Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero INTRODUCCIÓN El tema que ahora se conoce como "cálculo" en realidad se llamaba "el cálculo de diferenciales" cuando fue ideado primero por Newton (y Leibniz) aproximadamente hace cuatrocientos años. Para Newton, las diferenciales eran cambios tan pequeños que los matemáticos anteriores a él no sabían cómo manejarlos. Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de importancia en Óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada. Simplificando podemos destacar dos problemas principales: Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes). Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas). Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente, los que permiten resolver satisfactoriamente dichos problemas. Mientras que el concepto de integral tiene sus raíces en la antigüedad clásica, la otra idea fundamental del Cálculo, la derivada, no se formuló hasta el siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia, lo que inició el magnífico desarrollo del Cálculo. Si bien los trabajos de Newton y Leibnitz son decisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto culminante de un largo proceso en el que han participado científicos de la talla de Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (16011665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677) entre otros. Para entender los resultados del Cálculo diferencial es necesario, antes que nada, comprender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón “instantánea” de cambio. Muchas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son funciones que relacionan una variable “dependiente” y con otra variable “independiente” x, lo que suele escribirse en la forma:
y f (x)
.
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero CIRCULACION DE UN HIDROCARBURO Cuando consideramos la circulacion del hidrocarburo en un ducto, podemos modelar la forma del ducto como un tubo cilindrico con radio
R y longitud l .
Debido a la fricción en las paredes del ducto, la velocidad
v
del hidrocarburo es máxima a lo
largo del eje central del ducto y disminuye a medida que aumenta la distancia r desde el eje hasta que v v=
es 0 en las paredes. La relación entre v
y r
está dada por la ley de flujo laminar:
P 2 2 ( R −r ) 4ηl
donde η es la vicosidad del hidrocarburo y del ducto. Si
P es la diferencia de presión entre los extremos
P y l son constantes, entonces v
es una función de r .
Entonces para un ducto donde pasa un hidrocarburo en la industria petrolera tomamos η=0.7324 ,
R=0.35m , l=1000 m ,
v=
P ( R 2−r 2) 4ηl
v=
4000 2 2 (0.35 −r ) 4( 0.7324)(1000)
P=4,000 psi/cm2 que da
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero v=
4000 (0.1225−r 2 ) 2,929.6
v ≈ 1.3653 ( 0.1225−r 2) En r=0.20 m el hidrocarburo esta circulando a una rapidez de v ≈ 1.3653 ( 0.1225−r 2) v ( 0.06)≈ 1.3653(0.1225−0.04) ¿ 0.112643 m/ s
y el gradiante de velocidad en ese punto es la derivada de la ley de flujo laminar quedando v '=
−P r 2 ηl
−4000 ( 0.20 ) dv ' ¿0.20= dr 2 ( 0.7324 ) ( 1000 )
v ' ≈−0.546149(
m )/m s
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero COSTO MARGINAL Suponga que C( x ) es el costo total en que incurre una compañía al producir barriles. La función
C
producidos se aumenta de
x
unidades de
recibe el nombre de función de costo. Si el número de barriles x1 a
x 2 , entonces el costo adicional es
∆ C=C ( x 2 ) −C(x 1) , y
el promedio de rapidez de cambio del costo es ∆ C C ( x 2 )−C ( x 1) C ( x 1+ ∆ ) −C( x1 ) = = ∆x x 2−x1 ∆x
El límite de esta cantidad cuando
∆ x → 0 , esto es, la rapidez instantánea de cambio de costo
con respecto al número de barriles producidos, es denominado costo marginal: lim
∆ x→ 0
∆ C dC = ∆ x dx
[Como x toma sólo valores enteros, puede no tener sentido literal hacer que
∆x
se aproxime a
0, pero podemos siempre sustituir C( x ) por una función de aproximación lisa] Tomando ∆ x=1 y n grande (para que ∆ x
sea pequeña comparada con n ), tenemos
C' ( n ) ≈ C ( n+1 )−C (n) Entonces el costo marginal de producir n unidades es aproximadamente igual al costo de producir una unidad más, la (n+1) -ésima unidad. A veces es apropiado representar una función de costo total por un polinomio C ( x )=a+ bx+ c x 2+ d x 3
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero donde
a
representa los gastos indirectos (renta, calefacción, mantenimiento) y los otros
términos representan el costo de materias primas, mano de obra, etcétera. (El costo de materias primas puede ser proporcional a
x , pero los costos de mano de obra podrían depender en parte
de potencias de orden superior de
x
por los costos de tiempo extra e ineficiencias que
aparecen en operaciones a gran escala.) Por ejemplo, suponga que una compañía ha estimado que el costo (en dólares) de producir
x
barriles almacenadores de crudo es C ( x )=340+12 x+ 0.6 x2 Entonces la función de costo marginal es la derivada de la función dada C' ( x ) =12+ 1.2 x El costo marginal a nivel de producción de 50 barriles es C' ( 50 )=12+1.2 ( 50 ) ¿ $ 72 /barril Esto da como resultado la rapidez a la que los costos están aumentando con respecto al nivel de producción cuando
x=50 y predice el costo del barril 51.
El costo real de producir el barril 51 es C ( 51 )−C (50 )=[ 340+12 ( 51 )+ 0.6 ( 51 )2 ]−[340+12 ( 50 ) +0.6 ( 50 )2 ] ¿ $ 72.6
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero ' Observe que C ( 50 ) ≈ C (51 )−C ( 50 ) .
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero CALCULO DE MAXIMOS El director de Cameron S.A de C.V ha observado que si fija el precio a $300 por válvula, vende 50,000 válvulas, pero si llega a incrementar los precios, por cada peso las ventas disminuyen con 30 válvulas. ¿Qué precio debería fijar el director de Cameron por la venta de estas válvulas, de manera que el ingreso para Cameron sea el máximo? ¿Cuál es el valor de este ingreso? x=¿
Incremento de pesos al precio de válvulas, entonces para calcular el ingreso con precios
fijos: I ingresos =(300)(50,000)
Calcular ingresos con un incremento
x :
300+ x → Nuevo precio de las válvulas 30+ x → Numero de válvulas no vendidas por incremento
50,000−30 x → Numero de válvulas vendidas La función que representaría al ingreso en pesos de aumento al precio fijo de válvulas es: I ( x )=(300+ x)(50,000−30 x )
I ' ( x )=( 50,000−30 x )( 1 ) + ( 300+ x ) (−30) ¿ 50,000−30 x−9,000−30 x
¿ 50,000−9,000−60 x
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero ¿ 41,000−60 x
Igualamos a 0 41,000−60 x=0
x=
−41,000 −60
x=$ 683.3333
$ 683.3333=¿ Incremento al precio de las válvulas para obtener el máximo ingreso. Calculamos el ingreso máximo, incluyendo el incremento al precio I ( x )=(300+ x)(50,000−30 x )
¿(300+683.33)(50,000−30 ( 683.33 )) ¿(983.33)(50,000−20,499.9)
¿(983.33)(29,500.1) ¿ $ 29,008,333.33
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero ANALISIS DEL MOVIMIENTO DE UN ACTUADOR HIDRAULICO Un birlo esta situado en un actuador hidráulico en estado vertical que al activarse se estira 4 cm
mas que en su posición de reposo y se suelta en el tiempo
tiempo t
t=0 . Su posición en el
es
s=f ( t ) =4 cost
Encuentre la velocidad y aceleración en el tiempo
t
y úselas para analizar el movimiento del
birlo. Se deriva la función de su posición en el tiempo t , para encontrar la velocidad v=
ds d d = ( 4 cos ( t) )=4 ( cos ( t) ) dt dt dt
¿−4 sen(t ) Se encuentra la aceleración con la derivada de la velocidad a=
dv d d = (−4 sen ( t ) )=−4 ( sen ( t )) dt dt dt
¿−4 cos ( t )
El birlo oscila del punto mas bajo
(s=4 cm)
oscilación es 2 π , el periodo de cos ( t) .
al punto mas alto
(s=−4 cm) . El periodo de
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero La velocidad es cuando
|v|=4∨sen t∨¿ , que es máxima
|sen t|=1 , es decir, cuando
cos t =0 .
Entonces el birlo se mueve con máxima rapidez cuando pasa por su posición de equilibrio es
0
cuando
(s=0) . Su velocidad
sen t=0 , esto es, en los puntos alto y
bajo. La aceleración alto y bajo.
a=−4 cos (t)=0
cuando
s=0 . Tiene su magnitud máxima en los puntos
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero COMPRESIBILIDAD DE GAS (LP) Si una sustancia dada se mantiene a una temperatura constante, entonces su volumen depende de su presión
V
P . Podemos considerar la rapidez de cambio de volumen con respecto
a la presión, es decir, la derivada
dV dP . Cuando
P aumenta, V
disminuye, y
dV <0 . dP
La compresibilidad se define al introducir un signo menos y dividir esta derivada entre el volumen V : β=
−1 dV V dP
Entonces
β
mide la rapidez, por unidad de volumen, en que el volumen de una sustancia
disminuye cuando la presión sobre ella aumenta a temperatura constante. Por ejemplo, el volumen
V
(en metros cúbicos) de una muestra de gas LP a
encontró que está relacionado con la presión V=
P (en kilopascales) por la ecuación
5.3 P
La rapidez de cambio de V
con respecto a
dV −5.3 −5.3 ¿ P=40= 2 ¿ P=40= dP 1,600 P ¿−0.0033125 m3 /kPa La compresibilidad a esa presión es
P cuando cuando
P=40 kPa es
20 ℃
se
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero β=
−1 dV 0.0033125 ¿P =40= V dP 5.3 40
¿ 0.025(
m3 )/m3 kPa
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero RAPIDEZ AL DRENAR UNA SUSTANCIA Si un tanque contiene
5000
galones de agua, que se drena del fondo del tanque en
minutos, entonces la Ley de Torricelli da el volumen después de t
V
40
del crudo restante en el tanque
minutos como
1 2 t¿ 40 V =5000 ¿ 1−
Encuentre la rapidez a la que sale el agua del tanque después de (a) 5 minutos, (b) 10 minutos, (c) 20 minutos y (d) 40 minutos. ¿En qué tiempo está saliendo más rápido el agua? 1−
1 2 t¿ 40
dV =5000 ¿ dt
250 (1− ¿
t
1 t) 40
2
Calculamos la rapidez a la que sale el el agua a 5 min
dV ¿ = dt t =5
¿
1 (5)) 250(1−0.125) 40 = 2 25 5
250(1−
250 (0.875) 25
¿ 8.75 g /m
La rapidez a la que sale el agua a 10 min
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero dV ¿ = dt t =10
¿
1 (10)) 250(1−0.25) 40 = 2 100 10
250 (1−
250 (0.75) 100
¿ 1.875 g /m La rapidez del agua en 20 min
dV ¿ = dt t =20
¿
1 (20)) 250(1−0.5) 40 = 2 400 20
250 (1−
250 (0.5) 400
¿ 0.3125 g /m Rapidez a la que sale el agua en 40 min
dV ¿ = dt t =40
¿
1 (40)) 250(1−1) 40 = 2 160,000 40
250(1−
250 160,000 −3
¿ 1.5625 x 10 g / m Observemos que en 5 min el agua sale mas rapido ya que al aumentar el tiempo, disminuye la velocidad.
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero
Aplicaciones de la Derivada en el ámbito Petrolero CONCLUSIÓN El cálculo diferencial es usado cotidianamente en nuestras vidas que incluso la gran mayoría de las veces no nos percatamos de que podemos utilizar una derivada para comprar un auto, y bueno, en nuestra área dentro de la industria petrolera, el uso de derivadas es muy útil para obtener cálculos durante el proceso de perforación o bien en el área de finanzas dentro de una empresa que se encargue de producir cualquier herramienta que se utilice dentro del ámbito petrolero como válvulas, bridas, actuadores, barrenas, etc. Las derivadas son esenciales para nosotros ingenieros petroleros y sobre todo debemos saber cómo y cuándo ejercerlas al suscitarse un problema o querer averiguar datos.
BIBLIOGRAFÍA
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