ANÁLISIS DIMENSIONAL
Estudia la forma como se relaci relaciona ona n las mag nitud es derivad derivad as con las las funda menta les. les.
Fin es del an áli sis dim ension al 1.- El aná lisi lisiss d imension imension al sirve pa ra expresar las
Tod a unidad físi física, ca, está asociad a con una dimensión dimensión física. Así, el metro es una medida de la dimensión “lon g itud ” (L (L), el kilog kilog ram o lo e s d e la “ma sa” (M (M), el segundo pertenece a la dimensión dimensión del “tiempo” (T). Sin Sin em ba rgo, existen existen ot ras unida de s, como el m/s q ue es unida unida d d e la la velocida velocida d q ue puede expreexpresarse sarse como la combinación de las ant es menciomencionadas. Dimensión Dimensión de longitud Dimensión Dimensión d el tiempo
Dimensión Dimensión de veloci velocida da d =
Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia, etc, pueden expresarse en términos de las dimensiones (L), (M), y/o (T). El aná lisi lisiss de las Dimensiones Dimensiones en un a ecua ción, muchas veces nos muestra muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operación; esto es fá cil cil de demo strar ya q ue el sign sign o “= ” de una ecua ción ción indica que los miembros que los separa deben de ten er las las mismas dimensiones. Most raremos como ejemplo: A×B×C = D×E×F
ECUACIONES DIMENSIONALES
Son expresiones matemáticas que colocan a las mag nitudes nitudes d erivada erivada s en función función d e las funda funda mentales; utilizando para ello las reglas básicas del algeb ra, menos las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porq ue sólo sólo operan en las mag nitudes.
NOTACI OTACIÓ ÓN A : Se lee le e let ra “A” “A” [A] : Se lee ecu ación ac ión d imension a l de A
Ejemplos: Hallar Hallar la Ecuación Dimension Dimension al d e:
Es una ecuación que puede provenir de un desarroll rrollo o e xtenso, una forma de verificar verificar si nuestro p roceso operativo es correcto, es analizándolo dimensionalmente, así: 2
mag nitudes derivad derivad as en términos de las funfundamentales. 2.- Sirven Sirven para comproba r la la veracidad de las fórmulas físic físicas, as, haciendo uso d el principi principio o d e ho mogeneidad dimensional. 3.- Sirven Sirven para d educir las fórmulas fórmulas a partir de d atos experimentales.
2
(dimensión de longitud ) = (dimensión dimensión d e longitud)
En el presente caso comprobamos que ambos miembros poseen las mismas dimensiones, luego la ecuación es correcta.
Velocid ad (v) v=
t
⇒ v =
e t
=
L T
v = LT−1
Aceler Aceleración ación (a) a
En la a plicación plicación de l Méto Méto do Cient Cient ífico, ífico, ya sea p ara la formulación d e una hipót esis, esis, o en la e xperimenxperimenta ción tam bién es recomend ab le usar el Aná lisi lisiss Dimensional.
e
a
=
v t
⇒
= LT−2
a
=
v t
=
LT−1 T
Fuer za (F)
Presión (P)
F = m. a ; siendo a = aceleración F = m.
F MLT−2 Fuerza P= ⇒ P = = Area A L2
a
F = MLT−2
P = ML−1T−2
Trabaj o (W)
Densid ad (D)
W= F. d
D=
W= F. d ⇒ W = F d = MLT−2L
t
⇒ P =
M V
=
M L3
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD
Pot encia (P) P=
Volumen
⇒ D =
D = ML−3
W = ML2T−2
W
Masa
W t
=
ML2T−2 T
Si una expresión es correcta en una fórmula, se d ebe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así:
P = ML2 T−3 E– A D + B + C =
Area (A) A = (Longitud)×(Longitud) ⇒
A = L⋅ L
V= V= V= V= V Por lo ta nto se tend rá: E= A= B = C = D
A = L2
Volum en (V) V = (Longitud)×(Longitud)×(Longitud) V = L3
OBSERVACIÓN Los números, los ángulos, los logaritmos y las funciones trigono mét ricas, no t ienen dimensiones, pero para los efectos del cálculo se asume q ue es la unidad.
TEST 1.-
2.-
Siendo “a” una mag nitud física, que proposición o q ue proposiciones siempre se cumplen: I. II. III.
[a ] + [a ] + [a ] = [a ] [a] - [a] = [a] [a] - [a] = 0
a) b) c)
I II I y II
d) e)
−1 −1
M L T −1 −2 M L T 2 M LT
d) e)
−1
2 −2
II)
En sec (P + 12) ⇒ P = 1 ( )
III) En a) b) c)
a
VVF FFF VVV
m kg
⇒
8.-
9.-
x = ML−1 ( ) FVV FFV
10.I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos. II.- Se emplea para verificar fórmulas propuestas. III.- Se usa para d educir fórmulas.
6.-
I II III
d) e)
I y II III y II
Respecto al a nálisis dimensiona l señalar verdad ero o falso: I.-
Pueden existir dos magnitudes físicas diferentes con igua l fórmula d imensional. II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales. III.- Dimensionalmente todo s los áng ulos y funciones trigono métricas representa n lo mismo.
VFV FVF
Tres magnitudes – dos auxiliares Siete magnitudes – dos auxiliares Seis magnitudes – una auxiliar Tres magnitudes – una auxiliar N.A.
Velocidad Fuerza Volumen Densidad Acelera ción
-
−1
LT −2 ML T 3 L −3 ML 2 LT
¿Qué unidad va asociada incorrectament e a las dimensiones da das?
a) a) b) c)
d) e)
¿Qué magnitud no está asociada a sus correctas dimensiones? a) b) c) d) e)
¿Qué proposición o proposiciones son falsas respecto al Aná lisis Dimensiona l?
VVF VVV FVV
El S.I. considera ................ fund am ent ales y ........................ con carácter geométrico. a) b) c) d) e)
()
d) e)
FFV VFV
Respecto a una fórmula o ecuación dimensional, señalar verdadero o falso:
a) b) c)
Precisar verdadero o falso dimensionalmente: L+ L+ L– L= L
d) e)
Todos los términos en el primer y segundo miembro tienen las mismas d imensiones. II.- Todo s los números y funciones trigonome tricas q ue figuran como coeficientes t ienen las mismas dimensiones, e igual a 1. III.- La ecua ción dimensiona l de los términos del primer miembro, difieren de la s dimensione s del segundo miembro.
M LT M LT
−2
I)
VVV VVF FFF
I.-
[fuerza] = M LT d) [tra ba jo] = M L T −1 [frecuencia] = T e) [carga eléctrica] = I .T −1 [velocidad angular] = T
x⋅
5.-
III N.A.
¿Qué relación no es correcta d imensiona lmente? a) b) c)
4.-
7.-
¿Cuál será las dimensiones de Q = 3 kg /m. s 2 ? a) b) c)
3.-
a) b) c)
kg ⋅ s m
b)
kg ⋅
c)
A⋅
d)
e)
m s
2
m s
kg ⋅ m2 A⋅ s2
kg ⋅
m3 s4
− MTL− 1 − MLT− 2 − ILT
− ML2A−1T−2
− ML3T−4
PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS
1.-
Halle la dimensión d e “K” en la siguiente fórmula física: K=
m⋅v
3.-
Hallar la dimensión d e “α” y “β” en la siguiente fórmula:
2
V = α.A + β.D
F
Do nd e; m : ma sa F : fue rza v : ve lo cid a d
Donde; V : volumen A : área D : densida d
Solución:
Solución:
Analizando cada elemento:
Aplicand o el principio de homog eneidad .
m =M
V= α A = β D
−1
v = LT
Determinando:
F = MLT−2
V= α A
Luego tend remos: K =
m ⋅ v F
2
2
=
bMgeLT−1j −2
MLT
=
ML2 T−2
L3 = α L2 ⇒
α =L
−2
MLT
Determinando:
K =L
2.-
α
β
V= β D
Halle la dimensión de “S” en la siguiente fórmula física: S= Donde; F m d v
L3 = β ML−3 ⇒
β = M−1L+6
F⋅ d m⋅ c2
: fuerza : ma sa : d ist an cia : ve lo cid ad
4.-
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogé nea, det erminar la ecuación dimensional d e “x” e “y”. Siendo; A: fuerza B : trabajo C : densidad
Solución: Analizando cada elemento: F = MLT−2 d =L m =M
Ax + By = C
Solución: Si la expresión es dimensionalment e homog énea , entonces:
Ax + By = C
c = LT−1
A x = B y = C
Luego tend remos:
eMLT−2 jbLg ML2T−2 = = 2 −2 2 2 −1 c bMgeLT j ML T
F d
S =
m S =1
A = MLT−2 B = ML2T−2 C = ML−3
Con lo cual se tiene: A x = C MLT−2 x = ML−3 x =
ML−3 −2
MLT
⇒
x = L−4T2
B y = C
ML2T−2 y = ML−3
y =
ML−3
1.y = L−5T2
⇒
2 −2
ML T
Halle la d imensión d e “A” y “B” en la sig uiente fórmula física. W A
5.-
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homoz −y x génea: P = q R s Do nd e;
P : presió n q : fuerza R : volumen s : longitud
Solución: Aplicando el principio d e hom og eneidad :
L WO = L v O1/2 = F MN A PQ MN B PQ
Solución:
P = ML−1T−2
q = MLT−2
R = L3
s =L
Determinando A W
P = q R− s z
P = q
y x
z
R
A −y
s
e
x
ML−1T−2 = MLT−2
ML T
z
−y
j eL3 j bLg
A
x
v
T
B
⇒ z =1
L−1 = Lz − 3y + x
1/2
= F v F
⇒ − 1 = z − 3y + x
A =L
2
=
⇒
B
1/2
=
v
1/2
F
L3
eMLT−2 j
2
B = M−2LT4
x – 3y x – 3y = −2
⇒
1/2
B =
− 1= 1− 3y + x Nos pide n:
= MLT−2
Determinando B
z z − 3y + x −2z
=M L
M1 = Mz
= F
ML2 T−2
ML−1T−2 = MzLz T−2zL−3yLx −1 −2
+F
B
Do nd e; W: t ra b ajo v : vo lumen F : fuerza
Halla r: x – 3y
v
=
2.-
Halle la dimensió n d e “A”, “B” y “C” en la siguient e fó rmula física. 2 E = A.F + B. v + C⋅a
NOTA Las ecua ciones d imensionales sólo afect an a las ba ses, más no a los exponent es, pues estos siempre son números y por lo tant o esto s exponentes se conservan siempre como tales (números). De lo expuesto, queda claro que la ecuación dimensiona l de to do exponent e es la unidad .
Donde; E : trabajo F : fuerza v : velocida d a : aceleración
Solución: Aplicando el principio d e hom og eneidad : E = AF = Bv 2 = C ⋅ a Determinando A : E = A F ML2T−2 = A MLT−2
⇒
A =L
5.-
Determinando B : 2
E = B v
e
2 −2
x
2
j
−1
ML T = B LT
⇒
W= 0,5 mc + Agh + BP
B =M
x
Siendo: Q = Ax ⋅ B ;
Determinando C : E = C
Ademá s; W: t ra ba jo h : altura m : masa P : potencia c : ve lo cid a d A,B : con sta nt es dimension ales g : aceleración
a
ML2T−2 = C LT−2 ⇒
3.-
Determinar las dimensiones que deb e tener Q para que la expresión Wsea d imensionalmente homog énea.
C = ML
Halle la d imensión d e ”R” en la siguiente fórmula física:
Solución: 2
2
R = (x + t)(x – y)(y + z)
Aplicand o el principio de homog eneidad :
Donde ; t: tiempo
x
W= m c
= A g h = B P
Solución:
W= A g h
Observamos por el principio de ho mog eneidad : ML2T−2 = A = LT−2L
x =T y = x z = y
A =M
2
= T2
2
= T2
e j
2
= T4
Luego tend remos:
B P = W B⋅
W
R = x y z R = T× T2 × T4
4.-
La p otencia q ue requiere la hélice de un helicóptero viene dad a por la siguiente fórmula: x
y
B = t
x
W= m c
e
j
ML2T−2 = M LT−1
z
P = K. R . W . D Donde; W: R : D : K :
= W ⇒
B =T
R = T7
⇒
t
x
ML2T−2 = MLx T− x
velocidad angular (en rad/s) radio de la hélice (en m) 3 densidad del aire (en kg/m ) número
x=2
Finalmente: Q = A
Calcular x,y,z.
x
B
1/2
Q = M2T1/2
Solución: P = K R
x
W
y
D
6.-
z y
z
b gb gx eT−1j eML−3 j
ML2T−3 = 1 L 2 −3
x −y
Suponga q ue la velocidad de cierto móvil, q ue se desplaza con movimiento bidimensional, puede det erminarse con la fórmula empírica: V = aT3 +
z −3z
ML T = L T M L
ML2T−3 = MzLx − 3z T− y
M1 = Mz ⇒
bg
x−31
L2 = L
T−3 = T− y
z =1
⇒ x −3=2 ⇒ x =5 ⇒ y =3
b 2
T −c
Do nd e: T, es t iempo ; a, b, c, son con sta nt es dimen sionales. Determine las dimension es de a , b, y c, para q ue la fórmula sea homog énea dimensionalmente.
Solución: Por el principio de homo ge neidad :
T2 − c ⇒
de :
V= a T
3
LT−1 = a T3 ⇒
7.-
Solución:
c = T2
a = LT− 4
Dimensionalmente; para q ue (n + tan θ ) sea homo génea: [n] = [ta n θ ] = 1
b
V=
T2 b LT−1 = 2 T
Con lo cual: n + tan θ = número
⇒
b = LT
[n + tan θ ] = 1
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea.
Con todo el sistema: F
Hallar: ”x – 2y” x
e
a = vt 1 + k Sie nd o ;
y−x
j
y
v
z
= n + ta n θ m1 m2 m 3 y
z
MxLx T−2xMyL−3yLz T− z = M3
a : a ce le ra ció n v : velocidad t : t iem po
Mx + yLx − 3y + z T−2x − z = M3L0 T0
y−x y−x
D
x
Dimensiona lmente se t iene:
1° = k
x
eMLT−2 j eML−3 j eLT−1j =b 1gbMgbMgbMg
Solución:
1 = k
ta n θ = número
Mx + y = M3
Lx − 3y + z = L0 ⇒ x − 3y + z = 0
T−2x − z = T0
⇒ x+y =3
⇒ − 2x − z = 0
Resolviendo : z = -9
⇒ y−x=0 ⇒
y =x
9.-
e
Luego tend remos: a = vt x 1+ ky − y
j
En la siguiente ecuación dimensionalmente co rrecta . Det erminar la ecua ción dimen siona l de “x”. E = Mvx +
e j a = vt x b1 + 1g a = vt x 1 + k0
Dond e; M : ma sa ; v : velocida d
a = 2vt x
Solución:
Dimensionalmente: a = 2 v t
b ge
−2
Mvx + Mvx + ........ ∞
x
E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ ∞
jbTg
−1
LT = 1 LT
x
LT−2 = LT−1Tx LT−2 = LTx − 1 T−2 = Tx − 1 ⇒ x − 1 = − 2
E
⇒ E2 = Mvx + E
E = Mvx + E
Dimensionalmente: 2
E = M v x = E Con lo cual:
x = −1
⇒
y = −1 2
Nos piden: “x – 2y”
x – 2y = –1 – 2(–1)
M v x = E
En la e xpresión m ost rad a. Hallar “z” x
M v x =1
y z
F D v = (n + tan θ) m m m 1
Do nd e;
F : fuerza D:densidad v :velocidad m 1, m2,m 3 : masas
E =1
Además:
x – 2y = 1
8.-
E = E ⇒
2
3
bMgeLT−1j x x =
1 −1
MLT
=1 ⇒
x = M−1L−1T
10.-
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogén ea. Determinar la ecuación d imensiona l de “K” K= GMb
x+y
gLbz + xgTb y + z g +
2Mb
6 − 2x
Resolviendo:
gLb6 − 2y gTb6 − 2z g
K =
Dimensionalmente: G T
2
3 2
Luego:
Solución:
b x + y g L bz + xg T b y + xg = M
x=y=z =
2 M
bg
K = 1 M
b 6 − 2 x g L b6 − 2 y g M
b6 − 2z g
b6 − 2xg L b6 − 2y g
T
b 6 − 2z g
F G 6 − 2F 3 I J I F G 6 − 2F 3 I J I H H 2 K K H H 2 K K L
T
F G 6 − 2F 3 I J I H H 2 K K
K = M3L3T3
De donde: G = M L
2
bx + y g =
M
b6 − 2 x g
⇒ x + y = 6 − 2x
b z + x g = L b 6 − 2y g
⇒ z + x = 6 − 2y
by + xg =
⇒ y + x = 6 − 2z
T
T
b6 − 2zg
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-
Halle la dimensión d e “H” en la siguient e fó rmula física. H=
Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza.
D ⋅ A⋅ V
Rpta.
F
α = M−1 β = L−1
Donde; D : densidad A : aceleración V : volumen F : fuerza
4.-
Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: v = A⋅ t + B ⋅ x
Rpta.
2.-
[H] = 1
Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distancia
La med ida d e cierta propiedad (t) en un líquido se de termina po r la expresión: h=
3.-
rd
t = MT−2
5.-
Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: V=
x2 A
+
g B
Donde; v : velocida d ; x : distancia ; g : aceleración
Halle la dimensión de “ α” y “β” en la siguient e fórmula física. E=
A = LT−2 B = T−1
2t
Siendo : h medida en m; d, peso específico. ¿Cuál será la ecuación dimensional de t para q ue r se mida en m?
Rpta.
Rpta.
v
2
α
+
F
β
Rpta.
A = LT B = T−1
6.-
Halle la d imensión d e “A”, “B” y “C” en la sig uient e fó rmula física: e = A + Bt 2 + Ct 3
1.-
Dond e; e : dista ncia (m) ; t : tiemp o (s)
Det erminar la d imensión d e “x”, si la e cuación es dimensionalmente correcta. xv 2 =
Rpta.
A =L v : velocid ad M: masa
B = LT−2 C = LT−3
Rpta.
7.-
Halle la dimen sión d e “G”, “ H” e “I” en la sig uiente fórmula física: F = Ga + Hv + I
2.-
a : a celera ción W: trabajo
2
-2
M LT
π ta n α =
G =M
sen 30°
+ bt 2 ; donde:
Hallar la ecua ción dimensional de z, si la ecuación mo strad a, es dimensionalmente correcta:
Dond e; F : fuerza ; a : ace leración ; v : velocida d
Rpta.
WMa
b w + w log 2g + z bg + g sen φgx
3
w : peso ; g : acelera ción
H = MT−1
Rpta.
I = MLT−2
3.8.-
En la siguient e expresión, calcular x + y
-2
MLT
Determinar las d imensiones d e “a”, sabiendo q ue la siguiente ecua ción es dimensiona lmente correcta :
S = Ka xt y
G=
K: constante numérica S: espacio a : aceleración t : t ie mp o
Rpta.
9.-
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. Determinar:
4.-
2
L
La fracción mostrada es dimensionalmente correcta y homogénea: Ax3 + Bx2 + Cx + D A8 + B6 + C 4 + D
a +p
20 + t + k =
y A = L−6T4 , de termina r las dimen siones d e “x”.
b − q
a : aceleración t : t ie mp o
Rpta.
5.-
2
T
-14 28/3
L
T
Si la siguiente ecua ción es dimensiona lmente homo g énea , ha llar las dimen siones de “b”.
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homog énea ; determinar la ecuación d imensional d e “C”. C=
W=
3Ry 2Nx
3 -4
LT
5Flog a x
−
W: trabajo v : ve lo cid a d F : fue rza
2
eNx − 2j
R : long itud y : aceleración
Rpta.
T ⋅a
3
La O=? MN b PQ
10.-
g
2
donde; G : aceleración de la gravedad T: tiempo b y L : long itud
Rpta.
Rpta.
b
4 π 2L2 L − b cos θ
Rpta.
6.-
1/2 -1/2
L
T
En la ecuación: P = Kg y d xh z
Hallar: (x.y.z)
8F2C b2 + v
d on de ; P : pre sió n g : aceleración de la gravedad h: altura K: constante numérica d: densidad
Rpta.
7.-
h : altura m:masa A , A : area s 1
Rpta.
1
9.-
En la expresión: sen 30°
F πα I J = emBL ta n G A + H 2 K
± C(Ftan
W e
n −1
10
A = ad imensiona l -1/2 B= L -3/2 -3/2 3 C= M L T
Hallar las dimensiones de “x” e “y”, sab iendo q ue la igualdad mostrada es dimensionalmente correcta.
F G 2 − x J I 2 H h K = 0 , 85 m
Determinar la dimensión de “b” para que la ecuación sea homogénea.
)
α : ángulo en radianes L : longitud F : fuerza e : base de los logaritmos neperianos m y n : números
8.-
x= L −1 y= M
2 60° cos 60°
Rpta.
10.-
A1 − A2
M
Hallar [x][y]:
d b
x = sen π + α Do nd e; v : velo cid a d e : e sp acio m : m a sa t : t iempo B : número real
Rpta. xy
= ba + b 2c
Do nd e; W: t ra b ajo e : e sp acio a : aceleración
Hallar las dimensiones de A, B y C para que sea dimensionalmente homogénea , donde:
Rpta.
2
M2LT2
gi2 vyt + emB
