(18)= alcanza en 0 y 36)
, y f(0=f(36)=6 (Observa que el menor valor posible lo
la gráfica es:
(Observar que no es necesario calcular la derivada segunda para el cálculo de los extremos extremos absolutos, absolutos, se aplica el teorema teorema de Bolzano-Weie Bolzano-Weierstrass rstrass que dice: “toda función continua definida en un intervalo cerrado cerr ado alcanza su máximo y su mínimo”)
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA 1Cal 1Calcu cula larr los los inte interv rval alos os de crec crecim imie ient nto o y decr decrec ecim imie ient nto o de las las func funcio ione ness siguientes: 1. 2.
3. 4. 5. 6. 2Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes: 1.
2. 3. 4. 3Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones: 1. 2. 3. 4La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: C = 0.01x 3 − 0.45x2 + 2.43x + 300 1. Dete Determi rmina narr las las coti cotiza zacio cione ness máxi máxima ma y míni mínima ma,, así así como como los los días días en que que ocurrieron, en días distintos del primero y del último. 2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron. 5Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por: r = 300t (1−t). Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide: 1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento? 2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo? 3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
El estudio estudio de uno de los concep conceptos tos fundam fundament entale aless del cálculo cálculo diferencia diferencial:l: la derivada de una función.
En esta página, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la antiderivada antiderivada o integral; integral; ambos conceptos están relacionados relacionados por el teorema fundamental del cálculo. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender a manejar el cálculo integral, que se explicará más adelante en esta misma página. La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles. La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas algunas funciones. En dichos puntos las tangentes tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia. . Es importante importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos
Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:
En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:
Dada la func funció ión n f(x) f(x) cont contin inúa úa en el inte interv rval alo o abie abiert rto o I Función Función derivada. derivada. Dada denominamos función derivada a:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:
APLICACIONES DE LA DERIVADA 1.- Funciones crecientes y decrecientes Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función. función. El uso de la derivada de una función puede puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado.
1.1.Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). Luego, i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b). ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es decreciente en (a,b). iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es constante en (a,b).
1.1.Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe. Para construir la gráfica de una función usando la derivada se recomienda: Hallar f’(x f’(x)) (la deriv derivad ada a de f), f), hall hallar ar los los núme número ross crít crític icos os,, igua iguala lando ndo f’(x) f’(x) a cero cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no
existe (es decir, no está definida); evaluar cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos; localizar los puntos hallados en el paso anterior en el plano plano cart cartes esia iano no,, dete determi rmina narr en qué qué inte interva rvalo lo la func funció ión n es creci crecien ente te,, decre decreci cien ente te o cons consta tant nte, e, usando usando el sign signo o de la deriv derivad ada. a. (Es (Es deci decir, r, usa usa el teorema), teorema), dibujar la gráfica, gráfica, de manera que sea creciente creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.
2.- Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos) •
•
Valor máximo (o máximo absoluto) de f: si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica. Valor mínimo o mínimo absoluto de f: si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)
A los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo. 1) Una función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez. 2) Si f es una función constante, entonces f(c) es a la vez un máximo y un mínimo absoluto que f alcanza en todo número real c. 2.2. Teorema: Si f es continua en el intervalo [a,b], f toma valores máximos y mínimos en [a,b]. Para hallar los valores extremos de una función continua en el intervalo [a,b] se recomienda: Hallar los números críticos de f, igualando f’(x) a cero; evaluar cada c en la funció función n para obtener obtener los puntos puntos crític críticos; os; hallar hallar f(a) f(a) y f(b); f(b); Determ Determina inarr los valo valore ress máxi máximo moss y míni mínimo moss de en [a,b [a,b]] obse observa rvando ndo los los valo valore ress mayo mayore ress y menores de la función f en los pasos 2 y 3.
3. Criterio de la Primera Derivada 3.1 Definición: Sea f una función en c: i) f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o igual a f(c) para todo x en (a,b).
ii) f(c) es un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es mayor o igual f(c) para todo x en (a,b). 3.2 Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo cuando x = c, entonces: i) f’(c) = 0, ó ii) f’(c) no está definida Esto es, c es un número crítico (valor crítico) de f. Notas: Notas: 1) El teorema teorema anterior anterior afirma afirma que si una función función f tiene un máximo o mínimo relativo enx = c, c tiene que ser un número crítico (valor crítico) de f. 2) Los puntos críticos son los únicos en los que pueden aparecer los extremos relativos (máximos y mínimos relativos). Esto significa, que no todo punto crítico va a ser un máximo o mínimo relativo.
3.3 Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremos locales): 1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crítico y negativo a la derecha, entonces el punto crítico es un máximo relativo. 2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crítico y positivo a la derecha, entonces el punto crítico es un mínimo relativo. 3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto crítico no es ni máximo ni mínimo relativo.
4. Criterio de la Segunda Derivada De rivada 4.1.Concavidad La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es: i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b) ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b) Teorema: Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:
i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b). ii) si f"(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b). Ejemplos: 1. Observar Observar que la función función f(x) f(x) = x2 es es cóncava hacia hacia arriba arriba y su derivada derivada f’(x) = 2x es creciente en el intervalo (-5,5). En la Figura 2, tenemos que para f(x) = x2 la segunda derivada es positiva, esto es, f"(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba
2) Observar que la función f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo y su derivada f’(x) = -2x es decreciente en el intervalo (-5,5). En la Figura 3, tenemos que para f(x) = -x2 la segunda derivada es negativa, esto es, f"(x) = -2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
4.2. Punto de inflexión Definición: El punto de inflexión de una gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa). Nota: Como el punto de inflexión se presenta donde cambia la concavidad de la gráfica, también es cierto que el signo de la segunda derivada (f") cambia es estos
puntos. De manera que, para localizar los puntos de inflexión, calculamos los valores de x para los que f"(x) = 0 ó para los que f"(x) no existe.
4.3. Mínimos y máximos relativos Teorema: Suponga que f" existe en algún intervalo (a,b) que contiene a c y que f’(c) = 0, entonces: i) si f"(c)>0, f(c) es un mínimo relativo ii) si f"(c)<0, f(c) es un máximo relativo Nota: Si f"(c) = 0, entonces el criterio de la segunda derivada no aplica y no provee información.. De manera que, se usa entonces el criterio de la primera derivada información para determinar los máximo y mínimos relativos.
Resumen: Para usar el criterio de la segunda derivada, si f es una función continua en el intervalo (a, b): primero se hallan los puntos críticos, luego si: i) si f"(c)>0 entonces x = c es un mínimo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia arriba. ii) si f"(c)<0 entonces x = c es un máximo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia abajo. iii) si f"(c) = 0 entonces el criterio de la segunda derivada no aplica, por tanto, se debe utilizar el criterio de la primera derivada.
5.- ALGUNOS USOS EN LA ELECTRÓNICA 5.1.Corriente inducida
Cuan Cuando do la inten intensi sida dad d de la corri corrien ente te i camb cambia ia con con el tiempo tiempo,, se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color color rojo) rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.
La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.
5.2 Energía del campo magnético Para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. Se tiene:
El término R·i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V0·i es la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.
Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i.
5.3.La inducción electromagnética. Ley de Faraday La inducción electromagnética fue descubierta casi simultáneamente y de forma inde indepe pendi ndien ente te por por Micha Michael el Fara Faraday day y Jose Joseph ph Henr Henryy en 1830 1830.. La induc inducci ción ón elec electr trom omag agné nétitica ca es el prin princi cipi pio o sobre sobre el que que se basa basa el func funcio iona nami mien ento to del del generador eléctrico, eléctrico, el transformador transformador yy muchos otros dispositivos. Supongamos que se coloca un conductor eléctrico en forma de circuito en una región en la que hay un campo magnético a travésΦ. Si el flujo flujo del circuito circuito varía con el tiempo, se puede observar una corriente en el circuito (mientras el flujo está variando). Midiendo la fem inducida se encuentra que depende de la rapidez de variación del flujo del campo magnético con el tiempo.
El significado del signo menos, es decir, el sentido de la corriente inducida (ley de Lenz) se muestra en la figura mediante una flecha de color azul.
5.3.Campo magnético El campo magnético cuya dirección es perpendicular al plano de la espira, varía con el tiempo de la forma B=B0 sen( t)
El flujo flujo del campo magnético a través de las N espiras iguales es, el producto del flujo a través de una espira por el número N de espiras La fem inducida en las espiras es
5.4.Condensador plano Fuerza entre las placas de un condensador plano. Se distinguen dos casos, aunque es claro que la fuerza es la misma en ambos. i) Carga constante. La energía se puede expresar en función de la carga, como
entonces la derivada es fácil de realizar, y vale
en que hemos supuesto que la carga del condensador es .
5.5.Carga puntual y plano conductor Una carga puntual puntual q, a una distanc distancia ia h frente frente a un plano conductor conductor infinito infinito,, a potencial cero (' a tierra tierra'). '). El campo eléctrico para esta configuración ya ha sido resuelto po medio del mtodo de las imágenes imágenes,, ahora queremos calcular la fuerza que el plano ejerce sobre la carga q. Para calcular esto podemos proceder de dos maneras. En prim primer er luga lugar, r, usando usando la idea idea de dicho dicho méto método do,, la fuer fuerza za busca buscada da debe debe corresponder a la fuerza entre la carga q y su imágen, que obtendremos a partir de la energía potencial de las dos cargas, separadas por la distancia r,
Naturalmente, una vez reconocido el hecho que la fuerza es aquella entre dos cargas puntuales, el resultado anterior es evidente. 5.6. Corriente Eléctrica Una corrie corriente nte electr electrica ica es, simple simplemen mente, te, el movimiento de cargas cargas electr electricas icas.. Definimos la corriente electrica I, como la carga eléctrica dQ que pasa a traves de una sección de área A de conductor, por unidad de tiempo dt,
La corriente electrica I se mide entonces en coulomb por segundo (ampere) ( 1 A= 1 Cb/seg). Notemos que, de acuerdo a nuestra definición, tanto los portadores de carga positiva como negativa contribuyen a la corriente en el mismo sentido (del mismo signo). 5.7. Inductancia como elemento de circuito Conectemos una bobina (solenoide) a una fuente de fem continua (ver figura):
Toda bobina real posee resistencia (R) e inductancia propia (L). Es fácil verificar que una inductancia fisica puede ser representada como la combinacion de una resistencia y una inductancia, ambas ideales. Si por el circuito de la figura fluye una corriente I(t), entonces la fem total es
de donde se tiene la representacion descrita. Notemos que, si el circuito se encontraba abierto ( I=0 en t=0), al cerrar el circuito habra un periodo 'transiente' y, finalmente se llegara a la corriente
La última relacion nos dice que el comportamiento de la corriente es gobernado por por el valo valorr de L, en part partic icula ular, r, si L es muy muy pequ pequeñ eño, o, la corri corrien ente te demor demora a un tiempo muy breve en pasar de I=0 a su valor final, el cual es independiente de L.
Bibliografía • •
Hasser La Salle: Análisis Salle: Análisis Matemático I y II Leithold Louis: Cálculo con geometría analítica
EJEMPLOS
xtremos relativos La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) pequeño) conteniendo conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida. Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo. La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.
Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten. Ejemplo Sea f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4]. Aquí es su gráfica.
Mirando la gráfica, se observa que f tiene: • • •
Un máximo relativo a (0, 0); Un mínimo relativo a (1, - 1); Un máximo relativo a (4, 8).
Inicio de página Extremos absolutos Extremos Extremos relativos a veces pueden ser extremos extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición: f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f. f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f. La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
Todos los extremo extremoss absolu absolutos tos son automá automática ticament mente e extrem extremos os relati relativos, vos, Nota Todos según nuestra convención.
Ejemplo Sea otra vez f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
Mirando a sus extremos relativos, observamos que: • • •
El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto; El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto; El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.
Nota Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?). Inicio de página Ubicando candidatos al extremos relativos Si f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos: 1. 2.
3.
Puntos estacionarios: Puntos x en el dominio con f'(x) = 0. Para ubicar puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. Puntos singulares: Puntos x en el dominio donde f'(x) no está definida. Para Para ubica ubicarr punt puntos os sing singul ular ares es,, dete determi rmine ne valo valores res x donde donde f'(x) f'(x) no está está definida, pero f(x) sí está definida. Puntos extremos: Los puntos extremos del dominio, si es que los hay. Recuerde que los intervalos cerrados contienen los puntos extremos, pero intervalos abiertos no los contienen. La próxima figura demuestra instancias de todos tres tipos.
¿Todavía incómodo con esta materia? Pruebe la tutorial en línea sobre máximos y mínimos. mínimos.
Ejemplos 1. Vamos a mirar de nuevo la gráfica de f(x) = x 2 - 2x, con dominio [0, 4].
• • •
El máximo relativo a (0, 0) es un El mínimo absoluto a (1, - 1) es un El máximo absoluto a (4, 8) es un .
Mas Ejemplos Sea f(x) = x3 12x. Punt Puntos os esttac es acio iona nado dos: s: Para ubicar los puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. Obtenemos 3x2- 12 = 0, entonces x = ±2 son los puntos estacionados. Sea f(x) = 3(x1)1/3. Puntos singulares: 2/3 Entonces f'(x) = (x 1)= 1/(x1)2/3. f'(x) no está definida a x = 1, auque f(x) sí está definida a x = 1. Entonces, el (solo) punto singular es x = 1. [1, +∞). Puntos Puntos Extrem Extremos: os: Sea f(x) = 1/x, con dominio (- ∞, 0) Entonces el único punto extremo in el dominio de f es x = 1. Por otro lado, el dominio natural de 1/x no tiene puntos extremos.
Nota Si cambiaríamos el dominio a [0, +∞), no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?). Inicio de página Aplicaciones de máximos y mínimos: Problemas de optimización Solucionamos problemas de optimización con la forma siguiente: Determine los valores de las incógnitas x, y, . . . para minimizar (o maximizar) el valor de la
sujeta a a algu alguna nass restricciones. Las restri restricci cciones ones son función función objectivo objectivo f, sujet ecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y, . . . . Para solucionar problemas como estos, usamos las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. A continuación, sustituimos esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Por último, determinamos los valores extremos de la función obje object ctivo ivo como como más más arri arriba ba.. (Usa (Usamo moss las las desi desigua guald ldad ades es de rest restric ricci ción ón para para determinar el dominio de la función objectivo.) Especiíicamente:
1. Identifique la o los incógnitas. Por lo general éstas son las cantidades que se preguntan en el problema. 2. Identifique la función Ésta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar.
objectivo.
3. Identifique la o los restricciones. Éstas Éstas pueden pueden ser ecuaci ecuacione oness que relaci relacione onen n variab variables les,, o desigua desigualda ldades des que expresan limitaciones para los valores de las variables. 4. Enuncie el problema de optimización. Ésta tendré la forma "Maximize [o minimize] la función objectivo sujeta a la o los restricciones." 5. Elimine variables adicionales. Si la función objectivo depende de varias variables, resuelva las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. Sustituya esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Sustituya también esas ecuaciones en las desigualdades de restricción para ayudar a determinar el dominio de la función objectivo. 6. Ca Calc lcul ulee el máxi máximo mo (o míni mínimo mo)) abso absolu luto to de la func funció ión n obje object ctiv ivo. o. Aplique las técnicas descritas más arriba. Ejemplo Aquí es un problema de maximización: Maximize A = xy Función objectivo sujeta a x + 2y = 100, x ≥ 0, y Restricciones y≥0 Seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: Como ya tenemos el problema enunciado como un problema de optimización, podremos comenzar a Paso 5.
5. Elimine variables adicionales. Podemos hacerlo tomando la ecuación de restricción x + 2y = 100 y despejamos a x (obteniendo x = 100 - 2y) y sustituyendo en la función objectivo y también en la desigualdad que involucra x: A = xy = (1002y)y = 100y (100- 2y) ≥ 0, o y ≤ 50. Entonces, solo falta maximizar A = 100y - 2y 2 sujeta a 0 ≤ y ≤ 50.
-
2y 2
6. Ca Calc lcul ulee el máxi máximo mo (o míni mínimo mo)) abso absolu luto to de la func funció ión n obje object ctiv ivo. o. Siguiendo el procedimiento más arriba, obtenemos dos puntos extremos y un punto estacionario con valores como sigue: 0 25 50 y 1,250 0 A(y) 0 Punto o extre extremo mo Punt Punto o esta estaci ciona onari rio o Punto Punto extr extremo emo Tipo Punt Vemos en la tabla que el valor más grande de A es 1,250, que se ocurre cuando y = 25. El valor correspondiente de x es x = 100 - 2y, entonces x = 50 cuando y = 25. Inicio de página Aceleración, concavidad, y la derivada segunda
Aceleración La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición. Concavidad Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama un punto de inflexión . a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.
Ejemplos Aceleración Si t es tiempo en horas y la posición posición de un carro en el momento t es s(t) = t 3 + 2t 2 km, entonces: Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t 2 + 4t km Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora.
por
hora.
Concavidad Considere f(x) = x3 - 3x, cuya gráfica se ve más abajo.
f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La gráfica de f es cóncava hacia abajo abajo cuando x < 0 y cóncava hacia arriba arriba cuando x > 0. f tiene un punto de inflexión a x = 0, donde la segunda derivada es 0. Inicio de página Análisis de las gráficas Podemos utilizar a tecnología para trazar una gráfica, pero necesitamos a cálculo para comprender lo que estamos viendo. Las características más interesante de una gráfica son las siguientes:
Características de una gráfica intersecciones en x 1. Las intersecciones intersecciones en x y y Si y = f(x), se calcula la o las intersecciones igualando y = 0 y despejando a x; se calcula la intercessión en y igualando x = 0.
2. Extremos relativos Se usa las técnicas descritas más arriba para ubicar candidatos al extremos relativos. 3. Puntos de inflexión Se mete f"(x) = 0 y despeja a x para ubicar candidatos al puntos de inflexión. 4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función Si f(x) no está definida a x = a, se considera lim x → a- f(x) y limx → a+ f(x) para ver como se acerca este punto la gráfica de f. considera era limx → - ∞ f(x) y limx → + ∞ f(x) si 5. Comportami Comportamiento ento al infinito infinito Se consid apropiado, para ver como comporta la gráfica de f cuando x se aleja hacia la izquierda y la derecha.
Si tiene usted Excel, pruebe la Graficador Excel de Primera y Segunda Derivada para ver gráficas de cualquier función y sus primeras dos derivadas.
Ejemplo Aquí está la gráfica de f(x x2 = ) (x+1)(x- 2)
Para analisarla, seguimos el procedimiento descrito a la izquierda:
1. Las intersecciones en x y y Igualando y = 0 y despejando a x da x = 0. Ésta es la única intercesión de x. Igualando x = 0 y despejando a y da y = 0: la intercesión de y. 2. Extremos relativos Los únicos extremos son los puntos estacionarios ubicando igualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x = - 4. Los puntos correspondientes en la gráfica son el máximo relativo a (0, 0) y el mínimo relativo a (- 4, 8/9). 3. Puntos de inflexión Solucionar f"(x) = 0 analíticamente es difícil, entonces podre podremo moss solu solucio ciona narl rla a numé numéric ricam amen ente te (haci (hacien endo do la gráf gráfic ica a de la deriv derivad ada a segunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexión está a x ;≈ -6.1072. 4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función La función no está definida a x = - 1 y x = 2. Los limites cuando x se acerca a estos valores a la derecha y a la izquierda se podremos deducir de la gráfica: lim f(x) = +∞ x → -1lim f(x) = -∞ x → -1+ lim f(x) = -∞ x → 2lim f(x) = +∞ x → 2+
5. Comportamiento al infinito Mirando la gráfica (o la función), observamos que lim f(x) = 1 x→ -∞
lim f(x) = 1. x → +∞ Inicio de página Tasas relacionadas Si Q es una cantidad que cambia en el tiempo, entonces la razón a la que cambia Q es dado dado por por la deri deriva vada da temp tempor oral al,, dQ/d dQ/dt. t. Un típi típico co proble problema ma de tasas tasas relacionadas pide la razón de cambio de una cantidad Q, dado los razones de cambio de varias otras cantidades.
Procedimiento para solucionar un problema te tasas relacionadas A. La problema 1. Haga una una lista lista de las cantidades cantidades relacion relacionadas adas que cambian. cambian. 2. Refo Reform rmul ule e el prob proble lema ma en térm términ inos os de tasa tasass de camb cambio io.. Rees Reescr crib iba a el problema usando notación matemática para las cantidades que cambian y sus derivadas.
B. La relación 1. Trace Trace un diagra diagrama, ma, si sea apropiado apropiado,, que demuestra demuestra las cantida cantidades des que cambian. 2. De un ecuación ecuación o ecuacione ecuacioness que relacionan relacionan las las cantidades cantidades que cambian. cambian. 3. Tome la derivada respecto al tiempo de las ecuaciones que relacionan las cantidades para obtener la o las ecuación(es) derivadas, que relacionan las rezones de cambio de las cantidades.
C. La solución Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca. Mire también la tutorial en línea de tasas relacionadas.
Ejemplo El tráfico al sitio web de MundoReal es dado por h = - 0.001p 2 + 400 peticiones al día, donde p es el número de problemas difícil al sitio. Hay ahora 100 problemas difícil al sitio, y este número esta creciendo con una tasa de 10 problemas problemas al día. ¿Con qué razón disminuye al tráfico al sitio MundoReal?
A. La problema
1. Las cantida cantidades des relacio relacionadas nadas que que cambian cambian son h y p. 2. La problema problema se puede reformul reformular ar matemáti matemáticamente camente como sigue: sigue: Calcule cuando y
B. La relación 1. Aquí Aquí no es aprop apropiad iado o un diag diagrama rama.. que relaciona las cantidades que cambian: 2. Ecuaciones h = - 0.001p 2 + 400 3. Tome Tome la deriv derivad ada a resp respec ecto to al tiem tiempo po de la ecuació ecuación n que que relac relacio iona na las las cantidades (con la regla de la cadena): dh dt
0. dp = 00 dt 2p
C. La solución Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca. dh 0.002(10 = 0)(10) = dt 2 Ento Entonce nces, s, el tráf tráfic ico o al siti sitio o Mund MundoR oRea eall está está dism dismin inuye uyend ndo o a una una tasa tasa de 2 peticiones al día cada día. Inicio de página Elasticidad de demanda La elasticidad de demanda, E, es la tasa porcentual de disminución de la demanda por aumento porcentual en el precio. Lo calculamos con la formula: dq E =dp
p .
. q
donde la ecuación de demando expresa demando, q, como una función del precio unit unitar ario io,, p. Deci Decimo moss que la dema demanda nda es elástica si E > 1, la demanda es inelástica si E < 1, y que la demanda tiene elasticidad unitaria si E = 1. Para calcular el precio unitario que maximiza el ingreso, escribimos E como un función de p, conjunctamos E = 1, y despejemos a p.
Ejemplo Supone que la ecuación de demanda es q = 20,000 - 2p. Entonces (p E=220,000- 2p )
p = 10,000- p
Si p = 2,000, entonces E = 1/4, y la demanda es inelástica a este precio. Si p = 8,000, entonces E = 4, y la demanda es elástica a este precio. Si p = 5,000, entonces E = 1, y la demanda tiene elasticidad unitaria a este precio
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