Magnitudes Físicas
21
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Toda unidad física, está asociada con una dimensión física. Así, el metro es una medida de la dimensión “longitud” (L), el kilogramo lo es de la “masa” (M), el segundo pertenece a la dimensión del “tiempo” (T). Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinación de las antes mencionadas. Dimensión de longitud Dimensión de velocidad = Dimensión del tiempo Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia, etc, pueden expresarse en términos de las dimensiones (L), (M), y/o (T). El análisis de las Dimensiones en una ecuación, muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operación; esto es fácil de demostrar ya que el signo “=” de una ecuación indica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones. Mostraremos como ejemplo: A×B×C = D×E×F
1.- El análisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. 2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. 3.- Sirven para deducir las fórmulas a partir de datos experimentales.
ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales; utilizando para ello las reglas básicas del algebra, menos las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. NOTACIÓN A : Se lee letra “A” [A] : Se lee ecuación dimensional de A
Ejemplos: Hallar la Ecuación Dimensional de:
Es una ecuación que puede provenir de un desarrollo extenso, una forma de verificar si nuestro proceso operativo es correcto, es analizándolo dimensionalmente, así: 2
Fines del análisis dimensional
2
Velocidad (v) v=
e L e ⇒ v = = t t T
(dimensión de longitud) = (dimensión de longitud)
v = LT −1
En el presente caso comprobamos que ambos miembros poseen las mismas dimensiones, luego la ecuación es correcta.
Aceleración (a) a=
En la aplicación del Método Científico, ya sea para la formulación de una hipótesis, o en la experimentación también es recomendable usar el Análisis Dimensional.
v LT −1 v ⇒ a = = t t T
a = LT −2
Jorge Mendoza Dueñas
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Fuerza (F) F = m.a ; siendo a = aceleración
Presión (P) F MLT−2 Fuerza ⇒ P = = Area A L2
F = m. a
P=
F = MLT−2
P = ML−1T −2
Trabajo (W)
Densidad (D)
W = F. d
W = F. d ⇒ W = F d = MLT−2L W = ML2T −2
Potencia (P) P=
W ML2T −2 W ⇒ P = = t t T
D=
M M Masa ⇒ D = = Volumen V L3
D = ML−3
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Si una expresión es correcta en una fórmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así:
P = ML2T−3 E – A + B + C = D
V = L3
á
V = (Longitud)×(Longitud)×(Longitud)
á
V =V =V =V =V Por lo tanto se tendrá: E = A = B = C = D
A = L2
Volumen (V)
á
A = (Longitud)×(Longitud) ⇒ A = L ⋅ L
á
á
Area (A)
OBSERVACIÓN Los números, los ángulos, los logaritmos y las funciones trigonométricas, no tienen dimensiones, pero para los efectos del cálculo se asume que es la unidad.
Magnitudes Físicas
23
TEST 1.-
I. [a] + [a] + [a] = [a] II. [a] - [a] = [a] III. [a] - [a] = 0 a) b) c) 2.-
I II I y II
d) e)
−1 −1
ML T −1 −2 ML T 2 MLT
−1
M LT M LT
−2
2 −2
L+L+ L–L=L
II)
En sec (P + 12) ⇒ P = 1 ( ) x⋅
a) b) c)
VVF FFF VVV
m kg
⇒
8.-
x = ML−1 ( )
9.-
FVV FFV
10.I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos. II.- Se emplea para verificar fórmulas propuestas. III.- Se usa para deducir fórmulas.
6.-
I II III
d) e)
I y II III y II
Tres magnitudes – dos auxiliares Siete magnitudes – dos auxiliares Seis magnitudes – una auxiliar Tres magnitudes – una auxiliar N.A.
Velocidad Fuerza Volumen Densidad Aceleración
b)
kg ⋅ s m m kg ⋅ 2 s m A⋅ s
Respecto al análisis dimensional señalar verdadero o falso:
c)
I.-
d)
kg ⋅ m2
e)
kg ⋅
Pueden existir dos magnitudes físicas diferentes con igual fórmula dimensional. II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales. III.- Dimensionalmente todos los ángulos y funciones trigonométricas representan lo mismo.
VFV FVF
-
−1
LT −2 ML T 3 L −3 ML 2 LT
¿Qué unidad va asociada incorrectamente a las dimensiones dadas?
a) a) b) c)
d) e)
¿Qué magnitud no está asociada a sus correctas dimensiones? a) b) c) d) e)
¿Qué proposición o proposiciones son falsas respecto al Análisis Dimensional?
VVF VVV FVV
El S.I. considera ................ fundamentales y ........................ con carácter geométrico. a) b) c) d) e)
( )
d) e)
FFV VFV
Respecto a una fórmula o ecuación dimensional, señalar verdadero o falso:
a) b) c)
Precisar verdadero o falso dimensionalmente: I)
d) e)
Todos los términos en el primer y segundo miembro tienen las mismas dimensiones. II.- Todos los números y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones, e igual a 1. III.- La ecuación dimensional de los términos del primer miembro, difieren de las dimensiones del segundo miembro.
[fuerza] = M LT d) [trabajo] = M L T −1 [frecuencia] = T e) [carga eléctrica] = I .T −1 [velocidad angular] = T
III) En a
5.-
d) e)
VVV VVF FFF
I.-
III N.A.
¿Qué relación no es correcta dimensionalmente? a) b) c)
4.-
7.-
¿Cuál será las dimensiones de Q = 3 kg / m. s2 ? a) b) c)
3.-
a) b) c)
Siendo “a” una magnitud física, que proposición o que proposiciones siempre se cumplen:
A ⋅ s2
m3 s4
− MTL−1 − MLT −2 − ILT
− ML2A −1T −2 − ML3T −4
Jorge Mendoza Dueñas
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PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1.-
problemas de aplicación Halle la dimensión de “K” en la siguiente fórmula física: m⋅ v 2 K= F
3.-
Hallar la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula: V = α.A + β.D
Donde; m : masa F : fuerza v : velocidad
Donde; V : volumen A : área D : densidad
Solución:
Solución:
o Analizando cada elemento:
o Aplicando el principio de homogeneidad.
m =M
V = α A = β D
v = LT −1
o Determinando: α
F = MLT −2
V = α A
o Luego tendremos: m⋅ v
K =
−1
2
=
F
bMgeLT j MLT
2
−2
=
ML2T −2 MLT
L3 = α L2 ⇒
−2
o Determinando: β
K =L 2.-
α =L
V = β D L3 = β ML−3 ⇒
Halle la dimensión de “S” en la siguiente fórmula física: S=
F⋅ d m⋅ c2
4.-
Donde; F : fuerza m : masa d : distancia v : velocidad
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determinar la ecuación dimensional de “x” e “y”. Siendo; A : fuerza B : trabajo C : densidad
Solución:
Ax + By = C
o Analizando cada elemento: F = MLT −2
Solución: o Si la expresión es dimensionalmente homogénea, entonces:
d =L m =M c = LT
β = M−1L+6
m
−1
Ax + By = C
m
A x = B y = C
o Luego tendremos: −2
F d
S =
m c S =1
2
=
B = ML2T −2 C = ML−3
eMLT jbLg = ML T bMgeLT j ML T 2 −1
A = MLT −2
2 −2 2 −2
o Con lo cual se tiene: A x = C MLT −2 x = ML−3 x =
ML−3 MLT −2
⇒
x = L−4 T 2
Magnitudes Físicas o
25 B
B y = C
problemas complementarios
ML2T −2 y = ML−3
y =
5.-
1.-
ML−3 ML2T −2
y = L−5T 2
⇒
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homoz −y x génea: P = q R s Donde;
Halle la dimensión de “A” y “B” en la siguiente fórmula física. W v = +F A B Donde; W : trabajo v : volumen F : fuerza
P : presión q : fuerza R : volumen s : longitud
Solución:
Hallar: x – 3y
o Aplicando el principio de homogeneidad:
Solución:
LM W OP = LM v OP N A Q NBQ
o
o
1/ 2
P = ML−1T −2
q = MLT −2
R = L3
s =L
o Determinando A W
P = qzR − y s x z
P = q R −1 −2
ML T
A −y
s
= MLT
e
x −2
z
−y
j eL j bLg 3
x
v B
⇒ z =1
1/ 2 1/ 2
B =
v 2
=
⇒
B
1/ 2
=
v
1/ 2
F
L3 −2
2
eMLT j
B = M−2LT 4
x – 3y x – 3y = −2
= F
F
⇒ − 1 = z − 3y + x − 1 = 1 − 3y + x
o Nos piden:
A =L
o Determinando B
ML−1T −2 = MzLz − 3 y + x T −2z
L−1 = Lz − 3 y + x
= F
ML2T −2 = MLT −2 ⇒ A
ML−1T −2 = MzLz T −2zL−3 yLx
M1 = Mz
= F
2.-
Halle la dimensión de “A”, “B” y “C” en la siguiente fórmula física. 2 E = A.F + B. v + C⋅a
NOTA Las ecuaciones dimensionales sólo afectan a las bases, más no a los exponentes, pues estos siempre son números y por lo tanto estos exponentes se conservan siempre como tales (números). De lo expuesto, queda claro que la ecuación dimensional de todo exponente es la unidad.
Donde; E : trabajo F : fuerza v : velocidad a : aceleración Solución: o Aplicando el principio de homogeneidad: E = AF = Bv 2 = C ⋅ a o Determinando A : E = A F ML2T −2 = A MLT −2
⇒
A =L
Jorge Mendoza Dueñas
26 o Determinando B :
5.-
2
E = B v
ML2T −2 = B LT −1
2
⇒
e j
W = 0,5 mcx + Agh + BP
B =M
x
Siendo: Q = A x ⋅ B ;
o Determinando C :
Además; W : trabajo h : altura m : masa P : potencia c : velocidad A,B : constantes dimensionales g : aceleración
E = C a ML2T −2 = C LT −2 ⇒
3.-
Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresión W sea dimensionalmente homogénea.
C = ML
Halle la dimensión de ”R” en la siguiente fórmula física: Solución: 2
2
R = (x + t)(x – y)(y + z)
o Aplicando el principio de homogeneidad:
Donde ; t: tiempo
x
W = m c = A g h = B P
Solución: o
o Observamos por el principio de homogeneidad:
ML2T −2 = A = LT −2L
x =T
A =M
2
y = x = T2 2
z = y = T2
W = A g h
e j
2
o
= T4
o Luego tendremos:
B P = W B⋅
R = x y z R = T × T2 × T 4 4.-
⇒
o
La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: y
= W ⇒
B = t
x
W = m c
ML2T −2 = M LT −1
e j
z
x
ML2 T −2 = MLx T − x
P = K. R . W . D Donde; W : R : D : K :
t
B =T
R = T7
x
W
velocidad angular (en rad/s) radio de la hélice (en m) densidad del aire (en kg/m3) número
x=2
o Finalmente: Q = A
Calcular x,y,z.
x
B
1/ 2
Q = M2T1/ 2
Solución: P = K R
x
W
ML2T −3 = 1 L
y x
D
6.-
z
−1
y
−3
z
b gb g eT j eML j
Suponga que la velocidad de cierto móvil, que se desplaza con movimiento bidimensional, puede determinarse con la fórmula empírica: V = aT 3 +
ML2T −3 = Lx T − yMzL−3z
ML2T −3 = MzLx − 3z T − y M1 = Mz ⇒ z = 1
bg
x−3 1
L2 = L
T −3 = T − y
⇒ x − 3= 2 ⇒ x = 5 ⇒ y=3
b T2 − c
Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantes dimensionales. Determine las dimensiones de a, b, y c, para que la fórmula sea homogénea dimensionalmente. Solución: Por el principio de homogeneidad:
Magnitudes Físicas T2 − c ⇒
o de: o
27
V = a T
a = LT −4
Dimensionalmente; para que (n + tan θ ) sea homogénea: [n] = [tan θ ] = 1
b
V =
T
LT −1 = 7.-
tan θ = número
o
3
LT −1 = a T 3 ⇒ o
Solución:
c = T2
2
Con lo cual: n + tan θ = número
b
⇒
T2
b = LT
[n + tan θ ] = 1
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea.
o Con todo el sistema: F
Hallar: ”x – 2y” a = vt x 1 + k y − x
e
Siendo;
x
D
−2
Mx + y = M3
m
x − 3y + z
L
m
y−x
m
⇒ y−x=0 ⇒
y=x
9.-
x
y−y
x
0
e j a = vt e1 + k j a = vt b1 + 1g
=L
=T
0
⇒ x − 3y + z = 0 ⇒ − 2x − z = 0
x
LT −2 = 1 LT −1 T
b ge jb g
LT
−2
x
= LT −1T x
LT −2 = LT x − 1 T −2 = T x − 1 ⇒ x − 1 = − 2 x = −1
Nos piden: “x – 2y”
⇒ y = −1
x – 2y = –1 – 2(–1) x – 2y = 1
En la expresión mostrada. Hallar “z” y z
F D v = (n + tan θ) m1 m2 m3 F : fuerza D : densidad v : velocidad m1, m2,m3 : masas
En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Determinar la ecuación dimensional de “x”.
Solución:
o Dimensionalmente: a = 2 v t
Donde;
T
−2 x − z
⇒ x+y=3 0
Donde; M : masa ; v : velocidad
a = 2vt x
x
z
E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ ∞
x
8.-
−1
Resolviendo: z = -9
o Luego tendremos: a = vt 1 + k
Con lo cual:
y
−3
Mx + yLx − 3y + z T −2 x − z = M3L0 T0
Dimensionalmente se tiene:
1° = k
x
MxLx T −2 xMyL−3 yLz T − z = M3
Solución:
1= k
z
v = n + tan θ m1 m2 m3
eMLT j eML j eLT j = b1gbMgbMgbMg
j
a : aceleración v : velocidad t : tiempo
y−x
y
E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ ∞ 14444244443 E
E = Mvx + E
⇒ E = Mvx + E 2
o Dimensionalmente: 2
E = M v x = E 2
E = E ⇒
E =1
Además: M v x = E M v x =1 −1
bMgeLT j x = 1 x =
1 MLT −1
⇒
x = M−1L−1T
Jorge Mendoza Dueñas
28 10.-
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. Determinar la ecuación dimensional de “K”
Resolviendo: x = y = z =
K = GMb
o Luego:
x+y
gLbz + x gTb y + zg +
2Mb
6 − 2x
gLb6 − 2ygTb6 − 2zg
K =
Solución: o Dimensionalmente:
b x + yg L bz + x g T b y + x g = b 6 − 2z g T G M
2 M
2 M
bg
K = 1 M
b6 − 2x g L b6 − 2yg
3 2
b 6 − 2 x g L b 6 − 2 y g T b 6 − 2z g
FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ H H 2K K H H 2KK H H 2K K L
T
K = M3L3 T3
De donde: G =
2
b x + y g = M b6 − 2x g bz + x g = L b6 − 2yg L b y + x g = T b 6 − 2z g T
⇒ x + y = 6 − 2x
M
⇒ z + x = 6 − 2y ⇒ y + x = 6 − 2z
PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-
problemas de aplicación
H=
D⋅A⋅ V F
Donde; D : densidad A : aceleración V : volumen F : fuerza Rpta. 2.-
Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza.
Halle la dimensión de “H” en la siguiente fórmula física.
Rpta.
β = L−1 4.-
Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: v = A⋅t + B⋅ x
[H] = 1
Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distancia
La medida de cierta propiedad (t) en un líquido se determina por la expresión: h=
Rpta.
5.-
3.-
t = MT −2
Halle la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula física. v2 F + E= α β
A = LT −2 B = T −1
2t rd
Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula:
Siendo: h medida en m; d, peso específico. ¿Cuál será la ecuación dimensional de t para que r se mida en m? Rpta.
α = M−1
V=
x2 g + A B
Donde; v : velocidad ; x : distancia ; g : aceleración Rpta.
A = LT B = T −1
Magnitudes Físicas 6.-
29
Halle la dimensión de “A”, “B” y “C” en la siguiente fórmula física: e = A + Bt 2 + Ct 3
B 1.-
problemas complementarios Determinar la dimensión de “x”, si la ecuación es dimensionalmente correcta.
Donde; e : distancia (m) ; t : tiempo (s) Rpta.
xv 2 =
A =L
v : velocidad a : aceleración M : masa W : trabajo
B = LT −2 C = LT −3
Rpta. 7.-
Halle la dimensión de “G”, “H” e “I” en la siguiente fórmula física: F = Ga + Hv + I
2.-
π tan α =
G =M I = MLT −2
Rpta. 3.-
En la siguiente expresión, calcular x + y S = Ka x t y K: constante numérica S : espacio a : aceleración t : tiempo
Rpta.
T2 ⋅ a
3
4.-
L2
La fracción mostrada es dimensionalmente correcta y homogénea: Ax3 + Bx2 + Cx + D A8 + B 6 + C 4 + D
a+p b−q
20 + t + k =
y A = L−6 T 4 , determinar las dimensiones de “x”.
a : aceleración t : tiempo
Rpta. 5.-
2
T
L-14T28/3
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, hallar las dimensiones de “b”.
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea; determinar la ecuación dimensional de “C”. C=
W=
3Ry 2Nx
R : longitud y : aceleración 3 -4
L T
5F log a 8F2C − 2 x b +v
W : trabajo v : velocidad F : fuerza
2
eN − 2j x
Rpta.
b g
4 π 2L2 L − b cos θ
donde; G : aceleración de la gravedad T : tiempo b y L : longitud
LM a OP = ? Nb Q
10.-
MLT-2
G=
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. Determinar:
Rpta.
3
Determinar las dimensiones de “a”, sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta:
Rpta. 9.-
bw + wlog 2g + z bg + gsen φgx
w : peso ; g : aceleración
H = MT −1
8.-
M2LT-2
Hallar la ecuación dimensional de z, si la ecuación mostrada, es dimensionalmente correcta:
Donde; F : fuerza ; a : aceleración ; v : velocidad Rpta.
WMa + bt2 ; donde: sen 30°
Rpta. 6.-
L1/2T-1/2
En la ecuación: P = Kgy dxhz
Hallar: (x.y.z)
Jorge Mendoza Dueñas
30 donde; P: presión g: aceleración de la gravedad h: altura K: constante numérica d: densidad Rpta. 7.-
h : altura m: masa A , A : areas 1
Rpta.
9.-
F πα IJ = e tan G A + H 2K
mBL
sen 30°
10
W = ba + b2c e
)
n−1
α : ángulo en radianes L : longitud F : fuerza e : base de los logaritmos neperianos m y n : números A = adimensional -1/2 B=L -3/2 -3/2 3 C=M L T
Hallar las dimensiones de “x” e “y”, sabiendo que la igualdad mostrada es dimensionalmente correcta.
FG 2 − x IJ H hK
Donde; W : trabajo e : espacio a : aceleración Rpta. 10.-
=
xy A1 − A2
M
Hallar [x][y]:
d b
x = sen π + α Donde; v : velocidad e : espacio m : masa t : tiempo B : número real Rpta.
2
0 , 85 m
Determinar la dimensión de “b” para que la ecuación sea homogénea.
2 60° cos 60°
± C(Ftan
Hallar las dimensiones de A, B y C para que sea dimensionalmente homogénea, donde:
8.-
x=L y = M−1
1
En la expresión:
Rpta.
2
M2LT 2
2
gi
vy + emB t
