ANÁLISIS DIMENSIONAL Y MODELADO 7.1 DIMENSIONES Y UNIDADES Una dimensión es una medida de una cantidad física mientras que una unidad es una manera de asignar un número a dicha dimensión.
Unidad: Es la medida de la dimensión. Por ejemplo: pie, metro, y milla son unidades de la dimensión longitud. Expresar una aceleración como 9.8 no tiene sentido, si se agrega la unidad correspondiente de un determinado sistema y se dice que la aceleración es 9.8m/s2 esta información adquiere sentido. Para trabajos científicos y de ingeniería, deben usarse las unidades de medida del Sistema Internacional de Unidades. El gobierno colombiano expidió el decreto ley 2416 de diciembre de 1971 por medio del cual se adopta el S.I. como sistema métrico oficial. Sin embargo, debido a que en la bibliografía poco reciente, así como en la calibración de algunos instrumentos, se utilizan unidades de otros sistemas, es indispensable saber trabajar e interpretar información de ellos (en especial el inglés de ingeniería) y saber convertir unidades de un sistema a otro. Cada sistema escoge un grupo de dimensiones fundamentales (de acuerdo a un patrón estricto y reproducible) y las unidades asignadas a estas dimensiones son unidades básicas. Las unidades asignadas a aquellas dimensiones que no pertenezcan al grupo escogido recibirán el nombre de unidades derivadas. Por ejemplo, si un sistema escoge la longitud como dimensión fundamental, el área será una cantidad física derivada. Los sistemas de unidades se clasifican en:
Absolutos: Aquellos donde las unidades de fuerza y energía son derivadas, como el Sistema Internacional (S.I.)
Gravitacionales: Los que no cumplen la condición anterior, para ellos la fuerza es una dimensión fundamental definida con base en la fuerza de atracción gravitacional al nivel del mar, un ejemplo es el sistema inglés.
Sistema Internacional de Unidades (S. I.)
Dimensión Masa Longitud Tiempo Temperatura
Símbolo m L t T
Unidad kg(kilogramos) m(metro) s(segundos) k(kelvin)
Unidad inglesa lbm(libra-masa) ft(pie) s(segundo) R(rankine)
Corriente Electri. Cantidad de Luz Cantidad materia
I C N
A(anpere) cd(candela) mol(mole)
A(anpere) cd(candela) mol(mole)
7.2 Homogeneidad Dimensional La Ley de homogeneidad dimensional se enuncia como: Todo término aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones.
El cambio de energía total de un sistema:
Donde E tiene tres componentes: Energía interna (U), Energía cinética (UC) y Energía potencial (EP). Dichos componentes se pueden escribir en términos de la masa del sistema (m); las cantidades mensurables y las propiedades termodinámicas en cada uno de los estados, como la velocidad (V), elevación (z) y la energía interna específica (u) y la conocida constante de aceleración gravitacional.
Las ecuaciones primarias de cada término:
⁄ ⁄ { } ⁄
{ }
⁄
Eliminación de dimensiones en las ecuaciones La ley de homogeneidad dimensional garantiza que todo término aditivo en la ecuación tiene las mismas dimensiones. En consecuencia si cada término en la ecuación se divide entre un conjunto de variables y constantes cuyo producto tenga estas mismas dimensiones la ecuación queda sin dimensiones. Cada término en una ecuación sin dimensiones es adimensional Para resolver problemas prácticos de diseño en mecánica de fluidos, usualmente se requiere tanto de desarrollos teóricos como de resultados experimentales. Al agrupar las cantidades importantes en parámetros adimensionales, es posible reducir el número de variables y hacer que este resultado compacto (ecuaciones o gráficas de datos) sea aplicable a otras situaciones similares.
Si uno fuera a escribir la ecuación de movimiento para un paquete de fluido, incluyendo todos los tipos de fuerzas que pueden actuar sobre el paquete, tales como las fuerzas de gravedad, de presión, viscosas, elásticas y de tensión superficial, resultaría una ecuación donde la suma de estas fuerzas es igual a , la fuerza inercial. Al igual que con todas las ecuaciones físicas, cada termino debe tener las mismas dimensiones, en este caso de fuerza. La división de cada término de la ecuación por uno cualquiera de los otros haría que la ecuación fuera adimensional. Por ejemplo, dividiendo por el término de fuerza inercial, resultaría en la suma de parámetros adimensionales igual a la unidad. El tamaño relativo de cada parámetro, respecto a la unidad, indicaría su importancia. Si se fuera a dividir la ecuación de fuerza por un término diferente, por ejemplo el término de fuerzas viscosas, se obtendría otro conjunto de parámetros adimensionales. Sin experiencia en el tipo de flujo es difícil determinar qué parámetros serían los más útiles.
7.3 Análisis Dimensional y Similitud Eliminar las dimensiones de una ecuación por medio de análisis por inspección es útil solo cuando uno sabe con cual ecuación comenzar. Sin embargo en muchos casos en la ingeniería de la vida real, las ecuaciones o no se conocen o son demasiado complejas de resolver; la mayoría de las veces la experimentación es el único método de obtener información confiable. En la mayoría de los experimentos, para economizar tiempo y dinero, las pruebas se realizan a escala geométrica, en lugar de un prototipo a escala real. En tales casos se debe tener cuidado de escalar cuidadosamente los resultados. Los tres propósitos principales del análisis dimensional son:
Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos y en el reporte de los resultados experimentales. Obtener leyes de escalamiento de modo que se pueda predecir el desempeño del prototipo a partir del desempeño del modelo. Predecir las tendencias en la reacción entre parámetros.
Existen tres condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo y un prototipo.
La primera condición es la similitud geométrica; el modelo debe tener la misma forma que el prototipo, pero se le puede escalar por algún factor de escala constante. La segunda condición es la similitud cinemática; lo que significa que la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo de prototipo. La tercera y más restrictiva condición de similitud es de la similitud dinámica; la similitud dinámica se logra cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas
correspondientes en el flujo del prototipo. Al igual que con las similitudes geométrica y cinemática, el factor de escalas para fuerzas puede ser menor que, igual a, o mayor que uno.
La similitud cinemática es una condición necesaria pero insuficiente para similitud dinámica. Por lo tanto, es posible para un flujo de modelo y un flujo de prototipo lograr tanto similitud geométrica como cinemática, pero no similitud dinámica. Para garantizar similitud completa deben existir las tres condiciones de similitud. En un campo de flujo general, la similitud completa entre un modelo y un prototipo se logra solo cuando existen similitudes geométricas, cinemática y dinámica. Se usa la letra griega mayúscula pi ( π) para denotar un parámetro adimensional. La relación funcional es:
Donde k es el número total de π.
7.4 El método de repetición de variables y el teorema pi de Buckinghan. Existen varios métodos para generar los parámetros adimensionales; es decir la pi (π), pero el método más popular es el método de repetición de variables, popularizado por Edgar Buckinghan.
Seis pasos que debe cumplir para el método de repetición de variables. 1. Realizar una lista con los parámetros del problema y cuente su número total n. 2. Realice una lista con las dimensiones primarias de cada uno de los n parámetros. 3. Establezca la reducción j como el número de dimensiones primarias. Calcule k, el numero esperado de π
4. Elija j parámetros repetitivos. 5. Construya las k y manipule según sea necesario. 6. Escriba la relación funcional final y verifique su algebra. Algunos parámetros adimensionales o π comunes establecidos que se encuentran en la mecánica de fluidos y la transferencia de calor.
