examen resuelto de ecuaciones diferenciales ordinarias

Anjo de Deus, meu querido amigo, a quem o amor de Deus me destina aqui; sempre neste dia esteja comigo   para iluminar e guardar, governar e guiar…

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 

SOLUCION DE EXAMENES PARCIALES CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ALUMNO:

ROQUE CHARCA, Rosand DOCENTE:

Lic. Edgar Huarcaya

UNA - PUNO

2011

Dedicado a todos mis compañeros de la facultad, que de seguro algún  día estaremos trabajando construyendo el desarrollo de nuestro país…

1º EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 90min)

  SOLUCIÓN: Analizando la ecuación nos damos cuenta que es una ecuación homogénea de grado 3, entonces debe cumplir que:    entonces veamos        de grado 3         de grado 3, luego si cumple. Utilizamos la siguiente transformación:  luego reemplazando en la ecuación original tenemos:  factorizando y agrupando tenemos:     siempre que  se tiene   en esta ecuación las variables se pueden separar 1. Resolver:

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     Empleando el factor integrante tenemos:                            Luego como:  la solución primitiva es:          SOLUCIÓN: Para resolver este tipo de ejercicios tenemos que hacer algunos arreglos para trabajar con ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas, sea      remplazando en la ecuación diferencial dada:       Sean:      como:          Para esto resolvemos el siguiente sistema:  ,     Reducimos la ecuación haciendo el siguiente arreglo: sean   reemplazando en (1) tenemos:  que es una ecuación homogénea Sea:     para  se tiene      se tiene      simplificando y separando variable                                  Integrando tenemos:                              |    |     ,

,

2. Resolver:



   









      









3. Resolver:

SOLUCIÓN: Analizando este ejercicio le podemos dar la forma de la ecuación de Bernoulli, entonces agrupando y separando variables tenemos:

           Rosand Roque Charca – III Semestre

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 tenemos:                                      Reemplazando en la ecuación (1) tenemos una ecuación diferencial lineal en                                                       Multiplicamos por

4. Suponga que un tazón de sopa se enfría de 90ºC a 60ºC en 10 minutos, en una cocina a 20ºC. Responde las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto más tardará la sopa en enfriarse a 35ºC? b) En lugar de dejarla en la cocina, la sopa a 90ºC se guarda en un congelador a -15ºC. ¿Cuánto tardará en enfriarse de 90ºC a 35ºC?

SOLUCIÓN: a) Consideremos a: temperatura del tazón de sopa en el instante , la temperatura de la habitación.  Se sabe por la ley del enfriamiento de Newton que:

            Luego si:          Rosand Roque Charca – III Semestre

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  Entonces tenemos que: Si                  Entonces la sopa tardará en enfriarse casi:        mas en llegar a 35ºC b) Consideremos ahora:     la temperatura del congelador según la ley del enfriamiento de Newton:          como        Entonces tenemos que: Si         ,

5. Un tanque de 200 galones contiene al inicio 20Lb de sal disuelta en 100 galones de agua, Después se agrega una solución salina cuya concentración es de ¼ de libra de sal por galón, a una razón de 4gal/min y la mezcla resultante sale afuera a una razón de 2gal/min. Encuentre la cantidad de sal en el tanque cuando este está a punto de desbordarse.



SOLUCIÓN: Sea la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante. es la razón de cambio de la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo y está dado por:



     

Puesto que entran 4gal/min conteniendo ¼ lb/gal de sal, tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto o la razón de entrada es:

         La solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con una rapidez menor, entonces la solución aumenta con una rapidez de  después de  minutos hay  galones en el tanque y debido a que hay  número de libras de sal en el tanque en cualquier tiempo, la concentración de sal al tiempo  es  libras por  galones. La cantidad de sal que sale por minuto o razón de salida es:          De las ecuaciones (1), (2), y (3) tenemos:

    Inicialmente hay 20 libras de sal, es decir: Q  tenemos una ecuación diferencial lineal no homogénea:      Rosand Roque Charca – III Semestre

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El factor integrante es:

∫    multiplicando la E.D.O. lineal por el factor integrante:        () integrando:             Usando la condición inicial:            El tanque se desborda:  entonces: , por tanto         ,

:

2º EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 90min) 1. Resolver:

 

SOLUCIÓN: Hallamos su ecuación auxiliar:

               Las raíces de las ecuaciones serían: √  √  Donde:  √   para el primer caso y para el segundo:  √   Entonces la solución general es:   (√  √  )(√  √ )    SOLUCIÓN: El operador anulador del segundo miembro es:   entonces escribimos la ecuación en forma de operador y aplicando el operador anulador tenemos:   Las raíces del polinomio característico   son:   entonces nuestro conjunto fundamental de soluciones es:   entonces la solución complementaria resulta:     La solución particular la obtenemos de    donde las raíces son las mismas pero de multiplicidad 3, estas raíces deben producir las soluciones linealmente independientes 2. Resolver:

,

con las del conjunto fundamental de soluciones, así la solución particular debe tener la forma:

    Estos coeficientes indeterminados hay que obtenerlos por comparación en la ecuación original, así tenemos que: Rosand Roque Charca – III Semestre

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        Agrupamos convenientemente:     *      + derivando nuevamente y de la misma manera agrupando tenemos:     *  + Reemplazando en la ecuación original tenemos:       *  + *              +  Agrupando e igualando: +  *   Comparando la igualdad se cumple si y solo si:

                     Finalmente la solución general de la ecuación es:                    SOLUCIÓN: El polinomio para la ecuación homogenea es:    que resolviendo nos da dos raíces reales iguales  entonces la solución complementaria es: hallemos     supongamos una solución particular del tipo:     ahora las funciones  con los wronskianos:                                      3. Aplicando variación de parámetro, resolver:

sujeto a

 ,

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         entonces la solución           ∫   particular es:            luego la solución general es: condiciones           ahora hacemos cumplir las iniciales:    luego en:             finalmente la solución del problema de valor inicial es:           SOLUCIÓN: Para este tipo de problemas se hace cambio de variable, sea                   donde        , entonces:                reemplazamos en la ecuación dada:                 la solución homogénea respecto a  de la ecuación   es:     luego sea la solución particular:   reemplazando en la ecuación:     obtenemos:  de aquí tenemos:   ,    luego     finalmente reemplazando en función de  tenemos:           ,

4. Resolver:

,

5. Resolver:

SOLUCIÓN: Para este tipo de problemas es mejor aplicar variación de parámetros, escribimos la   o en la forma: cuando  ecuación en la forma     reemplazando en la ecuación:

                                   donde:           √         El conjunto fundamental de soluciones es: {   } entonces tenemos que:    supongamos una solución particular del tipo:       ahora hallemos las funciones  con los wronskianos: Rosand Roque Charca – III Semestre

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2011

                                                           entonces la solución particular es:      finalmente la solución general es:    NOTA: El tercer examen parcial fue todo el capítulo de Transformadas de Laplace al cual mi

persona ya no tuvo acceso debido al promedio. Cualquier duda o sugerencia no dude en hacerme llegar puesto que cualquier ser humano no está excento de errores. Rosand Roque Charca [email protected]

Rosand Roque Charca – III Semestre

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