Semejanza

UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO

FICHA TÉCNICA

Título: Semejanza en el Plano. Trigonometría plana. Resolución de Triángulos. Nivel: 4º E.S.O. opción B Breve descripción y objetivos generales: El objetivo general es que el alumno vea cómo se utilizan los conocimientos sobre semejanza de triángulos (con el teorema de Thales) y sobre trigonometría en el plano para resolver problemas que aparecen en la vidaa cotid vid cotidia iana na y que pueden pueden “trad “traduci ucirse rse matemá matemáti ticam cament ente” e” a una resol resoluci ución ón de triángulos. Conocimientos previos: de medios: uso de la calculadora y útiles de dibujo. de Matemá Matemátic ticas: as: cono conoci cimi mien ento toss sobr sobree ángu ángulo los, s, triá triáng ngul ulos os,, rect rectas as,, paralelismo, paralelismo, perpendicularidad, perpendicularidad, operaciones con fracciones, fracciones, ... Duración: -

mínima: 30 sesiones. máxima: 35 sesiones.

Medios: proyector Medios: proyector y transparencias, útiles de dibujo para la pizarra, pizarra y tizas de colores, cinta métrica, teodolito. Material para el alumno: descripción de las Fichas de Trabajo en grupo, descripción de las actividades para fuera del aula, útiles de dibujo, calculadora, tijeras, papel milimetrado. Descripción de una sesión tipo: 50% sesión de descubrimiento. 50% sesión de refuerzo. En una sesión tipo se trabajará por grupo o individualmente (según interese) una actividad enfocada a que el alumno pueda descubrir o intuir la idea o ideas que el profesor pretende conseguir con su objetivo marcado. Y luego se realizaran unas actividades actividades (entre 2 y 5) para reforzar esos nuevos conocimientos adquiridos en la primera parte de la sesión. -

Nº de pequeños grupos de alumnos / Nº de alumnos: Lo mejor sería trabajar con una base de 24 alumnos porque ese número permite la división de la clase en grupos de manera más versátil (grupos de 2, de 3, de 4, de 6, ...) sin necesidad de formar grupos desequilibrados. desequilibrados. -

En esta Unidad se formarán 12 grupos de 2 alumnos para la realización y estudio de las Fichas de Trabajo (que posteriormente se presentarán) y 6 grupos de 4 alumnos para la realización de las actividades recreativas y actividades fuera del aula. El resto de actividades se trabajarán de forma individual.

-

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Nº de procedimientos: Nº total de actividades: Nº de actividades de descubrimiento: Nº de actividades de refuerzo: Nº de actividades de ampliación: Nº de actividades recreativas: Evaluación: Tipo de centro: I.E.S público. Entorno social: pequeña ciudad cercana a la capital. Profesor: interino cubriendo una sustitución. Estimación teórica: por teórica: por la metodología llevada a cabo el alumno va creando sus propios conocimientos a raíz de su trabajo, por lo que con la ayuda del profesor no deberían aparecer grandes problemas o complicaciones en el proceso de asimilación de conceptos como la semejanza de triángulos o la resolución de triángulos. Sí podrían aparecer estos problemas en la parte de trigonometría porque es un tema más teórico que práctico, lo que conlleva a la necesidad por parte del alumno de asimilar mayor cantidad de nuevos conceptos. Estimación práctica: debido a mi situación de sustituto no he podido llevar a la práctica esta Unidad. -

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LISTA DE PROCEDIMIENTOS 1.- Semejanza en el Plano. 1.1.- Idea general de Semejanza. 1.2.- Semejanza de Triángulos. Triángulos. 1.2.1.- Definición de Triángulos Semejantes. 1.2.2.- Teorema de Thales. 1.2.3.- Consecuencias del Teorema de Thales. 1.3.- Escalas.

2.- Trigonometría Plana. 2.1.- Razones Trigonométricas: Seno, Coseno y Tangente. 2.2.- Relaciones entre las Razones Trigonométricas de un ángulo. 2.3.- Relaciones entre las Razones Trigonométricas Trigonométricas de varios ángulos.

3.- Resolución de Triángulos Rectángulos.

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DESARROLLO

1.- Semejanza en el Plano: 1.1.- Idea general de Semejanza. Como introducción del tema de Semejanza se les contará a los alumnos algunos de los problemas históricos que se resolvieron por Semejanza de Triángulos y algunas de las aplicaciones prácticas que se encuentran en la vida cotidiana. Algunos de estos problemas son: 

Thales y la Gran Pirámide. Hacia el año 600 a.C., cuando las pirámides ya habían cumplido su segundo milenio, el sabio griego Thales de Mileto visitó Egipto. El faraón, que conocía la fama de Thales, le pidió que resolviera un viejo problema: conocer la altura exacta de la Gran Pirámide. Thales apoyó su bastón en el suelo cuidando de que estuviera lo más vertical posible. Y esperó. ¿Podrás averiguar cómo obtuvo la altura de la pirámide?



¿Sabrías explicar cómo funciona un proyector de transparencias, de diapositivas, de cine, ... ?



¿Sabrías medir la altura de un árbol con la única ayuda de un espejo?

Para iniciar el tema se toma la decisión de que sea el profesor quien comience explicando a los alumnos qué son figuras semejantes, pues se trata de una idea fácil de asimilar por parte de los alumnos y, a pesar de tratarse de una Semejanza en el Espacio y no en el Plano, es una buena introducción para la Semejanza de Triángulos. Se les definirá las “figuras semejantes” como aquellas que tienen la misma forma pero distinto tamaño.

Actividad 1 (de descubrimiento) Enumerar ejemplos de figuras semejantes y explicar por qué lo son. Se puede realizar esta actividad como una puesta en común, donde cada alumno va dando sus ejemplos con una breve explicación de por qué cree él que son figuras semejantes. Se copiarán en la pizarra y luego, entre todos y con la ayuda del profesor se irán descartando los ejemplos erróneos. Algunos de los ejemplos de figuras semejantes son: las muñecas rusas, las maquetas de automóviles, las maquetas de edificios, las fotografías, las fotocopias ampliadas o reducidas, una proyección de diapositivas, los planos de edificios, los planos callejeros, los mapas,...

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El objetivo de esta actividad es que el alumno relacione figuras de la vida cotidiana con las Matemáticas, y se reafirme así la idea de figuras semejantes. Una vez introducido el tema el profesor les propondrá a los alumnos el estudio de semejanzas en las figuras más simples cuyo estudio se puede realizar: los triángulos.

1.2.- Semejanza de Triángulos. El estudio de la Semejanza de Triángulos se llevará a cabo mediante una Ficha de Trabajo, que los alumnos irán estudiando y analizando, extrayendo sus propias conclusiones. El objetivo de esta actividad es que el alumno vaya creando sus propias ideas, siendo capaz al finalizar de: 

definir Triángulos Semejantes



definir la Razón de Semejanza



comprender el Teorema de Thales



comprender los criterios de Semejanza de Triángulos

Actividad 2 (de descubrimiento) Ficha de Trabajo sobre Semejanza de Triángulos Esta ficha consta de una lámina en la que aparecen cuatro triángulos y dos tablas para completar por los alumnos; la primera para anotar la medida de los lados de los triángulos y la segunda para anotar la relación entre los lados de las parejas de triángulos que se pueden formar. Esta actividad se trabajará en grupos de 2 alumnos. La ficha es la siguiente:

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Ficha de Trabajo sobre Semejanza de Triángulos

C B

b

a

c

a

A

b c

b a c a

b

c

A

7


TABLA 1

TRIÁNGULO 1 TRIÁNGULO 2 TRIÁNGULO 3 TRIÁNGULO 4

lado a lado b lado c

TABLA 2

cociente entre los lados a

cociente entre los lados b

cociente entre los lados c

TRIÁNGULOS 1Y2 TRIÁNGULOS 1Y3 TRIÁNGULOS 1Y4 TRIÁNGULOS 2Y3 TRIÁNGULOS 2Y4 TRIÁNGULOS 3Y4

Nota: para trabajar esta actividad será necesario una regla graduada, unas tijeras y una calculadora.

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EXPLICACIÓN: Agrupados por parejas los alumnos realizarán la medición de los lados de los cuatro triángulos de los que consta la Ficha, anotando los resultados en la Tabla 1 •

A continuación van completando la Tabla 2 realizando los cocientes entre los lados indicados en cada una de las seis parejas de triángulos que se pueden formar. •

Se comprobará que los datos obtenidos en la Tabla 2 coinciden para la pareja de triángulos 1 y 4; se dice que son lados proporcionales. Se repite el mismo proceso para la pareja de triángulos 2 y 3. •

Por último se recortarán los triángulos 1 y 4 y se estudian sus ángulos superponiendo el pequeño sobre el mayor, comprobando que son iguales dos a dos. Se repite el mismo proceso con los triángulos 2 y 3. •

CONCLUSIONES: Como se ha visto la pareja de triángulos 1 y 4 cumple una peculiar propiedad: que tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales dos a dos. Lo mismo ocurre con la pareja de triángulos 2 y 3. A esta propiedad se le llamará a partir de ahora “Semejanza de Triángulos”. A los triángulos que cumplan dicha propiedad se les llamará “Triángulos Semejantes”. Así se ha conseguido que sea el propio alumno el que descubra esta propiedad, aunque haya sido el profesor el que la haya dado el nombre. •

Los valores de la Tabla 2 coincidían para la pareja de triángulos 1 y 4. A ese número lo llamaremos “Razón de la Semejanza” y es la ley de proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes. •

Al proceso que se ha seguido para comprobar que los ángulos de los triángulos semejantes eran iguales se llamará “poner los triángulos en Posición de Thales”, y por lo tanto tienen dos lados sobre las mismas rectas y el tercer lado sobre rectas paralelas (este paralelismo se puede comprobar con la regla graduada una vez que tenemos los triángulos en posición de Thales). •

Por último se enuncia el Teorema de Thales: “Si dos triángulos tienen dos lados sobre las mismas rectas y el tercer lado sobre rectas paralelas entonces se tratan de Triángulos Semejantes. Por lo tanto se cumple que sus lados son proporcionales dos a dos”. Esto se esquematiza de la siguiente manera: •

9


a’

c’

a

c b b’

a

b

c

a’

b’

c’

A partir del estudio de esta Ficha se propondrá a los alumnos una serie de actividades de Refuerzo, en las que no sólo se refuercen los conocimientos adquiridos con dicha Ficha, sino que ellos mismos podrán demostrar resultados matemáticos, consecuencias del Teorema de Thales, que luego utilizarán para la realización de otras actividades.

Actividad 3 (de descubrimiento) Criterios de semejanza de triángulos (consecuencia del Teorema de Thales). a) Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, entonces son Semejantes.

α

β

β

10


b) Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual, entonces son Semejantes.

a’

A

a

a

b

a’

b’

α

b b’ c) Si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales dos a dos, entonces son Semejantes.

a

a’

c’ a’

a

b

=

b’

c

=

c’

c b b’

Actividad 4 (de descubrimiento) Teorema de la Altura. En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

a

b

h m

h2 = m · n

n c

11


Actividad 5 (de descubrimiento) Teorema de los Catetos. En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa y de la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

a

b

h

a2 = c · m b2 = c · n

m

n c

Actividad 6 (de descubrimiento) Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a

b

h m

a2 + b2 = c2

n c

Actividades 7 y 8 (de refuerzo) Dadas parejas de triángulos estudiar la posible semejanza. 7.- Dados los triángulos de lados 3,4,5 cm. y 6,8,10 cm. Respectivamente, ¿son semejantes? En caso afirmativo halla la Razón de Semejanza. 8.- Dados los siguientes triángulos:

12


¿se pueden poner en Posición de Thales? ¿Son semejantes?

Actividades 9 y 10 (de refuerzo) Sobre el Teorema de Thales. Dadas parejas de triángulos de Triángulos Semejantes en las que falten algunos datos, averiguar el valor de dichos datos. 9.- Dados los triángulos semejantes de lados 3, 4, 5 cm y x, 12, 15 cm respectivamente, calcular el valor de x y la Razón de Semejanza. 10.- En la siguiente figura: x 10

h’ h

4

8

calcula x, h y h’, así como la Razón de Semejanza.

Actividad 11, 12 y 13 (de refuerzo) Sobre los Teoremas de la Altura, de los Catetos y de Pitágoras. 11.- En la siguiente figura

a

b

h m

n c

calcula los datos incógnitas sabiendo que m = 160 cm. y n = 250 cm.

13


12.- En la siguiente figura

a

b

h m

n c

calcula los datos incógnitas sabiendo que a = 30 cm., b = 40 cm. y c = 50 cm.

13.- En la siguiente figura

a

b

h m

n c

calcula los datos incógnitas sabiendo que a = 66 cm., c = 108 cm. y m = 46 cm.

Actividades 14 – 22 (de ampliación) Sobre el Teorema de Thales. 14.- En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos. Halla dichos datos:

14


15.- En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos. Halla dichos datos:



15





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Actividades 23, 24 y 25 (de ampliación) Sobre los Teoremas de la Altura, de los Catetos y de Pitágoras. 23.- La sección de un tejado tiene forma de triángulos rectángulo de lados 7’5, 10 y 12’5 m. Se quiere colocar una viga vertical para que resista mejor. Halla su altura y la separación de los extremos del tejado.

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24.- Un árbol se encuentra atado a dos estacas alineadas con él y a una distancia de 2 y 4 m. Respectivamente, de manera que las cuerdas en el tronco del árbol forman un ángulo recto. ¿A qué altura se encuentra atado el árbol por el tronco?

25.- Las medidas de un tobogán están dadas en la siguiente figura. Calcula los datos desconocidos.

Actividades 26 y 27 (recreativas) Tienen por objetivo que el alumno sea capaz de “traducir matemáticamente” algunos problemas de la vida real que pueden resolverse mediante semejanzas. La dificultad que estas actividades presenta para los alumnos consiste en la falta de costumbre de razonar matemáticamente ante problemas cotidianos. Una vez que traducen el problema a una semejanza de triángulos, ya no hay dificultad alguna para resolverlo. 26.- Para buscar petróleo se colocó una torre en el mar del Norte sobre un pesado zócalo de hormigón situado en el fondo del mar. La altura que emergía con el mar en calma era de 40 m. Una violenta tempestad volcó la torre por su base de hormigón. La catástrofe fue filmada desde una plataforma cercana y se observó así que el extremo de la torre desapareció en el mar a 84 m. Del punto donde emergía inicialmente. ¿Cuál es la profundidad del mar en ese lugar? 27.- Una hormiga está correteando en un círculo de 60 cm. de radio. Se para en un punto del diámetro situado a 30 cm. del centro y se acerca de forma perpendicular al diámetro hasta llegar al borde del círculo. ¿Qué distancia total ha recorrido?

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Actividades 28, 29 y 30 (recreativas para fuera del aula) Son una serie de actividades para realizar en el patio de recreo en grupos de cuatro alumnos con la única ayuda de una vara recta y una pequeña cinta métrica. Tienen por objetivo que los alumnos comprendan las aplicaciones de las Matemáticas en la vida real. Y qué mejor para ello que la propia experiencia. Así que ahora podrán a aprender a hacer mediciones de grandes longitudes sin necesidad de realizar la medida exhaustivamente. 28.- Medir la altura de un árbol. 29.- Medir las dimensiones de la pista de fútbol–sala. 30.- Medir la anchura de un edificio.

1.3.- Escalas. Para introducir el tema de las Escalas a partir de la Semejanza se repartirá a los alumnos una Ficha de Trabajo que irán estudiando y completando por grupos de dos alumnos. El objetivo principal de esta actividad es que el alumno aprenda a “leer” planos, mapas y maquetas que existen en la vida real, así como a elaborar él mismo algunos planos, mapas o maquetas.

Actividad 31 (de descubrimiento) Ficha de Trabajo sobre Escalas Esta Ficha consta de una fotografía y dos fotocopias suyas, una reducida y otra ampliada. También contiene dos tablas para completar con las mediciones que se realizarán en la fotografía y en las fotocopias, así como de las relaciones existentes entre esas medidas. La Ficha de Trabajo es la siguiente:

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FICHA DE TRABAJO SOBRE ESCALAS

Fotografía original

20


Fotocopia ampliada

21


Fotocopia reducida

22


TABLA 1

ORIGINAL

AMPLIADA

REDUCIDA

SEGMENTO 1 SEGMENTO 2 SEGMENTO 3 SEGMENTO 4 SEGMENTO 5

TABLA 2

AMPLIADA / ORIGINAL

REDUCIDA / ORIGINAL

SEGMENTO 1 SEGMENTO 2 SEGMENTO 3 SEGMENTO 4 SEGMENTO 5

TABLA 3

ORIGINAL

AMPLIADA

REDUCIDA

ÁNGULO A ÁNGULO B ÁNGULO C

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Nota: para trabajar esta ficha es necesario una regla graduada, un transportador de ángulos y una calculadora. EXPLICACIÓN: Agrupados por parejas los alumnos realizarán mediciones en la fotografía de cinco segmentos bien diferenciados, anotando los datos en la Tabla 1. •

A continuación señalan los segmentos de las fotocopias que se corresponden con los elegidos en la fotografía, realizando sus mediciones y anotando los datos en la Tabla 1. •

Luego se completa la Tabla 2 con las relaciones entre las mediciones efectuadas en la Tabla 1. •

Por último se marcan tres ángulos en la fotografía y en sus fotocopias y se completa la Tabla 3 con ayuda de un transportador de ángulos. •

CONCLUSIONES: Se comprueba que el cociente entre la medida de un segmento de la fotocopia ampliada y el mismo segmento en la fotografía es invariante sea cual sea el segmento elegido. Lo mismo ocurre con la fotocopia reducida. A este número se la llama “Constante de Proporcionalidad”, y es mayor que 1 en caso de ampliaciones y está entre 0 y 1 en caso de reducciones. Se dice que estas fotocopias están hechas a escala de la fotocopia original. •

También puede observarse en la Tabla 3 que los ángulos marcados en la fotografía y en las fotocopias son iguales. Se deduce que la escala es una semejanza entre figuras, siendo la Constante de Proporcionalidad la Razón de Semejanza de dicha Semejanza. •

Se define, pues, la Escala como una Semejanza entre una figura original y una copia suya (tanto ampliada como reducida). Y la Constante de Proporcionalidad (o Razón de la Semejanza) se escribe de la forma •

X:Y y que significa que cada X cm. de la copia a escala representan a Y cm. del original. Si X es mayor que Y se tiene que la copia es una ampliación del original. Y si X es menor que Y se tiene que la copia es una reducción del original.

Actividades 32 – 38 ( de refuerzo) 32.- Las dimensiones de un terreno rectangular son 1200 m. y 400 m. Dibuja sobre papel milimetrado un rectángulo semejante a escala 1:200.

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33.- Las medidas de un triángulo rectangular son 300, 400 y 500 m. En un triángulo a escala el lado menor tiene 6 cm. de longitud, ¿cuánto miden los restantes lados? 34.- En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 3 cm. Halla la escala del mapa sabiendo que en la realidad esas dos ciudades distan 66 km. 35.- En un mapa a escala 1:25000 dos lugares están separados 4 cm. Determina la distancia real entre ellos. 36.- Los lados de una parcela de terreno en forma de cuadrilátero miden en un plano 10, 12, 22 y 18 cm. Halla las dimensiones reales sabiendo que dicha plano está hacho a escala 1:200. 37.- Las medidas de una pieza triangular de un televisor son 1, 2 y 5 mm. En un plano a escala 5:1, ¿cuánto medirá dicha pieza? 38.- Las medidas de un circuito electrónico rectangular son 3 y 7 mm. En un plano a escala el lado menor mide 2’1 cm. Hallar la escala y la medida del otro lado.

Actividades 39 – 43 (de ampliación) 39.- Con un mapa de España a una determinada escala hallar distancias reales entre ciudades. 40.- Con un plano callejero de la ciudad a una escala conocida daterminar la longitud de paseos, calles,..., la superficie de barriadas, terrenos,... 41.- Traducir a medidas reales un plano de un piso a una cierta escala. 42.- Elaborar un plano del centro a escala. 43.- Con maquetas de automóviles o edificios cuya escala es conocida hallar sus medidas reales.

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2.- Trigonometría Plana: 2.1.- Razones Trigonométricas: Seno, Coseno y Tangente. Como esta parte de la Unidad es más teórica será el profesor quien introduzca unas definiciones previas para que, a partir de ellas, el alumno comience su posterior trabajo. Definamos de las Razones Trigonométricas del Seno, Coseno y Tangente: Definición: Dado un punto P en unos Ejes de Coordenadas como indica la figura P

d

x

α

y

se definen: seno del ángulo α ( y se escribe sen α ) como el cociente entre la ordenada del punto P y su distancia al Origen de Coordenadas; es decir: sen α = y / d coseno del ángulo α (y se escribe cos α ) como el cociente entre la abcisa del punto P y su distancia al Origen de Coordenadas; es decir: cos α = x / d tangente del ángulo α (y se escribe tg α ) como el cociente entre la ordenada y la abcisa del punto P; es decir: tg α = y / x Nota: para facilitar los estudios posteriores suponemos las Razones Trigonométricas en de una circunferencia cuyo radio es la distancia del punto P al Origen de Coordenadas:

x

P

r α

x

y 26


Actividad 44 (de descubrimiento) Las Razones Trigonométricas de un ángulo no dependen del radio que se tome. Como se podría creer observando las definiciones, las Razones Trigonométricas de un ángulo parecen depender del punto P elegido, es decir, de las coordenadas (x,y) de dicho punto y de la distancia del punto al Origen de Coordenadas. Pero esto no es cierto. Para demostrarlo se realizará esta actividad, utilizando el Teorema de Thales.

Q d’

P x’

d x

α

y y’

Se concluye con esta actividad que las Razones Trigonométricas de un ángulo no dependen del radio de la circunferencia en la que se trabaje. Por la tanto, a partir de ahora se les pide a los alumnos que trabajen con la circunferencia más fácil y cómoda para hacerlo: la Circunferencia de Radio 1 (también llamada Circunferencia Unidad o Goniométrica).

Actividad 45 (de descubrimiento) El signo de las Razones Trigonométricas en los cuatro cuadrantes.

x

1er Cuadrante P

r α

x

y 27


Sen α es positivo por estar en el semieje positivo del eje de ordenadas. Cos α es positivo por estar en el semieje positivo del eje de abcisas. Tg α es positivo por ser cociente entre dos valores positivos.

Realizar la misma operación para ángulos de los Cuadrantes 2º, 3º y 4º.

Actividades 46 – 48 (de refuerzo) 46.- Si un ángulo del 2º Cuadrante tiene seno igual a 3/5, halla las restantes Razones Trigonométricas. 47.- Si un ángulo del 3 er Cuadrante tiene tangente igual a 4, halla las restantes Razones Trigonométricas. 48.- Si un ángulo del 4º Cuadrante tiene coseno igual a 4/5, halla las restantes Razones Trigonométricas.

2.2.- Relaciones entre las Razones Trigonométricas de un ángulo. En este punto se obtendrán las relaciones existentes entre Seno, Coseno y Tangente de un ángulo α .

Actividad 49 (de descubrimiento) Trabajando sobre la Circunferencia Unidad aplicar el Teorema de Pitágoras.

1 α

P x

y

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El objetivo de esta actividad es que el alumno obtenga una fórmula que relacione Seno y Coseno de un ángulo. Esta fórmula es la Fórmula Fundamental de la Trigonometría: sen2 α + cos2 α = 1

Actividad 50 (de descubrimiento) Trabajando sobre la definición de Tangente de un ángulo encontrar una fórmula que la relacione con el Seno y el Coseno. Definición de Tangente: tg α = x / y El objetivo de esta actividad es que el alumno obtenga la relación existente entre las tres Razones Trigonométricas que se han estudiado en un ángulo. Esta relación es : tg α = sen α / cos α

Actividad 51 (de descubrimiento) Utilizando las dos fórmulas anteriores encontrar la relación entre Tangente y Coseno de un ángulo. El objetivo de esta actividad es hallar la siguiente fórmula: 1 + tg2 α = 1 /cos 2 α

2.3.- Relaciones entre las Razones Trigonométricas de varios ángulos. Actividad 52 (de descubrimiento) Vamos a relacionar las Razones Trigonométricas de los ángulos de los Cuadrantes 2º, 3º y 4º con las Razones Trigonométricas de ángulos del 1 er Cuadrante.

x

1 y

β

1 α

P x

β = 180º -

-y

29


sen β = x = sen α cos β = y = - cos α tg β = x/y = sen α / (- cos α) = - tg α Realizar la misma operación con los ángulos de los Cuadrantes 3º y 4º.

Actividad 53 (de refuerzo) A partir de los valores de las Razones Trigonométricas de los ángulos del 1 er Cuadrante de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º, calcular las Razones Trigonométricas de ángulos de los demás cuadrantes. 1er Cuadrante

0º

30º

45º

60º

90º

Seno

0

1/2

V2/2

V3/2

1

Coseno

1

V 3 /2

V2/2

1/2

0

tangente

0

V3/3

1

V3

-------

Calcular las Razones Trigonométricas de los ángulos: 120º, 135º, 150º, 210º, 225º, 240º, 300º, 315º, 330º.

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3.- Resolución de Triángulos Rectángulos: La Resolución de Triángulos consiste en, dado un triángulo con algunos datos conocidos, encontrar el valor de los tres ángulos y de los tres lados. En esta Unidad nos dedicaremos solo al caso de Triángulos Rectángulos, ya que para los Triángulos Oblicuángulos necesitaremos resultados más avanzados y que se estudiarán en el próximo curso. Esta es la parte de la Unidad más práctica, pues con poca teoría se pueden resolver muchos y diversos problemas, tanto teóricos como prácticos. La resolución de Triángulos Rectángulos es el caso más sencillo de Resolución de Triángulos. En él utilizaremos los siguientes resultados: •

La suma de los tres ángulos de un Triángulos es de 180º.

•

El Teorema de Pitágoras.

•

Las Razones Trigonométricas de un ángulo.

Nota: para hacer las actividades de Resolución de Triángulos sin ningún tipo de problemas en la utilización de los resultados anteriormente citados se tendrá en cuenta lo siguiente: Los ángulos se designarán con letras mayúsculas (las mismas que los vértices): A, B y C. •

Los lados se designarán con letras minúsculas y correspondientes al ángulo opuesto: a, b y c. B •

c

a

A

C

b

Actividad 54 (de descubrimiento)

La suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180º. χ

α

β

31


El objetivo de esta actividad es ver de forma sencilla que los tres ángulos de un triángulo es de 180º.

Actividad 55 (de descubrimiento) Dado el Triángulo Rectángulo siguiente

hipotenusa cateto opuesto α

cateto contiguo

se tiene que : cateto opuesto sen α = hipotenusa cateto contiguo cos α =

tg a =

hipotenusa cateto opuesto cateto contiguo

El objetivo de esta actividad es ver la relación existente entre las Razones Trigonométricas (la definición que se vio de ellas) y los Triángulos Rectángulos. Nota: una vez que se conoce alguna de las Razones Trigonométricas se puede hallar el valor del ángulo. Esto se lleva a cabo mediante las funciones inversas del Seno, Coseno o Tangente, que son al Arcoseno (arcsen α o sen-1 α ), Arcocoseno (arccos α o cos-1 α ) y el Arcotangente (arctg α o tg-1 α ). Para ello es necesario tener unos conocimientos de la calculadora científica que permiten obtener estos datos. Si fuese necesario se daría una sesión explícitamente sobre el funcionamiento de la calculadora científica.

32


Actividades 56 – 63 (de refuerzo) 56- Halla las Razones Trigonométricas del ángulo menor en un Triángulo Rectángulo de lados 6, 8 y 10. 57.- Halla los ángulos de un Triángulo Rectángulo de lados 12, 16 y 20. 58.- Dibuja un Triángulo Rectángulo cuya hipotenusa mide 1 y los catetos 0’5. Calcula los ángulos agudos. 59.- Dibuja un Triángulo Rectángulo cuya hipotenusa mide 4 y uno de los catetos 2. Calcula los ángulos agudos. 60.- Un cateto de un Triángulo Rectángulo mide 3 y la hipotenusa 7. Hallar las Razones Trigonométricas de los ángulos agudos. 61.- En un Triángulo Rectángulo se conocen la hipotenusa c = 12 y el ángulo B = 25º. Resolver el triángulo. 62.- Resolver el siguiente Triángulo Rectángulo: B c A 80 cm

65º

a C

63.- La hipotenusa de un Triángulo Rectángulo mide 25 cm y un cateto mide 20 cm. Resolver el triángulo.

Actividades 64 – 75 (de ampliación) Nota: para resolver estas actividades es necesario seguir los siguientes pasos: •

Leer bien el problema y comprender lo que nos dice.

Realizar un dibujo que refleje fielmente la situación que describe el problema. • •

Traducir dicho dibujo a un Triángulo Rectángulo.

Anotar en el triángulo los datos conocidos y designar una letra a los datos desconocidos. •

Resolver el triángulo hasta hallar los datos incógnitas del problema, sin necesidad de resolver el triángulo en su totalidad. •

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64.- Los rayos solares forman un ángulo de 45º con el suelo. Calcula la altura de un árbol sabiendo que su sombra es de 7m. 65.- Calcula el radio, apotema y área de un octógono regular de lado 10cm. 66.- En una circunferencia de 100 cm de radio se unen dos puntos mediante una cuerda de 100 cm. ¿Cuánto mide el ángulo central? 67.- Halla el lado y el área del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 m. 68.- Una cometa está fijada al suelo por un hilo de 100 m. formando con el suelo un ángulo de 60º. Calcula la altura a la que se encuentra la cometa. 69.- La base de un triángulo isósceles mide 10 cm. y el ángulo apuesto 50º. Halla la altura y el área del triángulo. 70.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm. y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo que forman las ramas. 71.- Si las dos ramas de un compás miden 12 cm. de longitud y forman un ángulo de 60º, calcula el diámetro de la circunferencia que puede trazarse. 72.- Desde un faro de 40 m. de altura se divisa un barco bajo un ángulo de 55º. ¿A qué distancia del faro se encuentra el barco? 73.- Se desea calcular el área de una parcela triangular. Dos lados miden 80 m. y 130 m. y el ángulo que forman dichos lados se mide con un teodolito obteniendo 70º. ¿Cuánto mide el área? 74.- Una escalera de 5 m. de altura se apoya sobre una pared formando un ángulo de 20º con el suelo: Calcula la altura que alcanza la escalera sobre la pared y la separación del pie de la escalera con la pared. 75.- Una escalera de bomberos de 10 m. se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º. Si se apoya sobre la otra fachada el ángulo es de 30º. Halla la anchura de la calle y la altura sobre cada fachada que se podrá alcanzar.

Actividad 76 (recreativa) Altura de pie accesible. Con ayuda de un teodolito de 1’5 m. de altura y de una cinta métrica, ¿cómo podremos medir la altura de un árbol, una estatua, un edificio,...? Esta actividad se realizará por parejas y luego se expondrán en la pizarra las soluciones encontradas para su posterior análisis.

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El objetivo de esta actividad es que el alumno aprenda a manejar un teodolito, así como que comprenda su función para realizar mediciones de alturas.

Actividad 77 (recreativa para fuera del aula) Con ayuda de un teodolito y una cinta métrica realizar mediciones en el patio de recreo: árboles, canastas de baloncesto, edificios,... Se completará una tabla con los datos obtenidos para un posterior contraste de resultados.

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ANEXO DE ACTIVIDADES 1.- La Gran Pirámide d Kéops. Cuando el sabio griego Thales de Mileto, hacia el año 600 a.C., se encontraba en Egipto, un enviado del Faraón le pidió, en nombre del Soberano, que calculara la altura de la Gran Pirámide de Kéops. En efecto, corría la voz de que el sabio sabía calcular la altura de construcciones elevadas por arte geométrica, sin subir a ellas. Thales se apoyó en su bastón y esperó hasta que, a media mañana la sombra del bastón, mantenido en posición vertical, tuvo una longitud igual a la del bastón. Entonces dijo al enviado: “ Ve y mide rápidamente la longitud de la sombra de la Gran Pirámide; en este momento es tan larga como la altura de la pirámide ”.

Pero no era necesario esperar a que la sombra del bastón fuera de igual longitud que éste. ¿Sabrías explicar por qué? Solución:

H

h

x X

H = altura de la Gran Pirámide X = sombra de la Gran Pirámide a cualquier hora del día H = Altura del bastón X = sombra del bastón a cualquier hora del día Si desconozco sólo H, por el Teorema de Thales se cumple que: x/X = h/H de donde se deduce que H = X·h / x

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2.- Moisés en el Nilo. Una cestilla flotaba sobre el Nilo movida por una ligera brisa en medio de los juncales. La hija del faraón había bajado al río para bañarse acompañada de sus doncellas y sirvientes, que caminaban a orillas del río. Cuando vio la cestilla se preguntó cuál podía ser la profundidad del río en ese punto, para que uno de sus sirvientes la cogiera. Vio que una flor de loto sobresalía diez centímetros sobre la superficie del agua; un soplo providencial inclinó el loto hasta hacerlo desaparecer a unos treinta centímetros del lugar donde emergía el tallo antes de que soplara el viento. Envió entonces a uno de sus sirvientes a recoger la cestilla, y de esta manera Moisés fue salvado de las aguas del Nilo. ¿Por qué decidió mandar a uno de sus sirvientes a recoger la cestilla tan convencida de que no se ahogaría?

30

10 p

Se traduce en el estudio del siguiente triángulo: b

a

h m

n c donde h = 30, m = 10 y n = p.

Por el Teorema de la Altura se tiene que h 2 = m·n, de donde se obtiene que n = h 2 / m. Por tanto p = 30 2 / 10 = 90. Por la tanto la profundidad era de 90 cm.

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3.- Formato de los televisores El tamaño de los televisores se mide por las pulgadas de su diagonal. Los actuales televisores de alta definición tienen además un formato especial, el formato de cine, por lo que la relación entre los lados es de 16/9. Calcula las dimensiones de un televisor de 36’71 pulgadas.

36’71

y d’

x

9

16

Por el Teorema de Pitágoras hallamos d’: d’ = V (92+162) = 18’358 Los triángulos rectángulos de lados {16, 9, d’} y {x, y, 36’71} respectivamente son semejantes por construcción. Aplicando el Teorema de Thales se obtiene: 36’71 / d’ = x / 16 = y / 9 de donde se deduce que x = 16 · 36’71 / 18’358 = 31’995 y = 9 · 36’71 / 18’358 = 17’997 Los televisores tienen unas medidas aproximadas de 32 x 18 pulgadas.

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4.- La Torre de Pisa La construcción de la famosa Torre de Pisa se concluyó en el año 1.284. Al terminar se comprobó que la parte más alta de la torre se separaba de la vertical unos 90 cm. Actualmente esta separación es de 5m. y la altura de la torre de unos 55m. Calcular el ángulo que forma la torre con la vertical y la altura real del punto más alto.

α

55

5

Sabemos que sen α = 5 / 55 = 1 / 11. Entonces α = arcsen (1 / 11) = 5’215908576 = 5º12’57’’ Por lo tanto, la separación de la torre con la vertical es actualmente de 5º12’57’’

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Semejanza

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