Álgebra del modelo de Cagan Notas de clase Santiago R. Cesteros 1 En el trabajo de Guerrero & Kawamura (1994) se analizan cuatros variantes del modelo de Cagan (1956). En primer lugar, se plantea del modelo estándar, es decir, bajo expectativas adaptativas. Posteriormente, se introduce el mismo modelo, pero esta vez utilizando expectativas racionales, que bajo las condiciones en las que se plantea el modelo dichas expectativas toman la forma de previsión perfecta. Una vez propuestos ambos esquemas, los autores los transforman introduciendo el efecto Olivera-Tanzi, es decir, agregando rezagos fiscales, que en contextos de alta inflación implican una pérdida de la recaudación impositiva, permitiendo así una mejor adaptación del modelo a la realidad de las economías latinoamericanas. La idea de este breve trabajo apunta a facilitar la deducción de la ecuación diferencial de la inflación esperada
,
que será esencial para realizar el análisis dinámico del
modelo y determinar el equilibro de los steady state (estados (estados estacionarios).
I. Modelo de Cagan con expectativas adaptativas La versión original del modelo depende esencialmente de tres ecuaciones base, a saber: E (1) m=m d =M/P=A.e -α E
(2)
1
= β.( π π-E) - E)
con A,α >0 >0
con β>0
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α /P= (3) d= θ. A.e - E
De estas tres ecuaciones se deriva la siguiente ecuación diferencial,que describe el comportamiento dinámico de la inflación esperada: (4)
={[ β/(1-αβ)].[d-mE]}/m
El primer paso para la derivación de la ecuación (4) consiste en aplicar logaritmos a la ecuación (1)
ln(M/P)=ln(A.e -α E) Por propiedades logarítmicas, es posible distribuir el logaritmo, de modo tal que
ln(M)-ln(P)=ln(A)+ln(e -α E ) Lo cual es igual a
ln(M)-ln(P)=ln(A)-α E El siguiente paso consiste en derivar la última expresión respecto al tiempo. Dado que las variables que dependen del tiempo son M , P y E , la constante A desaparecerá al realizar esta operación. Recordando, la derivada de una variable respecto al tiempo suele denotarse como , es decir, ∂x/ ∂t=
Una vez recordado esto, al derivar la última ecuación respecto al tiempo se obtiene
(1/M). -(1/P). =-α Lo que es igual a /M)-( /P) =-α (5) (
2
Ahora bien, el siguiente paso consistirá en reemplazar los términos
/M y /P en
la ecuación (5). Para ello, miremos primero la ecuación (3), donde
d= /P Esta
ecuación
puede
ser
transformada
multiplicándola
y
dividiéndola
simultáneamente por M , es decir, por la cantidad nominal de dinero:
d=( /P).(M/M) Reagrupando los términos, es posible separar, por un lado
/M ,
y por el otro, M/P
d=( /M).(M/P) De este modo M/P puede ser denotada como m , que es la cantidad real de dinero. Finalmente, expresando M/P como m , y despejando
/M ,
se tiene que
d/m= /M De este modo, ya se dispone de la primera ecuación para reemplazar el primer término del primer miembro de (5). El siguiente paso es derivar la ecuación para reemplazar el término
/P .
Dado que la derivada de una variable respecto al
tiempo dividida por la misma variable equivale a su tasa de crecimiento, el término /P es
entonces la tasa de crecimiento de los precios. La tasa de crecimiento de los
precios es, a su vez, la tasa de inflación. Esta tasa puede ser obtenida despejando
π
de la ecuación (2): π =( +βE)/ β= /P
3
De este modo, haciendo los reemplazos correspondientes en la ecuación (5), se llega a
(d/m)–[( +βE)/ β ] =-α Para deducir la ecuación (4) a partir de esta expresión, simplemente se debe despejar .
II. Modelo de Cagan con expectativas racionales. La versión del modelo de Cagan con expectativas racionales fue propuesta por primera vez por Sargent & Wallace (1973). En este caso, la única diferencia respecto al modelo de Cagan estándar consiste básicamente el modo en que las expectativas de los agentes son formuladas. Así, solamente se modificará la ecuación (2), que pasará a llamarse (2’), mientras que las ecuaciones restantes se mantendrán inalteradas:
(1) m=m d =M/P=A.e -α E (2‘) E= π (3) d= /P= θ. A.e -α E El reemplazo de términos y las operaciones algebraicas sobre la ecuación (5) serán muy similares a las realizadas antes, solamente que en este caso el término
/P
será simplemente reemplazado por E . La expresión final a partir de la cual se debe despejar será
(d/m)-E =-α
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Luego de haber realizado las operaciones algebraicas correspondientes, la ecuación diferencial a la que se debe arribar es
(4’) =(1/ α) .[(mE-d)/m]
III. Modelo de Cagan con expectativas adaptativas y efecto Olivera-Tanzi. La existencia de rezagos en la recaudación de impuestos, dentro de un contexto de elevada inflación, implica un deterioro de valor real de la recaudación. En esencia, esto implicará que, a medida que la inflación aumenta, la pérdida del valor real de los impuestos recaudados impacte negativamente el déficit fiscal. Así, a medida que la inflación aumente, el déficit también incrementará. La consecuencia de esto es que la ecuación (3) dependerá ahora de la inflación. El esquema de ecuaciones básicas será el siguiente:
(1) m=m d =M/P=A.e -α E (2)
= β.( π- E)
(3’) d=d 0 +h π = /P
con h>0
De este modo, la expresión ( /M).m será igualada, tal como se hizo antes, a la /M).m π =( ecuación (3), es decir, d 0+ . Despejando, se llega a h
/M (d 0+ π) /m= h
La tasa de crecimiento de los precios,
/P ,
será sustituida de igual forma que en el
primer caso, es decir, será reemplazada por
π ,
la cual es igual a ( +βE)/ β. Sin 5
embargo, es necesario hacer una salvedad: en este caso, la inflación
π
también está
presente en la ecuación déficit, de modo que también deberá ser sustituida por
( +βE)/ β dentro de (d 0+ π) /m antes de realizar la sustitución final en la ecuación h (5). Finalmente, luego de operar y hacer sustituciones necesarias en la ecuación (5), se llegará a ={ β/[(1-αβ).m-h]}.[d 0+ hE-mE]
En el paper de Guerrero y Kawamura (1994), la expresión difiere levemente, ya que el m dentro de las llaves está expresado como A.e -α E. Para llegar a la expresión exacta que exhiben los autores, simplemente se debe hacer el reemplazo. Recordar que por la ecuación (1) se tiene que m=A.e -α E. En esta versión del modelo también es necesario obtener el llamado punto de
singularidad E* , ya que si
αβ
es menor a 1, el signo del denominador queda
indefinido. Para obtener este punto, en primer lugar, el denominador deber ser igualado a cero:
(1-αβ).A.e -α E -h=0 Luego, se pasa h hacia el otro lado y se aplica logaritmo natural miembro a miembro: ln[(1-αβ).A.e -α E ]=ln(h)
Una vez hecho esto, es necesario distribuir el logaritmo y posteriormente despejar
E . El resultado final será E*=(1/ α ).ln[(1-αβ).A/h]
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El punto E* determinará la estabilidad del sistema de acuerdo a su posición respecto al punto de inflación a partir del cual se realiza el análisis dinámico. Si el punto E en el cual nos paramos a analizar la dinámica es mayor a E* , el denominador será negativo. Por el contrario, dicho punto E es menor a E* , el denominador será positivo. Es decir,
Si E>E*, denominador negativo. Si E
IV. Modelo de Cagan con expectativas racionales y efecto Olivera-Tanzi En este caso se utilizarán las ecuaciones introducidas en la sección II, pero reemplazando la ecuación del déficit clásica por la ecuación que incluye el efecto de los rezagos fiscales:
(1) m=m d =M/P=A.e -α E (2’) E= π (3’) d=d 0 +h π = /P
con h>0
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En este caso, el reemplazo a realizar la ecuación (5) es bastante similar a las operaciones realizadas anteriormente, dando lugar a la siguiente expresión
[(d 0 +hE)/m]-E=-α Una vez más, debe despejarse
α
para llegar a la ecuación diferencial de la
dinámica inflacionaria: =(1/α m).[mE-(d 0 +hE)]
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