Notas Clase Relatividad especial

Principios de la Relatividad Especial: Fundamentos F´ısicos, Geom´etricos y Algebraicos

F REDY A. O CHOA Departamento de F´ısica Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot´a

II

´Indice general

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducci´on

VII

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PARTE I: FUNDAMENTOS F´ISICOS 1. La relatividad cl´ asica 1.1. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . 1.2. Las transformaciones de Galileo . . . . . . 1.3. La relatividad de las part´ıculas puntuales . . 1.3.1. Teorema de adici´on de velocidades 1.3.2. Invariancia de la aceleraci´on . . . . 1.3.3. La fuerza y masa inercial cl´asicos . 1.4. La relatividad de las ondas mec´anicas . . . 1.4.1. Retraso longitudinal . . . . . . . . 1.4.2. Retraso transversal . . . . . . . . . 1.4.3. Efecto Doppler cl´asico . . . . . . .

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2. La relatividad especial 2.1. Experimento idealizado de Michelson-Morley 2.2. Postulados de la relatividad especial . . . . . 2.3. Transformaciones de Lorentz Simples . . . . 2.4. Aclaraciones . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Cinem´ atica relativista 3.1. La relatividad del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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III

´INDICE GENERAL

IV

3.1.2. Dilataci´on temporal . . . . . . . . . 3.2. La relatividad de la longitud . . . . . . . . 3.3. La relatividad del movimiento . . . . . . . 3.3.1. Teorema de adici´on de velocidades 3.3.2. Transformaci´on de la aceleraci´on . 3.3.3. Efecto Doppler longitudinal . . . . 3.4. L´ımites a altas y bajas velocidades . . . . . 3.4.1. El l´ımite cl´asico . . . . . . . . . . 3.4.2. El l´ımite ultrarelativista . . . . . . .

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4. Din´ amica relativista 4.1. El momento relativista . . . . . . . . . . . . 4.2. La energ´ıa relativista . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Energ´ıa cin´etica cl´asica . . . . . . . . 4.2.2. Energ´ıa cin´etica relativista . . . . . . 4.3. La masa en reposo . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. La masa de los quarks . . . . . . . . 4.3.2. El mecanismo de Brout-Englert-Higgs 4.4. La relaci´on energ´ıa y momento . . . . . . . . 4.4.1. El fot´on . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Decaimiento de part´ıculas . . . . . . 4.4.3. Fisi´on Nuclear . . . . . . . . . . . .

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´ PARTE II: FUNDAMENTOS GEOMETRICOS 5. Estructura de Espacio-Tiempo 5.1. La geometr´ıa Euclidiana del espacio . 5.2. Estructuras de espacio-tiempo . . . . 5.2.1. Espacio-tiempo cl´asico . . . . 5.2.2. Espacio-tiempo de Poincar´e . 5.2.3. Espacio-tiempo de Minkowski 5.3. La estructura de cono de luz . . . . . 5.3.1. El principio de causalidad . .

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6. La Geometr´ıa de la Cinem´ atica Relativista 6.1. Distorsi´on Angular . . . . . . . . . . . . 6.2. Cinem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Relatividad de la simultaneidad . 6.2.2. Dilataci´on temporal . . . . . . . . 6.2.3. Contracci´on de Fitzgerald-Lorentz 6.3. Hip´erbolas invariantes . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

V

6.3.1. La paradoja de los gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. La rapidez hiperb´olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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PARTE III: FUNDAMENTOS ALGEBRAICOS 7. El Grupo de Lorentz 7.1. Grupo Abstracto . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. El grupo de Lorentz simple . . . . . . . . . . . 7.3. El grupo de Lorentz en general . . . . . . . . . 7.3.1. El tensor m´etrico . . . . . . . . . . . . 7.3.2. El grupo de Lorentz restringido . . . . 7.4. Transformaciones de Lorentz restringidas . . . ´ 7.5. Algebra del Grupo de Lorentz . . . . . . . . . 7.5.1. Los generadores del grupo de Lorentz . 7.5.2. Representaciones del Grupo de Lorentz 7.5.3. Representaciones tensoriales . . . . . .

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´ 8. Algebra de Tensores 8.1. Notaci´on de ´ındices de Einstein . 8.2. Operaciones tensoriales . . . . . 8.3. Tensores especiales . . . . . . . 8.3.1. Boost de Lorentz . . . . 8.3.2. Tensores isotr´opicos . . 8.3.3. Tensores Dual . . . . . .

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9. Formulaci´ on Covariante: Mec´ anica 9.1. Variables cinem´aticas . . . . . . . 9.1.1. La cuadri-velocidad . . . 9.1.2. La cuadri-aceleraci´on . . . 9.2. Variables din´amicas . . . . . . . . 9.2.1. El cuadri-momento . . . . 9.2.2. La fuerza de Minkowski . 9.2.3. La masa invariante . . . . 9.3. Colisiones de part´ıculas puntuales 9.4. El cohete relativista . . . . . . . .

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10. Formulaci´ on Covariante: Electrodin´ amica 10.1. Representaci´on vectorial . . . . . . . . . 10.2. Representaci´on tensorial . . . . . . . . . 10.2.1. La cuadri-corriente . . . . . . . . 10.2.2. El cuadri-potencial . . . . . . . . 10.2.3. Tensor electromagn´etico . . . . .

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´INDICE GENERAL

VI

10.3. Ecuaciones de Maxwell covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.3.1. Ley de Gauss y de Ampere-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.3.2. Ley de Gauss magn´etica y de Faraday . . . . . . . . . . . . . . 143 Ap´endices A. Ondas Arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . B. El experimento real de Michelson-Morley . . C. El electronvoltio . . . . . . . . . . . . . . . D. Generadores del Grupo de Lie . . . . . . . . E. Operadores diferenciales del c´alculo vectorial F. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . .

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Prefacio El presente texto es el resultado de las clases de relatividad especial que dict´e para los estudiantes de la carrera de f´ısica de la Universidad Nacional de Colombia durante los dos semestre del 2013. A pesar de la amplia y excelente oferta de textos sobre el tema, no encontr´e un texto que cubriera de forma integral y a un nivel b´asico tanto los aspectos f´ısicos, como los geom´etricos y algebraicos que surgen de los principios de la relatividad. En los textos m´as tradicionales, los autores generalmente hacen e´ nfasis en el desarrollo hist´orico y en las evidencias experimentales que motivaron las ideas de Einstein, complementados con amplias discusiones conceptuales y las tradicionales consecuencias en cinem´atica y din´amica, mientras que aspectos como las consecuencias geom´etricas quedan limitadas a algunos comentarios aislados o en alg´una secci´on dentro de un cap´ıtulo. Adem´as, el tratamiento moderno del c´alculo tensorial no se menciona, o se limita a una introduci´on b´asica de los cuadri-vectores. La mayor´ıa de textos que incluyen el lenguaje geom´etrico y tensorial, son textos m´as especializados dirigidos generalmente a estudiantes de niveles avanzados y enfocados hacia la relatividad general y a la teor´ıa cu´antica de campos. Debido a la activa investigaci´on en f´ısica te´orica y a la gran variedad de experimentos destinados a la b´usqueda de nueva f´ısica, se ha vuelto primordial que los estudiantes desde los cursos fundamentales, empiecen a familiarizarse con la notaci´on moderna y su relaci´on con los temas actuales de la investigaci´on. En el caso de la relatividad, si bien es una teor´ıa que se construy´o de forma completa desde hace m´as de un siglo, su vigencia sigue siendo actual y es el eje central que soporta la investigaci´on de frontera en a´ reas como la f´ısica de part´ıculas y la cosmolog´ıa. As´ı, problemas actuales a nivel de part´ıculas elementales como el fen´omeno de oscilaci´on de neutrinos, el reciente descubrimiento del bos´on de Higgs, la b´usqueda de la llamada supersimetr´ıa, etc, o a nivel cosmol´ogico como la b´usqueda de las ondas gravitacionales, el problema de la cuantizaci´on de la gravedad, las evidencias de la llamada materia oscura y energ´ıa oscura, etc, son temas de una investigaci´on intensa tanto te´orico como experimental, y que adem´as de cumplir con los postulados de la relatividad especial, se soportan en principios fundamentales inspirados en la relatividad. Surge entonces la necesidad de que los estudiantes no solamente aprendan los conceptos b´asicos y generales, sino que adem´as vean el alcance de tales conceptos y su importancia en el contexto de problemas actuales. El prop´osito principal de e´ ste texto es iniciar al estudiante en los principios de la relatividad especial cubriendo de forma integral y concisa tres enfoques. Primero, evitando largas discusiones conceptuales, se introducen los postulados de la relatividad especial contrastado con la relatividad cl´asica, y sus consecuencias fenomenol´ogicas en situaciones f´ısicas concretas. Segundo, se replantea la cinem´atica relativista usando un lenguaje puramente geom´etrico en el contexto de los diagramas de espacio-tiempo, donde se enfatiza la importancia de los principios de invariancia usando rotaciones de ejes espacio-temporales. Finalmente, y relacionado con los dos enfoques anteriores, se hace una introducci´on formal al lenguaje del a´ lgebra tensorial como una herramienta eficien-

te para introducir principios de invariancia y describir las variables f´ısicas, yendo m´as all´a de los b´asicos cuadri-vectores. Como aplicaci´on, se replantea de nuevo la cinem´atica y din´amica de la relatividad en el lenguaje tensorial, y se hace una introducci´on a la formulaci´on covariante de la electrodin´amica. Como resultado de la propuesta, se espera que el estudiante, primero, adquiera una visi´on global e integral de la relatividad especial visto desde los tres enfoques. Segundo, que el estudiante adquiera destresas no solamente en el planteamiento y soluci´on de problema relativistas usando a´ lgebra tradicional, si no que adicionalmente aproveche herramientas como los diagramas de espacio-tiempo desde el punto de vista geom´etrico y del c´alculo tensorial desde un punto de vista algebraico para plantear, entender y resolver problemas, lo que le permita en el futuro tener las herramientas b´asicas para iniciarse en un trabajo de investigaci´on en las a´ reas afines de forma m´as r´apida y fluida.

Introducci´on

Uno de los prop´ositos de la f´ısica es la de lograr describir la mayor cantidad de fen´omenos observados en la naturaleza con la m´ınima cantidad de suposiciones iniciales, incluso aunque los fen´omenos muchas veces parecen ser muy distintos. En la historia moderna de la ciencias, hay muchos ejemplos de hechos diferentes que se han logrado entender bajo una u´ nica visi´on, o al menos en relaci´on muy pr´oxima. La ca´ıda libre de los objetos en la superficie de la Tierra, el movimiento de los planetas alrededor del Sol, la din´amica de las estrellas y galaxias en el Universo observable, etc, se describen de forma aproximada con una u´ nica ley: la ley gravitacional de Newton. Las reglas que obedecen los circuitos el´ectricos, los fen´omenos magn´eticos, la o´ ptica de la luz, la radiaci´on de part´ıculas cargadas, etc, se logran describir cl´asicamente con solamente 4 ecuaciones fundamentales: las ecuaciones de Maxwell. Para citar un ejemplo m´as actual, la interacci´on de fotones muy energ´eticos con la materia y los procesos de decaimiento radioactivo de la materia como el decaimiento beta, se logran describir por un principio com´un de simetr´ıas: el modelo est´andar electrod´ebil. En ese esfuerzo de encontrar una relaci´on com´un entre diferentes fen´omenos, la f´ısica ha logrado identificar en los principios de relatividad, un conjunto de premisas fundamentales que deben ser obedecidas por las teor´ıas f´ısicas, y que logr´o su m´aximo alcance con la fomulaci´on de la relatividad especial. B´asicamente, un principio de relatividad es un principio de invariancia entre diferentes sistemas de referencias [inerciales] relacionado con alg´un par´ametro o alguna ley f´ısica. En particular, los postulados de la relatividad especial tienen un alcance tal que hasta donde sabemos, se cumple para todas las leyes de la f´ısica conocidas, y que tiene consecuencias dram´aticas en la concepci´on cl´asica de los fen´omenos. Con el prop´osito de lograr un entendimiento integral, aunque introductorio de la relatividad especial, el presente texto se divide en tres partes: primero, los fundamentos f´ısicos, donde se exponen las consecuencias f´ısicas de los principios de la relatividad a nivel de la mec´anica. 1

Segundo, los fundamentos geom´etricos, en la cual se reinterpreta la concepci´on del espacio y del tiempo bajo el contexto de los principios. Tercero, los fundamentos algebraicos, donde despu´es de una revisi´on puramente matem´atica, se reformulan las leyes de la mec´anica y la electrodin´amica en el lenguaje formal y moderno de los tensores.

Parte I Fundamentos F´ısicos

3

CAP´ITULO

1

La relatividad cl´asica

Existen diferentes principios de relatividad planteados en el contexto de situaciones f´ısicas particulares. Incluso, la relatividad especial tuvo su origen puntual en los fen´omenos electromagn´eticos, particularmente en los problemas asociados a la propagaci´on de la luz. Sin embargo, fue Einstein quien por primera vez formul´o un principio de relatividad que no solamente abarcaba los fen´omenos electromagn´eticos, sino que adem´as cambiaba de forma dram´atica nuestra concepci´on del espacio, el tiempo y la energ´ıa, afectando a todos los fen´omenos f´ısicos conocidos, desde la mec´anica hasta la f´ısica subat´omica. En este cap´ıtulo haremos primero una revisi´on b´asica y discutiremos algunas consecuencias del principio de relatividad cl´asico asociados a las part´ıculas puntuales. Posteriormente, describir´emos la relatividad asociada a las ondas mec´anicas, donde se entender´a desde el punto de vista mec´anico algunos resultados de los fen´omenos ondulatorios, lo cual ser´a de importancia central para contextualizar las interpretaciones que los f´ısicos de finales del siglo XIX daban a algunos de los experimentos con luz.

1.1.

Definiciones b´asicas

Antes de abordar el caso de la relatividad cl´asica, es fundamental establecer las definiciones m´as b´asicas del lenguaje de la relatividad. 1. Evento: Intuitivamente, un evento es un hecho f´ısico que ocurre en cierta regi´on limitada de espacio y que tiene una duraci´on en un intervalo de tiempo dado. Sin embargo, formalmente, lo vamos a definir como un punto matem´atico asociado a una posici´on y un instante de tiempo espec´ıficos, y que representa un hecho f´ısico 5

´ CAP´ITULO 1. LA RELATIVIDAD CLASICA

6

puntual. En la pr´actica, los eventos se asemejan m´as a nuestra idea intuitiva que a la formalmente definida. Sin embargo, la definici´on formal es compatible con la realidad si asumimos que los fen´omenos f´ısicos se pueden reproducir como una sucesi´on continua de eventos puntuales, que de ahora en adelante simplemente los vamos a llamar eventos. Ejemplos de eventos son: una part´ıcula ubicada en una posici´on r(t) en el instante de tiempo t, la colisi´on de dos part´ıculas [puntuales] en un punto, el decaimiento de un n´ucleo en un instante t, etc. 2. Sistema Inercial: El principio de relatividad especial se plantea en sistemas de referencia donde se cumple la ley de inercia de Galileo generalizada en la primera ley de Newton. Para que dicha ley se cumpla, el sistema inercial debe asociarse a cuerpos en movimiento rectil´ıneo y uniforme. As´ı, un sistema inercial lo definiremos simplemente como un conjunto de cuerpos no acelerados. 3. Observador Inercial: El proceso de medici´on en relatividad especial es una parte fundamental en la concepci´on misma del tiempo y el espacio. Para incorporarlo de forma natural, es necesario ampliar el concepto de sistema inercial e incluir los instrumentos de observaci´on. As´ı, se define un observador inercial como un conjunto compuesto por un sistema de ejes coordenados inerciales, reglas y relojes que permiten registrar en “tiempo real” las posiciones y los tiempos de los eventos, es decir, en el lugar exacto donde ocurren y en el instante cuando ocurren. Para que esta definici´on tenga sentido, es necesario garantizar siempre que haya una regla y un reloj en cada uno los puntos del sistema coordenado donde pueden ocurrir los eventos.

1.2.

Las transformaciones de Galileo

La relatividad cl´asica de las part´ıculas puntuales fue establecida originalmente por Galileo, y soportadas en un conjunto de ecuaciones conocidas como las transformaciones de Galileo. Con el prop´osito de comparar las diferentes relatividades, vamos a clasificar las transformaciones en los siguientes dos postulados: 1. Invariancia del intervalo de tiempo Si ∆t representa el intervalo de tiempo entre dos eventos medido por un observador inercial Σ, y ∆t 0 el medido por otro observador inercial Σ0 en movimiento relativo respecto a Σ, se cumple la relaci´on: ∆t = ∆t 0 ,

(1.1)

es decir, los intervalos de tiempo entre eventos son los mismos para todo observador inercial.

1.3. LA RELATIVIDAD DE LAS PART´ICULAS PUNTUALES

7

2. Transformaci´on de la posici´on La Figura 1.1 representa los ejes coordenados de dos observadores inerciales, Σ y Σ0 , en movimiento relativo con velocidad relativa u, y P representa un evento que ocurre en las posiciones mostradas y en el instante de tiempo t, que de acuerdo a la invariancia del tiempo, es el mismo para ambos observadores. Realizando una simple suma de vectores y teniendo en cuenta que u = dR dt , se puede demostrar que las posiciones de P cumplen la relaci´on vectorial: r0 (t) = r(t) − ut,

Σ’

u

P

Σ

r

r’

R

(1.2) Figura 1.1

donde R es la posici´on relativa entre observadores y donde se asume que sus or´ıgenes coinciden en el tiempo t = 0. Es importante enfatizar que la regla de transformaci´on (1.2) se cumple bajo la suposici´on de la invariancia de tiempo, la cual no ser´a cierta en relatividad especial.

1.3.

La relatividad de las part´ıculas puntuales

El principio de relatividad de Galileo que rige el movimiento de las part´ıculas puntuales en el contexto de la mec´anica cl´asica, se puede enunciar de la siguiente forma: Las leyes cl´asicas de la din´amica deben ser las mismas para cualquier observador inercial Existen dos formas equivalentes de enunciar el principio de relatividad cl´asico: à Las leyes de Newton son invariantes bajo las transformaciones de Galileo. à Es imposible medir la velocidad absoluta de un cuerpo usando solamente experimentos din´amicos. Es importante enfatizar que este principio de relatividad no es exacto y no se extiende a todos los fen´omenos de la naturaleza. Solamente se cumple de forma aproximada en fen´omenos asociados a la din´amica de part´ıculas puntuales y a bajas velocidades [en relaci´on a la velocidad de la luz]. Tambi´en es necesario hacer notar que el principio no se cumple en los fen´omenos asociados a ondas mec´anicas, aunque las transformaciones de Galileo sigan siendo v´alidas. A continuaci´on, se discutir´an algunas consecuencias de la relatividad de Galileo.

1.3.1.

Teorema de adici´on de velocidades

Si un observador inercial Σ mide que una part´ıcula tiene una velocidad v, usando las transformaciones de Galileo expresadas por las ecuaciones (1.1) y (1.2), se puede

´ CAP´ITULO 1. LA RELATIVIDAD CLASICA

8

calcular la velocidad de esa misma part´ıcula medida por otro observador Σ0 que se mueve con velocidad u relativa a Σ: d dr0 (t 0 ) dr0 (t) = = (r(t) − ut) = v − u, dt 0 dt dt que corresponde al teorema cl´asico de adici´on de velocidades. v0 =

1.3.2.

(1.3)

Invariancia de la aceleraci´on

Considerando los mismos observadores del caso anterior, si a es la aceleraci´on de la part´ıcula medida por Σ, se puede demostrar con el mismo procedimiento anterior que la aceleraci´on en Σ0 es: a0 = a.

(1.4)

As´ı, las aceleraciones al igual que el tiempo, son las mismas para todos los observadores inerciales, o dicho de otra forma, la aceleraci´on es invariante bajo las transformaciones de Galileo.

1.3.3.

La fuerza y masa inercial cl´asicos

En mec´anica cl´asica, el concepto de fuerza es fundamental en la descripci´on de la din´amica. La raz´on de ello es porque las leyes de Newton y el principio de relatividad de Galileo, permiten definir la fuerza con dos propiedades importantes: la fuerza es una cantidad invariante y absoluta. Para mostrar c´omo se obtienen estas propiedades, partamos de la premisa que las leyes de la din´amica se rigen por las leyes de Newton, por lo que deben cumplir con el principio de relatividad de Galileo. 1. Primera ley: Como consecuencia de la primera ley de Newton, si un observador inercial Σ mide que una part´ıcula se mueve uniformemente (su velocidad es constante), entonces la fuerza sobre la part´ıcula debe ser nula. Si otro observador inercial Σ0 en movimiento relativo mide la velocidad de esa misma part´ıcula aplicando el teorema de adici´on de velocidades seg´un la ecuaci´on (1.3), tambi´en medir´a que es constante, es decir, la fuerza seguir´a siendo nula. As´ı, si una fuerza es cero para un observador inercial, ser´a cero para todos los observadores inerciales. Decimos entonces que la fuerza es una cantidad absoluta. 2. Segunda ley: La segunda ley de Newton define matem´aticamente la fuerza como el producto entre la masa inercial m y la aceleraci´on de una part´ıcula. Entonces, el observador Σ escribe la ecuaci´on en la forma F = ma. Por el principio de relatividad, el observador Σ0 debe escribir la misma ley para su propio sistema coordenado inercial, es decir F0 = m0 a0 . Como la aceleraci´on es la misma para ambos observadores, se encuentra la igualdad:

´ 1.4. LA RELATIVIDAD DE LAS ONDAS MECANICAS

9

F F0 = . (1.5) 0 m m Si definimos la masa inercial como una propiedad intr´ınseca de la materia independiente del sistema de referencia, de acuerdo a (1.5) se puede definir la fuerza como una cantidad invariante. As´ı, si m0 = m entonces F0 = F. Tambi´en se puede ver en forma inversa: si la fuerza es invariante, entonces la masa tambi´en va a ser invariante. De esta manera, del principio de relatividad y de la segunda ley de Newton se derivan dos propiedades importantes de la mec´anica cl´asica: la fuerza sobre los cuerpos y la masa inercial de los cuerpos se definen cl´asicamente tal que sean las mismas para todos los observadores inerciales, es decir, la fuerza y la masa en mec´anica cl´asica son cantidades invariantes.

1.4.

La relatividad de las ondas mec´anicas

Otra clase de fen´omenos observados en la naturaleza son aquellos asociados a las ondas mec´anicas, que exhiben una cinem´atica y una relatividad diferentes al de las part´ıculas. Primero, mientras que la propagaci´on de un objeto se describe como el movimiento localizado de materia en el espacio, una onda mec´anica describe la propagaci´on de una deformaci´on local en un medio material, donde cada parte del medio sufre peque˜nos corrimientos alrededor de un punto fijo en el espacio, pero no se desplaza junto a la deformaci´on. As´ı, lo que nos interesa es describir c´omo esa deformaci´on se extiende a lo largo del medio. Segundo, la cinem´atica de las ondas est´a determinada por un conjunto adicional de par´ametros asociados a la deformaci´on, y que no aparecen en el movimiento de las part´ıculas puntuales, como la amplitud, el periodo, la frecuencia, etc.. Para el prop´osito de la presente discusi´on, nos limitamos a las llamadas ondas arm´onicas, cuyas propiedades se resumen en el Ap´endice A. Las propiedades relativistas de los movimientos ondulatorios vienen descritas por la ecuaci´on de onda, la cual cumple con el siguiente principio de relatividad La ecuaci´on de onda de una onda mec´anica es la misma sin importar el movimiento de la fuente. Depende del movimiento del observador inercial respecto al medio Como un corolario del principio anterior, se tiene la siguiente propiedad: à Las velocidad de una onda mec´anica es independiente del movimiento de la fuenta que la produce. Depende de las propiedades del medio y del movimiento del observador inercial respecto al medio. Hay que enfatizar que aunque la naturaleza de los fen´omenos ondulatorios y de part´ıculas puntuales son muy diferentes, la relaci´on de la posici´on, tiempo y velocidad de la

´ CAP´ITULO 1. LA RELATIVIDAD CLASICA

10

onda entre distintos observadores inerciales sigue siendo gobernada por las transformaciones de Galileo. Para estudiar las consecuencias del principio de relatividad anterior, es necesario usar la relaci´on de dispersi´on descrita en el Ap´endice A en t´erminos de la longitud de onda λ : c = cT, (1.6) f donde c es la velocidad de la onda, f la frecuencia y T el periodo. Para enmarcar la discusi´on en un contexto f´ısico conocido, vamos a considerar ondas sonoras. λ=

1.4.1.

Retraso longitudinal

En la siguiente situaci´on, el sistema f´ısico coincide con el observador: Un parlante emite un pulso de sonido hacia una pared r´ıgida ubicada a una distancia L. El pulso se refleja en la pared y se devuelve en direcci´on opuesta hacia el parlante, donde es detectada por un micr´ofono. Calcular el tiempo total entre la emisi´on y la detecci´on del pulso si a.) el sistema f´ısico se encuentra en reposo respecto al medio (la atm´osfera) y b.) el sistema se mueve con velocidad u en direcci´on de emisi´on del pulso.

ΣM

c

En el caso a.), el sistema de referencia del observador coincide con el sistema en reposo del medio ΣM , como se ilustra en la Figura 1.2. Es evidente de la figura que el tiempo total de ida y regreso del pulso es:

-c

0

L Figura 1.2

Σ’

u

ΣM

c

-c

Figura 1.3

t=

2L . |c|

(1.7)

En el caso b.), el observador Σ0 se encuentra en movimiento respecto al medio, como se muestra en la Figura 1.3. Aunque el parlante (y la pared) se encuentra en movimiento, la velocidad del pulso respecto al medio sigue siendo c por el principio de relatividad para ondas. As´ı, para el pulso de ida, de acuerdo al teorema de adici´on de la ecuaci´on (1.3), si identificamos v0 = c0 como la velocidad de la onda medida por Σ0 , v = c la velocidad de la onda respecto al medio ΣM y u = u la velocidad de Σ0 respecto a ΣM , entonces se cumple que c0 = c − u. Para el pulso de vuelta, se cambia c0 por c00 y c por −c, por lo que el observador mide c00 = −c − u. As´ı, asumiendo que la rapidez del sistema no es mayor a la del sonido, el tiempo total de viaje medido por Σ0 es: 0 0 t 0 = tida + tvuelta =

= =

L L + 00 0 |c | |c | L L + c−u c+u 2L . c (1 − u2 /c2 )

(1.8)

´ 1.4. LA RELATIVIDAD DE LAS ONDAS MECANICAS

11

La cantidad u2 /c2 aparece frecuentemente en relatividad, por lo que conviene escribirlo en t´erminos del siguiente par´ametro adimensional: u β= , c

(1.9)

por lo que el tiempo total de un pulso que viaja con la misma orientaci´on de movimiento del sistema es:

tk0 =

2L . c (1 − β 2 )

(1.10)

Si en lugar de un parlante emitiendo un pulso de sonido, se tiene un ca˜no´ n que dispara proyectiles, hubi´esemos obtenido que el tiempo de ida y vuelta de un proyectil con el sistema en movimiento ser´ıa el mismo que con el sistema en reposo, en concordancia con el principio de relatividad de Galileo, que en e´ ste caso se interpreta de la siguiente forma: midiendo el tiempo de viaje de proyectiles, no es posible distinguir si el observador est´a en reposo o en movimiento respecto al medio. En contraste, en el caso de las ondas, observamos que el tiempo medido con el sistema en reposo (ecuaci´on (1.7)) difiere del tiempo medido con el sistema en movimiento (ecuaci´on (1.10)), debido al factor β , que contiene justamente la velocidad del sistema respecto al medio. As´ı, por medio de un experimento con ondas como el ilustrado, es posible determinar si un observador inercial est´a o no en reposo respecto a un sistema de referencia particular: el sistema del medio por donde se propaga la onda, lo que demuestra el alcance limitado del principio de relatividad de Galileo.

ΣM

c

Figura 1.4

1.4.2.

Retraso transversal

Rotemos ahora el sistema en un a´ ngulo de 900 hacia arriba. Si el sistema se encuentra en reposo respecto al medio, no hay ninguna diferencia con el caso a.) anterior, por lo que el tiempo de viaje sigue siendo el de la ecuaci´on (1.7). Sin embargo, cuando el sistema se mueve horizontalmente, las ondas se emitir´an transversales al movimiento de la fuente. En este caso, el frente de onda se propaga de acuerdo a la secuencia mostrada en la Figura 1.4, desde el instante en que se emite, pasando por el instante cuando se refleja en la pared y finalmente cuando vuelve al parlante. Al final, lo que interesa es calcular el tiempo de viaje del rayo de la porci´on del frente de onda que se detecta, representado por las flechas. Para la trayectoria de ida, el rayo describe la hipotenusa de un tri´angulo cuyo lado opuesto es la distancia L entre el parlante y la pared, y adyacente 0 , la distancia que alcanza a desplazarce el parlante durante el tiempo de ida, que es utida como se ilustra en la Figura 1.5. Usando el teorema de Pit´agoras, se obtiene: 02 c2tida =

L2 , 1−β2

ctida ’  

L

utida ’  

Figura 1.5

(1.11)

´ CAP´ITULO 1. LA RELATIVIDAD CLASICA

12

con β definido en la ecuaci´on (1.9). Como la distancia recorrida por el rayo de regreso es el mismo que el de ida, vamos a obtener el mismo resultado. As´ı, despejando el tiempo en la ecuaci´on (1.11) y multiplicando por dos, obtenemos el tiempo total de viaje del pulso emitido transversal al movimiento del sistema: 2L 0 t⊥ = p . c 1−β2

(1.12)

Al comparar el resultado anterior con el tiempo del pulso emitido paralelo a la di0 . As´ı, en recci´on del movimiento dado por la ecuaci´on (1.10), se comprueba que tk0 > t⊥ e´ ste experimento con ondas sonoras, no solamente podemos determinar si un observador se encuentra en movimiento respecto al medio, sino que adem´as, podemos determinar su direcci´on de movimiento relativa a la direcci´on de propagaci´on de la onda. Como se ver´a en el pr´oximo cap´ıtulo, e´ ste mismo experimento se puede realizar con luz, que es la esencia del famoso experimento de Michelson-Morley.

1.4.3.

Efecto Doppler cl´asico

En la relatividad cl´asica de las ondas se pueden distinguir diferentes efectos Doppler seg´un el movimiento relativo entre la fuente y el observador. Ilustramos un caso en detalle, de acuerdo a la siguiente situaci´on f´ısica: Un parlante emite un pulso de sonido a una frecuencia fF hacia un observador que lo detecta. Calcular la frecuencia del pulso medida por el observador si a.) el observador se encuentra en reposo respecto al medio y el parlante se mueve hacia el observador con rapidez u y b.) el parlante se encuentra en reposo y el observador se mueve hacia el parlante con rapidez u.

ΣF

ΣO

u

c

A primera vista, pareciera que ambos casos son equivalentes. De hecho si el problema fuera con part´ıculas, no habr´ıa ninguna diferencia si la fuente se mueve hacia el observador o si es el observador el que se mueve hacia la fuente, que es consecuencia del principio de relatividad de Galileo. Pero en este caso con ondas, se ver´a que las dos situaciones llevan a diferentes soluciones, lo que muestra de nuevo las diferencias entre la relatividad de las part´ıculas puntuales y la de las ondas mec´anicas. En el diagrama de la Figura 1.6 se muestra la situaci´on del caso a.) visto desde el sistema del observador en reposo ΣO , donde ΣF es el sistema de la fuente en movimiento. De acuerdo a la relaci´on de dispersi´on de la ecuaci´on (1.6), la longitud de onda medida por el observador en reposo es:

Figura 1.6 λO =

c , fO

(1.13)

donde fO es la frecuencia medida por el observador. Sin embargo, e´ sta frecuencia no es la misma que la emitida por la fuente. La raz´on es que los pulsos van a salir mas cercanos uno a otro debido al desplazamiento continuo de la fuenta. Para ilustrar e´ sto, la gr´afica

´ 1.4. LA RELATIVIDAD DE LAS ONDAS MECANICAS

13

de la Figura 1.7 muestra la secuencia de emisi´on de dos frentes de onda, 1 y 2, el primero en el tiempo cero, y el segundo despu´es de un periodo TF , correspondiente al periodo de emisi´on. Como se puede ver en la segunda gr´afica, el parlante se ha movido una distancia uTF , mientras que el primer pulso ha avanzado la distancia cTF . De la figura, se deduce que la longitud de onda medida por el observador y que coincide con la distancia entre los dos pulsos es: c−u λO = (c − u)TF = , (1.14) fF donde en la segunda igualdad se us´o la definici´on T = 1/ f . Igualando las ecuaciones (1.14) y (1.13), se obtiene que la frecuencia medida por el observador es:

1  

cTF

2  

1  

uTF

Figura 1.7

fF fO = , (1.15) 1−β con β el factor definido en (1.9). Como la velocidad es hacia el observador, el factor β es positivo, lo que implica que la frecuencia detectada fO es mayor a la frecuencia emitida fF . Sin embargo, e´ sa misma ecuaci´on se aplica tambi´en al caso en que la fuente se aleja del observador, con la diferencia de que el factor β se vuelve negativo, por lo que en ese caso la frecuencia detectada va a ser menor a la emitida. El caso b.) se puede resolver de la misma forma. La diferencia fundamental radica en que el observador, el cual ahora est´a en movimiento, mide una velocidad del sonido dada por c0 = c + u, de acuerdo al teorema de adici´on de velocidades. As´ı, para e´ ste caso, las ecuaciones (1.13) y (1.14) se convierten en: c0 c0 − u = (c0 − u)TF = . (1.16) fO fF Reemplazando la velocidad c0 = c + u en la ecuaciones anteriores y despejando en t´erminos de las frecuencias, se obtiene para el efecto Doppler con fuente en reposo que: λO =

fO = fF (1 + β ),

(1.17)

la cual claramente difiere del resultado para el efecto Doppler con fuente en movimiento dado por (1.15).

Problema 1: Demuestre que para el caso m´as general en que tanto la fuente como el observador se mueven con velocidades u y v en relaci´on al medio, respectivamente, la frecuencia medida por el observador es:   1 − v/c . (1.18) fO = fF 1 − u/c

14

´ CAP´ITULO 1. LA RELATIVIDAD CLASICA

CAP´ITULO

2

La relatividad especial

En el cap´ıtulo anterior describimos los principios de relatividad para part´ıculas puntuales y ondas mec´anicas. En e´ ste cap´ıtulo extenderemos la descripci´on a la relatividad de la propagaci´on de la luz, de la cual se desprender´a de forma natural la necesidad de reformular los principios de relatividad cl´asicos a una nueva relatividad. En particular, la discusi´on se centra en el hist´orico experimento de Michelson-Morley. Motivado por la evidencia experimental, formularemos los dos postulados de la relatividad. Finalmente, obtendremos las transformaciones de Lorentz simples asumiendo la validez de los postulados y aplicados en situaciones f´ısicas particulares. A continuaci´on haremos una descripci´on simplificada del experimento de MichelsonMorley, que aunque irrealizable, destaca las ideas esenciales que nos permitir´a entender la necesidad de formular una nueva relatividad. Una descripci´on mas realista del experimento se muestra en el Ap´endice B.

2.1.

Experimento idealizado de Michelson-Morley

Durante el siglo XIX, las numerosas evidencias experimentales recolectadas de los fen´omenos el´ectricos y magn´eticos condujeron a una formulaci´on matem´atica unificada desarrollada por James C. Maxwell y sintetizadas en 4 ecuaciones fundamentales, conocidas hoy en d´ıa como las ecuaciones de Maxwell. En particular, dicha formulaci´on era compatible con la naturaleza ondulatoria de la luz. En electrodin´amica cl´asica, la luz se describe como una onda de campos el´ectricos y magn´eticos que se propaga en el espacio a una velocidad enorme pero finita de aproximadamente 3 × 108 m/s. Puesto que los u´ nicos fen´omenos ondulatorios conocidos en la e´ poca eran las ondas mec´anicas, los f´ısicos le dieron inicialmente una interpretaci´on de naturaleza mec´anica a los procesos 15

CAP´ITULO 2. LA RELATIVIDAD ESPECIAL

16

de propagaci´on de la luz, lo que en particular presum´ıa las siguientes propiedades: 1. La luz deb´ıa ser la propagaci´on de perturbaciones en un medio material. Puesto que los objetos astron´omicos son visibles, dicho medio deb´ıa llenar completamente el Universo y poseer propiedades extraordinarias para ser indetectable por otros medios diferentes a la de la luz. A dicho medio se le di´o el nombre de e´ ter lumin´ıfero. 2. La velocidad de la luz es independiente del movimiento de la fuente. S´olo depende del movimiento del observador a trav´es del e´ ter. De acuerdo a lo descrito en el cap´ıtulo anterior, una forma de detectar la existencia del e´ ter es midiendo nuestra [de la Tierra] velocidad relativa por medio de experimentos con ondas luminosas. Por ejemplo, por medio de la diferencia de tiempos de rayos de luz viajando transversal y horizontalmente a la direcci´on de movimiento, se puede inferir el factor beta de las ecuaciones (1.10) y (1.12). Para eso, se plantea el siguiente montaje experimental: Espejo  

L

B  

Espejo  

A  

Láser  

L

Un l´aser de luz monocrom´atica se orienta en direcci´on de movimiento de la Tierra. El rayo de luz se divide en dos haces perpendiculares, A y B, a trav´es de un espejo semitransparente orientado a 450 respecto al rayo principal. A una distancia L se encuentran dos espejos reflectores donde incide cada haz, los cuales regresan al espejo semitransparente y se recombinan sobre una pantalla, como se muestra en la Figura 2.1

Pantalla  

Figura 2.1

Si suponemos que la Tierra se mueve hacia la derecha, el haz A regresa al espejo semi0 transparente despu´es del tiempo tk0 de (1.10), mientras que el B lo har´a en el tiempo t⊥ de (1.12). As´ı, el rayo A llega con un retraso respecto al B dado por la diferencia:

0 ∆t 0 = tk0 − t⊥ =

=

2L 2L − p 2 c (1 − β ) c 1 − β 2 2L c

1 1 −p 2 1−β 1−β2

! .

(2.1)

Si asumimos que el sistema de referencia del e´ ter coincide aproximadamente con el sistema en reposo del Sol, la velocidad de la Tierra a trav´es del e´ ter ser´a su velocidad orbital. Teniendo en cuenta que c es la velocidad de la luz, se obtendr´ıa un factor beta del orden de β = u/c ∼ 1 × 10−4 , que es una cantidad muy peque˜na. As´ı, una forma de simplificar la diferencia de tiempo en la ecuaci´on (2.1), es tomando los t´erminos

2.1. EXPERIMENTO IDEALIZADO DE MICHELSON-MORLEY

17

dominantes de hasta segundo orden en una expansi´on de Taylor en cada factor dentro del par´entesis:
−1 1−β2 ≈ 1+β2
−1/2 1 1−β2 ≈ 1 + β 2, 2 por lo que la diferencia de tiempo entre ambos rayos es aproximadamente: L ∆t 0 ≈ β 2 . c

(2.2)

Si realizamos un estimativo num´erico, para un montaje con L = 1 m y tomando c ≈ 3 × 108 m/s y β ≈ 1 × 10−4 , obtenemos diferencias de tiempo del orden de 3 × 10−17 s, que es una cantidad muy peque˜na, por lo que medir directamente tiempos no resulta pr´actico. Sin embargo, Michelson y Morley explotaron la propiedad de interferencia de las ondas para detectar de forma indirecta el efecto de la diferencia de los tiempos. Para entender el m´etodo usado en el experimento, vamos a asumir una situaci´on ideal suponiendo que 1.) los rayos de luz siguen un u´ nico camino o´ ptico, 2.) el espejo semitransparente divide el haz en dos rayos perfectamente perpendiculares entre s´ı, y los espejos reflejan los rayos en direcciones exactamente opuestas y 3.) la u´ nica fuente de retraso entre ambos rayos es debido al supuesto movimiento de la tierra a trav´es del e´ ter. Bajo tales condiciones, se puede realizar un estimativo simple de la intensidad de la luz que incide sobre la pantalla utilizando el c´alculo complejo para describir las oscilaciones de campos. Si EA y EB describen las componentes de campo el´ectrico de cada haz cuando inciden sobre la pantalla y asumimos que ambos rayos tienen la misma frecuencia angular ω, entonces los campos oscilan sobre la pantalla de acuerdo a las formas arm´onicas: 0

0

EA = E0 eiω(t +∆t ) ,

0

EB = E0 eiωt ,

(2.3)

donde se supone que ambos campos tienen la misma amplitud E0 y ∆t 0 es la diferencia de tiempo entre los rayos dada por la ecuaci´on (2.2). Si los rayos llegan en perfecta alineaci´on y sincron´ıa, sobre la pantalla se detecta un solo campo el´ectrico dado por:   0 0 0 E = EA + EB = E0 eiω(t +∆t ) + eiωt   iωt 0 iω∆t 0 = E0 e 1+e .

(2.4)

La intensidad observada es proporcional al cuadrado de la magnitud del campo el´ectrico total, es decir:

CAP´ITULO 2. LA RELATIVIDAD ESPECIAL

18

  I ∼ |E|2 = EE ∗ = 2E02 1 + cos (ω∆t 0 ) ,

(2.5)

donde hemos usado la ecuaci´on de Euler para expresar las exponenciales complejas en forma de funciones trigonom´etricas: eiy = cos(y) + i sin(y).

(2.6)

As´ı, se obtiene que la intensidad depende de la diferencia de tiempo ∆t 0 , la cual de acuerdo a la ecuaci´on (2.2) depende a su vez de la velocidad de la Tierra a trav´es del hipot´etico e´ ter. La gr´afica de la Figura 2.2 ilustra la forma en c´omo cambia la intensidad para diferentes valores del factor β . 2.0 1.5

I 1.0 0.5 0.0

0

0.5

b @¥ 10 D 1

1.5

2

-4

Figura 2.2

2.5

3

Por ejemplo, si β = 0, la intensidad detectada en la pantalla ser´a la m´axima. Pero si β ≈ 1.3×10−4 , la intensidad disminuye a la mitad. En el caso en que no se detecte nada sobre la pantalla (intensidad nula), es porque β = 1.7 × 10−4 . Para valores mayores, la intensidad oscila. Aunque la velocidad de la Tierra es una cantidad fija sobre la que no tenemos control, el efecto de la oscilaci´on se puede manifestar si se rota el sistema en un a´ ngulo α respecto a la direcci´on de movimiento. En ese caso la intensidad depender´a de la velocidad proyectada a lo largo de los rayos, tal que si α se hace variar, la intensidad cambiar´a en forma parecida a la descrita por la figura.

Aunque el m´etodo descrito es irrealizable en la pr´actica, ilustra la esencia del efecto usado para determinar la existencia del e´ ter. En el Ap´endice B se describe el montaje en forma m´as cercana al experimento original. Si trasladamos los resultados reales a lo que se obtendr´ıa en el experimento idealizado, los datos nos dar´ıan una intensidad m´axima y sin oscilaciones, que de acuerdo a la Figura 2.2, es compatible con un valor β = 0, es decir, los experimentos no detectaron un movimiento relativo respecto al e´ ter, lo que abri´o de nuevo las preguntas acerca de la verdadera naturaleza de la luz.

Problema 2: Si las distancias a los espejos reflectores son LA y LB recorridas por los rayos A y B respectivamente, calcule la diferencia de tiempo de los rayos cuando se recombinan. Calcule la diferencia de tiempo si el sistema se rota en 900 . Demuestre que hasta orden cuadr´atico, la resta entre las diferencias de tiempo es: ∆t00 0

0 − ∆t90 0

 ≈

LA + LB c



β 2.

(2.7)

2.2. POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

2.2.

19

Postulados de la relatividad especial

El resultado nulo de la detecci´on del e´ ter a trav´es del experimento de MichelsonMorley se sum´o a una serie de otros indicios de que hab´ıa algo mal en la teor´ıa. Inicialmente, los f´ısicos asociaron dichos problemas a la misma teor´ıa de Maxwell, y otros trataron de explicar los resultados de las mediciones planteando efectos adicionales del e´ ter que fueran compatibles con los resultados observados. Sin embargo, fu´e Albert Einstein qui´en finalmente encontr´o el origen de la inconsistencia. El problema estaba, primero, en la interpretaci´on mec´anica de la propagaci´on de la luz, y segundo, en la err´onea concepci´on del espacio y del tiempo de la mec´anica cl´asica, problema que los principios de relatividad cl´asicos y las transformaciones de Galileo heredaban, as´ı como las leyes de la din´amica, en concreto, la segunda y tercera ley de Newton. Para el primero de los problemas, Einstein evit´o el concepto del e´ ter asoci´andole a la luz una nueva naturaleza diferente a las part´ıculas puntuales y a las ondas mec´anicas. As´ı, la luz no son part´ıculas [cl´asicas] puntuales ni deformaciones de un medio propag´andose en el espacio. La luz es una onda de variaci´on de campos el´ectricos y magn´eticos que se pueden propagar independiente de la materia. As´ı, el resultado nulo en experimentos como el de Michelson-Morley es consecuencia de la inexistencia de un medio por donde se propague la luz en el espacio exterior. Para el segundo problema, Einstein plante´o un principio de relatividad a partir de los siguientes postulados : I. Postulado de relatividad: Las leyes f´ısicas deben ser las mismas para todos los observadores inerciales.

II. Postulado de la velocidad de la luz : La velocidad de la luz en el vac´ıo es la misma para todos los observadores inerciales, independiente de la direcci´on de propagaci´on y del movimiento de la fuente. El postulado I, a diferencia del principio de relatividad de Galileo, no se restringe solamente a las leyes din´amicas de las part´ıculas puntuales, sino que abarca la totalidad de los fen´omenos f´ısicos, incluyendo part´ıculas puntuales y fen´omenos electromagn´eticos (y hasta donde sabemos hoy en d´ıa, a cualquier fen´omeno f´ısico). El postulado II, comparte con las ondas mec´anicas la propiedad de que la velocidad es independiente del movimiento de la fuente. Sin embargo, la luz adem´as es independiente del movimiento del observador inercial, es decir, la velocidad de la luz es una constante universal que vale aproximadamente c = 3 × 108 m/s sin importar que el observador se acerque o se aleje de la fuente. Como consecuencia, las transformaciones de Galileo expresadas por las ecuaciones (1.1) y (1.2) resultan incompatibles con los postulados anteriores. As´ı,

20

CAP´ITULO 2. LA RELATIVIDAD ESPECIAL

se debe plantear un nuevo conjunto de transformaciones entre observadores inerciales que adopte los postulados. Otra consecuencia, es que las nuevas transformaciones que reemplacen a las de Galileo no van a dejar invariante a la segunda ley de Newton, lo que contradice al postulado I. Einstein asoci´o esta dificultad al hecho de que la segunda ley de Newton no es la “verdadera” ley que describe la din´amica de los cuerpos. As´ı, adem´as de un nuevo conjunto de transformaciones de tiempo y de posiciones, la relatividad especial trae consigo un nuevo conjunto de leyes din´amicas.

2.3.

Transformaciones de Lorentz Simples

Las transformaciones de Lorentz es el conjunto de relaciones de tiempo y posici´on entre observadores inerciales compatibles con los postulados de la relatividad especial, las cuales van a reemplazar a las de Galileo. Para el prop´osito de la discusi´on de los pr´oximos cap´ıtulos, es suficiente restringirnos a las transformaciones de Lorentz simples (TLS)1 , en la cual se adopta la siguiente configuraci´on est´andar entre dos observadores inerciales Σ y Σ0 : i.) Los ejes coordenados de ambos observadores son paralelos entre s´ı. ii.) Solamente existe movimiento relativo entre los observadores en direcci´on de los ejes x y x0 . iii.) Los relojes de los observadores se calibran tal que cuando los origenes de sus ejes coordenados coinciden, e´ stos marcan el tiempo t = t 0 = 0. Bajo la configuraci´on est´andar, no existe movimiento relativo en las direcciones (y, z), por lo que dichas coordenadas no cambian entre observadores, es decir cumplen las relaciones triviales y = y0 y z = z0 . As´ı, toda la discusi´on se reduce a la coordenada x y al tiempo. Como punto de partida, se plantea una relaci´on lineal general entre coordenadas y tiempos de la forma: x0 = Ax + Bt, t 0 = Dx + Et,

(2.8)

donde los coeficientes A, B, D y E son constantes desconocidas. Por ejemplo, una posibilidad es A = E = 1, B = −u y D = 0, con u la velocidad de Σ0 respecto a Σ. Reemplazando estos coeficientes en el sistema de ecuaciones (2.8), se reproducen las transformaciones de Galileo dadas por las ecuaciones (1.1) y (1.2) en la configuraci´on est´andar. As´ı, dicha escogencia de los coeficientes da un conjunto de transformaciones compatible con el principio de relatividad de Galileo. Sin embargo, tal escogencia no es apropiada bajo 1 La

extensi´on a las transformaciones de Lorentz generales no se abordar´a sino hasta el cap´ıtulo 7

2.3. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ SIMPLES

21

los postulados de la relatividad especial. Para deducir el nuevo conjunto de coeficientes, extraigamos las ideas esenciales de los dos postulados en tres principios fundamentales asociados a dos observadores en movimiento relativo: a.) Las leyes de la f´ısica son las mismas en Σ y Σ0 . b.) La velocidad de la luz es la misma en Σ y Σ0 . c.) La velocidad de la luz es la misma en todas direcciones en Σ y Σ0 . Partiendo de las transformaciones generales de la ecuaci´on (2.8), vamos a exigir cada una de las condiciones anteriores en el contexto de situaciones f´ısicas espec´ıficas.

a.) Las leyes de la f´ısica son las mismas en Σ y Σ0 Una ley f´ısica fundamental que se sigue cumpliendo en relatividad especial es la ley de inercia, que se enuncia de la siguiente forma: Si sobre un cuerpo no se ejercen fuerzas, e´ ste describir´a un movimiento rectil´ıneo uniforme. Para evaluar c´omo deben ser las transformaciones entre observadores para que la ley de inercia se mantenga igual, se plantea la siguiente situaci´on f´ısica: Dos particulas libres, 1 y 2, se mueven con velocidad relativa u. Sea Σ el observador donde la part´ıcula 1 se encuentra en reposo, y Σ0 donde la part´ıcula 2 est´a en reposo. Determinar las ecuaciones de transformaci´on que deja invariante la ley de la inercia.

Σ

u

Se asume que la fuerza es nula (pat´ıculas libres). La Figura 2.3 representa los coordenadas de las part´ıculas vistas desde cada observador, donde la part´ıcula en reposo se ubica en el or´ıgen del respectivo sistema. Si la ley de inercia es invariante, la aceleraci´on de las part´ıculas deben ser nulas para ambos observadores. As´ı, las ecuaciones cinem´aticas de posici´on determinadas por cada observador son:

2

1

x2(t2)

Σ’

-u

( x1 (t1 ) = 0 Desde Σ : x2 (t2 ) = ut2 ( x10 (t10 ) = −ut10 Desde Σ0 : x20 (t20 ) = 0,

1

2

x’1(t1’)

(2.9)

donde x1 (t1 ) y x10 (t10 ) identifican la posici´on en funci´on del tiempo de la part´ıcula 1 medidos por Σ y Σ0 respectivamente, mientras que x2 (t2 ) y x20 (t20 ) marca posiciones y tiempos

x

Figura 2.3

x’

CAP´ITULO 2. LA RELATIVIDAD ESPECIAL

22

de la part´ıcula 2. Observe que la ausencia de la acelereaci´on en las ecuaciones anteriores, es consecuencia de la suposici´on de que la ley de la inercia se cumple para ambos observadores. Las ecuaciones de transformaci´on en (2.8) aplicadas a cada part´ıcula se expresan como: ( x10 (t10 ) = Ax1 (t1 ) + Bt1 Part´ıcula 1: t10 = Dx1 (t1 ) + Et1 ( x20 (t20 ) = Ax2 (t2 ) + Bt2 Part´ıcula 2: (2.10) t20 = Dx2 (t2 ) + Et2 . Reemplazando las coordenadas espaciales dadas seg´un las ecuaciones (2.9) en las ecuaciones (2.10), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Part´ıcula 1:

Part´ıcula 2:

( −ut10 = Bt1 t10 = Et1 ( 0 = Aut2 + Bt2 t20 = Dut2 + Et2 .

(2.11)

Despejando los coeficientes, se obtiene que B = −uA y E = A. As´ı, las ecuaciones de transformaci´on general de (2.8) se reduce a las siguientes: x0 = A (x − ut) , t 0 = Dx + At,

Σ

c

(2.12)

lo que deja pendiente solamente dos coeficientes desconocidos: A y D. Para hallarlos se hace uso de los otros dos principios.

b.) La velocidad de la luz es la misma en Σ y Σ0 x(t)

Consideremos la siguiente situaci´on:

-u

Σ’

c x’(t’)

Figura 2.4

Una fuente emite un pulso de luz en direcci´on x desde su sistema en reposo Σ. Otro observador Σ0 se mueve con velocidad u constante respecto a la fuente. Determinar las ecuaciones de transformaci´on que deja invariante la velocidad de la luz. La Figura 2.4 ilustra la propagaci´on del pulso visto desde ambos observadores. Cl´asicamente, Σ0 medir´ıa una velocidad del pulso dada por c0 = c − u si se aplicara el teorema cl´asico de adici´on de velocidades. Sin embargo, dicho teorema es incompatible con el postulado de invariancia de la velocidad de la luz, la cual exige que c0 = c, tal como

2.3. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ SIMPLES

23

se escribe en la segunda figura. As´ı, las ecuaciones cinem´aticas del pulso seg´un cada observador son:

n x(t) = ct n : x0 (t 0 ) = ct 0 .

Desde Σ : Desde Σ0

(2.13)

Si las coordenadas anteriores se reemplazan en las ecuaciones de transformaci´on (2.12), se obtiene:

ct 0 = A (ct − ut) , t 0 = Dct + At.

(2.14)

Despejando los coeficientes, se obtiene que D = −Au/c2 . As´ı, las ecuaciones de transformaci´on compatibles con la invariancia de la velocidad de la luz son:

x

0

t0

A

y(t)

= A (x − ut) ,   −u = A x+t , c2

Σ

(2.15)

lo que reduce el sistema a una u´ nica inc´ognita: A. Para hallarla, se hace uso del principio de isotrop´ıa de la luz. Figura 2.5

c.) La velocidad de la luz es la misma en todas direcciones en Σ y Σ0 Tomemos de nuevo la situaci´on f´ısica del problema anterior, pero estudiando la propagaci´on de los pulsos en direcci´on y, esto es, perpendicular al movimiento relativo entre los observadores. Como la propagaci´on del pulso es independiente del movimiento del observador, el frente de onda se propaga igual sin importar que la fuente se vea o no en movimiento. Marquemos como A el punto del frente de onda que siempre viaja por encima de la fuente. La Figuras 2.5 muestra el progreso de A en el sistema Σ con la fuente en reposo, mientras que en la Figura 2.6 se muestre desde el sistema Σ0 , donde se ve la fuente moverse con velocidad −u. Por el principio de isotrop´ıa, en ambos sistemas la velocidad con que se propaga el punto A es la misma velocidad c. La distancia r0 (t 0 ) corresponde a la distancia diagonal recorrida por el punto visto desde Σ0 , mientras que (x0 (t 0 ), y0 (t 0 )) marca sus coordenadas cartesianas. As´ı, las ecuaciones cinem´aticas del punto A son:

Σ’

A

y’(t’)

r’(t’)

-u

x’(t’)

Figura 2.6

CAP´ITULO 2. LA RELATIVIDAD ESPECIAL

24

( x(t) = 0 (1) Desde Σ : y(t) = ct (2) ( x0 (t 0 ) = −ut 0 p Desde Σ0 : r0 (t 0 ) = ct 0 = x0 (t 0 )2 + y0 (t 0 )2

(3) , (4)

(2.16)

donde en la u´ ltima igualdad de (4) se us´o el teorema de Pit´agoras. Como no hay movimiento relativo en direcci´on y entre los observadores, se cumple trivialmente que y(t) = y0 (t 0 ). Teniendo en cuenta esto y las coordenadas de (2) y (3), la relaci´on (4) lleva a la siguiente igualdad: ct 0 =

p u2t 02 + c2t 2 ,

(2.17)

la cual al despejar, se obtiene la siguiente relaci´on de tiempos: t 02 =



 1 t 2 = γ 2t 2 . 1 − u2 /c2

(2.18)

1 , γ=p 1−β2

(2.19)

donde se defini´o el factor γ como:

con β = u/c. As´ı, vemos de la ecuaci´on (2.18) que a diferencia de la relatividad cl´asica, en relatividad especial el tiempo no es un invariante bajo transformaciones entre observadores inerciales. Si la coordenada dadas por (1) y (3) en las ecuaciones (2.16) y el tiempo dado por (2.18) se reemplazan en las ecuaciones de transformaci´on (2.15), se obtiene:

−uγt = A (0 − ut) ,   −u γt = A (0) + t , c2

(2.20)

de donde se deduce que A = γ. De esta forma, se determina la totalidad de coeficientes compatibles con los postulados de la relatividad especial, obteniendo finalmente las transformaciones de Lorentz simples (TLS):

x0 (t 0 ) = γ [x(t) − ut] , h i u t0 = γ t − 2 x(t) . c

(2.21)

2.4. ACLARACIONES

25

Problema 3: Usando las TLS, demuestre las siguientes derivadas parciales: ∂ x0 = γ, ∂x

∂ x0 = −γu, ∂t

∂t 0 γβ =− , ∂x c

∂t 0 =γ ∂t

(2.22)

Problema 4: De acuerdo a la electrodin´amica cl´asica, la componente de campo el´ectrico de un rayo de luz cumple con la siguiente ecuaci´on de onda: ∂ 2 E(x,t) 1 ∂ 2 E(x,t) = , ∂ x2 c2 ∂t 2

(2.23)

donde el campo E(x,t) es una funci´on de la coordenada y el tiempo medido por un observador Σ. Calcular la forma de la ecuaci´on de onda seg´un otro observador Σ0 que se mueve con velocidad relativa u, usando a.) las TLS y b.) las transformaciones de Galileo. Demuestre que bajo las TLS, la ecuaci´on toma la misma forma que (2.23) cambiando las variables (x,t) por (x0 ,t 0 ), mientras que bajo las de Galileo, la ecuaci´on cambia a: ∂ 2 E(x0 ,t 0 ) 1 ∂ 2 E(x0 ,t 0 ) 2u ∂ 2 E(x0 ,t 0 ) = − , ∂ x02 c2 − u2 ∂t 02 c2 − u2 ∂ x0 ∂t 0

2.4.

(2.24)

Aclaraciones

En relatividad especial es com´un obtener resultados contradictorios, lo que causa las paradojas. Sin embargo, es importante aclarar que dichas paradojas no son resultados de posibles inconsistencias internas de la formulaci´on, sino de una mala aplicaci´on de las transformaciones de Lorentz o incorrecta interpretaci´on de los postulados. As´ı, reiteramos el significado de las TLS:

Sea un observador Σ que mide un evento en una posici´on x(t) en el tiempo t. Sea otro observador Σ0 que se mueve respecto a Σ a una velocidad u. Entonces, la posici´on y el tiempo de ese mismo evento medido por Σ0 se puede calcular a trav´es de las transformaciones de Lorentz: x0 (t 0 ) = γ [x(t) − ut] , i h u t0 = γ t − 2 x(t) . c

CAP´ITULO 2. LA RELATIVIDAD ESPECIAL

26

donde el factor γ se calcula de acuerdo a la ecuaci´on (2.19), el cual a su vez contiene al factor β = u/c, con u la velocidad relativa entre los observadores y c la velocidad de la luz. Algunas aclaraciones adicionales: 1.) Si los eventos involucran el movimiento de part´ıculas, hay que ser cuidadosos de no confundir la velocidad relativa entre observadores con la velocidad misma de la part´ıcula. La velocidad que aparece en las TLS es la relativa entre observadores, mientras que la velocidad de las part´ıculas se calcula derivando las coordenadas, esto es:

x˙ = x˙0 =

dx(t) : velocidad de la part´ıcula medida por Σ dt dx0 (t 0 ) : velocidad de la part´ıcula medida por Σ0 . dt 0

(2.25)

2.) En las transformaciones se asume que el signo de la velocidad relativa es positiva, es decir cuando Σ0 se mueve hacia “adelante” respecto a Σ. Sin embargo, las ecuaciones (2.21) tambi´en son v´alidas si Σ0 se mueve en direcci´on opuesta, pero siendo cuidadosos de incluir el signo negativo de la velocidad relativa. As´ı, en vez de tener dos t´erminos que se restan, se tendran t´erminos que suman. 3.) Las TLS expresan las coordenadas y el tiempo de un observador Σ0 en funci´on de las de Σ. Sin embargo se puede requerir lo opuesto, expresar las coordenadas y el tiempo de Σ en funci´on de las de Σ0 . La diferencia es que si Σ0 se mueve en una direcci´on respecto a Σ, entonces Σ se mover´a en direcci´on opuesta respecto a Σ0 , por lo que el u´ nico cambio es la del signo de la velocidad relativa. Tal transformaci´on se conoce como las transformaciones de Lorentz inversas, y se expresa de las siguiente forma:

  x(t) = γ x0 (t 0 ) + ut 0 , h i u t = γ t 0 + 2 x0 (t 0 ) . c

(2.26)

4.) Debido a la velocidad finita de la luz, en relatividad especial es necesario diferenciar entre el acto f´ısico de ver los eventos al de observarlos. De acuerdo a las definiciones descritas en la Secci´on 1.1 del cap´ıtulo anterior, observar los eventos se asocia al acto de medir las posiciones y los tiempos de los eventos en el lugar donde ocurren y en el instante cuando ocurren. Por otro lado, ver los eventos es el acto de mirarlos desde una posici´on fija del espacio alejado del lugar donde

2.4. ACLARACIONES

27

ocurren y en instantes retrasados de cuando ocurren. El retraso surge debido a la diferencia de tiempo que surge mientras la luz viaja desde el evento hasta el lugar donde se ubica la persona. As´ı, en el proceso de interpretaci´on de un resultado, debemos ser cuidadosos de no confundir la medida de un evento con la imagen gr´afica de ver el evento, ya que ambos no se corresponden uno al otro.

28

CAP´ITULO 2. LA RELATIVIDAD ESPECIAL

CAP´ITULO

3

Cinem´atica relativista

En e´ ste cap´ıtulo estudiaremos las consecuencias cinem´aticas de los postulados y las transformaciones de Lorentz. Primero, discutiremos el concepto de tiempo en relatividad especial incluyendo el problema de simultaneidad y el efecto de dilataci´on temporal. Luego, extenderemos la discusi´on al problema de medici´on de longitudes, donde aparece el efecto de contracci´on de longitudes. Finalmente, plantearemos las nuevas propiedades de las variables cinem´aticas que describen el movimiento junto con algunas aplicaciones.

3.1.

La relatividad del tiempo

El problema central de la relatividad del tiempo no est´a en como definirlo abstractamente, sino en como lo medimos, lo que requiere adoptar una definici´on precisa y fundamental de medici´on de intervalos de tiempo independiente de la t´ecnica espec´ıfica que se utilize para realizar tal medici´on. Para eso, vamos a definir el reloj como el instrumento que permite medir tiempos asociados a eventos, sin importar que el reloj sea el tradicional reloj de manecillas, o digital, o un censor infrarojo capaz de arrancar y detenerse cuando ocurran los eventos, etc. Simplemente asumimos que los eventos ocurren en instantes de tiempo determinados, los cuales en principio podemos medir. Con esto, vamos a definir de manera fundamental el tiempo como: El intervalo de tiempo entre dos eventos medido por un observador inercial, es la diferencia entre el tiempo marcado por un reloj en reposo en la posici´on donde ocurre el evento final y el tiempo marcado por otro reloj en reposo y sincronizado con el anterior en la posici´on donde ocurre el evento inicial.

29

´ CAP´ITULO 3. CINEMATICA RELATIVISTA

30

En la definici´on anterior, se esta asumiendo dos condiciones esenciales: i.) Si los eventos ocurren en distintas posiciones, los tiempos se miden con distintos relojes. As´ı, si en vez de eventos puntuales, se tiene una sucesi´on continua de eventos que ocurren en una regi´on extendida del espacio, se entiende entonces que el observador posee una sucesi´on continua de relojes en reposo que cubre todos los puntos del espacio. ii.) Para que la medici´on tenga sentido, es necesario garantizar siempre que para un mismo observador, todos sus relojes se encuentran sincronizados, es decir, arrancan en el mismo tiempo y marcan intervalos de tiempos exactamente iguales. Teniendo una definici´on precisa de [medici´on de] tiempo, ya podemos estudiar las consecuencias temporales de los postulados de la relatividad.

3.1.1.

Simultaneidad

Decimos que dos eventos son simult´aneos si ocurren en el mismo instante de tiempo medido por un observador inercial, esto es, si el intervalo de tiempo entre los eventos es nulo. Es importante enfatizar en la definici´on anterior el hecho de que se esta restringiendo a un observador, no a todos. La raz´on de eso es porque como consecuencia de los postulados, la simultaneidad puede ser relativa, es decir, si para un observador dos eventos ocurren simult´aneamente, para otro observador en movimiento relativo esos dos mismos eventos pueden ocurrir en tiempos diferentes, situaci´on que no se presenta en la relatividad cl´asica. M´as concretamente, en relatividad especial pueden ocurrir dos casos: 1.) Si dos eventos son simult´aneos medido por un observador inercial, y adicionalmente ocurren en la misma posici´on, esos mismos eventos tambi´en ser´an simult´aneos para cualquier otro observador inercial. En e´ ste caso decimos que la simultaneidad es absoluta. 2.) Si dos eventos son simult´aneos medido por un observador inercial, pero ocurren en diferentes posiciones, esos mismos eventos no ser´an simult´aneos para otro observador inercial. En e´ ste caso decimos que la simultaneidad es relativa. En mec´anica cl´asica, la simultaneidad es absoluta sin importar si ocurren en la misma o en diferentes posiciones. Para ilustrar el efecto relativista de la simultaneidad, consideremos el siguiente ejemplo: Dos part´ıculas, 1 y 2, viajan con velocidades de 2 × 107 m/s y 4 × 107 m/s respectivamente. La part´ıcula 1 colisiona con un detector fijo ubicado a una distancia de 0.5 km del origen del observador inercial Σ, mientras que la 2 lo hace con otro detector ubicado a una distancia de 1 km del mismo origen. Si las part´ıculas cruzan el origen simult´aneamente en el instante t = 0, calcular el tiempo en que cada part´ıcula colisionar´a los detectores medido por a.) el observador Σ y b.) el observador Σ0 donde la part´ıcula 1 est´a en reposo.

3.1. LA RELATIVIDAD DEL TIEMPO

31

Mientras no se diga lo contrario, se asume en e´ ste y en los dem´as problemas que la configuraci´on de sistemas coordenados es la est´andar, es decir, aquella donde se pueden aplicar las transformaciones de Lorentz simples. La Figura 3.1 muestra las coordenadas medidas por Σ. Para movimiento constante, el tiempo que demora cada part´ıcula entre el origen y los detectores son: Part´ıcula 1: Part´ıcula 2:

L1 0.5 × 103 m = = 2.5 × 10−5 s t1 = v1 2 × 107 m/s L2 1 × 103 m t2 = = = 2.5 × 10−5 s. v2 4 × 107 m/s

(3.1)

tiempo medido por Σ : posici´on medida por Σ : factor beta: factor gama:

u = 2 × 107 m/s t1 = t2 = 2.5 × 10−5 s x1 (t1 ) = 0.5 km, x2 (t2 ) = 1 km β = u/c = (2 × 107 m/s)/(3 × 108 m/s) ≈ 6.6 × 10−2 p (3.2) γ = 1/ 1 − β 2 ≈ 1.002.

As´ı, usando la transformaci´on de tiempos, se obtiene para Σ0 : i h u t10 = γ t1 − 2 x1 (t1 ) c h i u 0 t2 = γ t2 − 2 x2 (t2 ) . c

(3.3)

El problema se reduce ahora a realizar los reemplazos num´ericos en las ecuaciones anteriores para calcular t10 y t20 . Sin embargo, es m´as u´ til obtener un resultado m´as general expresado en una ecuaci´on simb´olica. Teniendo en cuenta que Σ mide que t1 = t2 , se obtiene para Σ0 la siguiente diferencia de tiempo : ∆t 0 = t10 − t20 = γβ 2t1 .

1

v1

2

v2

L1

Figura 3.1

As´ı, los eventos correspondientes a la detecci´on de las part´ıculas, son eventos simult´aneos. Para calcular los tiempos medidos por Σ0 , se puede utilizar los datos medidos por Σ y las TLS de las ecuaciones (2.21). Para eso, identificamos cada variable:

velocidad relativa:

Σ

(3.4)

Num´ericamente, para e´ ste caso particular, se obtiene que ∆t 0 ≈ 1.1 × 10−7 s. As´ı, los eventos de colisi´on contra los detectores ya no son simult´aneos para el observador Σ0 , el cual mide que la part´ıcula 2 llega primero, mientras que 1 llega 10−7 s despu´es. Aunque el valor num´erico es muy peque˜no, dicha diferencia aumenta si el factor β aumenta de acuerdo a la ecuaci´on (3.4), es decir, si las part´ıculas viajan m´as cercanas a la de la luz, lo que evidencia que los efectos relativistas son apreciables a velocidades altas .

L2

´ CAP´ITULO 3. CINEMATICA RELATIVISTA

32

3.1.2.

Dilataci´on temporal

La dilataci´on temporal es el fen´omeno en el cual los intervalos de tiempo entre eventos son mayores para un observador que para otro. Para que e´ ste concepto tenga sentido, es necesario definir respecto a qui´en sucede el aumento, esto es, el observador que mide el m´ınimo intervalo de tiempo posible entre dos eventos. Tal tiempo es el tiempo propio, que lo definimos formalmente de la siguiente forma:

Σp



Evento  1   t  =  0  

El tiempo propio es el intervalo de tiempo entre dos eventos medido por un mismo reloj en el sistema en donde el reloj se encuentra en reposo

Evento  2   t  =  τ

 

Figura 3.2

De acuerdo a la definici´on anterior, la u´ nica forma de que dos eventos sucedan en un intervalo de tiempo propio, es que los eventos ocurran en la misma posici´on para alg´un observador. Por lo tanto, otra forma de definir el tiempo propio es: à El tiempo propio es el intervalo de tiempo entre dos eventos medido por el sistema inercial donde los eventos ocurren en la misma posici´on.

Σ’

Evento  1   t’  =  0   Evento  2   t’  =  Δ      t

 

Figura 3.3

De esta forma, se puede definir sin ambig¨uedad el concepto de dilataci´on temporal como el aumento en el intervalo de tiempo entre dos eventos medido por un observador en movimiento respecto al observador que mide el tiempo propio de los mismos eventos. As´ı, por ejemplo, la Figura 3.2 ilustra la secuencia de dos eventos, 1 y 2, medido por el mismo reloj, es decir por el observador propio de los eventos, marcando un tiempo propio τ. Pero otro observador en movimiento, medir´a el segundo evento desplazado respecto al primero, por lo que el tiempo se marcar´a con dos relojes en posiciones diferentes, como se ilustra en la Figura 3.3. Dicho observador medir´a un tiempo dilatado de los mismos eventos, es decir ∆t > τ. Para calcular la cantidad en cuanto se dilata el tiempo para un observador en movimiento, utlizamos las TLS. Supongamos que desde el sistema propio Σ p , el evento 1 sucede en el tiempo t1 = 0 y en la posici´on x1 , mientras que el evento 2 sucede en t2 = τ y en la misma posici´on x1 . Usando las transformaci´on de tiempo de la ecuaci´on (2.21), se encuentra que los tiempos de los eventos para un observador en movimiento con velocidad relativa u son:  u  u  t10 = γ t1 − 2 x1 = −γ 2 x1 c    c u  u 0 t2 = γ t2 − 2 x2 = γ τ − 2 x1 , (3.5) c c por lo que el intervalo de tiempo medido por Σ0 es: ∆t = t20 − t10 = γτ,

(3.6)

el cual expresa el intervalo de tiempo entre dos eventos medido por un observador inercial en relaci´on al tiempo propio.

3.2. LA RELATIVIDAD DE LA LONGITUD

3.2.

33

La relatividad de la longitud

Al igual que el tiempo, la longitud espacial de los objetos se define en base a su medici´on. Definimos entonces la longitud como: La longitud de un cuerpo es la diferencia entre las posiciones de sus extremos medidas simult´aneamente por un observador inercial La condici´on de que la medida sea simult´anea garantiza que no hayan datos “falsos” por el posible movimiento del cuerpo en relaci´on al observador. Si no fuera simult´aneo, y el cuerpo se mueve, la posici´on de un extremo estar´a corrida respecto al del otro extremo en una cantidad extra debido al desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempo entre mediciones, como se ilustra en la Figura 3.4. Si el extremo izquierdo se mide primero en el tiempo t10 , la posici´on marcada ser´a la que corresponda a ese tiempo, es decir x10 (t10 ). Si posteriormente en el tiempo t20 se mide la posici´on del extremo derecho, se obtendr´a un valor x20 (t20 ). As´ı, la supuesta longitud ser´ıa L0 = x20 (t20 )−x10 (t10 ), la cual como se evidencia en la figura, no corresponde a la longitud real del objeto. Solamente si el cuerpo est´a en reposo, la medida anterior coincidir´a con la verdadera. Pero si el objeto est´a en movimiento, se deben comparar las posiciones de los extremos medidos simult´aneamente. As´ı, si la posici´on de un extremo se mide en el tiempo t10 , el extremo opuesto debe ser medido en ese mismo tiempo, como indica la l´ınea vertical punteada de la Figura 3.4. En relatividad cl´asica, el valor de la longitud va a ser independiente del observador, es decir, cl´asicamente la longitud es invariante. Sin embargo, en relatividad especial, aunque las medidas se hagan simult´aneamente, la longitud al igual que el tiempo es una cantidad relativa, que toma diferentes valores de acuerdo al movimiento relativo del observador. M´as concretamente, se puede demostrar que la longitud se contrae para un observador en movimiento respecto a la longitud medida por el observador donde el objeto est´a en reposo, efecto comunmente conocido como contracci´on de Fitzgerald-Lorentz. Se define la longitud propia como: La longitud propia de un cuerpo es la longitud medida por el observador inercial donde el cuerpo se encuentra en reposo. En el caso en que se mida la longitud propia, no es necesario realizar la medida de posiciones en forma simult´anea. De hecho, para poder comparar la longitud propia con la relativa medida por un observador en movimiento, es necesario ajustar la diferencia de tiempos de medida del sistema propio para que al transformarlos al observador en movimiento, los tiempos sean simult´aneos. As´ı, supongamos que el cuerpo se ubica tal que su extremo izquierdo coincida con el origen del sistema propio Σ y se mida en el

t’ = t’1

x’(t’)

1 1

x’(t’)

2 1 t’ = t’2

x’(t’)

2 2

Figura 3.4

´ CAP´ITULO 3. CINEMATICA RELATIVISTA

34

tiempo t1 = 0, mientras que el extremo opuesto se encuentra en la posici´on x2 (t2 ) = L0 medido en un tiempo t2 , tal que L0 corresponder´a a la longitud propia. Para calcular las posiciones de los extremos en un observador Σ0 moviendose con velocidad relativa u, se usa la transformaci´on de coordenadas de acuerdo a (2.21):

Extremo izquierdo: Extremo derecho:

x10 (t10 ) = γ [x1 (t1 ) − ut1 ] = 0, x20 (t20 ) = γ [x2 (t2 ) − ut2 ] = γ [L0 − ut2 ] ,

(3.7)

obteniendo la diferencia:

L0 = x20 (t20 ) − x10 (t10 ) = γ [L0 − ut2 ] .

(3.8)

Para que la longitud L0 de la ecuaci´on anterior represente la verdadera longitud, se debe escoger el tiempo t2 tal que la medida en Σ0 sea simult´anea, es decir, se debe exigir que t10 = t20 . As´ı, usando la transformaci´on de tiempo de las TLS (2.21), se obtiene: h i u t10 = γ t1 − 2 x1 (t1 ) = 0, c i h h u i u 0 t2 = γ t2 − 2 x2 (t2 ) = γ t2 − 2 L0 , c c

(3.9)

que al igualarlas, se puede despejar el tiempo t2 , obteniendo: t2 =

u L0 . c2

(3.10)

Despu´es de reemplazar el tiempo t2 de la f´ormula (3.10) en la ecuaci´on (3.8), se obtiene que la longitud medida por Σ0 es: L0 =

L0 , γ

(3.11)

que corresponde a la longitud de un cuerpo en movimiento respecto a la longitud propia, donde el cuerpo se encuentra en reposo.

3.3.

La relatividad del movimiento

Adicional a los efectos que causa la relatividad especial en conceptos tales como el tiempo y el tama˜no de los cuerpos, tambi´en se van a tener consecuencias importantes en la descripci´on del movimiento de los cuerpos, algunas de las cuales se estudian en e´ sta secci´on.

3.3. LA RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

3.3.1.

35

Teorema de adici´on de velocidades

En la secci´on 1.3, se obtuvo el teorema de adici´on de velocidades utilizando las transformaciones de Galileo. Ahora se obtendr´a el teorema bajo el contexto de las TLS. Si un observador inercial Σ mide que una part´ıcula tiene una velocidad v en direcci´on x, usando las TLS, se puede calcular la velocidad de esa misma part´ıcula medida por otro observador Σ0 que se mueve con velocidad u relativa a Σ. Teniendo en cuenta que la velocidad se define de acuerdo a las ecuaciones (2.25), y usando las TLS para la coordenada espacial de (2.21), se obtiene:

v0 =

dx0 (t 0 ) dt 0

d γ [x(t) − ut] dt0  dx(t) dt = γ −u 0 . dt 0 dt =

(3.12)

Esn relatividad, es importante identificar cuales variables dependen de los tiempos t y cuales de los tiempos t 0 . As´ı, por ejemplo, en la primera derivada dentro del par´entesis de la ecuac´on (3.12), la posici´on x est´a en funci´on de t, mientras que la derivaci´on es respecto al otro tiempo t 0 . Sin embargo, sabemos que por transformaci´on de tiempos, el tiempo t depende de t 0 , es decir, la funci´on x(t) es funci´on impl´ıcita del tiempo t 0 . Aplicando la regla de la cadena se obtiene entonces: dx(t) dx(t) dt dt = = v 0. (3.13) 0 0 dt dt dt dt Usando las TLS inversas dadas por la ecuaci´on (2.26), se puede derivar t respecto a t 0 : dt dt 0

d h0 u 0 0 i γ t + 2 x (t ) dt0 c  u dx0 (t 0 ) = γ 1+ 2 c dt 0   uv0 = γ 1+ 2 . c =

Reemplazando la forma de la derivada (3.14) en (3.13), se obtiene:   dx(t) uv0 = vγ 1 + 2 . dt 0 c

(3.14)

(3.15)

Finalmente, reemplazando (3.15) y (3.14) en (3.12), se llega a la forma relativista del teorema de adici´on de velocidades: v0 =

v−u . 1 − uv c2

(3.16)

´ CAP´ITULO 3. CINEMATICA RELATIVISTA

36

Problema 5: Suponga que la part´ıcula se mueve en el plano de Σ a una velocidad con componente vx en direcci´on x y vy en direcci´on y. Muestre que las componentes de la velocidad medidas por el sistema Σ0 son: v0x =

3.3.2.

vx − u , x 1 − uv c2

v0y =

vy
. x γ 1 − uv c2

(3.17)

Transformaci´on de la aceleraci´on

Cl´asicamente, la aceleraci´on de una part´ıcula es invariante y absoluta entre observadores inerciales. Bajo las transformaciones de Lorentz, la aceleraci´on se mantiene absoluta, pero ya no ser´a invariante. Para mostrar eso, consideremos una part´ıcula con movimiento acelerado en direcci´on x medido por un observador Σ. Aplicando el teorema de adici´on de velocidades, se puede calcular la aceleraci´on medida por otro observador Σ0 con velocidad relativa u. Derivando la ecuaci´on de la suma de velocidades (3.16), se obtiene para Σ0 : ! dv0 (t 0 ) d v(t) − u 0 a = = 0 , (3.18) dt 0 dt 1 − uv(t) 2 c

donde las velocidades se escriben en funci´on de sus respectivos tiempos. Realizando las diferentes derivaciones, y teniendo en cuenta que la velocidad relativa u es constante, se obtiene: 2

 1

 a0 =   γ 1 − uv(t) c2

dv(t) . dt 0

(3.19)

Aplicando de nuevo la regla de la cadena y usando la derivada entre tiempos de la ecuaci´on (3.14), se obtiene para la derivada de velocidad en (3.19):   dv(t) dv(t) dt uv0 = = aγ 1 + 2 , (3.20) dt 0 dt dt 0 c que reemplazando en (3.19), se obtiene:   0 a 1 + uv c2 a0 =
. uv 2 γ 1 − c2

(3.21)

La expresi´on anterior a´un mezcla la velocidad instant´anea v0 medida por Σ0 (en el numerador) con la velocidad v medida por Σ (en el denominador), por lo que a´un no es una

3.3. LA RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

37

ecuaci´on final. Para expresarlo en terminos de una u´ nica velocidad, se hace de nuevo uso del teorema de adici´on de velocidades. Por ejemplo, si se usa directamente la ecuaci´on (3.16), podemos obtener la relaci´on entre aceleraciones enteramente en funci´on de la velocidad v, obteniendo finalmente:

a0 =

a  3 . uv 3 γ 1 − c2

(3.22)

As´ı, si un cuerpo tiene una aceleraci´on a de acuerdo a un observador inercial, otro observador inercial en movimiento relativo medir´a una aceleraci´on diferente, seg´un la ecuaci´on (3.22). Por lo tanto la aceleraci´on, al igual que el tiempo, la longitud y la velocidad, es una cantidad relativa. Sin embargo se observa que si a = 0, entonces a0 = 0, esto es, ´ u´ ltima propiedad implica que la ley de la inerla aceleraci´on sigue siendo absoluta. Esta cia sigue siendo invariante en relatividad especial, es decir, si un cuerpo se mueve con movimiento rectil´ıneo uniforme (la aceleraci´on es nula) desde un sistema inercial, e´ ste seguir´a movi´endose uniformemente desde cualquier otro sistema inercial.

Problema 6: Suponga que la part´ıcula se mueve en el plano de Σ y tiene una aceleraci´on con componente ax en direcci´on x y ay en direcci´on y. Muestre que las componentes de la aceleraci´on desde el sistema Σ0 son: ax

a0x = γ a0y = γ

3.3.3.

3

2

x 1 − uv c2 1

1−


3 ,


uvx 3 c2

h uv

y ax + 2 c

 uvx  i 1 − 2 ay . c

(3.23)

Efecto Doppler longitudinal

En la subsecci´on 1.4.3 se obtuvo la frecuencia de una onda mec´anica medida por un observador en movimiento. La luz tambi´en va a exhibir un efecto parecido. Sin embargo, en relatividad especial la luz tiene una naturaleza diferente a las ondas mec´anicas, por lo que el efecto se va a dar en una cantidad diferente. Consideremos el caso en que el observador se mueve directamente hacia la fuente, el cual va a producir el llamado efecto Doppler longitudinal. Se plantea entonces la siguiente situaci´on: Una fuente luminosa emite pulsos de luz a una frecuencia fF en su sistema en reposo Σ0 hacia un observador Σ que lo detecta. Calcular la frecuencia del pulso medida por el observador Σ si e´ ste se mueve hacia la fuente con rapidez u.

´ CAP´ITULO 3. CINEMATICA RELATIVISTA

38

Σ’

1  

Observe que a diferencia del caso de ondas de sonido, aqu´ı no se hace referencia a un medio (´eter), por lo que no hay que distinguir si el observador y la fuente se encuentran en reposo o en movimiento respecto a un medio. La Figura 3.5 ilustra la emisi´on de pulsos en dos instantes de tiempo en el sistema Σ0 , donde la fuente est´a en reposo. Un observador en este sistema medir´a la secuencia de dos pulsos con el mismo reloj ubicado en su origen, tal como se ilustra en la Figura, por lo que su medida corresponde a un periodo de tiempo propio τF dado por:

c

t’  =  0  

2  

1 . (3.24) fF El observador Σ, por otro lado, medir´a la secuencia de dos pulsos con relojes ubicados en diferentes posiciones debido al movimiento relativo de la fuente, como se muestra en la Figura 3.6. As´ı, e´ ste observador va a medir un periodo de tiempo dilatado de acuerdo a la f´ormula de dilataci´on (3.6), esto es:

1  

τF =



t’  =    τF

Figura 3.5

TO = γτF .

Σ

1  

Por otro lado, la longitud de onda medida ser´a la distancia entre los pulsos 1 y 2, que corresponde a la diferencia de la distancia recorrida por el primer pulso y la distancia recorrida por la fuente, como se muestra en la segunda gr´afica de la Figura 3.6. As´ı, usando la relaci´on de dispersi´on, se obtiene que la longitud de onda cumple:

t = 0

cTO

u

TO

2  

1  

t = TO

Figura 3.6

(3.25)

c = TO (c − u). (3.26) fO Reemplazando el periodo propio de la ecuaci´on (3.24) en el periodo relativo de (3.25), y e´ ste a su vez en la ecuaci´on (3.26), se encuntra que la frecuencia medida por el observador Σ es: s 1+β fF , (3.27) fO = 1−β λO =

la cual difere de las ecuaciones (1.15), (1.17) y (1.18) para ondas mec´anicas.

Problema 7: Si el observador se mueve horizontalmente pero a una altura y = d arriba de la fuente, demuestre que la frecuencia medida cuando cruza exactamente por encima de la fuente es: fF fO = . (3.28) γ Este caso se conoce como el efecto Doppler transversal.

3.4. L´IMITES A ALTAS Y BAJAS VELOCIDADES

3.4.

39

L´ımites a altas y bajas velocidades

En los postulados de la relatividad especial, la velocidad c surge como una de las constantes fundamentales de la naturaleza. Sin embargo, es accidental que la luz se propage justo con esa velocidad. De hecho, cualquier tipo de ondas electromagn´etica se propaga en el vac´ıo a la velocidad c. A´un m´as, se ha encontrado a nivel de la f´ısica subat´omica fen´omenos asociados a objetos que se pueden propagar a esa misma velocidad, o al menos muy cercana, como los neutrinos y los gluones. La raz´on de que c se asocie a la velocidad de la luz es simplemente circunstancial: la luz es el objeto m´as com´un en el Universo que puede viajar a la velocidad c. Por tradici´on, a la constante c la seguiremos llamando la velocidad de la luz. Por otro lado, la constante c marca dos l´ımites extremos de la relatividad: el l´ımite ultrarelativista en el cual las velocidades de los cuerpos se obsevan cercanos a c, y el l´ımite cl´asico, en el cual las velocidades se observan mucho m´as peque˜nas que c.

3.4.1.

El l´ımite cl´asico

De acuerdo a los resultados de la cinem´atica relativista estudiada a lo largo del cap´ıtulo, nos podemos dar cuenta que los nuevos par´ametros que modifican a la vieja cinem´atica cl´asica son los factores γ y β . De hecho, el factor β determina al γ de acuerdo a la definici´on en la ecuaci´on (2.19), la cual graficamos en la Figura 3.7. Como se puede ver, γ var´ıa lentamente para peque˜nos valores de β , mientras que para valores cercanos a β = 1, el factor γ empieza a crecer asint´oticamente. En particular, si las velocidades relativas entre observadores son mucho menores a las de la luz (β  1), el factor γ se puede aproximar a los primeros terminos de una expansi´on en series de Taylor. Como este factor puede aparecer multiplicando o dividiendo, es u´ til tener expansiones separadas para ambos casos. Hasta segundo orden, se tiene que:

5 4

g3 2 1 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

b

Figura 3.7 1 ≈ 1 + β 2, 2
1 1 2 1/2 = 1−β ≈ 1 − β 2. γ 2

γ = 1−β2


−1/2

(3.29)

Si adicionalmente, los observadores se mueven a velocidades relativas “ordinarias” muy por debajo de la velocidad de la luz1 , obtenemos el l´ımite cl´asico, donde, primero, los t´erminos cuadr´aticos de las expansiones anteriores son indetectablemente peque˜nos, por lo que en la pr´actica se puede hacer β 2 = 0 y por lo tanto γ = γ −1 = 1, y segundo, t´erminos de la forma uv/c2 tambi´en se pueden despreciar, como el que aparece en la expresi´on del teorema de adici´on de velocidades. Las consecuencias de esta aproximaci´on 1 Enfatizamos de nuevo, que los factores

γ y β se relacionan con la velocidad relativa u entre observadores, la cual podr´ıa o no coincidir con la velocidad v de los objetos

1.0

1.2

´ CAP´ITULO 3. CINEMATICA RELATIVISTA

40

sobre distintos par´ametros cinem´aticos se ilustra en la Tabla 3.1. Como se puede verificar, en el l´ımite cl´asico se reproduce la cinem´atica de Galileo. Por ejemplo, se observa que el tiempo deja de ser relativo: el tiempo medido por todos los observadore inerciales son los mismos. Lo mismo se obtiene para la longitud.

Problema 8: Calcule la frecuencia del efecto Doppler longitudinal dado por la ecuaci´on (3.27) teniendo en cuenta una expansi´on de Taylor hasta el orden lineal en β . De acuerdo a los diferentes efectos Doppler cl´asicos, ¿qu´e caso se reproduce?

Problema 9: Si la velocidad de un cuerpo es v = c, ¿que forma toma el teorema de adici´on de velocidades?

3.4.2.

El l´ımite ultrarelativista

De acuerdo a lo observado en la Figura 3.7, cuando la velocidad relativa entre observadores empieza a acercarse a la de la luz, es decir β → 1, su factor γ crece sin l´ımite superior. Esto sugiere que el principio de relatividad impone de forma natural un l´ımite a la velocidad que puede tener un sistema inercial: ning´un observador puede viajar a la velocidad de la luz. Sin embargo, en cercan´ıas de la velocidad de la luz, a veces es u´ til aproximar las ecuaciones en expansiones alrededor de β = 1. Una forma de obtener cuantitativamente tal aproximaci´on, es suponiendo que el factor β es ligeramente menor a 1, por ejemplo:

Par´ ametro

Caso Relativista

L´ımite Cl´ asico

Transf. Coordenada

x0 = x(t) − ut

Transf. Tiempo

x0 = γ [x(t) − ut] h i 2 t 0 = γ t − βu x(t)

Dilataci´ on temporal

∆t = γτ

∆t = τ

L0 γ

L0 = L0

v−u 1− vu2

v0 = v − u

Contracci´on F-L T. de adici´on vel.

L0 = v0 =

t0 = t

c

Tabla 3.1: Relaciones cinem´aticas de la relatividad especial y sus l´ımites cl´asicos.

3.4. L´IMITES A ALTAS Y BAJAS VELOCIDADES

β = 1 − ε,

41

(3.30)

donde ε es un n´umero muy peque˜no, esto es ε  1. Para obtener las ecuaciones cinem´aticas cercanas al l´ımite ultrarelativista, conviene reescribir el factor γ en funci´on del par´ametro ε como:  −1/2  −1/2 γ = 1−β2 = 1 − (1 − ε)2 1 h ε i−1/2 . = √ 1− 2 2ε

(3.31)

Como ε es menor que 1, se puede utilizar de nuevo la expansi´on de Taylor sobre la segunda ra´ız. Por ejemplo, manteniendo orden lineal en la expansi´on, se obtiene:   1 1 γ≈√ 1+ ε , 4 2ε   √ 1 −1 γ ≈ 2ε 1 − ε . 4

(3.32)

Un error com´un en relatividad, es la de afirmar que ning´un objeto puede [observarse] viajar m´as r´apido que la velocidad de la luz. Si bien la relatividad impone una velocidad l´ımite, no impide que existan part´ıculas superluminales, esto es, objetos que viajen por encima de la velocidad de la luz, comunmente conocidas como taquiones. En ese caso, la velocidad c ya no representar´ıa un l´ımite superior, sino un l´ımite inferior, y ning´un taqui´on puede desacelerarse por debajo de dicha velocidad. Concretamente, lo que la relativa especial proh´ıbe es que cualquier cuerpo, sea subluminal, o superluminal, pueda cruzar el l´ımite de la velocidad c para cualquier observador inercial, mientras que aquellos objetos que viajan a exactamente la velocidad c, quedan atrapados sin poder cambiar su velocidad2 . Aunque experimentalmente s´olo tenemos evidencia en nuestro Universo de objetos que se mueven igual o por debajo de la velocidad de la luz, los taquiones son una posibilidad te´orica y que actualmente se est´a buscando en diferentes experimentos.

2 Esto

se cumple en relatividad especial. Sin embargo, si nos ubicamos en sistemas no inerciales, se pueden ver efectos de cambios de velocidad de la luz, como el curvamiento de su trayectoria. Dichos efectos son descritos en la relatividad general.

42

´ CAP´ITULO 3. CINEMATICA RELATIVISTA

CAP´ITULO

4

Din´amica relativista

De acuerdo al postulado de relatividad, las leyes de la f´ısica deben ser las mismas para todos los observadores inerciales. Sin embargo, la segunda ley de Newton que describe la din´amica de los cuerpos puntuales resulta incompatible con dicho postulado. Por ejemplo, si un observador Σ0 asegura que una part´ıcula cumple con la ecuaci´on F = ma0 (asumiendo que la masa y la fuerza son cantidades invariantes), usando la transformaci´on de aceleraci´on dada por (3.22), se obtiene para otro observador Σ en movimiento relativo que:

F = maγ

−3

 uv −3 , 1− 2 c

(4.1)

que no reproduce la forma t´ıpica de la segunda ley de Newton. Einstein se di´o cuenta que el problema radicaba en la suposici´on de la invariancia de la masa y la fuerza. As´ı, hab´ıa que replantear las leyes din´amicas teniendo en cuenta que en realidad estas cantidades son relativas y dependen del observador inercial. Esto implica en particular, que la fuerza deja de ser una variable apropiada para la descripci´on de la din´amica, por lo que en relatividad especial como se ver´a de ahora en adelante, deja de jugar un papel central en la f´ısica. Sin embargo, las leyes de conservaci´on siguen siendo v´alidas para todos los obervadores inerciales, por lo que la din´amica descrita en t´erminos de par´ametros que se conservan resultan m´as apropiados. En e´ ste cap´ıtulo se plantea las consecuencias din´amicas de los postulados de la relatividad en t´erminos del momento lineal y la energ´ıa, lo que nos conducir´a a una de las concepciones m´as revolucionarias de la relatividad: la equivalencia de masa y energ´ıa. 43

´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

44

4.1.

El momento relativista

En la mec´anica cl´asica, se define el momento lineal como: pcl´asico = mv,

(4.2)

donde la masa inercial m se toma en el sentido cl´asico de la subsecci´on 1.3.3. En particular, si sobre un sistema de cuerpos no existen interacciones externas, su momento lineal total es constante, y dicha conservaci´on se mantiene bajo las transformaciones de Galileo, es decir, el principio de conservaci´on del momento lineal es invariante para todos los observadores inerciales. Si queremos extender la anterior propiedad al caso relativista, vamos a encontrar que la conservaci´on del momento lineal no va a ser invariante frente a las transformaciones de Lorentz. El problema, como ya se mencion´o, est´a en la naturaleza de la masa inercial: la masa de un cuerpo es una propiedad que depende del observador inercial, esto es, la masa inercial es relativa. As´ı, Einstein modific´o la definici´on del momento lineal por otra [relativista] donde la masa depende de la magnitud de la velocidad de la part´ıcula : p = m(v)v,

(4.3)

donde la forma funcional de m(v) se escoge tal que cumpla con los siguientes principios de conservaci´on: I. Conservaci´on de la masa: La masa relativista de un sistema f´ısico se mantiene constante para todos los observadores inerciales. II. Conservaci´on del momento lineal: El momento lineal de un sistema f´ısico aislado se mantiene constante para todos los observadores inerciales.

Σ

1   v

2  

pantes=m(v)v

vf

pdespues=M(vf)vf

Figura 4.1

Para encontrar la funci´on m(v), consideremos la siguiente situaci´on f´ısica: Dos part´ıculas libres id´enticas, 1 y 2, se mueven una hacia la otra con velocidad relativa v. Sea Σ el observador donde la part´ıcula 2 se encuentra en reposo, y Σ0 donde la 1 est´a en reposo. Asumiendo que las part´ıculas se propagan como un s´olo cuerpo despu´es de la colisi´on (colisi´on totalmente inel´astica), determinar la masa relativista de las part´ıculas suponiendo que la masa y el momento lineal se conservan para ambos observadores. La Figura 4.1 ilustra el movimiento antes y despu´es de la colisi´on visto por el observador Σ, con los momentos lineales respectivos, y donde v f es la velocidad despu´es de la colisi´on. Usando los principios de conservaci´on, se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones:

4.1. EL MOMENTO RELATIVISTA

masa: momento:

45

m(v) + m(0) = M(v f ) m(v)v = M(v f )v f ,

(4.4)

donde m(v) representa la masa de la part´ıcula que se mueve a velocidad v (part´ıcula 1), m(0) la de la part´ıcula en reposo (part´ıcula 2), y M(v f ) la masa del cuerpo resultante despu´es de la colisi´on. Despejando del sistema de ecuaciones (4.4), se obtiene la velocidad final:   m(v) vf = v . (4.5) m(0) + m(v) Por otro lado, el observador Σ0 va a observar el mismo proceso en la forma como se muestra en la Figura 4.2, con su respectivas medidas de momento lineal. Como las part´ıculas son id´enticas, la masa de la part´ıcula que ahora est´a en reposo (la 1) y la que se mueve (la 2) se marcan iguales que antes: m(0) y m(v)1 . Al plantear las ecuaciones de conservaci´on, se obtiene seg´un Σ0 que:

Σ’

1  

-v

2  

pantes ’   = - m(v)v

vf’  

pdespués ’   =M(vf’  )vf’  

Figura 4.2 masa: momento:

m(v) + m(0) = M(v0f ) −m(v)v = M(v0f )v0f .

(4.6)

Resolviendo de nuevo, se obtiene: v0f



 m(v) = −v . m(0) + m(v)

(4.7)

Las velocidades finales v f y v0f de (4.5) y (4.7) se pueden relacionar mutuamente a trav´es del teorema de adici´on de la ecuaci´on (3.16), donde la velocidad relativa entre observadores es u = v, obteniendo: v0f =

vf −v vv . 1 − c2f

(4.8)

Reemplazando las expresiones para las velocidades v f y v0f dadas por (4.5) y (4.7), al final vamos a obtener que: m(0) m(v) = p , 1−β2

(4.9)

1 Para la part´ıcula que se mueve en e´ ste caso, pueden tener la tentaci´ on de escribir m(−v). Sin embargo, la masa relativista depende de la magnitud y no de la direcci´on de la velocidad, as´ı que m(−v) = m(v). No se ha detectado experimentalmente que la masa de una part´ıcula cambie por el cambio de direcci´on del movimiento

´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

46

donde β = v/c. Tradicionalmente, la masa con velocidad nula m(0) se nota como m0 , y se conoce como la masa en reposo del cuerpo. As´ı, la masa relativista de un cuerpo depende de la rapidez del cuerpo respecto a un observador inercial y de su masa en reposo de acuerdo a m0 m(v) = p = γm0 , 1−β2

(4.10)

mientras que el momento lineal relativista es: p = m(v)v = γm0 v

(4.11)

Problema 10: Considere el mismo problema de colisi´on anterior, pero asumiendo la versi´on cl´asica de la masa y del momento lineal. Suponiendo que el momento se conserva para el observador Σ, muestre que bajo TLS, el observador Σ0 mide diferentes momentos lineales antes y despu´es de la colisi´on.

4.2.

La energ´ıa relativista

En mec´anica cl´asica, la energ´ıa total de cualquier sistema f´ısico, se puede separar en tres contribuciones: E = K +U + Q = K + E0 ,

(4.12)

donde cada t´ermino describe diferentes estados de un cuerpo de acuerdo con la Tabla 4.1. En particular, es conveniente separar la energ´ıa de un cuerpo en contribuciones debido a solamente su movimiento global (energ´ıa cin´etica del centro de masa K) y aquellas que pueden existir independiente del movimiento (energ´ıa en reposo E0 ), donde la energ´ıa en reposo es la suma de la energ´ıa potencial e interna del cuerpo. As´ı, la ecuaci´on (4.12) se puede usar para definir la energ´ıa cin´etica como: K = E − E0 ,

(4.13)

esto es, la energ´ıa cin´etica es la energ´ıa remanente de un cuerpo al restar de su energ´ıa total todas las energ´ıas en reposo. La importancia de describir los estados de un cuerpo en funci´on de sus energ´ıas, es que e´ stas se pueden definir tal que cumplan con el siguiente principio de conservaci´on:

4.2. LA ENERG´IA RELATIVISTA

47

III. Conservaci´on de la energ´ıa: La energ´ıa total de un sistema f´ısico cerrado se mantiene constante para todos los observadores inerciales.

En relatividad especial, tambi´en podemos definir las energ´ıas tal que el principio de conservaci´on anterior se mantenga. Sin embargo, al exigir invariancia de esa conservaci´on bajo las TLS, Einstein encontr´o cambios fundamentales en la forma de las energ´ıas. Antes de entrar a discutir la versi´on relativista de las energ´ıas, estudiemos las formas cl´asicas para luego comparar las diferencias. Por simplicidad, nos limitamos a una sola dimensi´on.

4.2.1.

Energ´ıa cin´etica cl´asica

Cl´asicamente, el cambio de energ´ıa cin´etica se define como el trabajo que realiza la fuerza sobre un cuerpo, donde la fuerza es la variaci´on del momento lineal [cl´asico]. Para calcular dicho trabajo, primero debemos expresar la fuerza en t´erminos de la posici´on usando la regla de la cadena:

F=

d pcl´asico d pcl´asico dx dv = = mv . dt dx dt dx

(4.14)

El trabajo es la integral de la fuerza respecto al desplazamiento: Z

Wclasico =

Z

Fdx = m

1 vdv = mv2 +C = K(v), 2

(4.15)

con C una constante de integraci´on. Si el cuerpo se encuentra en reposo, entonces no habr´a desplazamianto, por lo que el trabajo es nulo para v = 0. Aplicando e´ sta condici´on en (4.15), obtenemos que C = 0. As´ı surge la tradicional definici´on de la energ´ıa cin´etica en mec´anica cl´asica: Par´ ametro

Tipo de Energ´ıa

K

Cin´etica

U

Potencial

Q

Interna

Origen F´ısico Debido al movimiento del centro de masa. Depende de la rapidez Debido a interacciones externas Depende de la posici´on Debido a movimientos e interacciones internas Depende de la estructura interna

Tabla 4.1: Estados de un cuerpo en terminos de energ´ıas

´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

48

1 K = mv2 . (4.16) 2 Si lo comparamos con la definici´on de la ecuaci´on (4.13), se obtiene que la energ´ıa total de un cuerpo es: 1 Eclasico = mv2 + E0 . (4.17) 2 Por otro lado, la energ´ıa en reposo contiene dos contribuciones: la energ´ıa potencial U y la energ´ıa interna Q. Estas energ´ıas no contribuyen bajo las siguientes circunstancias: 1. La energ´ıa potencial se puede calibrar en cero si no hay interacciones externas. Esto es, si el cuerpo es libre, entonces se puede hacer U = 0. 2. Cl´asicamente la energ´ıa interna depende de la estructura interna del cuerpo. Pero si el cuerpo es una part´ıcula puntual, que por definici´on carece de estructura interna, no existir´an estados internos para describir, por lo que la podemos calibrar en cero. As´ı, en mec´anica cl´asica Q = 0 para part´ıculas puntuales As´ı, obtenemos la siguiente propiedad fundamental de la mec´anica cl´asica: La energ´ıa total de una part´ıcula puntual libre es puramente cin´etica, mientras que su energ´ıa en reposo es nula.

4.2.2.

Energ´ıa cin´etica relativista

Para obtener el equivalente relativista de la energ´ıa, definamos la fuerza relativista como la variaci´on del momento lineal relativista. Usando la definici´on (4.11) y la regla de la cadena, se tiene: Frelativista =

d p d p dx dγv = = m0 v . dt dx dt dx

(4.18)

As´ı, el trabajo relativista ser´a: Z

Wrelativista =

Z

Frelativista dx = m0

vd(γv) = m0 c2

Z

β d(γβ ),

(4.19)

donde se introdujo el factor β = v/c en la u´ ltima igualdad. Para separar el diferencial de integraci´on, se eval´ua: d(γβ ) dβ

!

=

d dβ

=

1 β2 p + 1 − β 2 (1 − β 2 )3/2

β p

1−β2 (4.20)

4.2. LA ENERG´IA RELATIVISTA

49

de donde se obtiene el diferencial: β2 1 dβ + dβ . d(γβ ) = p 1−β2 (1 − β 2 )3/2

(4.21)

Reemplazando el diferencial anterior en la integral (4.19), se obtiene:

2

Wrelativista = m0 c

"Z

β3

Z

β

p dβ + 1−β2

(1 − β 2 )3/2

# dβ .

(4.22)

Al realizar las integraciones [por partes], se encuentra al final que: " 2

Wrelativista = m0 c

1

#

p +C , 1−β2

(4.23)

donde C es una constante remanente de integraci´on. Si usamos, como en el caso cl´asico, la condici´on de que el trabajo es nulo cuando la part´ıcula se encuentra en reposo (β = 0), se obtiene que C = −1. As´ı, definiendo la energ´ıa cin´etica relativista como el trabajo relativista (teorema de trabajo-energ´ıa relativista), se obtiene: m 0 c2 K=p − m0 c2 = γm0 c2 − m0 c2 = m(v)c2 − m0 c2 , 2 1−β

(4.24)

en donde se aplic´o la definici´on de masa relativista de acuerdo a la ecuaci´on (4.10). De nuevo, comparando el resultado (4.24) con la definici´on general de la ecuaci´on (4.13), se obtiene para las energ´ıas total y en reposo que: E − E0 = m(v)c2 − m0 c2 .

(4.25)

El primer t´ermino despu´es de la igualdad lo podemos interpretar como la energ´ıa medida por un observador donde la part´ıcula tiene movimiento (depende de la masa relativista m(v)), mientras que el segundo t´ermino es la energ´ıa medida por el observador donde la part´ıcula est´a en reposo (depende de m0 ), que es justamente la energ´ıa en reposo. As´ı, se deduce de forma natural que la energ´ıa total y la energ´ıa en reposo de un cuerpo estan dadas por:

Energ´ıa total: Energ´ıa en reposo:

E = m(v)c2 = γm0 c2 , E0 = m0 c2 .

(4.26)

En particular, a diferencia de la mec´anica cl´asica que no d´a una expresi´on espec´ıfica para la energ´ıa en reposo, en la relatividad especial se predice que sin importar cual sea el origen de la energ´ıa en reposo, e´ stas siempre tienen que sumar la cantidad E0 = m0 c2 , que

´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

50

es la c´elebre relaci´on de equivalencia de masa y energ´ıa. La esencia de dicha relaci´on se manifiesta expl´ıcitamente en el caso de part´ıculas puntuales libres. Mientras que en la mec´anica cl´asica se predice que las part´ıculas puntuales aisladas tienen energ´ıa en reposo nula, en mec´anica relativista a´un tendr´an contribuci´on debido a su propiedad de masa en reposo, es decir, aunque la part´ıcula sea libre, no tenga estructura interna y se encuentre en reposo, a´un existe una energ´ıa remanente en forma de masa en reposo: la masa en reposo es una forma de energ´ıa de un cuerpo, y como tal, puede transformarse en otros tipos de energ´ıas como cin´etica, calor´ıfica, el´ectrica, etc. Si el cuerpo tiene estructura interna, la masa en reposo puede tener contribuciones adicionales debido a energ´ıas de interacci´on entre los constituyentes internos del cuerpo, o a movimientos t´ermicos de los mismos. As´ı, por ejemplo, un cuerpo caliente va a tener m´as masa en reposo que el mismo cuerpo en estado fr´ıo. Adicionalmente, como la velocidad de la luz es una constante universal, la expresi´on E = m(v)c2 implica que la conservaci´on de la masa relativista es equivalente a la conservaci´on de la energ´ıa total. Por otro lado, aunque la relatividad predice una ecuaci´on para la energ´ıa en reposo en funci´on de la masa en reposo, no da explicaci´on del origen de dicha masa, por lo que su naturaleza es un tema de investigaci´on actual en la f´ısica, la cual se discute en la siguiente secci´on.

4.3.

La masa en reposo

Uno de los problemas fundamentales de la f´ısica moderna es la de entender el origen y la naturaleza de la masa. En mec´anica cl´asica, la segunda ley de Newton y sus propiedades relativistas [Galileanas] permiten definir de forma u´ nica y matem´atica la masa inercial de un cuerpo. Pero en el contexto de la relatividad especial, el concepto de masa ya no se puede asociar exclusivamente a una propiedad intr´ınseca de la materia. Primero, la medida de masa depende del movimiento relativo del observador, en cuyo caso hablamos de la masa relativista del cuerpo. Segundo, algo que se acerca m´as a una propiedad intr´ınseca del cuerpo es su masa en reposo. Sin embargo, si el cuerpo se encuentra en un potencial externo, o contiene grados de libertad internos, no es posible separar qu´e parte de su masa en reposo corresponde a energ´ıas internas o externas extras, o qu´e parte corresponde a energ´ıa “aut´enticamente” intr´ınseca independiente de las interacciones y movimientos internos. As´ı, no es posible hablar de una u´ nica masa asociado a un cuerpo, sino que va a depender de las condiciones din´amicas y cinem´aticas del cuerpo. Por otro lado, aunque se garantice que la part´ıcula sea puntual y est´e libre de interacciones externas, a´un existen inconvenientes te´oricos para explicar la fuente de su masa en reposo. Aunque la relatividad especial no pretende resolver el problema de la naturaleza de la masa, es importante mencionar cual es el estado actual de las investigaciones sobre el tema. Para no hacer una discusi´on en abstracto, nos vamos a contextualizar en dos casos espec´ıficos en relaci´on a los dos problemas discutidos anteriormente.

4.3. LA MASA EN REPOSO

51

Part´ıcula

Masa de corriente (MeV/c2 )

Masa constituyente (MeV/c2 )

quark u quark d prot´on

2.3 4.8 940

330 330 940

Tabla 4.2: Masas de los quarks y del prot´on en unidades de megaelectronvoltios

Existen evidencias experimentales s´olidas de que los constituyentes de los n´ucleos at´omicos, esto es, los protones y neutrones, est´an as´ı mismos constituidos por part´ıculas m´as “peque˜nas”, conocidas como quarks. Hasta donde sabemos, los quarks son part´ıculas verdaderamente puntuales, es decir, no tienen estructura interna, por lo que su masa en reposo no tendr´a contribuci´on debido a grados de libertad extras. Sin embargo, los ´ fuerza quarks no son totalmente libres: entre ellos existe interacci´on nuclear fuerte. Esta describe propiedades diferentes a otras como la gravitacional. Por ejemplo, la Figura 4.3 muestra de forma cualitativa la dependencia de las fuerzas entre dos cuerpos en relaci´on a su distancia. La diferencia primordial est´a en que mientras la gravedad disminuye su fuerza a medida que alejamos los cuerpos, la fuerza fuerte exhibe una regi´on donde la fuerza en vez de disminuir, aumenta. As´ı, en el caso de los quarks, mientras ellos se mantengan muy cercanos, la interacci´on fuerte es despreciable y por lo tanto la masa en reposo es de part´ıcula puntual libre2, 3 . Bajo tales circunstancias es que se define la masa de corrientes de los quarks. En la segunda columna de la Tabla 4.2 se muestra las masas de corrientes de los quarks que componen a un prot´on (notados u y d que son abreviaturas de las palabras en ingl´es up y down) y la masa del prot´on mismo, donde se usan las unidades de energ´ıa Megaelectronvoltios, que se explican en el Ap´endice C. Se sabe que el prot´on est´a constituido por dos quarks tipo u y uno tipo d. Sin embargo, si hacemos la suma directa, vemos que:

Fuerza Gravitacional

La masa de los quarks

0 Distancia

Fuerza Fuerte

4.3.1.

0 Distancia

Figura 4.3 2mu + md = 9.4 MeV,

(4.27)

mientras que la masa de un prot´on es m p ≈ 940 MeV. As´ı, las masas de corrientes de los quarks no est´an dando cuenta de la masa total del prot´on. La raz´on, al menos en parte, est´a en la equivalencia masa y energ´ıa de la relatividad especial: existe masa extra debido a la energ´ıa de interacci´on entre los quarks, que se ha despreciado en la aproximaci´on anterior. As´ı, debido a que los quarks est´an sumergidos en una energ´ıa potencial fuerte, 2 Esta ´ propiedad fu´e descrita en forma precisa usando herramientas de la teor´ıa cu´antica de campos en 1973, y se conoce como libertad asint´otica, lo que le mereci´o el Premio Nobel a David Gross, David Politzer y Frank Wilczek en 2004. 3 Adem´as de la fuerza fuerte, los quarks tambi´en interact´ uan el´ectricamente, por lo que no son totalmente libres. Son libres de la interacci´on fuerte.

52

´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

surge una contribuci´on adicional a la masa en reposo del prot´on. Por lo tanto, a los quarks se le pueden definir otra masa en reposo que tiene en cuenta la energ´ıa de interacci´on al interior del prot´on, conocida como la masa constituyente, cuyos valores se muestran en la tercera columna de la Tabla 4.2. Vemos que de forma aproximada, se reproduce la masa del prot´on como la suma de las masas constituyentes de los quarks. A pesar de los avances en el entendimiento de la masa de los quarks, a´un existen controversias debido a que al interior del prot´on existen otras interacciones (electromagn´eticas y d´ebiles) y a las evidencias de otras estructuras en el prot´on adem´as de los tres quarks.

4.3.2.

U

φ

Figura 4.4

El mecanismo de Brout-Englert-Higgs

Los electrones son part´ıculas puntuales que a diferencia de los quarks, pueden estar en estado “verdaderamente” libre. A´un as´ı, los electrones exhiben energ´ıa en reposo debido a su masa intr´ınseca en reposo. Uno de los misterios m´as fundamentales de la f´ısica es la de explicar de donde sale esa energ´ıa, si aparentemente no hay interacciones que la provean. Una posible respuesta surgi´o en el contexto de la otra interacci´on que se d´a al interior de los n´ucleos at´omicos: la interacci´on nuclear d´ebil. Adicional a la invariancia de las leyes f´ısicas entre observadores inerciales, se ha comprobado que existen otro tipo de invariancias: las leyes de la f´ısica son [aproximadamente] las mismas frente a cambios de propiedades internas de los sistemas f´ısicos. Por ejemplo, si intercambiamos los signos de todas las cargas el´ectricas del Universo, de positivas a negativas y vicever´ sa, no habr´a ning´un efecto observable; nuestro Universo seguir´a siendo el mismo. Esta invariancia se mantiene incluso aunque el cambio se haga en regiones localizadas. Al generalizar dicha propiedad a la interacci´on nuclear d´ebil, surgen inconvenientes te´oricos debido a la masa en reposo de las part´ıculas. Los f´ısicos evitaron el problema ignorando la masa, como si las part´ıculas fueran no masivas, y plantearon teor´ıas que describ´ıan con precisi´on las interacciones d´ebiles. Sin embargo, quedaba la cuesti´on de la masa. En 1964, Robert Brout, Francois Englert y Peter Higgs implementaron un mecanismo conocido como el mecanismo BEH o simplemente mecanismo de Higgs, en el cual las part´ıculas no est´an totalmente libres, sino que interact´uan a trav´es de una nueva fuerza suministrada por un campo de interacci´on, conocido como campo escalar. El campo escalar al vibrar [en el sentido cu´antico], le puede suministrar energ´ıa en reposo a las part´ıculas. La Figura 4.4 describe la forma de la energ´ıa potencial del campo escalar en funci´on de su amplitud de vibracion. Por mucho tiempo, ese mecanismo no fu´e m´as que una hip´otesis te´orica debido a la falta de evidencias experimentales de la existencia del campo escalar. Sin embargo, el mecanismo adicionalmente predice que si el campo se hace vibrar lo suficiente, por la relatividad especial, esa energ´ıa de vibraci´on puede transformarse y “materializar” en una part´ıcula muy masiva conocida como el bos´on de Higgs. Pero surgen los siguientes inconvenientes pr´acticos: primero, la energ´ıa necesaria debe ser enorme; segundo, aunque se logre tal energ´ıa, muy pocos bosones de Higgs se materializan; finalmente, la energ´ıa en forma de un bos´on de Higgs es muy inestable, por lo que en muy poco tiempo (del orden de 1 × 10−22 s) la energ´ıa se transforma en

´ ENERG´IA Y MOMENTO 4.4. LA RELACION

53

forma de energ´ıa en reposo de otras part´ıculas y energ´ıa cin´etica. Por lo tanto resulta extremadamente dif´ıcil detectar la presencia del Bos´on de Higgs. No fue sino hasta el a˜no 2012 en que los experimentos llevados a cabo en el Gran Colisionador Hadr´onico (LHC por sus siglas en ingl´es), lograron suministrar la energ´ıa necesaria para producir un n´umero de bosones de Higgs suficientes para ser detectados, descubrimiento que le di´o el premio Nobel a Englert y a Higgs en el a˜no 2013. Aunque el mecanismo de Higgs d´a una explicaci´on natural a la existencia de la masa en reposo, a´un hay detalles te´oricos y medidas experimentales que se mantiene sin una respuesta satisfactoria, lo que es motivo de una intensa investigaci´on.

Problema 11: Un bos´on de Higgs con energ´ıa en reposo E0 = 126 GeV, decae del reposo en dos quarks tipo b (bottom), que tienen energ´ıa en reposo de 4 GeV cada uno. Calcular la energ´ıa cin´etica de los quarks usando conservaci´on de la energ´ıa.

4.4.

La relaci´on energ´ıa y momento

Existe una relaci´on muy u´ til entre el momento y la energ´ıa relativista, que nos permitir´a complementar las ecuaciones de conservaci´on del momento lineal y de la energ´ıa para la resoluci´on de problemas de colisi´on. De acuerdo a lo obtenido en las secciones anteriores, las variables din´amicas fundamentales son:

Momento relativista:

p = γm0 v,

Energ´ıa relativista:

2

E = γm0 c

(A) (B),

(4.28)

donde el factor γ contiene la velocidad relativa entre el observador en reposo del cuerpo y el observador que mide el cuerpo movi´endose a velocidad v. As´ı, explicitamente la ecuaci´on (A) de (4.28) es: m0 v p= p . 1 − v2 /c2

(4.29)

Calculandole el modulo al cuadrado a la expresi´on anterior, se obtiene:

|p|2 = p2 =

m20 v2 . 1 − v2 /c2

Despejando para la magnitud de la velocidad, se obtiene:

(4.30)

´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

54

p v= q . m20 + p2 /c2

(4.31)

Por otro lado, si usamos el resultado anterior dentro de la energ´ıa relativista (B) de la ecuaci´on (4.28), se obtiene: m0 c2 E=p 1 − v2 /c2

m0 c2 q 1 − p2 /(m20 c2 + p2 ) q = c m20 c2 + p2 . =

(4.32)

As´ı, la energ´ıa relativista y el momento lineal relativista se relacionan de acuerdo a: q (4.33) E = c p2 + m20 c2 . En mec´anica cl´asica, sabemos que si la masa de un cuerpo es nulo, entonces su momento lineal ser´a nulo sin importar su energ´ıa. Sin embargo, de acuerdo a la relaci´on (4.33), si el cuerpo tiene masa en reposo nulo, a´un puede existir un momento lineal en virtud de su energ´ıa. En la naturaleza existen objetos que no interact´uan con el campo escalar de Higgs, por lo que no tienen masa en reposo. El m´as com´un es justamente los cuantos de luz, esto es, los fotones. Aunque la relatividad sigue tratando a la luz como ondas de vibraci´on en el sentido de la electrodin´amica cl´asica, es importante para algunos procesos relativistas considerar su naturaleza cu´antica.

4.4.1.

El fot´on

Los fotones son paquetes de energ´ıa de campos electromagn´eticos, que exhiben un comportamiento de part´ıcula con masa en reposo nula. De acuerdo a la relaci´on de energia y momento de la ecuaci´on (4.33), un fot´on cumple con la siguiente relaci´on: E = cp,

(4.34)

donde c es la velocidad de propagaci´on del fot´on, que obviamente es la de la luz. Por otro lado, la mec´anica cu´antica postula (contribuci´on de Einstein independiente de la relatividad) que la energ´ıa contenida en un solo fot´on depende de su frecuencia de acuerdo a la siguiente relaci´on: E = hf,

(4.35)

donde h es, junto a la velocidad c, otra de las constantes fundamentales de la naturaleza, conocida como la constante de Planck, y cuyo valor en unidades internacionales y en electronvoltios es:

´ ENERG´IA Y MOMENTO 4.4. LA RELACION

55

h = 6.63 × 10−34 J · s = 4.14 × 10−21 MeV · s.

(4.36)

A las ecuaciones (4.34) y (4.35) las vamos a llamar las ecuaciones del fot´on.

4.4.2.

Decaimiento de part´ıculas

Una de las consecuencias de la relaci´on de equivalencia de masa y energ´ıa, es la posibilidad de que la masa en reposo de una part´ıcula se convierta en otras formas de energ´ıas, como por ejemplo otras part´ıculas m´as livianas y energ´ıa cin´etica. Un ejemplo de tales proceso es el decaimiento de un pi´on neutro, que es una part´ıcula compueta por dos quarks. Una de las posibilidades de transformaci´on de la masa del pi´on es producci´on de energ´ıa electromagn´etica en forma de dos fotones. Consideremos la siguiente situaci´on: Mπ



Ei , pi

Un pi´on neutro con masa en reposo de 135 MeV/c2 viaja con una energ´ıa de 426 MeV. Despu´es de un tiempo, el pi´on decae en dos fotones que se dispersan en direcciones opuestas y con la misma orientaci´on de propagaci´on del pi´on original. Calcular las frecuencias de cada fot´on La Figura 4.5 ilustra el proceso antes y despu´es del decaimiento, con sus respectivas energ´ıas y momentos. Teniendo en cuenta las leyes de conservaci´on, la relaci´on entre energ´ıa y momento, y las ecuaciones del fot´on, se plantean las siguientes ecuaciones:

E2 , -p2

E1 , p1

Figura 4.5 conservaci´on de energ´ıa: conservaci´on de momento: relaci´on de energ´ıa-momento pi´on:

Ei = E1 + E2

(A)

pi = p1 − p2 (B) q Ei = c p2i + Mπ2 c2 (C)

ecuaci´on de momento de fotones:

p1 = E1 /c,

p2 = E2 /c (D)

ecuaci´on de frecuencia de fotones:

f1 = E1 /h,

f2 = E2 /h (E)

(4.37)

Sin importar el m´etodo que se use para combinar las ecuaciones anteriores y resolver la pregunta, siempre es importante identificar las variables conocidas y las que se pueden calcular directamente. En este caso, se conocen la masa en reposo del pi´on Mπ , y su energ´ıa total Ei , mientras que su momento se puede calcular directamente de la ecuaci´on (C), obteniendo: s pi =

Ei2 − Mπ2 c2 = 404 MeV/c. c2

(4.38)

De esta manera, se pueden combinar las 2 ecuaciones (A) y (B), y las 2 de (D) para resolver las 4 inc´ognitas E1 , E2 , p1 y p2 . En particular, para las energ´ıas, se obtiene:

´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

56

E1 = E2 =

1 (Ei + cpi ) = 415 MeV, 2 1 (Ei − cpi ) = 11 MeV, 2

(4.39)

correspondientes a las energ´ıas de cada fot´on. Finalmente, reemplazando lo anterior en las ecuaciones (E), se obtienen las frecuencias buscadas (donde se usa el valor de la constante de Planck en unidades MeV, dada en la ecuaci´on (4.36) ): f1 = E1 /h = 1 × 1023 s−1 , f1 = E2 /h = 2.6 × 1021 s−1 .

4.4.3.

(4.40)

Fisi´on Nuclear

Otra consecuencia importante de la energ´ıa relativista es el proceso de fisi´on nuclear, que se d´a en los n´ucleos at´omicos. A este nivel, conviene expresar la masa de los n´ucleos en unidades de masa at´omica u.m.a, la cual se define como 1/12 veces la masa de un n´ucleo de Carbono 12: 1 u.m.a = 1.685 × 10−27 kg.

(4.41)

Como los n´ucleos son cuerpos con estructura interna, parte de su masa en reposo proviene de la energ´ıa potencial nuclear que mantiene unido a sus componentes (protones y neutrones). Esa porci´on de energ´ıa en reposo puede ser transformada en otros n´ucleos m´as livianos y energ´ıa cin´etica liberada que puede ser aprovechada en la generaci´on de energ´ıas alternas como la el´ectrica. Una forma de lograr liberar la energ´ıa acumulado en la masa en reposo, es haciendo chocar neutrones con n´ucleos de Uranio. Para ilustrar el tipo de reacciones que se dan, consideremos la siguiente situaci´on: Un neutr´on y un n´ucleo de Uranio 235 sufre la siguiente reacci´on: n +235 42 U −→

92 140 38 Sr + 54 Xe + 4n,

(4.42)

donde las masas en reposo de cada uno de los n´ucleos participantes son:

Estroncio:

m(Sr) = mS = 91.937 u.m.a,

Xen´on:

m(Xe) = mX = 139.947 u.m.a,

Uranio:

m(U) = mU = 235.175 u.m.a,

Neutr´on:

m(n) = mn = 1.009 u.m.a.

(4.43)

´ ENERG´IA Y MOMENTO 4.4. LA RELACION

57

Calcular a.) la energ´ıa liberada en la reacci´on y b.) la cantidad de Uranio necesario para generar la energ´ıa el´ectrica producida en Colombia en el a˜no 2012 de aproximadamente 5.7 × 1013 kilovatios-hora, asumiendo una eficiencia del 50 %. Para resolver el caso a.), el procedimiento metodol´ogico es igual que en el caso de decaimiento de part´ıculas, con la diferencia de que ahora tenemos dos cuerpos en el estado inicial, por lo que las energ´ıas iniciales y finales son:

Ei = En + EU , E f = ES + EX + 4En ,

(4.44)

donde los sub´ındices se asignan a cada n´ucleo. En e´ ste caso nos piden la energ´ıa cin´etica entre los estados finales e iniciales, por lo que requeriremos usar la definici´on general (4.13) con las formas relativistas de la ecuaci´on (4.26). Es importante distinguir qu´e corresponde a energ´ıa total y qu´e a energ´ıa en reposo. Las energ´ıas en (4.44), que son las que se conservan, corresponden a la energ´ıa total (las energ´ıas en reposo no se conservan), mientras que las masas dadas por (4.43) determinan las energ´ıas en reposo. Con esto, ser´a suficiente usar solamente el principio de conservaci´on de la energ´ıa, por lo que el conjunto de ecuaciones es:

E0 (n) = mn c2 , E0 (U) = mU c2 , E0 (S) = mS c2 , E0 (X) = mX c2 , Kn = En − E0 (n), KU = EU − E0 (U), KS = ES − E0 (S), KX = EX − E0 (X). Ei = E f .

(4.45)

Nuestras variables conocidas son todas las masas en reposo, por lo que sus energ´ıas en reposo se pueden calcular directamente con la primera l´ınea de ecuaciones en (4.45). No conocemos las energ´ıas totales iniciales ni finales, pero eso no interesa ya que debemos calcular la diferencia de energ´ıas cin´eticas, por lo que al realizar la resta y en virtud de la conservaci´on de la energ´ıa, las totales se van a cancelar. As´ı, la u´ nica contribuci´on al cambio de energ´ıa cin´etica proviene del cambio de las energ´ıas en reposo. Usando la segunda l´ınea de ecuaciones en (4.45) se obtiene:

∆K = K f − Ki = Kn + KU − KS − KX − 4Kn = (mU − mS − mX − 3mn ) c2 .

(4.46)

Reemplazando los valores num´ericos de (4.43), se obtiene que ∆K = (0.264 u.m.a.)c2 . Para convertirlo en Joules, se hace uso de la definici´on (4.41) y se usa la velocidad de la luz a 3 cifras significativas, que es 2.998 × 108 m/s, por lo que:

´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

58

1.685 × 10−27 kg 2 c 1 u.m.a = 3.998 × 10−11 J,

∆K = (0.264 u.m.a.)c2 = (0.264 u.m.a.)

(4.47)

que corresponde a la energ´ıa liberada para una u´ nica reacci´on. Si el proceso se multiplica por muchas reacciones id´enticas, la energ´ıa liberada aumentara en el mismo factor. Para el punto b.), se pide calcular cuantas reacciones son necesarias para producir una cantidad dada de energ´ıa liberada pero suponiendo que solamente el 50 % de esa energ´ıa se convierte efectivamente en energ´ıa el´ectrica. As´ı, definimos la eficiencia como la raz´on entre la energ´ıa el´ectrica convertida y la energ´ıa total liberada por un n´umero N de reacciones: η=

Eelect . N∆K

(4.48)

En el problema planteado, se tiene que η = 0.5, Eelect = 5.7 × 1013 kilovatios-hora y ∆K = 3.998 × 10−11 J. As´ı, el problema num´erico se reduce a realizar la conversi´on de kilovatios-hora a Joules y calcular el n´umero de reacciones necesarias, N. Para la conversi´on de unidades, recordemos que el vatio es la unidad de la raz´on de energ´ıa transferida por unidad de tiempo, por lo que: kiloJoules 3600 s s 1h = 2.052 × 1020 J.

Eelect = 5.7 × 1013 kilovatios-hora = 5.7 × 1013

(4.49)

Reemplazando los valores, se obtiene que el n´umero de reacciones necesarias para obtener la energ´ıa el´ectrica de consumo en un a˜no en Colombia a un 50 % de eficiencia es N = 1.026 × 1031 , que requerir´a el mismo n´umero de nucleos de Uranio, cada uno de masa 235.175 u.m.a, lo que corresponder´a a una masa total de:

MU = NmU


= 235.175 u.m.a 1.026 × 1031  
1.685 × 10−27 kg = 235.175 1.026 × 1031 1 u.m.a = 4066 × 106 kg,

que corresponde a cerca de 4000 toneladas de Uranio.

(4.50)

Parte II Fundamentos Geom´etricos

59

CAP´ITULO

5

Estructura Espacio Tiempo

En 1907, el f´ısico Hermann Minkowski introdujo el concepto de espacio-tiempo en el lenguaje de la relatividad especial como una alternativa de entender los efectos cinem´aticos de los postulados. Dicha formulaci´on permiti´o el desarrollo de dos ideas fundamentales de la f´ısica actual. Primero, aunque la formulaci´on fue originalmente propuesta para observadores inerciales (relatividad especial), permiti´o la extensi´on natural a observadores acelerados (relatividad general). Segundo, el tratamiento geom´etrico revel´o indirectamente la importancia de los principios de invariancia en f´ısica, los cuales fueron fundamentales para la construcci´on de las teor´ıas que describen las dem´as interacciones: la electromagn´etica, la fuerte y la d´ebil. En e´ ste cap´ıtulo se introducen los conceptos b´asicos del tratamiento geom´etrico de la relatividad.

5.1.

La geometr´ıa Euclidiana del espacio

El concepto m´as b´asico que define la geometr´ıa de un espacio vectorial es la de distancia entre puntos. En particular, definimos la distancia Euclidiana entre dos puntos medido en un espacio vectorial de n dimensiones respecto a un sistema de ejes coordenados como:

d=

q ∆x12 + ∆x22 + ... + ∆xn2 ,

(5.1)

donde cada variable ∆xi representa la proyecci´on de la distancia sobre cada uno de los ejes coordenados. La geometr´ıa del espacio viene determinada por el siguiente principio de invariancia: 61

CAP´ITULO 5. ESTRUCTURA DE ESPACIO-TIEMPO

62

Un espacio de n dimensiones es de naturaleza Euclidiana si la distancia Euclidiana es la misma entre sistemas coordenados rotados

y

y2

d

α

x2

Figura 5.1

Las posiciones espaciales de los objetos se pueden describir de forma completa en un espacio vectorial de 3 dimensiones, pero por simplicidad, nos limitamos a un subespacio de 2 dimensiones sobre el plano cartesiano (x, y). Para contextualizar la discusi´on, consideremos el caso de una part´ıcula que parte de la posici´on (x, y) = (0, 0) (evento 1) y se desplaza en l´ınea recta hasta la posici´on (x, y) = (x2 , y2 ) (evento 2) medido desx

de un sistema coordenado con su eje x horizontal, como se muestra en la Figura 5.1. La distancia [Euclidiana] recorrida por la part´ıcula se define en ese sistema coordenado como: d=

y’

y

y2

x’

θ

x2

Figura 5.2

d

(5.2)

Por otro lado, la Figura 5.2 representa la misma situaci´on superponiendo al anterior un sistema de ejes coordenados rotado en un a´ ngulo θ y sus correspondientes proyecciones, en donde el evento 1 tiene posici´on (x0 , y0 ) = (0, 0) y el 2 tiene posici´on (x0 , y0 ) = (x20 , y02 ). La distancia Euclidiana medida en este sistema coordenado ser´a: q d = x202 + y02 2.

x2’



y2’



q x22 + y22 .

0

x

(5.3)

q Si nuestro espacio es de naturaleza Euclidiana, entonces se debe cumplir que x22 + y22 = q x202 + y02 angulos 2 . Para demostrar que es as´ı, extraigamos de la Figura 5.2 los dos tri´ cuya hipotenusa es la misma, la cual ilustramos en la Figura 5.3. Por simple geometr´ıa [Euclidiana], se obtienen las siguiente proyecciones:

y2

α

Sistema no rotado:

x2

Sistema rotado:

y’

2

d

α-θ

x’

2

Figura 5.3

x2 = d cos α,

y2 = d sin α,

x20

y02 = d sin (α − θ ).

= d cos (α − θ ),

(5.4)

En particular, usando identidades trigonom´etricas b´asicas, las coordenadas en el sistema rotado se pueden escribir como:

x20 = d cos α cos θ + d sin α sin θ , y02 = d sin α cos θ − d cos α sin θ .

(5.5)

Al comparar las coordenadas de la ecuaci´on (5.5) con las coordenadas del sistema no rotado en (5.4), obtenemos las siguientes ecuaciones de rotaci´on:

5.2. ESTRUCTURAS DE ESPACIO-TIEMPO

63

x20 = x2 cos θ + y2 sin θ , y02 = −x2 sin θ + y2 cos θ .

(5.6)

Reemplazando estas ecuaciones en la distancia de la ecuaci´on (5.3), se obtiene: q q x202 + y02 = (x2 cos θ + y2 sin θ )2 + (−x2 sin θ + y2 cos θ )2 2 q

= x22 cos2 θ + sin2 θ + y22 sin2 θ + cos2 θ q = x22 + y22 ,

(5.7)

es decir, la distancia definida como (5.2) queda invariante frente a la rotaci´on del sistema coordenado, por lo que el espacio de posiciones en nuestro Universo es de naturaleza Euclidiana. La principal conclusi´on extraida de las ecuaciones (5.6), es que bajo rotaciones, las coordenadas (x, y) var´ıan pero no de forma independiente ni separada una de otra, sino conjuntamente una dependiendo de la otra con un solo f´ın: que la distancia Euclidiana se mantenga invariante. Decimos entonces que la coordenada x tiene la misma naturaleza que y, y esa naturaleza es Euclidiana. Lo mismo se puede decir de la coordenada z en la extensi´on a 3 dimensiones. Pero ¿qu´e sucede si adicionamos el tiempo?

5.2.

Estructuras de espacio-tiempo

En general, un diagrama de espacio-tiempo se define como el conjunto de eventos trazado sobre una gr´afica de tiempo en funci´on de las coordenadas espaciales. La Figura 5.4 ilustra un ejemplo de diagrama espacio-temporal en una dimensi´on espacial. As´ı, en el contexto de los diagramas, introducimos las siguientes definiciones: 1. Evento: Es un punto en un diagrama de espacio-tiempo. 2. L´ınea de Universo: Es la l´ınea que une dos eventos en un diagrama de espaciotiempo. 3. Espacio-tiempo tipo (n + m): Espacio vectorial con n coordenadas espaciales y m temporales. 4. Intervalo de espacio-tiempo: Tambi´en conocido como la distancia de espaciotiempo, es la longitud de la l´ınea de Universo que une dos eventos. Observamos que la distancia de espacio-tiempo es la generalizaci´on de la distancia entre dos puntos en el espacio. Es importante aclarar que una l´ınea de Universo no es lo mismo

t

t2

t1

x1

Figura 5.4

x2

x

CAP´ITULO 5. ESTRUCTURA DE ESPACIO-TIEMPO

64

Rotaci´ on Espacial

Transformaci´ on inercial

= (cos θ )x + (sin θ )y 0 y = −(sin θ )x + (cos θ )y

x0 = Ax + Bt t 0 = Dx + Et

x0

Tabla 5.1: Comparaci´on entre rotaciones espaciales y transformaci´on general entre observadores inerciales en movimiento relativo

que una trayectoria, la cual se define como una sucesi´on de posiciones espaciales. As´ı, la curva de la Figura 5.4 representa una sucesi´on de eventos que se adelantan m´as o menos r´apido en el tiempo, pero la trayectoria es siempre una l´ınea recta sobre el eje x. En el caso de un espacio-tiempo tipo (2 + 1), las l´ıneas de Universo se extienden sobre una superficie tridimensional curva, mientras que sus trayectorias son l´ıneas en un plano de dos dimensiones. En (3 + 1), la l´ıneas se extienden sobre hipersuperficies de cuatro y’

y

dimensiones, y sus trayectorias son curvas en las 3 dimensiones espaciales. Aunque los Σ’

u

Σ

espacios vectoriales con dimensionalidad mayor o igual a (3 + 1) no se puedan graficar, s´ı se pueden describir de forma algebr´aica. x’

Por otro lado, la transformaci´on de coordenadas entre observadores inerciales se x

puede ver alternativamente como rotaciones de ejes en un diagrama de espacio-tiempo, an´alogo (aunque no id´entico) a las rotaciones del espacio, lo que nos permitir´a hacer una Figura 5.5 descripci´on geom´etrica de la cinem´atica relativista. Para ver eso, retomemos la forma general de una transformaci´on dada por las ecuaciones (2.8) del Cap´ıtulo 2 y las ecuaciones de rotaci´on espacial dadas en (5.6), reunidas en la Tabla 5.1. Al comparar ambos casos, vemos una analog´ıa donde en vez de las coordenadas (x, y), se tienen los ejes (x,t), mientras que los cosenos y senos son reemplazados por los coeficientes gen´ericos A, B, D y E. Hay que aclarar que esta analog´ıa no es exacta debido a que mientras las funciones senos y cosenos toman valores cerrados entre −1 y 1, los coeficientes pueden i·t

i·t’

tomar valores hasta infinito. Dichos coeficientes pueden ser descritos por medio de las i·

θ2

x’

funciones hiperb´olicas, las cuales permiten una interpretaci´on geom´etrica an´aloga a una rotaci´on, pero en un plano complejo con a´ ngulos imaginarios (esto se detallar´a en las i·

θ1

secciones siguientes). As´ı, la transformaci´on de las coordenadas entre observadores en x

movimiento relativo mostrado en la Figura 5.5, se puede representar equivalentemente como una rotaci´on de los ejes espacio-temporales, donde cada eje rota en un a´ ngulo imaFigura 5.6 ginario como se muestra en la gr´afica de la Figura 5.6, y donde el eje temporal se toma como el eje imaginario1 . La naturaleza del espacio-tiempo viene entonces determinada por el comportamiento del intervalo de espacio-tiempo entre eventos bajo rotaciones de los ejes espacio-temporales. A continuaci´on, discutiremos las estructuras de espaciotiempo en el contexto de las transformaciones de Galileo y de Lorentz. 1 El

tiempo imaginario i · t = it simplemente es una descripci´on matem´atica. Lo que tiene significado f´ısico es el “coeficiente” t que acompa˜na a la unidad imaginaria. Vamos a seguir hablando de diagramas de espacio-tiempo independiente de que la descripci´on sea real o compleja (el contenido f´ısico no cambia).

5.2. ESTRUCTURAS DE ESPACIO-TIEMPO

5.2.1.

65

Espacio-tiempo cl´asico

Las transformaciones de Galileo para una dimensi´on espacial son:

i·t

x0 = x − ut, 0

t = t,

(5.8)

que se pueden ver como una rotaci´on en un plano espacio-tiempo complejo, donde u´ nicamente el eje x rota. Consideremos el caso de un observador inercial Σ que mide una part´ıcula movi´endose sobre el eje x a velocidad constante v desde su origen. La l´ınea de Universo de la part´ıcula en su diagrama de espacio-tiempo es entonces una l´ınea recta, como se muestra en la Figura 5.7, donde s indica la distancia de espacio-tiempo y (it2 , x2 ) indican un tiempo [imaginario] y una posici´on final de la part´ıcula. Si otro observador Σ0 en movimiento relativo describe la cinem´atica de la misma part´ıcula, obtendr´a una l´ınea de Universo con una pendiente (velocidad) diferente al anterior. La superposici´on del diagrama de espacio-tiempo del observador en movimiento Σ0 respecto al de Σ se puede representar como una rotaci´on, donde el eje x0 forma un a´ ngulo imaginario iφ , tal que (ver problema 13): sin iφ ≈ iu,

cos iφ ≈ 1,

(5.9)

mientras que los ejes temporales coinciden, de acuerdo a las transformaciones de las ecuaciones (5.8). La Figura 5.8 representa las proyecciones2 de las distancias en el sistema rotado y no rotado simult´aneamente. Se evidencia en la figura que si el eje temporal no rota y el tiempo es el mismo, entonces el intervalo de espacio-tiempo s0 medido por el observador Σ0 no coincide con el medido por Σ, es decir, bajo transformaciones de Galileo no es posible definir un espacio-tiempo que deje invariante la distancia [de espacio-tiempo] entre eventos. As´ı, en mec´anica cl´asica el tiempo se describe como un par´ametro independiente y separado del espacio en el sentido de que no existe un principio geom´etrico de invariancia que relacione el tiempo y el espacio bajo rotaciones espacio-temporales. En este sentido es que decimos que el tiempo tiene una naturaleza diferente a la del espacio en mec´anica cl´asica. La importancia de los diagramas de espacio-tiempo en mec´anica cl´asica radica en que son una herramienta u´ til para la descripci´on del movimiento de los cuerpos, pero no contienen ning´un principio fundamental de la f´ısica.

2 Gr´aficamente,

las proyecciones se trazan como l´ıneas paralelas a cada eje.

i·t2

s

i·

θ2

x

x2

Figura 5.7

i·t

i·t2

s’

s

’

i·

φ

x2

Figura 5.8

x

66

5.2.2.

CAP´ITULO 5. ESTRUCTURA DE ESPACIO-TIEMPO

Espacio-tiempo de Poincar´e

Escribamos las transformaciones de Lorentz simples dadas por la ecuaci´on (2.21) como: u x0 = γx − γ ct, c u 0 ct = − γx + γct, c

(5.10)

donde los tiempos, por conveniencia, se multiplicaron por la velocidad de la luz, la cual es una constante universal independiente del movimiento del observador. A diferencia de las transformaciones de Galileo, vemos que la analog´ıa con las rotaciones espaciales es m´as cercana en el sentido de que tanto el tiempo como la coordenada espacial cambian. As´ı, considerando la representaci´on compleja, definimos los a´ ngulos de rotaci´on tal que:

cos iφ = γ, u sin iφ = i γ = iβ γ, c

(5.11)

por lo que las TLS expresadas en la forma de la ecuaci´on (5.10) se pueden escribir de forma equivalente en un plano complejo como: x0 = x cos iφ + ict sin iφ , ict 0 = −x sin iφ + ict cos iφ .

(5.12)

El significado f´ısico de los a´ ngulos imaginarios se aclara en la Secci´on 6.4. Por el momento simplemente lo asimilamos como una rotaci´on de los ejes. Por otro lado, como el eje temporal se reparametriz´o en terminos de un producto con una velocidad [de la luz], se asimila como una coordenada con unidades de longitud, semejante a una coordenada espacial. As´ı, se acostumbra en el caso m´as general usar la siguiente notaci´on para marcar las coordenadas espacio-temporales de eventos:

(x, y, z, ict) → (x1 , x2 , x3 , x4 ),

(5.13)

que genera el espacio-tiempo en el esquema de tiempo imaginario (esquema de Poincar´e). As´ı, en el caso del plano (1 + 1), las TLS se escriben como: x10 = x1 cos iφ + x4 sin iφ , x40 = −x1 sin iφ + x4 cos iφ ,

(5.14)

5.2. ESTRUCTURAS DE ESPACIO-TIEMPO

67

que son el an´alogo espacio-temporal de las rotaciones espaciales de la ecuaci´on (5.6). As´ı, tomando de nuevo el ejemplo de una part´ıcula que se mueve con velocidad constante, se puede trazar su l´ınea de Universo en el sistema de ejes de un observador Σ, y el correspondiente sistema coordenado rotado de un observador Σ0 en movimiento relativo, como se muestra en la Figura 5.9. Como la coordenada temporal x4 rota, se puede observar en la figura que es posible definir una distancia de espacio-tiempo, s, que se mantiene invariante frente a las rotaciones (transformaciones) de Lorentz, donde la distancia se define en la forma Euclidiana como : q q 2 2 s = x1 + x4 = x102 + x402 . (5.15) As´ı, bajo TLS, es posible definir una estructura de espacio-tiempo donde la coordenada temporal y las espaciales var´ıan conjuntamente una dependiendo de la otra tal que el intervalo de espacio-tiempo se mantiene invariante. Decimos entonces que el tiempo adquiere la misma naturaleza que las coordenadas espaciales. En el caso del esquema complejo usado, esa naturaleza, al igual que la geometr´ıa del espacio, es Euclidiana.

Problema 12: Demuestre que de acuerdo a las rotaciones definidas en (5.11), se cumple la identidad: sin2 iφ + cos2 iφ = 1.

(5.16)

Problema 13: Demuestre que haciendo el cambio sin iφ → c−1 sin iφ , las ecuaciones (5.11) se aproximan a (5.9) en el l´ımite cl´asico, mientras que las TLS expresadas en (5.12) se convierten en las de Galileo en (5.8).

5.2.3.

Espacio-tiempo de Minkowski

En la estructura de espacio-tiempo de Poincar´e, las TLS junto con las rotaciones espaciales generan una geometr´ıa donde las distancias invariantes toman la forma Euclidiana. Existe otro esquema equivalente, donde el plano y los a´ ngulos de rotaci´on son reales, pero la geometr´ıa es seudo-Euclidiana con coordenadas espacio-temporales definidas como: (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, x, y, z),

(5.17)

donde la coordenada temporal es real (esquema de Minkowski). Para distinguirlo del esquema complejo, el tiempo se marca como la primera coordenada y con el sub´ındice

x4’



x4

x1’



s

i·

φ

Figura 5.9

x1

68

CAP´ITULO 5. ESTRUCTURA DE ESPACIO-TIEMPO

0. La relaci´on entre ambos esquemas se manifiesta al calcular el cuadrado de las coordenadas temporales: x42 = (ict)2 = − (ct)2 = −x02 .

x0

(5.18)

As´ı, la distancia de espacio-tiempo definida en el plano complejo de acuerdo a la forma Euclidiana de (5.15) se convierte en un plano real en la distancia seudo-Euclidiana: q x’

s = x12 − x02 . (5.19) 1

φ

x1

Las TLS definidas de acuerdo a la forma (5.10), se reescriben en el esquema real como:

Figura 5.10 x10 = γ (x1 − β x0 ) , x00 = γ (x0 − β x1 ) .

Las transformaciones expresadas en la ecuaci´on (5.20) se pueden interpretar como rotaci´on de ejes coordenados si encontramos la ecuaci´on de cada eje, x00 y x10 , sobre un plano ortogonal formado por los ejes x0 y x1 . Por ejemplo, si en la segunda ecuaci´on de (5.20) hacemos x00 = 0, encontraremos el conjunto de eventos en el plano (x0 , x1 ) simult´aneos en el tiempo t 0 = 0. Al despejar, se obtiene :

x’

0

x0

(5.20)

φ

x’

1

φ

x1

x0 = β x1 ,

(5.21)

que representa una l´ınea recta en el plano (x0 , x1 ) con pendiente Figura 5.11 tan φ = β ,

(5.22)

como se muestra en la Figura 5.10. El conjunto de eventos ocurridos en el tiempo t 0 = 0 no es m´as que la definici´on del eje x10 . De forma an´aloga, si tomamos el conjunto de eventos que ocurren en la posici´on x10 = 0, entonces de la primera ecuaci´on en (5.20) obtenemos la soluci´on:

x0

x’

0

s

x0 = (β )−1 x1 ,

x1’



x1

Figura 5.12

(5.23)

cuya pendiente es tambi´en β pero respecto al eje vertical, lo que nos define al eje x00 . La Figura 5.11 muestra la superposici´on de ambas rectas. As´ı, la TLS en el esquema real de Minkowski se pueden interpretar como una rotaci´on, donde los ejes coordenados espacio-temporales de observadores en movimiento relativo rotan en direcci´on opuesta, mientras que la distancia semi-Euclidiana definida en (5.19) se mantiene invariante frente a dichas rotaciones, como se ilustra en la Figura 5.12. Es importante resaltar de nuevo que las proyecciones se realizan trazando l´ıneas paralelas a los ejes de acuerdo a cada observador.

5.3. LA ESTRUCTURA DE CONO DE LUZ

5.3.

69

La estructura de cono de luz

La distancia de espacio-tiempo de la ecuaci´on (5.19) se defini´o para el caso particular de que el primer evento suceda en el origen de los ejes espacio-temporales y para dimensionalidad (1 + 1). En general, si los eventos ocurren con una separaci´on espacial ∆x y en un intervalo de tiempo ∆t, el cuadrado del intervalo de espacio-tiempo es: ∆s2 = |∆x|2 − ∆x02 ,

(5.24)

donde ∆x indica el vector de desplazamiento espacial, cuya magnitud mantiene la forma Euclidiana q |∆x| = ∆x12 + ∆x22 + ∆x32 , (5.25) raz´on por la cual al intervalo en (5.24) se le llama seudo-Euclidiana (Euclidiano en el espacio, pero no Euclidiano en el tiempo). Se evidencia que el intervalo de espaciotiempo puede ser positivo, nulo o negativo seg´un la relaci´on entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo. Antes de discutir cada caso, tengamos en cuenta que:   |∆x| : Distancia espacial entre dos eventos    ∆t : Diferencia de tiempo entre dos eventos  c∆t : Distancia recorrida por un rayo de luz     en el intervalo de tiempo de los eventos

(5.26)

Veamos los diferentes casos que genera el signo del intervalo. i.) Intervalo tipo espacio: Corresponde al intervalo de espacio-tiempo entre eventos cuya separaci´on [espacial] es mayor que la distancia que recorrer´ıa un rayo de luz en el intervalo de tiempo en que ocurren esos mismos eventos:

|∆x|2 > (c∆t)2

⇒ ∆s2 > 0.

(5.27)

As´ı, si se env´ıa un rayo de luz en el lugar y en el instante en que ocurre el primer evento, ese rayo de luz no alcanza a llegar al lugar donde y cuando ocurre el segundo evento. ii.) Intervalo tipo luz: Corresponde al intervalo de espacio-tiempo de eventos cuya separaci´on es igual a la distancia que recorrer´ıa un rayo de luz en el intervalo de tiempo en que ocurren esos mismos eventos:

|∆x|2 = (c∆t)2

⇒ ∆s2 = 0.

(5.28)

70

CAP´ITULO 5. ESTRUCTURA DE ESPACIO-TIEMPO

As´ı, si se env´ıa un rayo de luz en el lugar y en el instante en que ocurre el primer evento, ese rayo de luz justo alcanza a llegar al lugar donde y cuando ocurre el segundo evento. iii.) Intervalo tipo tiempo: Corresponde al intervalo de espacio-tiempo de eventos cuya separaci´on es menor que la distancia que recorrer´ıa un rayo de luz en el intervalo de tiempo en que ocurren esos mismos eventos:

x0

1  

2  

x0(A)  

|∆x|2 < (c∆t)2

A   3  

4  

x1(A)  

C  

B   Δ

s2<0

Δ

s2=0

A   D   Δ

s2>0

F   E  

Figura 5.14

(5.29)

As´ı, si se env´ıa un rayo de luz en el lugar y en el instante en que ocurre el primer evento, ese rayo de luz llega a la posici´on del segudo evento antes de que e´ ste ocurra.

x1

Figura 5.13

⇒ ∆s2 < 0.

En particular, el intervalo tipo luz divide al espacio-tiempo en regiones separadas por las l´ıneas de Universo de rayos de luz viajando hacia y desde un evento. Por ejemplo, la Figura 5.13 representa las l´ıneas de Universo de cuatro rayos de luz en un diagrama de dimensi´on (1 + 1): dos rayos de luz se emiten desde el evento A en direcciones opuestas (l´ıneas 1 y 2), y simult´aneamente otro dos rayos llegan al evento A de direcciones opuestas (l´ıneas 3 y 4). Tal configuraci´on de l´ıneas de Universo se conoce como cono de luz. La Figura 5.14 ilustra los tres tipos de intervalos espacio-tiemporales en relaci´on a un cono de luz. Los eventos A y B estan separados por un intervalo tipo tiempo, los eventos C y D lo estan por un intervalo tipo luz, y los eventos E y F son eventos separados por un intervalo tipo espacio. Es importante enfatizar que el intervalo tipo luz, que es nulo, se representa como una l´ınea paralela al cono de luz, contrario a la distancia espacial nula, la cual se representa como un punto de longitud cero.

5.3.1.

El principio de causalidad

La estructura de cono de luz del espacio-tiempo de Minkowski separa el espaciotiempo en tres regiones de influencias en relaci´on a alg´un evento puntual A, representado como el v´ertice del cono. Primero, el interior del cono se define como el conjunto de eventos que se pueden unir con el A por intervalos tipo tiempo. Todos los eventos debajo del v´ertice son eventos que ocurren antes de A, por lo que los vamos a llamar el pasado de A, mientras que aquellos que estan por encima, ser´an eventos que ocurren despu´es, por lo que representan el futuro de A, como se indica en la Figura 5.15. Segundo, como consecuencia de la estructura del cono de luz, aparece una nueva regi´on externa al cono, formada por todos aquellos eventos que no tienen ninguna relaci´on causal con A, es decir, no forman ni el pasado, ni el futuro de A, por lo que simplemente lo vamos a llamar el resto. As´ı, cualquier evento futuro son eventos potencialmente posibles que pueden ser causados por A en el sentido de que cualquier objeto o informaci´on que viaje por debajo o igual a la velocidad de la luz puede influenciar eventos [futuros] despu´es

5.3. LA ESTRUCTURA DE CONO DE LUZ

71

de que ocurri´o el evento A. Por otro lado, el pasado de A corresponde a todos aquellos posibles eventos que pudieron causar o influenciar al evento A. Los eventos ubicados en el resto tendr´ıan que enviar informaci´on que viaje por encima de la velocidad de la luz para conectarsen con A, por lo que tales eventos no pueden influencia ni tampoco ser influenciados por el evento A3 . Por otro lado, podr´ıamos plantear un efecto causal inverso del pasado y futuro de un evento. Por ejemplo, si el futuro de A se define como todos los posibles eventos que pueden ser influenciados por A, ¿ser´a posible que los eventos futuros de A puedan influenciar a los eventos pasados?. Si eso fuera posible, encontramos entonces una ambig¨uedad de lo que llamamos pasado y futuro, lo que nos llevar´a a paradojas como la famosa paradoja del abuelo: si una persona pudiera viajar a su pasado y matar a su abuelo antes de conocer a su abuela, entonces esa persona no hubiera nacido, y por lo tanto no pudo haber viajado al pasado para matar a su abuelo. Sin embargo, las observaciones muestran que el Universo define una u´ nica direcci´on temporal de los eventos contenido en el principio de causalidad: Principio de causalidad : Para todo observador inercial, ning´un evento puede influenciar eventos que ya sucedieron; solamente los eventos pasados pueden influenciar eventos futuros.

As´ı, el principio de causalidad define de forma invariante y absoluta el pasado y el futuro de los eventos:

Pasado de un evento A:

Son todos aquellos eventos que sucedieron o pudieron suceder y que pueden influenciar a A.

Futuro de un evento A:

Son todos aquellos eventos que suceder´an o pueden suceder y que A puede influenciar.

Los eventos del resto, son eventos o realidades posibles, pero que no pueden influenciar ni ser influenciados por el evento A, ni por su futuro, ni por su pasado.

3 No

con las formas de materia y energ´ıa conocidas del Universo. Aunque el principio de la relatividad especial no prohibe la existencia de taquiones, estos no han sido observados.

Resto  

Resto   Evento   A  

Figura 5.15

72

CAP´ITULO 5. ESTRUCTURA DE ESPACIO-TIEMPO

Problema 14: Una vara de longitud propia L0 se mueve horizontalmente con velocidad u hacia una pared fija. Asumiendo que la infomaci´on de los eventos de un extremo a otro se propaga a la velocidad l´ımite c, calcule la longitud final de la vara despu´es de quedar enteremante en reposo respecto a la pared de acuerdo al observador que viaja a velocidad u. Pista: Resuelva el problema pintando las l´ıneas de universo de los extremos de acuerdo a como se describe abajo.

El observador que viaja junto con la vara cuando e´ sta se encuentra en movimiento en el problema 14 observa que es la pared la que se mueve hacia un extremo con velocidad −u, mientras que la vara se encuentra inicialmente en reposo. Puesto que la informaci´on no puede viajar m´as r´apido que la velocidad c, la colisi´on entera se prolonga entre dos eventos que se pueden describir en un diagrama de espacio-tiempo: el primer evento sucede cuando la pared toca un extremo de la vara (evento A), el cual se empieza a mover junto con la pared, y el segundo cuando la informaci´on de la colisi´on llega al extremo opuesto (evento B), instante en que dicho extremo se pone en movimiento. La longitud final se puede obtener al pintar las l´ıneas de Universo de cada extremo entre los dos eventos, teniendo como referencia el cono de luz con v´ertice en el evento A. El efecto descrito en el problema anterior se puede usar para resolver una de las versiones de la paradoja del saltador con p´ertiga. La paradoja consiste en un saltador S que lleva una p´ertiga horizontal con longitud propia L0 y corriendo a velocidad u. El saltador ingresa a un garaje cuya longitud propia coincide con la longitud de la p´ertiga en movimiento medida por un portero P en reposo respecto al garaje. Tan pronto el portero observa que los extremos se encuentran al interior del garaje, activa un sistema que cierra instant´aneamente las puertas, dejando al saltador completamente encerrado. Por su lado, el saltador mide que la longitud del garaje en movimiento est´a contraida respecto a su vara, tal que aparemente no puede quedar encerrado dentro del garaje cuando las puertas se cierran. Determine si el saltador queda o no encerrado.

CAP´ITULO

6

La Geometr´ıa de la Cinem´atica Relativista

La estructura de espacio-tiempo estudiada en el cap´ıtulo anterior es consecuencia directa de las transformaciones de Lorentz, las cuales a su vez se soportan en los postulados de la relatividad especial. As´ı, la geometr´ıa exhibida por el espacio-tiempo de Minkowski incorpora autom´aticamente efectos relativistas tales como la dilataci´on temporal y la contracci´on de Fitzgerald-Lorentz. En e´ ste cap´ıtulo se discutir´a el tratamiento geom´etrico de la cinem´atica relativista, la cual se har´emos en el esquema real de Minkowski. Sin embargo, antes es importante distinguir aquellas distorsiones aparentes que surgen debido a la naturaleza seudo-Euclidiana del espacio-tiempo de Minkowski para no confundirlos con los efectos verdaderamente relativistas.

x0’



x0

φ

φ

x1’



x1

Figura 6.1

6.1.

Distorsi´on Angular

La Figura 5.11 del cap´ıtulo anterior ilustra los ejes coordenados ortogonales (x0 , x1 ) asociados a un observador Σ en reposo, mientras que los ejes (x00 , x10 ) corresponde a los ejes de otro observador Σ0 visto en movimiento desde Σ. Debido a la naturaleza seudoEuclidiana del espacio de Minkowski, pareciera como si los ejes de Σ0 perdieran su ortogonalidad. Pero si nos ubicamos sobre el observador Σ0 , vemos que sus ejes, ahora en reposo, siguen siendo ortogonales, mientras que los ejes del observador Σ movi´endose en direcci´on opuesta, se ven rotados como se muestra en la Figura 6.1. As´ı, para la correcta interpretaci´on geom´etrica de los aspectos cinem´aticos de la relatividad, debemos ser cuidadosos de la presencia de distorsiones irreales debido a la no ortogonalidad aparente de los ejes en movimiento. Para ilustrar los efectos de esa distorsi´on, consideremos el tri´angulo espacio-temporal con un a´ ngulo recto mostrado en la Figura 6.2 en reposo respecto a un observador Σ0 . Si trazamos el mismo tri´angulo desde otro observador Σ 73

x0’



Δ

x’

0

Δ

s

90

0

Δ

x’

1

Figura 6.2

x1’



74

´ CAP´ITULO 6. LA GEOMETR´IA DE LA CINEMATICA RELATIVISTA

que ve a Σ0 en movimiento relativo, se obtiene el tri´angulo distorsionado de la Figura 6.3, donde el a´ ngulo sigue siendo recto aunque se vea deformado en un a´ ngulo agudo, efecto que llamaremos distorsi´on angular.

x0

x0’



6.2. Δ

s

Estudiaremos los efectos relativistas del tiempo y la longitud en el contexto de los x1’



diagramas de espacio-tiempo en el esquema real de Minkowski.

0

90

x1

Figura 6.3

Σ

Σ’

x0

Cinem´atica

A

B

6.2.1.

Relatividad de la simultaneidad

Consideremos un observador inercial Σ, que mide dos eventos simult´aneos A y B que ocurren en el tiempo t y en las posiciones x1A y x1B respectivamente. Usando rotaci´on de diagramas espacio-temporales, podemos comprobar que esos mismos eventos ya no ser´an simult´aneos desde otro observador Σ0 movi´endose con velocidad relativa u. La Figura 6.4 muestra los eventos y sus proyecciones sobre los ejes del observador en reposo Σ y los ejes del observador en movimiento Σ0 rotados en un a´ ngulo φ , de acuerdo a la ecuaci´on (5.22). A simple vista, es evidente que los eventos medidos por Σ0 ocurren en tiempos diferentes en un intervalo ∆x00 = c∆t 0 , y con una separaci´on espacial ∆x10 . La Figura 6.5 muestra el tri´angulo espacio-temporal extraido del diagrama anterior, donde al tener en cuenta la distorsi´on angular, se cumple1 :

φ

A

x1

tan φ =

x1B



∆x00 u =β = , 0 ∆x1 c

(6.1)

de donde se obtiene: Figura 6.4

∆x00 . β Por otro lado, como el intervalo de espacio-tiempo es invariante, se cumple: ∆x10 =

Δ

s

Δ

x0

A

φ

0

90

B

2

2

∆s2 = ∆x0 1 − ∆x0 0 = ∆x12 .

(6.2)

(6.3)

Reemplazando el intervalo espacial obtenido en (6.2) en la ecuaci´on (6.3), se obtiene: ∆x0 20 β2

Figura 6.5

1 Para

2

∆x0 0 = ∆x12   β2 02 ⇒ ∆x 0 = ∆x12 1−β2 ⇒ ∆x00 = γβ ∆x1 γβ ⇒ ∆t 0 = ∆x1 . c −

(6.4)

mayor claridad, pueden pintar e´ se mismo tri´angulo tomando a Σ0 como el sistema en reposo.

´ 6.2. CINEMATICA

75

As´ı, los eventos en Σ0 se separan temporalmente. Los eventos son simult´aneos en Σ0 solamente si la separaci´on espacial en Σ es nula, es decir, ∆t 0 = 0 solo si ∆x1 = 0, lo que describe las propiedades relativistas de la simultaneidad obtenidas en la subsecci´on 3.1.1 bajo las TLS: es relativa para eventos ocurridos en diferentes posiciones espaciales, y es absoluta para eventos ocurridos en la misma posici´on

Dilataci´on temporal

Consideremos ahora un observador inercial Σ, que mide dos eventos A y B en la misma posici´on x1 y en los tiempos propios t A y t B respectivamente. Usando rotaci´on de diagramas espacio-temporales podemos calcular el intervalo de tiempo entre esos mismos eventos desde otro observador Σ0 movi´endose con velocidad relativa u. La Figura 6.6 muestra los eventos y sus proyecciones sobre los ejes del observador en reposo Σ y los ejes del observador en movimiento Σ0 . La Figura 6.7 muestra el tri´angulo distorsionado, el cual ahora cumple con la relaci´on: tan φ =

∆x10 = β, ∆x00

x0A  

x0B  

Σ

Σ’

φ

B

x1

Figura 6.6

(6.5)

A

de donde se obtiene: ∆x10 = β ∆x00 .

(6.6)

La invariancia del intervalo espacio-temporal nos lleva a 2

∆s =

2 2 ∆x0 1 − ∆x0 0

=

−∆x02 .

φ

(6.7)

0

Δ

x’

1

2

β 2 ∆x0 0

⇒

B

2

∆x0 0 = −∆x02   1 02 ⇒ ∆x 0 = ∆x02 1−β2 ⇒ ∆x00 = γ∆x0 −

Δ

s

90

Reemplazando el intervalo (6.6) en la ecuaci´on (6.7), se obtiene:

∆t 0 = γτ,

Figura 6.7

(6.8)

donde τ = t A − t B es el intervalo de tiempo propio medido por el observador Σ. La ecuaci´on anterior no es mas que la f´ormula de dilataci´on temporal obtenida en la ecuaci´on (3.6) del cap´ıtulo 3 bajo las TLS.

6.2.3.

A

x0

6.2.2.

Contracci´on de Fitzgerald-Lorentz

Para obtener el efecto de contracci´on de longitudes, recordemos que si el observador se encuentra en movimiento respecto al objeto, la medida de los extremos se debe realizar de forma simult´anea, por ejemplo en el tiempo t 0 = 0. As´ı, si graficamos una barra

76

desde su sistema en reposo Σ, sus extremos deben de estar alineados a lo largo del eje x10 del observador en movimiento Σ0 , como se muestra en la Figura 6.8. La proyecci´on sobre el eje x1 de Σ corresponde a la longitud propia L0 . Procediendo de forma an´aloga a los casos anteriores, se puede demostrar el efecto de contracci´on de longitudes:

x0

x’



0 x0A  

x0B  

L0 =

B   x’



1

A  

φ

6.3.

2

1   1

1  1

(6.9)

Problema 15: Demuestre la ecuaci´on (6.9) por el m´etodo de diagramas espaciotiempo

x0

-1

L0 . γ

x1

L0

Figura 6.8

-2

´ CAP´ITULO 6. LA GEOMETR´IA DE LA CINEMATICA RELATIVISTA

2

x1

-1

Hip´erbolas invariantes

Otro efecto de la estructura seudo-Euclidiana del espacio-tiempo de Minkowski, es el cambio de escala de los ejes coordenados entre observadores en movimiento relativo. La condici´on fundamental que determina la relaci´on de escala de medida es que sin importar el movimiento de los observadores inerciales, el intervalo espacio-temporal entre eventos debe valer lo mismo, por lo que el intervalo de espacio-tiempo se puede usar como patr´on de comparaci´on universal. Como el intervalo puede ser positivo o negativo, se definen dos unidades de comparaci´on:

-2

Figura 6.9

x0

x’

0

3  

3  

2  

2   1  

3  

1  

x’

1

2   1   1  

2  

3  

Figura 6.10

x1

s2+ = x12 − x02 = 1,

(A)

s2−

(B)

=

x12 − x02

= −1,

(6.10)

donde la unidad puede ser metros, centimetros, pulgadas, etc, seg´un sea el sistema de unidades que se use. Las ecuaciones (6.10) representan las ecuaciones de hip´erbolas, dos con v´ertices en las coordenadas x1 = ±1 (ecuaci´on (A)) y otras dos en las coordenadas x0 = ±1 (ecuaci´on (B)). As´ı, por definici´on, la distancia entre el origen y cualquier punto sobre las hip´erbolas es constante, y en este caso igual a 1. La Figura 6.9 ilustra las hip´erbolas con v´ertices positivos, donde la as´ıntota que separa las dos curvas representa la l´ınea de Universo de un rayo de luz, es decir, el cono de luz con v´ertice en el origen. Como se muestra, todas las l´ıneas de espacio-tiempo pintadas a trazos desde el origen miden una unidad, incluso aunque a simple vista aparentan ser de diferentes longitudes. Por otro lado, como las distancias espacio-temporales de la ecuaci´on (6.10) son indenpendientes del observador, las hip´erbolas no cambian si el sistema coordenado se cambia por otro de un observador en movimiento, raz´on por la cual se habla de hip´erbolas invariantes. Por ejemplo, la Figura 6.10 ilustra los ejes de un observador en movimiento Σ0 con sus ejes rotados respecto a otro observador en reposo Σ, y un conjunto de

´ 6.3. HIPERBOLAS INVARIANTES

77

hip´erbolas invariantes separadas en una unidad. Los cortes de las hip´erbolas sobre cada eje determina la escala de medida. Teniendo en cuenta este cambio de escala a trav´es de las hip´erbolas invariantes, es posible determinar las coordenadas espacio-temporales de eventos para cualquier observador usando regla y transportador directamente. Para ilustrar c´omo aplicar el m´etodo, consideremos como ejemplo el problema de un neutr´on que se mueve a la mitad de la velocidad de la luz (0.5c) de acuerdo a un observador Σ. Suponga que dicho observador mide que el neutr´on se desintegra despu´es de un tiempo t = 17.3 minutos. La l´ınea de Universo del neutr´on de acuerdo a ese observador se muestra en la Figura 6.11, cuyo a´ ngulo es:

x0

20c

20

Desintegración  

15c

15 10c

10 5c

5 0

φ = tan−1 β = tan−1 0.5 ≈ 26.60 .

x1

10 15 20 15c

10c

20c

5 5c

(6.11)

Otro observador Σ0 que ve al neutr´on en reposo, va a medir un tiempo de vida diferente. Para calcularlo, pintemos los ejes coordenados del observador que se mueve junto con el neutr´on (por lo que la l´ınea de Universo coincide con el eje temporal, suponiendo que el neutr´on se encuentra en el origen de posiciones), como se muestra en la Figura 6.12. La Figura 6.13 muestra una porci´on detallada de los diagramas de espacio-tiempo con un conjunto de hip´erbolas invariantes con v´ertices en x0 = 15c, 15.5c, 16c, 16.5c, 17c, y 17.5c. Vemos directamente que la desintegraci´on sobre el eje x00 corta a la hip´erbola de 15c, es decir, t 0 ≈ 15 minutos para el observador Σ0 . Aunque no se aplic´o las TLS para resolver el problema, indirectamente si se estan usando debido a que la geometr´ıa autom´aticamente las tiene incorporadas.

Línea  de   Universo  

26.60

Figura 6.11

x0

x’

0

20c

20 15c

15 10c

10

x1’



26.60

5c

5 0

x1

10 15 20 15c

10c

20c

5 5c

Figura 6.12 Problema 16: Demuestre, usando la ecuaci´on de dilataci´on temporal, que el tiempo de vida propio del neutr´on es 15 minutos. Usando diagramas de espacio-tiempo, determine el tiempo de vida del neutr´on medido por un observador Σ0 que se mueve a una velocidad relativa de u = 0.9c respecto a Σ.

x0

x0’



17.3c  

18.0

6.3.1.

La paradoja de los gemelos

Dos gemelos, el primero en tierra (observador T ), y el segundo embarcado en un viaje por el espacio (observador V ) deciden reencontrarsen despu´es de 20 a˜nos terrestres. En virtud del efecto de dilataci´on temporal, los tiempos medidos de los eventos difieren entre ambos observadores. As´ı, por ejemplo, si despu´es de unos a˜nos, medimos el tiempo transcurrido cuando el viajero cruza una posici´on determinada, los relojes de T medir´an un tiempo tT , que lo podemos hacer corresponder con la edad del gemelo en tierra, mientras que los relojes de V medir´an un tiempo propio τV que coincidir´a con la edad del hermano viajero. Por efecto de la dilataci´on, se tiene que tT > τV , por lo que

17.5 17.5c

17.0 17c

16.5 16.5c

15c  

16c

16.0 15.5 15.5c

15c

15.0 2

4

6

8

Figura 6.13

10

x1

78

´ CAP´ITULO 6. LA GEOMETR´IA DE LA CINEMATICA RELATIVISTA

el observador T es m´as viejo que V cuando e´ ste se haya desplazado una distancia determinada. Por otro lado, visto desde el sistema del gemelo viajero, e´ ste observa que es su hermano T el que est´a en movimiento, por lo que la relaci´on de tiempos se invierte: V mide un tiempo dilatado tV de su edad en relaci´on a la edad que mide su propio hermano τT , es decir tV > τT tal que en e´ ste escenario el observador V es m´as viejo que T . Cuando los gemelos se reencuentren, ¿qui´en es m´as viejo? El problema plantea dos formas de medir las edades relativas con resultados opuestos, produciendo una aparente paradoja. Sin embargo, la paradoja es irreal ya que, primero, es aceptable que cada observador mida diferentes resultados siempre y cuando los hermanos se mantengan alejados, y segundo, si hay un reencuentro en el mismo punto espacial, el hermano viajero tuvo que invertir su movimiento para regresar, por lo que sus relojes acelerados cambian su lectura tal que al momento del reencuentro, s´olo hay un u´ nico resultado. Antes de calcular la edad de los gemelos, hagamos una descripci´on cualitativa de la soluci´on separando lo que mide cada observador: 1. Medida desde T: Inicialmente, cuando el viajero V arranca desde la Tierra, T observa que e´ ste se aleja continuamente. As´ı, la edad de T corre m´as r´apido que la de su hermano V . Despu´es, en alg´un momento V cambia su direcci´on de movimiento, tal que T observa que e´ ste se acerca continuamente. Como la f´ormula de dilataci´on es independiente de la direcci´on de movimiento, T sigue registrando que V es m´as joven, tal que cuando se reencuentran, T es m´as viejo que su hermano V.

x0

20c

20

15c

15

10c

R

10

6c   5c

5

2

4

6

8

2c

4c

6c

8c

Figura 6.14

10

x1

2. Medida desde V: Inicialmente, cuando el viajero V arranca de la Tierra, V observa que es T qui´en se aleja continuamente. As´ı, la edad de V corre m´as r´apido que la de T . Aunque el resultado es opuesto al medido desde T , ambos observadores en su propio sistema tiene raz´on, que es la esencia del primer postulado de la relatividad. Sin embargo, cuando el viajero V cambia su direcci´on de movimiento, debe transitar por diferentes sistemas inerciales continuamente hasta quedar direccionado hacia la tierra, es decir, debe desacelerar y luego acelerar, proceso que T no sufre. El efecto de la aceleraci´on, es que desde V ,sus relojes corren m´as lento que los relojes de T, por lo que el hermano T sufre un “envejecimiento prematuro” en relaci´on a V pasando de ser m´as joven a ser m´as viejo, tal que cuando se reencuentran, T es m´as viejo que su hermano V. As´ı, al final hay una u´ nica soluci´on: un viajero que se aleja y vuelve va a encontrar que es m´as joven que su hermano en tierra. Para resolver el problema num´ericamente, podemos aprovechar las herramientas ofrecidas por los diagramas de espacio-tiempo. Supongamos que un viajero adquiere una velocidad constante v = 0.8c de forma instant´anea cuando sale de la Tierra, y que a mitad de su viaje, cambia instant´aneamente la direcci´on de movimiento, por lo que el viajero solamente transita por dos sistemas inerciales diferentes. La Figura 6.14 muestra la l´ınea de Universo del viajero visto desde tierra. El evento R marca el cambia de direcci´on del viajero. Como se muestra, la hip´erbola invariante que corta al evento R, tiene v´ertice en 6c, por lo que mientras en

´ 6.4. LA RAPIDEZ HIPERBOLICA

79

tierra han pasado 10 a˜nos, los relojes de V marcan solo 6 a˜nos desde su partida. El tiempo de regreso es el mismo, por lo que al final cuando en tierra han pasado 20 a˜nos, el viajero habr´a registrado solo 12 a˜nos, es decir, V es 8 a˜nos m´as j´oven que T . Para calcular los tiempos desde el viajero, lo podemos hacer rotando sus ejes respecto a los de la tierra. Para representar el cambio de sistema inercial cuando cambia su direcci´on, podemos considerar dos sistemas de ejes, el primero (sistema Σ0 ) alej´andose desde tierra y el segundo (sistema Σ00 ) acerc´andose hacia la tierra, tal que cuando los ejes temporales se cruzen, el viajero “salta” de un sistema a otro. La Figura 6.15 ilustra los ejes a trazos rotados positivamente (velocidad positiva) de Σ0 y los ejes rotados negativamente (velocidad negativa) de Σ00 . La l´ınea de Universo continua representa el movimiento de V , que como se observa, viaja sobre el sistema Σ0 hasta el evento R, y luego se regresa sobre el sistema Σ00 . As´ı, debemos separar las observaciones de V en dos tramos. La Figura 6.16 muestra la proyecci´on de tiempo del evento R en tierra, cuando el viajero se prepara para su retorno, es decir, cuando V marca 6 a˜nos, los relojes de T marcan 3.6 a˜nos. As´ı, visto desde el sistema Σ0 , hasta ese instante T es m´as joven que V . Pero justo despu´es de emprender el retorno, la proyecci´on cambian de acuerdo a la Figura 6.17, donde ahora los relojes de T marcan 16.4 a˜nos, mayor a los 6 de V , es decir, en el proceso del “salto” de un sistema a otro, el observador V registra un cambio repentino de 3.6 a 16.4 a˜nos en los relojes de T , como si el tiempo en la Tierra se acelerara2 . Despu´es del cambio de direcci´on, el viajero continuar´a su regreso a la Tierra en sus 6 a˜nos restantes, tal que al llegar, el viajero tambi´en registra que es 8 a˜nos m´as joven que su hermano T .

x0’’



x0

x’

0

x’

1

R

x1

x1’’



Figura 6.15

x0

x’

0

14

12

10c

10

x1’



R

3.6c  

8

6c

6

4

6.4.

La rapidez hiperb´olica

2c

2

2

4

4c

En el esquema de tiempo imaginario de Poincar´e de la Secci´on 5.2.2, se definieron las rotaciones de coordenadas espacio-temporales a trav´es de a´ ngulos imaginarios de acuerdo a las ecuaciones (5.14). Por supuesto, los a´ ngulos de rotaci´on no se interpretan de la misma forma que una rotaci´on “ordinaria” en el espacio, sino que son una representaci´on de las transformaciones entre observadores inerciales en movimiento relativo. As´ı, los a´ ngulos imaginarios se relacionan con la velocidad relativa entre los observadores. Para estudiar el contenido cinem´atico de tales rotaciones en el plano complejo, recordemos que las funciones trigonom´etricas de a´ ngulos imaginarios son funciones muy conocidas en la geometr´ıa: corresponden a funciones hiperb´olicas, las cuales se definen en t´erminos de la funci´on exponencial como:

6

8

8c

10

12

12c

14

x1

Figura 6.16

x0’

’



x0

20c

20

15c

15

10c

10

16.4c  

R

5


1 φ e + e−φ , 2
i φ sin iφ = i sinh φ = e − e−φ , 2

5

cos iφ = cosh φ =

5c

(6.12)

2 El proceso se modela como un salto instant´aneo, pero en una situaci´ on con aceleraci´on finita, el cambio

es suave, por lo que el tiempo en tierra se acelera continuamente hasta llegar a 16.4.

10

15

10c

Figura 6.17

x1

x’1’





20

80

´ CAP´ITULO 6. LA GEOMETR´IA DE LA CINEMATICA RELATIVISTA

donde φ es una variable real. Haciendo una inspecci´on superficial, podemos ver que la funci´on coseno de un n´umero imaginario es una cantidad real, mientras que la funci´on seno de un n´umero imaginario es otro n´umero imaginario. Por su parte, las funciones coseno hiperb´olico y seno hiperb´olico son ambas funciones reales. Por otro lado, las definiciones de la ecuaci´on (5.11) del cap´ıtulo 5 se pueden escribir en t´erminos de las funciones hiperb´olicas como:

cosh φ = γ, sinh φ = β γ,

(6.13)

sinh φ u =β = , cosh φ c

(6.14)

tal que la tangente hiperb´olica es: tanh φ =

por lo que la rotaci´on del plano complejo se relaciona con la velocidad relativa entre observadores de acuerdo a la ecuaci´on (6.14). Debido a esa relaci´on, al par´ametro φ se le conoce como la rapid´ez hiperb´olica3 , y tradicionamente se nota con la letra y. As´ı, la rapidez hiperb´olica entre observadores inerciales es: y = tanh−1 β .

(6.15)

En procesos de colisi´on es conveniente parametrizar el movimiento de las part´ıculas en terminos de la rapidez hiperb´olica en lugar de la velocidad o el factor beta directamente. Por ejemplo, definiendo las razones βv0 = v0 /c, βv = v/c y βu = u/c, el teorema de adici´on de velocidades en la ecuaci´on (3.16) se puede expresar como:

βv0

=

βv − βu , 1 − βv βu

⇒ tanh yv0 =

tanh yv − tanh yu . 1 − tanh yv tanh yu

(6.16)

Usando la identidad tanh (x − y) =

tanh x − tanh y , 1 − tanh x tanh y

(6.17)

la ecuaci´on (6.16) queda: tanh yv0 = tanh (yv − yu ), 3 La

(6.18)

expresi´on en ingl´es es rapidity, la cual no tiene una traducci´on directa al espa˜nol, ya que rapidez se refiere a la magnitud de la velocidad. Para no confundir ambos t´erminos, lo llamo rapidez hiperb´olica

´ 6.4. LA RAPIDEZ HIPERBOLICA

81

la cual se cumple si sus argumentos son iguales, es decir, el teorema de suma de velocidades en t´erminos de la rapidez hiperb´olica se expresa en la forma simple: yv0 = yv − yu ,

(6.19)

que es mucho m´as sencillo de manipular que la forma racional de la ecuaci´on (3.16).

Problema 17: Usando expansi´on en series de Taylor, demuestra que a bajas velocidades, la ecuaci´on (6.19) se convierte en la forma cl´asica v0 = v − u del teorema de suma de velocidades.

82

´ CAP´ITULO 6. LA GEOMETR´IA DE LA CINEMATICA RELATIVISTA

Parte III Fundamentos Algebraicos

83

CAP´ITULO

7

El Grupo de Lorentz

Actualmente, se han encontrado diversos tipos de invariancias en las leyes f´ısicas, donde el principio de la relatividad especial no es m´as que una clase de invariancia. As´ı, en la primera parte del texto, se plantearon las leyes de la mec´anica cl´asica exigiendo invariancia frente a las transformaciones de Lorentz simples. En la segunda parte, dichas transformaciones se visualizaron geom´etricamente como rotaciones de ejes espacio-temporales, donde la distancia espacio-temporal se defini´o de tal que manera que fuera invariante. Ahora, introduciremos un tercer enfoque m´as formal usando la notaci´on tensorial, la cual exhibe de manera expl´ıcita las propiedades de transformaci´on e invariancia de los par´ametros f´ısicos frente al cambio de observadores inerciales compatible con los postulados. Para comenzar, en e´ ste cap´ıtulo vamos a implementar el fundamento matem´atico que servir´a de soporte para entender la relaci´on entre al a´ lgebra tensorial y el principio de relatividad especial.

7.1.

Grupo Abstracto

Un conjunto de elementos G = {g1 , g2 , ...} forman un grupo si cumple con las siguientes propiedades: i.) El conjunto G es cerrado bajo el producto. En lenguaje de la teor´ıa de conjuntos, esto significa que: (∃∗)(∀gi , g j ∈ G)(gi ∗ g j = gk ∈ G),

(7.1)

esto es, existe una operaci´on producto (∗) tal que para todo par de elementos gi y g j en G, su producto da como resultado otro elemento gk que tambi´en pertenece a 85

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

86 G.

ii.) El conjunto G contiene un elemento identidad. As´ı: (∃I ∈ G)(∀gi ∈ G)(I ∗ gi = gi ∗ I = gi ),

(7.2)

esto es, existe un elemento I en G, tal que para cualquier elemento gi de G, su producto da el mismo elemento. iii.) El conjunto G contiene los elementos inversos: (∀gi ∈ G)(∃)(g˜i ∈ G)(gi ∗ g˜i = g˜i ∗ gi = I),

(7.3)

es decir, para cada elemento gi en G, existen elementos inversos g˜i en G tal que su producto mutuo da la identidad. iv.) El conjunto G es asociativo: (∀gi, j.k ∈ G)(gi ∗ (g j ∗ gk ) = (gi ∗ g j ) ∗ gk )

(7.4)

Las propiedades anteriores describen un grupo en general, donde los elementos del conjunto es abstracto sin ninguna interpretaci´on f´ısica concreta. Por otro lado, se pueden definir propiedades adicionales a las descritas anteriormente que inducen diferentes tipos de grupos, de los cuales nos interesa los siguientes: 1. Grupo Abeliano: Grupo cuyos elementos conmutan entre s´ı, es decir: (∀gi. j ∈ G)(gi ∗ g j = g j ∗ gi ).

(7.5)

2. Grupo Discreto: Grupo cuyos elementos son contables (o numerables), es decir, los elementos del grupo se pueden etiquetar con sub´ındices de n´umeros naturales: G = {g} ↔ {g1 , g2 , g3 , ...}

(7.6)

3. Grupo Continuo: Grupo no contable cuyos elementos son funciones de par´ametros continuos: G = {g} ↔ {g(θθ )}.

(7.7)

La variable θ en general se define en un espacio vectorial de n dimensiones, es decir, es un vector con componentes: θ = {θ1 , θ2 , ..., θn }.

(7.8)

donde cada componente θi puede tomar valores continuos reales o complejos.

7.2. EL GRUPO DE LORENTZ SIMPLE

7.2.

87

El grupo de Lorentz simple

Desde el punto de vista algebr´aico, podemos describir las transformaciones de Lorentz como un conjunto de elementos que cumple con las condiciones de grupo. Para mostrar eso, vamos primero a considerar el caso de las transformaciones de Lorentz simples en el esquema de tiempo real descrito por las ecuaciones (5.20), las cuales podemos expresar en forma matricial como:  0  x0 γ = x10 −γβ

−γβ γ

  x0 . x1

(7.9)

Si definimos las cantidades:  0 x0 X = , x10   x0 X = , x1   γ −γβ L = , −γβ γ 0

(7.10)

entonces la ecuaci´on (7.9) se reduce a la forma compacta X0 = LX.

(7.11)

La ecuaci´on (7.11) representa la transformaci´on del vector X al vector X0 debido a la acci´on de la matr´ız L, la cual podemos expresar como: L : X −→ X0 .

(7.12)

As´ı, en el contexto del a´ lgebra matricial, podemos definir una transformaci´on de Lorentz como el conjunto de matrices L que transforma las coordenadas espacio-temporales de acuerdo a la ecuaci´on (7.11) y que cumple con los postulados de la relatividad especial. Por otro lado, de acuerdo a las definiciones en (7.10), vemos que la TLS es una funci´on del par´ametro β , esto es L = L(β ), la cual puede tomar valores continuos en el intervalo semiabierto [0, 1). Se puede entonces demostrar que el conjunto G = {L(β )} exhibe propiedades de un grupo continuo en el mismo sentido que lo definimos en la ecuaci´on (7.7). Antes de describir las propiedades algebraicas del grupo de Lorentz simple, es conveniente tener una definici´on mas general de grupo de Lorentz independiente

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

88

de la forma particular que tome la matr´ız L. Recordemos que la distancia de espaciotiempo se define en la forma seudo-Euclidiana de la ecuaci´on (5.19), la cual podemos expresar en forma matricial como 2

s =

x12 − x02

   −1 0 x0 . = (x0 , x1 ) 0 1 x1

(7.13)

Teniendo en cuenta las definiciones en (7.10) y definiendo la matr´ız   −1 0 η= , 0 1

(7.14)

la distancia de espacio-tiempo se puede expresar de forma compacta como: s2 = XT ηX,

(7.15)

donde el s´ımbolo T representa la transpuesta. Una de las caracter´ısticas de las TLS es que deja invariante la distancia de espacio-tiempo, propiedad que se puede expresar formalmente en t´erminos de la matriz η de la siguiente forma: Sean s2 = XT ηX y s02 = X0 T ηX0 las distancias de espacio-tiempo medidas por dos observadores inerciales en movimiento relativo, tal que s2 = s02 . Teniendo en cuenta que las coordenadas se relacionan de acuerdo a la ecuaci´on (7.11), se obtiene: T

XT ηX = X0 ηX0 = (LX)T η(LX) = XT (LT ηL)X.

(7.16)

Al comparar el primer t´ermino con el u´ ltimo, se concluye entonces que la distancia de espacio-tiempo es invariante siempre y cuando se cumpla que: η = LT ηL.

(7.17)

La condici´on expresada por la ecuaci´on (7.17) es suficiente para garantizar que la transformaci´on L cumpla con los postulados de la relatividad especial. As´ı, formalmente vamos a definir el grupo de Lorentz simple como: Grupo de Lorentz simple : Es el conjunto de transformaciones L que actuan sobre las coordenadas de espacio-tiempo y que cumplen con: η = LT ηL, donde η es la matr´ız dada por (7.14)

7.2. EL GRUPO DE LORENTZ SIMPLE

89

A partir de la propiedad (7.17) y la matr´ız (7.10), podemos describir las propiedades algebraicas de las TLS. Primero, se puede mostrar que estas matrices cumplen con las cuatro propiedades que definen un grupo descritas en la secci´on 7.1. Solamente a manera de ilustraci´on, vamos a demostrar la primera de esas propiedades: i.) El conjunto G = {L(β )} es cerrado bajo el producto. As´ı, si L1 = L(β1 ) y L2 = L(β2 ) son dos elementos del conjunto, entonces L3 = L1 L2 tambi´en es un elemento del mismo grupo, es decir, L3 debe cumplir tambi´en la condici´on (7.17). Efectivamente, asumiendo que L1 y L2 cumplen con (7.17), se obtiene: L3T ηL3 = (L1 L2 )T η(L1 L2 ) = L2T (L1T ηL1 )L2 = L2T ηL2 = η.

(7.18)

Problema 18: Demuestre que las TLS cumple con las dem´as propiedades (ii., iii. y iv.) que definen a un grupo.

Adicional a las condiciones de grupo que exhibe las TLS, existen otras propiedades algebraicas que se enumeran a continuaci´on: 1. El determinante es 1: Det[L] = 1. 2. Es sim´etrica. Esto es, los elementos matriciales no diagonales son iguales: L12 = L21 = −γβ . 3. El grupo es no compacto. Esto es, cada elemento se define por el par´ametro β que toma valores continuos en el intervalo semiabierto [0, 1) sin nunca llegar a ser 1. 4. El grupo es Abeliano. Esto es, dos elementos cualquiera conmutan entre s´ı: L1 L2 = L2 L1 . As´ı, en conclusi´on, el grupo de Lorentz simple es un grupo continuo Abeliano y no compacto.

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

90

7.3.

El grupo de Lorentz en general

A lo largo de los cap´ıtulos anteriores, nos hemos limitado a observadores inerciales en la configuraci´on est´andar que nos define las TLS, tal como se plante´o en la Secci´on 2.3. Ahora, con las herramientas algebraicas que nos ofrece el concepto de grupo, podemos hacer la extensi´on a las transformaciones de Lorentz entre observadores con movimiento relativo en direcciones arbitrarias y con ejes coordenados no paralelos entre s´ı. Para eso, vamos a generalizar las definiciones de la secci´on anterior que incluya las tres coordenadas espaciales.

7.3.1.

El tensor m´etrico

En la secci´on 5.3, definimos la forma general del intervalo de espacio-tiempo en la ecuaci´on (5.24), la cual podemos expresar tambi´en en forma matricial como:

∆s2 = |∆x|2 − ∆x02

 −1 0 = (∆x0 , ∆x1 , ∆x2 , ∆x3 )  0 0 = XT ηX,

0 1 0 0

0 0 1 0

  0 ∆x0 ∆x1  0   0 ∆x2  1 ∆x3 (7.19)

con X definido en un espacio vectorial de 4 dimensiones, y η una matr´ız 4 × 4 definida como

 −1 0 η = 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0 . 0 1

(7.20)

´ Esta definici´on es la forma matricial del llamado tensor m´etrico que define la estructura seudo-Euclidiana del espacio-tiempo de Minkowski, y que se caracteriza por la presencia de la cantidad negativa −1 en la primera componente en la diagonal. As´ı, se acostumbra usar la notaci´on η = (−, +, +, +) para indicar que la matr´ız m´etrica es diagonal con −1 en la componente temporal y +1 en las tres espaciales. Es importante aclarar que la forma definida por (7.20) no es u´ nica en la relatividad especial. Existe la forma (+, −, −, −) que define el mismo intervalo de espacio-tiempo que (7.19) con una diferencia de signos, es decir s2 = ∆x02 − |∆x|2 . En este caso, se acostumbra notar al tensor m´etrico con la letra g en vez de η. No hay ninguna diferencia f´ısica en usar una forma u otra, por lo que vamos a escoger la que hemos venido usando con la estructura (−, +, +, +).

7.3. EL GRUPO DE LORENTZ EN GENERAL

7.3.2.

91

El grupo de Lorentz restringido

Extrapolando la definici´on del grupo de Lorentz simple de la secci´on anterior, vamos a definir un grupo de Lorentz en general como: ω ) que deja Grupo de Lorentz: Es el conjunto de transformaciones lineales Λ(ω invariante al tensor m´etrico: ω ) | η = ΛT ηΛ}. GL = {Λ(ω En la definici´on anterior, se introduce un espacio de par´ametros ω que debe incluir la velocidad y las direcciones relativas entre los ejes coordenados de observadores, como se especificar´a m´as adelante. Por ahora, podemos estudiar algunas propiedades globales del grupo de Lorentz sin necesidad de conocer la forma espec´ıfica de la transformaci´on Λ: 1. Si el tensor m´etrico es invariante frente a las transformaciones de Lorentz, su determinante cumple: Det[η] = Det[ΛT ηΛ] = Det[ΛT ]Det[η]Det[Λ] = (Det[Λ])2 Det[η].

(7.21)

Al comparar el u´ ltimo termino con el primero, se deduce que: (Det[Λ])2 = 1,

(7.22)

en donde se identifican dos clases de transformaciones con determinantes de diferentes signos: ( +1, Transformaciones Propias Det[Λ] = −1, Transformaciones Impropias.

(7.23)

2. La transformaci´on de Lorentz se puede representar en el caso mas general como una matr´ız 4 × 4 con componentes Λ0 0 Λ1 0 Λ= Λ2 0 Λ3 0 

Λ0 1 Λ1 1 Λ2 1 Λ3 1

Λ0 2 Λ1 2 Λ2 2 Λ3 2

 Λ0 3 Λ1 3  , Λ2 3  Λ3 3

(7.24)

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

92

µ

donde se usa la notaci´on de indices de la forma Λ ν empezando por 0 para indicar cada una de las componentes. La forma matem´atica que tengan estas componentes debe ser tal que deje invariante al tensor m´etrico, es decir, que cumplan con:  −1 0 η =  0 0  0 Λ 0 Λ0 1 =  Λ0 2 Λ0 3

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0  0 1

 Λ1 0 Λ2 0 Λ3 0 −1   ∗ ∗ ∗  0 ∗ ∗ ∗  0 ∗ ∗ ∗ 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0  Λ 0 Λ0 1 Λ0 2 Λ0 3 0  1 0 ∗ ∗ ∗   Λ 0 . 2   0 Λ 0 ∗ ∗ ∗  1 Λ3 0 ∗ ∗ ∗

Para simplificar, se usan los s´ımbolos (∗) que marcan las posiciones de las dem´as componentes. Al realizar los productos entre las tres matr´ıces, se obtiene una matr´ız que debe igualarse con la primera. En general, dos matrices son iguales si cada una de sus componentes son iguales, por lo que la ecuaci´on anterior representa realmente un conjunto de 16 ecuaciones: una que debe igualarse a −1, tres iguales a 1 y doce iguales a 0. En particular, la primera ecuaci´on es: −1 = −(Λ0 0 )2 + (Λ1 1 )2 + (Λ2 1 )2 + (Λ3 1 )2 3

= −(Λ0 0 )2 + ∑ (Λi 1 )2 ,

(7.25)

i=1

donde se usa el ´ındice i para denotar las componentes espaciales {1, 2, 3}. As´ı, se generan dos tipos de soluciones para Λ0 0 , que produce dos clases de transformaciones de Lorentz:  q + 1 + ∑3 (Λi )2 > 1, Transformaciones Ortocronas i=1 1 q (7.26) Λ0 0 = − 1 + ∑3 (Λi )2 < −1, Transformaciones anti-Ortocronas. i=1 1 As´ı, el grupo de Lorentz se puede separar en 4 tipos formados por diferentes combinaciones de las propiedades anteriores: 1.) propias ortocronas, 2.) propias anti-ortocronas, 3.) impropias ortocronas y 4.) impropias anti-ortocronas. Sin embargo, como veremos luego, las transformaciones propias ortocronas son la que pueden describir rotaciones puras y transformaci´on entre observadores en movimiento relativo, conocido como el grupo de Lorentz restringido. As´ı, definimos:

7.4. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ RESTRINGIDAS

93

ω ) | η = ΛT ηΛ, Det[Λ] = 1, Λ0 0 > 1}. Grupo de Lorentz restringido: {Λ(ω Los otros 3 tipos de grupos de Lorentz describen transformaciones discretas. Por ejemplo, la transformaci´on de paridad, en la cual las coordenadas espaciales cambian de signo, son transformaciones de Lorentz impropias ortocronas. La inversi´on temporal son transformaciones impropias anti-ortocronas, mientras que la combinaci´on simult´anea de paridad e inversi´on temporal forman una transformaci´on propia anti-ortocrona.

7.4.

Transformaciones de Lorentz restringidas

Despu´es de describir algunas propiedades generales del grupo de Lorentz, en e´ sta ω ) para el grupo de secci´on vamos a obtener la forma expl´ıcita de la transformaci´on Λ(ω Lorentz restringido. La estrategia para obtenerlas, es partir de las TLS, y por medio de rotaciones espaciales, llegar a la forma m´as general de las transformaciones. Inicialmente, la obtendremos para un espacio-tiempo de dimensi´on (2 + 1), y posteriormente haremos la extensi´on a (3 + 1). Para simplificar el a´ lgebra, usaremos la siguiente notaci´on para las funciones trigonom´etricas: sin φ = Sφ , cos φ = Cφ .

(7.28) (7.29)

Los ejes rotados cumplen con las condiciones de la configuraci´on est´andar descrito en la secci´on 2.3, por lo que se relacionan entre s´ı a trav´es de las TLS: β | X1 ) . x00 = γ (x0 − |β 0 β | x0 ) , X1 = γ (X1 − |β X20 = X2 ,

Σ

v

θ

(7.30)

α

x1

Figura 7.1

(7.27)

Consideremos dos observadores Σ y Σ0 , donde Σ0 se mueve en el plano respecto a Σ con velocidad v = v1 eˆ1 + v2 eˆ2 , donde eˆ1,2 representan los vectores unitarios de los ejes coordenados de Σ. Supongamos adem´as que el eje x10 forma un a´ ngulo α respecto a x1 , como se muestra en la Figura 7.1, mientras que θ es el a´ ngulo del vector velocidad respecto al eje x1 . Las coordenadas transforman de acuerdo a las TLS si rotamos los ejes coordenados de ambos observadores en la direcci´on de la velocidad relativa, como se muestra en la Figura 7.2, la cual podemos describir por ecuaciones de rotaci´on de la forma obtenidas anteriormente en la ecuaci´on (5.6). As´ı, usando la notaci´on de las Figuras. 7.1 y 7.2, los ejes originales y rotados se relacionen entre s´ı de acuerdo a: ( X1 = x1Cθ + x2 Sθ , Observador Σ : X2 = −x1 Sθ + x2Cθ , ( X10 = x10 C(θ −α) + x20 S(θ −α) , Observador Σ0 : X20 = −x10 S(θ −α) + x20 C(θ −α) .

x2

X1’



X1

v

X2’



X2

Σ’

Σ

Figura 7.2

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

94 donde se define el vector β como:

v β= , c

(7.31)

mientras que el factor γ se relaciona con la magnitud del vector anterior como: 1 1 γ=q =p . 1−β2 β |2 1 − |β

(7.32)

Si reemplazamos las ecuaciones de rotaci´on [espacial] dadas por (7.28) y (7.29) en las ecuaciones de transformaci´on (7.30), podemos obtener las transformaciones de Lorentz en los sistemas coordenados originales. Este procedimiento se puede simplificar si expresamos las ecuaciones de rotaci´on (7.28) y (7.29) en forma matricial como 1 :        x0 1 0 0 x0 x0 X1  = 0 Cθ Sθ  x1  = R(θ ) x1  X2 0 −Sθ Cθ x2 x2  0   0   0 1 0 0 x0 x0 x0 X10  = 0 C(θ −α) S(θ −α)  x10  = R(θ − α) x10  , X20 0 −S(θ −α) Cθ −α) x20 x20

(7.33)

(7.34)

y las de transformaci´on en (7.30) como:  0  x0 γ X10  = −γβ 0 X20

−γβ γ 0

    x0 0 x0 0 X1  = L(β ) X1  , 1 X2 X2

(7.35)

donde se definen las matrices de rotaci´on espacial R(θ ) y R(θ −α), y la matr´ız de la TLS L(β ). Reemplazando las rotaciones (7.33) y (7.34) en las de transformaci´on en (7.35), obtenemos:    0 x0 x0 0    R(θ − α) x1 = L(β )R(θ ) x1  . x20 x2

(7.36)

Multiplicando a lado y lado de la ecuaci´on anterior por el inverso R−1 (θ −α), se obtiene: 1 Aunque

las rotaciones espaciales en (7.33) y (7.34) se adiciona la componente temporal, observe que e´ sta no rota de ninguna manera, obteniendo la relaci´on trivial x0 = x0 y x00 = x00 .

7.4. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ RESTRINGIDAS

   0 x0 x0 x10  = R−1 (θ − α)L(β )R(θ ) x1  , x2 x20

95

(7.37)

que corresponde a la transformaci´on de Lorentz en el sistema de ejes coordenados originales. Expl´ıcitamente, la matr´ız inversa es: 

 1 0 0 R−1 (θ − α) = 0 C(θ −α) −S(θ −α)  . 0 S(θ −α) Cθ −α)

(7.38)

Problema 19: Demuestre que la matr´ız (7.38), es la inversa de R(θ − α).

Usando las identidades trigonom´etricas C(θ −α) = Cθ Cα + Sθ Sα y S(θ −α) = Sθ Cα − Cθ Sα , la matr´ız inversa (7.38) se puede separar en el producto de dos matrices como:   1 0 0 R−1 (θ − α) = 0 C(θ −α) −S(θ −α)  0 S(θ −α) C(θ −α)   1 0 0 1 0    0 Cα Sα 0 Cθ = 0 −Sα Cα 0 Sθ

 0 −Sθ  Cθ

= R(α)R−1 (θ ).

(7.39)

Problema 20: Demuestre la igualdad de la ecuaci´on (7.39).

As´ı, el producto entre las tres matrices de (7.37) da la siguiente matr´ız de transformaci´on en el espacio-tiempo (2 + 1): Λ2 = R−1 (θ − α)L(β )R(θ ) = R(α)R−1 (θ )L(β )R(θ ) = R(α)L2 (β , θ ),

(7.40)

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

96

donde R(α) representa una rotaci´on espacial pura alrededor del eje x3 en un a´ ngulo α, y L2 (β , θ ) contiene la transformaci´on pura entre observadores en movimiento relativo, conocidos comunmente como los Boost de Lorentz, como se ilustra en las Figurass 7.3 y 7.4:  1 0 0 R(α) = 0 Cα Sα  0 −Sα Cα 

x3

x2’



x2

α

x1

x’

1

L2 (β , θ ) = R−1 (θ )L(β )R(θ )  γ −γβCθ  −γβCθ γCθ2 + Sθ2 = −γβ Sθ (γ − 1) Sθ Cθ

 −γβ Sθ (γ − 1)Cθ Sθ  . γSθ2 +Cθ2

(7.41)

En particular, para los boost de Lorentz, en vez del a´ ngulo θ y la magnitud β , la matr´ız Figura 7.3: Rotaci´on Pura se acostumbra escribir en terminos de las componentes cartesianas del factor β , donde:

Cθ =

β1 β2 , Sθ = , β β

(7.42)

con lo que se obtienen las siguientes relaciones asociadas a las componentes de los boost:

Σ

Σ’

β

θ

γCθ2 Figura 7.4: Boost de Lorentz

βCθ

= β1 ,

β Sθ

= β2 ,

+ Sθ2

= 1 + (γ − 1)Cθ2 β2 = 1 + (γ − 1) 12 , β = 1 + (γ − 1)Sθ2 β2 = 1 + (γ − 1) 22 , β β1 β2 = (γ − 1) 2 . β

γSθ2 +Cθ2

(γ − 1)Sθ Cθ

(7.43)

Para simplificar estas expresiones, podemos definir el siguiente par´ametro:

ai j = δi j + (γ − 1)

βi β j , β2

donde δi j se conoce como el delta de Kronecker, que se define como:

(7.44)

7.4. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ RESTRINGIDAS

( 1, si i = j δi j = , 0, si i 6= j

97

(7.45)

y los ´ındices i y j toman valores de 1 o 2 seg´un sean las componentes cartesianas β1 y β2 que participen en cada t´ermino. As´ı, las tres u´ ltimas ecuaciones de (7.43) se reducen a: (β1 )2 = a11 β2 (β2 )2 = 1 + (γ − 1) 2 = a22 β β1 β2 = (γ − 1) 2 = a12 . β

γCθ2 + Sθ2

= 1 + (γ − 1)

γSθ2 +Cθ2 (γ − 1)Sθ Cθ

(7.46)

Usando las identidades anteriores, los boost de Lorentz en (7.41) se expresan expl´ıcitamente en funci´on de (β1 , β2 ), obteniendo: 

 γ −γβ1 −γβ2 a12  . L2 (β1 , β2 ) = −γβ1 a11 −γβ2 a21 a22

(7.47)

As´ı, las transformaciones de Lorentz se construyen a trav´es del producto de rotaciones espaciales y boost de acuerdo a la ecuaci´on (7.40), que son funciones del espacio de par´ametros ω = {β1 , β2 , α}: Λ2 (β1 , β2 , α) = R(α)L2 (β1 , β2 )    1 0 0 γ −γβ1 −γβ2 a12  . = 0 Cα Sα  −γβ1 a11 0 −Sα Cα −γβ2 a21 a22

(7.48)

La extensi´on al caso m´as general de las tres dimensiones espaciales se puede hacer directamente a partir de los resultados anteriores. En este caso, el movimiento relativo entre dos observadores viene descrito por un vector beta de la forma β = β1 eˆ1 + β2 eˆ2 + β3 eˆ3 , mientras sus ejes coordenados tienen diferentes orientaciones. En general, una rotaci´on en cualquier orientaci´on se puede describir como tres rotaciones alrededor de cada uno de los ejes coordenados. As´ı, sea α1 el a´ ngulo de rotaci´on alrededor del eje x1 , α2 el a´ ngulo alrededor de x2 y α3 el a´ ngulo alrededor de x3 . Para construir estas rotaciones, tomemos como referencia la matr´ız R(α) de la ecuaci´on (7.41), la cual representa la rotaci´on alrededor del eje x3 . Pero en el caso del espacio-tiempo de dimensi´on (3 + 1), esa

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

98

matr´ız debe tener una columna y una fila adicional que represente posibles rotaciones del eje x3 . Para rotaciones alrededor del eje x3 , los ejes x1 y x2 rotan, mientras que x3 se mantiene fijo, tal como se mostr´o en la Figura 7.3. As´ı, e´ sta matr´ız de rotaci´on toma la forma: 

1 0 0 0 Cα3 Sα3 R3 (α3 ) =  0 −Sα3 Cα3 0 0 0

 0 0 , 0 1

(7.49)

donde la forma de la u´ ltima fila y columna llena de ceros con un 1 en la diagonal indica que la rotaci´on es alrededor de x3 . Con esto, es directo obtener las dem´as rotaciones. La rotaci´on alrededor del eje x2 es: 

1 0 0 Cα2 R2 (α2 ) =  0 0 0 −Sα2

 0 0 0 Sα2  , 1 0  0 Cα2

(7.50)

donde la tercera fila y columna esta llena de ceros con un 1 en la diagonal, indicando la rotaci´on alrededor de x2 . Finalmente, alrededor del eje x1 , se obtiene: 

1 0 R1 (α1 ) =  0 0

 0 0 0 1 0 0  . 0 Cα1 Sα1  0 −Sα1 Cα1

(7.51)

As´ı, la rotaci´on completa se obtiene como el producto de las tres rotaciones anteriores:

R(α1 , α2 , α3 ) = R(α1 )R(α2 )R(α3 ).

(7.52)

Por otro lado, la generalizaci´on de los Boost de Lorentz, tambi´en se obtienen a partir de la forma (2 + 1) de la matr´ız (7.47). Su extensi´on a la forma (3 + 1) se logra adicionando una fila y una columna que contenga la componente β3 , obteniendo: 

 γ −γβ1 −γβ2 −γβ3 −γβ1 a11 a12 a13  , L3 (β1 , β2 , β3 ) =  −γβ2 a21 a22 a23  −γβ3 a31 a32 a33

(7.53)

´ 7.5. ALGEBRA DEL GRUPO DE LORENTZ

99

donde los coefiencientes ai j sigue tomando la misma forma definida en (7.44), con la diferencia de que ahora los ´ındices i y j pueden tomar los tres valores 1, 2 o 3. De esta manera, las transformaciones de Lorentz restringidas m´as generales son:

β ,α α ) = R(α1 , α2 , α3 )L3 (β1 , β2 , β3 ), Λ(β

(7.54)

donde hemos usado la notaci´on β = (β1 , β2 , β3 ) y α = (α1 , α2 , α3 ).

Problema 21: Demuestre que la Transformaci´on de Lorentz de la ecuaci´on (7.54), cumple con las condiciones de un grupo de Lorentz restringido.

Finalmente, es importante aclarar que a diferencia de las TLS, la forma general de las transformaciones de Lorentz tienen propiedades de un grupo no abeliano.

´ 7.5. Algebra del Grupo de Lorentz Para construir las leyes de la f´ısica en el lenguaje de la relatividad especial, es necesario tener las herramientas algebraicas apropiadas soportadas en la formulaci´on tensorial. En e´ sta secci´on se hace una introducci´on formal a los tensores a partir de las propiedades de grupo que exhibe las transformaciones de Lorentz.

7.5.1.

Los generadores del grupo de Lorentz

Adem´as de cumplir con propiedades de un grupo continuo, las transformaciones de Lorentz exhibe propiedades de grupo de Lie. En general se define: Sea un grupo continuo g(θθ ) funci´on de un espacio de par´ametros θ = (θ1 , θ2 , ..., θn ). Si para cualquier par de componentes θi y θ j se cumple:

g(θi , θ j ) = g(θi , 0)g(0, θ j ),

(7.55)

entonces el grupo es un grupo de Lie. La condici´on (7.55) la podemos interpretar como una transformaci´on simult´anea en dos direcciones de una funci´on, que es equivalente a dos transformaciones consecutivas en cada direcci´on por separado. La consecuencia m´as importante de que un grupo sea de

100

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

Lie, es que su a´ lgebra se puede determinar a partir de sus generadores, que se definen como las derivadas parciales ∂ g(θk ) Tk = i , (7.56) ∂ θk θk =0 para cada componente k del espacio de par´ametros. En el ap´endice D, se demuestra que los elementos de un grupo de Lie se pueden escribir como: g(θθ ) = e−i ∑k θk Tk .

(7.57)

Para el caso del grupo de Lorentz, es conveniente expresar las transformaciones de Lorentz en terminos de la rapidez hiperb´olica definida en la secci´on 6.4, en vez de usar el factor β . Para eso, generalicemos la definici´on dada por la ecuaci´on (6.15), y definamos el vector rapidez hiperb´olica como: y = (tanh−1 β )βˆ ,

(7.58)

donde el vector unitario βˆ indica la direcci´on de la velocidad relativa entre observadores. As´ı, las transformaciones de Lorentz en (7.54) se pueden escribir en funci´on de las componentes de la rapidez hiperb´olica: α ) = R(α1 , α2 , α3 )L3 (y1 , y2 , y3 ). Λ(y,α

(7.59)

Como las rotaciones espaciales y los boost de Lorentz forman independientemente un grupo de Lie, podemos definir los siguientes generadores: ∂ R(αk ) Momento Angular : Jk = i , ∂ αk αk =0 ∂ L3 (yk ) . Boost : Kk = i ∂ yk yk =0

(7.60)

As´ı, las rotaciones y boost de Lorentz se pueden expresar como funciones exponenciales de sus generadores: α ) = e−i ∑k αk Jk , R(α L3 (y) = e−i ∑k yk Kk ,

(7.61)

por lo que las transformaciones de Lorentz tambi´en se acostumbran escribir en la forma: α ) = R(α α )L3 (y) = e−i ∑k (αk Jk +yk Kk ) . Λ(y,α

(7.62)

´ 7.5. ALGEBRA DEL GRUPO DE LORENTZ

7.5.2.

101

Representaciones del Grupo de Lorentz

Extendiendo la definici´on de la ecuaci´on (7.12), una transformaci´on de Lorentz se define como:

Λ : X −→ X0 ,

(7.63)

tal que el operador Λ deja el tensor m´etrico invariante. Lo anterior se traduce en t´erminos f´ısicos como el cambio que sufren las coordenadas de espacio y de tiempo de un evento debido al movimiento relativo entre dos observadores, el cual es generado por la acci´on del operador Λ, y que son compatibles con los postulados de la relatividad especial. Por otro lado, adem´as de sus coordenadas, los eventos pueden exhibir diversas propiedades f´ısicas que tambi´en van a transformar bajo el cambio entre observadores inerciales. La forma espec´ıfica que tenga dicha transformaci´on depende de la naturaleza de la propiedad f´ısica asociada al evento, la cual puede diferir de la transformaci´on de coordenadas. Para describir el efecto que producen las transformaciones de Lorentz sobre propiedades f´ısicas diferentes a las coordenadas, vamos a definir una variable gen´erica Φ que contenga la descripci´on completa de la propiedad. Por ejemplo, Φ puede representar fuerzas, masas en reposo, energ´ıa, campo el´ectrico, funciones de onda cu´anticas, etc. Al igual que sucede con las coordenadas, el cambio que sufra Φ debe respetar los postulados de la relatividad. El cumplimiento de los postulados se puede garantizar si exigimos que el operador que genera la transformaci´on de esa propiedad es funci´on de Λ, por lo que lo marcamos como M(Λ), y que bajo dos transformaciones sucesivas, se cumpla:

M(Λ1 Λ2 ) = M(Λ1 )M(Λ2 ),

(7.64)

es decir, que M(Λ) sea un homomorfismo de Λ. As´ı, la transformaci´on de coordenadas indicada por (7.63) est´a acompa˜nada por la transformaci´on de otras variables f´ısicas, que lo podemos indicar como:

Si Λ : X −→ X0

⇒

M(Λ) : Φ −→ Φ0 ,

(7.65)

Una forma m´as corta de expresar las relaciones en (7.65) es: Φ0 = M(Λ)Φ,

(7.66)

Debido a la condici´on (7.64), las funciones M(Λ) heredan las mismas propiedades de grupo de las transformaciones de Lorentz, raz´on por la cual las llamamos representaciones del Grupo de Lorentz. Concretamente, se define:

102

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

Representaciones del Grupo de Lorentz: Es el conjunto de transformaciones lineales M(Λ) que transforman una variable f´ısica Φ como Φ0 = M(Λ)Φ, tal que bajo dos transformaciones de Lorentz sucesivas se cumple: M(Λ1 )M(Λ2 )Φ(x) = M(Λ1 Λ2 )Φ(x). Espec´ıficamente, lo anterior define una representaci´on finita del grupo de Lorentz, ya que la cantidad Φ genera un espacio vectorial de dimensi´on finita2 . Por otro lado, como se dijo anteriormente, la forma espec´ıfica que tome el homomorfismo M(Λ) depende de la naturaleza de la propiedad Φ, es decir, conociendo la naturaleza de Φ, podemos determinar la forma de M(Λ). Pero esto tambi´en se puede ver de manera inversa: si conocemos c´omo es M(Λ), podemos definir cual es la naturaleza de la propiedad Φ. Decimos entonces que Φ forma una base de las representaciones de Lorentz: Base de una representaciones del Grupo de Lorentz: Es el conjunto de variables Φ que transforman a trav´es de una representaci´on del Grupo de Lorentz bajo transformaciones de Lorentz. Dicho de otra forma: à Si Φ → Φ0 = M(Λ)Φ cuando x → x0 = Λx, entonces Φ es base de la representaci´on de Lorentz M(Λ). Es importante enfatizar que no cualquier variable Φ es base de una representaci´on de Lorentz. Por ejemplo, si F describe la fuerza sobre un cuerpo, sabemos que e´ sta es diferente entre dos observadores en movimiento relativo. Si F es la fuerza medida por Σ y F 0 la medida por Σ0 , en principio podremos relacionar ambas por medio de una funci´on g(u) (ver ecuaci´on (4.1)) que depende de la velocidad relativa entre ambos observadores: F 0 = g(u)F.

(7.67)

Sin embargo, al determinar la funci´on g(u) vamos a encontrar que no es un homomorfismo de las transformaciones de Lorentz. Esto sigue sucedieno incluso aunque la fuerza se extienda a sus tres componentes espaciales. Por lo tanto, la fuerza descrita en la forma tradicional de un vector con tres componentes, no es una base de las representaciones del grupo de Lorentz. Como veremos m´as adelante, para poder describir la fuerza en una base de Lorentz, es necesario definir una cantidad m´as “grande” que un vector, en cuyo caso para distinguirlo de la fuerza cl´asica, lo llamaremos la cuadri-fuerza. 2 Tambi´en

existen representaciones infinitas, donde la cantidad Φ representan campos que dependen de las coordenadas espacio-temporales.

´ 7.5. ALGEBRA DEL GRUPO DE LORENTZ

103

Por otro lado, a trav´es de los generadores del grupo de Lorentz, podemos clasificar todas las representaciones de Lorentz posibles, o equivalentemente, todas las bases de representaciones de Lorentz. Si las transformaciones de Lorentz se describen por medio de sus generadores de acuerdo a la forma exponencial de la ecuaci´on (7.62), entonces una representacion de Lorentz tambi´en se puede describir de la misma forma: M(Λ) = e−i ∑k (αk M(Jk )+yk M(Kk )) ,

(7.68)

donde a los generadores tambi´en se le asocia una representaci´on: Jk −→ M(Jk ), Kk −→ M(Kk ).

(7.69)

Sin entrar en detalles que van m´as all´a del nivel del texto, se puede mostrar que todas las posibles representaciones de los generadores del grupo de Lorentz se pueden obtener a partir de la combinaci´on Jk± =

Jk ± iKk , 2

(7.70)

cuyas representaciones se pueden parametrizar en funci´on de dos ´ındices enteros o semienteros3 : Jk+ −→ M j+ (Jk+ ) Jk− −→ M j− (Jk− ).

(7.71)

tal que si ( entero, M(Λ) es representaci´on tensorial, j = | j+ ± j− | = semi-entero, M(Λ) es representaci´on espinorial.

(7.72)

A la base de las representaciones anteriores se le conocen como tensores y espinores, respectivamente. As´ı, se define: 1. Tensor: Base que transforma a trav´es de una representaci´on tensorial del grupo de Lorentz ante el cambio entre observadores inerciales. 2. Espinor: Base que transforma a trav´es de una representaci´on espinorial del grupo de Lorentz ante el cambio entre observadores inerciales. 3 Una

cantidad semi-entera es la raz´on entre dos enteros.

104

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

As´ı, cualquier representaci´on del grupo de Lorentz cae en alguna de dos categor´ıas: tensores o espinores. Para ilustrar algunas aplicaciones f´ısicas, consideremos los siguientes ejemplos: - Espinores de Weyl: Cuando ( j+ , j− ) = (1/2, 0) o (0, 1/2), las bases forman un espinor de Weyl con esp´ın j = 1/2. En el primer caso, se genera un espinor derecho ψR , mientras que el segundo es un espinor izquierdo ψL . Estas representaciones describen fermiones de esp´ın 1/2 que exhiben distintas propiedades bajo transformaci´on de paridad. A nivel nuclear, la fuerza de interacci´on d´ebil distingue si un fermi´on es derecho o izquierdo. Un caso extremo de dicha diferencia se observa en las part´ıculas llamadas neutrinos, las cuales solo se han detectado de tipo izquierdo. Un tema actual de la f´ısica de part´ıculas est´a en entender porqu´e no se han observan neutrinos derechos. - Espinor de Dirac: Si se combinan las representaciones de Weyl en una representaci´on (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2), se genera una base con dos espinores de Weyl de la forma:



 ψL ψD = , ψR

(7.73)

correspondiente a un espinor de Dirac, los cuales tambien describen fermiones de esp´ın j = 1/2 pero que son indistinguibles bajo paridad. Por ejemplo, la interacci´on electromagn´etica entre electrones se describen por un espinor de Dirac, que es la base para la electrodin´amica cu´antica. - Representaci´on fundamental: Cuando ( j+ , j− ) = (1/2, 1/2) ( j = 0 y 1), las representaciones de los generadores son los mismos generadores, es decir, M(Jk ) = Jk y M(Kk ) = Kk . Por lo tanto, la representaci´on del grupo de Lorentz coincide con la misma transformaci´on de Lorentz:

M(Λ) = Λ,

(7.74)

que se conoce como la representaci´on fundamental. Como se definira mas adelantes, la base de esta representaci´on forma un tensor de rango uno, que tradicionalmente se conoce como un cuadri-vector. Hay muchos ejemplos f´ısicos de cuadrivectores que vamos a describir en los dos u´ ltimos cap´ıtulos: el cuadri-momento, la cuadri-fuerza, la cuadri-corriente el´ectrica, etc. - Representaci´on escalar: Si ( j+ , j− ) = (0, 0), obtenemos el caso trivial M(Jk ) = M(Kk ) = 0, por lo que la representaci´on del grupo de Lorentz es simplemente la

´ 7.5. ALGEBRA DEL GRUPO DE LORENTZ

105

identidad. As´ı, la base de e´ sta representaci´on no cambia frente a las transformaciones de Lorentz, lo que se conoce como un escalar. Por ejemplo, la masa en reposo es una cantidad que no cambia frente a las transformaciones de Lorentz, por lo que tiene naturaleza escalar. En la f´ısica de part´ıculas, el recientemente descubierto Bos´on de Higgs exhibe propiedades de esp´ın j = 0, por lo que cae en esta representaci´on. Dec´ımos entonces que el bos´on de Higgs es una part´ıcula escalar.

7.5.3.

Representaciones tensoriales

A nivel de la mec´anica y la electrodin´amica cl´asicas, las u´ nicas representaciones que aparecen son las tensoriales. En la secci´on anterior definimos un tensor de forma general. Sin embargo, dentro de los tensores, existen diferentes clasificaciones. Para eso, vamos a utilizar otra descripci´on de una representaci´on tensorial diferente a la dada por (7.72). Si el esp´ın j es un n´umero entero, se puede demostrar que la representaci´on del grupo de Lorentz se genera como productos entre transformaciones de Lorentz y transformaciones inversas, que lo notamos de manera gen´erica como: M(Λ) j=entero = ∏ Λn .

(7.75)

n

Dependiendo de la cantidad de transformaciones directas e inversas, podemos clasificar tres tipos de tensores: 1. Tensores de rango n contravariantes: Es el conjunto de variables T que transforman como n transformaciones de Lorentz ante el cambio entre observadores inerciales:

T −→ T 0 = (Λ)n T.

(7.76)

2. Tensores de rango n covariantes: Es el conjunto de funciones que transforman como n transformaciones de Lorentz inversas

T −→ T 0 = (Λ−1 )n T.

(7.77)

3. Tensores mixtos de rango n: Es el conjunto de funciones que transforman como p transformaciones de Lorentz y n − p transformaciones inversas

T −→ T 0 = (Λ) p (Λ−1 )n−p T.

(7.78)

CAP´ITULO 7. EL GRUPO DE LORENTZ

106

Con estas definiciones, podemos obtener las representaciones escalares, cuadri-vectores y tensores de rango superior que describimos al final de la subsecci´on anterior. Lo que no estan incluidos son los espinores, ya que estos caen en otra categor´ıa diferente a los tensores: - Escalares: Cuando la potencia es n = 0, se obtiene la representaci´on de rango cero: M(Λ) = Λ0 = 1,

(7.79)

cuya base T = φ forma un escalar:

φ −→ φ 0 = φ .

(7.80)

As´ı, un escalar es una cantidad invariante bajo las transformaciones de Lorentz. - Cuadri-vectores: Cuando la potencia es n = 1, se obtiene la representaci´on de rango uno, que puede ser contravariante (V) o covariante (V˜ ):

Si M(Λ) = Λ ⇒ V 0 = ΛV : c-vector contravariante Si M(Λ) = Λ−1 ⇒ V˜ 0 = Λ−1V˜ : c-vector covariante.

(7.81)

As´ı, por ejemplo, las coordenadas espacio-temporales (x0 , x) forman un c-vector que puede ser contra- o covariante. Finalmente, existen otras representaciones tensoriales cuya transformaci´on depende del determinante de la transformaci´on de Lorentz. La base de tales representaciones se conocen como seudo-tensores: seudo-tensor: Conjunto de variables que transforman como un tensor y con el signo del determinante de la transformaci´on de Lorentz:

T −→ T 0 = Det[Λ](Λ)n T.

(7.82)

CAP´ITULO

8

´ Algebra de Tensores

Aunque el tratamiento matricial desarrollado en el cap´ıtulo anterior permiti´o describir de forma mas directa las propiedades algebr´aicas de las transformaciones de Lorentz, en la pr´actica su manejo es ineficiente y complejo. En este cap´ıtulo vamos a describir una notaci´on m´as apropiada para la manipulaci´on algebraica de los tensores.

8.1.

Notaci´on de ´ındices de Einstein

En la ecuaci´on (7.24) definimos la representaci´on fundamental de las transformaciones de Lorentz como una matr´ız 4 × 4 formada por 9 componentes, cada una identificada µ por dos ´ındices de la forma Λ ν . Generalizando la notaci´on, vamos a marcar con letras griegas min´usculas cualquier componente espacio-temporal, es decir un ´ındice marcado con cualquiera de las letras {α, β , γ, δ , σ , ω, ...}, indica una de las componentes {0, 1, 2, 3}, donde 0 hace referencia a componentes temporales y (1, 2, 3) a componentes espaciales. En algunas circunstancias, vamos a encontrar par´ametros puramente espaciales, es decir, que solamente tiene componentes (1, 2, 3). Para distinguirlo del anterior, esos ´ındices se marcan con letras latinas min´usculas, generalmente empezando desde i: {i, j, k, l, m, n, ...}. Por otro lado, en el caso de las bases tensoriales, sabemos que existen tres tipos de representaciones: contravariantes, covariantes y mixtos. Para distinguir uno de otro, vamos a marcar a los tensores con ´ındices espacio-temporales con la siguienta regla de posici´on: 107

´ CAP´ITULO 8. ALGEBRA DE TENSORES

108

 µ µν  ´ındices arriba → tensores contravariantes. Ejemplo: T , T . ´ındices abajo → tensores covariantes. Ejemplo: Tµ , Tµν .   µ ´ındices arriba y abajo → tensores mixtos. Ejemplo: T ν , T αβ γ .

(8.1)

En esta notaci´on, la cantidad de ´ındices se relaciona con la representaci´on espec´ıfica, la cual se obtiene de acuerdo al rango del tensor. As´ı, por ejemplo, un escalar (rango cero) al ser invariante, no exhibe productos con Λ, por lo que no se necesitan ´ındices. Un cvector (rango 1) transforma con una transformaci´on de Lorentz, por lo que se requiere de un ´ındice. Un tensor de rango 2 transforma con dos transformaciones Λ, lo que requiere de dos ´ındices, y as´ı sucesivamente. As´ı, se tiene:   Tensores sin ´ındices → rango 0 (escalares) Tensores con un ´ındice → rango 1 (cuadri-vectores)   Tensores con n ´ındices → rango n .

(8.2)

De esta manera, la notaci´on de ´ındices exhibe expl´ıcitamente la naturaleza tensorial de las variables: su forma de transformaci´on y su dimensi´on (n´umero de componentes necesarios para describirlo completamente).

8.2.

Operaciones tensoriales

Al igual que sucede con las variables y funciones ordinarias, los tensores se pueden combinar para formar operaciones que den como resultado otros tensores de la misma o diferente naturaleza, algunas de las cuales vamos a describir a continuaci´on: 1. Producto interno (contracci´on de ´ındices): El producto interno define el producto entre tensores, donde dos o m´as ´ındices suman sobre todas las componentes espacio-temporales, y que da como resultado otro tensor del mismo o menor rango. Por ejemplo, sean dos tensores Aµ y Bµν . Un producto interno puede ser:

3

∑ Aµ Bµν = A0 B0ν + A1 B1ν + A2 B2ν + A3 B3ν .

(8.3)

µ=0

Se observa que al realizar la suma, resulta una cantidad con componente ν abajo, es decir, el producto interno anterior da como resultado un c-vector covariante:

8.2. OPERACIONES TENSORIALES

109

3

∑ Aµ Bµν = Cν .

(8.4)

µ=0

El ejemplo anterior exhibe dos reglas b´asicas del producto interno: i.) Los ´ındices que suman deben aparecer en posiciones opuestas, esto es, el producto interno se define con la suma entre un ´ındices covariante con uno contravariante. Por ejemplo, el producto ∑3µ=0 Aµ Bµ no existe. ii.) La suma es diagonal en los ´ındices, esto es, los ´ındices que suman, corren simult´aneamente sobre las componentes de espacio-tiempo. Esto se indica notando con la misma letra a los ´ındices que suman. Por ejemplo, el producto ∑3µ=0 ∑3ν=0 Aµ Bν no es un producto interno. Las reglas anteriores permite interpretar el producto interno como una contracci´on de ´ındices, donde la presencia de ´ındices repetidos arriba y abajo autom´aticamente indica que existe una suma sobre todos los valores (0, 1, 2, 3) sin necesidad de poner el s´ımbolo de sumatoria, y que el resultado es un nuevo tensor del rango de los ´ındices no repetidos, como si los que suman se aniquilaran entre s´ı (esto se le conoce como contracci´on). As´ı, por ejemplo, el producto interno

Aµ Bµν = Aµ/ Bµ/ν = Cν ,

(8.5)

representa la operaci´on extendida descrita en las ecuaciones (8.3) y (8.4) 2. Producto escalar: El producto escalar es un producto interno donde se contraen completamente los ´ındices, que da como resultado una cantidad escalar. Por ejemplo:

µ

A ν Bν µ = C.

(8.6)

La importancia del producto escalar es que permite construir cantidades invariantes bajo transformaciones de Lorentz. 3. Producto externo: En contraste al producto interno donde hay ´ındices que suman sobre todas las componentes, el producto externo define una cantidad de mayor rango y por componentes. Por ejemplo, si Aµ representa la componente µ de un c-vector, y Bν la componente ν de otro c-vector, entonces el producto externo:

´ CAP´ITULO 8. ALGEBRA DE TENSORES

110

Aµ Bν = C µν ,

(8.7)

representa la componente µν de un tensor de rango 2. 4. Adici´on: La adici´on o suma se define solamente entre tensores del mismo rango y de componente a componente, que da como resultado un tensor del mismo rango y misma componente. Por ejemplo,

A

µ ν

+B

µ

µ

ν

= C ν,

para un valor particular de µ y ν. En cambio, sumas como por ejemplo A Aµ + Bν o Aµ + Bµ no existen.

(8.8) µ ν

+ Bµ ,

5. Producto por un escalar : Es el producto entre un tensor y un escalar, que da como resultado otro tensor del mismo rango y naturaleza. Por ejemplo, si λ es un escalar, se cumple:

λA

µ

µ

ν

= C ν.

(8.9)

Antes de estudiar algunos tensores fundamentales, es importante enunciar una regla que se puede usar para determinar si un tensor es realmente una representaci´on de Lorentz: Regla del Cociente: Sea X una cantidad arbitraria y V un tensor de la representaci´on del grupo de Lorentz. Sea el producto (interno o externo) XV = T . Si T es un tensor de la representaci´on de Lorentz, entonces la cantidad X tambi´en es un tensor de la representaci´on de Lorentz.

8.3.

Tensores especiales

Antes de definir las bases de representaciones del grupo de Lorentz asociadas a variables f´ısicas, vamos a definir un conjunto de tensores fundamentales para el calculo algebr´aico.

8.3. TENSORES ESPECIALES

8.3.1.

111

Boost de Lorentz

En la ecuaci´on (7.54), expresamos la transformaci´on de Lorentz como la combinaci´on de rotaciones espaciales y transformaciones entre observadores en movimiento relativo. Como siempre podremos reorientar los ejes de los observadores tal que queden alineados, vamos a asumir que R(α1 , α2 , α3 ) = R(0, 0, 0) = 1, por lo que solamente vamos a trabajar con los Boost de Lorentz. En particular, la representaci´on fundamental de los Boost del grupo de Lorentz restringido viene dada por la matr´ız de la ecuaci´on (7.53). Usando la notaci´on de ´ındices, cada componente de los Boost lo vamos a notar µ como L ν , los cuales de acuerdo a las forma de la matr´ız (7.53) y la definici´on en (7.44), podemos escribir como:

L

µ ν

 0   L 0 = γ, = L0 i = Li 0 = −γβi ,  i  Li = δ i + (γ − 1) β β2 j . j

j

(8.10)

β

Para entender c´omo act´uan los boost sobre los tensores, tomemos por ejemplo las coordenadas espacio-temporales. Como estas transforman con una transformaci´on de Lorentz, en la notaci´on tensorial se representan como un cuadri-vector que puede ser contra- o covariante, y que tiene la siguiente forma vectorial: xµ xµ



. = x0 , x1 , x2 , x3 = x0 , x , . = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (x0 , x) ,

(8.11)

. donde el s´ımbolo = indica que xµ o xµ es una de las cuatro componentes de espaciotiempo. Observese que en la definici´on anterior, se escoge la notaci´on tradicional x para indicar vectores espaciales sin importar que sea covariante o contravariante1 . Bajo el cambio de observador inercial, sabemos que las coordenadas transforman de acuerdo a (7.11), que de forma expl´ıcita es:   0  0  00  x L 0 L0 1 L0 2 L0 3 x   x01  L 1 ∗ ∗  x1     =  0 ∗ 2 02 L x  ∗ ∗ ∗  x2  0 x3 L3 0 ∗ ∗ ∗ x03  0 ν L νx L 1 ν x ν   =  L 2 ν x ν  , L3 ν xν 1 Esta

(8.12)

indistinguibilidad de la parte espacial es consecuencia de la estructura (−, +, +, +) que exhibe el tensor m´etrico, como se muestra en la ecuaci´on (8.20). Es importante aclarar que si usamos la estructura . (+, −, −, −), la representaci´on covariante ser´ıa xµ = (x0 , −x).

´ CAP´ITULO 8. ALGEBRA DE TENSORES

112

donde se aplic´o la notaci´on de suma del producto interno en el u´ ltimo termino. Al comparar este termino con el primero, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones: x00 = L0 ν xν x01 = L1 ν xν x02 = L2 ν xν x03 = L3 ν xν ,

(8.13)

x0µ = L ν xν ,

(8.14)

o en forma mas corta: µ

para cualquier componente µ = 0, 1, 2 o 3. De la misma forma, se obtiene la transformaci´on de Lorentz para las componentes covariantes: x0µ = (L−1 )ν µ xν .

8.3.2.

(8.15)

Tensores isotr´opicos

Un tensor isotr´opico es una cantidad cuyas componentes no cambian de valor bajo transformaciones de Lorentz. A diferencia de los escalares, un tensor isotr´opico esta formado por varias componentes de acuerdo a su rango. Algunos de estos tensores son: 1. Tensor de Kronecker: Por definici´on, la transformaci´on inversa seguida por la transformaci´on directa da la identidad, lo que en terminos tensoriales se expresa como el producto interno:

L

µ

α (L

−1 α

)

ν

( 1 = 0

si µ = ν µ = δ ν, si µ 6= ν

(8.16)

que corresponde a la extensi´on cuadri-dimensional del delta de Kronecker de la ecuaci´on (7.45). 2. Tensor m´etrico: La matr´ız de la ecuaci´on (7.20) define el tensor m´etrico que determina la geometr´ıa seudo-Euclidiana del intervalo de espacio-tiempo. En notaci´on tensorial toma la forma:

η µν = ηµν

  −1 si µ = ν = 0 = 1 si µ = ν = 1, 2, 3 ,   0 si µ 6= ν

(8.17)

8.3. TENSORES ESPECIALES

113

tal que la distancia de espacio-tiempo queda expresada como un producto escalar de la forma:

s2 = xµ ηµν xν .

(8.18)

Como los ´ındices se contraen completamente, es evidente que la cantidad s2 es un escalar, por lo que es invariante frente a las transformaciones de Lorentz. Adicionalmente, el tensor m´etrico sirve de puente entre tensores contravariantes y covariantes. Por ejemplo, la cuadri-posici´on contravariante xµ la podemos convertir en covariante a trav´es del producto interno: ηµν xν = xµ .

(8.19)

Problema 22: Muestre que las componentes temporales entre la representaci´on contravariante y covariante se diferencian por un signo, mientras que las espaciales tienen el mismo signo: x0 = −x0 ,

x i = xi .

(8.20)

3. Tensor de Levi-Civita: Consideremos el siguiente tensor de rango 4:

ε

αβ γδ

  1 = −1   0

si (αβ γδ ) = permutaciones par de (0123) si (αβ γδ ) = permutaciones impar de (0123) . si hay ´ındices repetidos

(8.21)

El n´umero de permutaciones es el n´umero de intercambios consecutivos para obtener otro ordenamiento del conjunto (0123). Por ejemplo, la componente con (αβ γδ ) = (3120) vale −1 ya que hay que realizar 5 permutaciones entre ´ındices para ir de (0123) a (3120):

(0123) → (1023) → (1203) → (1230) → (1320) → (3120).

(8.22)

´ CAP´ITULO 8. ALGEBRA DE TENSORES

114

Los tensores que cambian de signo bajo permutaciones impar se conocen como tensores antisim´etricos. Por otro lado, para obtener la forma covariante, es necesario bajar los 4 ´ındices, lo que requiere el producto interno con 4 tensores m´etricos. Se puede demostrar que el resultado es un tensor igual a la forma contravariante pero con signo opuesto:

εαβ γδ

= ηα µ ηβ ν ηγσ ηδ ω ε µνσ ω   −1 si (αβ γδ ) = permutaciones par de (0123) = 1 si (αβ γδ ) = permutaciones impar de (0123) (8.23)   0 si hay ´ındices repetidos

Problema 23: Demuestre la ecuaci´on (8.23).

8.3.3.

Tensores Dual

El tensor m´etrico se puede interpretar como una operaci´on que convierte un tensor contravariante en uno covariante, o viceversa. Por ejemplo, para tensores de rango 2, se puede definir: η : V µν −→ Vαβ ,

(8.24)

Vαβ = ηα µ ηβ ν V µν .

(8.25)

donde:

De manera an´aloga, el tensor de Levi-Civita se puede usar como un operador que convierte un tensor de rango 2 en otro diferente llamado su forma dual: ε : V µν −→ Vαβ ,

(8.26)

que es un tensor de naturaleza covariante, y que se obtiene como: 1 D (V µν ) = εαβ µν V µν = Vαβ . (8.27) 2 El factor 1/2 surge para corregir dobles sumas que aparecen en el producto interno.

CAP´ITULO

9

Formulaci´on Covariante de la Mec´anica

En el contexto del a´ lgebra tensorial, una variable covariante es un tipo de representaci´on del grupo de Lorentz que transforma como el inverso de las transformaciones de Lorentz bajo el cambio entre observadores inerciales. Sin embargo, en el contexto de una teor´ıa f´ısica, se usa tambi´en la palabra covariante al conjunto de leyes que adem´as de cumplir con el principio de relatividad especial, e´ stas se escriben en t´erminos de representaciones del grupo de Lorentz, es decir, en t´erminos de tensores y espinores, incluso aunque un tensor puede aparecer en su forma contravariante. En la primera parte del texto, planteamos las leyes de la mec´anica que respetaban los postulados de la relatividad, pero donde las variables no son representaciones del grupo de Lorentz. En e´ ste cap´ıtulo, se revisar´a de nuevo las leyes de la mec´anica pero en el lenguaje formal de los tensores, es decir, en la formulaci´on covariante.

9.1.

Variables cinem´aticas

En la notaci´on tradicional, las variables cinem´aticas se representan en t´erminos de escalares y vectores, como el tiempo, el desplazamiento, la velocidad, etc. Sin embargo, estas variables no transforman como representaciones del grupo de Lorentz. Para reconstruir la cinem´atica con una fomulaci´on covariante, empezemos por las dos variables b´asicas que ya tenemos en forma de representaciones del grupo de Lorentz: la cuadri-posici´on y el intervalo de espacio-tiempo. Primero, en la ecuaci´on (8.11) se defini´o las componentes de las coordenadas de espacio-tiempo, que lo llamaremos como la cuadri-posici´on, o en forma corta, la c-posici´on. Por tradici´on, la componente temporal la definimos en su forma contravariante como x0 = ct. Sin embargo, debido a la forma del tensor m´etrico y de acuerdo al resultado de la ecuaci´on (8.20), su forma covariante 115

116

´ COVARIANTE: MECANICA ´ CAP´ITULO 9. FORMULACION

tiene signo opuesto x0 = −ct. As´ı, la c-posici´on se define: xµ xµ

. = . =


x0 , x = (ct, x) ,
−x0 , x = (−ct, x) .

(9.1)

Por otro lado, de acuerdo a la definici´on (5.24), el intervalo de espacio-tiempo se define igual que la distancia de espacio-tiempo pero entre dos eventos que ocurren en posiciones y tiempos arbitrarios. En el l´ımite al continuo, si los eventos ocurren en tiempos y posiciones infinitesimalmente cercanos, se define el elemento de espacio-tiempo como: ds2 = −(dx0 )2 + |dx|2 = −c2 dt 2 + |dx|2 .

(9.2)

En particular, cuando los eventos ocurren en la misma posici´on, el termino espacial se anula |dx| = 0 y de acuerdo a la definici´on en la subsecci´on 3.1.2, el observador medir´a elementos de tiempo propio dτ. As´ı, se obtiene que ds2 = −c2 dτ 2 , o despejando para el tiempo propio: r −ds2 dτ = . (9.3) c2 Usando la regla del cociente, puesto que la distancia de espacio-tiempo y la velocidad de la luz son escalares, entonces el tiempo propio tambi´en es un escalar, por lo que el tiempo propio de los eventos es u´ nico independiente del observador inercial. Aunque los eventos no ocurran en la misma posici´on para un observador arbitrario, es posible relacionar los tiempos relativos con el escalar tiempo propio a trav´es de la f´ormula de dilataci´on de la ecuaci´on (3.6). As´ı, aunque el observador no sea el de los tiempos propios de los eventos, es posible expresar la cinem´atica en t´erminos de tiempos propios en lugar de tiempos relativos, esto es, en t´erminos de una representaci´on escalar del grupo de Lorentz. De la f´ormula de dilataci´on, es directo comprobar las siguientes relaciones que ser´an de uso frecuente en los desarrollos algebraicos: dt = γ, dτ dτ = γ −1 , dt dt = γdτ.

9.1.1.

(9.4)

La cuadri-velocidad

La cuadri-velocidad se define como la variaci´on de la c-posici´on respecto al tiempo propio:

´ 9.1. VARIABLES CINEMATICAS

117

Uµ =

dxµ . dτ

(9.5)

De nuevo, por la regla del cociente, como dxµ es un c-vector y dτ es un escalar, entonces U µ es un c-vector. Es importante enfatizar que la cantidad

vµ =

dxµ , dt

(9.6)

donde dt es el tiempo relativo, el cual no es un escalar del grupo de Lorentz (no es invariante frente a transformaciones de Lorentz), no es un c-vector aunque exhiba cuatro componentes. A partir de (9.1) y la definici´on (9.6), podemos calcular las componentes de la c-velocidad: d µ x dτ

d (ct, x) dτ   dt dx = c , . dτ dτ . =

(9.7)

Usando las relaciones (9.4), se concluye:

Uµ Uµ

. = γ (c, v) , . = γ (−c, v) ,

(9.8)

donde se define el vector velocidad en la forma tradicional: v=

9.1.2.

dx . dt

(9.9)

La cuadri-aceleraci´on

Continuando con la construcci´on, definimos la cuadri-aceleraci´on como la variaci´on de la c-velocidad respecto al tiempo propio:

aµ =

dU µ , dτ

(9.10)

que evidentemente tambi´en es un cuadri-vector. Usando las componentes (9.8), se obtiene:

´ COVARIANTE: MECANICA ´ CAP´ITULO 9. FORMULACION

118

d µ U dτ

d γ (c, v) dτ  dv dγ + (c, v) , = γ 0, dτ dτ . =

(9.11)

donde cada derivada es: dv dτ dγ dτ

dv = γA dt dγ = γ . dt = γ

(9.12)

Problema 24: Demuestre que: γ˙ =

dγ = γ 3β · β˙ . dt

(9.13)

Usando las ecuaciones (9.12) y (9.13), y teniendo en cuenta que β = v/c, la caceleraci´on tiene las siguientes componentes:

aµ

. =

 4
a0 = γchv · A, 0 i a ,a : 2 a = γ 2 A + γ 2 (v · a)v ,

(9.14)

c

donde el vector A representa la aceleraci´on cl´asica. La expresi´on anterior no es de uso frecuente debido a su forma complicada. Para simplificar las expresiones cinem´aticas, se acostumbra usar la aceleraci´on del sistema co-movil, que se define como: Sistema co-movil: conjunto de observadores inerciales que instant´aneamente se encuentran en reposo respecto a un cuerpo acelerado. As´ı, desde un sistema co-movil, el cuerpo se encuentra en reposo intant´aneo, por lo que la velocidad instant´anea es v = 0. La c-aceleraci´on en un sistema co-movil es entonces: . acµ = (0, A) .

(9.15)

´ 9.2. VARIABLES DINAMICAS

9.2.

119

Variables din´amicas

A partir de las variables cinem´aticas, se pueden construir las representaciones de Lorentz que describir´a la din´amica de las part´ıculas puntuales.

9.2.1.

El cuadri-momento

El momento lineal definido como el producto de la masa y la velocidad no forma una representaci´on del grupo de Lorentz. Para eso, se define el cuadri-momento como:

pµ = m0U µ ,

(9.16)

donde m0 es la masa en reposo y U µ la c-velocidad. Como sucede con el tiempo propio, se utiliza la masa en reposo en vez de la masa relativista, ya que el primero es un escalar invariante frente a las transformaciones de Lorentz. Expl´ıcitamente, las componentes del c-momento son:

pµ = m0U µ

. = m0 (γc, γv) .

(9.17)

Usando las definiciones de momento y energ´ıa relativistas dadas por las ecuaciones (4.3) y (4.26 ), las componentes del c-momento se pueden expresar como: m(v)c2 E = c c m0 γv = m(v)v = p, m0 γc = m(v)c =

(9.18)

por lo que:

. p = µ



 E ,p . c

(9.19)

La forma del c-momento exhibe una de las consecuencias m´as importantes de la formulaci´on covariante de la relatividad, y tiene que ver con la unificaci´on de conceptos diferentes en un mismo esquema. Esto ya lo habiamos obtenido anteriormente en el tratamiento geom´etrico, donde describimos el tiempo y el espacio como variables de la misma naturaleza en un solo objeto, que identificamos como la c-posici´on. De forma an´aloga, vemos que la energ´ıa y el momento lineal se pueden describir de forma unificada como componentes de un u´ nico concepto f´ısico: el c-momento.

120

9.2.2.

´ COVARIANTE: MECANICA ´ CAP´ITULO 9. FORMULACION

La fuerza de Minkowski

Podemos plantear el an´alogo relativista de la segunda Ley de Newton, conocida como la ecuaci´on de Minkowski. Si la fuerza es la variaci´on del momento lineal respecto al tiempo, vamos a definir la cuadri-fuerza, o la fuerza de Minkowski sobre una part´ıcula puntual como:

Fµ =

d pµ . dτ

(9.20)

Como el c-momento contiene la energ´ıa y momento lineal total de la part´ıcula, la fuerza de Minkowski representa variaciones de dichas componentes, es decir, la fuerza de Minkowski describe procesos de intercambio de energ´ıa y de momento lineal entre sistemas f´ısicos. Solamente si F µ se anula, obtendremos las leyes de conservaci´on de la energ´ıa y del momento lineal, como explicaremos en la siguiente secci´on. Otro aspecto importante de mencionar en relaci´on a la ecuaci´on (9.20) es que aunque la c-fuerza y el c-momento cambian frente a las transformaciones de Lorentz, la forma de la ecuaci´on no cambia, tal como lo exige el primer postulado de la relatividad especial. Para ilustrar el manejo del a´ lgebra tensorial descrito en el cap´ıtulo anterior, vamos a demostrar la invariancia de la ecuaci´on de Minkowski. Sea un observador inercial Σ que mide una c-fuerza que respeta la ecuaci´on (9.20). Sea otro observador Σ0 moviendose con velocidad u respecto a Σ. Queremos calcular la c-fuerza medida por Σ0 en relaci´on al c-momento que mide ese mismo observador. Como la c-fuerza es un cuadri-vector, esta transforma con una transformaci´on de Lorentz directa: F 0µ = L ν F ν . µ

(9.21)

Aplicando la ecuaci´on de Minkowski para F ν , se obtiene:

F 0µ = L

µ ν

d pν . dτ

(9.22)

Para relacionar F 0µ con el c-momento en Σ0 , invirtamos la transformaci´on del c-momento: p0µ = L

µ

νp

ν

⇒

pν = (L−1 )ν µ p0µ .

(9.23)

Reemplazando (9.23) en (9.22), y teniendo en cuenta que el tiempo propio es escalar (τ = τ 0 ) obtenemos:

F 0µ = L ν (L−1 )ν µ µ

d p0µ , dτ 0

(9.24)

´ 9.2. VARIABLES DINAMICAS

121

donde de acuerdo a la definici´on del tensor de Kronecker en (8.16) se cumple para una componente µ particular que: L ν (L−1 )ν µ = δ µ

por lo que la ecuaci´on de Minkowski en

Σ0

µ µ

= 1,

(9.25)

toma la misma forma que en Σ:

d p0µ . (9.26) dτ 0 Para estudiar c´omo la fuerza de Minkowski se relaciona con procesos de intercambio de energ´ıa y momento lineal, calculemos expl´ıcitamente sus componentes. Teniendo en cuenta (9.19), se obtiene: F 0µ =

Fµ

  d E ,p dτ c   d E ,p = γ dt c   P = γ ,K , c =

(9.27)

donde se define: dE dt dp K = . (9.28) dt Podemos ver que P no es m´as que la potencia absorbida o dispersada por la part´ıcula y K es el equivalente relativista de la fuerza, esto es, la variaci´on de momento lineal relativista respecto al tiempo. Observamos que esta fuerza no es exactamente la componente espacial de la c-fuerza. De acuerdo a (9.27), las componentes de la c-fuerza son: P =

P c F = γK.

F0 = γ

(9.29)

Por otro lado, podemos mostrar que existe una ligadura que relaciona los cambios de energ´ıa con los cambios de momento lineal. En particular, para part´ıculas estables con masa en reposo constante, la c-velocidad y la c-fuerza son ortogonales entre s´ı, es decir, su producto escalar es nulo: F µ Uµ = 0, relaci´on que se puede demostrar usando la ecuaci´on general (9.31).

(9.30)

122

´ COVARIANTE: MECANICA ´ CAP´ITULO 9. FORMULACION

Problema 25: Usando la descomposici´on de la c-velocidad de la ecuaci´on (9.8), demuestre el siguiente producto escalar: dUµ = 0, (9.31) Uµ dτ

As´ı, se cumple que: F 0U0 + F · U = 0 −F · U ⇒ F0 = U0 K·v = γ . c

(9.32)

Definiendo β = v/c y teniendo en cuenta que F 0 = γP/c, se encuentra la relaci´on:

β, P = cK ·β

(9.33)

por lo que las componentes de la c-fuerza para part´ıculas puntuales estables se puede escribir como:

β , K) . F µ = γ (K ·β

9.2.3.

(9.34)

La masa invariante

Como se mencion´o en el cap´ıtulo anterior, el producto escalar es una herramienta u´ til que nos permite construir nuevas cantidades invariantes frente a las transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, el producto escalar entre las c-posiciones dada por la ecuaci´on (8.18) define la distancia de espacio-tiempo. De forma an´aloga, podemos definir el producto escalar entre los c-momentos:

pµ pµ

= m20U µ Uµ
= m20 U 0U0 +U iUi   2 2 2 2 = m0 γ −c + |v|
= −m20 c2 γ 2 1 − β 2 .

(9.35)

9.3. COLISIONES DE PART´ICULAS PUNTUALES

123

Teniendo en cuenta que el t´ermino dentro del par´entesis no es m´as que γ −2 , se obtiene: pµ pµ = −m20 c2 ,

(9.36)

es decir, el producto escalar de los c-momentos se relacionan con la masa en reposo del cuerpo, la cual como ya hab´ıamos conjeturado, es invariante. Por tal raz´on, a la cantidad m0 c se le conoce como la masa invariante del cuerpo, aunque su producto por c hace que no sea exactamente una masa. Adicionalmente, el producto escalar entre c-momentos nos permite obtener de forma casi inmediata la relaci´on de energ´ıa-momento dada por la ecuaci´on (4.33). Expl´ıcitamente, con la descomposici´on del c-momento de la ecuaci´on (9.19), se obtiene:

pµ pµ

= p0 p0 + pi pi = −

E2 + |p|2 . 2 c

(9.37)

Al igualar el resultado de (9.37) con (9.36), se puede demostrar la relaci´on de energ´ıamomento: q (9.38) E = c p2 + m20 c2 , donde p2 = |p|2 .

Vamos ahora a estudiar sistemas de muchas part´ıculas puntuales que pueden interactuar. En particular, trataremos solamente part´ıculas que interactuan por colisi´on directa1 . A diferencia del caso cl´asico, donde el n´umero de part´ıculas se puede fijar, en relatividad la materia y la energ´ıa pueden intercambiarsen, por lo que el n´umero de part´ıculas no es una cantidad fija en el tiempo, incluso aunque el sistema sea cerrado. Sin embargo, en el caso de colisiones de contacto, podr´ıamos separar subconjuntos de objetos que colisionan en el mismo punto espacial y comparar el c-momento de las part´ıculas antes y despu´es de la colisi´on, tal que mientras no suceda la interacci´on, el n´umero de part´ıculas es fijo. As´ı, consideremos un sistema de n part´ıculas libres que se convierte en otro de µ m part´ıculas despu´es de la colisi´on, como se muestra en la Figura 9.1. Si pi representa el c-momento de la i−´esima part´ıcula en cada instante, definimos el c-momento del sistema de part´ıculas antes y despu´es de la colisi´on como: 1 Se

puede hacer un tratamiento m´as general con part´ıculas que interactuan a distancia a trav´es de campos. Sin embargo, dicho tratamiento requiere de herramientas m´as sofisticadas provenientes de la teor´ıa cu´antica de campos, por lo que no lo trataremos aqu´ı.

n! m!

5! 4! 3! 2! 1!

!.!.!.!

Colisiones de part´ıculas puntuales

!.!.!.!

9.3.

3! 2! 1!

Figura 9.1

´ COVARIANTE: MECANICA ´ CAP´ITULO 9. FORMULACION

124

n

Pµ(antes) =

µ(antes)

∑ pi

i=1 m

Pµ(despu´es) =

,

µ(despu´es)

∑ pi

.

(9.39)

i=1

El cambio del c-momento debido a la colisi´on es: ∆Pµ = Pµ(despu´es) − Pµ(antes) .

(9.40)

Si las interacciones al interior del conjunto se da solamente por contacto directo entre las part´ıculas, la tercera ley de Newton sigue siendo v´alida sin violar el principio de causalidad. Entonces, tal como sucede en la mec´anica cl´asica, la transferencia de energ´ıa y momento entre solamente las part´ıculas que colisionan, no produce ning´un incremento ni disipaci´on global de estas cantidades, por lo que ∆Pµ = 0. Se cumple entonces que los c-momentos totales definidos de acuerdo a la ecuaci´on (9.39) se conservan sin importar el cambio en el n´umero de part´ıculas. Para que esto ocurra, se tiene que conservar cada una de sus componentes, es decir, la energ´ıa y el momento lineal relativistas del sistema antes y despu´es de la colisi´on son los mismos:

P

µ(despu´es)

=P

µ(antes)

( (despu´es) = ∑ni=1 Ei(antes) , ∑m i=1 Ei ⇒ (despu´es) = ∑ni=1 p(antes) . ∑m i=1 pi i

(9.41)

Por otro lado, como ocurre con el caso cl´asico, las colisiones las podemos clasificar de dos tipos de acuerdo a si la energ´ıa cin´etica se conserva o no: el´asticas o inel´asticas. Sin embargo, a diferencia de la mec´anica cl´asica, donde las part´ıculas puntuales siempre exhiben colisiones el´asticas, en el caso relativista estas podr´ıan ser inel´asticas debido a posibles transformaciones de masa en reposo en energ´ıa cin´etica durante la colisi´on. Espec´ıficamente, usando la definici´on (4.24) y teniendo en cuenta que la energ´ıa total se conserva en sistemas aislados, la condici´on que determina si una colisi´on es o no el´astica es: K = E − M0 c2 = const. ⇒ M0 = const.,

(9.42)

con M0 la suma de las masas en reposo de las part´ıculas del sistema. As´ı, en relatividad especial las colisiones se clasifican de acuerdo a: ( El´asticas, Colisiones: Inel´asticas,

si M0 se conserva, si M0 no se conserva.

(9.43)

9.3. COLISIONES DE PART´ICULAS PUNTUALES

125

Para ilustrar el manejo algebraico de los c-vectores, estudiemos el efecto Compton que se puede tratar como una colisi´on el´astica. Un fot´on de longitud de onda λ0 colisiona con un electr´on libre originalmente en reposo. Queremos calcular la nueva longitud de onda del fot´on dispersado en funci´on de su a´ ngulo de dispersi´on. La Figura 9.2 muestra el proceso antes y despu´es de la dispersi´on. Los c-momentos antes de la colisi´on de cada part´ıcula son:    Ef Ef Ef , kf = , , 0, 0 = c c c   Ee = , pf = (mc, 0, 0, 0) , c

k

µ

p µ

µ

k ’  



k

µ

p

µ

θ

φ

(9.44)

donde se h´ızo uso de la relaci´on de energ´ıa-momento de la ecuaci´on (9.38) y se tuvo en cuenta que el electr´on est´a en reposo. Las componentes de c-momento despu´es de la colisi´on son:

k

0µ

p0µ

! E 0f E 0f E 0f = , cos θ , sin θ , 0 = c c c c  0   0  Ee 0 Ee 0 0 = ,p = , p cos φ , p f sin φ , 0 . c f c f E 0f

!

, k0f

(9.45)

Si definimos el c-momento total inicial como Pµ = k µ + pµ y el final como P0µ = k0µ + p0µ , la conservacin del c-momento nos dice que k µ + pµ = k0µ + p0µ . Despejando para el electr´on, obtenemos: p0µ = k µ + pµ − k0µ .

(9.46)

Por otro lado, obtengamos el producto escalar entre el c-momento inicial:

Pµ Pµ

= k µ kµ + pµ pµ + 2k µ pµ = −m2 c2 + 2k µ pµ ,

(9.47)

donde se us´o el resultado de la ecuaci´on (9.36). Para el c-momento final, se obtiene: P0µ Pµ0

= k0µ k0µ + p0µ p0µ + 2k0µ p0µ = −m2 c2 + 2k0µ p0µ
= −m2 c2 + 2k0µ kµ + pµ − k0µ ,

(9.48)

Figura 9.2

p’  µ

126

´ COVARIANTE: MECANICA ´ CAP´ITULO 9. FORMULACION

donde se us´o la ecuaci´on (9.46) en la u´ ltima igualdad. Como los c-momentos totales se conservan, tambi´en se conservar´a sus productos escalares: Pµ Pµ = P0µ Pµ0 ⇒ −m2 c2 + 2k µ pµ = −m2 c2 + 2k0µ kµ + pµ − k0µ
⇒ k µ pµ = k0µ kµ + pµ − k0µ .


(9.49)

Para calcular la u´ ltima igualdad, debemos obtener los productos escalares individuales teniendo en cuenta las componentes de las ecuaciones (9.44) y (9.45). Expl´ıcitamente, se obtiene: k µ pµ

k0µ pµ

= −mE f , E f E 0f E f E 0f = − 2 + 2 cos θ , c c = −mE 0f

k0µ k0µ

= 0.

k0µ kµ

(9.50)

Reemplazando cada producto escalar obtenido en (9.50) en la ecuaci´on (9.49), obtenemos: E f E 0f

(1 − cos θ ) − mE 0f . (9.51) c2 Si en la ecuaci´on anterior despejamos la energ´ıa del fot´on despu´es de la dispersi´on, obtenemos: −mE f = −

E 0f =

1+



Ef mc2

E f . (1 − cos θ )

(9.52)

Teniendo en cuenta que la energ´ıa del fot´on se relaciona con su frecuencia de acuerdo a la ecuaci´on (4.35) y la frecuencia a la longitud de onda como f = c/λ con c la velocidad de la luz, la ecuaci´on (9.52) se puede escribir en terminos de la longitud de onda como: h (1 − cos θ ) . (9.53) mc La ecuaci´on (9.53) nos dice que la longitud de onda del fot´on cambia de acuerdo al a´ ngulo de dispersi´on, resultado que no solamente es compatible con el tratamiento relativista, sino que confirma la naturaleza cu´antica de la luz, ya que la electrodin´amica cl´asica predice una longitud de onda independiente del a´ ngulo, contrario a las observaciones experimentales. λ 0 = λ0 +

9.4. EL COHETE RELATIVISTA

9.4.

127

El cohete relativista

En la mec´anica cl´asica, un sistema puede disminuir su masa expulsando materia. En el caso relativista, sin embargo, debido a que la masa y la energ´ıa pueden intercambiarsen, existen otras fuentes que producen variaci´on de la masa en reposo del sistema. As´ı, la masa en reposo de la materia emitida da cuenta de solo una parte de la masa total perdida por el sistema; el resto se distribuye entre energ´ıa cin´etica y energ´ıa de radiaci´on dependiendo del tipo de reacciones que se den al interior del sistema. Por lo tanto, es mejor hablar en terminos de emisi´on de c-momento. En particular, el sistema se define como un cohete si el c-momento expulsado se logra colimar en una misma direcci´on, funcionando como un mecanismo de propulsi´on. Supongamos un cohete que en cierto instante de tiempo propio tiene masa en reposo M(τ) y c-velocidad U µ (τ) medidos por alg´un observador inercial. Despu´es de un intervalo de tiempo propio ∆τ, el cohete expulsa una porci´on de c-momento ∆qµ en forma de materia y energ´ıa, tal que en el tiempo τ + ∆τ, el cohete tiene una nueva masa en reposo M(τ + ∆τ) y c-velocidad U µ (τ + ∆τ). En general, el sistema puede estar sometido a inµ teracciones externas descritas por una c-fuerza Fext . La Figura 9.3 ilustra la situaci´on en ambos instantes de tiempo. El c-momento del sistema completo encerrado por las l´ıneas a trazos en cada tiempo es:

µ

F

ext

M

(τ)

U

µ

(τ)

M

(τ+Δτ)

µ

Δ

q

µ

U

(τ+Δτ)

Figura 9.3 Pµ (τ) = M(τ)U µ (τ), Pµ (τ + ∆τ) = M(τ + ∆τ)U µ (τ + ∆τ) + ∆qµ ,

(9.54)

de manera que el cambio del c-momento debido a las interacciones externas es:

∆Pµ = Pµ (τ + ∆τ) − Pµ (τ) = M(τ + ∆τ)U µ (τ + ∆τ) − M(τ)U µ (τ) + ∆qµ . (9.55) Si consideramos peque˜nos intervalos de tiempo, y asumiendo que el cambio de la masa en reposo del cohete se puede describir como una funci´on continua y suave, podemos realizar la siguiente expansi´on en series de Taylor: 1 d (n) M(τ) n ∆τ ∑ (n) n=0 n! dτ ∞

M(τ + ∆τ) =

= M(τ) +

∞ dM(τ) 1 d (n) M(τ) n ∆τ + ∑ ∆τ , (n) dτ n=2 n! dτ

(9.56)

donde hemos separado los dos primeros t´erminos de la suma ya que son las u´ nicas contribuciones que nos interesar´an. Reemplazando la expansi´on anterior en la ecuaci´on (9.55) y dividiendo por el intervalo ∆τ, obtenemos:

´ COVARIANTE: MECANICA ´ CAP´ITULO 9. FORMULACION

128

∆Pµ ∆τ



 U µ (τ + ∆τ) −U µ (τ) dM ∆qµ = M(τ) +U µ (τ + ∆τ) + ∆τ dτ ∆τ ∞

+

1 d (n) M(τ) n−1 ∆τ . dτ (n)

(9.57)

∑ n!

n=2

Tomando el l´ımite ∆τ → 0, las razones se convierten en derivadas, mientras que la suma en el u´ ltimo t´ermino se cancela para n ≥ 2, por lo que obtenemos: dPµ dτ

= M(τ)

dU µ dM dqµ +U µ (τ) + . dτ dτ dτ

(9.58)

La ecuaci´on anterior se puede simplificar si definimos:

µ

Fext MU µ λµ

dPµ dτ = pcµ dqµ = . dτ =

(9.59)

La primera ecuaci´on es la definici´on de c-fuerza que es la variaci´on del c-momento total. La segunda es el c-momento del cohete que va perdiendo masa. Finalmente, la tercera ecuaci´on describe la raz´on de emisi´on de c-momento. Con lo anterior, la ecuaci´on (9.58) se puede escribir como: µ

d pc dτ

µ

= Fext − λ µ ,

(9.60)

la cual indica que la variaci´on del c-momento del cohete tiene dos contribuciones: primero, debido a intercambios de energ´ıa y momento con otros sistemas externos descrito µ por Fext , y segundo, por emisi´on de c-momento en forma de masa en reposo y energ´ıa definido por λ µ . Para ilustrar una aplicaci´on de la ecuaci´on din´amica (9.60), vamos a calcular la velocidad adquirida por el cohete en un caso ideal sin interacciones externas y con una eficiencia de propulsi´on del 100 %, donde cualquier variaci´on de la masa en reposo del cohete se transforma en c-momento emitido en forma perfectamente colimada en una sola direcci´on, por ejemplo, a lo largo de la coordenada x1 . Por simplicidad, consideremos solo emisi´on de materia, en cuyo caso el c-momento de la porci´on de masa expulsada en el intervalo ∆τ es ∆qµ = ∆mW µ , con ∆m su masa en reposo y W µ su c-velocidad respecto a alg´un observador inercial. En el l´ımite infinitesimal se obtiene para la raz´on de emisi´on:

9.4. EL COHETE RELATIVISTA

129

∆m µ ∆qµ = l´ım W ∆τ→0 ∆τ ∆τ→0 ∆τ

λ µ = l´ım

dm dτ µ = W λ0 , = Wµ

(9.61)

donde λ0 es la raz´on de emisi´on de masa en reposo. La ecuaci´on din´amica (9.60) sin c-fuerza externa se convierte en: µ

d pc dτ

= −W µ λ0 ,

(9.62)

Por otro lado, es de esperar que la raz´on de masa en reposo emitida dependa de la raz´on a la que el cohete pierda masa. Sin embargo, debido a la relaci´on masa-energ´ıa, dicha dependencia no es la relaci´on cl´asica λ0 = −dM/dτ obtenida de la conservacin de la masa [cl´asica]. Para calcularla, podemos usar la relaci´on de ortogonalidad de la ecuaci´on (9.31). Multiplicando por la c-velocidad del cohete, la ecuaci´on (9.62) se transforma en: µ

d pc Uµ dτ

= −Uµ W µ λ0 .

(9.63)

El primer t´ermino se puede descomponer como: µ

Uµ

d pc dMU µ = Uµ dτ dτ

dU µ dM +Uµ U µ dτ dτ dM = −c2 , dτ = MUµ

(9.64)

donde se us´o el producto escalar Uµ (dU µ /dτ) = 0 y Uµ U µ = −c2 . Usando lo anterior en (9.63), se obtiene:  λ0 =

c2 Uµ W µ



dM , dτ

(9.65)

por lo que la ecuaci´on del cohete (9.62) con propulsi´on de materia se escribe como2 : µ

d pc dτ

 =

−c2 Uν W ν



dM µ W . dτ

(9.66)

Para resolver la ecuaci´on diferencial (9.66), sigamos la siguiente estrategia: 2 Aunque

en la ecuaci´on (9.65), el produto escalar se nota con el ´ındice µ, es conveniente cambiarlo por ν para no confundirlo con la componente µ de (9.62).

130

´ COVARIANTE: MECANICA ´ CAP´ITULO 9. FORMULACION

i.) Primero, expresemos la ecuaci´on din´amica (9.66) por medio de su producto escalar por la c-velocidad Wµ : µ

d pc Wµ dτ

 =

−c2 Uν W ν



dM Wµ W µ . dτ

(9.67)

El primer t´ermino se puede descomponer como:

µ

Wµ

d pc dMU µ = Wµ dτ dτ

˙ = MWµ U˙ µ +Wµ U µ M,

(9.68)

donde usamos la notaci´on punto para indicar las derivadas temporales. Para el segundo termino, se cumple Wµ W µ = −c2 . As´ı, la ecuaci´on (9.67) se desdobla como:

MWµ U˙ µ +Wµ U µ M˙ =



c4 Uν W ν



˙ M,

(9.69)

˙ se convierte en: que al reunir los dos terminos con M,

MWµ U˙ µ =



 c4 µ ˙ −W U M. µ Uν W ν

(9.70)

ii.) Conviene expresar las c-velocidades en t´erminos de la rapidez hiperb´olica. Como el movimiento ocurre enteramente en una sola direcci´on (a lo largo del eje x1 ), es suficiente utilizar la definici´on (6.15).

Problema 26: Usando la ecuaci´on (6.15), demuestre que el factor γ, la c-velocidad y la c-aceleraci´on para movimiento unidimensional se pueden escribir en terminos de la rapidez hiperb´olica como: γ = cosh y, . U = c (cosh y, sinh y, 0, 0) . U˙ µ = cy˙ (sinh y, cosh y, 0, 0) µ

(9.71)

9.4. EL COHETE RELATIVISTA

131

Llamando yU y yW las rapideces hiperb´olicas del cohete y de la materia expulsada respectivamente, y usando las componentes de acuerdo a la ecuaci´on (9.71), se obtienen los siguientes productos escalares:

= −c2 (cosh yU cosh yW − sinh yU sinh yW )

Uν W ν

= −c2 cosh(yU − yW ) = −c2 cosh yr ,

U˙ ν W ν

(9.72)

= −c2 y˙U (sinh yU cosh yW − cosh yU sinh yW ) = −c2 y˙U sinh(yU − yW ) = −c2 y˙U sinh yr ,

(9.73)

donde yr = yU − yW es la rapidez relativa entre el cohete y la materia emitida. Utilizando el resultado de estos dos productos escalares en la ecuaci´on (9.70), se obtiene:

2

−Mc y˙U sinh yr

  c2 2 + c cosh yr M˙ = − cosh yr   2 2 cosh yr − 1 = c M˙ cosh yr  2  2 sinh yr ˙ = c M. cosh yr

(9.74)

Reorganizando t´erminos y conviertendo las derivadas en diferenciales, se obtiene:

dyU = − tanh yr

dM . M

(9.75)

As´ı, el problema se reduce en integrar la ecuaci´on diferencial anterior. Pero antes, observemos que la tangente hiperb´olica remanente se relaciona con la velocidad relativa entre el cohete y la materia expulsada. Usando identidades hiperb´olicas, se tiene:

tanh yr = tanh(yU − yW ) = =

tanh(yU ) − tanh(yW ) 1 − tanh(yU ) tanh(yW ) βU − βW , 1 − βU βW

(9.76)

132

´ COVARIANTE: MECANICA ´ CAP´ITULO 9. FORMULACION

donde se definen los factores betas βU = U/c y βW = W /c, con U y W las velocidades del cohete y la materia emitida respecto al observador inercial. Si comparamos el resultado final de la ecuaci´on anterior con el teorema de adici´on de velocidades en la ecuaci´on (3.16), vemos que (9.76) no es mas que la velocidad relativa escrita en t´erminos de los factores beta: tanh yr = βr =

vr . c

(9.77)

Aplicando lo anterior en (9.75), y tomando el tiempo inicial en cero, obtenemos las siguientes integrales: yZ U (τ)

dyU = −βr

yU (0)

M(τ) Z

dM , M

(9.78)

M(0)

donde supusimos que βr es constante. Al realizar las integrales, obtenemos: 

 M(τ) yU (τ) = yU (0) − βr ln , M(0)

(9.79)

que nos describe la rapidez hiperb´olica del cohete en cualquier instante τ en funci´on de la masa instant´anea M(τ). Para obtener la soluci´on en t´erminos de la velocidad, usamos la siguiente propiedad de las funciones hiperb´olicas: −1

yU (τ) = tanh

  1 1 − βU βU = − ln . 2 1 + βU

(9.80)

Si adicionalmente suponemos que el cohete parte del reposo (lo cual implica que yU (0) = 0), la ecuaci´on (9.79) se reescribe para la velocidad como:

U(τ) =

1 − (M(τ)/M0 )2βr 1 + (M(τ)/M0 )2βr

! c.

(9.81)

Problema 27: Obtenga la ecuaci´on que describe la velocidad del cohete fot´onico, donde en vez de materia se expulsan fotones. Tenga en cuenta que la porci´on de cmomento expulsado en el intervalo ∆τ se puede calcular como ∆qµ = ∆NQµ , donde ∆N es la cantidad de fotones emitidos en el intervalo de tiempo, y Qµ es el c-momento de un solo fot´on cuyas componentes cumplen con las ecuaci´on (4.34).

CAP´ITULO

10

Formulaci´on Covariante de la Electrodin´amica

Aunque la teor´ıa de Maxwell de los campos electromagn´eticos fu´e el escenario original en que se formul´o la relatividad especial, su forma matem´atica soportada en el c´alculo vectorial no manifiesta de forma trivial su naturaleza relativista. Sin embargo, es posible definir las variables electromagn´eticas en el lenguaje formal de las representaciones del grupo de Lorentz, lo que nos permitir´a plantear las leyes en forma manifiestamente invariantes frente a las transformaciones de Lorentz. En e´ ste cap´ıtulo, primero, haremos una descripci´on de las variables b´asicas de la electrodin´amica en t´erminos de la formulaci´on vectorial y tensorial, y posteriormente se mostrar´a la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell partiendo de su forma vectorial.

10.1.

Representaci´on vectorial

Antes de describir la electrodin´amica en t´erminos de representaciones del grupo de Lorentz, vamos a repasar algunos conceptos b´asicos en el tradicional lenguaje vectorial del c´alculo diferencial. En el ap´endice E definimos los operadores diferenciales b´asicos. Una alternativa de construir una teor´ıa de las interacciones electromagn´eticas, es partir de las ecuaciones de Maxwell como axiomas fundamentales, clasificadas en cuatro ecuaciones de naturaleza vectorial:   Ley de Gauss:    Ley de Ampere-Maxwell:  Ley de Faraday:    Ley de Gauss magn´etica: 133

∇ · E = 4πρ 1 ∇ × B = 4π c J + c ∂t E ∇ × E = − 1c ∂t B ∇·B = 0

(10.1)

134

´ COVARIANTE: ELECTRODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. FORMULACION

En lo anterior, se introduce la densidad de carga el´ectrica ρ, y la densidad de corriente J, las cuales se definen como: dq , dV J = ρv,

ρ =

(10.2)

donde dq/dV representa la carga el´ectrica por unidad de volumen y v es la velocidad de las fuentes que contienen carga el´ectrica. Aunque la discusi´on se centra en el formalismo matem´atico, es importante aclarar al menos el significado f´ısico de las ecuaciones anteriores, las cuales resumimos a continuaci´on: 1. Los campos el´ectricos se originan en fuentes puntuales de cargas el´ectricas. 2. Los campos magn´eticos rodea a las corrientes el´ectricas. 3. No existen cargas magn´eticas puntuales (monopolos magn´eticos). 4. En ausencia de materia, es posible inducir campos magn´eticos debido a campos el´ectricos variables. Tambi´en se puede inducir campos el´ectricos debido a variaciones de campos magn´eticos. Por otro lado, la forma de las ecuaciones de Maxwell contiene varias propiedades matem´aticas, algunas de las cuales vamos a describir brevemente. Primero, la ley de Gauss magn´etica en (10.1) describe al campo magn´etico como un campo de divergencia nula, es decir, un campo solenoidal. Como la divergencia de un rotacional es siempre nula (ecuaci´on (69) en el ap´endice E), un campo solenoidal se puede expresar como el rotor de otro campo vectorial: ∇ · B = 0 ⇒ B = ∇ × A.

(10.3)

El vector A se conoce como el potencial vector. As´ı, si expresamos el campo magn´etico en terminos del potencial vector, la ley de Faraday en (10.1) se puede reescribir de la siguiente forma:   1 1 ∇ × E = − ∂t ∇ × A = −∇ × ∂t A . c c

(10.4)

Agrupando la expresi´on en un solo rotacional, se obtiene la siguiente forma alternativa de la ley de Faraday:   1 ∇ × E + ∂t A = 0, c

(10.5)

´ VECTORIAL 10.1. REPRESENTACION

135

˜ = E + 1 ∂t A describe un campo irrotacional. Como el es decir, la funci´on vectorial E c rotacional de un gradiente es siempre nulo (ecuaci´on (70) en el ap´endice E), un campo irrotacional se puede expresar como el gradiente de un campo escalar: ∇ × E˜ = 0 ⇒

˜ = −∇φ . E

(10.6)

La funci´on φ es el potencial escalar1 . Teniendo en cuenta que E˜ = E + 1c ∂t A, el campo el´ectrico original se puede describir en terminos de los potenciales escalar y vectorial como: 1 E = −∇φ − ∂t A. c

(10.7)

Otra consecuencia de la forma de las ecuaciones de Maxwell, es la conservaci´on de la carga el´ectrica manifestada en la ecuaci´on de continuidad. Como se demuestra en el ap´endice F, las fuentes de campos el´ectricos y magn´eticos cumplen con la ecuaci´on: ∇ · J = −∂t ρ.

(10.8)

Dicha ecuaci´on afirma fundamentalmente que la carga el´ectrica en una regi´on localizada del espacio puede variar solamente si fluye de forma continua hacia otra regi´on. Es decir, la carga no puede desaparecer y aparecer de forma discontinua en otra parte del espacio. Por otro lado, una de las propiedades m´as interesantes de las ecuaciones de Maxwell es su invariancia frente a un tipo de transformaciones de los potenciales electromagn´eticos conocidas como transformaciones de gauge. Tal como se demuestra en el ap´endice F, los campos electromagn´eticos (y por lo tanto las ecuaciones de Maxwell) no cambian si los potenciales transforman como: 1 → φ 0 = φ − ∂t ψ, c A → A0 = A + ∇ψ, φ

(10.9)

donde ψ es una funci´on escalar arbitraria. As´ı, la electrodin´amica cl´asica es una teor´ıa invariante de gauge. En la definici´on de los potenciales vector y escalar usamos dos de las ecuaciones de Maxwell: la ley de Gauss magn´etica y la ley de Faraday. As´ı, las ecuaciones (10.3) y (10.7) heredan las propiedades f´ısicas contenidas en esas dos ecuaciones de Maxwell. Si expresamos los campos el´ectricos y magn´eticos en terminos de los potenciales, las dos ecuaciones de Maxwell remanentes, la ley de Gauss y la ley de Ampere-Maxwell, las podemos cambiar por otras dos que contenga solamente a los potenciales. 1 El

signo negativo en la definici´on del gradiente en (10.6) es una asignaci´on arbitraria que permite asociar a φ directamente con el potencial el´ectrico

136

´ COVARIANTE: ELECTRODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. FORMULACION

Problema 28: Usando la propiedad de la ecuaci´on (71) del ap´endice E y las definiciones de las ecuaciones (10.3) y (10.7), demuestre que las leyes de Gauss y de Ampere-Maxwell se transforman en: 1 ∇2 φ + ∂t (∇ · A) = −4πρ,  c 1 1 4π 2 ∇ A − ∇ ∇ · A + ∂t φ − 2 ∂t2 A = − J. c c c

(10.10)

Las ecuaciones (10.10) es un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas. Para resolverlas (es decir, encontrar c´omo los potenciales dependen del tiempo y el espacio tal que cumpla con ambas ecuaciones diferenciales), es conveniente desacoplar ambas ecuaciones, lo cual podemos lograr usando la propiedad de invariancia de gauge. Como los potenciales φ y A pueden cambiarsen por otros de acuerdo a la transformaci´on de gauge de la ecuaci´on (10.9), podemos escoger por una transformaci´on adecuada, un conjunto de potenciales que cumplan con la siguiente relaci´on: 1 ∇ · A = − ∂t φ . c

(10.11)

Si reemplazamos la divergencia del potencial vector por la derivada temporal del potencial escalar de acuerdo a la ecuaci´on anterior, las ecuaciones (10.10) se reducen a dos ecuaciones diferenciales descopladas, una para φ y otra para A: 1 2 ∂ φ = −4πρ, c2 t 1 4π ∇2 A − 2 ∂t2 A = − J. c c ∇2 φ −

(10.12)

La exigencia de una relaci´on que restringa la forma de los potenciales se conoce como asignaci´on del gauge. La relaci´on (10.11) es la asignaci´on en el gauge de Lorentz, que como se ver´a en la pr´oxima secci´on, nos permitir´a expresar los potenciales en una representaci´on del grupo de Lorentz.

10.2.

Representaci´on tensorial

Las variables b´asicas de la electrodin´amica descritas en la secci´on anterior, se pueden describir de manera formal en terminos de representaciones del grupo de Lorentz,

´ TENSORIAL 10.2. REPRESENTACION

137

lo que nos conducir´a a una formulaci´on covariante. Antes de definir las variables electrodin´amicas, definamos la extensi´on c-vectorial del operador gradiente. Anteriormente, definimos el gradiente como un vector compuesto por las derivadas parciales respecto a cada componente espacial, la cual vamos a notar en el lenguaje de ´ındices como:  ∇=

∂ ∂ ∂ , 2, 3 1 ∂x ∂x ∂x

 = (∂1 , ∂2 , ∂3 ) ,

(10.13)

mientras que la derivada temporal la definimos con el producto por la velocidad de la luz como: ∂ ∂ = 0 = ∂0 . ∂ ct ∂x

(10.14)

En las definiciones anteriores, observamos que aunque las derivadas se definieron inicialmente respecto a componentes espacio-temporales contravariantes (´ındices arriba), la derivada completa se define con ´ındices covariante (´ındices abajo). Lo mismo sucede a la inversa. As´ı, definimos la cuadri-derivada en representaciones co- y contra-variantes como:

∂µ

. =

∂µ

. =

 
∂ ∂ ∂ ∂ −∂ , ∇ = − , , , , ∂ x0 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3  
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0, ∇ = , , , , ∂ x0 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 0

(10.15)

donde la parte temporal la escribimos en su representaci´on contravariante en ambos casos.

Problema 29: Demuestre que la c-derivada ∂ µ definida en la forma de la ecuaci´on (10.15), transforma como un c-vector contravariante.

Tambi´en podemos definir el producto escalar entre c-derivadas, que d´a como resultado un escalar de Lorentz. Dicho producto corresponde a la extensi´on cuadri-dimensional del laplaciano, conocido como el D’Alambertiano, que lo simbolizamos como un cuadrado 2 para indicar que es la generalizaci´on cuadri-dimensional del operador tridimensional del laplaciano ∇2 : 2 = ∂ µ ∂µ = ∇2 + ∂ 0 ∂0 = ∇2 −

1 2 ∂ . c2 t

(10.16)

138

10.2.1.

´ COVARIANTE: ELECTRODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. FORMULACION

La cuadri-corriente

Extendiendo la definici´on vectorial de la densidad de corriente en la ecuaci´on (10.2), definimos la c-corriente como: J µ = ρ0U µ ,

(10.17)

donde ρ0 es la densidad de carga propia medida por el observador donde la distribuci´on de carga se encuentra en reposo, y U µ es la c-velocidad de las fuentes de cargas el´ectricas medida por un observador arbitrario. Para entender el contenido f´ısica de la c-corriente, obtengamos sus componentes usando las de la c-velocidad de la ecuaci´on (9.8): Jµ

. = ρ0 γ (c, v) = (ρc, ρv) ,

(10.18)

donde hemos defiido la densidad relativa como ρ = ρ0 γ, correspondiente a la densidad de carga medida por un obervador en movimiento respecto a la distribuci´on de carga. Comparando las componentes de la c-corriente con la ecuaci´on (10.2), es evidente que la primera componente depende de la densidad de carga y las dem´as coinciden con la densidad de corriente: Jµ

. = (ρc, J) .

(10.19)

As´ı, la c-corriente describe de forma simult´anea y unificada las fuentes que producen los campos el´ectricos y magn´eticos, esto es, las cargas el´ectricas y las corrientes. Con las definiciones de la c-derivada y la c-corriente, podemos expresar la ecuaci´on de continuidad en forma tensorial. Para eso, escribamos la ecuaci´on (10.8) como: ∇ · J + ∂t ρ = 0.

(10.20)

Si expresamos la derivada temporal como ∂t = c∂ct = c∂0 , y teniendo en cuenta que la componente temporal de la c-corriente es J 0 = ρc, la ecuaci´on anterior se puede escribir como: ∇ · J + ∂0 J 0 = ∂i J i + ∂0 J 0 = ∂µ J µ

= 0.

(10.21)

Por lo tanto la ecuaci´on de continuidad que expresa la conservaci´on de la carga el´ectrica toma la forma simple ∂µ J µ = 0. Como la ecuaci´on es un producto escalar, por definici´on, es invariante frente a las transformaciones de Lorentz, por lo que la carga se conserva para todos los observadores inerciales.

´ TENSORIAL 10.2. REPRESENTACION

10.2.2.

139

El cuadri-potencial

Si aplicamos las definiciones de c-corriente y del D0 Alambertiano, las ecuaciones de onda de los potenciales en (10.12) se pueden escribir como: 4π 0 J , c 4π 2 A = − J. c 2 φ

= −

(10.22)

Si definimos el c-potencial como: . Aµ = (φ , A) ,

(10.23)

entonces las dos ecuaciones en (10.22) se pueden escribir en forma compacta como:

2 Aµ

= −

4π µ J . c

(10.24)

Utilizando la regla del cociente de la secci´on 8.2, puesto que 2 y c son escalares, mientras que J µ es un c-vector, entonces Aµ es un c-vector.

10.2.3.

Tensor electromagn´etico

A partir de los c-potenciales, podemos obtener los campos el´ectrico y magn´etico en una representaci´on del grupo de Lorentz. Para eso, recordemos que los campos, salvo una transformaci´on de gauge, estan determinados a trav´es de las definiciones (10.3) y (10.7). Para el rotacional, si utilizamos la definic´on de la ecuaci´on (67) del ap´endice E en el lenguaje de ´ındices, el campo magn´etico se puede escribir expl´ıcitamente como: i j k 1 2 3 B = ∇ × A = ∂ ∂ ∂ A1 A2 A3 =




∂ 2 A3 − ∂ 3 A2 i + ∂ 3 A1 − ∂ 1 A3 j + ∂ 1 A2 − ∂ 2 A1 k,(10.25)

mientras que para el gradiente y la derivada temporal, el campo el´ectrico es: 1 E = −∇φ − ∂t A c

1 = − i∂ + j∂ 2 + k∂ 3 A0 + ∂ 0 A1 i + A2 j + A3 k ,

(10.26)

140

´ COVARIANTE: ELECTRODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. FORMULACION

donde usamos la relaci´on ∂t = c∂ct = c∂0 = −c∂ 0 y la definici´on φ = A0 . Teniendo en cuenta que los coeficentes de los vectores unitarios (i, j, k) corresponde a las componentes 1, 2 y 3 de los campos, en las ecuaciones (10.25) y (10.26) identificamos las siguientes relaciones: B1 = ∂ 2 A3 − ∂ 3 A2 = F 23 ,
B2 = − ∂ 1 A3 − ∂ 3 A1 = −F 13 , B3 = ∂ 1 A2 − ∂ 2 A1 = F 12 , E 1 = ∂ 0 A1 − ∂ 1 A0 = F 01 , E 2 = ∂ 0 A2 − ∂ 2 A0 = F 02 , E 3 = ∂ 0 A3 − ∂ 3 A0 = F 03 ,

(10.27)

donde hemos definido la cantidad: F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ,

(10.28)

para simplificar la resta entre derivadas. Evidentemente F µν es una cantidad antisim´etrica que contiene a los campos el´ectricos y magn´eticos, y que se puede representar de forma matricial como:  0 E1 E2 E3 0 B3 −B2  . −E 1 . = −E 2 −B3 0 B1  −E 3 B2 −B1 0 

F µν

(10.29)

De esta forma, las relaciones (10.3) y (10.7) se unifican en una u´ nica ecuaci´on dada por (10.28), mientras que los campos el´ectricos y magn´eticos dejan de aparecer como dos campos separados e independientes, y se identifican como distintas componentes de un solo campo: el campo electromagn´etico F µν . Como las cantidades ∂ µ y Aµ son c-vectores, el producto externo expresado por (10.28) es una representaci´on tensorial de rango 2. Por otro lado, recordando las definiciones de la secci´on 8.3, el tensor electromagn´etico puede tambi´en representarse en su forma dual como: D

(F µν ) = Fµν

1 εµναβ F αβ 2   0 B1 B2 B3 0 E3 −E2  . −B1 . =  −B2 −E3 0 E1  −B3 E2 −E1 0 =

(10.30)

10.3. ECUACIONES DE MAXWELL COVARIANTES

10.3.

141

Ecuaciones de Maxwell covariantes

En e´ sta secci´on obtendremos las ecuaciones de Maxwell en el lenguaje tensorial.

10.3.1.

Ley de Gauss y de Ampere-Maxwell

Teniendo en cuenta la definici´on de divergencia, la ley de Gauss de la ecuaci´on (10.1) se escribe en notaci´on de ´ındices como: ∂i E i = 4πρ,

(10.31)

mientras que con la forma del rotacional, la ley de Ampere-Maxwell desplegada en sus componentes se separa en tres ecuaciones como 4π 1 J + ∂0 E 1 , c 4π 2 ∂3 B1 − ∂1 B3 = J + ∂0 E 2 , c 4π 3 ∂1 B2 − ∂2 B1 = J + ∂0 E 3 . c ∂2 B3 − ∂3 B2 =

(10.32)

Teniendo en cuenta que la densidad de carga y de corriente, y los campos el´ectricos y magn´eticos son componentes de los tensores J µ y F µν respectivamente, las ecuaciones en (10.31) y (10.32) se puede escribir equivalentemente como: 4π 0 J , c 4π = − J1, c 4π 2 = − J , c 4π 3 = − J . c

∂1 F 10 + ∂2 F 20 + ∂3 F 30 = − ∂0 F 01 + ∂2 F 21 + ∂3 F 31 ∂0 F 02 + ∂1 F 12 + ∂3 F 32 ∂0 F 03 + ∂1 F 13 + ∂2 F 23

(10.33)

El conjunto de las 4 ecuaciones anteriores se puede escribir de forma abreviada para cada componente ν como:

∂µ F µν

= −

4π ν J , c

(10.34)

donde se debe tener en cuenta que F µν es antisim´etrica, lo que en particular implica que se anula cuando µ = ν. De esta manera, dos de las ecuaciones de Maxwell se pueden

142

´ COVARIANTE: ELECTRODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. FORMULACION

reducir a una u´ nica ecuaci´on dada por (10.34) en representaciones del grupo de Lorentz. A manera de ejercicio, vamos a demostrar que dicha ecuaci´on cumple con el primer postulado de la relatividad, esto es, tiene la misma forma para otro observador inercial Σ0 en movimiento relativo. Recordemos que cada uno de los tensores que componen a la ecuaci´on transforma de la siguiente forma bajo transformaciones de Lorentz2 : ∂α0

=

F 0αβ

=

J 0β

L−1


µ

∂ , α µ β Lα µ L ν F µν , β

= L ν Jν .

(10.35)

Para obtener las variables medidas en Σ comparadas con las de Σ0 , debemos invertir las ecuaciones de (10.35). Esto se puede lograr si a ambos lados de la igualdad realizamos el producto interno por las correspondientes transformaciones inversas. Por ejemplo, para una componente µ particular, la primera variable se invierte como: ∂α0 = L−1


µ

∂ α µ

→ Lα µ ∂α0

= Lα µ L−1 =


µ

∂ α µ

µ δ µ ∂µ

= ∂µ ,

(10.36)

donde aplicamos la definici´on del tensor de Kronecker de la ecuaci´on (8.16) para una componente ν = µ particular. Si aplicamos el mismo procedimiento a las dem´as variables, obtenemos: = Lα µ ∂α0 ,
µ
ν = L−1 α L−1 β F 0αβ ,
ν = L−1 β J 0β .

∂µ F µν Jν

(10.37)

Si en la ecuaci´on (10.34) reemplazamos las variables originales por las primadas de acuerdo a las relaciones en (10.37), obtenemos: Lα µ L−1 Como Lα µ L−1


µ α


µ α

L−1


ν β

∂α0 F 0αβ

= −

4π −1
ν 0β L J . β c

(10.38)

= 1, la ecuaci´on se reduce a: L−1


ν β

∂α0 F 0αβ

= −

4π −1
ν 0β L J . β c

(10.39)

2 Por simplicidad, nos limitamos a los boost de Lorentz. Las conclusiones no se modifican si se incluyen

rotaciones

10.3. ECUACIONES DE MAXWELL COVARIANTES

143

Es evidente que las transformaciones de Lorentz a ambos lados de la igualdad son las mismas, por lo que se simplifican. As´ı, visto desde el otro observador Σ0 , obtenemos la misma forma de la ecuaci´on (10.34):

∂α0 F 0αβ

10.3.2.

= −

4π 0β J . c

(10.40)

Ley de Gauss magn´etica y de Faraday

La ley de Gauss magn´etica en notaci´on de ´ındices es: ∂ i Bi = 0.

(10.41)

´ Esta ecuaci´on se expresa de forma simple a trav´es de la versi´on dual del tensor electromagn´etico definido de acuerdo a la ecuaci´on (10.30), obteniendo: ∂ i Fi0 = 0.

(10.42)

La ley de Faraday se despliega en las siguientes componentes: ∂ 2 E3 − ∂ 3 E2 − ∂ 0 B1 = 0, ∂ 3 E1 − ∂ 1 E3 − ∂ 0 B2 = 0, ∂ 1 E2 − ∂ 2 E1 − ∂ 0 B3 = 0.

(10.43)

De nuevo, usando el tensor dual, las tres ecuaciones anteriores se expresan como: ∂ i Fi1 + ∂ 0 F01 = 0, ∂ i Fi2 + ∂ 0 F02 = 0, ∂ i Fi3 + ∂ 0 F03 = 0.

(10.44)

Las 4 ecuaciones en (10.42) y (10.44) se pueden escribir para cada componente ν como: ∂ µ Fµν

= 0.

(10.45)

En conclusi´on, las electrodin´amica cl´asica se puede construir en el lenguaje tensorial a partir del conjunto de ecuaciones (10.34) y (10.45).

´ APENDICES

A. Ondas Arm´onicas En una dimensi´on, una onda arbitraria cumple la siguiente ecuaci´on diferencial (ecuaci´on de onda): 1 ∂ 2 f (x,t) ∂ 2 f (x,t) = . (46) ∂ x2 c2 ∂t 2 La soluci´on de la ecuaci´on de onda es la forma de la funci´on f (x,t) que cumple con la igualdad anterior. En el caso de una onda arm´onica, esa soluci´on tiene la forma gen´erica: f (x,t) = f0 sin (ωt + kx + φ ) ,

(47)

donde f0 representa la amplitud de la onda, y φ la fase que determina el corrimiento de la onda en el punto x = 0 y el tiempo t = 0. Los par´ametros cinem´aticos b´asicos que describen una onda arm´onica son: 1. Amplitud A: Valor m´aximo de la oscilaci´on 2. Periodo T : Tiempo de duraci´on de una oscilaci´on completa. 3. Frecuencia f : Raz´on entre el n´umero de oscilaciones y el intervalo de tiempo. 4. Frecuencia angular ω: Frecuencia medida en radianes/segundo. 5. Longitud de onda λ : Distancia a la cual la oscilaci´on vuelve a comenzar. 6. N´umero de onda k: Raz´on entre el n´umero de oscilaciones y el intervalo de distancia 7. velocidad de fase c: Velocidad a la cual se propaga la oscilaci´on en el espacio 145

Existen las siguientes relaciones algebr´aicas entre los distintios par´ametros cinem´aticos:

relaci´on periodo-frecuencia: relaci´on frecuencia-frecuencia angular: relaci´on longitud de onda-n´umero de onda: relaci´on de dispersi´on:

1 , f ω = 2π f 2π λ= k ω = kc. T=

(48) (49) (50) (51)

En particular, si se combinan las relaciones de periodos, frecuencias y longitudes de onda, la relaci´on de dispersi´on se puede escribir equivalentemente como: λ=

c = cT. f

(52)

B. El experimento real de Michelson-Morley

Espejo  

Láser  

B  

Espejo  

A Pantalla   Interferencia   Figura B-1

En la secci´on 2.1 se realiz´o un an´alisis simplificado del experimento de Michelson-Morley para detectar el movimiento de la tierra a trav´es del e´ ter. Sin embargo, se hicieron consideraciones que en el experimento real no pod´ıa llevarse a cabo. Primero, el rayo de luz del l´aser no sigue un u´ nico camino o´ ptico en una l´ınea matem´atica bi´en definida. El haz son rayos que se distribuyen transversalmente en el espacio de forma continua. El efecto de esa distribuci´on es que en la recombinaci´on sobre la pantalla, la interferencia no es de solamente dos rayos, sino de muchos rayos simult´aneamente. Segundo, no es posible garantizar con precisi´on absoluta que el haz A y B se dividen en rayos perfectamente perpendiculares entre s´ı. Esto hace que cada haz describa caminos o´ pticos con desviaciones, tal que sobre la pantalla van a llegar rayos en distintas posiciones, por lo que en vez de un solo punto, se ve una distribuci´on de franjas de interferencia. Tercero, no es posible tampoco garantizar que los haces A y B sigan trayectorias con exactamente la misma longitud, por lo que hay efectos de interferencia proveniente de retrasos de rayos debido a que recorren mayor distancia que otro, y que es independiente del hipot´etico movimiento a trav´es del e´ ter. As´ı, la situaci´on real es m´as parecida a como se observa en la Figura B-1 que lo descrito en la Figura 8 del cap´ıtulo 2.

Se observa entonces un patr´on de interferencia de bandas de intensidades m´aximas que se degradan hasta intensidades nulas y as´ı sucesivamente como se observa en la figura, la cual aparece incluso aunque no haya movimiento respecto al e´ ter. Si el sistema se rota en 900 cuidadosamente s´ın modificar ninguna parte del montaje, el patr´on de franjas se tiene que mantener exactamente igual en ausencia de e´ ter. Pero si el e´ ter existiera y hay movimiento relativo, surge un retraso adicional en los tiempos de llegada de

cada uno de los rayos al rotar el sistema, en una cantidad dada por la ecuaci´on (2.7) del problema n´umero 2 en el cap´ıtulo 2, por lo que una franja brillante disminuye su intensidad, mientras que las zonas oscuras la aumenta. Este efecto ser´ıa equivalente a como si el patr´on de interferencia se desplazara una fracci´on de distancia n correspondiente a la raz´on entre la distancia desplazada d y la distancia entre franjas D, como se muestra ´ en la Figura B-2. Esta fracci´on es igual a la fracci´on de diferencias de tiempos entre el sistema sin rotar y el sistema rotado respecto al periodo de oscilaci´on de la luz, el cual de acuerdo a la ecuaci´on (2.7) es: 0 ∆t 0 0 − ∆t90 d 0 n= = 0 ≈ D T



L1 + L2 c



1 β2 . T

(53)

Teniendo encuenta la relaci´on de dispersi´on (1.6), el periodo se puede expresar en funci´on de la longitud de onda del l´aser, obteniendo:  n≈

L1 + L2 λ



D

00  

β 2.

(54)

As´ı, para un l´aser de longitud de onda λ = 6 × 10−7 m, una velocidad de la tierra de v = 30, 000 m/s y para longitudes L1 = L2 = 0,6 m, se obtendr´ıa: n ≈ 0,04,

(55)

es decir, el patr´on se correr´ıa en un 4 % del tama˜no de la franja cuando el sistema se rota, valor suficente para ser observado en el experimento original, que e´ ra capaz de registrar un corrimiento de hasta 1 %. Sin embargo, el resultado dentro del error experimental di´o nulo, compatible con el valor β = 0. Experimentos m´as sofisticados capaces de registrar velocidades de hasta 1 cm/s, siguen siendo compatibles con un factor beta nulo.

C. El electronvoltio En fen´omenos donde los efectos relativistas son relevantes, las masas de las part´ıculas convienen expresarlas en unidades de energ´ıa atrav´es de la relaci´on de equivalencia de masa y energ´ıa E0 = m0 c2 . En el sistema internacional, la unidad b´asica de energ´ıa es el Joule. Sin embargo, dicha escala de medida no es adecuada cuando se trata con objetos micros´opicos. Una unidad m´as adecuada en ese caso es el electr´on-voltio, o electronvoltio, el cual se deifine de la siguiente forma: 1 electronvoltio (1 eV) es la diferencia de energ´ıa potencial de un electr´on (carga el´ectrica q = −1,6 × 10− 19 Coulombs) cuando se acelera en una diferencia de potencial de 1 Voltio.

900  

d

Figura B-2

Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial ∆V se define tal que ∆U = q∆V , se obtiene para 1 eV de energ´ıa que: 1 eV = 1,6 × 10−19 Joules.

(56)

Se obtienen las siguientes unidades derivadas en potencias de 10: = 1 eV = 1,6 × 10−19 J,

1 electronvoltio 1 kiloelectronvoltio

= 1 KeV = 1 × 103 eV = 1,6 × 10−16 J,

1 megaelectronvoltio

= 1 MeV = 1 × 106 eV = 1,6 × 10−13 J,

1 gigaelectronvoltio

= 1 GeV = 1 × 109 eV = 1,6 × 10−10 J,

1 teraelectronvoltio

= 1 TeV = 1 × 1012 eV = 1,6 × 10−7 J.

(57)

Actualmente, el gran colisionador hadr´onico LHC del CERN logra acelerar protones a una energ´ıa de hasta 8 TeV, y se proyecta que en unos a˜nos alcanzar´a los 14 TeV.

D. Grupo de Lie Un grupo de Lie es un grupo continuo que cumple con la propiedad de la ecuaci´on (7.55). Primero, al ser continuo con derivadas parciales continuas, los elementos del grupo los podemos representar como una serie de potencias alrededor de un punto de su espacio de par´ametros. Por ejemplo, la expansi´on de Taylor de g(θθ ) alrededor de θ = 0 es: n

g(θθ ) = g(0) + ∑ k=1

∂ g(θk ) 1 n ∂ 2 g(θk , θl ) θ + k ∑ ∂ θk ∂ θl θk θl + ... ∂ θk θk =0 2! k,l=1 θk,l =0

(58)

Segundo, debido a la propiedad (7.55), las derivadas parciales de orden superior se pueden escribir como el producto de derivadas de primer orden. Por ejemplo, a segundo orden, se tiene: ∂ 2 g(θk , θl ) ∂2 ∂ g(θk , 0) ∂ g(0, θl ) = g(θk , 0)g(0, θl ) = , ∂ θk ∂ θl ∂ θk ∂ θl ∂ θk ∂ θl

(59)

propiedad que se puede generalizar a cualquier orden m: ∂ m g(θ1 , θ2 , ...θm ) = ∂1 g(θ1 , 0, 0, ...)∂2 g(0, θ2 , 0, ...)...∂m g(0, 0, ...θm ) m

=

∏ ∂ p g(0, ..., θ p , ..., 0),

p=1

(60)

donde se usa la siguiente notaci´on:

∂m = ∂p =

∂m , ∂ θ1 ∂ θ2 , ..., ∂ θm ∂ . ∂ θp

(61)

Aplicando la propiedad anterior, la expansi´on en (58) se puede escribir como: n

g(θθ ) = g(0) + ∑ ∂k g|θk =0 θk + k=1

1 n ∑ ∂k g∂l g|θk,l =0 θk θl + ... 2! k,l=1

(62)

Recordando que los generadores del grupo se definen de acuerdo a la ecuaci´on (7.56), y definiendo g(0) como la identidad 1, la expansi´on toma la forma mas corta: n

1 n ∑ iTk iTl θk θl + ... 2! k,l=1 k=1 !2 ! n n 1 −i ∑ Tk θk + ..., = 1 + −i ∑ Tk θk + 2! k=1 k=1

g(θθ ) = 1 − ∑ iTk θk +

(63)

que es una serie que converge a una funci´on exponencial: n

g(θθ ) = e−i ∑k=1 Tk θk .

(64)

As´ı, en un grupo de Lie, sus elementos se pueden generar a trav´es de los generadores de acuerdo a la ecuaci´on (64).

E. Operadores diferenciales del c´alculo vectorial La formulaci´on vectorial de la electrodin´amica se soporta en el c´alculo diferencial en varias variables. Los operadores diferenciales en coordenadas cartesianas se definen como: - Gradiente: Si ϕ es una funci´on escalar continua y con derivadas parciales continuas, su gradiente es:

∇ϕ = (i∂x + j∂y + k∂z ) ϕ.

(65)

- Divergencia: Si V es una funci´on vectorial continua y con derivadas parciales continuas, su divergencia es:

∇ · V = ∂xVx + ∂yVy + ∂zVz .

(66)

- Rotacional: El rotacional de una funci´on vectorial es:

i j k ∇ × V = ∂x ∂y ∂z Vx Vy Vz

(67)

- Laplaciano: El laplaciano es el producto punto entre dos operadores gradientes:

2 2 ∇2 = ∇ · ∇ = ∂xx + ∂yy + ∂zz2

(68)

Existen tres propiedades importantes que cumplen estos operadores:

∇ · (∇ × V) = 0

(69)

∇ × (∇ϕ) = 0

(70) 2

∇ × (∇ × V) = ∇ (∇ · V) − ∇ V

(71)

F. Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell es el conjunto de 4 ecuaciones compuesto por las dos leyes de Gauss, la ley de Faraday y la ley de Ampere-Maxwell descritos en la ecuaci´on (10.1). En la secci´on 10.1 describimos algunas propiedades matem´aticas de la forma vectorial de las ecuaciones de Maxwell. En e´ ste ap´endice demostraremos algunos de los resultados mostrados. Primero, para demostrar la ecuaci´on de continuidad de la ecuaci´on (10.8), calculemos la divergencia a ambos lados de la ley de Ampere-Maxwell dada en la ecuaci´on (10.1):

∇ · (∇ × B) =

1 4π ∇ · J + ∂t ∇ · E. c c

Usando la propiedad (69) y la ley de Gauss, se obtiene:

(72)

4π 4π ∇ · J + ∂t ρ. (73) c c Despejando, se obtiene la ecuaci´on de continuidad de la ecuaci´on (10.8). Por otro lado, el campo magn´etico se puede definir como el rotacional de un potencial vector, de acuerdo a la ecuaci´on (10.3). Sin embargo, debido a la propiedad (70), el potencial vector no est´a definido de forma u´ nica. Si al potencial se le suma la divergencia de alguna funci´on escalar arbitraria como 0=

A → A0 = A + ∇ψ,

(74)

entonces la definici´on (10.3) nos d´a el mismo campo magn´etico: B → B0 = ∇ × (A + ∇ψ) = ∇×A = B,

(75)

por lo que B es invariante frente a la transformaci´on del potencial vector. Para extender esta propiedad al campo el´ectrico definido como en la ecuaci´on (10.7), el potencial escalar debe transformar tal que E0 = E. Para encontrar la forma de dicha transformaci´on, supongamos un campo el´ectrico definido por un potencial escalar y vectorial de acuerdo a la forma: 1 E = −∇φ − ∂t A. c

(76)

Si posteriormente cambiamos el potencial vector por otro A0 definido en la ecuaci´on (74), y el potencial escalar por otro a´un desconocido φ 0 , entonces el campo el´ectrico transformado ser´a: 1 1 E0 = −∇φ 0 − ∂t A0 = −∇φ 0 − ∂t (A + ∇ψ) c  c  1 1 0 = −∇ φ + ∂t ψ − ∂t A. c c

(77)

Exigiendo la invariancia del campo el´ectrico, E = E0 , de las ecuaciones (76) y (77) obtenemos que el potencial escalar debe transforma como: 1 φ 0 = φ − ∂t ψ, c tal como se tiene en la ecuaci´on (10.9).

(78)

Bibliograf´ıa

[1] Relatividad Especial, A.P. French, Ed. Reverte (1984). [2] Introducin a la teora especial de la relatividad, R. Resnick, Ed. Limusa (1981). [3] Sobre la teora especial de la relatividad, J. M. Tejeiro, Ed. Universidad NacionalObservatorio Astronmico Nacional (2005). [4] A first course in general relativity, B.F. Schutz, Ed. Cambridge University Press (2000). [5] Introducing Einsteins Relativity, R. DInverno, Ed. Oxford University Press (1998). [6] Tensors, Relativity and Cosmology, M. Dalarsson and N. Dalarsson, Ed. Elsevier Academic Press (2005). [7] An introduction to mechanics, D. Kleppner and R.J. Kolenkow, Ed. McGrawHill (1986). [8] The Feynman Lectures on Physics Vol. 1 y 2, R. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands, Ed. Addison Wesley (1998). [9] Classical Electrodynamics, J.D. Jackson, John Wiley and Sons (1975). [10] Classical Mechanics: Point particles and Relativity, W. Greiner, Ed. Springer (1989).

153

´Indice alfab´etico

absoluta aceleraci´on, 34 fuerza, 8 simultaneidad, 73 aceleraci´on absoluta, 34 de relojes, 76 invariancia cl´asica, 8 relativa, 35 transformaci´on de la, 34, 41 adici´on de velocidad, teorema cl´asico de, 8 de velocidad, teorema relativista de, 33, 78 rapidez hiperb´olica, teorema de, 79 angular distorsi´on, 71 angulo de rotaci´on, 60 imaginario, 62, 64, 77 arm´onica, onda, 9 asint´otica, libertad, 49 at´omico, n´ucleo, 49 beta decaimiento, 1 factor, 11, 37, 38, 78 Bos´on de Higgs, 50, 51 campo

el´ectrico, 1, 15, 17, 24 electromagn´etico, 52 escalar de Higgs, 50 magn´etico, 1, 15 carga el´ectrica, 50 causalidad, principio de, 68 cl´asica energ´ıa cin´etica, 45 cl´asico efecto Doppler, 12, 13, 38 espacio-tiempo, 63 l´ımite, 37 masa inercial, 42 momento lineal, 42 trabajo, 45 Colisonador LHC, 51 configuraci´on est´andar, 20, 29 cono de luz, 67, 68 futuro, 68 pasado, 68 resto, 69 conservaci´on de la energ´ıa, 44 de la masa relativista, 42 del momento lineal relativista, 42 constante de Planck, 52 contracci´on de Fitzgerald-Lorentz, 31, 32, 73

154

conversi´on a energ´ıa el´ectrica, 56 eficiencia de, 56 coordenadas transformaci´on de, 24, 25, 32 corriente masa quarks, 49 decaimiento beta, 1 de part´ıculas, 53 de pi´on neutro, 53 del neutr´on, 75 desplazamiento vector espacial, 67 diagrama de espacio-tiempo, 61, 62, 72, 76 de espacio-tiempo complejo, 62, 63 tipo (2 + 1), 62 dilataci´on temporal, 30, 36, 73, 75 dispersi´on relaci´on de, 10, 12, 36 distancia Euclidiana, 59, 65 seudo-Euclidiana, 66 distancia de espacio-tiempo, 61–63, 67 distorsi´on angular, 71 Doppler, efecto cl´asico, 12, 13, 38 longitudinal, 35, 38 transversal, 36 ecuaci´on de onda, 9, 24 ecuaciones cinem´aticas, 21 de hip´erbolas, 74 de Maxwell, 1 de rotaci´on, 60, 62 del fot´on, 52 Efecto Doppler cl´asico, 12, 13, 38

longitudinal, 35, 38 transversal, 36 eficiencia de conversi´on, 56 el´ectrica carga, 50 conversion a energ´ıa, 56 energ´ıa, 54, 56 fuerza, 49 electr´on, 50 electromagn´etico campo, 52 electronvoltio, 52 mega-, 49 energ´ıa -momento, relaci´on, 52 cin´etica, 44 cin´etica cl´asica, 45 cin´etica relativista, 46 cl´asica, 46 conservaci´on de la, 44 el´ectrica, 54, 56 el´ectrica, conversi´on, 56 en reposo, 44, 46, 47, 54 interna, 44, 46, 48 liberada en reacciones nucleares, 56 nuclear, 48, 54 potencial, 44, 46 relativista, 44, 47, 51 y masa, equivalencia, 48, 49 y trabajo, teorema relativista, 47 equivalencia de masa y energ´ıa, 48, 49 escalar campo de Higgs, 50 espacio de Minkowski, 71 Euclidiano, 59 intervalo tipo, 67 seudo-Euclidiano, 71 vectorial, 59 espacio-tiempo

cl´asico, 63 de Minkowski, 65 de Poincar´e, 64, 77 diagrama de, 61, 62, 72, 76 distancia de, 61–63, 67 esquema complejo, 62, 63 estructura de, 61 intervalo de, 61–63, 67, 72, 74 invariancia del intervalo, 65, 73, 74 tipo (3 + 1), 62 tipo (n + m), 61 est´andar configuraci´on, 20, 29 modelo, 1 estructura de espacio-tiempo, 61 eter, 16–18, 35 Euclidiana distancia, 59, 65 Euclidiano espacio, 59 evento, 5, 27, 61 eventos simult´aneos, 28, 29 sucesi´on de, 62 factor beta, 11, 16, 18, 24, 25, 37, 38, 78 gama, 23, 25, 37 fisi´on nuclear, 54 Fitzgerald-Lorentz, contracci´on de, 31, 32, 73 fot´on, 1, 52 ecuaciones del, 52 frecuencia, 52 fotones decaimiento de pi´on en, 53 fuerza absoluta, 8 cl´asica, 8 el´ectrica, 49 gravitacional, 49

invariancia cl´asica de la, 8, 9 nuclear d´ebil, 50 nuclear fuerte, 49 relativista, 46 funciones hiperb´olicas, 62, 77 futuro de cono de luz, 68 Galileo principio de relatividad de, 7 relatividad de, 11, 12 transformaciones de, 6, 10, 63 gama factor, 37 gravedad fuerza de la, 49 hadr´onico, gran colisionador LHC, 51 Higgs Bos´on de, 50, 51 mecanismo de, 50, 51 hip´erbolas ecuaciones de, 74 invariantes, 74–76 hiperb´olica rapidez, 77, 78 tangente, 78 hiperb´olicas, funciones, 62, 77 hiperb´olico coseno y seno, 78 hipersuperficie, 62 inercia Ley de, 21, 35 inercial masa, cl´asico, 8, 9, 42 masa, relativista, 42, 43 observador, 6, 9, 10, 19, 20, 28, 41 sistema, 6 intensidad de la luz, 17, 18 intervalo de espacio-tiempo, 61–63, 67, 72, 74 tipo espacio, 67

tipo luz, 67 luz tipo tiempo, 68 cono de, 67, 68 invariancia fotones, 52 cl´asica de la aceleraci´on, 8 intervalo tipo, 67 cl´asica de la fuerza, 8, 9 masa cl´asica de la longitud, 31 constituyente de los quarks, 50 cl´asica de la masa, 9 de corrientes de quarks, 49 cl´asica del tiempo, 6, 7 de los quarks, 49 de intervalo espacio-tiempo, 65, 73, 74 de n´ucleo Carbono 12, 54 de la conservaci´on del momento lineal, de pi´on neutro, 53 42 en reposo, 44, 48, 51, 54 de Leyes f´ısicas, 50 en reposo del prot´on, 49 principios de, 59 inercial cl´asico, 8, 9, 42 invariante inercial relativista, 42, 43 hip´erbolas, 74–76 invariancia cl´asica de la, 9 l´ımite relativista, conservaci´on de la, 42 cl´asico, 37 y energ´ıa, equivalencia, 48, 49 ultrarelativista, 37, 38 Maxwell l´ınea de Universo, 61, 63, 64 ecuaciones de, 1, 15 Ley James C., 15 de inercia, 21, 35 teor´ıa de, 18 Gravitacional de Newton, 1 mecanismo de Brout-Englert-Higgs, 50, 51 segunda, de Newton, 9, 41 Michelson-Morley, experimento de, 12, 15, Leyes 17, 18 de Newton, 19, 20 Minkowski LHC, Gran colisonador hadr´onico, 51 espacio-tiempo de, 65, 71 libertad asint´otica, 49 Hermann, 59 longitud momento de onda, 10, 12, 36 -energ´ıa, relaci´on, 52 invariancia cl´asica de la, 31 lineal cl´asico, 42 propia, 31, 32, 74 lineal relativista, 42, 51 relativa, 31 lineal relativista, conservaci´on del, 42 relatividad de la, 31 lineal, conservaci´on del, 42 longitudinal n´ucleo efecto Doppler, 35, 38 de Carbono 12, masa, 54 retraso para ondas mec´anicas, 10–12 de Uranio, 54 Lorentz n´ucleo at´omico, 49 transformaciones de, 20 neutr´on, 49, 75 transformaciones inversas de, 26, 33 desintegraci´on de, 75 transformaciones simples de, 20, 25, tiempo de vida, 75 29, 62

neutrones, 54 Newton Ley Gravitacional de, 1 Leyes de, 19, 20 segunda Ley de, 9, 41 nuclear energ´ıa, 48, 54 energ´ıa liberada, 56 fisi´on, 54 fuerza d´ebil, 50 fuerza fuerte, 49 observador inercial, 6, 9, 10, 19, 20, 28, 41 propio, 30, 31 onda arm´onica, 9, 17 ecuaci´on de, 9, 24 electromagn´etica, 15, 19, 37 frecuencia, 12 frecuencia angular, 17 intensidad, 17, 18 interferencia, 17 longitud de, 10, 12, 36 luminosa, 15, 16, 19 mec´anica, 7, 9, 15, 35 relatividad para, 9 retraso longitudinal, 10–12, 16 retraso transversal, 11, 12, 16 sonora, 10, 35 velocidad de, 9, 10 paradoja de los gemelos, 75 del abuelo, 69 del saltador con p´ertiga, 70 paradojas en relatividad especial, 25 part´ıcula decaimiento de, 53 libre, 48, 50 puntual, 46, 48

pasado de cono de luz, 68 pi´on decaimiento en fotones, 53 neutro, 53 neutro, masa en reposo de, 53 Planck, constante de, 52 Poincar´e espacio-tiempo de, 64, 77 posici´on transformaci´on cl´asica de la, 6 postulado de la velocidad de la luz, 19 de relatividad, 19, 76 postulados de la relatividad especial, 18, 19 principio de conservaci´on de la energ´ıa, 44 de causalidad, 68 de conservaci´on de la masa relativista, 42 de conservaci´on del momento lineal, 42 de invariancia, 59 de relatividad especial, 41 propia longitud, 31, 32, 74 propio observador, 30, 31 tiempo, 30, 36, 73, 75 prot´on, 49 masa en reposo del, 49 quark down, 49 up, 49 quarks fuerza fuerte de los, 49 masa, 49 masa constituyente, 50 masa de corrientes, 49 piones, 53 rapidez hiperb´olica, 77, 78

teorema de adici´on, 79 regla de la cadena, 33, 34, 45, 46 relatividad de Galileo, 11, 12, 19, 20 de Galileo, principio de, 7 de la aceleraci´on, 35 de la longitud, 31 de la simultaneidad, 28 del movimiento, 32 del tiempo, 27 especial, 18, 59 general, 59 para ondas mec´anicas, 9, 10, 12 postulado de, 19, 76 postulados de la, 18, 19 principio de, 1, 41 relativista conservaci´on de la masa, 42 conservaci´on del momento lineal, 42 energ´ıa, 44, 47, 51 energ´ıa cin´etica, 46 fuerza, 46 masa inercial, 42, 43 momento lineal, 42, 51 teorema trabajo y energ´ıa, 47 trabajo, 46 reloj, 27 relojes acelerados, 76 sincronizados, 28 resto de cono de luz, 69 seudoEuclidiano, distancia, 66 Euclidiano, espacio, 65, 71 simultaneidad absoluta, 28, 73 de eventos, 28, 29 relativa, 28, 72 subluminal, 39 superluminal, 39 taquiones, 39, 69

Taylor, expansi´on en series de, 16, 37 teorema cl´asico de adici´on de velocidad, 8 de adici´on de la rapidez hiperb´olica, 79 relativista de adici´on de velocidad, 33, 35, 78 trabajo y energ´ıa relativista, 47 tiempo dilataci´on de, 30, 36, 73, 75 imaginario, 62, 64, 77 intervalo tipo, 68 invariancia cl´asica del, 6, 7 propio, 30, 36, 73, 75 transformaci´on del, 24, 25, 29, 30, 32 trabajo, 45 cl´asico, 45 relativista, 46 y energ´ıa, teorema relativista, 47 transformaci´on del tiempo, 29 cl´asica de la posici´on, 6, 7 de coordenadas, 24, 25, 32 de la aceleraci´on, 34, 41 del tiempo, 24, 25, 30, 32 transformaciones de Galileo, 6, 10, 19, 63 de Lorentz, 20 de Lorentz inversas, 26, 33 de Lorentz simples, 20, 24, 25, 29, 62, 64 transversal efecto Doppler, 36 retraso para ondas mec´anicas, 11, 12 trayectoria, 62 ultrarelativista, l´ımite, 37, 38 unidad de masa at´omica, u.m.a, 54 Universo l´ınea de, 61, 63, 64 Uranio, 54 vatio, 56

velocidad de la luz, 15, 19, 25, 37–39 de la luz, postulado de la, 19 de una onda mec´anica, 9, 10 orbital, 16, 18 relativa, 25, 77 relativista, 29 teorema de adici´on relativista de, 33, 35