Tema 4: Elecci´ Elecci´ on on intertemporal de consumo y el mercado de cr´ edito edito Macroe Macr oecono conom m´ıa 2014 201 4 Universidad Torcuato di Tella Constantino Hevia Hasta ahora consideramos un modelo est´ atico: atico: Robins Robinson on Crusoe nace, nace, trabaja, trabaja, consum consumee y muere muere en el mismo per´ per´ıodo. En esta nota comenzaremos comenzaremos a analizar analizar un modelo din´ amico de dos per´ per´ıodos. Supondremos Supondremos que hay muchas muchas familias/con familias/consumid sumidores ores que reciben un ingreso ingreso ex´ ogeno ogeno (que no depende depende de su oferta oferta de trabajo) en cada per´ per´ıodo, y que deben decidir decidir cuanto consumir hoy hoy, cuant cuantoo ahorra ahorrarr y cuant cuantoo consum consumir ir en el futuro. futuro. Comenza Comenzamos mos con el caso caso m´ as simple de ingresos ex´ogenos ogenos ya que nos permite analizar analizar el impacto impacto de cambios en la tasa de inter´ inter´ es es y del perfil temporal de ingresos del consumidor sin tener que analizar simult´aneamente aneamente la oferta de trabajo. trabajo. Dejamos Dejamos el an´ alisis conjunto de la decisi´ alisis on intertemporal de consumo y trabajo para la on pr´ oxima oxima nota.
Preferencias Consideremo Consideremoss el problema problema de un consumidor que vive por p or dos per´ per´ıodos. El consumidor tiene la siguiente funci´on on de utilidad por consumo c1 y c 2 en los per´ per´ıodos 1 y 2 respectivamente respectivamente + βu (c2 ) U (c1 , c2 ) = u (c1 ) + βu
(1 )
donde u (c) es creciente y c´oncava, oncava, y el par´ ametro ametro β > 0 determina el peso que el consumidor le asigna a la utilidad utilidad futura relativo relativo a la utilidad de presente. presente. Usualmen Usualmente te suponemos que β < 1, lo que significa que el consumidor es impaciente y valora una unidad de utilidad presente m´as as que una futura. Al par´ ametro ametro β lo lo llamamos el factor de descuento. La Figura Figura 1 muestra muestra las curvas curvas de indiferenc indiferencia ia entre entre consumo consumo en el per´ per´ıodo 2 y consumo consumo en el per pe r´ıodo ıo do 1. Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa, reflejando que c1 y c2 generan ¯1 < U ¯2 < U ¯3 . utilidad, y son convexas. Los niveles de utilidad est´ an ordenado de tal manera que U an La interpretaci´on on de una curva de indiferencia convexa es que el consumidor prefiere patrones de consumo consumo “suaves “suaves”” a trav´ trav´es es del tiempo. Por ejemplo, considere dos canastas canastas de consumo consumo (c1 , c2 ) ¯1 . El pun representados por los puntos A y B que generan el mismo nivel de utilidad U punto to C es la canasta de consumo promedio (1/2 de la canasta A y 1/2 de la canasta B) y representa un patr´on on de consumo m´as as estable a trav´ es es del tiempo que las canastas A y B. La preferencia por los patrones ¯2 mayor que estables de consumo se ve reflejada en que la canasta C genera un nivel de utilidad U ¯1 . U 1
Figura 1: Preferencias sobre consumo presente y futuro Para probar estos resultados anal´ıticamente, consideremos una curva de indiferencia asociada ¯ . Sobre la curva de indiferencia interpretamos a c2 como una funci´on de con el nivel de utilidad U c1 , por lo que ¯ = u(c1 ) + βu(c2 (c2 )). U Si derivamos ambos lados de la igualdad con respecto a c1 obtenemos
0 = u (c1 ) + βu (c2 (c1 ))
dc2 . dc1
Por lo tanto, la pendiente de la curva de indiferencia satisface
dc2 u (c1 ) =− < 0. dc1 βu (c2 (c1 ))
Si derivamos la expresi´on anterior una vez m´ as encontramos 2
d c2 =− d(c1 )2
u (c1 )βu (c2 (c1 )) − u (c1 )βu (c2 (c1 )) dc dc
dc2 < 0 y u (c) < 0, el t´ermino entre dc1 d2 c2 /dc21 es positiva. Esto es, la curva
2 1
2
[βu (c2 (c1 ))]
.
Dado que
corchetes es negativo, lo que implica que la derivada
segunda
de indiferencia es convexa.
Restricci´ on presupuestaria y dotaciones Las familias reciben un ingreso ex´ ogeno (esto es, que no depende de su esfuerzo laboral) de y1 e y2 bienes de consumo en los per´ıodo 1 y 2 respectivamente. Adem´ as, existe un mercado de cr´edito donde las familias pueden ahorrar o endeudarse en bonos o activos, a los que llamaremos bt (valores negativos de bt se interpretan como deuda). Los activos pagan una tasa de inter´ es real rt . Como en este modelo no existe el dinero, la tasa de inter´ es bruta 1 + r t nos dice cu´antas unidades de
2
bienes recibiremos en el per´ıodo t + 1 si compramos 1 bono en el per´ıodo t. De este modo, si la familia demanda b t bonos en el per´ıodo t, recibir´a (1 + rt )bt bienes de consumo en el per´ıodo t + 1. Con esta informaci´ on construimos las restricciones presupuestarias flujo. A estas restricciones le ponemos el nombre de “flujo” para diferenciarlas de la restricci´ on presupuestaria intertemporal que construiremos m´ as abajo. La restricci´ on presupuestaria flujo en el primer per´ıodo es c1 + b1 = y 1 + (1 + r0 )b0 . Del mismo modo, la restricci´ on presupuestaria flujo en t = 2 es c2 + b2 = y 2 + (1 + r1 )b1 . Como el mundo se acaba al final del per´ıodo 2, vamos a imponer la restricci´ on de que los consumidores no pueden morir endeudados (¿quien les va a prestar algo de otro modo?). Esto equivale a agregar la restricci´ on b2 ≥ 0. El ahorro en el per´ıodo t, que llamaremos st , consiste en la parte del ingreso total que no se consume en el per´ıodo t: st = yt + rt 1 bt 1 − ct −
−
consumo en t
ingreso total en t
El ingreso total es la suma del ingreso ex´ ogeno y t m´ as el ingreso financiero r t 1 bt 1 (el inter´es sobre los activos que el consumidor compr´o en el per´ıodo anterior). Es importante notar el ahorro st es una variable flujo y que los activos b t son una variable stock. Usando la restricci´ on presupuestaria flujo en un per´ıodo t arbitrario, ct + bt = y t + (1 + rt
−
−
1 )bt−1 ,
−
llegamos a la conclusi´ on de que el ahorro es tambi´en igual al cambio en el stock de activos del consumidor, bt = yt + rt
1 bt−1
−
− ct + bt−1 ,
st
por lo que
st = b t − bt
−
1.
Evidentemente, la parte del ingreso total que no me consumo la uso para aumentar mi stock de activos.
3
El problema del consumidor y la restricci´ o n presupuestaria intertemporal Volviendo a la elecci´ on de consumo intertemporal, el problema de la familia es max u(c1 ) + βu(c2 )
c1 ,c2 ,b1 ,b2
sujeto a c1 + b1 = y 1 + (1 + r0 )b0 c2 + b2 = y 2 + (1 + r1 )b1 b2 ≥ 0. Como en este modelo no hay descendientes, nadie va a querer morir con activos por lo que es ´optimo elegir b 2 = 0. De este modo, el problema del consumidor se simplifica a max u(c1 ) + βu(c2 )
c1 ,c2 ,b1
sujeto a c1 + b1 = y 1 + (1 + r0 )b0 c2 = y 2 + (1 + r1 )b1 . Para simplificar la exposici´ o n a´ u n m´ as, supongamos que los consumidores nacen sin activos, por lo que b0 = 0 (esto no es para nada esencial y todo lo que sigue lo podemos hacer eliminando este supuesto). Por lo tanto, el problema del consumidor se reduce a max u(c1 ) + βu(c2 )
c1 ,c2 ,b1
sujeto a c1 + b1 = y1
(2)
c2 = y2 + (1 + r1 ) b1 .
(3)
Hay dos formas equivalentes de resolver este problema. La primera es construyendo una sola restricci´ on presupuestaria, a la que llamaremos intertemporal , que resume el conjunto de posibilidades de consumo de la familia de todos los per´ıodos en una sola restricci´ on. En particular, usando la restricci´ on (2) resolvemos para b 1 = y1 − c1 y reemplazamos el resultado en (3) obteniendo c2 = y1 + (1 + r1 )(y1 − c1 ).
4
Figura 2: Restricci´on presupuestaria intertemporal Dividimos por 1 + r1 y ordenamos los t´erminos para llegar a c1 +
c2 y2 = y 1 + . 1 + r1 1 + r1
(4)
on presupuestaria intertemporal y surge de la posibilidad de La ecuaci´ o n (4) es la restricci´ endeudarse o ahorrar la cantidad que se desee a la tasa de inter´ es r1 . De hecho, al reemplazar b1 lo que estamos suponiendo es que b 1 puede tomar cualquier valor, ya sea positivo o negativo. La restricci´on presupuestaria intertemporal nos dice varias cosas importantes. Primero, cuando existen mercados de cr´edito podemos pensar que el consumidor enfrenta una sola restricci´ on pre-
supuestaria. Segundo, bajo esta u ´nica restricci´ on presupuestaria intertemporal el valor presente del consumo (el lado izquierdo de (4)) es igual al valor presente del ingreso (el lado derecho de (4)).1 Tercero, la restricci´ on presupuestaria intertemporal nos dice que el precio relativo del consumo en 1 el per´ıodo 2 en t´erminos de consumo en el primer per´ıodo es 1+r . Y la raz´ on es la siguiente: si 1 dejo de consumir 1+r unidades de consumo en t = 1 e invierto esa cantidad en el bono, ma˜ nana 1 obtengo 1+r edito me × (1 + r1 ) = 1 bienes de consumo. En otras palabras, el mercado de cr´ 1 permiti´o transformar 1+r unidades de consumo en t = 1 en una unidad de consumo en t = 2. Pero eso no es otra cosa que la definici´ on de precio relativo. A partir de este razonamiento surge de 1
1
1
1
inmediato que una suba en la tasa de inter´ es real significa que el consumo futuro se hace m´ as barato relativo al consumo presente. La Figura 2 muestra la restricci´ on presupuestaria intertemporal en los ejes (c1 , c2 ). Note que la restricci´ on presupuestaria tiene pendiente − (1 + r1 ) y pasa a trav´es del punto de dotaci´ on inicial (y1 , y2 ). El problema del consumidor entonces se reduce al de maximizar la utilidad (1) sujeto a la 1
Si los activos iniciales
b0 no
son cero debemos agregar el t´ ermino (1 + r 0 )b0 del lado derecho de (4).
5
restricci´ on presupuestaria intertemporal (4). El Lagrangiano de este problema es
c2 y2 L = u (c1 ) + βu (c2 ) − λ c1 + , − y1 − 1 + r1 1 + r1 donde λ es el multiplicador de Lagrange de la restricci´ on (4). Las condiciones de primer orden son ∂L = 0 ⇒ u (c1 ) = λ ∂c 1 ∂L λ = 0 ⇒ βu (c2 ) = ∂c 2 1 + r1 ∂L c2 y2 = 0 ⇒ c1 + = y 1 + ∂λ 1 + r1 1 + r1
(5)
(6) (7)
Sustituyendo (5) en (6) y reorganizando obtenemos
u (c1 ) = (1 + r1 ) βu (c2 ) .
(8)
La condici´ on (8) es muy importante en macroeconom´ıa. Se llama la ecuaci´ on de Euler. Distintas versiones de esta ecuaci´ on aparecen constantemente en todos los modelos macroecon´ omicos din´ amicos que usamos. Por eso es importante entender su intuici´ on econ´ omica. Consideremos reducir el consumo en el per´ıodo 1 en una unidad para comprar un bono y as´ı consumir m´ as en el futuro. Recordemos que u (c1 ) es el valor marginal de incrementar el consumo en el per´ıodo 1 en una unidad. Equivalentemente, una reducci´ on del consumo en t = 1 tiene un costo marginal de u (c1 ). Esa unidad de consumo que dej´e de consumir la invierto en un bono que me paga (1 + r1 ) bienes de consumo en t = 2. El valor de un incremento marginal del consumo en el per´ıodo 2 es
u (c2 ), por lo que el incremento marginal de la utilidad en t = 2 de los (1 + r1 ) bienes adicionales es (1 + r1 ) u (c2 ). Sin embargo, desde el punto de vista del per´ıodo 1 (que es cuando dejo de consumir para comprar el bono) el valor marginal de subir c 2 a trav´es de esta estrategia es β (1 + r1 ) u (c2 ), ya que el consumidor es impaciente. Un agente actuar´ a de manera ´optima cuando el costo marginal de bajar el consumo en t = 1 sea igual al beneficio marginal de incrementar el consumo en t = 2. Esto es, la condici´ on (8) se debe cumplir bajo la elecci´ on o´ptima del consumo. 1 Con la interpretaci´ on de que 1+r es el precio relativo entre c2 y c1 , notemos que una forma alternativa de escribir la ecuaci´ on de Euler (8) es
1
βu (c2 ) 1 = . u (c1 ) 1 + r1
El lado izquierdo de la ecuaci´on es la tasa marginal de sustituci´ on entre c2 y c1 , mientras que el lado derecho de la ecuaci´ on es el precio relativo de c 2 en t´erminos de c 1 . Por lo tanto, ´esta tambi´en es la ecuaci´on usual que nos dice que, en el o´ptimo, tasas marginales de sustituci´ on deben igualarse a los precios relativos. Las inc´ognitas del problema del consumidor son c1 y c2 . Las condiciones (4) y (8) constituyen un
6
∗
∗
sistema de dos ecuaciones en dos inc´ognitas, c 1 y c 2 : la elecci´ on o´ptima debe satisfacer la restricci´ on presupuestaria intertemporal y la ecuaci´ on de Euler. Las demandas ´optimas de consumo presente y futuro son funciones de la siguiente forma c1 = c d1 ∗
c2 = c d2 ∗
y2 r1 , y1 + 1 + r1 y2 r1 , y1 + 1 + r1
(9)
(10)
¿Por qu´e las demandas son una funci´on del valor presente de los ingresos en vez de una funci´ on donde y1 e y2 aparecen como argumentos independientes? La raz´ on matem´ atica es que y1 e y2 siempre y aparecen en la forma y1 + 1+r . Adem´ as de la matem´ atica, este resultado tiene una importante intuici´ on econ´ omica: el consumo en cada per´ıodo no es unicamente ´ una funci´ on del ingreso corriente 2
1
de ese per´ıodo sino una funci´ on del valor presente de todos los ingresos, corriente y futuros. Este resultado, que surge de la posibilidad de usar los mercados de cr´edito para cambiar el patr´ on temporal del consumo de acuerdo a las preferencias del consumidor, es la base de la teor´ıa moderna del consumo. Como veremos m´ as adelante, esta teor´ıa del consumo difiere fundamentalmente de la teor´ıa del consumo keynesiana. Una vez que encontramos las demandas de consumo en cada per´ıodo, podemos encontrar la demanda de activos b1 usando la restricci´on presupuestaria flujo en t = 1, b 1 = y1 − c1 , o bien b1 = bd1 (r1 , y1 , y2 ) ∗
= y 1 −
cd1
y2 r1 , y1 + 1 + r1
.
La demanda de bonos no es u ´ nicamente una funci´ on del valor presente del ingreso. La intuici´on es que si el ingreso corriente es muy alto relativo al ingreso futuro, el consumidor tendr´a incentivos a ahorrar parte de ese ingreso para transferir parte de su riqueza corriente hacia el futuro. Esto implica que la demanda de bonos debe ser creciente en y1 . La Figura 3 muestra la elecci´on o´ptima de consumo en tres casos diferentes. El gr´ afico de la izquierda nos muestra una situaci´ on donde el consumidor elige una canasta de consumo que satisface c1 < y1 , por lo que el consumo en el primer per´ıodo es menor a su ingreso. La diferencia entre el consumo y el ingreso es la acumulaci´on de activos b1 > 0. El ahorro positivo del consumidor le permite financiar un consumo futuro c2 mayor a su dotaci´ on futura y2 . El gr´ afico del medio nos muestra la situaci´ on opuesta, donde c1 es mayor que y1 . El mercado de cr´ edito le permite al consumidor financiar ese mayor consumo corriente endeud´andose en la cantidad b1 = y 1 − c1 < 0. En el segundo per´ıodo el consumo c 2 es menor al ingreso y2 . La diferencia es el pago del principal ∗
∗
∗
m´ as los intereses de la deuda tomada en el primer per´ıodo capturado por el t´ermino b 1 (1 + r1 ) < 0. Finalmente, el gr´ afico de la derecha nos muestra una situaci´ o n donde el consumidor no es ni acreedor ni deudor: elige consumir su dotaci´ on de bienes en cada per´ıodo. Note que la existencia de mercados de cr´edito le permite al consumidor obtener un nivel de utilidad mayor a si estuviese forzado a consumir su ingreso ex´ogeno en cada per´ıodo.
7
Figura 3: Decisi´ on de consumo intertemporal Ejemplo: funci´ on de utilidad logar´ıtmica
Supongamos que la funci´ on de utilidad es logar´ıtmica u(c) = ln(c).
En este caso, u (c) = 1/c, por lo que la ecuaci´on de Euler (8) viene dada por 1 1 = (1 + r1 )β c1 c2 o, c2 = β (1 + r1 )c1 .
(11)
Reemplazando esta condici´ on en la restricci´ on presupuestaria intertemporal y resolviendo para c1 encontramos c2 y2 = y 1 + 1 + r1 1 + r1 β (1 + r1 )c1 y2 c1 + = y 1 + 1 + r1 1 + r1 y2 (1 + β )c1 = y 1 + 1 + r1 c1 +
o bien,
1 y2 c1 = y1 + 1 + β 1 + r1 por lo tanto, c2 =
β [y1 (1 + r1 ) + y2 ] 1 + β
8
(12)
(13)
La demanda de bonos es bd1 = y1 − c1
1 y2 = y1 − y1 + 1 + β 1 + r1 β 1 y2 = y1 − . 1 + β 1 + β 1 + r1 o bien bd1
β y2 = y1 − 1 + β β (1 + r1 )
(14)
Como vemos, la demanda de bonos aumenta cuando sube el ingreso corriente y disminuye (o sube el endeudamiento) cuando sube el ingreso futuro.
Forma equivalente de resolver el problema del consumidor
Arriba mencionamos que hab´ıa dos maneras equivalentes de resolver el problema del consumidor. La segunda es escribiendo el Lagrangiano con las dos restricciones presupuestarias flujo (2) y (3). Llamemos λ1 y λ2 a los multiplicadores de Lagrange de esas dos restricciones. Entonces podemos escribir el siguiente Lagrangiano L = u (c1 ) + βu (c2 ) − λ1 [c1 + b1 − y1 ] − λ2 [c2 − y2 − (1 + r1 ) b1 ] donde la maximizaci´ on se hace eligiendo consumo presente y futuro, c1 y c2 , y la demanda de activos b1 . Las condiciones de primer orden de este problema son ∂L ∂c 1 ∂L ∂c 2 ∂L ∂b 1 ∂L ∂λ 1 ∂L ∂λ 2
= 0 ⇒ u (c1 ) = λ 1
= 0 ⇒ βu (c2 ) = λ 2
(15)
(16)
= 0 ⇒ λ1 = λ 2 (1 + r1 ) = 0 ⇒ c1 + b1 = y 1 = 0 ⇒ c2 = y 2 + (1 + r1 ) b1
(17)
(18)
Sustituyendo (15) y (16) en (17) encontramos la ecuaci´ on de Euler
u (c1 ) = (1 + r1 ) βu (c2 ) . Usando (18) y (19) podemos recuperar la restricci´ on presupuestaria intertemporal c1 +
c2 y2 = y 1 + , 1 + r1 1 + r1 9
(19)
que, junto con la ecuaci´on de Euler, forman el mismo sistema de dos ecuaciones en las dos inc´ognitas c1 y c2 que encontramos arriba.
An´ alisis de cambios en los ingresos y en la tasa de inter´ es Analizaremos el impacto sobre el patr´ on de consumo intertemporal de los siguientes cambios: • Cambio temporario del ingreso : sube y1 e y 2 no cambia • Cambio esperado del ingreso futuro: y1 no cambia e y2 sube • Cambio permanente del ingreso: suben y 1 e y2 en la misma cantidad
es real r1 • Aumento de la tasa de inter´ ∗
En todos los casos supondremos que antes del cambio la demanda ´optima de bonos era b 1 = 0, por lo que el consumidor no era ni deudor ni acreedor. Tambi´ en supondremos que tanto c 1 como c 2 son bienes normales. Esto es, el consumidor decidir´ a demandar m´ as de ambos bienes ante un cambio que genere un aumento de su riqueza. Suba temporaria del ingreso corriente: ↑ y1 , y¯2
La Figura 4 muestra la canasta o´ptima de consumo cuando el ingreso del per´ıodo 1 sube de y 1 a yˆ1 y el ingreso en el segundo per´ıodo no cambia. La elecci´ on o´ptima inicial es en el punto A, donde el consumidor no es deudor ni acreedor. Luego del aumento del ingreso corriente, el punto de dotaci´ on se mueve de A hacia B. Llamemos ∆y1 = yˆ1 − y1 > 0 al cambio en el ingreso. Si el consumidor usase todo ese ingreso adicional para aumentar el consumo en el primer per´ıodo, la canasta de consumo ser´ıa la del punto B. Sin embargo, como c 1 y c 2 son bienes normales, el consumidor usar´ a su mayor riqueza para consumir m´ as de ambos bienes. La canasta de consumo ´optima se encuentra en el punto C, que consiste en incrementar c 1 en una cantidad menor a la suba del ingreso ∆y1 . La diferencia entre los cambios del ingreso y del consumo se asigna a acumular activos para financiar un mayor consumo futuro. En otras palabras, el consumidor ahorra parte de su mayor ingreso para suavizar su sendero de consumo intertemporal. Consideremos el ejemplo con utilidad logar´ıtmica. Usando que ∆y2 = 0 y ∆y1 > 0, las demandas (12), (13) y (14) implican los siguientes cambios para el consumo y el ahorro
1 ∆y2 ∆y1 ∆c1 = ∆y1 + = < ∆y1 1 + β 1 + r1 1 + β ∗
∗
∆c2 =
β β (1 + r1 ) [∆y1 (1 + r1 ) + ∆y2 ] = ∆y1 > 0 1 + β 1 + β
β ∆y2 β ∆y1 ∆b1 = ∆y1 − = > 0. 1 + β β (1 + r1 ) 1 + β ∗
10
Figura 4: Aumento temporario del ingreso Naturalmente, si dividimos las ecuaciones anteriores por ∆y1 obtenemos las derivadas parciales de c1 , c2 y b1 con respecto a un cambio en el ingreso corriente y1 manteniendo constante el ingreso futuro, ∗
∂c 1 1 = < 1 1 + β ∂y 1 ∂b 1 β = < 1 ∂y 1 1 + β ∂c 2 β (1 + r1 ) = > 0 ∂y 1 1 + β ∗
∗
Las primera derivada nos dice que un aumento de una unidad del ingreso corriente lleva a un aumento en el consumo c1 menor a una unidad. La diferencia β/ (1 + β ) se ahorra lo que genera un ingreso adicional en el segundo per´ıodo de β (1 + r1 ) 1 + β que se usa para aumentar el consumo futuro.
Suba esperada del ingreso futuro: y¯1 , ↑
y2
Este caso se muestra en la Figura 5. La dotaci´ on de ingresos se mueve del punto A al punto B, con ∆y2 = yˆ2 − y2 > 0 y ∆y1 = 0. Como en el caso anterior, la normalidad de c1 y c2 implica que la mayor riqueza esperada en el futuro se distribuye en un aumento de los dos consumos c1 y c2 , 11
Figura 5: Aumento del ingreso futuro representado por la canasta del punto C. Como el ingreso en t = 1 no cambi´o, el consumidor debe endeudarse (b1 < 0) para financiar el mayor consumo corriente. Al tener que repagar la deuda en el futuro, el consumo cˆ2 ser´a menor al ingreso futuro yˆ2 , siendo la diferencia el pago de la deuda que tom´ o en el primer per´ıodo incluyendo los intereses, b 1 (1 + r1 ) . En el ejemplo con utilidad logar´ıtmica tenemos ∗
∗
1 ∆y2 1 ∆y2 ∆c1 = ∆y1 + = > 0 1 + β 1 + r1 1 + β 1 + r1 ∗
∗
∆c2 =
β ∆y2 [∆y1 (1 + r1 ) + ∆y2 ] = > 0 1 + β 1 + β
β ∆y2 −∆y2 ∆b1 = ∆y1 − = < 0. 1 + β β (1 + r1 ) (1 + β ) (1 + r1 ) ∗
Suba permanente en el ingreso: ↑
y1 ,
↑
y2 en
la misma cantidad, ∆y1 = ∆y2
Supongamos que el ingreso del consumidor sube de manera permanente: y1 e y2 se incrementan en la misma cantidad.2 La intuici´ on que brindamos en los casos anteriores es que el consumidor busca consumir una canasta de consumo estable a trav´ es del tiempo suavizando su perfil de ingresos temporales a trav´es del mercado de cr´edito. Por ejemplo, si hay un aumento u´nicamente del ingreso 2
Si los ingresos aumentasen en la misma proporci´ on en vez de en la misma cantidad, podemos hacer un argumento similar (aunque no id´ entico) al que sigue.
12
Figura 6: Aumento permanente del ingreso ∆y1 = ∆y2 > 0 corriente, el consumo hoy aumenta pero en una cantidad menor a la suba del ingreso. Sin embargo, cuando la suba del ingreso es permanente, esto es, cuando sube el ingreso corriente y el futuro en la misma cantidad, ya no hay motivos de cambiar el ahorro pues no cambi´o el perfil relativo de los ingresos a trav´es del tiempo. Entonces, es de esperar que el consumo corriente aumente en aproximadamente la misma cantidad de lo que subi´o el ingreso. En efecto, como el ingreso futuro sube en la misma cantidad que el ingreso presente, no ser´ a necesario cambiar el ahorro para financiar un mayor consumo futuro. La Figura 6 muestra esta situaci´ o n. Al subir el ingreso de manera permanente, el consumidor podr´ a aumentar su consumo de ambos per´ıodos en la misma cantidad. Puesto que el ingreso y consumo corrientes suben aproximadamente en la misma cantidad, el ahorro en el primer per´ıodo se mantendr´ a aproximadamente constante (en el gr´ afico se mantiene en cero). En s´ımbolos, ∆c1 ≈ ∆y1 y ∆c2 ≈ ∆y2 , por lo que ∆b1 ≈ 0. En lo que sigue explicaremos por qu´ e usamos la palabra “aproximadamente” para describir los cambios. Discutiremos bajo qu´ e circunstancias el cambio en el consumo es exactamente igual al ∗
cambio en el ingreso cuando la suba del u ´ ltimo es permanente y argumentaremos que aun si no son iguales, ser´ an muy parecidos. Consideremos la ecuaci´ on de Euler del consumo
u (c1 ) = β (1 + r1 )u (c2 )
Si suponemos que β (1+r1 ) = 1, la ecuaci´ on anterior se reduce a u (c1 ) = u (c2 ). Como la funci´ on de utilidad es c´ oncava, u (c) es decreciente, por lo que la igualdad de utilidades marginales implica que c1 = c 2 . Esto es, cuando β (1 + r1 ) = 1 es ´optimo mantener un sendero de consumo completamente estable a trav´es del tiempo. Usando este resultado en la restricci´ on presupuestaria intertemporal encontramos c1 y2 c1 + = y1 + 1 + r1 1 + r1
13
o bien c1 =
1 + r1 2 + r1
y2 y1 + 1 + r1
Supongamos ahora que los ingresos corriente y futuro se incrementan en la misma cantidad δ . Esto es, yˆ1 = y 1 + δ y yˆ2 = y2 + δ . Despu´ es del cambio del ingreso, el consumo del primer per´ıodo es cˆ1 = = =
1 + r1 2 + r1 1 + r1 2 + r1 1 + r1 2 + r1
yˆ2 yˆ1 + 1 + r1 y2 + δ y1 + δ + 1 + r1 y2 y1 + + δ 1 + r1
Pero el primer t´ermino de esa ecuaci´ on es el nivel de consumo antes del cambio permanente en el ingreso, por lo que cˆ1 = c 1 + δ Esto muestra que el consumo y el ingreso presente aumentan en la misma cantidad δ . Como el consumo futuro es igual al presente, el consumo futuro tambi´ en sube en la cantidad δ . Con esto terminamos la prueba de que si β (1 +r1 ) = 1 , entonces ∆c1 = ∆y1 , ∆c2 = ∆y2 , y ∆b1 = 0. Si bien β (1 + r 1 ) = 1 es un supuesto fuerte, estimaciones de la tasa de preferencia temporal β implican que el t´ermino β (1 + r 1 ) es bastante cercano a 1. Por lo tanto, podemos suponer que cambios permanentes en el ingreso efectivamente se consumen en su totalidad, mientras que aumentos temporarios tienden a ahorrarse en gran parte. Consideremos el ejemplo con funci´on de utilidad logaritmica que genera la demanda
1 y2 c1 = y1 + 1 + β 1 + r1
y supongamos un aumento permanente en el ingreso yˆ1 = y 1 + δ 1 e yˆ2 = y 2 + δ 2 con δ 1 = δ 2 = δ . De este modo 1 y2 + δ 2 cˆ1 = y1 + δ 1 + (20) 1 + β 1 + r1
por lo que, definiendo ∆c1 = cˆ1 − c1 , y usando δ 1 = δ 2 = δ
1 δ 1 2 + r1 ∆c1 = δ + = 1 + β 1 + r1 1 + β 1 + r1
δ
De este modo, si el ingreso aumenta de manera permanente en 1 peso, δ = 1, tenemos
1 2 + r1 ∆c1 = 1 + β 1 + r1
Pongamos algunos n´ umeros: supongamos β = 0.98 y una tasa de inter´ es real del 4%, r1 = 0.04. En este caso ∆c1 = 0.99.
14
Figura 7: Aumento en la tasa de inter´es r1 : Deudor Por otro lado, supongamos ahora que solo aumenta el ingreso corriente en $1 pero el ingreso futuro no cambia. La demanda de consumo (20) evaluada en δ 1 = 1 y δ 2 = 0 implica ∆c1 =
1 ≈ 0.5. 1 + β
Esto es, se ahorra aproximadamente la mitad del ingreso corriente para aumentar el consumo futuro. Suba en la tasa de inter´ es ↑
r1
El resultado de un aumento en la tasa de inter´ es depender´ a si, luego del cambio , el consumidor termina siendo deudor o acreedor. Un aumento en la tasa de inter´ es se refleja en una rotaci´ on de la restricci´ on presupuestaria en el sentido de las agujas del reloj sobre la dotaci´on inicial (y1 , y2 ). Un cambio en la tasa de inter´ es tiene dos efectos. Por un lado, la suba de r 1 implica una ca´ıda del precio relativo del consumo futuro en t´erminos de consumo corriente (recordemos que este precio 1 relativo es 1+r ). Este cambio en el precio relativo genera un efecto sustituci´ on que implica una suba del consumo futuro y una ca´ıda del consumo corriente. El segundo efecto del cambio en la tasa de inter´es es el efecto riqueza, cuyo signo depender´ a de si el consumidor es deudor o acreedor. Las Figuras 7 y 8 muestran ambos casos. 1
Consideremos la Figura 7. El punto de dotaci´ on est´ a marcado con la letra D y la canasta ´optima de consumo original est´ a marcada en el punto A, donde el consumidor es deudor, c 1 > y1 . La suba de la tasa de inter´es se refleja como una rotaci´ on de la restricci´ on presupuestaria sobre el punto D y la canasta ´optima luego del cambio en r1 est´ a marcada en el punto F. Para encontrar el efecto sustituci´ on desplazamos la nueva restricci´ on presupuestaria en forma paralela hacia arriba de modo que sea tangente a la curva de indiferencia original, lo que ocurre en el punto S. En relaci´ o n a la canasta original, sube el consumo futuro cs2 > c2 y cae el consumo presente cs1 < c1 , reflejando la ca´ıda del precio relativo del primero. Sin embargo, como el consumidor es deudor, sufre un efecto ∗
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riqueza negativo pues sube el costo financiero de su deuda. El efecto riqueza negativo implica una ca´ıda de c1 y de c2 en relaci´ on a la canasta del efecto sustituci´ on S. El efecto final es que c1 cae, pues los efectos sustituci´ on e ingreso se refuerzan, pero el consumo futuro c2 puede subir o bajar: el efecto sustituci´ on implica una suba de c 2 , mientras que el efecto riqueza implica una disminuci´ on de c 2 . En el ejemplo de la Figura 7 domina el efecto sustituci´ on y c2 sube.
Figura 8: Aumento en la tasa de inter´es r1 : Acreedor La Figura 8 muestra el caso de un acreedor. Como en el caso anterior, el punto de dotaci´ on inicial est´ a en el punto D, la canasta o´ptima inicial est´ a en el punto A y la canasta de consumo final es la del punto F. En la posici´ on final el consumidor es acreedor. La canasta que refleja el efecto sustituci´ on se encuentra en el punto S que, al igual que en el caso anterior, implica una suba del consumo futuro c2 y una disminuci´on del consumo presente c 1 . El desplazamiento de la canasta S a la canasta F refleja el efecto riqueza. Al ser acreedor, la suba en la tasa de inter´ es incrementa el ingreso financiero del agente. Como los dos bienes son normales, el efecto riqueza implica que tanto c1 como c2 suben. El efecto final sobre c1 es ambiguo: cae debido al efecto sustituci´ on pero sube debido al efecto riqueza. El gr´ afico muestra un ejemplo donde el efecto riqueza domina al efecto sustituci´ on. En el caso del consumo futuro, tanto el efecto sustituci´ on como el efecto riqueza implican una suba de c2 . La demanda del consumidor representativo de la econom´ıa
El an´ alisis anterior muestra que el efecto final de un aumento en la tasa de inter´ es r1 sobre la canasta de consumo depende de si el consumidor es acreedor o deudor. Sin embargo, si estamos considerando una econom´ıa cerrada (que no comercia con el resto del mundo) y nos interesa el comportamiento agregado de la econom´ıa, entonces podemos ser m´ as espec´ıficos. En el agregado tiene que ser cierto que si alguien debe 100 pesos hay otra persona que es acreedora de esos 100 pesos. Por lo tanto, el consumidor “promedio” de la econom´ıa no es ni deudor ni acreedor. Esto 16
implica que para el consumidor promedio no existe el efecto riqueza ante cambios en la tasa de inter´es y podemos enfocarnos u ´nicamente en el efecto sustituci´on. En este caso podemos dibujar una curva de demanda de consumo corriente como funci´on de la tasa de inter´es como las que aparecen en la Figura 9. Aumentos temporarios y permanentes del ingreso desplazan la curva de demanda de bienes hacia la derecha. La diferencia entre los dos casos est´a en el tama˜ no del desplazamiento. Si el aumento del ingreso es temporario, la curva de demanda se desplaza en una cantidad menor al aumento del ingreso, ∆c1 (r) < ∆y1 , mientras que si el cambio del ingreso es permanente, la curva de demanda se desplaza en aproximadamente la misma cantidad que el aumento del ingreso, ∆c1 (r) ≈ ∆y1 .
Figura 9: Demanda de consumo: consumidor representativo Finalmente, es importante notar que el consumidor promedio no es deudor ni acreedor solo en el caso de una econom´ıa cerrada. Cuando analicemos el caso de una econom´ıa abierta a los flujos de bienes y de capital, el consumidor promedio podr´ a endeudarse o prestar al resto del mundo. En este caso, el efecto riqueza ante cambios en la tasa de inter´ es puede ser importante. Comparaci´ on con la teor´ıa keynesiana tradicional del consumo
La diferencia en la respuesta del consumo ante cambios transitorios versus permanentes del ingreso es un componente fundamental de nuestra teor´ıa del consumo. Una manera de medir el cambio del consumo corriente cuando sube el ingreso corriente es la llamada propensi´ on marginal al consumo que, en t´erminos matem´aticos, es la derivada del consumo con respecto al ingreso del mismo per´ıodo, P MC =
dct . dyt
A diferencia de la teor´ıa de consumo que analizamos arriba, Keynes argument´ o que el consumo satisface los siguientes patrones de comportamiento: 1. el consumo depende principalmente del ingreso corriente, 2. cuando el ingreso aumenta en $1, el consumo aumenta en menos de $1, y 17
3. cuando aumenta su ingreso, el consumidor ahorra una proporci´ on mayor del mismo. Una funci´on de consumo usual que satisface los tres requisitos anteriores es la siguiente: ct = A + By t
(21)
donde A > 0 es el componente aut´onomo del consumo y 0 < B < 1 es la propensi´on marginal al consumo. Es evidente que los supuestos anteriores sobre A y B implican que la funci´on (21) satisface las primeras dos condiciones que postul´ o Keynes. Para comprobar que la tercera condici´on tambi´ en se cumple, computemos la tasa de ahorro cuando la funci´ on de consumo es (21), st y t − ct yt − A − By t B = = =1−A− . yt yt yt yt Claramente esta expresi´ on es creciente en el ingreso del consumidor, probando as´ı que el tercer requisito tambi´en se cumple. Usualmente se estima que la PMC de la funci´ on de consumo keynesiana, B, es alrededor de 0.8. Esto es, por cada peso que sube el ingreso corriente, el consumidor asigna alrededor de 80 centavos al consumo, independientemente de si el aumento del ingreso es temporario o permanente. Nuestra teor´ıa del consumo nos dice que la PMC ante un cambio permanente del ingreso es cercana a 1, mientras que la PMC ante un cambio temporario del ingreso es mucho menor. Esta diferencia es particularmente importante en modelos con m´ as de dos per´ıodoss, donde un aumento temporario del ingreso corriente se distribuye en el consumo de muchos per´ıodos.
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