Ejercicios Filas de Espera (Teoría de Colas)

Ejercicios teoría de cola, Investigación de Operaciones II Bryan Rodríguez José Herrera Boris barrera Sergio Espíndola Fernando Villarroel

1) El departamento para caballeros de un gran almacén tiene a un sastre para ajustes a la medida. Parece que el número de clientes que solicitan ajustes sigue una distribución de poisson con una tasa media de llegadas de 24 por hora, los ajustes se realizaron con un orden de primero que llega, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar ya que las modificaciones modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que tarda para realizar el ajuste, se distribuye exponencialmente exponencialmente con una media de 2 minutos. a. ¿Cuál es el número promedio de clientes en la sala de espera? b. ¿Cuánto tiempo de permanencia en el sistema debería de planear un cliente?

 = 24 /ℎ =2    = 30   /ℎ /ℎ   =  = 3.2      a)  = − −  =  =0.16 ℎ   ≈10  b)  = − − 2) En el local de comida rápida de la tía Vicky, se vende el mejor completo de la zona con mayonesa casera. casera. El número de clientes cumple con la distribución de poisson con una tasa media de llegadas de 24 personas por hora, los ajustes se realizaron con un orden de primero que llega, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar ya que los completos son deliciosos. Aparentemente el tiempo que tarda para realizar el ajuste, se distribuye exponencialmente exponencialmente con una medida de 2 minutos. a. ¿Qué % de tiempo permanece ocioso el sastre? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre más de 10 minutos?

  = 1 ;  = 24 30 =0.8 ;  =10.8=0.2 ≈20%    = −⁄ =0.8∗ 2.7182 2.7182−

1) El departamento para caballeros de un gran almacén tiene a un sastre para ajustes a la medida. Parece que el número de clientes que solicitan ajustes sigue una distribución de poisson con una tasa media de llegadas de 24 por hora, los ajustes se realizaron con un orden de primero que llega, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar ya que las modificaciones modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que tarda para realizar el ajuste, se distribuye exponencialmente exponencialmente con una media de 2 minutos. a. ¿Cuál es el número promedio de clientes en la sala de espera? b. ¿Cuánto tiempo de permanencia en el sistema debería de planear un cliente?

 = 24 /ℎ =2    = 30   /ℎ /ℎ   =  = 3.2      a)  = − −  =  =0.16 ℎ   ≈10  b)  = − − 2) En el local de comida rápida de la tía Vicky, se vende el mejor completo de la zona con mayonesa casera. casera. El número de clientes cumple con la distribución de poisson con una tasa media de llegadas de 24 personas por hora, los ajustes se realizaron con un orden de primero que llega, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar ya que los completos son deliciosos. Aparentemente el tiempo que tarda para realizar el ajuste, se distribuye exponencialmente exponencialmente con una medida de 2 minutos. a. ¿Qué % de tiempo permanece ocioso el sastre? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre más de 10 minutos?

  = 1 ;  = 24 30 =0.8 ;  =10.8=0.2 ≈20%    = −⁄ =0.8∗ 2.7182 2.7182−

3) Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero que entrega un servicio sin la necesidad que una descienda del vehículo. Se supone que el servicio promedio por cada cliente es de 4 minutos, y que tanto los tiempos de entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales. Conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero quede ocioso? b) ¿Cuál es el numero promedio de automóviles que están en la cola del cajero? Se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo en servicio)? Respuestas

 = 10   / /ℎ ℎ  = 15  / /ℎ ℎ 2  = 10 = 15 3   = 1   = 1  23 = 13   ,           2 4      = 1   = 3 2 = 3  13             =  .       2   = 1   = 3 2 = 2    ;  = 102 = 15 ℎ 13 = 12          

4) En una oficina de reciben en promedio 10 visitas por hora, el tiempo de atención de cada visita es de 4 minutos, ambos procesos de poisson. Se pide cuantificar la cola. Solución:

=10  = 604 = 15  = 10 15 =0.667  = 1   =0.333=33.3%  =0.667∗0.333=0.222  =0.667 ∗0.333=0.1481  =0.667 ∗0.333=0.0988  10  = 15 151510 1510 =1.33 10 = 2  = 1510 10 = 0.1333  = 15∗1510 1333 ℎ = 8     1 = 0.2 ℎℎ = 12   = 1510  >15 =0.2865 Probabilidad (más de 15 minutos en el sistema) = >15 El servidor estará ocupado un 66.7% del tiempo, la probabilidad de que un momento no haya ningún cliente en el sistema es de 33.3% y la que haya solo 1 cliente es de 22.22%, el promedio de clientes en el sistema es de 2 y el promedio de tiempo de espera en la cola es 8 minutos. También existe un 28.65% de que un cliente se demore más de 15 minutos en el sistema.

5) Una estación de lavado tiene 3 máquinas que lavan los autos. El tiempo medio de servicio a cada cliente es 2.5 minutos, mientras que el promedio de autos que llegan a la estación es de 65 automóviles/hora, automóviles/hora, y esperan en una sola cola a que los atiendan. Suponiendo que los tiempos entre llegada y los tiempos de servicio se distribuyen de forma exponencial, se pide: a) Identifique el sistema de colas que puede aplicarse a la estación de lavado. b) Número medio de autos en el sistema. c) Porcentaje de ocupación del sistema. d) Calcule el tiempo ti empo medio de espera en cola. e) Probabilidad de que un auto que llega a la estación no tenga que esperar.

Sol: b) N = 10,3409 vehículos c) 90.27 % d) Wq = 0,11217h e) 0.178025

6) En la zapatería c/moran los clientes que llegan son en promedio 12 por minuto de acuerdo a la distribución de Poisson. El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente. La gerencia está interesada en determinar las medidas de performance para este servicio. Datos:

 = 121    = 60 12 = 5  ℎ  = 18    = 608 =7.5  ℎ  = 1  () = 1  (7.55 )=0.333  = [1  ]()=0.3330.6667  =    = 2    =    =1.333 7) La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a -la evaluación del nivel de servicio prestado - el efecto de reducir el personal en un dependiente Los datos que serán entregados a continuación describen la llegada de clientes y el proceso de atención, cumplen la distribución de poisson y exponencial respectivamente. Sistema de colas M/M/3

60 )  = 100   ℎ ;  = 40   ℎ (1.5 ¿Existe un periodo estacionario ( <  ? =100< = 340 =120 8) Una tienda de alimentación es atendida por una persona, produciéndose las llegadas de los clientes de forma exponencial con una media de 10 clientes a la hora, siendo atendidos con un tiempo de servicio exponencial con una duración media de 4 minutos. b) Calcule la probabilidad de que haya cola en este sistema.

c) Calcule la longitud media de la cola. d) Calcule el tiempo medio de espera en cola. e) Calcule la probabilidad de que haya un cliente en cola. Sol: b) 0.4444 c) Nq = 1,3333 clientes d) Wq = 0,1333h e) 4/27

9) A un servicio de recogida de comida en automóvil llegan de forma exponencial los clientes con un promedio de 40 vehículos a la hora. Si hay una cola superior a 4 vehículos (incluyendo el de la ventanilla), el vehículo que llega se marcha. En promedio se tarda un tiempo exponencial de 4 minutos en servir a cada vehículo. Determine:

b) Probabilidad de que el sistema este vacío y lleno. C) Número medio de vehículos que entran y no entran en el sistema. d) Número medio de vehículos en el sistema. e) número medio de vehículos en cola. f) Tiempo medio en cola de un vehículo. g) Tiempo medio de espera en el sistema Sol: b) 0.01245 y 0.6295 c) 14.82 y 25.18 d) 3.4342 vehículos e) 2.4462 vehículos f) 0.165 horas

≅9.903 minutos g) 0.2317 horas ≅ 13.9036 minutos

10) Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora, se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. La tasa media de llegadas  es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto. La tasa media de servicio  es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto.

W q W s L s Lq







W q

 W s

 W q









1



3 min



3

1 1



4 min

0.75  4  3 clientes

0.75  3  2.25 clientes

11) Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora, se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola. Calcule las medidas de desempeño del sistema: Con base en los datos del ejemplo anterior,  = 0.75,  = 1 El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es  = / = 0.75/1 = 0.75 = 75%

Con dos servidores (s = 2):  = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

12) Un lavacar puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min, en la cola y en el sistema.

1

W s



W q



P 0



  



0.33 hrs  20 min





 (    )

(1   )  0



0.25 hrs  15 min

0.25 

P ( L s

 (1  ) t

P (W s



30 / 60)  e

P (W q



30 / 60)   e



3)   3

1





0.32

0.22



 (1  ) t





0.17

13) A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min, en la cola.

L s



Lq  

W s



P 0

W q 

Lq 

1 

1     1



 2 2   2 2(1   )

W q P w





Lq 



14) El escritorio de referencias de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Suponga que puede usarse una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos de servicios siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa de servicio de 12 solicitudes por hora. Se tiene que: λ=10 solc/h ; µ=12 solc/h => 0,2 solc/min

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema?

 = 1  10 12 = 0.1666 ℎ b. ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperan por el servicio?

 10  = 121210 =4.1666 ℎ c.

¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio?

 = 4.1666 10 ∗ 60 ≅ 25 

d. ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencia en minutos?

 =25+ 0.21 = 30  e. ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar por el servicio?

 = 10 12 =0.833 15) Considere una línea de espera con dos canales con llegada de Poisson y tiempos de servicios exponenciales. La tasa media de llegada es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 10 unidades para cada canal. Se tiene que: λ=14 unid/h ; µ=10 unid/h k=2 a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?

1  = 1 ∗ 1.4 +0.98∗3.333 =0.1764 b. ¿Cuál es la cantidad de unidades promedio en el sistema?

1.96∗14∗10 ∗0.1764+ 14 =2.7445  = 1!∗2014  10 c.

¿Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por el servicio?

1.96∗10 ∗0.1764=0.0960  = 1!2014  d. ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad está en el sistema?

 =0.0960+ 101 =0.1960 16.-El Banco Nacional de Occidente piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvil para servicio a los clientes. La gerencia estima que los clientes llegarán a una tasa de 15 por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno cada tres minutos. Suponiendo que las llegadas son de Poisson y que el servicio es exponencial, encuentre: 1. La utilización del cajero. 2. El número promedio en cola. 3. Número promedio en el sistema. 4. Tiempo promedio de espera en cola. 5. Tiempo promedio de espera en el sistema (incluyendo el servicio). Por la disponibilidad limitada de espacio y el deseo de proporcionar un nivel de servicio aceptable, el gerente del banco quisiera asegurar, con un 95% de certeza que los clientes no tengan que esperar y sean

atendidos ρ=0.75 Lq=2.25 L=3 Wq=0.15 horas = 9 minutos W=0.2 horas = 12 minutos Pw <= 0.05 => µ=5 cl/minuto Pw <=0.05 => s=3 servidores.

17.- Una empresa de ingeniería contrata a un especialista técnico para que auxilie a cinco ingenieros de diseño que trabajan en un proyecto. El tiempo de ayuda del especialista varía considerablemente; algunas de las respuestas las tiene en la cabeza; otras requieren cálculos; y otras más requieren mucho tiempo de investigación. En promedio, el especialista tarda una hora con cada solicitud. Los ingenieros requieren el apoyo del especialista una vez al día, en promedio. Puesto que cada ayuda tarda aproximadamente una hora, cada ingeniero puede trabajar siete horas, en promedio, sin ayuda. 1. ¿Cuántos ingenieros, en promedio, esperan ayuda del especialista técnico? 2. ¿Cuál es el tiempo promedio que tiene que esperar un ingeniero al especialista? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un ingeniero tenga que esperar en cola al especialista? Lq=2,44 ingenieros Wq=2,49 horas Pw=98,22%

18.- L. Winston Martín es un alergólogo de Tucson con un excelente sistema para atender a sus clientes habituales que sólo van por inyecciones antialérgicas. Los pacientes llegan por una inyección y llenan una papeleta, la cual se coloca en una rendija que comunica con otra sala, donde está una o dos enfermeras. Se preparan las inyecciones específicas para un paciente y se le llama por el sistema de megafonía para que pase a la sala para la inyección. A ciertas horas del día, baja la carga de trabajo y solo se requiere una enfermera para aplicar las inyecciones. Centrémonos en el más sencillo de los dos casos, es decir, cuando sólo hay una enfermera. Suponga también que los pacientes llegan de forma aleatoria y que la tasa de servicio de una enfermera está distribuida exponencialmente. Durante el periodo más lento, los pacientes llegan aproximadamente cada tres minutos. La enfermera necesita dos minutos para preparar el suelo del paciente y aplicar la inyección. 1. ¿Cuál es promedio de personas que estarían en el consultorio del Dr. Martín? 2. ¿Cuánto tiempo tardaría una persona en llegar, recibir la inyección y salir?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que estén tres o más pacientes en el consultorio? 4. ¿Cuál es la utilización de la enfermera?

L=1.94 W=5.88 minutos P(L>2)=28.74% ρ=66,67%

19.-Una tienda de bebidas ha determinado que es económicamente factible añadir una ventanilla para dar servicio a los automóviles, con espacio para dos vehículos: uno en la ventanilla y otro esperando. El dueño quiere saber si le conviene alquilar más espacio de espera. Se espera que los automóviles lleguen (según una distribución de Poisson) a una tasa de ocho por hora. En la ventanilla se puede atender a una tasa de 10 automóviles por hora (exponencial). Cada transacción deja un beneficio de 1 $, y el dueño piensa abrir 12 horas al día, 6 días por semana y 52 semanas al año. Los espacios adicionales cuestan 2000 $/año cada uno. ¿Cuántos vale la pena alquilar?

Q=2 => λefect=5,9 c/h => Bº=22089 $/año Q=3 => λefect=6,61 => Bº=22747 $/año Q=4 => λefect=7,02 => Bº=22282 $/año

20.-El departamento de ingeniería de la universidad de La Serena tiene dos líneas telefónicas. Un promedio de 30 personas por hora tratan de llamar al departamento, y la longitud promedio de cada llamada es de 1 minuto. Si una persona trata de llamar cuando ambas líneas están ocupadas, cuelga y se pierde del sistema. Suponer que el tiempo entre las llamadas que tratan de comunicarse, así como los tiempos de servicio, son exponenciales. 1. ¿Qué fracción del tiempo estarán libres ambas líneas? ¿Qué fracción de tiempo están ocupadas las dos? ¿Qué fracción de tiempo habrá desocupada exactamente una línea? 2. En promedio, ¿cuántas líneas están ocupadas? 3. En promedio, ¿cuántas solicitudes colgarán cada hora? P0=61,5% P2= 7,7% P1=30,7%

21.-Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola La tasa media de llegadas l es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto La tasa media de servicio m es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto.

22.-Un lava carros puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. En la cola y en el sistema

23.- Un lava carros puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, s = 2 min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

24.- Un lava carros puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

25.- En una ciudad grande nacen bebés a razón de uno cada 12 minutos. El tiempo entre nacimientos sigue una distribución exponencial. Determine lo siguiente: 1. La cantidad promedio de nacimientos por año. 2. La probabilidad de que no ocurran nacimientos durante 1 día. 3. La probabilidad de emitir 50 actas de nacimiento en 3 horas dado que se emitieron 40 actas durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas.

26.- Una peluquería atiende a un cliente a la vez y cuenta con tres sillas para los clientes que esperan. Si el lugar está lleno, los clientes se van a otra parte. Las llegadas ocurren de acuerdo a una distribución de Poisson con media de 4 por hora. El tiempo para recibir un corte de pelo es exponencial con media de 10 minutos. Determine lo siguiente: 1. Las probabilidades de que la peluquería este vacía. 2. La cantidad esperada de clientes en la peluquería.

1. La probabilidad de que la peluquería este vacia es de 38.38% 2. La probabilidad que exista la cantidad esperada de clientes que seria 4 clientes es de 7.58% 27.-En un supermercado se hace un estudio de la cantidad de personas que pasan en una hora por una caja en un momento de bajo flujo. El estudio entrega los siguientes datos la cajera puede entender a 100clientes por hora que llegan a su caja según a una distribución de poisson y la tasa exponencial de la llegada de los clientes es de 40 clientes por hora. 1. Obtenga las medidas de desempeño de la cajera. 2. La probabilidad de tener 0 clientes en el sistema. 3. La probabilidad de tener en cola más de 2 clientes.

2) La probabilidad de que no se encuentre un cliente con una fila en la caja es de 60%. 3) La probabilidad de que hallan más de dos personas en la fila en la hora baja es de 3.84%

28.-En el estadio Monumental la barra de colo colo llega al estadio en promedio de 3000 personas por hora con una distribución de poisson. Se tiene la capacidad para entrar por promedio de 3400 personas por hora. Estadio seguro tiene en disposición 10 guardias los cuales se demoran 2 minutos en revisar a la gente que entra al estadio.

29.- Cinemark ubicado en el Mall Estación, utiliza en la actualidad tres taquillas para atender el público que va a asistir a las diferentes salas. Se ha observado que las llegadas son aleatorias, a un ritmo promedio de 75 personas por hora y el tiempo de servicio tiende a ser aleatorio, dependiendo del número de entradas que se compre. Se ha determinado que el tiempo promedio que permanece en la taquilla una persona es de 1.5 minutos. Debido a la gran demanda de locales comerciales que se presentó al inicio de la construcción, el propietario del cinema, compró locales para las taquillas considerablemente distanciadas entre sí y de la entrada principal de las salas. En vista a que se pretende realizar una ampliación en las instalaciones del Mall, tiene la posibilidad de reubicar las taquillas en una sola área, de tal manera se puede utilizar una sola fila para la venta de los boletos que alimente las nuevas taquillas. El propietario desea conocer si necesita construir 2, 3, 4, 5 o más taquillas con el sistema propuesto, de tal manera que el tiempo promedio en el sistema de líneas de espera de cada una de las taquillas sea igual o menor al sistema actual.

30) Necesita construir 3 taquillas bajo el sistema de una fila y varios servidores con un tiempo de Ws= 2 minutos 15.- La gerente de un supermercado está interesada en blindar un buen servicio a las personas de la tercera edad que compran en su local. Actualmente el supermercado cuenta con una caja preferencial para jubilados. Estas personas llegan a la caja a un ritmo promedio de 30 personas por hora de acuerdo con una distribución de poisson y son atendidos a una tasa promedio de 35 clientes por hora. 1) 2) 3) 4) 5)

Utilizacion del empleado de la caja preferencial. N° de clientes que entran al sistema N° de clientes que forman la fila. Tiempo trascurrido dentro del sistema. Tiempo de espera en la fila

31) El lavado de autos barry está abierto seis días a la semana pero el día del negocio más pesado es siempre el sábado. A partir de datos históricos, barrys estima que los coches sucios llegan a una tasa de 20 por hora, todo el día sábado. Con una brigada completa trabajando la línea de lavado a mano. el calcula que los automóviles se pueden lavar a una tasa de uno cada dos minutos .este ejemplo se tiene una línea de espera de canal sencillo, los automóviles se lavan de uno en uno. Suponga llegadas de poisson y tiempos exponenciales de servicio. a) El numero promedio de automóviles en la cola b) El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio c) La probabilidad de wue no haya automóviles en el sistema Datos:

=20  ℎ Desarrollo

 = 30 /ℎ

a)El número promedio de automóviles en la cola

=/ = 20/(30-20)=2 b) tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema de servicio

 =!/(30-20)=0.1 horas

W=1/(

32) Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema.

b) Número promedio de clientes en la cola Datos λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos= Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) Desarrollo

    = 3 minutos +   =  +  =    =  ∗ =0.75  * 3 minutos = 2.25 clientes

a) = + b) Lq= λ Wq

33) Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado? Datos λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60 clientes/minutos µ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) Desarrollo

   = 100 /ℎ 150 /ℎ = 0.66 = 66.7% este porcentaje

a) =

representa tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.667= 0.333 = 33.3% el sistema permanece ocioso. b) )(

 = (1 − ) (  )  Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en: 1 = (1 −     ) 1 = (1 − 100 150 )( 100 150) 1 = (1 − 0.667)(0.667) = 0.222=22.2% Es decir existe

un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido.

34) Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el t iempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: a) ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso? b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando) Datos λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto Desarrollo

   = 1/6 1/4 = 2 3 = 66.67% factor de utilización del sistema. Es decir

a) Por tanto =

que el sistema permanece ocioso el 33.33%.

b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero?

(−) = / /(   −   ) =   = .  Puede haber 2 autos en la cola.

 = 

35) En un servidor de la universidad se mandan programas de computador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor con una tasa de 10 por minuto. El tiempo medio de ejecución de cada programa es de 5 segundos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecución se distribuyen exponencialmente. a) ¿Que proporción de tiempo está el servidor desocupado? b) ¿Cuál es el tiempo esperado total de salida de un programa? Datos λ = 10 trabajos por minuto . µ = 12 trabajos por minuto. ρ = 10/12 < 1 Desarrollo a) El servidor estará desocupado 1 − 5/6 = 1/6 del total, esto es, 10 segundos cada minuto (ya que el ordenador está ocupado 5 × 10 = 50 segundos por minuto). b) Tiempo medio total es W = 1 µ(1−ρ) = 1 12(1−5/6) = 1/2 minuto por programa.

36) La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. los clientes llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, determina a) El porcentaje de tiempo en el que el cajero esta desocupado. b) El tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.

Datos λ = 20 µ = 30 Desarrollo a) P(cajero ocioso) = p0 = 1 − ρ = 1/3. El 33 % de tiempo el cajero esta ocioso. b) Wq = 1/15 = 4 minutos. 37) Una tienda de alimentación es atendida por una persona. Aparentemente el patrón de llegadas de clientes durante los sábados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegadas de ´ 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y debido al prestigio de la tienda, una vez que llegan están dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que ´ se tarda en atender a un cliente se distribuye exponencialmente, con un tiempo medio de 4 minutos. Determina: a) La probabilidad de que haya línea de espera. b) La longitud media de la línea de espera. c) El tiempo medio que un cliente permanece en cola. Datos: λ = 10 µ = 15. Desarrollo a) P(línea de espera) = 1 − p0 − p1 = 4/9. b) Lq = 4/3 personas en cola. c) Wq = 2/15 horas = 8 minutos de media en cola.

38) En una fábrica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante ´ las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla, ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a un especialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duración media de la conversación que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analista llega a la conclusión de que durante la primera y la última media hora de la jornada la afluencia es muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fenómeno se puede considerar ´ estacionario. Del análisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la fase ´ estacionaria, se dedujo que el número medio de obreros que acudían a la ventanilla era de 1.25 por periodo y que el tiempo entre llegadas seguía una distribución exponencial. Un estudio similar sobre la duración de las conversaciones, llevo a la conclusión de que se distribuían exponencialmente con duración media de 3.33 minutos. Determina: a) Número medio de obreros en cola. b) Tiempo medio de espera en la cola. c) Compara el tiempo perdido por los obreros con el tiempo perdido por el oficinista. Calcula el coste para la empresa, sin una hora de inactividad del oficinista vale 250 euros y una hora del obrero 400 euros. ¿Serıa rentable poner otra ventanilla? Datos λ = 0.25 µ = 0.3 Desarrollo a) Lq = 4.166 obreros. b) Wq = 16.66 minutos. c) Durante cada hora hay, en media, Lq = 4.166 clientes haciendo cola. Es decir, el coste horario por obreros ociosos es de 4.166 × 400 = 1666.66 euro. Por otro lado, 1 − ρ = 0.166, de forma que el coste del tiempo que el oficinista esta ocioso es de ´ 250 × 0.166 = 41.5 euros horarios, que es mucho inferior. Si se pusiera otra ventanilla, el sistema serıa M/M/2. En ese caso, p0 = 0.411 y p1 = 0.34, de forma que el tiempo de oficinista que se perdería cada hora serıa, en media, 2p0 + p1 = 1.166 horas. Lo que supone un coste de 291.5 euros cada hora. Por otro lado, cada hora habría, en media, Lq = 1.01 obreros en la cola. De forma que el tiempo perdido por los obreros tendría un coste de 400 × 1.01 = 404 euros la hora. La suma de los dos costes es mucho menor en este segundo caso, de forma que sı serıa rentable poner otra ventanilla.

39) Una entidad bancaria considera la posibilidad de instalar una red de cajeros en una de sus oficinas. Dado que se desconoce la afluencia de público que va a demandar dicho servicio, coloca un único cajero durante un mes. Diariamente se recogen datos sobre los tiempos de llegadas de los clientes, así como de los tiempos de servicio. Suponiendo que la sucursal se encuentra emplazada en un barrio donde no existe otro servicio semejante, el cliente que llega prefiere esperar a poder utilizar el cajero, cuando este esté ocupado. ´Tras el oportuno análisis de los datos recogidos, se estima que: (i) las llegadas siguen un proceso de ´ Poisson; (ii) la distribución del tiempo de servicio es exponencial; (iii) el tiempo medio transcurrido ´ 3 entre dos llegadas consecutivas es de 7.5 minutos; (iv) el tiempo medio de servicio es de 5 minutos por cliente. Calcula: a) Tiempo medio de espera que debe sufrir cada cliente en cola. b) Tamaño medio de la cola y probabilidad de que al acudir al cajero ya haya alguna persona en la cola. Datos λ = 1/7.5 µ = 1/5.

Solución. a) Wq = 10 minutos. b) El numero medio de las colas es de Lq = 1.33 personas, y la probabilidad de que haya al menos dos personas en el sistema es de 1 − p0 − p1 = 4/9. 40) Los trabajadores de una fábrica tienen que llevar su trabajo al departamento de control de calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de producción. Hay un gran número de empleados y las llegadas son aproximadamente de 20 por hora, siguiendo un proceso de Poisson. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribución exponencial de media 4 minutos. Calcula el número ´ medio de trabajadores en el control de calidad si hay: a) 2 inspectores. b) 3 inspectores. Datos λ = 20 µ = 15 Solución. a) con λ = 20 y µ = 15. Entonces L = 2.4 empleados.

b) λ = 20 y µ = 15. Entonces L = 1.87 empleados 41) Un avión tarda unos 4 minutos de media en aterrizar a partir del momento en que la torre de control le da la señal de aterrizaje. Si las llegadas de los aviones se producen por término medio, a razón de 8 por hora y siguiendo un proceso de Poisson, ¿cuánto va a esperar el piloto dando vueltas al aeropuerto ´ antes de recibir la señal de tierra? Solución. λ=8 µ = 15. Wq = 4.56 minutos.

42) En un servicio de Fotocopiado llegan 5 clientes cada hora y el operador de la fotocopiadora puede atenderlos a una tasa de 6 clientes cada hora. a) Cantidad de clientes en el Sistema b) Tiempo total que esperan los clientes en el Sistema c) Cantidad de personas formadas en la fila. d) Tiempo en el cual los clientes esperan en fila. Datos

λ = 5 clientes/hora µ = 6 clientes/hora Desarrollo

=/ = 5/(6-5)=5 clientes b) W=1/(  =!/(6-5)=1 hora  =  = 4,12 clientes c)  = −    d) Wq= − =  = 0.83 ℎ a)

43) El servicio de comidas y bebidas pronto copec está abierto todos los días , el día más pesado de la semana recibe una tasa de 25 por hora. Con el contingente de trabajadores completo se estima que se pueden atender 3 clientes cada dos minutos. Suponga llegadas de poisson y tiempos exponenciales de servicio. a) El numero promedio de personas en la cola b) El tiempo promedio que una persona pasa en el sistema de servicio c) La probabilidad de que no haya personas esperando

Datos:

=25  ℎ Desarrollo

 = 90 /ℎ

a)El número promedio de personas en la cola

=/ = 25/(90-25)=0,38 b) tiempo promedio que pasa uan persona esperando

 =!/(90-25)=1 minuto

W=1/(

44) El almacén el Eléctrico S.A. desea brindar un servicio de magnífica atención,

definido por el hecho de que en promedio un cliente no deba de esperar más de 10 minutos para ser atendido ante una caja. Si los clientes llegan con una tasa de 12 por hora ¿cuántas cajas abiertas se deberán disponer para dicha meta, si un cajero atiende en promedio una persona cada 10 minutos? Resultado 3 cajas Wq= 4.44 minutos 45) La empresa Taxi Cab mantiene instalaciones de servicio para realizar reparaciones

a sus vehículos. Datos históricos muestran que los taxis tienen descomposturas de acuerdo a un proceso de Poisson a una tasa promedio de 2 cada 24 horas incluyendo los fines de semana y la cantidad de tiempo requerido por un mecánico para reparar un taxi en su estación de servicio, sigue una distribución exponencial con un promedio de 16.8 horas. Sin embargo la administración puede estar segura de que los mecánicos se presentarán a trabajar solamente el 80% del tiempo, debido a enfermedades y vacaciones, por lo que deberá tomarse en cuenta la ausencia de los mecánicos en el tiempo de servicio promedio. El departamento de contabilidad ha indicado además, que el costo total por hora de un mecánico, incluyendo salarios, prestaciones e impuestos, es de $24 y que un taxi promedio obtiene un beneficio neto de $ 792 en un periodo de 24 horas. Determine cuantos mecánicos deberá tener la compañía para esos periodos, conociendo que por política de la empresa cada vehículo es atendido por un solo mecánico y cada mecánico trabaja una jornada de 8 horas. resultado 3 servidores ,9 mecánicos

46) En un estado poco poblado nacen bebes con una frecuencia 1 bebe cada 14 minutos, el tiempo entre nacimientos sigue una distribución exponencial. Determinar lo siguiente: a.- Cantidad promedio nacimientos por año. b.- La probabilidad de que no haya nacimientos en cualquier día. c.- La probabilidad de emitir 40 certificados en 2 horas, cuando se emitieron 30 certificados en la primera hora del periodo de 2 horas.

Tasa de nacimientos por día: tasa diaria de nacimientos: 24 x 60 / 14 = 102 nacimientos/día Nacimientos anuales: Tasa anual de nacimientos: 102 x 365 = 37.230 nacimientos/año La probabilidad de que no haya nacimientos en cualquier día se calcula con la distribución de Poisson:

₀

⁰

⁰

p (1)= (102 x 1) e¯¹² *¹/0! = 0

Para calcular la probabilidad de emitir 40 certificados en 2 horas, cuando se han emitido ya 30 certificados en la primeras hora, equivale a tener 10 (=40-30) nacimientos en 1 (=2-1) hora: nacimientos por hora: 60/14= 4 nacimientos por hora,entonces p

₁ ₀ (1)= (4 x 1)¹⁰ e¯ ⁴ *¹/10! = 0.0052925

47.- Suponga que al analizar más el restaurante McBurger se obtienen los resultados adicionales siguientes

a.) ¿Cuál es la eficiencia de la operación, expresada como porcentaje del tiempo en que los empleados están ocupados, cuando la cantidad de cajeros es de 5? b.) El gerente desea mantener el tiempo promedio de espera en unos 3 minutos y, al mismo tiempo, mantener la eficiencia de la instalación aproximadamente en 90%. ¿Se pueden alcanzar estas metas? Explique por qué. SOLUCIÓN a.) Eficiencia=100%-21%=79% b.) Para un tiempo promedio de espera<=3 minutos, son necesarios al menos 5 cajeros. Para una eficiencia>=90%, el porcentaje de ociosidad asociado es <=10%. El número de cajeros correspondiente es máximo 2. CONCLUSION: Las dos condiciones no se pueden satisfacer simultáneamente. Al menos una de las dos condiciones ha de ser relajada. 48.-El tiempo entre llegadas en una dependencia de la State Revenue Office es exponencial, con valor medio 0.05 hora. La oficina abre a las 8 A.M. a.) Escriba la distribución exponencial que describa el tiempo entre llegadas. b.) Determine la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina hasta las 08:15 A.M.

c.) Son las 08:35 A.M. El último cliente entró a las 08:26. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 08:38 A.M.? ¿Y de que no llegue hasta las 08:40 A.M.? d.) ¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que llegan entre las 08:10 y las 08:45 A.M.? SOLUCIÓN λ=1/0.05=20 Arribos/hora

a) f(t)=λexp(-λt)=20exp(-20t), t>0 b.) P{t>15/60}=P{t>0.25}=exp(-20*0.25)=0.00614 c.)P{t<3/60}=P{t<0.05}=1-exp(-20*0.05)=0.632 d.) P{t>5/60}=exp(-20*5/60)=0.189 t=45-10=35 minutos Número promedio de arribos en 35 minutos=20*35/60=11.67 arribos 49.-Suponga que el tiempo entre descomposturas de una máquina es exponencial, con promedio de6 horas. Si la máquina ha trabajado sin fallar durante las últimas 3 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que continúe si fallar durante la próxima hora? ¿De qué se descomponga durante la próxima media hora? SOLUCIÓN λ=1/6 Arribos/hora

P{t>=1}=exp(-1/6*1)=0.846 P{t<0.5}=1-exp(-1/6*0.5)=1-exp(-1/12)=0.08

50.-El tiempo entre llegadas a una sala de juego en la sociedad de alumnos es exponencial, con una media de 10 minutos. a.) ¿Cuál es la frecuencia de llegadas por hora? b.) ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen alumnos a esa sala durante los 15 minutos siguientes? c.) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un alumno visite la sala de juegos durante los próximos 20 minutos? SOLUCIÓN a.) λ=60/10=6 Arribos/hora

b.) P{t>15/60}=exp(-6*15/60)=0.223

c.)P{t<20/60}=1-exp(-6*20/60)=0.865

51.-El gerente de un nuevo restaurante de comida rápida desea cuantificar el proceso de llegadas de clientes, estimando la fracción de intervalos de tiempo entre llegadas que sea: a.) menos que 2 minutos b.) entre 2 y 3 minutos c.) más de 3 minutos. Las llegadas en restaurantes parecidos tienen un frecuencia de 35 clientes por hora. El tiempo entre llegadas tiene una distribución exponencial. SOLUCIÓN a.) P{t<=2/60}=1-exp(-35*(2/60))=0.6886 b.) P{2/60<=t<=3/60}=P{t<=3/60}-P{t<=2/60}=(1-exp(-35*3/60))-(1-exp(35*2/60))=0.1376 c.) P{t>=3/60}=exp(-35*3/60)=0.1738

52.- Ann y Jim, dos empleados en un restaurante de comida rápida, juegan lo siguiente, mientras esperan la llegada de clientes: Jim le paga 2 C a Ann si el próximo cliente no llega en menos de 1 minuto; en caso contrario, Ann le paga 2 C a Jim. Calcula la recompensa promedio de Jim en un período de 8 horas. El tiempo entre llegadas es exponencial, con una media de 1.5minutos. SOLUCIÓN. λ=60/1.5=40 Arribos/hora

P{t>=1}=e(-40*1/60)=0.5134 P{t<=1}=1-e(-40*1/60)=1-0.5134=0.4866 Pagos de Jim/Clientes que arriban=-2C*0.5134+2C*0.4866=-0.0536C Pagos esperados de Jims en 8 horas=- 0.0536C(8λ)= -0.0536C(8*40)=-11.15C (aprox.) CONCLUSIÓN: Jim pagará a Ann un promedio de 11.15C por cada 8 horas

53.-Si un cliente llega a McBryan Fast Food Restaurant en menos de 4 minutos después del cliente inmediato anterior, recibirá un descuento del 10%. Si el tiempo entre llegadas es entre 4 y5 minutos, el cliente tiene 6% de descuento. Si el tiempo entre llegadas es mayor que 5 minutos, el cliente tiene 2% de descuento. El tiempo entre llegadas es exponencial, con una media de 6minutos. a.) Determine la probabilidad de que un cliente que llega reciba el máximo descuento. b.) Determine el descuento promedio a cada cliente que llega.

SOLUCIÓN a.) λ=60/6=10 Clientes/hora

P{t<=4 min}=1-exp(-10*4/60)=0.4866 b.) Porcentaje de descuento 10%, si t<=4 6%, si 45P{t<=4 min}45}=exp(-10*5/60)=0.4346 Descuento esperado=10*0.4866+6*0788+2*0.4346=6.208%

54.-Se sabe que el tiempo entre fallas de un refrigerador Kencore es exponencial, con una media de 9000 horas (más ó menos un año de funcionamiento), y la empresa otorga una garantía de un año con el refrigerador. ¿Cuáles son las probabilidades de que la garantía cubra una reparación por descompostura? SOLUCIÓN λ=365*24/9000=0.973 Fallas/año

P{t<=1}=1-exp(-0.973*1)=0.622

55.-La U de A administra dos líneas de autobuses en sus campus: la roja y la verde. La roja da servicio al lado norte y la verde al lado sur, y hay una estación de transbordo que une a las dos. Los autobuses verdes llegan al azar (de acuerdo con una distribución de Poisson) a la estación de transbordo cada 10 minutos. Los rojos llegan al zar cada 7 minutos. a.) ¿Cuál es la probabilidad de que dos autobuses lleguen a la estación durante un intervalo de 5minutos?

b.) Un alumno, cuyo dormitorio es vecino a la estación, tiene una clase dentro de 10 minutos. Cualquiera de los dos autobuses lo llevará al edificio de su salón. El viaje en autobús dura 5minutos, y después tiene que caminar unos 3 minutos para llegar a su salón. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a tiempo a su salón? SOLUCIÓN a.) λ-verde=0.1 paradas/minuto, λ-rojo=1/7 paradas/minuto λ-comb.=0.1+1/7=0.24286 paradas/minuto

P2(5)=((0.24286)^2*exp(-0.24286*5))/2!=0.219 Los dos buses pueden ser 2V, 2R ó 1V y 1R. b.) P{t<=2}=1-exp(-0.243*2)=0.3849

56.-El First Bank Of Springdale tiene un cajero automático que despacha a automovilistas que forman una linea. Los vehículos llegan siguiendo una distribución de Poisson, con una frecuencia de 12 por hora. El tiempo necesario para hacer una transacción en el cajero es exponencial, con 6minutos de promedio. En la línea cabe un total de 10 automóviles. Una vez llena, los automóviles que lleguen deben irse a otra parte. Calcule lo siguiente: a.) La probabilidad de que un vehículo que llegue no pueda usar el cajero, porque la línea está llena. b.) La probabilidad de que un vehículo no pueda usar el cajero inmediatamente al llega c.)La cantidad promedio de vehículos en la línea. SOLUCIÓN

a.)

57.-En una peluquería se atiende a un cliente cada vez, y tiene tres sillas para los clientes que esperan. Si el lugar está lleno, los clientes van a otra parte. Las llegadas siguen una distribución de Poisson con una media de 4 por hora. El tiempo de un corte de pelo es exponencial, con 15minutos de promedio. Determine lo siguiente: a.) Las probabilidades de estado estable. b.) La cantidad esperada de clientes en la peluquería. c.)La probabilidad de que los clientes vayan a otra parte por estar lleno el local SOLUCIÓN.

58.-Eat & Gas es una gasolinera con dos bombas. El carril que llega a ellas puede dar cabida cuanto mucho a cinco automóviles, incluyendo los que llenan el tanque. Los que llegan cuando el carril está lleno van a otra parte. La distribución de los vehículos que llegan es de Poisson, con promedio de 20 por hora. El tiempo para llenar y pagar las compras es exponencial, con 6 minutos de promedio. Determine lo siguiente: a.) El porcentaje de automóviles que llenarán el tanque en otro lado. b.) El porcentaje de tanque en que se usa una bomba. c.)La utilización porcentual de las dos bombas. SOLUCIÓN

59.-Un pequeño taller de ajuste de motores ocupa a tres mecánicos. A principio de Marzo de cada año, las personas llevan al taller las segadoras y podadoras para que reciban mantenimiento. El taller quiere aceptar t odas las segadoras y podadoras que le lleven. Sin embargo, cuando los clientes que llegan ven que el piso del taller está cubierto con trabajos en espera, van a otra parte para recibir un servicio más inmediato. El piso del taller puede dar cabido cuando mucho a 15 segadoras ó podadoras, además de las que reciben el servicio. Los clientes llegan al taller cada 15 minutos en promedio, y un mecánico tarda un promedio de 30minutos en terminar cada trabajo. El tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio tienen distribución exponencial. Determine lo siguiente: a.) Cantidad promedio de mecánicos sin trabajo. b.) Porción del trabajo que va a la competencia en un día de 10 horas, por la capacidad limitada del taller. c.) La probabilidad de que el siguiente cliente que llegue reciba servicio. SOLUCIÓN.

60.-Los alumnos de primer ingreso en la U de A se caracterizan, porque tratan de llegar a clase en automóvil (Aunque la mayor parte de ellos viven en el campus, y pueden usar cómodamente el sistema de transporte gratuito de la universidad). Durante el primer par de semanas del semestre otoño, en el campus prevalece una confusión de tráfico porque los alumnos tratan desesperadamente de encontrar cajones de estacionamiento. Con una dedicación extraordinaria, esperan pacientemente en los carriles del estacionamiento a que alguien salga,para poder estacionarse. Imaginemos el siguiente escenario específico: el estacionamiento tiene30 cajones, pero también pueden caber 10 automóviles en los carriles, y deben esperar que haya disponible uno de los 30 cajones de estacionamiento. Los alumnos de ingreso reciente llegan al estacionamiento siguiendo una distribución Poisson, con 20 por hora de promedio. El tiempo de estacionamiento por automóvil es de 60 minutos en promedio, pero en realidad tienen una distribución exponencial. a.) ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que se salen por no caber en el estacionamiento? b.) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llegue espere en los carriles? c.) ¿Cuál es la probabilidad de que un autmóvil de llegue ocupe el único cajón vacío en el estacionamiento? SOLUCIÓN.

61.- En un negocio, donde trabaja un trabajador, en promedio 40 clientes por hora. La capacidad total de atención promedio es de 55 clientes por hora. Se logró saber que la espera promedio de los clientes en la cola es de 3 min. 1.-tiempo promedio que un cliente está en el sistema 2.- Número promedio de clientes en cola λ= 40 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 40/60 clientes/minutos µ= 55 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)

 =  + /  = 3 minutos + /1=  +  =  

------- Tiempo promedio que un

cliente está en el sistema.

Lq= λ Wq

 =  ∗ =0.6667 / * 3 minutos = 2 clientes.----------- Número de clientes promedio en la cola.

62.- En la el servivio de Servipag del centro comercial, logra atender en promedio a 60 clientes por hora. Su capacidad total de atención promedio es de 70 clientes por hora. La espera en la fila de atención es de 6 min. 1.-tiempo promedio que un cliente está en el sistema 2.- Número promedio de clientes en cola

λ= 60 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 40/60 clientes/minutos µ= 70 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos Wq = 6 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)

 =  + /  = 6 minutos + /1= 6+  = 7 


cliente está en el sistema

 =  ∗ =1/ * 6minutos = 6 clientes.----------- Número de clientes promedio en la cola.

63.- En el banco de chile, en un día común logra a atender una caja, una cantidad de 20 personas en promedio a la hora. Su máxima capacidad de atención promedio es de 25 personas por hora. La espera en la fila es de 10 min. 1.-tiempo promedio que un cliente está en el sistema 2.- Número promedio de clientes en cola


 =  + /  = 10 minutos + /1= 6+  = 11 



 =  ∗ =1/3/ * 10minutos = 3.333 clientes.----------- Número de clientes promedio en la cola.

64.- En la panadería Fernando Villarroel, donde los ricos pancitos, por hora logra atender a 50 personas en promedio a la hora. Su capacidad máxima de atención promedio es de 100 personas por hora. La espera en la fila es de 3 min. 1.-tiempo promedio que un cliente está en el sistema 2.- Número promedio de clientes en cola


 =  + /  = 3 minutos + /1= 3.6 

------- Tiempo promedio que un cliente

está en el sistema

 =  ∗ =0.833/ * 3minutos = 2.4 clientes.----------- Número de clientes promedio en la cola.

65.-En la Florería Sergio Werner, logra vender a 15 personas en promedio por hora. Su capacidad máxima es de 40 personas promedio por hora. La espera en la fila es 1 min. 1.-tiempo promedio que un cliente está en el sistema 2.- Número promedio de clientes en cola


 =  + /  = 1 minutos + 3/2= 2.5 

------- Tiempo promedio que un cliente

está en el sistema

 =  ∗ =0.25 / * 1minutos = 0.25 clientes.----------- Número de clientes promedio en la cola.

66.- En un lavado de autos, se puede atender a 10 clientes en promedio por hora. Su capacidad máxima es de 15 personas. La espera en la fila es de 20 min. a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.


 =  + /  = 20 minutos + 1/15 = 24 



 =  ∗ =0.2 / * 20 minutos = 4 clientes.----------- Número de clientes promedio en la cola.

 =  ∗  = 10/ 60/  ∗ 24  = 4 s------------- Número de clientes en el sistema en un momento dado.

67.-En la boletería del estadio de Club Deportes La Serena, se puede atender a 70 personas por hora. Su capacidad máxima es 100 personas por hora. La espera en la fila promedio es de 25 min. a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.


 =  + /  = 25 minutos + 1/7/6 = 25.8 



 =  ∗ =7/6 / * 25 minutos = 29.166 clientes.----------- Número de clientes promedio en la cola.

 =  ∗  = 7/6/  ∗ 29.166  = 34.024 s------------- Número de clientes en el sistema en un momento dado

68.- En una cafetería al cual llegan en promedio 50 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 100 clientes por hora .Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola. Calcule las medidas de desempeño del sistema. a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?


 = / = 50/100=0.5 --------50% -------este porcentaje representa tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.5= 0.5 = 50% el sistema permanece ocioso.

 = (1 −  / ) (  / )  Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en: 1 = (1 −  / ) ( /  ) 1 = (1 − 50 /100 )( 50/100) 1 = (1 – 0.5)(0.5) = 0.25=25% Es decir existe un 25% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido.

69.- En una tienda de cartas coleccionables, al cual llegan en promedio 200 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 250 clientes por hora .Se sabe que los clientes esperan en promedio 8 minutos en la cola. Calcule las medidas de desempeño del sistema. a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?


 = /  = 200 /ℎ /250 /ℎ = 0.8 = 80% ------este porcentaje representa

tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.8= 0.2 = 20 % el sistema permanece ocioso.

 = (1 – / ) ( /  )  Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en: 1 = (1 −  / ) ( /  ) 1 = (1 − 200 /250 )( 200/ 250) 1 = (1 − 0.8)(0.8) = 0.16=16% ------Es decir existe un 16% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido.

70.- En un buffet de comida, al cual llegan en promedio 35 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 55 clientes por hora .Se sabe que los clientes esperan en promedio 12 minutos en la cola. Calcule las medidas de desempeño del sistema. a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?


 = /  = 35 /ℎ /55 /ℎ = 0.6363 = 63.63% ------este porcentaje

representa tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.6363= 0.3637 = 36.37 % el sistema permanece ocioso.

 = (1 – / ) ( /  )  Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en: 1 = (1 −  / ) ( /  ) 1 = (1 − 35 /55 )( 35/ 55) 1 = (1 − 0.6363)(0.6363) = 0. 2314=23.14% -----Es decir existe un 16% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido

71.-En la cadena de comida rápida McDonald de La Serena , llegan en promedio 60 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 120 clientes por hora .Se sabe que los clientes esperan en promedio 4 minutos en la cola. Calcule las medidas de desempeño del sistema. a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?


 = /  = 60 /ℎ /120 /ℎ = 0.5 = 50% ------este porcentaje representa

tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.5= 0.5 = 50 % el sistema permanece ocioso.

 = (1 – / ) ( /  )  Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en: 1 = (1 −  / ) ( /  ) 1 = (1 − 60 /120 )( 60/ 120) 1 = (1 − 0.5)(0.5) = 0.25=25% ------Es decir existe un 25% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido

72.-En una bomba de bencina, al cual llegan en promedio 50 automoviles por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 80 clientes por hora .Se sabe que los clientes esperan en promedio 5 minutos en la cola. Calcule las medidas de desempeño del sistema. a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?


 = /  = 50 /ℎ /80 /ℎ = 0.625 = 62.5% ------este porcentaje representa

tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.625= 0.375 = 37.5 % el sistema permanece ocioso.

 = (1 – / ) ( /  )  Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en: 1 = (1 −  / ) ( /  ) 1 = (1 − 50 /80 )( 50/ 80) 1 = (1 − 0.625)(0.625) = 0.234 3=23.43% ------Es decir existe un 23.43% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido.

73.- La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. Los clientes llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, determina: a) El porcentaje de tiempo en el que el cajero está desocupado. b) El tiempo medio de estancia de los clientes en la cola. c) La fracción de clientes que deben esperar en la cola. Sistema M/M/1 con λ = 20 y µ = 30. a) P (cajero ocioso) = p0 = 1 − ρ = 1/3. El 33 % de tiempo el cajero esta ocioso. b) Wq = 1/15 = 4 minutos. c) L = 2, Lq = 4/3, por tanto la fracción de clientes que deben esperar en la cola es Lq/L = 2/3 ≡ 66.6%.

74.- Una tienda de alimentación es atendida por una persona. Aparentemente el patrón de llegadas de clientes durante los sábados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegadas de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y debido al prestigio de la tienda, una vez que llegan están dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que se tarda en atender a un cliente se distribuye exponencialmente, con un tiempo medio de 4 minutos. Determina: a) La probabilidad de que haya línea de espera. b) La longitud media de la línea de espera. c) El tiempo medio que un cliente permanece en cola. Sistema M/M/1 con λ = 10 y µ = 15. a) P (línea de espera) = 1 − p0 − p1 = 4/9. b) Lq = 4/3 personas en cola. c) Wq = 2/15 horas = 8 minutos de media en cola. 75.- Una compañía ferroviaria pinta sus propios vagones, según se vayan necesitando, en sus propios talleres donde se pinta a mano de uno en uno con una velocidad que se distribuye según una exponencial de media cada 4 horas y un coste anual de 4 millones de euros. Se ha determinado que los vagones pueden llegar según un proceso de Poisson de media cada 5 horas. Además el coste por cada vagón que no está activo es de 500 euros la hora. Se plantean otras dos posibilidades. Una es encargar dicho trabajo a una empresa de pintura que lo haría con aerosol con el consiguiente ahorro de tiempo. Sin embargo el presupuesto para esta segunda alternativa es de 10 millones de euros anuales. En este caso, el proceso se aproxima a uno de Poisson con una tasa de uno cada 3 horas. La otra opción es poner otro taller exactamente igual al que hay actualmente, con igual tasa de servicio y coste anual que permita pintar dos vagones a la vez. En todos los casos el trabajo se considera ininterrumpido, esto es, se trabajan 24 × 365 = 8760 horas anuales. ¿Cuál de los tres procedimientos es preferible?

Taller con pintura a mano: sistema M/M/1 con λ = 1/5 y µ = 1/4 vagones/hora. Por tanto, CT = 500L + 4 × 106 8760 = 2456.62 euros por vagón. Taller con pintura con aerosol: sistema M/M/1 con λ = 1/5 y µ = 1/3 vagones/hora. Por tanto, CT = 500L + 10 × 106 8760 = 1891.55 euros por vagón. Dos talleres con pintura a mano: sistema M/M/2 con λ = 1/5 y µ = 1/4 vagones/hora.

Ejercicios Filas de Espera (Teoría de Colas)

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