APLICACIÓN DE DE LAS DERIVADAS EN NEGOCIOS
1. INTRO NTRODU DUC CCIÓN CIÓN Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción
!n otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción acción de un peque" peque"o o cambio cambio #infi #infinit nites esima imal$ l$ en la segund segundaa canti cantida dad d o varia variable ble
%al línea de pensami pensamient ento o fue posible posible desde desde la economí economíaa neoclás neoclásica, ica, primero primero con &arnot, y luego con León 'alras, (tanley )evons y *lfred +arshall por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista
-e hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las deri deriva vada dass de las las func funcio ione ness de cost costo, o, ingr ingres eso, o, bene benefi fici cio, o, prod produc ucci ción ón tota total l
!n ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el conte.to de las funciones multivariadas multivariadas +ediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f#.,y$ son las derivadas parciales respecto a . o y, manteni manteniendo endo la#s$ la#s$ otra#s$ otra#s$ fi/a#s$ fi/a#s$ !n consecue consecuencia ncia se pueden pueden aplicar aplicar las técnica técnicass espe especi cial ales es
como como
deri deriva vada dass
dire direcc ccio iona nale les, s,
grad gradie ient ntes es,,
dife difere renc ncia iale les, s,
etc etc
01 hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una función cualesquiera se ma.imiza #minimiza$ 2sea cual sea el número involucrado de variables independientes2 -e nuevo el cálculo difrencial es de gran ayuda en estas situaciones situaciones %ambién para la búsqueda de la optimización optimización su/eta a restricciones restricciones se trata con deriv derivaci ación ón de las las funci funcione oness medi mediant antee los los méto métodos dos de los mu mult ltip iplic licado adores res de Lagrange o las condiciones de 34hn2%uc5er #esta última para la eventualidad en que la func funció ión n ob/e ob/eti tivo vo que que se dese deseaa opti optimi miza zarr esté esté rest restri ring ngid idaa con con desi desigu gual alda dade des$ s$
Lagrange:
(ea la función ob/etivo: 6#.7,,.n$ sa: g#.7,,.n$8 & -onde g es la restricción igualada
a
una
constante
&
f9#.7,,.n$8tg9#.7,,.n$, donde t8 un escalar que multiplica la restricción y que se simboliza
con
la
letra
griega
lambda
34hn2%uc5er: f#.7,,.n$,
sa:
g#.7,,.n$
&,
ó
g#.7,,.n$
;
&
6inalmente la premisa para la diferenciabilidad es la continuidad de las funciones, o sea que auellas no posean saltos
!l estudio de las operaciones con derivadas, /unto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal Los introductores fueron 0e=ton y Leibnitz, de forma independiente Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo >?> no se simplificaron * ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos Las aplicaciones prácticas de esta teoría no de/an de aparecer
3. MARCO TEORICO
3.1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA Las derivadas en sus distintas presentaciones # ?nterpretación geométrica, @azón de cambio, variación ?nstantánea, etc,$ son un e.celente instrumento en !conomía, para toma de desiciones, optimización de resultados # +á.imos y +ínimos$
3.1.1 FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA.(i . es el numero de
!l punto de intersección de las 6unciones de oferta y -emanda se llama punto de equilibrio
Oferta y demanda 70 60 50 s o i c e r p
40 30 20 10 0 0
100
200
300
cantidades
400
500
600 demanda oferta
Eallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de 1ferta y -emanda : @espectivamente :
B 8 #FDDG 2G. H .IF$ J 7K
y 8 #7 .IF$J7
B 8 #FDG 2G. H .IF$J7K .8G y 8 M B 8 #7 N .IF$J7
277,M : y 8 7DO
(e tomara únicamente la 7ra solución como punto de equilibrio, ya que : . debería ser positivo
La pendiente de la demanda en: A#G,M$
B 8 #FDG 2G. H .IF$ J7K
BC
8 P 2.JG
@eemplazando .8G yC#s$ 8 2JF ;D La pendiente de la oferta en: A#G,M$ B8 D 7 N .IF J 7
yC#G$ 8 7KJ7 D
Aor la interpretación geométrica de la -erivada, una -erivada es una Aendiente es una @azón o relación de Qariación ?nstantánea Aor tanto en el anterior calculo de las pendiente de las funciones de oferta y -emanda, representan las variaciones instantáneas de los Arecios
%omando en Qalor absoluto las Aendientes de la -emanda JF de la 1ferta 7KJ7, se aprecia que mayor es la variación de la demanda La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio, o un concepto margina
!l concepto Aromedio , es la variación de una primera cantidad, respecto a un ?ntervalo limitado de la (egunda cantidad
!l concepto +arginal, es la variación de una Arimera &antidad, respecto a un intervalo tendiente a &ero de una (egunda &antidad, es decir se trata de una variación ?nstantánea
&omúnmente la primera cantidad es de un concepto !conómico #&osto, ?ngreso, etc$, La segunda &antidad es el numero de unidades
3.1.2 COSTOS (i el numero de unidades de un bien es . entonces el costo %otal puede e.presarse como:
* partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:
COSTO PROMEDIO: &p 8 & #.$ J . 8 y
COSTO MARGINAL: &m 8 & R #.$ 8 dy J d.
COSTO PROMEDIO MARGINAL:
&pm 8 dy Jd. 8 .&C#>$ H .$ J .IF
dJd.
S &p
!/: (i la función de &osto es Lineal .$ D a.N b donde a,b son constantes
&osto Aromedio: &p 8 .$ J > 8 a.Nb J . 8 a N bJ.
&osto +arginal: &m 8 &C#.$ 8 a
&osto promedio +arginal: &pm 8 dJd. &p 8 2 bJ.IF
3.1.3 INGRESOS: (i el 0umero de unidades de un bien es .: (iendo la 6unción de demanda : y 8 f#.$ donde y es el Arecio de la unidad demandada, entonces el ?ngreso es:
@#.$ 8 .y 8 .2f#.$
* partir de esta e.presión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:
INGRESO PROMEDIO @p 8 r#.$ J .
INGRESO MARGINAL: @m 8 @ R#.$
0ótese que la e.presión de ?ngreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien
!/emplo :
!l ?ngreso : @#.$ 8 .y 8 .#7F 2O.$
!l ?ngreso +arginal: @C #.$ 8 7F 2G.
&omúnmente se procura ma.imizar el ?ngreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de +á.imos y mínimos conocidas # -erivar e igualar a &ero$
!/emplo: Eallar el ?ngreso +arginal y el ?ngreso +á.imo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y 8 KD 2F.
La demanda: y 8 KD H e.
!l ?ngreso: @#.$ 8 .y 8 .# KD H F.$ 8 KD. H F.IF
!l ?ngreso +arginal: @C#.$ 8 KD H O.
+a.imizando la ecuación de ?ngreso %otal:
(i @G.$ 8 KD. H F.IF
@C#.$ 8 KD H O. 8 D .87M
@ma. 8 KDN7M H FS7MIT 8 OMD
!n este problema no se verifica que el Aunto &ritico hallado mediante la derivada igualada a &ero, determina evidentemente a un má.imo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada problema # de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada$
3.1. GANACIAS: (i . es el numero de
U#.$ 8 @#.$ H .$
Aara ma.imizar la Uanancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa :
UC #.$ 8 @C#.$ H &C#.$ 8 D rC#.$
8 &C#.$
!ntonces en el má.imo de la Uanancia el ingreso +arginal, debe ser igual al &osto +arginal
!/emplo
Eallar la ganancia +á.ima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de &osto total es: .$ 8 FD N 7O. La -emanda que posee el bien es: y8 VD2F.
!l costo total .$ 8 FD N 7O.
La -emanda y 8 VD2F.
!l ingreso %otal: @#.$ .y 8 .#VD2F.$
La Uanancia: U#.$ 8 @#.$ H .$ 8 .#VD2F.$ H #FD N 7O .$ 8 2F.IF NWK. H FD
+a.imizando UC#.$ 8 2O. N WK 8 D . 8 7V
U+a. 8 FN7VIF N WKS7V H FD 8 WDF
(e supone que las unidades del ingreso &osto, Uanancia son unidades monetarias iguales
(imilarmente en el problema se supone que las unidades monetarias de la -emanda y &osto son iguales
Easta el momento se ha operado en los distintos problemas, con funciones ya conocidas de -emanda, costo, etc
(in embargo en la practica es preciso a veces obtener tales funciones a partir de las situaciones que presenten los problemas, que utilizan a las -erivadas como aplicación económica
Aara obtener las funciones de costo demanda, etc !s conveniente ordenar datos, que provienen de las condiciones del problema de ser necesario se utilizaran variables au.iliares, que posteriormente dieran ser eliminadas, siguiendo luego pasos equivalentes a los sugeridos en los problemas de +á.imos y mínimos (e obtendrán los resultados pedidos
!/emplos: 7$
@eordenando los datos:
0[ %otal -ep
: OD
0[ -ep *lquilados : . 0[ -ep no alquilados: u
*lquiler de 7 dep originalmente : 7DDX ?ncremento por 7 -ep no alquilado : MX ?ngreso por u -ep no alquilados: MuX ?ngreso por alquiler de 7 -!p : 7DD N Mu ?ngreso por alquiler de . -ep : .#7DDNMu$
@eemplazando la ecuación de ingreso es:
@ 8 .##7DDNM#OD2.$$ 8 2M.IF N DD.
@C 8 27D. N DD 8 D . 8 D @ma. 8 2MSDIF N DDSD 8 OMDDX
0ótese que no se alquilan 7D dep # u 8 7D$ !l alquiler de 7 -ep es : 7DD N Mu 8 7DD N MS7D 8 7MDX
F
@eordenando datos: 0[ de miles de X dOe transacción total : . 0[ de miles de X encima de 7DD mil X :u
.
8 u N 7DD
%arifa original por mil X : FDX @eba/a por mil X encima de 7DDmil : D,7 X @eba/a por u miles, encima de 7DDmil : D,7u X %arifa con reba/a: FD H D,7u
a$ (i la reba/a afecta al monto total de la transacción #. en miles de X$ el ingreso es:
@C 8 2 o,F.ND 8 D . 8 7MD
@ 8 .#FD2D,7u$
8 . # FD H D,7#.27DD$
@ma.
8 D,7.IF N D.
8 D7S7MDIF N DS7MD 8 FFMD mil 8FFMDDDDX
b$ (i la reba/a afecta únicamente a 7 monto por encima de 7DDmiles de X # u en miles de X$ el ingreso provendrá del monto con tarifa fi/a, mas el monto con reba/a: @ 8 7DDSFD N u#FD2D,7u$
@C 8 2D,F. N OD 8 D 8D .8FDD
8 FDDD N # .27DD$ #FD2D,7#.27DD$ @ma. 8 2D,7 2D,F. NOD D D 8 2D,7.IF N OD . H 7DDD
3.2 TASA DE VARIACIÓN MEDIA
.8FDD
8 DDD miles de X 8 DDDDDDX
INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN (ea y 8 f#.$ y a un punto del dominio de f (uponemos que a aumenta en !, pasando al valor a Nh, entonces f pasa a valer f#a Nh$, al valor ! se le lama incremento de
la variable ,
y a la diferencia entre f#a Nh$ y
f#a$ el incremento de la función
TASA DE VARIACIÓN MEDIA Llamamos tasa de variación media #o tasa media de cambio$ %Q+, de la función y 8f#.$ en el intervalo \a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
%Q+ \a, b] 8
!/emplo 7 Ealla la tasa de variación media de la función f#.$ 82.F en el intervalo \D,F] (olución %Q+ \D, F] 8
3.3. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA &onsideremos un valor h #que puede ser positivo o negativo$ La tasa de variación media en el intervalo \a, a Nh] sería
0os interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :
* este valor se le llama la "er#$a"a de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a D
8 (i f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
O%&er$a'#(n 1 (i hacemos . 8a Nh , la derivada, en el punto a , también puede e.presarse así:
O%&er$a'#(n 2. %ambién se puede hablar de "er#$a"a& )a*era)e& , f C N y f 2C #obligatorio que f sea continua$ según se considere el límite para hD o h;D (i e.isten los dos límites laterales y coinciden la función es derivable !/emplo F Las derivadas laterales de la función
en . 8D son 7 y H7
Luego la función valor absoluto no es derivable en el D
Pr+,+'#(n. %oda función derivable en un punto es continua en dicho punto !l recíproco es falso !/emplo F
es continua en D, pero no es derivable en D