SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS UNA DEFINICIÓN: Suponga que la ecuación diferencial lineal de segundo orden a 2 {x) y" + a 1 (x ) (x ) y’ + a 0 (x) y = 0 (1) Se escribe en forma estándar y" + P( x)y' x) y' + Q(x)y = 0 (2) Dividiendo entre el coeficiente principal a 2 (x). Se tiene la definición siguiente.
DEFINICIÓN: Puntos ordinarios ordinarios y singulares ______________________ _ _____________________ Se dice que un punto x punto x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (1) si tanto P( x) como Q(x) en la forma estándar (2) son analíticas en x 0 . Se dice que un punto que no es punto ordinario es un punto singular de la ecuación.
DEFINICION: Puntos singulares regulares e irregulares
.
Se dice que el punto singular x singular x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (1) si las funciones y son analíticas en x0. Un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación.
Cada valor finito de x es un punto ordinario de la ecuación diferencial y" y" + ( e x ) y' + (sen x)y = 0. En particular, x = 0 es un punto ordinario porque, tanto e x como sen x son analíticas en este punto. La negación en el segundo enunciado de la definición 6.1.1 establece que si por lo menos una de las funciones P( funciones P( x) y Q{x) en (6) no es analítica en x 0 , entonces x entonces x 0 es un punto singular. Observe x que x que x = 0 es un punto singular de la ecuación diferencial y" + (e )y' )y ' + (ln x) (ln x) y = 0 porque Q(x) = ln x es discontinua en x en x = 0 y, por tanto, no se puede representar con una serie de potencias en x.
COEFICIENTES POLINOMIALES Se pone atención sobre todo al caso cuando (1) tiene coeficientes polinomiales. Un polinomio es analítico en cualquier valor x valor x y una función racional es analítica excepto en los puntos donde su denominador es cero. Por tanto si a 2 (x), a 1 (x ) y a 0 (x ) son po li no mi os sin factores comunes, entonces ambas funciones racionales P( x) = a x (x)/a 2 (x ) y Q(x) = a 0 (x)/a 2 (x ) son analíticas excepto donde a 2 (x) = 0. Entonces, se tiene que x = x0 es un punto ordinario de (1) si a2(x0 ) ≠ 0 mientras que x que x = x0 es un punto singular de (1) si a2(x0 ) = 0. 2
Por ejemplo, los únicos puntos singulares de la ecuación (x - 1)y" + 1)y" + 2xy' + 6y = 0 son soluciones de 2 x - 1 = 0 o x = ±1. Todos los otros valores finitos de x son puntos ordinarios. La inspección de la ecuación de Cauchy-Euler ax Cauchy-Euler ax 2 y" + bx y' + cy = 0 muestra que tiene un punto singular en x = 0. Los 2 puntos singulares no necesitan ser números reales. La ecuación (x + 1) y" + xy' xy ' — — y = 0 tiene 2 puntos singulares en las soluciones x soluciones x + 1 = 0, en particular, x = ± i. Los otros valores de x, de x, reales o complejos, son puntos ordinarios. Establecemos el siguiente teorema acerca de la existencia de soluciones en series de potencias sin demostración.
TEOREMA 1 Existencia de soluciones en series de potencias Si x Si x = x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (1), siempre es p osible encontrar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x 0 , es decir:
Una solución en serie converge por lo menos en un intervalo definido por \ x — x 0 \ < R, donde R donde R es la distancia desde x desde x0 al punto singular más cercano.
∑
Se dice que una solución de la forma es una solución respecto a un punto distancia R en el teorema anterior es el valor mínimo o límite inferior del radio de ordinario x0 . La distancia R convergencia de las soluciones en serie de la ecuación diferencial respecto a x0.
DETERMINACIÓN DE UNA SOLUCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS La determinación real de una solución en serie de potencias de una ED lineal homogénea de segu ndo orden es bastante similar a encontrar soluciones particulares de ED no homogéneas con el método de coeficientes indeterminados. De hecho, el método de serie de potencias para resolver una ED lineal con coeficientes variables con frecuencia se describe como "método de coeficientes indeterminados de series" , la idea es la siguiente: Sustituimos
En la ecuación diferencial, se combina la serie y luego se igualan los coeficientes del miembro derecho de la ecuación para determinar los coeficientes c n. Pero como el miembro derecho es cero, el último paso requiere, por la propiedad de identidad en la lista de propiedades anterior, que todos los coeficientes de x se deban igualar a cero. Esto no significa que los coeficientes son cero; esto no tendría sentido después de todo; el teorema garantiza que se pueden encontrar dos soluciones. En el ejemplo 3 se ilustra cómo la sola suposición de
Conduce a dos conjuntos de coeficientes, por lo que se tienen dos series de potencias distintas y1 (x) y y2(x), ambas desarrolladas respecto al punto ordinario x = 0. La solución general de la ecuación diferencial es
de hecho, se puede demostrar que C 1 = c0 y C 2 = c1.
EJEMPLO 1 Soluciones en series de potencias Resuelva y" + xy = 0.
SOLUCIÓN Puesto que no hay puntos sin gulares finitos el teorema 1 garantiza dos soluciones en serie de potencias centradas en 0, convergentes para | x| < ∞.
∑
Sustituyendo diferencial, se obtiene
y la segunda derivada
∑
en la ecuación
(3)
Ya sumadas las dos últimas series en el miembro derecho de la igualdad en (3) corriendo el índice de la suma.
(4)
En este punto se invoca la propiedad de identidad. Puesto que (4) es idénticamente cero, es necesario 0 que el coeficiente de cada potencia de x se iguale a cero, es decir, 2c 2 = 0 (es el coeficiente de x ) y
k = 1, 2, 3,...
(5)
Ahora 2c2 = 0 obviamente dice que c 2 = 0. Pero la expresión en (5), llamada relación de recurrencia, determina la ck de tal manera que se puede elegir que cierto subcon-junto del conjunto de coeficientes sea diferente de cero. Puesto que (k + l) (k + 2) ≠ 0 para los valores de k, se puede resolver (5) para c . k + 2 en términos de c k-1
(6)
Esta relación genera coeficientes consecutivos de la solución supuesta, una vez que k toma los enteros sucesivos indicados en (6):
Etcétera. Ahora sustituyendo los coeficientes obtenidos en la suposición original
Obtenemos
Después de agrupar los términos que contienen c 0 y los que contienen c,, se obtiene y = c1 y1(x) + c2 y2(x), donde:
Debido a que el uso recursivo de (6) deja a c0 y a c1 completamente indeterminadas, se pueden elegir en forma arbitraria. Como ya se mencionó antes de este ejemplo, la com binación lineal representa en realidad la solución general de la ecuación diferencial. Aunque se sabe del teorema 1 que cada solución en serie converge para |x| < ∞ este hecho también se puede comprobar con el criterio de la razón.
La ecuación diferencial del ejemplo 3 se llama ecuación de Airy y se encuentra en el estudio de la difracción de la luz, la difracción de ondas de radio alrededor de la superficie de la Tierra, la aerodinámica y la deflexión de una columna vertical delgada uniforme que se curva bajo su propio peso. Otras formas comunes de la ecuación de Airy son y" — xy = 0 y y" + a2 xy = 0.
MÉTODO DE FROBENIUS Para resolver una ecuación diferencial (1) respecto a un punto singular regular, se emplea el siguiente teorema debido a Frobenius.
TEOREMA Teorema de Frobenius Si x = x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (1), entonces existe al menos una solución de la forma
donde el número r es una constante por determinar. La serie converge por lo menos en algún intervalo 0 < x – x0 < R. Observe las palabras al menos en el primer enunciado del teorema de Frobenius. Esto significa que en contraste con el teorema 1 el teorema no garantiza que sea posible encontrar dos soluciones en serie del tipo indicado en (4). El método de Frobenius, para encontrar soluciones en serie respecto a un punto singular regular x , es similar al método de coeficientes indeterminados de series de la sección anterior en la que se sustituye en la ecuación diferencial dada y se determinan los coeficientes desconocidos cn con una relación de recurrencia. Sin embargo, se tiene una tarea más en este procedimiento: antes de determinar los coeficientes, se debe encontrar el exponente desconocido r. Si se encuentra que r es un número que no es un entero negativo, entonces la solución correspondiente no es una serie de potencias. Como se hizo en el análisis de soluciones respecto a puntos ordinarios siempre supondremos, por razones de simplicidad al resolver ecuaciones diferenciales, que el punto singular regular es x = 0.
∑
∑
EJEMPLO 2 Dos soluciones en series Debido a que x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial
tratamos de encontrar una solución de la forma
∑
. Ahora
por lo que
lo que implica que
r(3r — 2)c0 = 0
y Ya que no se ha ganado nada al hacer c 0 = 0, entonces debemos tener r(3r — 2)c0 = 0
y
c„ =
Cuando se sustituye en (7), los dos valores de r que satisfacen la ecuación cuadrática. (6), se obtienen dos relaciones de recurrencia diferentes:
y r 2 = 0,
Aquí se encuentra algo que no ocurrió cuando se obtuvieron soluciones respecto a un punto ordinario; s e tiene lo que parecen ser dos conjuntos de coeficientes diferentes, pero cada conjunto contiene el mismo múltiplo c0. Si se omite este término, las soluciones en serie son:
⁄ [ ] ] [
(a)
(b)
Con el criterio de la razón se puede demostrar que (a) y (b) convergen para todos los valores de x; es decir, |x| < ∞. También debe ser evidente de la forma de estas solu ciones que ninguna serie es un múltiplo constante de la otra y, por tanto y1 (x) y y2(x) son linealmente independientes en todo el eje x. Así, por el principio de superposición, y = C 1 y1(x) + C 2 y2(x) es otra solución de (5). E n cualquier intervalo que no contenga al origen, tal como (O, diferencial.
), esta combinación lineal representa la solución general de la ecuación
∞
