Instituto Tecnológico de Campeche
Ingeniería Mecanica TAREA. INVESTIGACION DE LA UNIDAD 6. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. METODOS NUMERICOS
Alumno: Tuz Caamal Víctor Oswaldo Profesor: Ing. Sánchez Parrao Parrao Roger Manuel.
Materia: Métodos Numéricos.
Grupo: VC4.
San Francisco de Campeche, Campeche; 08 de junio del 2017.
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INDICE
INTRODUCCIÓN ----------------------------------------------------------------------------------- 3 UNIDAD 6 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS METOS NUMERICOS- 4 CONCLUSIÓN --------------------------------------------------------------------------------------- 20 BIBLIOGRAFIA ------------------------------------------------------------------------------------- 21
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INTRODUCCION Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas (como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas. Matemáticamente es de crucial interés el conjunto de funciones que verifican la ecuación y establecen sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse su formulación exacta, clave para resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales no lineales de sumo interés en numeroso casos. Casos carentes de una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras. La matemática pura centra el foco formal en la solución, su existencia y si es o no única. La aplicada controla la validez de los métodos para la solución numéricamente aproximada y el rigor de las justificaciones con que se los sustenta. La teoría de los sistemas dinámicos prioriza el análisis cualitativo de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales mientras se han venido sumando numerosos métodos numéricos para determinar soluciones con un grado dado de precisión. En ingeniería, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de interés que, cuando se plantean, exigen la determinación de una función la cual debe verificar una ecuación que involucra derivadas de la función desconocida. 3
UNIDAD 6: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS MÉTODOS NUMÉRICOS 6.1 F undamentos de ecuaciones diferenciales.
El objeto de este subtema es hacer una breve introducción al estudio de ecuaciones diferenciales, que constituye una de las ramas más importantes para el Cálculo, por sus innumerables aplicaciones en todas las ciencias.
Definición 1 Se llama ecuación diferencial a aquella ecuación que contiene derivadas. Si la ecuación sólo tiene una sola variable independiente recibe el nombre de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).Si la ecuación contiene más de una variable independiente, apareciendo así sus derivadas parciales, recibe el nombre de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Definición 2 Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la mayor derivada que aparezca en ella.
Definición 3 Se llama grado de una ecuación diferencial al grado de la derivada de mayor orden que aparezca en ella.
Definición 4 Se llama solución general de una ecuación diferencial a toda relación entre las variables, libres de derivadas, que satisface dicha ecuación diferencial.
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Por lo común, la solución general de una ecuación diferencial de orden n tiene n constantes. Integrar o resolver una ecuación diferencial es hallar su solución general.
Definición 5 Se llama solución particular de una ecuación diferencial a aquella solución que se obtiene a partir de la solución general, dando valores a las constantes. 6.2 M étodos de un paso: Método de E uler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-K utta.
Método de Euler Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable independiente.
El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor: Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso. O bien,
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De esta manera, la formula (1), se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y así trazar la trayectoria de la solución. La figura 1, muestra el procedimiento aplicado con la ecuación (1).
Predicción de un nuevo valor en la solución
El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en x i.
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f(xi,yi), es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi. Sustituyendo esta estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene:
La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta formula se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h.
Método de Euler mejorado Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:
donde,
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Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:
En la gráfica, vemos que la pendiente promedio
corresponde a la
pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto (x1, y1), donde y1
es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto x = x1 como la aproximación de Euler mejorada.
Método de Runge-Kutta
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En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden
Y' = f(X, Y) (7) con la condición inicial Y(X0) = Y0 (8) consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... (9) para determinar la solución de la ecuación diferencial en X = X1, X2, X3,... Sustituyendo la función f(X, Y) dada en (7), en (9), se tiene que Yn+1 = Yn + h Y'n (10) expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.
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De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T 1 para
determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una
secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (X n , Y n ), (X n+1 , Y n+1 ) en donde X n+1 y Y n+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica:
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Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de h3 definido por la expresión
en donde f(X n+1 , Y n+1 ) es el valor de la función f(X, Y) para:
X = Xn+1 Y = Yn + h f(Xn, Yn) Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
(12) en donde
(13) en el método de Euler y
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(14) en lo que Y' = f(X, Y) en el método de Euler Mejorado. Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común: 1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior. 2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(X, Y). Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos consiste en la forma como se define la función que aparece en la expresión (12). La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y
de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la 12
evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor. Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de h 5, de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (12) en donde la función
está dada por la expresión:
(16) en el cual
(17)
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La ecuación (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k1, k2, k3 y k4 a la curva
integral, en forma semejante a como se procedió con
las pendientes de las tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (11).
6.3 Métodos de pasos múltiples
Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro x i+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.
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6.4 Aplicaciones a la ingeniería.
Método de Euler Ejercicio 1. Use el método de Euler para integrar numéricamente la siguiente ecuación diferencial:
Desde x = 0 hasta x = 4, con un tamaño de paso h = 0.5. Con la condición inicial de que cuando x = 0 entonces y = 1. Obtenga la solución exacta 15
integrando analíticamente y compare los resultados con los obtenidos por el método de Euler. Tabular los resultados de Euler, la solución real y el error relativo porcentual. Ejemplo: Aplicando la ecuación (2), para encontrar la primera aproximación: x1= 0 y1= 1 y2 = y1 + f (x1, y1 )h La pendiente es: f(0,1)= -2(0)3 +12(0)2 -20(0)+8.5 = 8.5 Sustituyendo en la formula de Euler y2 = 1 + 8.5(0.5) = 5.25 Método de Euler mejorado Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar y(0.5) si:
y' = 2xy y(0) = 1
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Solución
Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos h = 0.1 y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de yn* primero y posteriormente el de yn. Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:
En nuestra primera iteración tenemos:
Nótese que el valor de y1* coincide con el y1 (Euler 1), y es el único valor que va a coincidir, pues para calcular y2* se usará y1 y no y1*. Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:
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Nótese que ya no coinciden los valores de y2 (Euler 1) y el de y2*. El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n
xn
yn
0
0
1
1
0.1
1.01
2
0.2
1.040704
3
0.3
1.093988
4
0.4
1.173192
5
0.5
1.28336
Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es: y(0.5) = 1.28336 Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero:
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Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%!
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CONCLUSION Finalmente y para concluir se determino que, la resolución de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas. La mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez de variación de una variable con respecto otra. Además proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas en Ingeniería, Física, Economía y Biología, puesto que estos, por lo general, requieren la determinación de una función que satisface a una ecuación diferencial. El Método de Runge Kutta es mejor que el método de Euler, pero aún así es posible aumentar la precisión achicando los pasos entre los puntos o implementando el método de orden superior. Es el método más utilizado para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutte, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar iteraciones necesarias. El dominio de los métodos numéricos, en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras resuelve problemas de ingeniería de manera más fácil y eficientemente.
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BIBLIOGRAFIA http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r73203.PDF Steven C. Chapra, Métodos Numéricos para Ingenieros, 6ª ed., Mc Graw Hill. Antonio Nieves Hurtado, Federico C. Domínguez Sánchez, Métodos Numéricos, 3ª ed., CESA
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