INTEGRACIÓN ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA ANTIDERIVADA ¿Cómo se puede emplear una tasa de inflación conocida para determinar precios futuros? ¿Cuál es la velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo con aceleración conocida? ¿Cómo se puede usar la tasa a la cual cambia la población para predecir niveles futuros de población? En todas estas situaciones se conoce la derivada (tasa de cambio) de una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuación se presenta la terminología que se usará en el proceso de obtención de una función a partir de su derivada. Supongamos que se nos pide encontrar una función
F cuya derivada sea
f ( x) 4 x3 Por lo que sabemos de derivación, probablemente diríamos que
F ( x) x 4 ya que
d 4 x 4 x3 dx
Esto permite definir lo siguiente. Definición: Una función todo x en
F es una antiderivada (o una primitiva) de f en un intervalo I si F '( x) f ( x) para
I.
Observación Decimos que
F es una antiderivada de f y no que es la antiderivada de f . La razón es que, por
ejemplo,
F1 ( x) x4 , F2 ( x) x4 3 y F1 ( x) x4 54 son, todas ellas, antiderivadas de f ( x) 4 x3 . De hecho, para cualquier valor de la constante
C,
F ( x) x C es antiderivada de f . 4
Definición: Antiderivada general Si
F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada general, G , de f en I
es de la forma
G( x) F ( x) C , para todo x en I donde
C denota una constante.
Observación: Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, sino una familia dé funciones, que difieren entre sí en una constante. El proceso de hallar todas las antiderivadas de f ( x) se denomina integración indefinida o antiderivación y se denota por el símbolo
, llamado signo de integración, la expresión
f ( x)dx se lee la integral
indefinida de f ( x) con respecto a x . INTEGRAL INDEFINIDA Definición: Si F ( x) es una antiderivada de f ( x) en un intervalo
I , entonces a su antiderivada general
G( x) F ( x) C se le denota por
f ( x)dx F ( x) C Llamada la integral indefinida de f ( x) con respecto a x .
1
x I
Propiedades Sean f , g funciones derivables y a) b)
k constante, entonces:
kf ( x)dx k f ( x)dx f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Sea u u( x) una función diferenciable en x , entonces: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
n u du
u n1 C n 1
du
u ln u C u u e du e C au C, a 0 a 1 ln a du 1 u u 2 a2 a arctan a C, a 0 du 1 ua u 2 a2 2a ln u a C a 0 du 1 ua a2 u 2 2a ln u a C a 0 u a du
Integrales que contienen raíces cuadradas 8.
9.
sin udu cos u C
16.
cos udu sin u C
17.
tan udu ln cos u C
18.
cot udu ln sin u C
19.
sec udu ln sec u tan u C
20.
csc udu ln csc u cot u C
21. 22. 23. 24. 25.
u a du
2
u a du
2
2
ln u u 2 a 2 C a 0
ln u u 2 a 2 C a 0
u arcsin C a 0 a a2 u 2 u du 1 arcsec C a 0 11. a u u 2 a2 a 10.
12.
13.
14.
Integrales que contienen funciones trigonométricas 15.
du 2
u 2 a2 u a 2 ln u u 2 a 2 C 2 2 u 2 a2 u 2 a 2 du u a 2 ln u u 2 a 2 C 2 2 u 2 a2 u a 2 u 2 du u a 2 arcsin C 2 2 a
u 2 a 2 du
Integrales que contienen funciones hiperbólicas 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.
csc udu ln csc u cot u C 2 sec udu tan u C 2 csc udu cot u C sec u tan udu sec u C csc u cot udu csc u C
33.
2
sinh udu cosh u C cosh udu sinh u C tanh udu ln cosh u C coth udu ln sinh u C 2 sech udu tanh u C 2 csch udu coth u C sech u tanh udu sech u C cosh u coth udu csch u C
Integrales que contienen funciones trigonométricas inversas
Formulas útiles de integración
35. arccos udu u arccos u
40.
34. arcsin udu u arcsin u 1 u 2 C
1 u2 C
1 ln(1 u 2 ) C 2 1 37. arccot udu u arccot u ln(1 u 2 ) C 2
2
2
38. arcsec udu u arcsec u ln u u 1 C
1 (ax b)n1 C a n 1
1 dx eax b C a dx 1 42. ln ax b C ax b a 1 43. sin(ax b)dx cos(ax b) C a 1 44. cos(ax b)dx sin(ax b) C a 41.
36. arctan udu u arctan u
n (ax b) dx
e
ax b
39. arccsc udu u arccsc u ln u u 1 C
EJERCICIOS RESUELTOS Halle las siguientes integrales
1)
3
x2 dx Solución:
3
x 2)
dx 3 x 2 dx 3 2
3x
3
2 x 5 dx
Solución:
3x
x 3 1 C x 3 C 3 C 3 x
3
2 x 5 dx 3x3dx 2 xdx 5dx 3 x3dx 2 xdx 5 dx x4 x2 3 3 2 5 x C x 4 x 2 5 x C 4 4 2
3)
(2sin x 3cos x)dx Solución:
(2sin x 3cos x)dx 2sin xdx 3cos xdx 2cos x 3sin x C 4)
(2 tan
2
θ ) dθ
Solución:
(2 tan 5)
2
θ )dθ 2dθ tan 2 θdθ 2θ sec θ C
x 2 3x 2 x 2 dx Solución:
x 2 3x 2 x 2 x 1 x 2 dx x 2 dx x 1dx
xdx dx
x2 xC 2 3
6)
3x
5 x 2 dx
2
Solución:
3x
2
5 x 2 dx 3x 2 dx 5 xdx 2dx
x3 x3/2 3 x 2 dx 5 x1/2 dx 2 dx 3 5 2 x C 3 3/ 2
x3
7)
4
t 5e
2 5 3/2 x 2x C 3
dt
t
Solución:
4
t 5e 8)
t
1
4 1 t t t dt dt 5e dt 4 dt 5 e dt 4ln t 5e C t t
5 e x /2 dx x
3x
Solución:
1
5 1 1 1 e x /2 dx dx 5 1/2 dx e x /2 dx 3 x x x
3x
x1/2 1 1 x /2 1 x /2 ln x 5 x 1/2 dx e ln x 5 2e 3 1 / 2 3 1 / 2
1 ln x 10 x1/2 2e x /2 3 9)
x3
2 2 x 1
Solución:
x3
1 2 dx x3/2 1/2 2 dx 2 x 2x 1
1 1/2 x5/2 1 1/2 x dx x dx 2dx x dx 2 dx 2 5/ 2 2 2 2 x1/2 2 5/2 4 1/2 x5/2 2 x C x x 2 x C 5 3 1/ 2 5 3 3/2
10)
1
3x
2/3
( x 1) dx
Solución:
1
3x
2/3
( x 1) dx
1 1 1 x1/3 x 2/3 dx x1/3dx x 2/3dx 3 3 3
1 x 4/3 1 x1/3 1 4/3 1/3 C x x C 3 4 / 3 31/ 3 4
4
11)
e3 x 3 2sin x dx Solución:
e3 x e3 x 1 3x 2sin x dx 3 3 dx 2sin xdx 3 e dx 2 sin xdx 1 e3 x 3 3 12)
e
e
0.02t
0.13t
4 dt
Solución:
e
e
0.02t
1 3x 2cos x C e 2cos x C 9
0.13t
4 dt e0.15t 4e0.02t dx e0.15t dt 4e0.02t dt
e0.15t 20 e0.02t 4 e0.02t dt e0.15t 4 C 0.15 3 0.02 20 e0.15t 200e0.02t C 3
13)
tan
2
x 3cos x dx
Solución:
tan
2
x 3cos x dx tan 2 xdx 3cos xdx sec2 x 1 dx 3cos xdx
sec2 xdx dx 3 cos xdx tan x x 2sin x C 14)
2
x 2sin 2x dx Solución:
2
2
1
x 2sin 2 x dx x dx 2sin 2 x dx 2 x dx 2 sin 2 x dx 2ln x 2
15)
cos(2 x) C 2ln x cos(2 x) C 2
3z 2 2 z 3 dz z Solución:
3z 2 2 z 3 3z 2 2 z 3 3 dz z z z dz 3z 2 z dz z
3 1 3zdz 2dz dz 3 zdz 2 dz 3 dz z z 3 z 2 2 z 3ln z C 2 16)
t
1/2
t
2
t 2 dt
Solución:
t
1/2
t
2
t 2 dt t 3/2 t1/2 2t 1/2 dt t 3/2 dt t1/2 dt 2t 1/2 dt
t 5/2 t 3/2 2 2 t1/2 2 t 1/2 dt t 5/2 t 3/2 2 C 5/ 2 3/ 2 5 3 1/ 2 2 2 t 5/2 t 3/2 4t1/2 C 5 3 5
17)
x
3
1 2 x 2 5 dx x
Solución:
x
3
1 2 x 2 5 dx x 2 5 x3 2 x 10 x 2 dt 5 x3 11x 2 2 x dt x
5x3dx 11x2 dx 2 xdx 5 x3dx 11 x2 dx 2 xdx
18)
5 4 11 3 x x x2 C 4 3
z 4 10 z 2 25 dz z3 5z
Solución:
2
z2 5 z2 5 z2 5 z 4 10 z 2 25 dz dz dz z3 5z z z2 5 z z z dz
5 5 z2 1 z dz zdz dz 5 dz z z 2 z
19)
20 x 4 3x 2 15 x 5x2
z2 5ln z C 2
dx
Solución:
20 x 4 3x 2 15 x 5x2
20 x 4 3x 2 15 x 3 3 dx 2 2 dx 4 x 2 dx 2 5 x 5x 5x 5x
3 3 4 3 1 4 x 2 dx dx dx x3 x 3 dx 5 x 3 5 x 4 3 x3 x 3ln x C 3 5 20)
2x 5 dx x2
Solución:
2x 5 2x 4 1 1 1 2x 4 2( x 2) dx dx dx dx x2 x2 x2 x2 x2 x2
1 1 2 dx 2 x ln x 2 C dx 2dx x 2 x 2 21)
x 1
2 x 1dx Solución: Primera forma:
2x 2 1 (2 x 2) x 1 1 2x 2 1 2x 2 3 3 2 2 2 dx dx 2 x 1 2 x 1 2 x 1 dx 2 2 x 1dx 2 2 x 1 dx 1 2x 1 3 1 2x 1 3 1 3 dx dx 1 dx 2 2x 1 2 2x 1 2x 1 2 2x 1
1 3 dx 1 3 1 1 3 dx x ln 2 x 1 C x ln 2 x 1 C 2 2 2x 1 2 2 2 2 4
6
Segunda forma:
x 1 entre 2 x 1 usando el método tradicional x 1 2x 1 x 1/ 2 1/ 2 3/ 2
Dividamos
Recuerde que
D
d
r
q
D qd r
Así
1 3 x 1 1 3 x 1 (2 x 1) 2 2 2 x 1 2 2(2 x 1) Entonces
1
x 1
3
1
3
1
3
dx
2 x 1dx 2 2(2 x 1) dx 2 dx 2(2 x 1) dx 2 dx 2 2 x 1
22)
x
1 x
1 3 1 1 3 x ln 2 x 1 C x ln 2 x 1 C 2 2 2 2 4
dx
Solución:
x
1 x
23)
x 11 1 1 x 1 dx dx 1 dx 1 x 1 x 1 x x 1 1 dx dx x ln x 1 C x 1
dx
2sinh x 5cosh x) dx Solución:
2sinh x 5cosh x) dx 2 sinh xdx 5 cosh xdx 2cosh x 5sinh x C 24)
tan x cot x dx sin x
Solución:
25)
tan x cot x tan x cot x dx dx dx sec xdx cot x csc xdx sin x sin x sin x ln sec x tan x csc x C
1 sin x cos 2 x
dx
Solución:
1 sin x
sin x sin x 1 1 dx dx sec2 x dx 2 2 cos x cos x cos x cos x cos x 2
sec2 x tan x sec x dx sec2 xdx tan x sec xdx
tan x sec x C
7
26)
x2
x2 2dx Solución:
x2
x2 2dx
x2 2 2 2 dx dx 1 2 dx 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2
x2 2 2
dx x
27)
1 2
2 x 2 2
ln
dx x 2
x 2 x 2
dx x2 2
2
x2
1 2 2
ln
x 2 x 2
C
C
(1 x) 2
x(1 x2 )dx Solución:
(1 x)2
x(1 x2 )
dx
1 x2 x2 2 x 1 2x 2 1 dx dx dx 2 2 2 x(1 x ) x 1 x2 x(1 x ) x(1 x )
1 dx dx 2 ln x 2arctan x C x 1 x2 28)
3 x2 1 x2 1
dx
Solución:
3 x2 1 3 x2 1 dx dx dx dx x2 1 x2 1 x2 1 dx 3 x2 1 x2 1
3arctan x ln x x 2 1 C 29)
2
x2 ( x2 2)dx Solución:
2
x2 ( x2 2)
dx
x2 2 x2 dx dx 2 2 2 2 2 2 x ( x 2) x ( x 2) x ( x 2)
x2 2 x2
1 dx 1 1 dx 1 1 x 1 2 2 dx arctan dx 2 2 C 2 2 x x x 2 x x 2 2 x 2 x 2 30)
x2 2
x2 ( x2 4)dx Solución: Expresemos
x 2 2 de la siguiente forma: x 2 2
1 2 1 2 x ( x 4) 2 2
Reemplazando esta última expresión en la integral original, se tiene,
1 2 1 2 x ( x 4) 1 x2 1 ( x 2 4) 2 2 dx dx dx dx x2 ( x2 4) x2 ( x2 4) 2 x 2 ( x 2 4) 2 x 2 ( x 2 4) x2 2
1 dx 1 dx 1 dx 1 2 2 x 2 dx 2 2 2 x 4 2 x 2 x 2 2
1 11 1 x 1 x x 1 arctan C arctan C 22 4 2 2 1 2 2x
8
TÉCNICAS DE INTEGRACION I.
SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA O CAMBIO DE VARIABLE. En esta sección estudiaremos una técnica para integrar funciones compuestas, la cual es el cambio de variable. PRIMITIVA DE UNA FUNCION COMPUESTA Sea g una función compuesta cuyo recorrido es un intervalo
I , y sea f una función continua en I . Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I , entonces
f g ( x) g '( x)dx F g ( x) C Si u g ( x) , entonces du g '( x)dx y
f g ( x) g '( x)dx f u du F (u) C ESTRATEGIA PARA EL CAMBIO DE VARIABLE 1. Elegir una sustitución u g ( x) . En general, conviene elegir la parte interna de alguna función 2.
compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia. Hallar du g '( x)dx .
3. 4.
Reescribir la integral dada en términos de u . Hallar la resultante en u .
5.
Sustituir u por g ( x) para obtener la primitiva en términos de x .
6.
Verificar la respuesta por derivación (opcional).
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Hallar
sin
2
3x cos3x dx
Solución: En primer lugar, sea
u sin3x . Su diferencial es du 3cos3x dx . Ahora, puesto que cos3x dx
es parte de la integral dada, podemos escribir
du cos3x dx 3
du en la integral dada se obtiene 3 2 2 du integral en términos de u sin 3x cos3x dx u 3
Finalmente sustituyendo u y
1 2 u du 3 1 u3 C 3 3
1 u3 C 9 1 3 sin 3x C 9 1 sin3 3x C 9
primitiva en términos de u
primitiva en términos de x
9
2) Hallar
1 x
e
dx
Solución: En primer lugar, sea u 1 x . Su diferencial es integral dada, podemos escribir
du dx . Ahora, puesto que dx es parte de la
dx du Finalmente sustituyendo u y 1 x
e
du en la integral dada se obtiene
dx e du u
integral en términos de u
eu du
3) Hallar
eu C
primitiva en términos de u
e1 x C
primitiva en términos de x
(ax b) dx n
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable,
1 u ax b du adx dx du a Reemplazando en la integral dada, se tiene
1 n 1 u n1 1 (ax b)n1 n n 1 ( ax b ) dx u du u du C C a a a n 1 a n 1 4) Hallar
dx
(ax b)
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable,
1 u ax b du adx dx du a Reemplazando en la integral dada, se tiene
dx
11
1 du
(ax b) u adu a u 5) Hallar
e
ax b
1 1 ln u C ln ax b C a a
dx
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable,
1 u ax b du adx dx du a Reemplazando en la integral dada, se tiene
e
ax b
6) Hallar
1 1 1 1 dx eu du eu du eu C eax b C a a a a
sin(ax b)dx
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable,
1 u ax b du adx dx du a Reemplazando en la integral dada, se tiene
1
1
1
1
sin(ax b)dx sin u adu a sin udu a cos u C a cos(ax b) C 10
7) Hallar
cos(ax b)dx
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable,
1 u ax b du adx dx du a Reemplazando en la integral dada, se tiene
1
1
1
1
cos(ax b)dx cos u adu a cos udu a sin u C a sin(ax b) C 8) Hallar
2 x 5
5
dx
Solución: Por el ejercicio 3) se tiene, 5 2x 5 dx
9) Hallar
1 (2 x 5)6 (2 x 5)6 C C 2 6 12
2 x 1dx
Solución: Por el ejercicio 3) se tiene,
3x 1dx (3x 1)1/2 dx
10) Hallar
1 (3x 1)1/21 1 (3x 1)3/2 2 C C (3x 1)3/2 C 3 1/ 2 1 3 3/ 2 9
cos(7 x 3)dx
Solución: Por el ejercicio 7) se tiene:
11) Hallar
x
1
cos(7 x 3)dx 7 sin(7 x 3) C
2 x 1dx
Solución: En primer lugar, sea
u 2 x 1 . Su diferencial es du 2dx , de aquí dx
du . Como el integrando 2
contiene el factor x , hemos de expresar x en términos de u , así
u 2x 1 x
u 1 2
Ahora sustituyendo, se obtiene
x
1 u 1 du 1 1/2 3/2 1/2 2 x 1 dx du u u 1 u du u u 2 2 4 4
1 u 5/2 u 3/2 1 2u 5/2 1 2u 3/2 C C 45/ 2 3/ 2 4 5 4 3
12) Hallar
1 1 2 x 15/2 2 x 13/2 C 10 6
2 x4
x5 1 dx
Solución: En primer lugar, sea u x5 1 . Su diferencial es du 5x 4 dx . Ahora, puesto que la integral dada, podemos escribir
dx
du 5x4 11
dx es parte de
Finalmente sustituyendo u y
2 x4
x5 1
dx
x2
13) Hallar
du 5x4
en la integral dada se obtiene
2 x 4 du 2 du 2 2 ln u C ln x5 1 C 4 u 5x 5 u 5 5
x3 5
2
dx
Solución: En primer lugar, sea u x3 5 . Su diferencial es du 3x 2 dx . Ahora, puesto que x 2 dx es parte de la integral dada, podemos escribir
du 3
x 2 dx
Finalmente sustituyendo u y
x2
x
5
3
dx
2
1
x
5
3
2
du en la integral dada se obtiene 3 1 du 1 du 1 x 2 dx 2 2 u 2 du 3 u 3 3 u
1 u 1 1 1 1 1 C C 3 C 3 1 3 u 3 x 5 2 3 x x 1
3/4
14) Hallar
dx
Solución: En primer lugar, sea u x3 1 . Su diferencial es du 3x 2 dx . Ahora, puesto que x 2 dx es parte de la integral dada, podemos escribir
x 2 dx
du 3
du en la integral dada se obtiene 3 3/4 du 1 x3 1 x 2 dx u 3/4 u 3/4 du 3 3
Finalmente sustituyendo u y
2 3 x x 1
3/4
dx
1 u 7/4 4 7/4 4 3 x 1 C u C 3 7 / 4 21 21
15) Hallar
3x
1 ex
2
3
x
7/4
C
dx
Solución:
En primer lugar, sea u x3 x . Su diferencial es du 3x 2 1 dx . Finalmente sustituyendo u y
3x
2
16) Hallar
1 ex
3
x
dx e x
3
x
du en la integral dada se obtiene
3x 1 dx e du e 2
u
u
C ex
3
x
C
x3
3 x2 6 x 5 dx
Solución: En primer lugar, sea u x2 6 x 5 . Su diferencial es du 2 x 6 dx 2 x 3 dx . Ahora, puesto que
dx es parte de la integral dada, podemos escribir
12
dx
du 2 x 3
Finalmente sustituyendo u y
x3
3 x2 6 x 5 dx
du en la integral dada se obtiene 2 x 3
x 3 du 1 du 1 3 u 1/3du 3 u 2 x 3 2 u 2
1 u 2/3 3 2/3 2 C u C 5 x 6 x 5 2 2/ 3 4
17) Hallar
3x 3
x
2x 6
2
2
2/3
C
dx
Solución: En primer lugar, sea u x2 2 x 6 . Su diferencial es du 2 x 2 dx 2 x 1 dx . Ahora, puesto que
dx es parte de la integral dada, podemos escribir dx
du 2 x 1
Finalmente sustituyendo u y
3x 3
x
2x 6
2
2
dx
x
du en la integral dada se obtiene 2 x 1
3 x 1 2
2x 6
2
dx 3
x 1 du 3 du 3 2 u 2 du 2 u 2 x 1 2 u 2
3 u 1 3 1 3 1 C C 2 C 4 1 4u 4 x 2x 6
18) Hallar
x
3 4 3x dx
Solución:
u 4 3x , de donde du 3dx , de aquí dx
En primer lugar, sea
du . Como el integrando 3
contiene el factor x , hemos de expresar x en términos de u , así
u 4 3x x
4u 3
Ahora sustituyendo, se obtiene
4u 4 u du 1 4u 3 du 3 4 3x dx 3 u 3 33 u 3 9 3 u du x
19) Hallar
x
1 1 1 u 2/3 u 5/3 1/3 1/3 2/3 4 u u du 4 u u du 4 C 9 9 9 2 / 3 5 / 3
1 1 3u 5/3 2 1 2/3 5/3 6u 2/3 C 4 3x 4 3x C 9 9 5 3 15
1
x 1
dx
Solución: En primer lugar, sea u
x 1 . Su diferencial es du
integral dada, podemos escribir
13
dx 2 x
. Ahora, puesto que
dx es parte de la
dx 2 xdu
xdu en la integral dada se obtiene 1 du 2 xdu 2 2ln u C 2ln u x u
Finalmente sustituyendo u y
x
20) Hallar
1
x 1
dx
2 x ln( x 2 1) x2 1
x 1 C
dx
Solución: En primer lugar, sea u ln( x 2 1) . Su diferencial es du Finalmente sustituyendo u y
2 x ln( x 2 1) x2 1
2 xdx x2 1
.
du en la integral dada se obtiene
x2 1 u2 2 dx ln( x 1) 2 dx udu C 2 2 x 1 2x
1 1 21) Hallar 2 1 x x
2
C
2/3
dx
Solución:
dx 1 1 . Su diferencial es du 2 . Ahora, puesto que dx es parte de la x x
En primer lugar, sea u
integral dada, podemos escribir
dx x2 du Finalmente sustituyendo u y x 2du en la integral dada se obtiene
1 1 x2 x 1
2/3
dx
1 x
2
u 2/3 x2 du u 2/3du
1 3 1 u 5/3 x C 5/3 5 22) Hallar
3 2 x 4 x
1/2
5/3
C
dx
Solución: En primer lugar, sea u 4 x 2 , de donde
du 2xdx , de aquí dx
du . 2x
Ahora sustituyendo, se obtiene 3 2 x 4 x
1/2
dx x3 u
1/2
du 1 2 1/2 x u du 2 x 2
Como el integrando contiene el factor x 2 , debemos de expresar x 2 en términos de u , así
u 4 x2 x2 4 u Finalmente reemplazando x 2 en la última integral, se tiene 3 2 x 4 x
1/2
dx
1 2 1/2 1 1 x u du 4u 1/2 u1/2 du 2 2 2
1 u1/2 u 3/2 1 1/2 2 3/2 4 C 8u u C 2 1/ 2 3 / 2 2 3
1 4u1/2 u3/2 C 4 4 x 2 3 14
1/2
1 4 x2 3
3/2
C
23) Hallar
1/3 2/3 x x 1
3/2
dx
Solución:
2 1/3 3 x dx , de aquí dx x1/3du . 3 2
En primer lugar, sea u x 2/3 1 , de donde du Ahora sustituyendo, se obtiene 1/3 2/3 x x 1
3/2
3/2
dx x1/3 u
3 1/3 3 1/3 3/2 1/3 3 2/3 3/2 x du x u x du x u du 2 2 2
Como el integrando contiene el factor x 2/3 , debemos de expresar x 2/3 en términos de u , así
u x2/3 1 x2/3 u 1 Finalmente reemplazando x 2/3 en la última integral, se tiene 1/3 2/3 x x 1
3/2
dx
3 2/3 3/2 3 3 x u du u 1 u3/2 du u5/2 u3/2 du 2 2 2
3 u 7/2 u 5/2 3 2 7/2 2 5/2 C u u C 2 7 / 2 5 / 2 2 7 5
7/2 5/2 3 3 3 3 u 7/2 u5/2 C x 2/3 1 x 2/3 1 C 7 5 7 5
24) Hallar
2x x e 1 e
2
dx
Solución: En primer lugar, sea u e x 1 , de donde du e x dx , de aquí dx e x du . Ahora sustituyendo, se obtiene 2x x e 1 e
2
dx e2 x u e x du e xu 2 du 2
Como el integrando contiene el factor e x , debemos de expresar e x en términos de u , así
u ex 1 ex u 1 Finalmente reemplazando e x en la última integral, se tiene 2x x e 1 e
2
25) Hallar
dx e xu 2 du u 1 u 2 du u 3 u 2 du
4 1 3 u 4 u3 1 C ex 1 ex 1 C 4 3 4 3
e2 x
1 e x dx
Solución: En primer lugar, sea u e x 1 , de donde du e x dx , de aquí dx e x du . Ahora sustituyendo, se obtiene
e2 x
1 e
dx x
e2 x x ex e du du u u
Como el integrando contiene el factor e x , debemos de expresar e x en términos de u , así
u ex 1 ex u 1 Finalmente reemplazando e x en la última integral, se tiene
e2 x
1 e
dx x
ex u 1 1 du du 1 du u u u
u ln u C e x 1 ln e x 1 C
15
26) Hallar
(2ln x 1)
x(ln 2 x ln x)dx
Solución:
2ln x 1 2ln x 1 dx dx . x x x
En primer lugar, sea u ln 2 x ln x . Su diferencial es du Finalmente sustituyendo u y
(2ln x 1)
du en la integral dada se obtiene 1
x(ln 2 x ln x)dx (ln 2 x ln x)
(2ln x 1) 1 dx du x u
ln u C ln(ln 2 x ln x) C 27) Hallar
sin 2 x
1 cos2 x dx
Solución:
du 2cos x sin xdx , de aquí
En primer lugar, sea u 1 cos2 x . Su diferencial es
2cos x sin xdx du . Finalmente sustituyendo u y
sin 2 x
1 cos2 x dx
du en la integral dada se obtiene
2sin x cos x
dx
1
2sin x cos xdx 1 cos x 1 cos2 x 1 1 du du ln u C ln 1 cos2 x C u u 2
28) Hallar
a
sin x
cos xdx
Solución:
u sin x . Su diferencial es du cos xdx . Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene En primer lugar, sea
sin x u a cos xdx a du
29) Hallar
au asin x C C ln a ln a
t 2 dt
(a bt 3 )2
Solución: En primer lugar, sea u a bt 3 . Su diferencial es du 3bt 2 dt , de aquí t 2 dt
du en la integral dada se obtiene 3b 1 1 du 1 t 2 dx 2 u 2 du 2 (u ) 3b 3b a bt 3
Finalmente sustituyendo u y
t 2 dt
a bt
3 2
30) Hallar
1 u 1 1 1 1 a bt 3 C u C 3b 1 3b 3b
earctan x
1 x2
1
C
dx
Solución: Hágase el siguiente cambio de variable: u arctan x du Finalmente sustituyendo u y
du en la integral dada se obtiene 16
dx 1 x2
du . 3b
earctan x
1 x2 II.
dx eu du eu C earctan x C
INTEGRACIÓN POR PARTES En esta sección estudiaremos una técnica muy importante de integración, llamada integración por partes. Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es particularmente eficaz para integrandos donde aparecen productos de funciones algébricas y trascendentes. Por ejemplo, funciona muy bien para resolver integrales como
x ln xdx,
x e dx, 2 x
e
x
sin xdx
La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto
d dv du uv u v uv ' vu ' dx dx dx Donde u y v son funciones derivables de x . Si u ' y v ' son continuas, podemos integrar ambos lados para llegar al resultado
uv uv ' dx vu ' dx udv vdu Reescribiendo esta ecuación se obtiene el siguiente teorema. TEOREMA: Si u y v son funciones de x con derivadas continuas, entonces
udv uv vdu Esta fórmula expresa la integral original en términos de otra integral. Dependiendo de la elección de u y
dv , puede ocurrir que la segunda integral sea más fácil que la original. Como las elecciones de u y de dv son críticas para la buena marcha del método, damos unas indicaciones sobre como proceder de
ESTRATEGIA PARA INTEGRAR POR PARTES 1.
Para el cálculo de la integral se escoge u y a)
f ( x)dx , donde el integrando,
f ( x) , es de la forma mostrada abajo,
dv como sigue:
Si f ( x) p( x)e x u p( x); dv e x dx
b) Si f ( x) p( x)ln( x) u ln( x); dv p( x)dx c)
Si f ( x) p( x) sin x,cos x u p( x); dv sin x,cos x dx
d) Si f ( x) e x sin x,cos x u sin x,cos x ; dv e x dx 2. 3.
Intente tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica de integración y como u el factor restante del integrando Intente tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que u y como
dv el factor restante del integrando.
17
EJERCICIOS RESUELTOS Calcular las siguientes integrales 1)
xe dx x
Solución: Según la estrategia 1. a), se elige u y
dv como sigue
du dx u x x x x dv e dx v e dx e Se sabe que
udv uv vdu Así
xe dx xe e dx xe x
2)
x
2
x
x
x
ex C
ln xdx
Solución: Según la estrategia 1. b), se elige u y
dv como sigue
dx du x u ln( x) 2 3 dv x dx v x 2 dx x 3 Se sabe que
udv uv vdu Así 2 x ln xdx ln( x)
3)
x3 x3 dx x3 1 x3 x3 ln( x) x 2 dx ln( x) C 3 3 x 3 3 3 9
x sin xdx Solución: Según la estrategia 1. c), se elige u y
dv como sigue
u x du dx v sin xdx cos x dv sin x dx Se sabe que
udv uv vdu Así
x sin xdx x cos x cos x dx x cos x cos x dx x cos x sin x C 4)
e
x
cos xdx
Solución: Según la estrategia 1. d), se elige u y
dv como sigue
du sin x dx u cos x x x x dv e dx v e dx e Se sabe que
udv uv vdu 18
Así
e
x
cos x dx cos( x) e x e x ( sin x dx) cos( x) e x e x sin x dx
Para la segunda integral del lado derecho, apliquemos nuevamente integración por partes, así haciendo
du cos xdx u sin x x x x dv e dx v e dx e Se tiene
e
x
cos x dx cos( x) e x e x sin x dx cos( x) e x sin( x)e x e x cos x dx
por lo tanto
e
x
cos x dx e x cos x dx cos( x) e x sin( x)e x
2 e x cos x dx cos( x) e x sin( x)e x
x e cos x dx
cos( x) e x sin( x)e x C 2
e x (1 x ln x) dx 5) Hallar x Solución: En primer lugar separemos las integrales, es decir
e x (1 x ln x) ex dx dx e x ln xdx x x Para la segunda integral del lado derecho apliquemos la técnica de integración por partes. Elijamos
u y dv como sigue
1 u ln x du x dx x dv e dx v e x dx e x Así,
e x (1 x ln x) ex ex 1 x dx dx e ln xdx dx ln( x) e x e x dx x x x x e x ln( x) C 6)
ln(sin x)cos xdx Solución: Se elige u y
dv como sigue
cos x u ln(sin x) du sin x dx dv cos x dx v cos xdx sin x Se sabe que
udv uv vdu Así
cos x
ln(sin x)cos xdx ln(sin x)sin x sin x sin x dx ln(sin x)sin x cos x dx sin x ln(sin x) sin x C
19
7)
(2 x 1)e
2 x 3
dx
Solución: Se elige u y
dv como sigue
du 2dx u 2 x 1 e 2 x 3 2 x 3 2 x 3 dx dx dv e v e 2 Se sabe que
udv uv vdu Así 2 x 3 (2 x 1)e dx (2 x 1)
(2 x 1)
8)
e 2 x 3 e 2 x 3 e 2 x 3 2dx (2 x 1) e2 x3dx 2 2 2
e 2 x 3 e 2 x 3 C 2 2
(3x 2)ln(5x)dx Solución: Se elige u y
dv como sigue
dx du u ln(5 x) x 2 dv (3 x 2) dx v (3x 2)dx 3 x 2 x 2 Se sabe que
udv uv vdu Así
x2 x2 dx (3 x 2)ln(5 x ) dx ln(5 x ) 3 2 x 3 2 x 2 2 x x2 x ln(5 x) 3 2 x 3 2 dx 2 2 3x 2 3x 2 ln(5 x) 2 x 2x C 2 4 9)
ln(5x)dx Solución: Se elige u y
dv como sigue
dx u ln(5 x) du x dv dx v dx x Se sabe que
udv uv vdu Así
ln(5x)dx ln(5x) x x
dx x ln(5x) dx x ln(5x) x C x
20
10)
ln
2
(5 x)dx
Solución: Se elige u y
dv como sigue
dx u ln 2 (5 x) du 2ln(5 x) x dv dx v dx x Se sabe que
udv uv vdu Así
ln
2
(5 x)dx ln 2 (5 x) x x2ln(5)
dx ln 2 (5 x) x 2 ln(5 x)dx x
ln 2 (5x) x 2 x ln(5x) x C x ln 2 (5x) 2 x ln(5x) 2x C 11)
(2x
3
2 x)ln( x)dx
Solución: Se elige u y
dv como sigue
dx du x u ln x 3 4 2 4 dv (2 x 2 x)dx v (2 x3 2 x)dx 2 x 2 x x x 2 4 2 2 Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
x4 x4 3 2 2 dx (2 x 2 x )ln( x ) dx ln x x 2 2 x x
x4 x3 x 2 ln x x dx 2 2 x4 x4 x2 x 2 ln x C 8 2 2 12)
(x
2
3x 1)sin( x)dx
Solución: Se elige u y
dv como sigue
u x 2 3x 1 du (2 x 3)dx v sin xdx cos x dv sin xdx Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
(x
2
3x 1)sin( x)dx ( x 2 3x 1)cos( x) ( cos x)(2 x 3)dx
( x2 3x 1)cos( x) (2x 3)cos xdx Para la segunda integral del lado derecho,
(1)
(2 x 3)cos xdx , apliquemos nuevamente integración
por partes, así haciendo
u 2 x 3 du 2dx v cos xdx sin x dv cos xdx
21
y usando la fórmula de integración por partes, se tiene
(2x 3)cos xdx (2x 3)sin x sin x(2dx) (2 x 3)sin x 2 sin xdx (2x 3)sin x 2cos x C
(2)
Reemplazando (2) en (1), resulta
(x
3x 1)sin( x)dx ( x 2 3x 1)cos( x) (2 x 3)cos xdx
2
( x2 3x 1)cos( x) (2x 3)sin x 2cos x C 13)
(2x
3x 2)e x dx
2
Solución: Se elige u y
dv como sigue
2 du (4 x 3)dx u 2 x 3x 2 x v e x dx e x dv e dx
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
(2x
2
3x 2)e x dx (2 x 2 3x 2)e x e x (4 x 3)dx
Para la segunda integral del lado derecho,
e
x
(1)
(4 x 3)dx , apliquemos nuevamente integración por
partes, así haciendo
du 4dx u 4 x 3 x v e x dx e x dv e dx y usando la fórmula de integración por partes, se tiene
e
x
(4 x 3)dx (4 x 3)e x e x (4dx) (4 x 3)e x 4 e x dx (4 x 3)e x 4e x C
(2)
Reemplazando (2) en (1), resulta
(2x
2
3x 2)e x dx (2 x 2 3x 2)e x e x (4 x 3)dx
(2 x 2 3x 2)e x (4 x 3)e x 4e x C
(2 x2 3x 2)e x (4x 3)e x 4e x C 14)
e
x
dx
Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
2mdm dx m2 x m x Se tiene
e
x
dx em 2mdm 2 mem dm
Aplique ahora integración por partes, así tomando u y
dv como sigue
du dm u m m v em dx em dv e dx y usando la fórmula de integración por partes, se tiene
e
x
dx 2 mem dm 2 mem em dm 2mem 2em C 2 xe
22
x
2e
x
C
15)
ln( x
1 x 2 )dx
Solución: Se elige u y
dv como sigue
dx du 2 u ln( x 1 x ) 1 x2 v dx x dv dx Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
ln( x
1 x 2 )dx ln x 1 x 2 x x
Para la segunda integral del lado derecho,
dx
(1)
1 x2 xdx
1 x2
, apliquemos la técnica del cambio de variable,
así haciendo
2udu 2 xdx xdx udu u 2 1 x2 2 u 1 x se tiene
xdx 1 x
2
udu du u C 1 x 2 C u
(2)
Reemplazando (2) en (1), resulta
ln( x
16)
ln x ln x
1dx x 1 x x 1 x C 1 x x 1 x C
1 x 2 )dx ln x 1 x 2 x x
2
2
2
2
2
arcsin xdx Solución: Se elige u y
dv como sigue
dx du u arcsin x 1 x2 dv dx v dx x Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
arcsin xdx (arcsin x) x x
dx
(1)
1 x2
Para la segunda integral del lado derecho,
xdx 1 x2
, apliquemos la técnica del cambio de variable,
así haciendo
2udu 2 xdx xdx udu u 2 1 x2 2 u 1 x se tiene
xdx 1 x2
udu du u C 1 x 2 C u
23
(2)
Reemplazando (2) en (1), resulta
arcsin xdx (arcsin x) x x
dx 1 x
2
(arcsin x) x 1 x 2 C
(arcsin x) x 1 x2 C 17)
x arctan xdx Solución: Se elige u y
dv como sigue
dx du u arctan x 1 x2 2 dv xdx v xdx x 2 Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
x arctan xdx (arctan x) (arctan x)
x2 1 x2 1 1 dx 2 2 1 x 2
(arctan x)
x2 1 x2 1 1 dx 2 2 2 1 x 1 x 2
(arctan x)
x2 1 1 1 dx 2 2 1 x2
(arctan x)
x2 1 1 dx dx 2 2 2 1 x
(arctan x )
x2 1 x arctan x C 2 2
(arctan x )
18)
x2 x 2 dx x 2 1 x 2 dx (arctan x ) 2 2 1 x2 2 2 1 x2
x 2 x arctan x C 2 2 2
xearctan x
(1 x2 )3 2 dx Solución: Se elige u y
dv como sigue
x dx du u (1 x 2 )3 2 1 x2 arctan x earctan x v e arctan x dv dx 1 x 2 dx e 1 x2 Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
xearctan x
(1 x2 )3 2 dx
x 1 x2
earctan x earctan x
Para la segunda integral del lado derecho,
dx (1 x 2 )3 2 earctan x
(1)
(1 x2 )3 2 dx , aplique nuevamente
integración por partes, así haciendo
24
la técnica de
1 xdx u du (1 x 2 )3 2 2 1 x arctan x arctan x e v e dx earctan x dv dx 2 2 1 x 1 x se tiene
earctan x
1
(1 x2 )3 2 dx
1 x 1
2
1 x2
xdx
earctan x earctan x
(1 x 2 )3 2
earctan x earctan x
xdx (1 x 2 )3 2
(2)
Reemplazando (2) en (1), resulta
xearctan x
(1 x2 )3 2 dx
x 1 x
2
dx
earctan x earctan x
(1 x 2 )3 2
1 xdx earctan x earctan x e arctan x 2 (1 x 2 )3 2 1 x2 1 x x 1 xdx earctan x earctan x e arctan x 2 2 (1 x 2 )3 2 1 x 1 x
x
por lo tanto
xearctan x
2
(1 x )
2 32
19)
dx
x 1 x
2
earctan x
1 1 x
earctan x
2
xearctan x 1 x 1 arctan x earctan x C (1 x2 )3 2 dx 2 1 x2 e 1 x2
x arctan x 1 x2
dx
Solución: Se elige u y
dv como sigue
dx u arctan x du 1 x 2 x dv dx x v 2 dx 1 x 2 1 x 2 1 x Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
x arctan x 1 x
2
dx (arctan x) 1 x 2 1 x 2
dx dx (arctan x) 1 x 2 2 1 x 1 x2
(arctan x) 1 x 2 ln x 1 x 2 C
20)
arcsin x
(1 x2 )3 2 dx Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
dx dt t arcsin x 1 x2 x sin t Y reemplazando en la integral dada, se tiene
arcsin x
arcsin x
dx
t
t
(1 x2 )3 2 dx (1 x2 ) (1 x2 )1 2 1 sin 2 t dt cos2 t dt t sec 25
2
t dt
Ahora intégrese por partes
t sec
2
t dt , para ello elija u y dv como sigue
u t du dt 2 v sec2 t dt tan t dv sec tdt Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
arcsin x
(1 x2 )3 2 dx t sec
2
t dt t tan t tan t dt t tan t ln sec x C
arcsin x
21)
arcsin x
(1 x)1 2
1 ln 2 1 x2 1 x x
C
dx
Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
t x x t 2 dx 2tdt y reemplazando en la integral dada, se tiene
arcsin t
t arcsin t
(1 t 2 )1/2 2tdt 2 (1 t 2 )1/2 dt Ahora intégrese esta última integral por partes, para ello elija u y
dv como sigue
dt u arcsin t du 1 t2 t dv dt t v dt 1 t 2 (1 t 2 )1/2 (1 t 2 )1/2 Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
arcsin t t arcsin t dt 2 2 2 tdt 2 dt 2 arcsin t 1 t 1 t (1 t 2 )1/2 (1 t 2 )1/2 1 t2 2 1 t 2 arcsin t 2 dt 2 1 t 2 arcsin t 2t C
2 1 x arcsin x 2 x C 22)
x 2 arctan x 1 x2
dx
Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
dx dt t arctan x 1 x2 x tan t Y reemplazando en la integral dada, se tiene
x 2 arctan x 1 x
2
dx tan 2 t tdt t tan 2 t dt
Ahora intégrese por partes
t tan
2
t dt , para ello elija u y dv como sigue
du dt u t 2 v tan 2 t dt tan t t dv tan tdt Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
x 2 arctan x 1 x
2
dx t tan 2 tdt t (tan t t ) (tan t t )dt
26
t (tan t t ) tan tdt tdt t tan t t 2 ln sec t (arctan x) x arctan 2 x ln x arctan x 23)
sec
3
arctan 2 x ln 2
x2 1
t2 C 2
arctan 2 x C 2
x2 1 C
xdx
Solución: Primero escriba la integral dada de la siguiente manera
sec
3
xdx sec2 x sec xdx (1 tan 2 x)sec xdx sec xdx tan 2 x sec xdx ln sec x tan x tan 2 x sec xdx
Ahora, intégrese por partes,
tan
2
(1)
x sec xdx , para ello elija u y dv como sigue
2 u tan x du sec xdx dv tan x sec xdx v tan x sec xdx sec x
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
tan
2
x sec xdx tan x sec x sec x sec2 xdx tan x sec x sec3 xdx
(2)
Reemplazando (2) en (1), se tiene
sec
3
xdx ln sec x tan x tan 2 x sec xdx ln sec x tan x tan x sec x sec3 xdx
por lo tanto
2 sec3 xdx ln sec x tan x tan x sec x
24)
sec
3
xdx
1 ln sec x tan x tan x sec x C 2
x 2 dx
x cos x sin x 2 dx Solución: Primero escriba la integral dada de la siguiente manera
x 2 dx
x cos x sin x 2 Ahora, elija u y
x 2 sin xdx sin x x cos x sin x
2
x x sin xdx sin x x cos x sin x 2
dv como sigue
sin x x cos x x dx du u sin x sin 2 x x sin xdx x sin xdx 1 dv v 2 2 x cos x sin x x cos x sin x x cos x sin x Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
x 2 dx
x
1
1
x cos x sin x 2 sin x x cos x sin x x cos x sin x
sin x x cos x sin 2 x
dx
x 1 x cos x sin x dx sin x x cos x sin x sin 2 x x cos x sin x
x 1 1 x 1 dx csc2 xdx sin x x cos x sin x sin 2 x sin x x cos x sin x x cot x C sin x x cos x sin x
27
25)
cos x x sin x 1 (sin x x) 2
dx
Solución: Por trigonometría se sabe que
sin 2 x cos2 x 1 Así, reemplazando en la integral se tiene
cos x x sin x 1 (sin x x)2
dx
cos x x sin x sin 2 x cos 2 x (sin x x)2
cos x cos 2 x x sin x sin 2 x
cos x(1 cos x) sin x( x sin x)
cos x(1 cos x)
(sin x x)2
dx
(sin x x)2 (sin x x)
2
dx
cos x(cos x 1)
cos x(cos x 1)
(sin x x)
Ahora, intégrese por partes
(sin x x)
2
2
dx
dx
sin x( x sin x) (sin x x) 2
dx
dx
sin x(sin x x)
dx
sin x dx (sin x x)
cos x(cos x 1) (sin x x) 2
(sin x x) 2
dx (1)
dx , para ello elija u y dv como sigue
u cos x du sin xdx 1 dv cos x 1 dx v cos x 1 dx 2 2 sin x x (sin x x) (sin x x) Así aplicando la fórmula de integración por partes se tiene
cos x(cos x 1) (sin x x)
2
dx cos x
1 1 ( sin xdx) sin x x sin x x
cos x sin x dx sin x x sin x x
(2)
Reemplazando (2) en (1), resulta
cos x x sin x 1 (sin x x)
2
dx
cos x(cos x 1) (sin x x)
2
dx
sin x dx (sin x x)
sin x sin x cos x dx dx sin x x (sin x x) sin x x
26)
cos x sin x sin x dx dx sin x x sin x x (sin x x)
cos x C sin x x
sin ln x dx Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
t ln x x et dx et dt y reemplazando en la integral dada, se tiene
sin ln x dx e sin tdt t
Ahora intégrese esta última integral por partes, para ello elija u y
28
(1)
dv como sigue
u sin t du cos t dt t v et dt et dv e dt Así aplicando la fórmula de integración por partes se tiene
e sin tdt sin(t )e e cos tdt t
t
t
Para la segunda integral del lado derecho, aplíquese nuevamente integración por partes, así haciendo
u cos t du sin tdt t v et dt et dv e dt Se tiene
e sin tdt sin(t )e e cos tdt sin(t )e cos(t )e e sin tdt sin(t )et cos(t )et et sin tdt t
t
t
t
t
t
así
e sin tdt 2 sin(t )e 1
t
t
cos(t )et C
(2)
Reemplazando (2) en (1), se tiene
sin ln x dx e sin tdt 2 sin(t )e t
1
t
cos(t )et C
1 sin(ln x)eln x cos(ln x )eln x C 2 1 sin(ln x) x cos(ln x ) x C 2 x sin(ln x ) cos(ln x ) C 2
METODO TABULAR En problemas que exigen sucesivas integraciones por partes, conviene organizar el trabajo, como indica el siguiente ejemplo. Este método funciona bien en integrales de los tipos
p( x)e
ax b
dx ,
p( x)sin(ax b)dx y p(x)cos( ax b)dx Ejemplos: Calcular las siguientes integrales 27)
(2x
2
3x 2)e x dx
Solución: Como de costumbre empiece haciendo u 2 x2 3x 2 y dv e xdx . A continuación elabore una tabla de tres columnas como sigue. Signos alternados
u y sus derivadas
dv y sus antiderivadas
2 x 2 3x 2
ex
4x 3
ex
4
ex
0
ex
Derivar hasta obtener una derivada nula La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así
29
(2x
2
3x 2)e x dx (2 x 2 3x 2)e x (4 x 3)e x 4e x C (2 x2 x 1)e x C
NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 13 de esta sección, compare ambos procedimientos. 28)
(x
2
3x 1)sin( x)dx
Solución: Como de costumbre empiece haciendo u x 2 3x 1 y tabla de tres columnas como sigue. Signos alternados
dv sin xdx . A continuación elabore una
u y sus derivadas
dv y sus antiderivadas
x 2 3x 1
sin x
2x 3
cos x
2
sin x
0
cos x
Derivar hasta obtener una derivada nula La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así
(x
2
3x 1)sin( x)dx ( x2 3x 1)( cos x) (2 x 3)( sin x) 2cos x C ( x2 3x 1)cos x (2x 3)sin x 2cos x C
NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 12 de esta sección, compare ambos procedimientos. 29)
(3x
3
2 x 1)cos(2 x)dx
Solución: Como de costumbre empiece haciendo u 3x3 2 x 1 y una tabla de tres columnas como sigue. Signos alternados
u
dv cos2 xdx . A continuación elabore
y sus derivadas
dv y sus antiderivadas
3 x3 2 x 1
cos2x
9x 2
18x
18
0
sin 2 x 2 cos 2 x 4 sin 2 x 8 cos 2 x 16
2
Derivar hasta obtener una derivada nula
La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así
30
(3x
3
sin 2 x cos 2 x 2 2 x 1)cos(2 x)dx (3x3 2 x 1) (9 x 2) 2 4
sin 2 x cos 2 x 18 x 18 C 8 16
3 x3 2 x 1 9 x2 2 9x 9 sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x C 2 4 4 8 30)
(2x
4
2 x)e3x2 dx
Solución: Como de costumbre empiece haciendo u 2 x 4 2 x y dv e3x 2 dx . A continuación elabore una tabla de tres columnas como sigue. Signos alternados
u
dv y sus
y sus derivadas
antiderivadas
2 x4 2 x
e3 x 2
8 x3 2
e3 x 2 3
24x 2
e3 x 2 9
48x
e3 x 2 27
48
e3 x 2 81
e3 x 2 243
0
La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así
(2 x
4
3x2
2 x )e
3x2 e3 x 2 e3x 2 3 2e dx (2 x 2 x) (8 x 2) 24 x 3 9 27 4
48 x
e3 x 2 e3 x 2 48 C 81 243
31
III.
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Ahora que sabemos cómo hallar integrales en las que aparecen potencias de las funciones trigonométricas, podemos utilizar sustituciones trigonométricas para resolver integrales cuyos integrandos contengan los radicales
a2 u 2 ,
a2 u 2
u 2 a2
y
El propósito de estas sustituciones (o cambio de variable trigonométrico) es eliminar los radicales. Eso se consigue con las identidades pitagóricas
cos2 θ 1 sin 2 θ , Por ejemplo, si
sec2 θ 1 tan 2 θ
y
tan 2 θ sec2 θ 1
a 0 , hacemos u a sin θ , donde π / 2 θ π / 2 . Entonces a2 u 2 a2 a2 sin 2 θ
a 2 (1 sin 2 θ ) a 2 cos2 θ a cos θ Ahora daremos un criterio para calcular estos tipos de integrales, para esto consideremos los siguientes casos: 1.
a 2 u 2 , hacer
Primer caso: En integrales que contienen
u a sin θ Así
a 2 u 2 a cos θ ,
donde
π / 2 θ π / 2
2.
Segundo caso: En integrales que contienen
a 2 u 2 , hacer
u a tan θ Así
a 2 u 2 a sec θ , donde π / 2 θ π / 2 3.
u 2 a 2 , hacer
Tercer caso: En integrales que contienen
u a sec θ Así
u 2 a 2 a tan θ , donde 0θ π/2 o π/2θ π
Tomar el valor positivo si u a y el
u a
Nota: las restricciones sobre
θ
negativo
si
garantizan que la función que determina la sustitución es inyectiva. De
hecho, son los mismos intervalos sobre los que
arcsin , arctan y arcsec están definidas
32
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Hallar
x
dx 9 x2
2
Solución: En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que
9 x2 32 x2 es de la forma
a 2 u 2 . Por tanto,
hacemos
la sustitución
u a sin θ x 3sin θ sin θ
x 3
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx 3cos θdθ y
9 x2 3cos θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
x
dx 2
9 x
2
3cos θdθ
cos θdθ
2
1
2
2
1 1 1 9 x2 2 csc θdθ cot θ C 9 9 9 x
2) Hallar
C
9 x2 C 9x
Nota: la cot θ
dθ
(3sin θ) (3cos θ) 9sin θ cos θ 9 sin θ
adycente 9 x2 se obtuvo del triángulo dado arriba. opuesto x
(9 x ) dx
2 3/2
Solución: Observemos primero que
dx (9 x 2 )3/2
dx 32 x 2
3
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que . Por tanto, hacemos la sustitución
u a sin θ x 3sin θ sin θ
32 x 2 es de la forma
a2 u 2
x 3
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx 3cos θdθ y
9 x2 3cos θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
dx (9 x 2 )3/2
dx 9 x2
3
3cos θdθ (3cos θ )3
3cos θdθ 1 dθ 3 27 cos θ 9 cos2 θ
x 1 1 1 x C sec2 θdθ tan θ C C 9 9 9 9 x 2 9 9 x2 adycente x Nota: la tan θ se obtuvo del triángulo dado arriba. opuesto 9 x2
33
3) Hallar
dx 4 x2 1
Solución: Observemos primero que
dx 4 x2 1
dx (2 x) 2 12
(2 x)2 12
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que
es de la forma
u 2 a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución
u a tan θ 2 x tan θ tan θ
2x 1
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
(2 x)2 12 sec θ
2dx sec2 θdθ y
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
dx 4 x2 1
dx (2 x)2 12
1 sec2 θ 2
sec θ
dθ
1 sec θdθ 2
1 1 ln sec θ tan θ C ln 4 x 2 1 2 x C 2 2 4) Hallar
x
dx x2 1
Solución: En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que
x2 1 x2 12 es de la forma
u 2 a 2 . Por tanto,
hacemos la sustitución
u a sec θ x sec θ sec θ
x 1
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx sec θ tan θdθ y tan θ x2 9 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
x 5) Hallar
dx x2 1
sec θ tan θdθ dθ θ C arcsec x C (sec θ )(tan θ )
x x 2 25
dx
Solución: Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que forma
u 2 a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución
34
x2 25 x2 52 es de la
u a sec θ x 5sec θ sec θ
x 5
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx 5sec θ tan θdθ
y 5 tan θ x 25 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
x x 2 25
dx
2
5sec θ 5sec θ tan θdθ 5 sec2 θdθ 5 tan θ C 5 tan θ
x2 25 C
6) Hallar
u 2 a2 du u
Solución: Hacemos la sustitución
u a sec θ sec θ
u a
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
du a sec θ tan θdθ
y a tan θ u a Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado 2
2
u 2 a2 a tan θ du a sec θ tan θdθ a tan 2 θdθ u a sec θ
a (sec θ 1)dθ a sec θdθ a dθ a tan θ aθ C 2
2
u u 2 a 2 a arcsec C a 7) Hallar
x
dx 2
16 9 x 2
Solución: Observemos primero que
x
dx 2
16 9 x
2
x
dx 2
4 (3x)2 2
42 (3x)2
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que
a 2 u 2 . Por tanto, hacemos la sustitución
u a tan θ 3x 4 tan θ tan θ
3x 4
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
3dx 4sec2 θdθ y
42 (3x)2 4sec θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
x
dx 2
16 9 x 2
x
dx 2
42 (3x)2
(
4 3
35
4 sec2 θ 3 2
tan θ ) (4sec θ )
dθ
es de la forma
16 9
4 sec 2 θ 3 2
tan θ (4sec θ )
dθ
1 sec θ 3 16 tan 2 θ 9
dθ
sec θ 3 dθ cot 2 θ sec θdθ 2 16 tan θ
16 3
3 cos2 θ 1 3 cos θ dθ dθ 2 16 sin θ cos θ 16 sin 2 θ 3 cos θ 1 3 dθ cot θ csc θdθ 16 sin θ sin θ 16
3 3 16 9 x 2 csc θ C C 16 16 3x
16 9 x 2 C 16 x
hipotenuza 16 9 x 2 Nota: la csc θ se obtuvo del triángulo dado arriba. opuesto 3x
8) Hallar
x2 dx (16 x 2 )1/2
Solución: Observemos primero que
x2 dx (16 x 2 )1/2
x2 42 x 2
dx
42 x 2 es de la forma
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que . Por tanto, hacemos la sustitución
u a tan θ x 4 tan θ tan θ
a2 u 2
x 4
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
42 x2 4sec θ
dx 4sec2 θdθ y
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
x2 dx (16 x 2 )1/2
x2
(4 tan θ )2 4sec2 θdθ 16 tan 2 θ sec θdθ 4sec θ
4 x dx 16 (sec θ 1)sec θdθ 16 (sec θ sec θ )dθ 16 sec θdθ 16 sec θdθ 2
2
2
3
3
1 16 tan θ sec θ ln tan θ sec θ 16ln tan θ sec θ C 2
8 tan θ sec θ 8ln tan θ sec θ 16ln tan θ sec θ C
8 tan θ sec θ 8ln tan θ sec θ C x 16 x 2 x 16 x 2 8 8ln C 4 4 4 4
36
9) Hallar
x
x 16 x 2 x 16 x 2 8ln C 2 4
dx x2 9
3
Solución: En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que
x2 9 x2 32 es de la forma u 2 a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución x u a sec θ x 3sec θ sec θ 3 Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx 3sec θ tan θdθ y 3tan θ x2 9 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
x
dx 3
x2 9
3sec θ tan θdθ sec θ 1 dθ dθ 3 3 27 sec2 θ (3sec θ ) (3tan θ ) 27sec θ
1 1 1 cos 2θ 1 cos2 θdθ dθ (1 cos 2θ )dθ 27 27 2 54 1 1 1 sin 2θ dθ cos 2θdθ θ C 54 54 54 2 x arcsec 1 1 3 1 2sin θ cos θ C θ sin 2θ C 54 108 54 108 x arcsec 2 3 1 x 9 3 C 54 54 x x x arcsec 2 3 x 9 C 54 18 x 2
10) Hallar
u 2 a2 du u
Solución: Hacemos la sustitución
u a tan θ tan θ
u a
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
du a sec2 θdθ y a sec θ u 2 a 2 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
u 2 a2 a sec θ sec θ du a sec2 θdθ a (tan 2 θ 1)dθ u a tan θ tan θ
37
1 sec θ a sec θ tan θdθ a dθ a sec θ a cos θ dθ sin θ tan θ cos θ cos θ 1 a sec θ a dθ a sec θ a dθ cos θ sin θ sin θ
a sec θ a csc θdθ a sec θ a ln csc θ cot θ C u 2 a 2 a ln
u2 a2 a C u u
u a a ln
u 2 a2 a C u
2
11) Hallar
2
x2 1 du x
Solución: Observemos primero que
x2 1 du x
x 2 12 du x
Fíjese ahora que este ejercicio es un caso particular del ejercicio anterior, en donde
u x y a 1 Entonces para calcular la integral dada, haremos uso de la fórmula que se ha conseguido en el ejercicio anterior, así
x2 1 du x 2 12 ln x
x 2 1 ln
12) Hallar
x2 4 x2
x 2 12 1 C x
x2 1 1 C x
dx
Solución:
4 x2 22 x2 es de la forma
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que
a 2 u 2 . Por tanto, hacemos la sustitución
u a sin θ x 2sin θ sin θ
x 2
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx 2cos θdθ
y 2cos θ 4 x Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
x2 4 x2
dx
2
(2sin θ )2 1 cos 2θ 2cos θdθ 4sin 2θdθ 4 dθ 2cos θ 2
2 (1 cos 2θ )dθ 2 dθ 2 cos 2θdθ 2θ 2 2θ sin 2 2θ C 2θ 2sin θ cos θ C 38
sin 2θ C 2
x 4 x2 x 2arcsin 2 C 2 2 2 2 x x 4 x 2arcsin C 2 2
13) Hallar
x x2 2 x 5
dx
Solución: Primero completemos cuadrados en la expresión del radicando, así
x2 2 x 5 ( x 1)2 12 5 ( x 1)2 4 ( x 1)2 22 Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que de la forma
x2 2 x 5 ( x 1)2 22
u 2 a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución
u a tan θ x 1 2 tan θ tan θ
x 1 2
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx 2sec2 θdθ y 2sec θ ( x 1)2 22 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
x x2 2 x 5
dx
x ( x 1)2 22
dx
2 tan θ 1 2sec2θdθ 2sec θ
(2 tan θ 1)sec θdθ 2 tan θ sec θdθ sec θdθ
2sec θ ln sec θ tan θ C ( x 1)2 22 x 1 C 2 2
( x 1)2 22 ln
x 2 2 x 5 ln
14) Hallar
x2 2 x 5 x 1 C 2
u 2 a2 du u2
Solución: Hacemos la sustitución
u a tan θ tan θ
u a
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
du a sec2 θdθ y a sec θ u 2 a 2 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
u 2 a2 du u2
a sec θ a sec2 θdθ 2 (a tan θ ) 39
a sec θ a sec2 θdθ 2 2 a tan θ
es
a sec θ a sec2 θdθ 2 2 a tan θ
sec θ (tan 2 θ 1)dθ 2 tan θ
sec θ sec θdθ dθ ln sec θ tan θ tan 2 θ
1 cos θ dθ sin 2 θ cos 2 θ
cos2 θ dθ cos θ sin 2 θ cos θ ln sec θ tan θ dθ sin 2 θ cos θ 1 ln sec θ tan θ dθ sin θ sin θ
ln sec θ tan θ cot θ csc θdθ ln sec θ tan θ
ln sec θ tan θ csc θ C
15) Halle
ln
u 2 a2 u u2 a2 C a a u
ln
u 2 a2 u u2 a2 C a u
x2 x ( x 2 1) 2 dx
Solución
Sea x tan dx sec d Reemplazando en la integral se tiene: 2
x2 x tan 2 tan tan 2 tan 2 2 dx sec d ( x 2 1) 2 (tan 2 1) 2 (sec 2 ) 2 sec d
tan 2 tan d d sin 2 d sin cos d 2 2 sec sec
sin(2 ) cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 d sin(2 ) d c 2 2 4 2 4
2
sin cos cos 2 sin 2 c 2 2
Regresando a la variable inicial se tiene
1 x 2 x x arctan x x 1 x 1 x2 c dx ( x 2 1) 2 2 2 2(1 x 2 ) 2
x2 x arctan x x 1 x2 dx c ( x 2 1) 2 2 2(1 x 2 ) 2(1 x 2 ) 40
x
1
x2 x arctan x 1 x x 2 dx c ( x 2 1) 2 2 2(1 x 2 )
41
IV.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Consideremos dos funciones polinómicas:
P( x) bm xm bm1xm1 ... b1x b0 y Q( x) an xn an1xn1 ... a1x a0 Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es decir:
R( x)
P( x) Q( x)
Esta técnica de integración se aplica en el cálculo de integrales de funciones racionales, es decir se aplica para el cálculo de integrales de la forma,
P( x) dx Q( x)
Para el cálculo de estos tipos de integrales existen dos casos y estos dependen de los grados de los polinomios P(x) y Q(x) .
Grado( P( x)) Grado(Q( x)) P( x) dx , la función polinómica Q( x) se descompone en factores todas Cuando en la integral Q( x)
CASO 1: a)
lineales y distintas, es decir:
Q( x) ( x b1)( x b2 ) A la función racional
( x bn )
P ( x) se expresa como una suma de fracciones simples: Q( x)
A A A P( x) P( x) 1 2 .... n Q( x) ( x b1 )( x b2 )...( x bn ) x b1 x b2 x bn Integrando en ambos lados se tiene
A1
Q( x) dx x b x b P( x)
A2
1
....
2
An dx x bn
Q( x) dx x b dx x b dx x b dx A1
P( x)
1
Donde:
b)
An
A2
2
n
A1, A2 ,..., An son constantes que se van a determinar.
Cuando en la integral
P( x)
Q( x)dx , la función polinómica Q( x) se descompone en factores
x b es el factor lineal que se repite p veces, es decir: Q( x) ( x b)( x b)...( x b) ( x bp1 )...( x bn ) ( x b) p ( x bp1)...( x bn )
lineales algunas repetidas, suponiendo que
p veces
42
A la función racional
P ( x) se expresa como una suma de funciones simples. Q( x)
P( x) P( x) p Q( x) ( x b) ( x bp 1 )...( x bn )
A1 A2 ( x b)1 ( x b)2
Ap ( x b) p
Ap1
x bp 1
....
An x bn
Integrando en ambos lados se tiene
A1 A2 1 2 ( x b ) ( x b )
Ap
P( x) dx Q( x )
A1 A2 P( x) dx dx dx Q( x ) ( x b)1 ( x b) 2
Donde:
( x b) p
Ap 1
....
x bp 1
Ap
( x b)
dx p
An dx x bn
Ap 1
xb
dx
p 1
An dx x bn
A1, A2 ,..., An son constantes que se van a determinar.
c) Cuando en la integral
P( x)
Q( x)dx , la función polinómica Q( x) se descompone en factores lineales
y cuadráticos irreducibles y ninguno se repite, es decir:
Q( x) a1x2 b1x c1 a2 x 2 b2 x c2 A la función racional
p
2
bp x c p ( x bp1 )...( x bn )
P ( x) se expresa como una suma de funciones simples Q( x) P( x)
P( x) Q( x) a1x 2 b1x c1 a2 x 2 b2 x c2
a x
a x
A1x B1 A2 x B2 2 a1x b1x c1 a2 x 2 b2 x c2
2
p
b p x c p ( x b p 1 )...( x bn )
Ap x B p a p x bp x c p 2
Ap1 x bp 1
....
An x bn
Integrando en ambos lados se tiene
P( x) dx Q( x )
P( x) dx Q( x )
Ap 1
xb
p 1
AxB A2 x B2 1 21 a1x b1x c1 a2 x 2 b2 x c2
A1x B1 A2 x B2 dx dx 2 a1x b1x c1 a2 x 2 b2 x c2
dx
Ap x B p a p x 2 bp x c p
a x
2
p
An
n
, Bp son constantes que se van a determinar.
43
Ap 1 x bp 1
Ap x B p
x b dx
Donde: A1, A2 ,..., An , B1, B2 ,
bp x c p
dx
....
An dx x bn
P( x)
Q( x)dx , la función polinómica Q( x) se descompone en factores
d) Cuando en la integral
lineales y cuadráticos irreducibles repetidos, es decir:
Q( x) ax 2 bx c ax 2 bx c
ax
2
bx c ( x bp 1 )...( x bn )
p veces
ax 2 bx c
A la función racional
p
( x bp1 )...( x bn )
P ( x) se expresa como una suma de funciones simples Q( x)
P( x) P( x) p Q( x) ax 2 bx c ( x bp 1 )...( x bn )
A1x B1 A2 x B2 2 1 (ax bx c) (ax 2 bx c)2
Ap x B p
(ax bx c ) 2
p
Ap1 x bp1
....
An x bn
Integrando en ambos lados se tiene
A1 x B1 Ap x Bp Ap 1 P( x) An 2 dx dx Q( x) ax bx c (ax 2 bx c) p a p 1 x bp 1 an x bn
A1x B1 A2 x B2 P( x) dx dx dx 2 Q( x ) ax bx c (ax 2 bx c)2
Ap 1
xb
dx
p 1
Donde: A1, A2 ,..., An , B1, B2 ,
Ap x B p
(ax
2
bx c ) p
dx
An dx x bn
, Bp son constantes que se van a determinar.
Nota: Hay 2 formas para calcular las constantes de la descomposición de la función racional, Una es la que ya se ha visto en el ejercicios anterior, llamada método A, B, C, . de los coeficientes, la cual consiste en agrupar los términos que tengan el mismo grado, comparar con la expresión del lado izquierdo y establecer un sistema de ecuaciones, dando como solución de este sistema los valores de
A, B y C .
La otra forma es más práctica y consiste en dar valores a la variable x tal que anule a cada factor que se obtuvo después del proceso de factorización (es decir es conveniente tomar x b1 , donde b1 son raíces de Q( x) ), este valor, se remplaza en la expresión que se tenga, tanto en la parte izquierda como derecha, y esto dará de forma directa los valores de A, B, C, , o también asignar valores pequeños como 0, 1, 2,...,etc .
44
Ejemplo: En el caso:
4 x2 9 x 1 A B C 3 2 x 2x x 2 x 1 x 1 x 2
A( x 1)( x 2) B( x 1)( x 2) C ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)( x 2)
Los valores de x se sustituyen en la ecuación:
4 x2 9 x 1 A( x 1)( x 2) B( x 1)( x 2) C ( x 1)( x 1) Así, Si
x 1 6 2A A 3
Si
x 1 12 6B B 2
Si
x 2 3 3C C 1
Loa cuales son los mismos valores hallados en el ejercicio anterior con el método de los coeficientes. CASO 2:
Grado( P( x)) Grado(Q( x))
En este caso lo primero que se debe de hacer es realizar la división P( x) Q( x) y esta división transformará la expresión dada en otra equivalente en donde será posible aplicar el caso 1. Es decir,
P( x) Q( x)
R( x) C ( x)
P( x) R( x) C ( x) Q( x ) Q( x )
R( x)
Q( x) dx C( x) Q( x) dx P( x) R( x) dx C ( x)dx Q( x ) Q( x)dx P( x)
Nota: La primera integral del lado derecho se calcula de forma directa ya que esta es un polinomio, pero en la segunda integral es donde se debe de aplicar el caso 1 si es que esta no se puede integrar de forma directa o usando un cambio de variable. Ejemplo: Halle I
x2 1 x2 3x 2dx
Solución: Primero dividamos
x2 0 x 1 x 2 3x 2
x 2 3x 2
1
3x 1
x2 1 3x 2 1 2 2 x 3x 2 x 3x 2
Así
I
x2 1 3x 2 3x 2 dx 1 2 dx dx dx 2 2 x 3x 2 x 3x 2 x 3x 2 45
3x 2 dx x 2 3x 2 3x 2 Resolvamos la integral dx , usando fracciones parciales. x 2 3x 2 x
Separando en fracciones parciales el integrando, se tiene que
3x 2 3x 2 A B A( x 1) B( x 2) ( x 2)( x 1) x 3x 2 ( x 2)( x 1) x 2 x 1 2
Así, ara que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
3x 2 A( x 1) B( x 2) 3x 2 Ax A Bx 2B 3x 2 ( A B) x ( A 2B)
De aquí, se tiene
A B 3 A 2 B 2 Resolviendo, se tiene
A4
Por lo que
y
B 1
3x 2 4 1 x 2 3x 2 x 2 x 1
Integrando en ambos lados, tenemos
x
2
3x 2 1 4 dx dx 3x 2 x 2 x 1
4
1
x 2 dx x 1 dx 4
x 2 dx x 1 dx 4ln x 2 ln x 1 1
1
Reemplazando en (1), se tiene
I
x2 1 3x 2 dx x 2 dx x 4ln x 2 ln x 1 C 2 x 3x 2 x 3x 2
EJERCICIOS RESUELTOS Aplique el método de fracciones parciales, para hallar las siguientes integrales:
1)
I
dx x 25 2
Solución: Factoricemos la función polinómica del denominador
x2 25 ( x 5)( x 5) Así, separando en fracciones parciales, se tiene que
1 1 A B A( x 5) B( x 5) ( x 5)( x 5) x 2 25 ( x 5)( x 5) x 5 x 5
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
1 A( x 5) B( x 5) 1 Ax 5 A Bx 5B 0 x 1 ( A B) x (5 A 5B)
De aquí, se tiene
A B 0 5 A 5B 1 Resolviendo, se tiene
A 1/10
y
B 1/10
46
(1)
Por lo que
1 1/10 1/10 x5 x 25 x 5 2
Integrando en ambos lados, tenemos
1 1/10 1/10 1 1/10 1/10 dx dx dx dx x 5 x5 10 x 25 x 5 x 5
2
2)
I
dx 1 x 5 10
dx x5
1 1 ln x 5 ln x 5 C 10 10
dx 64 x 2
Solución: Factoricemos la función polinómica del denominador
64 x2 (8 x)(8 x) Así, separando en fracciones parciales, se tiene que
1 1 A B A(8 x) B(8 x) 2 (8 x)(8 x) 8 x 8 x (8 x)(8 x) 64 x
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
1 A(8 x) B(8 x) 1 8 A Ax 8B Bx 0 x 1 ( A B) x (8 A 8B)
De aquí, se tiene
A B 0 8 A 8B 1 Resolviendo, se tiene
A 1/16 y B 1/16
Por lo que
1 1/16 1/16 2 8 x 8 x 64 x Integrando en ambos lados, tenemos
1 1/16 1/16 1 dx 1 dx 1/16 1/16 dx dx dx dx 2 8 x 8 x 16 8 x 16 8 x 64 x 8 x 8 x
3)
I
1 1 ln 8 x ln 8 x C 16 16
x 1 dx x 3x 2 2
Solución: Factoricemos la función polinómica del denominador
x2 3x 2 ( x 1)( x 2) Así, separando en fracciones parciales, se tiene que
x 1 x 1 A B A( x 2) B( x 1) ( x 1)( x 2) x 3x 2 ( x 1)( x 2) x 1 x 2 2
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
x 1 A( x 2) B( x 1) x 1 Ax 2 A Bx B x 1 ( A B) x ( 2 A B)
De aquí, se tiene
47
A B 1 2 A B 1 Resolviendo, se tiene
A 2
Por lo que
y
B3
1 2 3 x 3x 2 x 1 x 2 2
Integrando en ambos lados, tenemos
1 3 2 dx dx x 3x 2 x 1 x 2
2
2 dx x 1
3 dx dx dx 2 3 x2 x 1 x2
2ln x 1 3ln x 2 C
4)
I
2x 4 dx ( x 1)2
Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que
2x 4 A B A( x 1) B 2 2 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1)2
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
2 x 4 A( x 1) B 2 x 4 Ax A B
De aquí, se tiene
A 2 A B 4 Resolviendo, se tiene
A2
Por lo que
y
B2
2x 4 2 2 2 x 1 ( x 1)2 ( x 1)
Integrando en ambos lados, tenemos
2 2x 4 2 dx dx 2 ( x 1)2 x 1 ( x 1)
x 1 dx ( x 1) 2
2ln x 1 3 ( x 1) 2 dx C 2ln x 1 3
2ln x 1
5)
3
2
dx 2
x 1 3 ( x 1) dx
dx
( x 1) 1 C 1
3 C ( x 1)
4 x2 9 x 1 dx Halle 3 x 2 x2 x 2 Solución Factoricemos la función polinómica del denominador
Q( x) x3 2 x2 x 2 ( x 1)( x 1)( x 2) Así, separando en fracciones parciales, se tiene que
4 x2 9 x 1 4x2 9x 1 A B C 3 2 x 2 x x 2 ( x 1)( x 1)( x 2) x 1 x 1 x 2
48
(1)
2
A( x 1)( x 2) B( x 1)( x 2) C ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)( x 2)
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
4 x2 9 x 1 A( x 1)( x 2) B( x 1)( x 2) C ( x 1)( x 1) Ordenando y agrupando
4 x2 9 x 1 ( A B C ) x2 ( A 3B) x 2 A 2B C De aquí, se tiene
A B C 4 A 3B 9 2 A 2 B C 1 Resolviendo, se tiene
A 3, B 2 y Reemplazando en (1), se tiene
C 1
4 x2 9 x 1 3 2 1 3 2 x 2x x 2 x 1 x 1 x 2 Integrando en ambos lados, tenemos
4 x2 9 x 1 2 1 3 dx dx 3 2 x 2x x 2 x 1 x 1 x 2
x 1 dx x 1 dx x 21 dx 3
2
1
3ln x 1 2ln x 1 ln x 2 c ln
6)
I
( x 1)3 ( x 1)2 c x2
4x dx ( x 1)( x 2 2 x 3) 2
Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que
4x Ax B Cx D ( Ax B)( x 2 2 x 3) (Cx D)( x 2 1) ( x 2 1)( x 2 2 x 3) x 2 1 x 2 2 x 3 ( x 2 1)( x 2 2 x 3) Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
4 x Ax3 2 Ax2 2 Ax Bx2 2Bx 3B Cx3 Cx Dx 2 D 0 x3 0 x2 4 x 0 ( A C ) x3 (2 A B D) x2 (2 A 2B C ) x (3B D) De aquí, se tiene
A C 0 2 A B D 0 2 A 2 B C 4 3B D 0 Resolviendo, se tiene
A 1, B 1 , C 1 y D 3
Por lo que
4x x 1 x 3 2 2 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2 x 3 2
Integrando en ambos lados, tenemos
4x x 3 x 1 dx 2 2 dx 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2x 3 2
49
x 1 dx x2 1
x 3 dx x 2x 3 2
x 1 x3 dx dx x2 1 x2 2 x 3 x 1 x 1 2 dx dx dx x2 1 x2 1 x2 2 x 3 1 x 1 2 ln x 2 1 arctan x 2 dx dx 2 2 x 2x 3 x 2x 3 1 1 2 ln x 2 1 arctan x ln x 2 2 x 3 dx 2 ( x 1)2 1 3 2 1 1 2 ln x 2 1 arctan x ln x 2 2 x 3 dx 2 2 2 2 ( x 1) 2
1 1 1 x 1 ln x 2 1 arctan x ln x 2 2 x 3 arctan C 2 2 2 2 1 1 1 x 1 ln x 2 1 arctan x ln x 2 2 x 3 arctan C 2 2 2 2 7)
I
x2 x 1 dx x 1
Solución: Primero dividamos
x2 x 1 x x 2
x 1 x
1
x2 x 1 1 x x 1 x 1
Así
I
8)
x2 x 1 1 1 x2 dx x dx xdx dx ln x 1 C x 1 x 1 x 1 2
( x 2 x 1) I dx (2 x 1)( x 2 1) Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que
( x 2 x 1) A Bx C A( x 2 1) ( Bx C )(2 x 1) (2 x 1)( x 2 1) 2 x 1 x 2 1 (2 x 1)( x 2 1) Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
x2 x 1 A( x2 1) ( Bx C )(2 x 1)
x2 x 1 Ax2 A 2Bx2 Bx 2Cx C x2 x 1 ( A 2B) x2 ( B 2C ) x ( A C ) De aquí, se tiene
A 2B 1 B 2C 1 A C 1 Resolviendo, se tiene
3 1 2 A , B y C 5 5 5 50
Por lo que
( x 2 x 1) 3 / 5 1/ 5 x 2 / 5 2 (2 x 1)( x 1) 2 x 1 x2 1 Integrando en ambos lados, tenemos
( x 2 x 1) 3 / 5 1/ 5 x 2 / 5 dx dx 2 (2 x 1)( x 1) x2 1 2x 1
3 1 1 dx 5 2x 1 5
3/ 5 1/ 5 x 2 / 5 dx dx 2x 1 x2 1
x2 3 1 x 2 dx ln 2 x 1 2 2 dx 2 5 5 x 1 x 1 x 1 3 1 x 1 2 ln 2 x 1 dx dx 5 5 x2 1 5 x2 1 3 1 1 2 1 ln 2 x 1 ln x 2 1 dx 5 5 2 5 x2 1
3 1 2 ln 2 x 1 ln x2 1 arctan x C 5 10 5
9)
I
9 x 2 25 x 10 dx x3 4 x 2 5 x
Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que
9 x 2 25 x 10 9 x 2 25 x 10 A B C 3 2 x( x 5)( x 1) x x 5 x 1 x 4 x 5x A( x 5)( x 1) Bx( x 1) Cx( x 5) x( x 5)( x 1)
(1)
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales
9 x2 25x 10 A( x 5)( x 1) Bx( x 1) Cx( x 5) Así, Si x 5 9(0)2 25(0) 10 A(0 5)(0 1) B(0)(0 1) C(0)(0 5)
10 5 A A 2 Si
x 1 9( 1)2 25( 1) 10 A( 1 5)( 1 1) B( 1)( 1 1) C( 1)( 1 5)
24 6C C 4 Si x 5 9(5) 25(5) 10 A(5 5)(5 1) B(5)(5 1) C(5)(5 5) 2
90 30B B 3 Reemplazando en (1) se tiene
9 x 2 25 x 10 2 3 4 3 2 x x 5 x 1 x 4 x 5x Integrando en ambos lados, tenemos
9 x 2 25 x 10 3 4 2 2 dx dx dx 3 2 x x 4 x 5x x x 5 x 1 dx dx dx 2 3 4 x x 5 x 1 2ln x 3ln x 5 4ln x 1 C
2 x 2 25 x 33 10) I dx ( x 1)2 ( x 5) 51
3 dx x 5
4 dx x 1
Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que
2 x 2 25 x 33 A B C 2 2 x 5 ( x 1) ( x 5) x 1 ( x 1)
(1)
A( x 1)( x 5) B( x 5) C ( x 1)2 ( x 1)2 ( x 5)
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
2 x2 25x 33 A( x 1)( x 5) B( x 5) C( x 1)2 Calculemos los valores de A, B y C Si x 1 2( 1)2 25( 1) 33 A( 1 1)( 1 5) B( 1 5) C ( 1 1) 2
6 6B B 1 Si x 5 2(5) 25(5) 33 A(5 1)(5 5) B(5 5) C(5 1) 2 2
108 36C C 3 Si x 0 2(0) 25(0) 33 A(0 1)(0 5) B(0 5) C(0 1) 2 2
33 5 A 5 3 A 6 Reemplazando en (1) se tiene
2 x 2 25 x 33 6 1 3 2 2 x 5 ( x 1) ( x 5) x 1 ( x 1) Integrando en ambos lados, tenemos
6 2 x 2 25 x 33 1 3 6 1 dx dx dx dx 2 2 x 5 x 1 ( x 1) ( x 5) ( x 1) 2 x 1 ( x 1) dx dx 6 ( x 1) 2 dx 3 x 1 x 5 1 ( x 1) 6ln x 1 3ln x 5 C 1 1 6ln x 1 3ln x 5 C x 1
11)
(5 x 7)dx
( x 3)( x2 x 2) Solución Separando en fracciones parciales, se tiene que
(5 x 7) (5 x 7) A B C ( x 3)( x 2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 1) x 3 x 2 x 1 A( x 2)( x 1) B( x 3)( x 1) C ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2)( x 1)
(1)
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
5x 7 A( x 2)( x 1) B( x 3)( x 1) C( x 3)( x 2) Calculemos los valores de A, B y C Si
x 1 5( 1) 7 A( 1 2)( 1 1) B( 1 3)( 1 1) C( 1 3)( 1 2) 12 12C C 1 Si x 2 5(2) 7 A(2 2)(2 1) B(2 3)(2 1) C(2 3)(2 2) 3 3B B 1 Si x 3 5(3) 7 A(3 2)(3 1) B(3 3)(3 1) C(3 3)(3 2) 8 4A A 2 Reemplazando en (1) se tiene
(5 x 7) 2 1 1 ( x 3)( x 2 x 2) x 3 x 2 x 1 52
3 dx x 5
Integrando en ambos lados, tenemos
(5 x 7) 1 1 2 2 dx dx dx 2 x 3 x 2) x 3 x 2 x 1 1 1 1 2 dx dx dx x 3 x2 x 1 2ln x 3 ln x 2 ln x 1 C
( x 3)( x
1
1
x 2 dx x 1 dx
( x 3)2 ln C ( x 2)( x 1)
12)
dx
6 x3 7 x 2 3 x Solución Como 6 x3 7 x2 3x x(2 x 3)(3x 1) , entonces la integral dada puede expresarse como
dx
A
dx
C
B
6 x3 7 x2 3x x(2 x 3)(3x 1) x 2x 3 3x 1 dx
(1)
Ahora calculamos las constantes A, B y C
1 A B C A(2 x 3)(3x 1) Bx(3x 1) Cx(2 x 3) 2 x(2 x 3)(3x 1) 6 x 7 x 3x x 2 x 3 3x 1 3
Igualando los numeradores se tiene
1 A(6 x2 7 x 3) B(3x2 x) C (2 x 2 3x) Ordenando y agrupando
0 x2 0 x 1 (6 A 3B 2C ) x 2 (7 A B 3C ) x 3 A
6 A 3B 2C 0 Por identidad de polinomios se tiene: 7 A B 3C 0 3 A 1
1 A 3 4 B 33 9 C 11
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1) se tiene
dx
1 dx 4 dx 9 dx 1/ 3 4 / 33 9 /11 dx x 2 x 3 3x 1 3 x 33 2 x 3 11 3x 1
6 x3 7 x2 3x
1 2 3 ln x ln 3x 3 ln 3x 1 C 3 33 11
13)
xdx
x 4 3x 2 2 Solución Como: x4 3x2 2 ( x2 2)( x2 1) ( x integral dada puede expresarse como
xdx
2)( x 2)( x 1)( x 1) , entonces la
xdx 2)( x 2)( x 1)( x 1) A B C D ( )dx ( x 2) ( x 2) ( x 1) ( x 1)
x 4 3x 2 2 ( x
53
(1)
Ahora calculamos las constantes A, B, C y D
x A B C D x 4 3x 2 2 ( x 2) ( x 2) ( x 1) ( x 1)
A( x 2)( x 2 1) B( x 2)( x 2 1) C ( x 2 2)( x 1) D( x 2 2)( x 1) ( x 2)( x 2)( x 1)( x 1)
Igualando los numeradores se tiene:
x A( x3 2 x2 x 2) B( x3 2 x2 x 2) C( x3 x 2 2 x 2) D( x3 x 2 2 x 2) x ( A B C D) x3 ( 2 A 2B C D) x 2 ( A B 2C 2D) x 2 A 2B 2C 2D Por identidad de polinomios se tiene:
A B C D 0 2 A 2B C D 0 A B 2C 2 D 1 2 A 2 B 2C 2 D 0
1 A B 2 C D 1 2
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1), se tiene
xdx
1/ 2
x 4 3x 2 2 ( x
2)
dx
1/ 2
x 2
dx
1/ 2 1/ 2 dx dx ( x 1) ( x 1)
1 dx dx dx dx 2 ( x 2) x 2 ( x 1) ( x 1)
1 ln x 2 ln x 2 ln x 1 ln x 1 C 2 1 x2 2 ln 2 C 2 x 1
14)
(2 x 2 1)dx ( x 1)2 ( x 3) Solución A la integral dada expresemos en la forma:
A (2 x 2 1)dx B C ( x 1)2 ( x 3) x 1 ( x 1)2 x 3 dx
(1)
Ahora calculando las constantes A, B y C
(2 x 2 1) A B C A( x 1)( x 3) B( x 3) C ( x 1) 2 ( x 1)2 ( x 3) x 1 ( x 1)2 x 3 ( x 1)2 ( x 3)
54
Igualando los numeradores se tiene:
2 x2 1 A( x2 2 x 3) B( x 3) C ( x 2 2 x 1) Ordenando:
2 x2 1 ( A C ) x2 (2 A B 2C ) x 3 A 3B C
Ahora por identidad de polinomios se tiene:
A C 2 2 A B 2C 0 3 A 3B C 1
13 A 16 3 B 4 19 C 16
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1), se tiene
2x 1 dx 2
13 /16 3 / 4 19 /16 13 dx 3 dx 19 dx ( x 1)2 ( x 3) x 1 ( x 1)2 x 3 dx 16 x 1 4 ( x 1)2 16 x 3
13 3 19 ln x 1 ln x 3 C 16 4( x 1) 16
15) Use integración por fracciones parciales para calcular
x2 dx 3 1
x
Solución Factorizando el denominador y separando en fracciones parciales se tiene:
x2 x2 A Bx C dx dx dx 2 dx 3 2 x 1 1 ( x 1)( x x 1) x x 1
x
Calculemos las constantes A, B y C.
x2 A Bx C 2 3 x 1 x 1 x x 1 x 2 A( x 2 x 1) ( Bx C )( x 1) x3 1 ( x 1)( x 2 x 1)
x 2 A( x 2 x 1) ( Bx C )( x 1) Asignando valores a la variable x se tiene:
x 1 1 3 A A
1 3
1 1 5 x 0 2 A C 2 C 2 C 3 3 3 1 5 x 1 3 A ( B C )(2) 3 ( B )(2) 3 3 1 10 1 10 1 3 2 B 2 B 3 B 3 3 3 3 3
55
(1)
Luego en (1)
1 1 5 x x2 3 3 3 x 3 1 dx x 1 dx x 2 x 1 dx
x2 1 1 1 x5 dx dx 2 dx 3 3 x 1 3 x x 1 1
x
x2 1 1 2 x 10 dx ln x 1 2 dx 3 3 6 x x 1 1
x
x2 1 1 2x 1 9 dx ln x 1 2 dx 3 3 6 x x 1 1
x
x2 1 1 2x 1 1 9 dx ln x 1 2 dx 2 dx 3 3 6 x x 1 6 x x 1 1
x
x2 1 1 3 1 dx ln x 1 ln x 2 x 1 dx 3 2 3 6 2 1 1 3 x 2 4
x
x2 1 1 3 1 dx ln x 1 ln x 2 x 1 dx 3 2 2 3 6 2 1 1 3 x 2 2
x
1 x x2 1 1 3 1 2 2 x 3 1 dx 3 ln x 1 6 ln x x 1 2 3 Arctan 3 c 2 2 2x 1 x2 1 1 3 dx ln x 1 ln x 2 x 1 Arctan c 3 3 6 1 3 3
x
2x 1 x2 1 1 dx ln x 1 ln x 2 x 1 3Arctan c 3 3 6 1 3
x
56
APLICACIONES DE LOS PROBEMAS CON VALOR INICIAL 1) Se ha determinado que la población P(t ) de una cierta colonia de bacterias,
t horas después de
iniciar la observación, tiene un razón de cambio
dP 200e0.1t 150e0.03t dt Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la población 12 horas después? Solución: La población P(t ) se encuentra antiderivando
P(t )
dP como se muestra a continuación: dt
dP dt (200e0.1t 150e0.03t )dt dt
200e0.1t 150e0.03t c 0.1 0.03
2000e0.1t 5000e0.03t c Como la población es de
200000 cuando t 0 , se tiene que
P(0) 200000 2000e0 5000e0 c
200000 3000 c
c 203000 Así,
P(t ) 2000e0.1t 5000e0.03t 203000 Entonces, después de 12 horas, la población es
P(12) 2000e0.1(12) 5000e0.03(12) 203000 206152 2) Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se consumirán e un periodo de 5 meses a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes. Si los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, ¿cuánto pagará el minorista en costos de almacenamiento durante los próximos 5 meses? Solución: Sea S (t ) el costo total de almacenamiento (en dólares) durante t meses. Como el arroz se consume a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes, el número de kilogramos de arroz almacenado después de t meses es de 10000 2000t . Por tanto, como los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, la tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo es
dS costo mensual número de 0.01(10000 2000t ) dt por kilogramo kilogramos Se deduce que S (t ) es una antiderivada de
0.01(10000 2000t ) 100 20t Es decir,
dS dt (100 20t )dt 100t 10t 2 c dt Para alguna constante c . Para determinar c , se usa el hecho de que cuando llega el cargamento S (t )
(cuando
t 0 ) no hay costo, por lo que 0 100(0) 10(0)2 c c 0
57
De aquí,
S (t ) 100t 10t 2 Y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será
S (5) 100(5) 10(5)2 $250 3) Un automóvil viaja en línea recta a 45 millas por hora (66 pies por segundo) en el instante en el que el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar un accidente. Si los frenos proporcionan una desaceleración constante de 22 pies/s2, ¿qué distancia recorre el automóvil antes de detenerse por completo? Solución: Sea s (t ) la distancia recorrida por el automóvil en t segundos después de aplicar los frenos. Como el automóvil desacelera a 22pies/s 2 , se tiene que a(t ) 22 ; es decir,
dv a(t ) 22 dt Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento
t está dada por
v(t ) 22dt 22t C1 Para calcular C1 , observe que
v 66 cuando t 0 , de modo que
66 v(0) 22(0) C1 C1 66 Por lo que la velocidad en el momento
t es v(t ) 22t 66 .
A continuación, para encontrar la distancia s (t ) , se inicia con el hecho de que
ds v(t ) 22t 66 dt E integrando se tiene que
s(t ) (22t 66)dt 11t 2 66t C2 Como s(0) 0 , se deduce que C2 0 y
s(t ) 11t 2 66t Finalmente, para encontrar la distancia a la que se detiene el automóvil, éste se detiene cuando v(t ) 0 , lo cual sucede cuando
v(t ) 22t 66 0 Resolviendo esta ecuación, se obtiene que el automóvil se detiene después de 3 segundos de desaceleración, y en ese tiempo ha recorrido
s(3) 11(3)2 66(3) 99pies 4) CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha estimado que dentro de de una cierta ciudad cambiará a razón de P '(t ) 4 5t
2/3
t meses la población P(t )
personas por mes. Si la población actual
es de 10000, ¿cuál será la población dentro de 8 meses? Solución: La población P(t ) se encuentra antiderivando
P(t )
dP como se muestra a continuación: dt
t 5/3 dP 5/3 dt (4 5t 2/3 )dt 4t 5 C 4t 3t C dt 5 / 3
Como la población es de
10000 cuando t 0 , se tiene que
P(0) 10000 4 0 3 0
5/3
C C 10000
58
Así,
P(t ) 4t 3t 5/3 10000 Entonces, después de 8 meses, la población es
P(8) 4 8 38
5/3
10000 10128
5) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea M (t ) el número de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se determina como
M '(t ) 0.4t 0.005t 2 a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos? b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 minutos (del tiempo
t 10 al t 20 )? Solución: El número de aspectos M (t ) que puede memorizar Tony, se encuentra antiderivando
dM como se dt
muestra a continuación:
M (t )
t3 t2 dM dt (0.005t 2 0.4t )dt 0.005 0.4 C dt 3 2
0.005 3 t 0.2t 2 C 3
Como M (t ) es 0 cuando
t 0 (pues al inicio de la prueba aún no ha memorizada ningún aspecto
de la lista dada), se tiene que
0 M (0) 0.005 3 0 0.2 02 C 3 C 0 0
Así,
M (t )
0.005 3 t 0.2t 2 3
a) Después de los primeros 10 minutos, el número de aspectos que ha memorizado es
M (10)
0.005 103 0.2 102 18.33 3
b) El número de aspectos adicionales que puede memorizar en los siguientes 10 minutos es
ΔM M (20) M (10) 0.005 0.005 203 0.2 202 103 0.2102 3 3
66.66 18.33 48.33 6) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será R '(q) 200q 1/2 dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de
q unidades. Se ha determinado que el costo
marginal correspondiente es de 0.4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000 cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades? Solución: Recuerde que
utilidad marginal ingreso marginal costo marginal Así, si
59
P '(q) utilidad marginal R '(q) ingreso marginal C '(q) costo marginal Entonces
P '(q) R '(q) C '(q) 200q 1/2 0.4q Por otro lado, recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad P( x) . Entonces,
dP 200q 1/2 0.4q dq y por tanto, P(q) debe ser la antiderivada de
P( q)
dP , así dq
q1/2 q2 dP 200q 1/2 0.4q dq 200 0.4 k dq 1/ 2 2
400q1/2 0.2q 2 k para alguna constante El valor de
k.
k se determina por el hecho de que P(25) 2000 . Así, 2000 P(25)
2000 400 25
1/2
0.2 25 k 2
k 125 De aquí, la función utilidad es
P( x) 400q1/2 0.2q2 125 y la utilidad cuando el nivel de producción sea de 36 unidades es
P(36) 400 36
1/2
0.2 36 125 2
$2265.8 7) TERAPIA CONTRA EL CANCER. Un nuevo procedimiento médico se aplica a un tumor canceroso que tiene un volumen de 30 cm3, y t días después se determina que el volumen cambia a la tasa
V '(t ) 0.15 0.09e0.006t cm3 /día a) Determine una fórmula del volumen del tumor después de t días. b) ¿Cuál es el volumen luego de 60 días? ¿Cuál es después de 120 días? c) A fin que el procedimiento sea exitoso, no deberán transcurrir más de 90 días para que el tumor comience a disminuir. Con base en este criterio, ¿tiene éxito el procedimiento? Solución: El volumen V (t ) del tumor canceroso, se encuentra antiderivando
dV como se muestra a dt
continuación:
V (t )
dV 0.09 0.006t dt (0.15 0.09e0.006t )dt 0.15t e C dt 0.006
0.15t 15e0.006t C Como el volumen del tumor es V 30cm3 cuando
30 V (0)
30 0.15 0 15e
0.006 0
C
C 45
60
t 0 , se tiene que
Así, a) La fórmula del volumen del tumor es
V (t ) 0.15t 15e0.006t 45 b) El volumen del tumor luego de 60 días es 0.006 60
V (60) 0.15 60 15e
45
32.5cm3 El volumen del tumor luego de 120 días es 0.006120
V (120) 0.15 120 15e
45
32.18cm3 c)
El volumen del tumor luego de 90 días es 0.006 90
V (90) 0.15 90 15e
45
32.75cm3 Por lo tanto el procedimiento no es exitoso ya que el tumor no ha disminuido, más bien ha aumentado 2.75cm3 con respecto al volumen inicial.
8) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la temperatura de la carne era de -4°C, y t horas más tarde se incrementaba a una tasa de
T '(t ) 7e0.35t o C/h a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t horas. b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas? c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a 10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne? Solución: La temperatura T (t ) de la carne en cualquier tiempo
t , se encuentra antiderivando
dT como se dt
muestra a continuación:
T (t )
dT 7 dt (7e0.35t )dt e0.35t C dt 0.35
20e0.35t C Como la temperatura de la carne es T 4 o C cuando
t 0 , se tiene que
4 T (0) 0.35 0
4 20e C 16
C
Así, a) La fórmula para la temperatura de la carne es
T (t ) 20e0.35t 16 b) La temperatura de la carne después de 2 horas es 0.35 2
T (2) 20e
c)
16 6.068 C
Para encontrar el tiempo que tiene que transcurrir para que la carne se descongele, resolvamos la siguiente ecuación
T (t ) 20e0.35t 16 10 20e0.35t 6 e0.35t
61
3 10
3 3 3 ln e0.35t ln 0.35t ln e ln 0.35t ln 10 10 10 3 ln 10 t t 3.4399hrs 0.35 9) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol crece de tal forma que su altura h(t ) después de t años cambia a una razón de
h '(t ) 0.2t 2/3 t pies/año Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años? Solución: La altura h(t ) de un árbol en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando
dh como se muestra dt
a continuación:
h(t )
t 5/3 t 3/2 dh dt (0.2t 2/3 t )dt 0.2 C dt 5/ 3 3/ 2
2 0.12t 5/3 t 3/2 C 3
h 2 cuando t 0 , se tiene que
Como la altura del árbol es
2 h(0) 2 0.12 0
5/3
2 3/2 0 C 3
C2 De aquí,
2 h(t ) 0.12t 5/3 t 3/2 2 3 y la altura del árbol dentro de 27 años es
h(27) 0.12 27
5/3
2 27 3/2 2 124.69m 3
10) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir
q unidades de
cierto bien es C '(q) 3q 2 24q 48 dólares por unidad. Si el costo de producción de 10 unidades es de $5000, ¿cuál es el costo de producción de 30 unidades? Solución: Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total C (q) . Entonces,
dC 3q 2 24q 48 dq y por tanto, C (q) debe ser la antiderivada de
C (q)
dC , así dq
dC 24 (3q 2 24q 48)dq q3 q 2 48q k dq 2
q3 12q 2 48q k
k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión con la función del costo C ) El valor de k se determina por el hecho de que C (10) 5000 . En particular, para alguna constante
62
5000 C(10)
5000 10 12 10 48 10 k 3
2
k 4720 De aquí, la función del costo total es
C (q) q3 12q 2 48q 4720 y el costo de producción de 30 unidades es
C (30) 30 12 30 48 30 4720 $22360 3
2
11) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de
q unidades de cierto
artículo es R '(q) 4q 1.2q 2 dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el ingreso esperado por la producción de 40 unidades? Solución: Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función del ingreso R(q) . Entonces,
dR 4q 1.2q 2 dq y por tanto, R(q) debe ser la antiderivada de
R(q)
dR , así dq
dR 1.2 3 4 2 (1.2q 2 4q)dq q q C 0.4q3 2q 2 C dq 3 2
para alguna constante El valor de
C.
C se determina por el hecho de que R(20) 30000 . En particular,
30000 R(20) 30000 0.4 20 2 20 C C 32400 3
2
De aquí, el ingreso total es
R(q) 0.4q3 2q 2 32400 y el ingreso por la producción de 40 unidades es
R(40) 0.4 40 2 40 32400 $10000 3
2
12) UTILIDAD MARGINAL. La utilidad marginal de un bien es P '(q) 100 2q cuando se producen
q unidades. Cuando se producen 10 unidades, la utilidad es de $700.
a) Determine la función utilidad. b) ¿Qué nivel de producción q da como resultado la utilidad máxima? ¿cuál es la utilidad máxima? Solución: a) Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad P(q) . Entonces,
dP 100 2q dq y por tanto, P(q) debe ser la antiderivada de
P( q ) para alguna constante El valor de
dP , así dq
dP 2 (2q 100)dq q 2 100q C q 2 100q C dq 2
C.
C se determina por el hecho de que P(10) 700 . En particular,
700 P(10)
700 10 100 10 C 2
63
C 200 De aquí, la función utilidad es
P(q) q 2 100q 200
q que proporciona la utilidad máxima, se debe de igualar la utilidad marginal a cero y resolver la ecuación para q , es decir
b) Para determinar el nivel de producción
P '(q) 0 100 2q 0 q 50 Para verificar si justamente el valor hallado proporciona la utilidad máxima se hace uso del criterio de la segunda derivada, así necesitamos calcular la segundo derivada y reemplazar q 50 en ella, si el valor de la segunda derivada es negativa entonces q 50 sería el nivel de producción que proporciona la máxima ganancia. En efecto
P ''(q) 2 Podemos notar que la segunda derivada es negativa para cualquier valor de
q , e particular para
q 50 . Por lo tanto el nivel de producción que maximiza la utilidad es q 50 y la utilidad máxima es
P(50) 50 100 50 200 2
2500 5000 200 $ 2300 13) La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es
P '( x) 4 6 x 3x2
, y la “utilidad” cuando ningún artículo se vende es de -$40. Encuentra la función de utilidad. Solución: Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad P( x) . Entonces,
dP 3x 2 6 x 4 dx
dP , así dx dP 3 6 P( x) (3x 2 6 x 4)dx x3 x 2 4 x C x3 3x 2 4 x C dx 3 2
y por tanto, P( x) debe ser la antiderivada de
para alguna constante El valor de
C.
C se determina por el hecho de que P(0) 40 . En particular, 40 P(0)
40 0 3 0 4 0 C 3
2
C 40 De aquí, la función utilidad es
P( x) x3 3x2 4 x 40 14) Si el costo marginal mensual de un producto es C '( x) x
2 110 x 2800 , Encuentre la función
del costo total, si el costo fijo es de $5000. Solución: Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total C (q) . Entonces,
dC x2 110 x 2800 dx y por tanto, C ( x) debe ser la antiderivada de
dC , así dx
64
C ( x)
dC x3 110 2 ( x 2 110 x 2800)dx x 2800 x k dx 3 2
x3 55 x 2 2800 x k 3
k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión con la función del costo C ) El valor de k se determina por el hecho de que Costo fijo C (0) 5000 . En particular, para alguna constante
5000 C (0) 3 0 5000 55
3 k 5000
0 2 2800 0 k
De aquí, la función del costo total es
C ( x)
x3 55 x 2 2800 x 5000 3
15) Si el ingreso marginal mensual por un producto es
R '( x) 1,5x 30 , Encuentre la función del
ingreso total. Solución: Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso R( x) . Entonces,
dR 1.5 x 30 dx dR , así dx dR 1.5 2 R( x) (1.5x 30)dx x 30 x C 0.75x 2 30 x C dx 2
y por tanto, R( x) debe ser la antiderivada de
para alguna constante El valor de
C.
C se determina por el hecho de que R(0) 0 . En particular,
0 R(0)
0 0.75 0 30 0 C 2
C 0 De aquí, la función del ingreso es
R( x) 0.75x2 30 x 16) La Dewitt Company ha encontrado que la razón de cambio de su costo promedio de su producto es de C '( x)
1 100 , donde x es el número de unidades y el costo se da en dólares. El costo promedio 4 x2
de producir 20 unidades es de 40 dólares. a) Encuentre la función de costo promedio del producto. b) Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto. Solución: a) Recuerde que la razón de cambio del costo promedio es la derivada de la función del costo promedio C ( x) . Entonces,
dC 1 100 dx 4 x 2
65
dC , así dx dC 1 100 1 100 C ( x) 2 dx dx 2 dx dq 4 x 4 x
y por tanto, C ( x) debe ser la antiderivada de
1 x x 1 x 100 x 2 dx 100 k 4 4 1 x 100 k 4 x para alguna constante
k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar
confusión con la función del costo promedio C )
k se determina por el hecho de que C (20) 40 . En particular,
El valor de
40 C (20)
20 100 k 4 20 k 30 40
De aquí, la función del costo promedio es
C ( x)
x 100 30 4 x
b) El costo promedio de 100 unidades es
C (100)
100 100 30 $56 4 100
17) Se estima que el precio
p (dólares) de cada unidad de un cierto artículo cambia a una tasa de
dp 135 x dx 9 x2 Donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el número de unidades compradas a ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades ( x 4 ) cuando el precio es de $30 por unidad. a) Determine la función de la demanda b) ¿A qué precio se demandaran 300 unidades? ¿A qué precio no se demandara ninguna unidad? c) ¿cuántas unidades se demandaran a un precio $20 por unidad? Solución: a) El precio por unidad demandada p( x) se determina integrando p '( x) con respecto a x . Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución
1 u 9 x 2 , du 2 xdx, xdx du , 2 y se obtiene
p ( x)
135 x 9 x2
dx
135 1 135 1/2 135 u1/2 du u du C 2 2 1 / 2 u1/2 2
135 9 x2 C Como p 30 cuando
x 4 , se tiene que
p(4) 30 135 9 42 C 30
C 30 135 25 705 Por tanto
66
p( x) 135 9 x2 705 b) Cuando se demandan 300 unidades,
x 3 y el precio correspondiente es
p(3) 135 9 32 705 $132.24 por unidad No se demanda ninguna unidad cuando
x 0 y el precio correspondiente es
p(0) 135 9 02 705 $300 por unidad c)
Para determinar el número de unidades demandadas a un precio unitario de $20 , se necesita resolver la ecuación
135 9 x2 705 20
135 9 x2 685
9 x2
685 135
9 x2 25.75 x 2 16.75
x 4.09 Es decir, se demandaran aproximadamente 409 unidades cuando el precio sea de $20 por unidad. 18) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de x años este crecía a una tasa de 1
1
x 12
metros por año. Después de 2 años el árbol alcanzó una altura de 5 metros. ¿Qué
altura tenía cuando se trasplantó? Solución: La altura del árbol, h( x) , se determina integrando h '( x) 1
1
x 12
con respecto a x . Así
1 dx dx dx dx h( x) h '( x)dx 1 x 2 x 12 x 1 x 12 Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución (al segundo miembro del lado derecho) u x 1, du dx , y se obtiene
h( x ) x x El valor de
dx
x 12
x
du
u 2
u 1 x u 2 du x C 1
1 1 C x C u x 1
C se determina por el hecho de que h(2) 5 . Así, 5 h(2) 5 2
1 1 5 10 C 52 C 5 C C 2 1 3 3 3
De aquí,
h( x ) x
1 10 x 1 3
Por lo tanto, la atura del árbol cuando este se trasplantó es
h(0) 0
1 10 10 7 1 m 0 1 3 3 3
67
19) VENTAS AL MENUDEO. En cierta sección del país, se estima que dentro de
t semanas, el precio
del pollo crecerá a una tasa de p '(t ) 3 t 1 centavos por kilogramo por semana. Si actualmente el pollo cuesta $3 por kilogramo, ¿cuánto costará dentro de 8 semanas? Solución: El precio del pollo , p( x) , se determina integrando p '(t ) 3 t 1 con respecto a t . Así
p(t ) p '(t )dt 3 t 1 dt Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución
u t 1 du dt , y se obtiene
u 3/2 p(t ) 3 t 1 dt 3 u dt 3 u1/2 du 3 C 3/ 2
2u3/2 C 2 t 1
3/2
Por dato del problema, p 300 (pues el precio está dado en centavos) cuando
300 p(0) 300 2 0 1
3/2
C
t 0 , así se tiene
C 300 2 C C 298
De aquí,
p(t ) 2 t 1
3/2
298
Por lo tanto, el precio del pollo después de 8 semanas es
p(8) 2 8 1
3/2
298 2 9
3/2
298 2 27 298
352centavos $3.52 20) INGRESO. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se estima que será
R '( x) 50 3.5xe0.01x dólares por unidad, donde R( x) es el ingreso en dólares. 2
a)
Determine R( x) , suponiendo que R(0) 0 .
b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades? Solución: a) El ingreso R( x) se determina integrando R '( x) con respecto a x . Así
R( x) R '( x)dx 50 3.5 xe0.01x dx 50dx 3.5 xe0.01x dx 2
2
50 x 3.5 xe0.01x dx 2
Para integrar el segundo miembro del lado derecho, se emplea la sustitución
u 0.01x 2 , du 0.02 xdx xdx
du , 0.02
y se obtiene 2 2 du R( x) 50 x 3.5 xe 0.01x dx 50 x 3.5 e 0.01x xdx 50 x 3.5 eu 0.02 2 3.5 u 50 x e du 50 x 175eu C 50 x 175e 0.01x C 0.02
El valor de
C se determina por el hecho de que R(0) 0 . Así,
0 R(0) 0 50 0 175e0.01 0 C 0 175 C C 175 2
Por tanto
R( x) 50 x 175e0.01x 175 2
68
b) El ingreso por la venta de 1000 unidades es
R(1000) 50 1000 175e
0.011000
2
175
$50175 21) CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una forma aproximadamente circular, con radio R(t ) pies, t minutos después del inicio del derrame. E radio crece a una tasa de
R '(t ) a)
21 pies/min 0.07t 5
Determine una expresión para el radio R(t ) , suponiendo que
R 0 cuando t 0 .
b) ¿Cuál es el área A πR 2 del derrame después de 1 hora? Solución: a) El radio R(t ) se determina integrando R '(t ) con respecto a t . Así
21 R(t ) R '(t )dt dt 0.07t 5 Para realizar a integración, se emplea la sustitución
u 0.07t 5, du 0.07dt dt
du , 0.07
y se obtiene
21 1 du 21 du R(t ) dt 21 0.07t 5 u 0.07 0.07 u 300ln u C 300ln 0.07t 5 C El valor de
C se determina por el hecho de que R(0) 0 . Así,
0 R(0) 0 300ln 0.07 0 5 C 0 300ln 5 C C 482.83 Por tanto
R(t ) 300ln 0.07t 5 482.83 b) La función área es
A(t ) π R(t ) π 300ln 0.07t 5 482.83 2
2
Así el área del derrame después de una hora (60 minutos) es
A(60) π 300ln 0.07 60 5 482.83
2
4144581.89 pies2 22) CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentración C (t ) en miligramos por centímetro cúbico (mg/cm3) de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente es de 0.5mg/cm3 inmediatamente después de una inyección y t minutos más tarde disminuye a la tasa de
C '(t )
0.01e0.01t
e
0.01t
1
2
mg/cm3 por minuto.
Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05 mg/cm 3. a) Determine una expresión para C (t ) . b) ¿Cuál es la concentración después de 1 hora? Solución: a) El concentración C (t ) se determina integrando C '(t ) con respecto a t . Así
69
C (t ) C '(t )dt
0.01e0.01t
e
0.01t
1
2
dt
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
u e0.01t , du 0.01e0.01t dt , y se obtiene
C (t )
0.01e0.01t
e
0.01t
1
2
u 2 du Por dato del problema,
dt
1
e
1
0.01t
2
0.01e0.01t dt
1
u 2
du
u 1 1 1 C C 0.01t C 1 u e 1
C 0.5 cuando t 0 , así se tiene 1
0.5 R(0) 0.5
e
0.01 0
C 0.5
1
1 C C 0 2
Por tanto
C (t )
1 e
0.01t
1
b) La concentración después de una hora (60 minutos) es
1
C (60) e
0.01 60
1
0.354 mg/cm3
23) VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de
t años, el valor V (t ) de una hectárea de tierra
cultivable crecerá a una tasa de
V '(t )
0.4t 3 0.2t 4 8000
dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea. a) Determine V (t ) b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años? Solución: a) El valor V (t ) se determina integrando V '(t ) con respecto a t . Así
V (t ) V '(t )dt
0.4t 3 0.2t 4 8000
dt
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
u 0.2t 4 8000, du 0.8t 3dt , t 3dt
du , 0.8
y se obtiene
V (t )
0.4t 3 0.2t 4 8000
dt 0.4
1 0.2t 4 8000
t 3dt 0.4
1 du u 0.8
0.4 du 1 1/2 1 u1/2 1/2 u du C u C 0.8 u 2 2 1 / 2
0.2t 4 8000 C Por dato del problema,
V 500 cuando t 0 , así se tiene
500 V (0) 500 0.2 0 8000 C 500 8000 C C 410.55 4
70
Por tanto
V (t ) 0.2t 4 8000 410.55 b) El valor de la tierra dentro de 10 años será
V (10) 0.2 10 8000 410.55 $510.55 4
24) CONTAMINACION DEL AIRE. En cierto suburbio de Lima, el nivel de ozono L(t ) a las 7:00 a.m. es de 0.25 partes por millón (ppm). Una predicción del clima anticipa que el nivel de ozono
0.24 0.03t
horas más tarde cambiará a una tasa de L '(t ) a)
36 16t t 2
t
partes por millón por hora (ppm/h).
Exprese el nivel de ozono L(t ) como una función de t .
b) ¿Cuándo ocurre el nivel máximo de ozono? ¿Cuál es el nivel máximo? Solución: a) El nivel de ozono L(t ) se determina integrando L '(t ) con respecto a t . Así
L(t ) L '(t )dt
0.24 0.03t 36 16t t 2
dt
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
u 36 16t t 2 , du 16 2t dt 2(8 t )dt , (8 t )dt
du , 2
y se obtiene
L(t )
0.24 0.03t 36 16t t 2
0.03
0.03(8 t )
dt
36 16t t 2
dt 0.03
1 36 16t t 2
8 t dt
1 du 0.03 1/2 0.03 u1/2 1/2 u du C 0.03u C 2 2 1/ 2 u 2
0.03 36 16t t 2 C Por dato del problema, tiene
L 0.25 cuando t 0 (pues las 7:00 a.m. es la hora de inicio), así se
0.25 L(0) 0.25 0.03 36 16 0 0 C 2
0.25 0.03 36 C
C 0.07 Por tanto
L(t ) 0.03 36 16t t 2 0.07 b) Para determinar cuando ocurre el nivel máximo de ozono, se debe de igualar la tasa de variación de ozono a cero, es decir
L '(t ) 0
0.24 0.03t 36 16t t
2
0 0.24 0.03t 0 t
0.24 8 0.03
Para verificar si justamente el valor hallado proporciona el nivel máximo de ozono, se hace uso del criterio de la segunda derivada, así necesitamos calcular la segunda derivada de L(t ) y
t 8 en ella, si el valor de la segunda derivada es negativa entonces en t 8 se alcanza el nivel máximo de ozono y este nivel máximo se determina reemplazando t 8 en reemplazar
L(t ) . En efecto
71
3
L ''(t )
3
t 2 16t 36 Reemplazando t 8 en L ''(t ) , se tiene 3
L ''(8)
8 16 8 36 2
3
0.003
Por lo tanto el nivel máximo de ozono ocurre cuando máximo de ozono es
t 8 , es decir a las 3 p.m. Así el nivel
L(8) 0.06 36 16 8 8 0.11 0.49 ppm 2
25) OFERTA. El propietario de una cadena de comida rápida determina que si se ofertan x miles de unidades de una nueva comida el precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por
p '( x)
x
x 3 2
dólares por unidad, donde p( x) es el precio (en dólares) por unidad a la cual todas las x unidades se venderán. Actualmente, se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20 por unidad. a) Determine la función de oferta p( x) (precio). b) Si se ofertan 10000 alimentos a restaurantes en la cadena, ¿Qué precio unitario se deberá cobrar para que se vendan todas las unidades? Solución: a) El precio p( x) se determina integrando p '( x) con respecto a x . Así
p( x) p '( x)dx
x
x 3 2
dx
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
u x 3, du dx, y se obtiene
p( x)
x
x 3
2
dx
x
u 2
du
Como el integrando contiene el factor x , debemos de expresar x en términos de u , así
u x 3 x u 3 Finalmente reemplazando
p ( x)
u 3 en la última integral, se tiene
u 3 1 3 1 3 du 2 du du 2 du ln u 3 u 2 du 2 u u u u u
u 1 3 3 ln u 3 C C ln u C ln x 3 u x3 1 Por dato del problema, p 2.20 cuando
x 5 , así se tiene
2.20 p(5) 5 ln 5 3
3 3 C 5 ln 8 C C 2.545 53 8
Por tanto,
p( x) ln x 3
3 2.545 x3
b) El precio que se debe cobrar par que se vendan 10000 ( x 10 ) alimentos es
p(10) ln 10 3
3 2.545 $5.34 10 3
72
26) DEMANDA. El gerente de una zapatería determina que el precio
p (dólares) por cada par de zapatos
deportivos de cierta marca popular, cambia a una tasa de
p '( x)
300 x
x
2
9
3/2
cuando los consumidores demandan x (miles) de pares. Cuando el precio es de $75 por par, son demandados 4000 pares ( x 4 ). a)
Determine la función de demanda p( x) (precio).
b) ¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? ¿A qué pecio no se demandarán zapatos deportivos? c) ¿Cuántos pares se demandarán a un precio de $90 por par? Solución: a) El precio p( x) se determina integrando p '( x) con respecto a x . Así
p( x) p '( x)dx
300 x
x
2
9
3/2
dx
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
u x 2 9, du 2 xdx, xdx
du 2
y se obtiene
p ( x)
300 x
x
2
9
3/2
dx 300
1
x
2
9
3/2
xdx 300
u 1/2 300 150 u 3/2 du 150 C C u 1 / 2 Por dato del problema, p 75 cuando x 4 , así se tiene
75 p(4) 75
300
4 9 2
C 75
300 25
1
u
3/2
du 2
300 x2 9
C
C C 15
Por tanto
p ( x)
300 x2 9
15
b) Para que se demanden 500 pares de zapatos ( x 0.5 ), el precio que se debe cobrar es
300
p(0.5)
0.52 9
15 $113.64
Para que ningún par de zapatos se demande ( x 0 ), el precio que se debe cobrar es
p(0)
c)
300
0 2 9
15 $115
Para encontrar la cantidad de pares de zapatos que se demandaran a un precio de 90, resolvemos la siguiente ecuación
90 p( x) 90
300 x 9 2
15 75
300 x 9 2
x 9 4 x2 7 x 7 2.646 2
2
73
x2 9
300 75
Por lo tanto, la cantidad de pares de zapatos que se demandaran a este precio será aproximadamente 2646 27) Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado con una tasa de variación que se puede aproximar por la función
S ' ( x) 4000 xe 0.2 x juegos por semana, en
donde x es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S, como una función de x. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas? Solución La función de ventas se obtiene integrando la función de la variación de las ventas. Es decir:
S ( x) S ' ( x) dx 4000 xe 0.2 x dx 4000 xe 0.2 x dx Utilizando la técnica de integración por partes se tiene:
u x du dx
dv e 0.2 x dx v e 0.2 x dx
e0.2 x v 5e 0.2 x 0.2
Entonces se tiene:
S ( x) 4000 5xe 5 e S ( x) 4000 u v vdu 0.2 x
0.2 x
dx
S ( x) 4000 5xe 0.2 x 25e0.2 x c
La cantidad de juegos que se venden en las cuatro primeras semanas.
S (4) S (0) 4000 20e
S (4) S (0) 4000 5(4)e0.2( 4) 25e0.2( 4) c 4000 5(0)e0.2(0) 25e0.2(0) c 0.8
25e0.8 c 100000 19120.78 juguetes por semana
Por lo tanto, las ventas totales de juguetes en las cuatro primeras semanas es de 19121.
28) Una
empresa
C ' ( x)
tiene
un
costo
marginal
por
unidad
de
su
producto
dado
por
5000 ln( x 20) , en donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $ ( x 20) 2
2000, determine la función de costo. Solución La función costo se obtiene integrando la función costo marginal. Es decir:
C ( x) C ' ( x) dx
5000 ln( x 20) ln( x 20) dx 5000 dx 2 ( x 20) ( x 20) 2
Utilizando la técnica de integración por partes se tiene: u ln( x 20) du
1 dx x 20
74
dv
1 1 1 dxe v dx v 2 2 ( x 20) ( x 20) x 20
Luego tenemos:
C ( x) 5000 uv vdu
ln( x 20) 1 1 C ( x) 5000 dx x 20 ( x 20) ( x 20) ln( x 20) 1 C ( x) 5000 dx 2 x 20 ( x 20) 1 ln( x 20) C ( x) 5000 c x 20 x 20 Por dato, los costos fijos ascienden a $ 2000. Es decir, x=0 y C=2000
1 ln(0 20) 2000 5000 c 0 20 0 20
c 0,6 Por lo tanto, la función costo es:
1 ln( x 20) C ( x) 5000 0,6 x 20 x 20 29) Durante el desarrollo de una epidemia a la razón de llegada de casos nuevos a cierto hospital es igual a C ' (t ) 5te 0,1t , donde t está medido en días, t=0 es el inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos ha tratado en total el hospital cuando t =5 y cuando t=10? Solución El número de casos se obtendrá integrando la función
C ' (t ) 5te 0,1t , es decir:
C C ' (t ) dt 5te 0,1t dt Utilizando la técnica de integración por partes se tiene:
u t du dt
dv e 0,1t dt v e 0,1t dt
e0,1t 10e 0,1t 0,1
Luego tenemos:
C (t ) 5[uv vdu]
C (t ) 5[10te 0,1t 10 e 0,1t dt ]
75
e 01,t c] 0,1 500e 0,1t c
C (t ) 5[10te 0,1t 10 C (t ) 50te 0,1t
Por dato se sabe que cuando t=0, la llegada de casos nuevos es cero. Entonces reemplazando en la integral indefinida tenemos:
0 50(0)e 0,1(0) 500e 0,1(0) c c 500 Entonces la función costo es:
C (t ) 50te 0,1t 500e 0,1t 500 Por lo tanto, el número de casos tratado en el hospital cuando t =5 y cuando t=10 son:
C (5) 0(5)e 0,1(5) 500e 0,1(5) 500 45 C(5) 50(5)e 0,1(5) 500e 0,1(5) 500 132 30) El ingreso marginal de una empresa por su producto es
I ' ( x) 10(20 x)e x / 20 ; donde x es el
número de unidades producidas y vendidas. Determine la función de ingreso. Solución
I ( x) I ' ( x)dx 10(20 x)e x / 20dx Utilizando la técnica de integración por partes se tiene:
u 20 x du dx
dv e x / 20 dx v e x / 20 dx 20e x / 20
Luego tenemos:
I ( x) uv vdu I ( x) (20 x)e x / 20 (20e x / 20 )(1)dx I ( x) (20 x)e x / 20 20 e x / 20dx I ( x) (20 x)e x / 20 20(20e x / 20 ) c I ( x) (20 x)e x / 20 400e x / 20 c Para calcular la constante de integración se debe razonar de la siguiente forma. Si la cantidad producida y vendida es cero, entonces el ingreso es cero. E decir: I(0)=0.
I (0) (20 0)e0 / 20 400e0 / 20 c 0 20 c c 20 Por lo tanto, la función ingreso es:
I ( x) (20 x)e x / 20 400e x / 20 20 I ( x) (420 x)e x / 20 20 31) La razón de cambio del ingreso en dólares por la venta de x unidades de calculadoras de escritorio es
R '( x)
1000 x 2 25
Solución: La función ingreso,
. Encuentre el ingreso total por la venta de las primeras 20 calculadoras.
R( x) , se halla integrando la razón de cambio del ingreso, R '( x) , así
76
R( x) R '( x)dx
1000 x 2 25
dx
Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico. Hagamos
x 5 tan θ tan θ
x 5
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx 5sec2 θdθ y 5sec θ x2 52 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado 1000 1000 R( x) dx 5sec2 θdθ 1000 sec θdθ 2 5sec θ x 25
1000ln sec θ tan θ C
1000 ln
x 2 52 x C 5 5
Bien se sabe, que cuando no se vende ninguna calculadora, el ingreso es cero, así
R(0) 0 1000ln
0 2 52 0 C 0 1000ln 1 C 0 C 0 5 5
Por lo tanto, la función ingreso es
R( x) 1000ln
x 2 52 x 5 5
Así, el ingreso por las 20 primeras calculadoras es
R( x) 1000ln
202 52 20 2.09 5 5
32) La razón (en horas por artículo) a la que un trabajador, en cierto trabajo, produce x ésimo artículos es h '( x)
x 2 16 . ¿Cuál es el número total de horas que tardará este trabajador en producir los
primeros 7 artículos? Solución: La expresión para el número de horas, integrando
h( x) , en función al número de artículos producidos, se halla
h '( x) , así
h( x) h '( x)dx
x 2 16 dx
Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico. Hagamos
x 4 tan θ tan θ
x 4
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx 4sec2 θdθ y 4sec θ x2 42 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
h( x)
x 2 16 dx (4sec θ )4sec2 θdθ 16 sec3 θdθ
77
16
1 sec θ tan θ ln sec θ tan θ C 2
8 sec θ tan θ ln sec θ tan θ C
x 2 42 x 8 ln 4 4 x x 2 42 8 ln 16
x 2 42 x 4 4
C
x 2 42 x C 4
Se sabe que cuando aún no se ha producido ningún artículo, no se ha empleado ningún tiempo, así
0 02 42 ln h(0) 0 8 16 C 0
02 42 0 C 0 8ln 1 C 0 4
Por lo tanto, la expresión para el número de horas es
x x 2 42 h( x ) 8 ln 16
x 2 42 x 4
Así, el número total de horas que tardará este trabajador en producir los primeros 7 artículos es
7 7 2 42 h( x ) 8 ln 16
72 42 7 38.83hrs 4
33) La empresa dedicada a la extracción de minerales "Buenaventura", en Junta de Gerentes decidió aumentar sus operaciones mineras, para de esta forma continuar con el incremento proyectado en la demanda de países europeos de oro, plata, cobre, entre otros. Los planes contemplan el incremento de la producción anual de estos (minerales) en:
16 x 2 Millones de toneladas métricas por año, durante los próximos 5 años. La producción anual actual es de 15 millones de toneladas métricas. En la Junta de Gerentes se pide determinar una función que describa la producción total de minerales en la empresa al final de x años. Solución: La función que describe la producción total de minerales,
P( x)
P( x) , se halla integrando 16 x 2 , así
16 x 2 dx
Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico. Hagamos
x 4sin θ sin θ
x 4
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
dx 4cos θdθ
y 16 x 4cos θ Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
P( x)
2
16 x 2 dx (4cos θ )4cos θdθ 16 cos 2 θdθ
78
1 cos 2θ 1 cos 2θ dθ 16 dθ 2 2 2
1 cos 2θ 16 dθ 16 2 2 dθ 8 dθ 8 cos 2θdθ
16
sin 2θ sin θ cos θ C 8θ 4 C 2 2 8θ 2sin θ cos θ C 8θ 8
x 16 x 2 x 8arcsin 2 C 4 4 4 2 x x 16 x 8arcsin C 8 4
Por dato del problema, la producción anual actual es de 15 millones de toneladas métricas, así
P(0) 15 2 0 0 16 0 8arcsin C 15 8 4 C 15
Por lo tanto, la expresión para la producción total de minerales es 2 x x 16 x h( x) 8arcsin 15 8 4
34) Se estima que dentro de x años, el valor de un acre de tierra cultivable aumentará a razón de:
V '( x)
2x 1 dólares por año. En la actualidad el acre de tierra cuesta US$500. ¿Cuánto 3x 2 27
costará el acre de tierra en 10 años? Solución: Para calcular el costo de acre en función del número de años, hay que integrar a x , así
V ( x) V '( x)dx
V '( x) con respecto
2x 1 2x 1 1 2x 1 dx dx dx 9 x2 9 3x 2 27 3( x 2 9)
(1)
Para calcular esta última integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales, así
2x 1 2x 1 A B 2 x 9 ( x 3)( x 3) x 3 x 3 A( x 3) B( x 3) ( x 3)( x 3)
(2)
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, por lo que
2 x 1 A( x 3) B( x 3)
Calculemos ahora las constantes A y B Si
x 3 5 6B B
Si
x 3 7 6A A
5 6
7 6
Reemplazando estos valores en (2), se tiene
2x 1 7 / 6 5 / 6 x2 9 x 3 x 3
Integrando en ambos lados, se tiene
79
2x 1
7/6
5/6
7/6
5/6
7
1
5
1
x2 9 dx x 3 x 3 dx x 3 dx x 3dx 6 x 3 dx 6 x 3dx 7 5 ln x 3 ln x 3 6 6 Reemplazando en (1), se tiene
V ( x)
1 2x 1 17 5 7 5 dx ln x 3 ln x 3 C ln x 3 ln x 3 C 2 9 x 9 96 6 54 54
Además, por dato del problema
V (0) 500 7 5 ln 0 3 ln 0 3 C 500 54 54 7 5 ln 3 ln 3 C 500 54 54 C 499.7558
Por lo tanto
V ( x)
7 5 ln x 3 ln x 3 499.7558 54 54
Así, el costo del acre de tierra después de 10 años es,
V (10)
7 5 ln 10 3 ln 10 3 499.7558 500.245 dólares 54 54
35) Suponga que la función del costo marginal para el producto de un fabricante está dada por:
dC 100q 2 4998q 50 , donde C es el costo total en dólares cuando se producen q unidades. dq q 2 50q 1 Si los costos fijos son de 10 000 dólares, encuentre el costo total de producir 50 unidades. Solución: Para calcular el costo total, hay que integrar
C (q)
dC con respecto a q , así dq
dC 100q 2 4998q 50 dq dq dq q 2 50q 1
Para calcular esta integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales. Como el grao del numerador es igual al grado del denominador, entonces lo que primero que se debe de hacer es dividir estos polinomios, así
100q 2 4998q 50 100q 2 5000q 100
q 2 50q 1 100
2q 50
100q 2 4998q 50 2q 50 100 2 2 q 50q 1 q 50q 1
Así
C (q)
100q 2 4998q 50 2q 50 2q 50 dq 100 2 dq dq 100dq 2 2 q 50q 1 q 50q 1 q 50q 1
80
100q
2q 50 dq q 50q 1
(1)
2
Para calcular esta última integral, usemos la técnica de cambio de variable. Así haciendo
u q2 50q 1 du (2q 50)dq Por lo que
2q 50
1
1
q2 50q 1 dq q2 50q 1 (2q 50)dq u du ln u ln q
2
50q 1
Reemplazando este resultado en (1), se tiene
C (q) 100q ln q 2 50q 1 C Además, por dato del problema
C (0) 10000
100(0) ln (0)2 50(0) 1 C 10000
C 10000 Por lo tanto
C (q) 100q ln q 2 50q 1 10000 Así, el costo total de producir 50 unidades es,
C (50) 100(50) ln (50)2 50(50) 1 10000 15000 36) El propietario de la cadena de perros calientes estima que el precio en dólares de su nuevo producto, salchichas, cambia a razón de: P '( x)
30 x cuando se ofrecen x miles de salchicha por ( x 1)( x 3)2
compra. Si el precio actual es $ 2,25 por salchicha. ¿A qué precio se ofrecerá 4 000 salchichas adicionales? Solución: Para calcular precio, hay que integrar P '( x) con respecto a x , así
P( x) P '( x)dx
30 x dx ( x 1)( x 3)2
Para calcular esta integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales, así
30 x A B C 2 x 1 x 3 ( x 3)2 ( x 1)( x 3)
A( x 3)2 B( x 1)( x 3) C ( x 1) ( x 1)( x 3)2 Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, por lo que
30 x A( x 3)2 B( x 1)( x 3) C ( x 1) Calculemos ahora las constantes A y B Si x 3 90 2C C 45 15 Si x 1 30 4 A A 2 15 15 Si x 0 0 9 A 3B C 0 9 3B 45 B 2 2 Reemplazando estos valores en (1), se tiene
30 x 15 / 2 15 / 2 45 2 x 1 x 3 ( x 3) 2 ( x 1)( x 3)
Integrando en ambos lados, se tiene
81
(1)
15 / 2 15 / 2 30 x 45 15 / 2 15 / 2 45 dx ( x 1)( x 3)2 x 1 x 3 ( x 3)2 dx x 1 dx x 3 dx ( x 3)2 dx 15 1 15 1 dx dx 45 ( x 3)2 dx 2 x 1 2 x3 15 15 ( x 3)1 ln x 1 ln x 3 45 C 2 2 1 15 15 45 ln x 1 ln x 3 C 2 2 x3 Así
P( x)
15 15 45 ln x 1 ln x 3 C 2 2 x3
Además, por dato del problema
P(0) 2.25 15 15 45 ln 0 1 ln 0 3 C 2.25 2 2 03 15 ln 3 15 C 2.25 2 C 9.01
Por lo tanto
P( x)
15 15 45 ln x 1 ln x 3 9.01 2 2 x3
Así, el precio a la que se ofertarán 4000 salchichas adicionales es
P(4)
15 15 45 ln 4 1 ln 4 3 9.01 $5.1 2 2 43
82
