TEMA 7 Aplicación de derivadas
APLICACIÓN DERIVADAS 1
RELACI LACIÓ ÓN ENT ENTR RE LA LA MONO ONOTONÍ TONÍA A DE UN UNA A FUN UNCI CIÓ ÓN Y SU DERIVADA
Si f ´(x0) > 0→ f es creciente en x0. Si f ´(x0) < 0→ f es decreciente en x0. EJERCICIOS: 1º.- Dada la función y = x 3 – 3x2 – 9x + ! a"#$i%ua: a& Dónd# c$#c#. '& Dónd# d#c$#c#. • •
Selectividad: 16, 40 a)
2
RELACI LACIÓ ÓN ENTR NTRE CU CUR RVAT VATUR URA A Y SEGUN EGUNDA DA DERIVA RIVADA DA
Si f ´´(x0) > 0→ f es cóncava en x 0 (la curva queda pr arri!a de la "an#en"e)
Si f ´´(x0) < 0→ f es cónvexa en x 0 x0
x0
EJERCICIO: Dada la función y = x 3 – 3x2 – 9x + ! a"#$i%ua: a& Dónd# #( cónca"a. '& Dónd# #( c)n"#xa. 3
EXTREMOS AB ABSOLUTOS Y RELATIVOS
$na función f presen"a un máximo absoluto (mínimo absoluto) en x0A f(x0)f(x) xA &f(x0)f(x) xA' $na función f presen"a un máximo relativo (mínimo relativo) en x0A cuand E(x0) "al que f(x0)f(x) x E(x0) ( f(x0)f(x) xE(x0) ) 4
(A%) si (A%)
ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN
se !serva en la fi#ura* una función definida en el in"erval &a*!' + cn"inua en ,l* puede presen"ar ex"res en %eriva!les 2 %eriva!les
s /un"s n"erires → (a!slu"s rela"ivs) s Ex"res del n"erval (A!slu"s)
pág. 111
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a
x
o
4.1
x
x
=
7
x8
b
EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES
laas puntos singulares a las races de la ecuación f ´(x)?0. En ells la rec"a "an#en"e es @rin"al • Si una función alcana un MBxi en un pun" c(a*!) en el que es derivable f E(c) = 0 C)ndición 4#c#(a$ia f E E (c ) < 0* C .S .
derivada •
a cndición suficien"e puede sus"i"uirse pr el es"udi de la n"na a iq + dc@a de ls valres que anulan la priera
Si una función alcana un ni en un pun" c(a*!) en el que
f E(c) = 0 C)ndición 4#c#(a$ia f E E (c) > 0* C .S .
es derivable-
a cndición suficien"e puede sus"i"uirse pr el es"udi de la n"na a iq + dc@a de ls valres que anulan la priera derivada
EJERCICIO: *alla )d)( l)( ,un)( (in%ula$#( a'(ci(a y )$d#nada& d# la función y = x3 – 3x2 – 9x + . "#$i%ua d# /u0 i,) #( cada un) d# #ll)(. '& d# ,a$a y = y = –3x + x3 4.2
EXTREMOS ABSOLUTOS
/ara calcular ls ex"res a!slu"s de una función en un in"erval &a*!'=C.5 Se @allan ls ex"res rela"ivs en (a*!)* se#Dn se explica en la pre#un"a an"erir C.5 se calcula f(a) + f(!) 8C.5 se cparan ls valres de f(a) + f(!) cn ls valres Bxis nis de la función en (a*!). El a+r de ells serB el Bxi a!slu" + el enr el ni a!slu". pág. 112
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EJERCICIOS: 1.-
3
D##$ina$ #l "al)$ 5xi) y 6ni) a'()lu) d# la función fx&= 3x + x - 9 #n #l in#$"al) 78!3.
Selectividad: 31 a, b, nº 33, nº 34 a), 48, 50a
5
ESTUDIO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN EN UNA FUNCIÓN
Sn aquells que separan arcs de curva cóncavs + cnvexs* es decir* en ells ca!ia la curva"ura de la función. En ells la "an#en"e a"raviesa la curva. Si una función presen"a un pun" de inflexión en x 0* en que es ds veces deriva!le-
x0
el
ndición 2ecesaria - f ′′ (c) = 0 ndición Suficien"e - Se es"udia la curva"ura a a!s lads del pun"F si ca!ia en x = c @a+ inflexión
EJERCICIOS: 1.- D##$ina$ l)( ,un)( d# infl#xión d# la función: y = x3 – 3x2 – 9x + . 2.- S#a f x& = ax 3 + 'x2 + cx + d un ,)lin)i) /u# cu,l# f 1& = 8! f 8& = 2 y i#n#
d)( #x$#)( $#lai")( ,a$a x = 1 y x = 2. a& *alla a! '! c y d. '& ;S)n 5xi)( ) 6ni)( l)( #x$#)( $#lai")(< 3.- a función f x& = x 3 + ax2 + 'x + c "#$ifica /u# f 1& = 1! f 1& = 8 y /u# f n) i#n#
#x$#) $#lai") #n x = 1. Calcula a! ' y c. 4.- *alla l)( c)#fici#n#( a! '! c! d d# la función fx& = ax 3+'x2+cx+d. (a'i#nd) /u# la
#cuación d# la an%#n# a la cu$"a #n #l ,un) d# infl#xión 1!8& #( y= - 3x+3! y /u# la función i#n# un #x$#) $#lai") #n x = 8 Selectividad: 22, 26 a), 36, 41 a) b), 43a) b)
6
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
En es"s pr!leas se "ra"a de cnse#uir un vluen* uns !eneficis* una p!laciónG BxisF uns cs"es* un BreaG nis. En ells ns in"eresan ls ex"res a!slu"s* pr l que siepre @a!rB que calcular el valr de la función en ls ex"res del in"erval. pág. 113
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EJERCICIO: 1º.- D# )d)( l)( $i5n%ul)( $#c5n%ul)( cuy)( ca#)( (uan 18 c! >alla la( di#n(i)n#( d# a/u#l cuya 5$#a #( 5xia. 2º.- En$# )d)( l)( $#c5n%ul)( d# ,#$6#$) 12 ! ;cu5l #( #l /u# i#n# la dia%)nal
#n)$< 3º.- D##$ina la( di#n(i)n#( /u# d#'# #n#$ un $#ci,i#n# cil6nd$ic) d# ")lu#n
i%ual a ?!2@ li$)( ,a$a /u# ,u#da c)n($ui$(# c)n la #n)$ canidad ,)(i'l# d# >)Aalaa. 4º.- En$# )d)( l)( $i5n%ul)( i(ó(c#l#( d# ,#$6#$) 38 c! ;cu5l #( #l d# 5$#a
5xia< 5º.- S# /ui#$# c)n($ui$ un $#ci,i#n# cónic) d# %#n#$a$iB 18 c y d# ca,acidad
5xia. ;Cu5l d#'# (#$ #l $adi) d# la 'a(#< 6º.- S#
d#(#a c)n($ui$ una caAa c#$$ada d# 'a(# cuad$ada cuya ca,acidad (#a @ d3. "#$i%ua la( di#n(i)n#( d# la caAa ,a$a /u# (u (u,#$fici# #x#$i)$ (#a 6nia.
7º.- En un $i5n%ul) i(ó(c#l#( d# 'a(# 12 c #l lad) d#(i%ual& y alu$a 18 c! (#
in(c$i'# un $#c5n%ul) d# f)$a /u# un) d# (u( lad)( #(0 ()'$# la 'a(# d#l $i5n%ul) y d)( d# (u( "0$ic#( ()'$# l)( lad)( i%ual#(: a& Ex,$#(a #l 5$#a! ! d#l $#c5n%ul) #n función d# la l)n%iud d# (u 'a(#! x! y di cu5l #( #l d)ini) d# la función. '& *alla #l "al)$ 5xi) d# #(a función. 8º.- *alla la 'a(# y la alu$a d# una ca$ulina $#can%ula$ d# ,#$6#$) ?8 c /u#!
al da$ la "u#la c),l#a al$#d#d)$ d# un lad) "#$ical! %#n#$# un cilind$) d# ")lu#n 5xi). 9º.- u#$#)( >ac#$ un #n"a(# c)n f)$a d# ,$i(a $#%ula$ d# 'a(# cuad$ada y
ca,acidad @8 c3. a$a la a,a y la (u,#$fici# la#$al u(a)( un d##$inad) a#$ial! ,#$) ,a$a la 'a(# d#'#)( #,l#a$ un a#$ial un 8 5( ca$). *alla la( di#n(i)n#( d# #(# #n"a(# ,a$a /u# (u ,$#ci) (#a #l #n)$ ,)(i'l#. 10º.- C)n una l5ina cuad$ada d# 18 d d# lad) (# /ui#$# c)n($ui$ una caAa (in
a,a. a$a #ll)! (# $#c)$an un)( cuad$ad)( d# l)( "0$ic#(. Calcula #l lad) d#l cuad$ad) $#c)$ad) ,a$a /u# #l ")lu#n d# la caAa (#a 5xi). Si la alu$a d# la caAa n) ,u#d# ,a(a$ d# 2 d! ;cu5l #( la #dida d#l lad) d#l cuad$ad) /u# d#'#)( $#c)$a$< 11º.- El "al)$! #n ill)n#( d# #u$)(! d# una #,$#(a #n función d#l i#,) "i#n#
dad) ,)$ f & = 9 - - 2& 2 ! 8 F F !. D#duc# #n /u# "al)$ d# alcanB) (u 5xi) "al)$ y #n /u0 "al)$ d# alcanB) (u "al)$ 6ni). pág. 114
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12º.- D)( ,)(#( d# 12 y 1@ d# alu$a di(an #n$# (6 38 . S# d#(#a #nd#$ un
ca'l# /u# una un ,un) d#l (u#l) #n$# l)( d)( ,)(#( c)n l)( #x$#)( d# #()(. ;Dónd# >ay /u# (iua$ #l ,un) d#l (u#l) ,a$a /u# la l)n%iud )al d#l ca'l# (#a 6nia< Selectividad Todos ece!to los 4 !"i#e"os. $#!e%a" !o" el &inal 'no olvida" 43c)
7
REPRESENTACIÓN GRFICA DE FUNCIONES
A pesar de que* para represen"ar una función* siepre @ares el ni nDer de cBlculs* suele ser iprescindi!le=. %ini + cn"inuidad . Asn""as + Haas nfini"as 8. Mn"na + Ex"res 4. urva"ura + pun"s de inflexión En el supues" de que es"s cBlculs n apr"en ls da"s suficien"es para la represen"ación* se pdrB cple"ar cn- pun"s de cr"e cn ls eIes* sie"ras* "a!la de valres... 7.1
REPASO DE ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS
Asíntota horizontal • Si li f ( x) = l (n infini") en"nces la asn""a @rin"al pr la derec@a es x →
•
+∞
la rec"a de ecuación- +? l f ( x) = l (n infini") en"nces la asn""a @rin"al pr la iquierda Si xli → −∞ es la rec"a de ecuación- +? l
Asíntota !ertical Si li f ( x) = x → a
±∞*
a∈
ℜ * @a+ asn""a ver"icalF es la rec"a de ecuación x? a.
/ara sa!er la psición de la curva respec" a la asn""a es precis calcular ls li"es la"erales. Asíntota "blicua
Si-
•
li f ( x ) =
x →
+∞
±∞
* li x →
+∞
f ( x ) x
=
2 ≠ 0 y li [ f ( x ) − 2x] x →
+∞
=
n (i#nd) 2* n ∈
ℜ
En"nces la rec"a +? xJn es una asn""a !licua pr la derec@a. /ara calcularla pr la iquierda* se efec"Dan ls iss cBlculs cn x → − ∞ . En el cas de funcines racinales y = D ( x) la lcaliación de la asn""a
•
( x )
!licua es uc@ Bs sencillaSi #rad de /(x) K #rad de L(x) ? = @a+ asn""a !licua. Su ecuación es +? xJn* siend xJn el ccien"e de dividir /(x) en"re L(x) pág. 115
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#amas $arab%licas • Si li f ( x ) =
± ∞ + n @a+ asn""a !licua* en"nces puede @a!er raa para!ólica. AnBl#aen"e se prcede para x → − ∞ D ( x) si #rad de /(x) K #rad de En el cas de funcines racinales y = ( x ) x →
•
+∞
L(x) > = @a+ raa para!ólica
EJERCICIOS: Selectividad: 35 a), 37 a) 43 a), 49
R#,$#(#na la( funci)n#(1: 1.- y = x3 – 3x2 – 9x +
2.-
. y
=
y
=
x ln x
. y =
x
7
( x − 8)
x
−=
7
3. y =
x # x
Selectividad: ?1! ?8! 9! @! G ...
= Hecuerda las funcines eleen"ales ln x* ex* sen x* cs xG + sus "ransfradas !"enidas suand
res"and * a la función + a la x
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
E!ERCICIOS SELECTIVIDAD
1.-$n
@il de ala!re de ln#i"ud dada se cr"a en ds "rs* frand cn un de ells una circunferencia + cn el "r un cuadrad. %eues"ra que la sua de las Breas es ni cuand el lad del cuadrad es d!le que el radi del crcul. (=664)
2.-
$n caión es"B a 67N O al es"e de un au"óvil + es"B viaIand @acia el es"e a una velcidad cns"an"e de 0 OP@. Mien"ras "an"* el au"óvil es"B +end al nr"e a una velcidad cns"an"e de 60 OP@. QEn qu, en" es"arBn el caión + el au"óvil Bs próxis el un del "rR (=664)
3.- En
un ins"an"e " ? 0 el óvil A es"B si"uad en (=00*0) + el óvil 1 se @alla en el pun" (0*N). A!s cienan un viien" unifre cn velcidades v A ? 5 8i + v1 ? i5I. %e"erinar el ins"an"e + las psicines para las que la dis"ancia en"re a!s óviles sea nia. (=66N)
&.- $na
par"cula recrre la curva + ? 5x J=0x K N de anera que en el "iep " se#unds cupa la psición x ? " e + ? 5 " J=0" K N. Al lle#ar al ins"an"e " ? N se#unds se escapa pr la "an#en"e a la curva recrriend die unidades de ln#i"ud en cada se#und en la dirección psi"iva del eIe :* es decir @acia la derec@a. alcular la psición de la par"cula en el ins"an"e =N se#unds. (=66N)
'.- Se divide un ala!re de ln#i"ud =00 en ds "rs. n un de ells se fra un
"riBn#ul equilB"er + cn el se#und un cuadrad. %e"erina las ln#i"udes de ess "rs para que la sua de las Breas del "riBn#ul + del cuadrad sea Bxia. (=66N)
.- Hepresen"ar la función f(x) "al que-
f(x) ? xJ si x∈& 5 *5 8' f(x) ? 8 si x∈( 5 8* 8) f(x) ? 5 x si x∈& 8*' alla el cnIun" de pun"s dnde es"B definida la derivada + represen"a la función f ´(x). ( A Uuni =66) .- alla la !ase VxW +
la al"ura V+W de una car"ulina rec"an#ular de pere"r 0 c que al dar la vuel"a cple"a alrededr de un lad ver"ical #enere un cilindr de vluen Bxi. (1 Uuni =66)
*.- $n pun" a"erial recrre la parB!la + ? 3x K 6.
%e"erinar ranadaen"e en que psición la dis"ancia del pun" al ri#en (0*0) es nia. (A Sep"ie!re=66)
+.- $n
@il elBs"ic "iene un ex"re fiI en el pun" : ? (0*0) + el "r ex"re / recrre la curva (x K 8) J (+ K 4) ? 4 %e"erinar las crdenadas de / cuand sea Bxia la ln#i"ud :/* in"erpre"and #e,"ricaen"e el resul"ad !"enid. (1 Uuni =667)
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1,.- %escpner
un se#en" del ln#i"ud 0 e"rs en cua"r par"es para !"ener el paralel#ra de la a+r Brea psi!le. (A Sep"ie!re=667) pun" a"erial recrre la parB!la + ? x K 7. %e"erinar ranadaen"e la psición psicines en que la dis"ancia del pun" al ri#en (0*0) es nia. (1 Uuni.=663)
11.- $n
12.- $n
@il de =00 e"rs se divide en ds "rs de ln#i"udes x e +F cn el prier se fra un cuadrad + cn el se#und un crcul. Hanadaen"ea) alla x e + para que la sua de las Breas del cuadrad + del crcul sea Bxia. !) alla x e + para que la sua de las Breas del cuadrad + del crcul sea nia. (1 Sep"ie!re.=663)
13.- n un @il de 0 c fras un rec"Bn#ul que al #irar alrededr de un de sus
lads en#endra un cilindr de Brea ""al (Brea la"eral J Brea de las !ases) Bxia. (1 Uuni =666)
1&.- El
pun" /(x*+) recrre la elipse de ecuación
x 7N
+
+ 6
= = . %educe las psicines
del pun" / para las que su dis"ancia al pun" (0*0) es Bxia* + "a!i,n las psicines de / para las que su dis"ancia es nia. (A Sep"ie!re.=666) pun" /(x*+) recrre la curva + ? x . $"iliand ranadaen"e el cBlcul de derivadas* calcula la psición del pun" / para la cual su dis"ancia al pun" (0* 54) es nia. (A Uuni.000)
1'.- El
1.- A "rav,s de la u"iliación ranada de la relación de la derivada de una función cn
su creciien" decreciien"* !",n en que pun"s del in"erval & 5 *' sn crecien"es decrecien"es las funcinesa) f(x)? x !) #(x)? x8 K 7 (000)
1.- Se divide un @il de =00 e"rs en ds "rs de ln#i"udes VxW e V+W. n el "r
de ln#i"ud VxW se fra un cuadrad + cn el de ln#i"ud V+W se fra un rec"Bn#ul* el lad a+r del cual ide el d!le que el lad enr. Encuen"ra VxW e V+W para que la sua de las Breas del cuadrad + del rec"Bn#ul sea Bxia. de para que sea nia. (A.Sep"ie!re.000)
1*.- Se
divide un ala!re de =00 de ln#i"ud en ds se#en"s de ln#i"udes VxW + V=00 K xW. n el de ln#i"ud VxW se fra un "riBn#ul equilB"er + cn el "r se#en" se fra un cuadrad. Sea f(x) la sua de las Breas del "riBn#ul + del cuadrad. a) %e"erina el dini de la función fF es decir* ls valres que puede "ar VxW !) n el es"udi de la derivada de f !",n cuand f es crecien"e + cuand es decrecien"e. c) ndica ranadaen"e para que valr de VxW se !"iene que la sua de las Breas del "riBn#ul + del cuadrad es nia. (A Uuni.00=)
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
1+.-
4 7− x
Sea la función definida pr f ( x ) =
si si
− 8≤ x ≤ 8 8< x ≤ 7
Uus"ifica si f es
deriva!le n en x ? 8. QLu, si#nificad #e,"ric "iene el resul"ad !"enidR (1 Uuni.00=) 2,.- %escpner
un se#en" de ln#i"ud 00 en cua"r par"es* de anea que esas par"es sean ls lads de un rec"Bn#ul cu+a Brea sea Bxia den"r de la failia de rec"Bn#uls de pere"r 00 . (1 Sep"ie!re.00=)
21.-
nsiderad las funcines definidas para x X 0* f (x ) = arcsen # ( x ) = arccs
= =+ x
7
x =+ x
7
+
. alculad f´(x) + #´(x) expresadlas del d Bs
siplificad psi!le. parad ls resul"ads + deducid Ius"ificadaen"e la diferencia en"re f(x) + #(x) (1 Uuni 00) 22.-Sea f(x) ? x8 J ax J !x J c.
allad a* !* c sa!iend que f alcana un Bxi en x ? 5 4 + un ni en x ? 0 + que f(=) ?= (A Sep"ie!re. 00).
23.- Sea T un "riBn#ul de pere"r 0 c. $n de ls lads del "riBn#ul T ide x c
+ ls "rs ds lads "ienen la isa ln#i"ud. a) %educir ranadaen"e las expresines de las funcines A + f "ales queA(x) ? Yrea del "riBn#ul. f(x) ? ZA(x)[ ndicar adeBs en"re qu, valres puede variar x. a) :!"ener* ranadaen"e* el valr de x para el que f(x) alcana el valr Bxi. ( 1 Uuni.008) una #ran pradera se "iene que vallar una na de 400 * que de!e "ener fra de rec"Bn#ul. ada e"r de valla cues"a =00 eurs. Si x es la edida en e"rs de un de sus lads* se pide- a) :!"ener ranadaen"e la función de f "al que f(x) sea el cs"e de la valla* indicand en"re qu, valres puede variar x. !) %educir ranadaen"e el valr de x para el que la función f(x) alcana el valr ni. (A Sep"ie!re 008)
2&.- En
2'.- Encn"rar
ranadaen"e el pun" de la curva +?
= =+ x
en que la rec"a "an#en"e a
la curva "iene pendien"e Bxia + calcular el valr de esa pendien"e. Juni) 288. 3!3 ,un)(& f(x)? xJx (dnde es un parBe"r real) + f \ (x) la función derivada de f(x). Se pidea) allar el valr del parBe"r para que f(x) "en#a un ni rela"iv en x?58P4 1! ,un)(
2.- Sea
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
!)
/ara el valr de calculad en a)* de"erinar el Brea de la re#ión cprendida en"re la curva +?f(x) + la rec"a de ecuación + ? f ] (x) 1!@ ,un)( (#,i#'$# 288.& x ln x + a ! 2.- allar las cns"an"es reales a + ! para que f(x)? senπ x x función cn"inua para "d valr de x. 3!3 ,un)(. Juni) 288&
si si si
> 0 x= 0 sea una x< 0 x
el plan se "iene la curva + ? x Jx K =. Encn"rar ranadaen"e las ecuacines de las rec"as que pasan pr el pun" ( * 8) + sn "an#en"es a dic@a curva. S#,i#'$# 288. 3!3 ,un)(&.
2*.- En
a) El pere"r de un sec"r circular de radi H es 4 . QuBn"s radianes ^ de!e edir su Bn#ul cen"ral para que su Brea sea BxiaR 1!@ ,un)(&. (2"a/ere"r ? H JH ^ F Yrea ? _ ^ H ) !) El* Brea de "r sec"r circular es de = . Q/ara qu, radi es ni su pere"rR 1! ,un)(. S#,i#'$# 288&.
2+.-
3,.- %ada la función +? n x en el in"erval &=*e'* siend e? *7=33=Ga) #azonar que exis"e un pun" / de la #rBfica +? n x en el que la rec"a "an#en"e a
ella es paralela a la rec"a que pasa pr ls pun"s A?(=*0) + 1(e*=) !) "btener el pun" / cnsiderad en a) 1!@ ,& c) alcular la pendien"e de la rec"a "an#en"e a +? n x en / ( 8! ,&
( 1 ,&
Juni) 8?
31.- a) ibu/ar razonadamente la #rBfica de la función #(x)? x K 4* cuand − = ≤ x ≤ 4 1!1 ,) !) "btener razonadamente ls valres Bxi + ni a!slu"s de la función
f ( x ) = x
− 4 en el in"erval &5=*4' 1!1 ,&
c) 8alcular el Brea del recin" lii"ad pr la curva de ecuación +? f(x) + las rec"as x? 5= e +? 0 1!1 ,& Juni) 8? 32.- El cs"e de un arc de una ven"ana rec"an#ular es de =*N ` pr
e"r lineal de ls lads ver"icales + 3` pr e"r lineal de ls lads @rin"ales. a) alcular ranadaen"e las diensines que de!e "ener el arc de una ven"ana de = de superficie para que resul"e l Bs ecnóic psi!le 2!3 ,& !) alcular* adeBs el cs"e de ese arc Bs ecnóic psi!le cnsiderad en a) 1 ,& Juni) 288?
33.- a) "btener la derivada de la función f ( x) = ax + ' + (#n x 8! ,un)(&. alcular a
+ ' si O = (0* 0) es un pun" de la curva y = ax + ' + (#n x * cu+a rec"a "an#en"e en O= (0* 0) es el eIe OH 1!@ ,un)(& . Es"e apar"ad se @arB en el "ea de Yreas 8 Es"e apar"ad se @arB en el "ea de Yreas
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
b) 0ustiicar ue la función %x& = −
7 π
x + (#n x se anula en ds pun"s del
in"erval [0* π ] 8! ,un)(&. c) alcular ess ds pun"s 8! ,un)(&.
S#,i#'$# 288?
3&.- %adas las funcines f ( x) = x 8 - 8 x + 3
+ % ( x) = −8 x * se pidea) alcular el Bxi a!slu" de la función f ( x) en el in"erval [− 8* 0] 1 ,&. b) alcular el pun" de cr"e de la curva y = f ( x) + la rec"a y = % ( x) 1 ,un)&. c) "btener el Brea del recin" lii"ad pr la curva y = f ( x) + las rec"as y = % ( x) * x = −8 + x = 0 1!3 ,un)(&. S#,i#'$# 288?
3'.- Se cnsideran las funcines reales f(x) ? =x 8 K 3xJ6x K N
+ #(x) ? x K 7xJ.
Se pidea) %e"erinar las ecuacines de las asn""as a la #rBfica de la función f ( x ) 1!? #( x )
,un)(&. b) Calcular la función H(x) =
f ( x )
∫ #(x)dx que cumple H(1)=1. (1,7 puntos)
Junio 2007. 3.-Se cnsidera la función real f ( x) = x8+ ax+ !x + c* dnde
a! ' + c sn parBe"rs
reales. a) Averi#uar ls valres de a + ' para ls que las rec"as "an#en"es a la #rBfica de f ( x) en ls pun"s de a!scisas x ? + x = sn paralelas al eIe :. 2 ,un)(&. !) n ls valres de a + ' @allads an"eriren"e* !"ener el valr de c para el que se cuple que el pun" de inflexión de la #rBfica de f ( x) es"B en el eIe :. 1!3 ,un)(&. Juni) 288G 3.- %adas las funcines reales f ( x)?
4xJ x +=0 + % ( x) = x8Jx JNxJN. Se pide-
a) %e"erinar las ecuacines de las asn""as a la #rBfica de la función !) alcular la función T(x) = 3*.-. Sea la función cn dini
f(x)
∫ #(x) dx
f(x) #(x)
1!? .
que cuple * (0) ? 0. 1!G ,un)(&. S#, 8G
ls nDers reales n nuls
f(x)
=
4 x
a) alcular la ecuación de la rec"a "an#en"e + de la rec"a nral a la #rBfica de f ( x) en el pun" de a!scisa x = . 1.@ ,un)(& . !) %e"erinar ls pun"s + 4 de la #rBfica de f ( x) para ls que las rec"as "an#en"es a la #rBfica en + 4 se cr"an en el pun" (4 * - 3 ). 1. ,un)(&. S#, 288G 3+.- Se cnsidera la función real f(x) ? x K 4. :!"ener* explicand el prces de
cBlcula) a #rBfica de la curva + ? f(x). 8!G ,un)(&.
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
!) s valres de x para ls que es"B definida la función real #(x) ? n f(x). 1!3 ,& c) s in"ervals de creciien" + decreciien" de la función #(x)* ranand si "iene* n* Bxi a!slu". 1!3 un)(& Juni) 288@. &,.- Juni) 2889
a) %e"erinar* ranadaen"e* el dini + ls in"ervals de creciien" + decreciien" de la función f(x) ?
=
( 8 − x )( 8 + x )
. 1 ,un)&
!) Obtener razonadamente los alores de ! " # tales que A
c)
+
1
=
( 8 − x )( 8 + x )
=
(1 punto)
8− x 8+ x Calcular razonadamente el $rea de la superficie % limitada por la cura = "= & el e'e O " las rectas de ecuaciones x = - " x = . ( 8 − x )( 8 + x ) (1,3 puntos)
&1.- %ada la función f(x) ? e x K e K x* se
pide calcular ranadaen"ea) a función f(x)Jf( 5 x). 1!1 ,un)(& a !) *a interal ∫ f ( x )dx & donde a es un n,mero real positio. (1,1 puntos) −a
c) El pun" de inflexión de f(x). 1!1 ,un)(&
Juni) 2889
&2.- Se cnsideran las funcines reales f(x) ? x J=x K
pide !"ener ranadaen"e-
+ #(x) ? (x K )(x J6). Se
a) as ecuacines de las asn""as a la #rBfica de la función !) *a función T(x) =
∫
f(x)
f(x) #(x)
1!? ,un)(&
J
dx que cumple * 8 8 . 1!G ,un)(& #(x)
&3.- %ada la función real f x =
=
3 = x
7
S#, 2889
* se pide calcular ranadaen"e-
a) as derivadas priera + se#unda de la función f(x). 8!@ ,un)(& !) s pun"s de inflexión de la curva + ? f(x). 1 ,un)& c) a pendien"e Bxia de las rec"as "an#en"es a la curva + ? f(x). 1! ,& S#, 89 &&.- Se quiere cns"ruir un es"adi cerrad de =0.000 de superficie. El es"adi es"B
frad pr un rec"Bn#ul de !ase VxW + ds seicrculs ex"erires de diBe"r VxW* de anera* que cada lad @rin"al del rec"Bn#ul es diBe"r de un de ls seicrculs. El preci de = de valla para ls lads ver"icales del rec"Bn#ul es de = ` + el preci de = de valla para las seicircunferencias es de `. Se pide !"ener ranadaen"ea) a ln#i"ud del pere"r del cap en función de VxW. 3 ,un)(& !) El cs"e f(x) de la valla en función de VxW. 3 ,un)(& c) El valr de VxW para que el cs"e de la valla sea ni. ,un)(& Juni) 2818
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
&'.- %ada la función plinóica f(x)? 4 K x * se pide
!"ener ranadaen"e-
a) a #rBfica de la curva + ? 4 K x . 2 ,un)(& !) El pun" / de esa curva cu+a "an#en"e es perpendicular a la rec"a de ecuación xJ+?0. 3 ,un)(& c) as rec"as que pasan pr el pun" (5 * =) + sn "an#en"es a la curva + ? 4 K x * Juni) 2818 !"eniend ls pun"s de "an#encia. ,un)(&
&.- %s eleen"s de un
escud sn una circunferencia + un "riBn#ul. a circunferencia "iene cen"r en (0*0) + radi N. $n de ls v,r"ices del "riBn#ul es el pun" ?(5N*0). s "rs ds v,r"ices del "riBn#ul sn ls pun"s de la circunferencia K=x! y& + C=x! - y&. Se pide !"ener ranadaen"ea) El Brea del "riBn#ul en función de x. 3 ,un)(& !) s v,r"ices K + C para ls que es Bxia el Brea del "riBn#ul. ,un)(& S#,i#'$# 2818 c) El valr Bxi del Brea del "riBn#ul. 2 ,un)(&
&.- Se desea cns"ruir un cap rec"an#ular cn v,r"ices ! K! C + D de anera que-
s v,r"ices + K sean pun"s del arc de la parB!la + ? 4 5 x * 5 x * + el se#en" + K es @rin"al. s v,r"ices C + D sean pun"s del arc de la parB!la + ? x 5 =* 5 4x4 * + el se#en" C + D es "a!i,n @rin"al. s pun"s + C "ienen la isa a!scisa* cu+ valr es el nDer real psi"iv x. s pun"s K + D "ienen la isa a!scisa* cu+ valr es el nDer real psi"iv 5 x. Se pide !"ener razonadamentea) a expresión Sx& del Brea del cap rec"an#ular en función del nDer real psi"iv x. . ,un)(& !) El nDer real psi"iv x para el que el Brea Sx& es Bxia. . ,un)(& c) El valr del Brea Bxia. 2 ,un)(& K.Juni) 2811
b de ecuación +?8 K x * variand la x de 5 a . Se represen"a pr f(x) a la dis"ancia del pun" (0*6) al pun" (x*+) del arc b
&*.5 $n cc@e recrre un arc de parB!la
dnde es"B si"uad el cc@e. Se pide !"ener razonadamente a) a expresión de f(x). 2 ,un)(& !) s pun"s del arc b dnde la dis"ancia f(x) "iene nis rela"ivs. 2 ,un)(& c) s valres Bxi + ni de la dis"ancia f(x). 2 ,un)(& d) El Brea de la superficie lii"ada pr el arc de parB!la b + el se#en" rec"ilne que une ls pun"s (5*0) + (*0). ,un)(& K.S#, 2811 &+.- %ada la
función f definida pr- f(x) ? x e5x
:!"ener razonadamentea) El dini + recrrid de la función f . 2 ,un)(& !) s valres de x dnde la función f alcana el Bxi + el ni rela"iv. 2 ,un)(& c) s in"ervals de creciien" + decreciien" de dic@a función f . 2 ,un)(& pág. 123
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
d) s valres de x dnde la función "iene pun"s de inflexión. 2 ,un)(& e) a #rBfica de la curva* explicand cn de"alle la !"ención de la asn""a @rin"al. 2 ,un)(&. S#, 2811 ',.- n
el s!l ln x se represen"a el l#ari" de un nDer psi"iv x cuand la !ase del l#ari" es el nDer e. Sea la función f * que para un nDer psi"iv es"B definida pr la i#ualdad f(x) ? 4x lnx. :!"ener razonadamente a) El valr de x dnde la función f alcana el ni rela"iv. ,un)(&. !) a ecuación de la rec"a "an#en"e a la curva + ? 4xln x en el pun" (= * 0). 3 ,un)(& c) El Brea lii"ada en"re las rec"as +? 0* x?e + x?e + la curva + ? 4xln x (8 . Juni) 2812 pun"s)
'1.- /ara disear un escud se di!uIa un
"riBn#ul L de v,r"ices ? (0 * =)* K ? (5x * x)
+ C ?(x * x)* siend x <=. :!"ener razonadamente a) El Brea del "riBn#ul L en función de la a!scisa x del v,r"ice C . 2 ,un)(& !) as crdenadas de ls v,r"ices K + C para que el Brea del "riBn#ul L sea Bxia. 3 ,un)(& /ara cple"ar el escud se aade al "riBn#ul L de Brea Bxia la superficie S lii"ada en"re la rec"a + ? 4 + el arc de parB!la + ? x * cuand 5 x. :!"ener razonadamente c) El Brea de la superficie S. 3 ,un)(&. K. Juni) 2812 d) El Brea ""al del escud 2 ,un)(&. '2.- Es defineixen les funcins f i # per f(x) ? 5 x J x i #(x) ? x .
:!"eniu ranadaen"a) Els in"ervals de creixeen" i decreixeen" de cada una daques"es dues funcins. 2 ,un(&. !) El xi rela"iu de la funció f(x) ? 5 x J x i el ni rela"iu de #(x) ? x . 2 ,un(&. c) Els pun"s din"ersecció de les cr!es f(x) ? 5 x J x i #(x) ? x .. 2 ,un(&. d) rea "ancada en"re les cr!es f(x) ? 5 x J x i #(x) ? x * en la qual en els ds cass la x varia en"re 0 i =. ,un(&. . S##'$# 2812. '3.- Es
vl cns"ruir un depsi" cilndric de =00 8 de capaci"a"* !er" per la par" superir. a !ase ,s un cercle de psició @ri"n"al de radi x i la pare" ver"ical del depsi" ,s una superfcie cilndrica perpendicular a la !ase. El preu del a"erial de la !ase del depsi" ,s 4 eursP . El preu del a"erial de la pare" ver"ical ,s eursP . :!"eniu ranadaen"a) \rea de la !ase en funció del seu radi x. 1 ,un&. !) \rea de la pare" ver"ical del cilindre en funció de x. 2 ,un(&. c) a funció f(x) que dóna el cs" del depsi". 2 ,un(&. d) El valr x del radi de la !ase per al qual el cs" del depsi" ,s ni i el valr del di" cs" ni. K. S##'$# 2812. pág. 124
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
'&.- Es
va es"udiar el vien" d\un e"eri" del sis"ea slar duran" un es. Es va !"enir que l\equació de la seua "raIec"ria T ,s + ? x J 6* sen" 5 4*N x 3 i + X 0* es"an" si"ua" el Sl en el pun" (0* 0). alculeu ranadaen"* escrivin" ""s els passs del ranaen" u"ili"a"a) a dis"ncia del e"eri" al Sl des d\un pun" / de la seua "raIec"ria l\a!scissa del qual ,s x. 3 ,un(&. !) El pun" / de la "raIec"ria T n el e"eri" acnse#ueix la dis"ncia nia al Sl. ,un(&. c) a dis"ncia nia del e"eri" al Sl. 2 ,un(&. ota. En els "res resul"a"s n,s cal dnar l\expressió al#e!raica el valr nuric !"in#u"* sense esen"ar la uni"a" de esura* per n @aver si#u" indicada en l\enuncia". . Juny 2813. ''.- A"esa
la funció f definida per f(x) ? sen x* per a qualsevl valr real x* es deana que calculeu ranadaen"* escrivin" ""s els passs del ranaen" u"ili"a"a) \equació de la rec"a "an#en" a la cr!a + ? f(x) en el pun" d\a!scissa x ? gP. ,un(&. !) \equació de la rec"a nral a la cr!a + ? f(x) en el pun" d\a!scissa x ? gP8. Es recrda que la rec"a nral a una cr!a en un pun" / ,s la rec"a que passa per aques" pun" / i ,s perpendicular a la rec"a "an#en" a la cr!a en el pun" /. 3 ,un(&. c) \an#le fra" per les rec"es de"erinades en els apar"a"s a) i !). 3 ,un(&. K. Juny 2813.
= = x =− x ln i #(x) ? . ln = − x = x %e"erineu ranadaen"* escrivin" ""s els passs del ranaen" u"ili"a"a) es derivades de f(x) i #(x). ,un(&. !) Els dinis de definició de les funcins f(x) i #(x). 3 ,un(&. c) \expressió siplificada de la funció f(x) J #(x)* 1! ,un(& + el recrre#u" d\aques"a funció f(x) J #(x). 1! ,un(&. . Juli)l 2813. '.- Es
dnen les funcins f(x) ?
'.- En el plnl h es" di!uixada una parcel.la A els li"s de la qual són ds carrers
d\equacins x ? 0 i x ? 40* respec"ivaen"* una carre"era d\equació + ? 0* + el "ra del curs d\un riu* d\equació + ? f(x) ? 80 7x = * a! 0 x 40* sen" psi"iu el si#ne de l\arrel quadrada. Es pre",n ur!ani"ar un rec"an#le H inscri" en la parcel.la A* de anera que els vr"exs de H si#uen els pun"s (x*0)* (x* f(x) )* (40* f(x)) i (40* 0). alculeu ranadaen"* escrivin" ""s els passs del ranaen" u"ili"a"a) \rea de la parcel.la A. 3 ,un(&. !) Els vr"exs del rec"an#le H al qual crrespn l\rea xia. ,un(&. c) El valr d\aques"a rea xia. 2 ,un(&. K. Juli)l 2813. N3.5 :!"ener ranadaen"e* escri!iend "ds ls pass del ranaien" u"iliadpág. 125
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
a) El valr de para el cual la función f(x) ?
(xJ=) ex* x = (#nx
x
x ≤ 0
* x>0
es cn"inua en x ? 0. 3 ,un)(&. !) s in"ervals de creciien" + decreciien" de la función (xJ=) e x. . 3 ,un)(&. c) a in"e#ral ∫ x = # 7x dx * 2 ,un)(& + el Brea lii"ada pr la curva + ? (xJ=) ex + las rec"as x ? 0* x ? = e + ? 0. 3 ,un)(&. . Juny 281. '+.- Teni un quadra" de ar!re de cs"a" 30 c. Es prdueix el "rencaen" dun can"ó
i queda un pen"#n de vr"exs A? (0* 0)* 1 ? (0* 0)* ? (30* 0) * % ? (30* 30) i E ? (0* 30). /er a !"enir una pea rec"an#ular* "rie un pun" / ? (x* +) del se#en" A1 i fe ds "alls paral.lels als eixs i h. Aix !"eni un rec"an#le H els vr"exs del qual són els pun"s / ? (x* +)* j ? (30* +)* % ? (30* 30) i ; ? (x* 30) :!"eniu raonadament4 escrivint tots els passos del raonament utilitzat a) rea del rec"an#le H en funció de x* quan 0 x 0. 3 ,un(&. !) El valr de x per al qual lrea del rec"n#le H ,s xia. ,un(&. c) El valr de lrea xia del rec"an#le H. 2 ,un(&. K. Juny 281. ,.-Si#a f la funció real definida per f(x) ? xe x K 8x. Es deana l!"enció raona4 escrivint tots els passos del raonament utilitzat4 de
a) Els pun"s de "all de la cr!a + ? f(x) a! el eix . 2 ,un(&. !) El pun" dinflexió de la cr!a + ? f(x)* 2 ,un(& !i "a!, la /ustiicaci% raonada que la funció f ,s creixen" quan x > . 2 ,un(&. c) rea lii"ada per leix i la cr!a + ? f(x)* quan 0 x ln8* n ln si#nifica l#ari"e neperi. ,un(&. . Juli)l 281.
1.- $n
clu! depr"iv alquila un avión de 30 plaas para realiar un viaIe de epresa kH. a+ 0 ie!rs del clu! que @an reservad !ille"e. En el cn"ra" de alquiler se indica que el preci de un !ille"e serB 300 eurs si sól viaIan 0 persnas* per que el preci del !ille"e disinu+e en =0 eurs pr cada viaIer adicinal a par"ir de ess0 viaIers que +a @an reservad !ille"e. :!"ener razonadamente4 escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado a) El ""al que c!ra kH si viaIan =* 70 + 30 pasaIers. 1 ,un)&. !) El ""al que c!ra kH si viaIan , 5 x pasaIers* siend 0 x 0. ,un)(&. c) El nDer de pasaIers en"re 0 + 30 que axiia l que c!ra en ""al la epresa kH. ,un)(&. K. Juli)l 281. 2.- :!"eniu raonadament4 escrivint tots els passos del raonament utilitzat
a) Els in"ervals de creixeen" i de decreixeen" de la funció real f definida per f(x) ? (x5=) (x58)* sen" x un n!re real. 3 ,un(& !) rea del recin"e fi"a" lii"a" en"re les cr!es + ? (x5=) (x58) i + ? 5(x5=) (x58). ,un(& c) El valr psi"iu de a per al qual lrea lii"ada en"re la cr!a + ? a (x5=) (x5 8)* leix h + el s#en" que uneix els pun"s (0* 0) + (=* 0) ,s 4P8. 3 ,un(& . Juny 281. pág. 126 S12 345346353058%E/9ST: E;A S540=667
TEMA 7 Aplicación de derivadas
3.-$n
p!le es" si"ua" en el pun" A(0* 4) dun sis"ea de referncia car"esi. El "ra x dun riu si"ua" al "ere unicipal del p!le descriu la cr!a + ? * sen" 4 − x :!"eniu raonadament4 escrivint tots els passos del raonament utilitzat a) a dis"ncia en"re un pun" /(x* +) del riu i el p!le en funció de la!scissa x de /. 2 ,un(&. !) El pun" pun"s del "ra del riu si"ua"s a dis"ncia nia del p!le. ,un(&. c) El pun" pun"s del "ra del riu si"ua"s a dis"ncia xia del p!le. ,un(&. K. Juny 281.
&.-Se
da la función f definida pr f(x) ?
x x =
.
"btener razonadamente4
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado-
a) El dini + las asn""as de la función f . (8 pun"s) !) s in"ervals de creciien" + de decreciien" de la función f . (4 pun"s) x . Juli)l 281. c) a in"e#ral x = dx . (8 pun"s)
va a cns"ruir un depósi" de =N00 8 de capacidad* cn fra de caIa a!ier"a pr la par"e superir. Su !ase es pues un cuadrad + las paredes la"erales sn cua"r rec"Bn#uls i#uales perpendiculares a la !ase. El preci de cada de la !ase es de =N ` + el preci de cada de pared la"eral es de N `. "btener razonadamente4 escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizadoa) El cs"e ""al del depósi" en función de la ln#i"ud de un lad de su !ase. (8 pun"s) !) as ln#i"udes del lad de la !ase + de la al"ura del depósi" para que dic@ cs"e ""al sea ni. (N pun"s) c) El valr del ni cs"e ""al del depósi". ( pun"s) K. Juli)l 281. '.-Se
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