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Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son la fuente de inspiración, todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y en especial a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo y que son mis verdaderos pares académicos.
Mayo 18 de 2014
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ALGEBRA LINEAL ..................................................................................................................... 4 ARREGLO ................................................................................................................................... 5 MATRICES .................................................. .................................................... ................................................................................ ............................ 5 Suma y Diferencia de Matrices ..................................................... ................................................................................................. ............................................ 9 Multiplicación de Matrices .............................................................................................. ....... 20 Multiplicación entre Matrices ......................................................................................... ....... 25 REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN ................................................................ ........................... 42 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ ....................................................................................... 57 Determinante de una Matriz de orden 2 ............................................................................... 57 Solución Matricial de un Sistemas de Ecuación Ec uación lineal de 2x2 (Regla de Cramer) ............. 57 Determinante de una Matriz de Orden 3 .................................................... .............................................................................. .......................... 62 Regla de Sarrus ................................................... ................................................... .................. 62 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de de por determinante ........................ 63 INVERSA DE UNA MATRIZ .............................................................................................. ....... 69 Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos ................................................. 69 ECUACIONES MATRICIALES ........................................................................................... ....... 73 APLICACIÓN DE LAS MATRICES EN LA ECONOMÍA EC ONOMÍA ............................................................ 74 Modelos de Entrada-Salida de Leontief ............................................. ............................................. ................................... 74 Modelo de Salida o Cerrado de Leontief ............................................ ............................................ ................................... 87 DESIGUALDADES .......................................................................................... .......................... 95 INTERVALOS ........................................................................................................................... 96 INECUACIONES LINEALES .............................................................................................. ....... 97 SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES ............................................ 107 ESPACIOS VECTORIALES ..................................................................................................... 119 ....................................................................................................... .................................................. ................ 133 BIBLIOGRAFÍA..................................................... Web-Grafía ................................................. .................................................... ............................................................................ ........................ 133
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La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab ) wa-l-Muqabala (en árabe (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala ) (yebr) (al-dejaber ), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados ( algebrista era el médico reparador de huesos). El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc. La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector ) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre .
1. Una empresa puede recopilar y almacenar o analizar varios tipos de datos como parte regular de sus procedimientos de registros. Es posible presentar los datos en forma tabular. Por ejemplo un contratista de una construcción que construye diferentes estilos de casa puede catalogar el número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa en una tabla de datos así: Materiales Madera Tablas Techado
Rancho 28 34 12 Algebra Lineal
Colonial 35 19 25
Clásica 23 25 27
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De acuerdo a la información suministrada responda ¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita material? ¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita madera? ¿Cuál es el material que más se gasta? 2. El presupuesto anual de una compañía tiene los siguientes gastos, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados. Rubro
O u
in
Departamento
M
V
c n fa c
Abastecimiento Teléfono Transporte Salarios Servicios Materiales
0.7 0.5 2.2 251.8 30 788
D
a
n
ta ó
d n m
tr ta ib b
n
u c ió
10.2 6.1 8.8 81.6 1 0
A
is
n
8.5 0.2 0.4 63.4 1 0
C o
e fi
a
1.1 1.3 1.2 35.2 1 0
il id a d
5.6 0.2 1.2 54.3 1 0
3.6 1 4.8 144.2 1 0
¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los rubros de menor y mayor gasto?
Conjunto o agrupación de variables o cantidades de la misma estructura cuyas posiciones se referencian por medio de sub-índices. Existen arreglos unidimensionales denominados vectores, los bidimensionales llamados matrices y los multidimensionales. El es un entero que indica la posición de un elemento del arreglo. El número de elementos del arreglo.
es el
Es un arreglo rectangular de datos. Las matrices se clasifican en filas y columnas. En la matriz A que representa el ejemplo del número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa, las filas corresponden a los tipos de materiales y las columnas a los de vivienda. Algebra Lineal
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Columna 1 28 34 12
A=
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Columna 2 35 19 25
Columna 3 23 25 27
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Fila 1 Fila 2 Fila 3
Una matriz A de fila y columnas se dice una matriz de dicho número indica el tamaño de la matriz y el número de elementos que esta contiene, se puede representar:
,, ,, ,, …… ,, = ,: :, : , ……… ,: [ , , , ,]
Cada elemento aij de A está ubicado en la fila columna . Los sub-indices indican la posición del elemento en la matriz. Una matriz de filas y columnas se dice una matriz cuadrada de orden . Consideremos la matriz B de orden 4: a11 a12 a13 a14
TRIANGULAR SUPERIOR
a21 a22 a23 a24 A31 A32 A33 A34 TRIANGULAR
A41 A42 A43 A44
INFERIOR
DIAGONAL
DIAGONAL
SECUNDARIA
PRINCIPAL
TIPOS DE MATRICES
: Son las que tienen el mismo tamaño : Son las que sus elementos correspondientes son iguales Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden . Algebra Lineal
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,…
A = (a1, a2, a3 , an) Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden
.
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se represen ta por A t , a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de A t , etc. De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nxm.
Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A t , es decir, si a ij = a ji " i, j.
–
Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = At, es decir, si
–
a ij = a ji " i, j.
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es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por . Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij =0 " i
aij
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La suma de dos matrices A= (a ij), B= (bij) equidimensionales, es otra matriz S=(s ij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico s ij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Propiedades de la suma de matrices
1. 2. 3. 4.
A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) A + B = B + A (propiedad conmutativa) A + 0 = A (0 es la matriz nula) La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + ( A) = 0.
–
–
–
– –
La diferencia de matrices A y B se representa por A B, y se define como: A B = A + ( B)
1. Sean A=
1
3
5
3
8
7
B=
3
6
1
2
0
1
C=
2
0
6
3
-2
-1
Hallar: a. La traspuesta de A b. A + B c. d. C B e. A + C B f. Halle la matriz D tal que al sumarla con C obtenemos una matriz nula
– –
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2 0 1 1 0 1 =35 01 01 =11 21 10 1 0 2 0 1 = 0 1 0 =10 12 = 4 434 22 =12 86 2 32 23 =36 81 3 2 12 2=24 24 =1 1 20 32 =2 1 52 12 –
2. Dadas las matrices:
Calcular: A + B; A - B; A t ; Bt . 3. Sean las matrices:
Compruebe que
4. Ejercicio encuentre w, x, y y z si: a.
b. c.
5. Dadas las matrices
Hallar A + B, A B, B - A
6. Dadas las matrices A, B y C hallar p, q, r, s, t y u de tal manera que A + B + D = 0
1 2 3 2 =35 46 = 14 53 =
http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html
7. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son validas Algebra Lineal
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2 3 1 413 4 1=25 27 13 1 0 5 8. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son validas
34211 23 =311 42 2 2 1 2 3 5 1 2 1 1 =235 121 113 111 =211 341 131 411 1 0 1 1 2 =221 211 120 =202 101
9. Dadas las matrices
a. ¿Cuáles son los tamaños de cada una de las matrices? b. ¿Cuáles son cuadradas? c. De las matrices cuadradas indicar los elementos de la diagonal principal, secundaria, triangular superior e inferior de cada una. d. ¿Cuáles son los elementos: A[3,2], B[2,3], C[4,1], D[1,3] y B[3,4] e. Escribe la traspuesta de C f. ¿Alguna de las matrices es simétrica, antisimétrica, nula, diagonal, escalar? ¿cuál? ¿por qué? g. Calcule A+B 10. Sea A la matriz de tamaño 3x2, dada por la expresión A ij=B2i-j. La matriz correspondiente a esta relación, es
1 0 1 1 1 0 1 0 . 35 24 =35 24 =35 23 =34 25 Algebra Lineal
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: En la página www.macstat.org encuentra el instalador y el manual de un software MacStat 2.5 beta que permite realizar operaciones con matrices como; suma, resta, multiplicación, obtención de determinantes, transpuestas, adjuntas e inversas. Recomiendo dicha herramienta para verificar los resultados de los ejercicios que usted indague por bibliografía o web-grafía. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm
1. Suponga que en un organismo del estado la información fluye constantemente entre oficinas de acuerdo con el siguiente diagrama 1
2 5
3
4
a. Construya la matriz A con los elementos Si el flujo de información fluye directamente de i a j Si el flujo de la información no fluye directamente de i a j b. Construya una matriz B con los elementos
i≠j
Si la información fluye de i a j a través de no más de un intermediario, con En caso contrario c. La persona de la oficina tiene mayor poder de influencia si la suma de los elemento de la fila en la matriz A+B es la mayor ¿cuál es el número de la oficina de esta persona? 2. La administración trata de identificar a la persona más activa en los esfuerzos laborales para la sindicalización. El siguiente diagrama muestra como fluye la influencia de empleado hacia otro entre los cuatro empleados más activos Algebra Lineal
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2
3
4
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a. Construya la matriz A con los elementos Si fluye directamente a de otra manera b. Construya una matriz B con los elementos Si fluye a a través de no más de un 1 persona En caso contrario
, con i≠j
c. La persona es más activa en la influencia con otras si la suma de los elementos de la fila de la matriz A +B es la más grande ¿quién es la persona más activa? 3. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C, que distribuye a cuatro clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y 2 de C; e l segundo cliente, 3 unidades de A, 8 de B y ninguna de C; el tercer cliente no compró nada y el cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C. En el mes de febrero, el primer cliente y el segundo duplicaron el número de unidades que habían comprado en enero; el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo, y el cuarto cliente no hizo pedido alguno. a. Construye las matrices correspondientes a las ventas de enero y febrero. b. ¿cuál fue el producto que incremento más la venta en febrero? c. Halla la matriz correspondiente a las ventas de enero y febrero.
1 2 3 4 1 2 3 4 = 925 308 000 176 ; = 18140 1606 444 000
a. Las matrices de enero y febrero serían
b. Para saber cuál fue el producto que incremento más su venta en febrero se tiene que sumar las ventas de cada producto en los dos meses Algebra Lineal
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c.
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1 2 3 4 1 2 3 4 = 925 308 000 176 18203 ; = 18140 1606 444 000 28308 1 2 3 4 = 27165 2904 444 167
Los productos A y B incrementaron la venta en la misma cantidad Las ventas de los dos meses fueron
4. Cierta compañía tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyas filas, en orden representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y amarillas vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son
2 6 1 2 0 2 8 4 = 02 17 39 50 , = 24 30 32 26
a. Se pregunta: ¿Cuántas unidades de modelos extra lujos se vendieron? ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares amarillos? ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? b. F E ¿Qué encuentra?
–
5. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta número uno está dada por la matriz A.
ññ 12 2203´´ 57 34 25 ñ 3 26´ 10 8 4 ññ 12 2203´´ 49 56 34 ñ 3 26´ 8 12 2
La capacidad de producción de la planta número 2 está dada por la matriz
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¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos plantas? ¿Cuáles son los modelos que más y menos se producen en las dos plantas? ¿Cuáles son los tamaños de televisor que más y menos se producen en las dos plantas? 6. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y café para niños damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta 1 está dada la siguiente matriz Hombres Mujeres Niños Negro 30 34 20 Café 45 20 16 Blanco 14 26 25 La producción en la planta 2 está dada por Negro Café Blanco
Hombres 35 52 23
Mujeres 30 25 24
Niños 26 18 32
Determine la producción matricial de la producción total de cada tipo de zapato en ambas plantas 7. Una compañía que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La matriz representa la producción de las dos plantas en el mes de enero y la matriz la producción de las dos plantas para el mes de febrero. Las matrices y son como sigue
–
A B LCD 20 40 X= PLASMA 45 30 3D 15 10
A B LCD 28 35 Y= PLASMA 40 25 3D 25 18
a. Calcule Y X b. De a. responda: ¿Qué pasa con la producción de televisores durante los dos meses? ¿Qué pasa con la producción de las plantas durante los dos meses?
8. Un agricultor que posee tres fincas, muestra en el siguiente cuadro las pérdidas o ganancias de sus productos, medidas en toneladas, en los dos últimos años Algebra Lineal
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Trigo
A2009=
Finca 1 -0,5 Finca 2 -3 Finca 3 4 Trigo
A2010=
Finca 1 3 Finca 2 1,6 Finca 3 8
Arroz
Frijol
Maíz
Café
10 0,6 -2
3 0 -1
7 12 15
2 -1 13
Arroz
Frijol
Maíz
Café
2 1 -3
-4 -2 4
3 0 7
5 4 10
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a. ¿Cuál considera usted fue el mejor año para el agricultor? ¿por qué? b. Calcule A2009 + 2010 c. ¿Cuál fue la finca que arroja mayores ganancias y cuál la que arrojo mayores pérdidas? En los dos años d. ¿Cuál fue el producto que arroja mayores ganancias y cuál la que arrojo mayores pérdidas? En los dos años e. ¿Cuál fue el producto y en que finca que arrojo más ganancias? y ¿Cuál fue el producto y en que finca que arrojo más perdidas? En los dos años 9. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2009 y 2010 vienen dadas por las matrices: A A2009= B C
X 11 14,5 20,9
Y 6,7 10 3,2
Z 0,5 1,2 2,3
A A2010= B C
X Y 13,3 7 15,7 11,1 21 0,2
Z 1 3,2 4,3
a. Calcula y expresa en un matriz B el total de exportaciones para el conjunto de los dos años. b. Si se proyecta para el 2011 un incremento en las exportaciones en un 6% halla el escalar y la nueva matriz con dicho incremento c. Calcule e indique el país que más exportaría en el 2011 10. Una compañía de artículos electrónicos fabrica TV, VCR y reproductores de CD en dos plantas, A y B. La matriz representa la producción de las dos plantas para el minorista , y la matriz la producción de las dos plantas para el minorista . Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices y son como sigue Algebra Lineal
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A B TV 20 40 X= VCR 45 30 CD 15 10
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A B TV 20 40 y= VCR 45 30 CD 15 10
11. El inventario de la librería universitaria es: Pasta dura: libros de texto, 5280; ficción, 1680; no ficción, 2320; consultas, 1890. Rústica: ficción, 2810; no ficción, 1490; consultas, 2070; libros de texto, 1940. El inventario de la librería académica es: Pasta dura: libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción, 1790; consultas, 1980. Rústica: no ficción, 1720; ficción, 3100; libros de texto, 2050; consultas, 2710. a. Represente el inventario de la librería universitaria como una matriz A. b. Represente el inventario de la librería académica como una matriz B. c. Si las dos librerías deciden unirse, escriba una matriz C que represente el in ventario total de la nueva empresa. 12. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes hasta el primero de enero en un banco
A=
Principal Sucursal uno Sucursal dos
Corrientes 2820 1030 1170
Cuentas Ahorro 1470 520 540
Depósito 1120 480 460
La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre del año y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas durante el mismo periodo. Así
260 120 110 120 80 80 =140120 6070 5050 = 7060 3020 4040
Encuentre la matriz D que represente el número de cada tipo de cuenta al final del primer trimestre en cada local. Algebra Lineal
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13. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de millones de pesos) de una compañía en el 2006 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas (en miles de millones de pesos) para la misma compañía en el 2007 en las mismas ciudades.
á í =⌈ 450400 280350 850150⌉ á í ⌈ 375410 300300 710200⌉
a. Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos años. b. Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2007 a 2006. c. Determine cuáles son las ciudades de mayor venta al por mayor y la de mayor ve nta al menudeo 14. A partir de los datos de las siguientes tabla: PAISES Desarrollados En vías de desarrollo Comunistas Otros PAISES Desarrollados En vías de desarrollo Comunistas Otros
Importaciones 83 84 85 122 822 135 884 134 018 72 342 74 421 72 673 5 085 7 214 7 091 289 369 365 Exportaciones 83 84 85 152 117 200 714 223 314 102 266 119 790 116 161 3 604 5 221 5 801 1 1 0
a. Elabore una matriz A que dé el valor (en millones de dólares) de las importaciones de diversas agrupaciones de países en los años 1983-1985 b. Elabore una matriz B que dé el valor (en millones de dólares) de las exportaciones de las mismas agrupaciones en los mismos años. c. Encuentre la comercial para cada agrupación de países en cada año encontrando B A
–
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d. Haga un análisis de la matriz resultante http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/rango.htm
, 1,2, 3 4 200 100 120 250 120 120 = 110220 130200 200100 = 110250 110200 200100 150 160 150 170 150 100
15. Durante el 2012 y 2013 una fábrica distribuyó sus excedentes en tres productos alimenticios a cuatro países de África según se describen en las matrices y (cantidades en toneladas). ;
Se pregunta a. ¿En qué año se distribuyeron más excedentes? ¿Cuál fue el país que recibió más excedentes durante los dos años? ¿Cuál fue el país que recibió igual cantidad del mismo producto durante los dos años? ¿qué encuentra? b. Calcule
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Producto de una matriz por un Escalar
Para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz Ejercicio: 1. 2.
3 2 15 10 5×46 19=2030 455 0.5×62 13 04=31 0.1.55 02 21 3 420 23 =34 10 13 24 311 22 =240 1 11 1 4 221 0 4 4 4 1 01 2 23 2 21 1 =14 27 12 =1 1 20 23 =2 1 52 12 2 1 3 6 2 1 4 1 2 =5 3 21 04 =00 11 02 =01 32 32
3. Encontrar el valor de las variables si a.
b.
c.
3
4. Dadas las matrices
Hallar A - 2B
5. Dadas las matrices
Determinar
tal que 2A+3X= (12C)(23B)
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5. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta número uno está dada por la matriz A.
ñ 1 2 0´ 5 3 2 ñ 2 2 3´ 7 4 5 ñ 3 26´ 10 8 4 ñ 1 2 0´ 4 5 3 ñ 2 2 3´ 9 6 4 ñ 3 26´ 8 12 2
La capacidad de producción de la planta número 2 está dada por la matriz
Si la empresa decide incrementar su producción en la planta número uno en un 20 % y disminuir la producción de la planta en un 15%. Encuentre el escalar y las nuevas matrices. 6. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y café para niños damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta 1 está dada la siguiente matriz Hombres Mujeres Niños Negro 30 34 20 Café 45 20 16 Blanco 14 26 25 La producción en la planta 2 está dada por Negro Café Blanco
Hombres 35 52 23
Mujeres 30 25 24
Niños 26 18 32
a. Si la producción de la planta 1 se incrementa en un 50% y la producción de la planta 2 disminuye un 25% de la encuentre los escalares, las nuevas matrices. b. Determine la diferencia de producción total antes y después en ambas plantas 7. Una compañía que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La matriz representa la producción de las dos plantas en el mes de febrero A
B
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LCD 20 40 X= PLASMA 45 30 3D 15 10 a. Por la diminución en las ventas la dirección establece para marzo una disminución en la producción 25% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de producción proyectada para marzo. b. Por el incremento en las ventas la dirección establece para abril un incremento en la producción del 35% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de producción proyectada para abril. 8. La siguiente tabla muestra el presupuesto del gasto anual de una compañía, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados. Rubro
O u
in
Departamento
M
V
fa c
Abastecimiento Teléfono Transporte Salarios Servicios Materiales
0.7 0.5 2.2 251.8 30 788
ó
m
ib b
n
u c ió
10.2 6.1 8.8 81.6 1 0
ta
d n
tr n
8.5 0.2 0.4 63.4 1 0
A o
ta a
C
is n
c n
D
e fi
a
1.1 1.3 1.2 35.2 1 0
il id a d
5.6 0.2 1.2 54.3 1 0
3.6 1 4.8 144.2 1 0
Encuentre el escalar y la matriz presupuesto para los siguientes cambios en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8% 9. Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidores. En mayo las ventas de los televisores, DVD y equipos de sonidos estuvo dada por Distribuidor A B
TV 22 14
Algebra Lineal
DVD 34 40
E Sonido 16 20
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23
a. Si la dirección establece ventas objetivo para junio de un 25% de aumento sobre las ventas de mayo, halle el escalar y las ventas proyectadas para junio. b. Si la dirección establece ventas objetivo para julio de un 15% de disminución sobre las ventas de junio, halle el escalar y las ventas proyectadas para julio. 10. Una cuenta de gastos de un asociado de ventas para la primera semana de cierto mes tiene los gastos diarios ( en dólares) que se muestran en la matriz A
a.
b.
22 40 100 5 = 202815 407070 204520 1000 [ 20 0 100 5 ]
El asociado encuentra que el asociado de la segunda semana son 5% mayores (en cada categoría) que en la primera semana. Encuentre la matriz de gastos de la segunda semana. Encuentre la matriz de gastos para la tercera semana si los gastos para esa semana son 4% menores (en cada categoría) de lo que fue en la segunda semana.
11. El inventario total de una librería universitaria es: Libros de Texto Ficción No Ficción
Consultas
Pasta Dura
11620
3900
4110
3870
Pasta Rústica
486
4590
3790
4680
Debido a la apertura de una universidad en las cercanías se decide incrementar el inventario en un 12%. Halle el escalar por el cual se debe multiplicar la matriz C y escribir una matriz D con el nuevo inventario, redondeando cada cifra al entero más cercano. 12. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes en el primer trimestre del año en un banco
Algebra Lineal
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A=
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Principal Sucursal uno Sucursal dos
Corrientes 2960 1100 1230
Cuentas Ahorro 1510 540 590
24
Depósito 1150 490 470
Se prevé que para el segundo trimestre se incrementara el número de cuentas en un 15%. Encuentre el escalar por el que se debe multiplicar la matriz D para que se refleje el incremento previsto y escriba la matriz resultante. 13. Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión, estándar (E), de lujo (D) y Gold Star (G). Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 tipo B y 8 tipo C. Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 B y 28 C. Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A, 28 B y 36 C. a. Represente la información en forma de matriz. b. Debido a una crisis en la bolsa se proyecta un disminución de las acciones en un 12%, calcule el escalar y la nueva matriz. 14. Cierta compañía tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyas filas, en orden representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y amarillas vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son
2 6 1 2 0 2 8 4 =02 17 39 50, =24 30 32 26
a. El administrador pronostica una disminución de las ventas para el mes de marzo del 35%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente. b. El administrador pronostica un incremento de las ventas para el mes de abril del 45%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente.
Algebra Lineal
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25
En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizase, se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la segunda matriz. Gráficamente Si A y B son matrices el producto matricial A x B es posible si: f A x cB x f B x cB = f A x cB =
Si dicha condición se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la multiplicación sea resultado de aplicar de la siguiente fórmula:
, donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado y C[i,j] es un elemento de la matriz C. Nótese el uso del elemento k. El elemento k es un entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas en la matriz C. Para ilustrar un poco es el proceso, se tienen las siguientes matrices: 1 2
3
4
9 10 11 12
1
10
30
70
120
2
11
70
3
12
110 278 488
4
13
304
Si se desea obtener el elemento C[2,2] de la matriz C, se tienen que efectuar las siguientes operaciones: C[2,2] = A[2,1] * B[1,2] = 5*5 A[2,2] * B[2,2]
=
6*6
A[2,3] * B[3,2]
=
7*7
A[2,4] * B[4,2]
=
8*8
Suma: 1. Dadas las matrices Algebra Lineal
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26
2 3 2 3 1 2 3 =15 41 =4 5 6→. =15 4114 25 36 2134 2235 2336 212 415 618 14 19 24 = = =1144 1245 1346 116 220 324 17 22 27 5114 5215 5316 54 105 156 9 15 21 2 3 5 1 2 3 5 1 =11 34 45 =23 →. =11 34 45 23 2 1 3 3 5 2 2910 1 = = = 11113435 2 11210 3 3 42 198 2 3 1 2 23 12 01 11×211 232 311 1 0 1 7 1 2 0 2 5 6 =5 3 4 = 2 0 1 =52 34 53 22 = 1 0 1 7 − = − − 52 34 53 22 = 71 37 36 512 304 513 272 =246 453 521 961
2. Dadas las matrices
3. Calcular
4. Dadas las matices:
Verifique que se cumple: Veamos
Algebra Lineal
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27
1 0 1 7 1 0 1 7 1 2 0 2 5 6 =51136 411 52 3 34 535 2392 412 120 1 52 34 53 22 =246 745 2 5249 9 0 4 1 12 =2 3 1 61 = 0 1 1 =11 01 10 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 ∗2= 11 01 10 11 10 10 11 01 10 200 10 01 2=1 21 11 01 10 1102 02 00=00 00 00 1 1 2 1 10 0 0 2 000 2 0 1 1 0 1 =35 01 01 =11 21 10 – +
Por lo tanto se cumple
5. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:
Por tanto A2 - A- 2 I = 0
6. Dadas las matrices:
Calcular: A x B; B x A
7. Encuentre A2 +2A 3I si
1
2
2
3
A=
Algebra Lineal
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52
8. Determine
si
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28
1 0 0 =00 20 13
9. Demostrar que: A2 - 3A+2 I = 0, siendo:
1 0 0 =00 431 70 1 2 2 1 =12 11;= = 3 2 1 4 ×=2 1 1 1 1 2 2 0 0 4 =10 21 12; =12 10 32 =24 82 60 ×=2 1 1 1 =2 11 ; =; =2 ; =1/30
10. Dadas las matrices
Determinar la matriz tal que 11. Dadas las matrices
Determinar la matriz tal que 12. Sean las matrices:
, donde x, y, z son desconocidos.
a. Calcular las matrices (AB) + C y 3D b. Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y, z. 13. En cada uno de los siguientes casos determinar (AB)C y A(BC) a.
=23 11; =11 10;=12 43 Algebra Lineal
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b.
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1 1 2 1 1 =3 1 2 ; =23 10 ; =13 2 3 5 1 3 5 2 2 4 =11 34 45 =11 33 55 =11 23 34
14. Dadas las matrices
a. Verifique que AB = BA = 0; AC = C y CA=A b. Use los resultados de (a) para comprobar que: ACB = CBA A2 B2 = (A B) (A + B) (A + B)2 = (A B)2 = A2 + B2
– –– 2 1 3 1 2 3 1 =01 12 01 15 =231 413 131 3 1 5 = 1 0 0 =21 01 17 = 0 …0 1 0…0
15. Calcule los productos matriciales AB y BA si
16. Sean
a. Determinar el orden de XA y comparar con las filas o columnas de b. Si donde 1 aparece en la posición (1,i) determinar el orden de XA y AXt , comparar con las filas o columnas de A con
Determine si los valores dados de y, x y z son la solución para la ecuación matricial dada sustituyendo los valores dados en la ecuación matricial y efectuando la multiplicación matricial. 1.
14 10 21 =55 211 5
Algebra Lineal
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30
Solución: Al realizar la multiplicación de matrices nos queda el siguiente sistema de ecuaciones
2=5 1 42=5 =5 23 42 2=10 =0 4=5 2 82=10 22=0 1 =10=0 =1 Hallamos los valores de X Y y Z: Utilizamos el método de eliminación en (1) y (3) X+Y+2Z=5 (multiplicamos por -2) 2X+Y+Z=5 (multiplicamos por 2)
2X
2
4Z = 10
2X
(4)
Aplicamos el método de eliminación en (2) y (4)
2X 10X
2Z
Reemplazo el valor de X en (2) 4(1)+Z=5 4+Z=5 Z=1
Reemplazo el valor de X y Z en (3) 2(1)+Y+(1)=5 2+Y+1=5 Y=5-3 Y=2 Por lo tanto X=1, Z=1 y Y=2 Verificando:
11 01 10=10 0 1 1 3
14 10 2112=55 211 1 5 11 11 11 =20 111 4 Algebra Lineal
X
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2 3 21 11 = 13 41 1 32 2 5 11 42 01 11=55
31
32 1 2 01=49 11 01 2 2 0 2 31 12 01=73
El siguiente sistema matricial representa el portafolio de dos productos (X, Y), cuyos costos totales ascienden a 15 (millones de pesos), y el total de las unidades producidas es de 5 (miles):
71 21=155
La solución del sistema matricial anterior arroja los siguientes resultados para los dos productos (X, Y), respectivamente en miles de unidades producidas: a. b. c. d. e.
15 Y 5 40 y 10 1y4 7y2 1 y 15
1. Una pequeña empresa constructora cobra a $10 800 la hora por camión sin con ductor, $36 000 la hora por un tractor sin conductor y $18 000 la hora por conductor. La empresa utiliza la matriz para diversos tipos de trabajo
A=
Tipo de trabajo I II III IV 1 1 1 2 2 0 1 1 3 1 3 4
a. Construya una matriz de fila P= b. Calcule el producto
Camión Tractor Conductor
con los precios que la empresa fija.
Camión 10 800
Tractor 36 000
. ¿Qué encuentra? Algebra Lineal
Conductor 18 000
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×
Camión Tractor Conductor Precios 10 800 36 000 18 000
×
I P A= Precios 136 000
Camión Tractor Conductor
Tipo de Trabajo II III 28 800 100 800
32
Tipo de trabajo I II III IV 1 1 1 2 2 0 1 1 3 1 3 4
IV 129 600
El costo por tipo de trabajo c. Suponga que para un pequeño proyecto la empresa utilizo 20 horas de trabajo del tipo I, 30 horas de trabajo del tipo II, 10 del tipo III y 10 del tipo IV. Construya una matriz de columna que denota la matriz de oferta. Horas I 20 II 30 S= III 10 IV 10 d. Determine e intérprete los elementos de Tipo de trabajo I II III IV Camión 1 1 1 2 Tractor 2 0 1 1 Conductor 3 1 3 4
AS=
. I II III IV
×
Camión Tractor Conductor
Horas 20 30 10 10
Horas 80 60 160
El número de horas de trabajo requerido por camión, tractor y conductor para el proyecto. e. Evalúe e interprete el producto de matrices
Algebra Lineal
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Precio
Camión 10 800
José F. Barros Troncoso
Tractor 36 000
Conductor 18 000
×
Camión Tractor Conductor
33 Horas 80 60 160
PAS Precio 5´904 000 Obtenemos como resultado el valor del proyecto. 2. Un constructor puede adquirir ladrillos, tejas, madera y cemento de tres proveedores: P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en miles de euros por la matriz:
68 1213 76 86 7 14 6 7
El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita: a. Primera obra: 24 paquetes de ladrillo, 5 de tejas, 12 de madera y 18 de cemento. b. Segunda obra: 20 paquetes de ladrillo, 7 de tejas, 15 de madera y 20 de cemento. c. Tercera obra: 20 paquetes de ladrillo, 4 de tejas, 15 de madera y 15 de cemento. ¿Qué proveedor es el más económico para cada obra? El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor. ¿a cuál le compraría?
245 207 204 1812 2015 1515
Construimos la matriz de obras: Consideremos la tercera
la primera obra,
la segunda y
Calculamos el producto de la matriz de precios de proveedor matriz de obras y obtenemos el total cobrado por proveedor
Algebra Lineal
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34
24 20 20 687 121314 766 867× 125 157 154 = 432437436 469461468 393392391 1290 1294 1295 18 20 15
El proveedor más económico para la primera obra es para la segunda es y para la tercera es . Le compraría al proveedor P que es la propuesta más económica 3. Un supermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 gr de queso español, 160 gr de queso francés y 80 normandi; la bandeja B contiene 120 gr de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C contiene 150 gr de queso español, 80 gr del francés y 80 gr del normadi. La oferta se realizará durante dos días, el primer día se sacará a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 del B y 100 del C y para el segundo día se duplicará la venta del primero, obtén matricialmente la cantidad que se necesitarían de cada uno de las tres clase de queso. 4. Tres familias F1, F2 y F3 tienen los siguientes consumos de pan, carne y mantequilla: F1 consume 160 kg de pan, 200 Kg de carne y 1,5 Kg de mantequilla, F2 consume 200 Kg de pan, 230 Kg de carne y 2 Kg de mantequilla, F3 consume 90 Kg de pan, 150 Kg de carne y 1,75 Kg de mantequilla. Los precios, en miles de pesos, del pan, de la carne y de la mantequilla en los años 2010, 2011, 2012 y 2013 fueron: 2010: el pan costaba $1,45, la carne $13 y la mantequilla $0.15; 2011: el pan costaba $1,56, la carne $13 y la mantequilla $0.16; 2012: el pan costaba $1,71, la carne $13,5 y la mantequilla carne $14 y la mantequilla $0.18 Utiliza matrices para calcular el gasto anual de cada familia en el total de los cuatro años.
$0.16; 2013: el pan costaba $1,80€, la
5. Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillo, concreto, vidrio y pintura de tres proveedores. Los precios de cada proveedor por unidad de los cinco materiales esta dados en la matriz A
A=
Proveedor Madera P1 8 P2 9 P3 9
Ladrillo 5 4 5
Concreto 7 5 6
Vidrio 2 2 1
Pintura 4 5 5
El contratista tiene la política de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los costos de transporte. Hay tres obras en construcción actualmente: la obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de Algebra Lineal
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ladrillo, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10, y 12 respectivamente. a. Represente en una matriz B la información de las unidades requeridas en cada obra. b. Calcule el producto AB c. Interprete los elementos de este producto y úselos para decidir cuál proveedor debería utilizar en cada obra 6. Un hospital local reunió datos relacionados con personas admitidas para servicios de pacientes internados. La matriz indica los porcentajes de todos los pacientes admitidos en unidades hospitalarias diferentes, la duración promedio de la permanencia de un paciente (en días) para cada unidad de hospitalización y el costo diario (en miles de pesos) para las diferentes unidades del hospital.
0. 1 8 =0.0.0.124048 íí = 3 1 6 2 4 = 680 1400 540 360
Si se admiten300 pacientes nuevos utilizar la operación con matrices para calcular a. El número de pacientes admitidos en cada unidad b. El número total de día por paciente esperado c. El costo total por día para los 300 pacientes 7. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a. Representar la información en dos matrices. b. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos. 8. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a. Representar esta información en dos matrices. Algebra Lineal
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b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería. 9. Suponga que un contratista acepta pedidos para materia prima que se utilizan para la construcción de tres tipos de vivienda. La matriz dan el número de unidades de cada materia prima que se utilizará en cada tipo de casa, así Mano de Acero Madera Vidrio Pintura Obra Rústico 5 20 16 7 17 R= Moderno 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13 a. El contratista está interesado en conocer los costos que tendrá que pagar por estas materias primas. Suponga que el acero cuesta $2500 por unidad, la madera $1200 por unidad, y el vidrio, la pintura y la mano de obra cuestan $800, $150 y $1500 por unidad respectivamente. Escriba una matriz de columna C que represente los costos por unidad. Obtenga el producto , ¿qué encuentra? b. Suponga que se construirán 5 casas de estilo rustico, 7 estilo moderno y 12 colonial, escriba una matriz de fila Q que represente la cantidad de vivienda a construir por estilo y obtenga el producto , ¿qué encuentra? 10. El comité de admisiones de cierta universidad anticipa la inscripción de 800 estudiantes de primer semestre para el próximo año para satisfacer las cuotas de ingreso se ha clasificado los futuros estudiantes según sexo y lugar de residencia. El número de estudiantes en cada categoría está dado por la matriz
A=
Locales Foráneos Extranjeros
Hombres 2700 800 500
Mujeres 3000 700 300
Al utilizar los datos acumulados de años anteriores el comité de admisiones considera que estos estudiantes optarán por asistir a las facultades de derecho, diseño, administración e ingeniería según los porcentajes que aparecen en la matriz B=
Hombres Mujeres
Derecho 0.25 0.30
Diseño 0.20 0.35 Algebra Lineal
Administración Ingeniería 0.30 0.25 0.25 0.10
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Encuentre la matriz AB que muestre el número de estudiantes locales, foráneos y extranjeros que se espera se inscriban en cada facultad 11. Las acciones de dos personas B y C están dadas por la matriz
A=
B C
BAC 200 100
Acciones GM IBM 300 100 200 400
TRW 200 0
Al cierre de las operaciones de cierto día, los precios de las acciones están dados por la matriz
D=
BAC GM IBM TRW
54 48 98 82
a. Calcule AD b. Explique el significado de las entradas de AD . 12. Un viajero está regresando de Londres después de un viaje por Europa y desea cambiar las diversas divisas por euros. Al contar su dinero encontró que tenía 80 chelines austriacos, 26 francos franceses, 18 guilders suecos y 20 marcos alemanes. Suponga
queun frlaasnco,tasa€0.s de4538cambiporoundeguimoneda ext r a nj e r a s o n €0. 0 727 por un chel í n , €0. 1 524 por lder y €0.5113 por un marco. a. Escriba una matriz A de fila que represente los valore de las divisas b. Escriba una matriz B de columna que represente las tasas de cambio c. Si el viajero cambia todas las divisas que tiene, ¿cuántos euros recibirá?
13. Una empresa de bienes raíces construye casas en tres estados. El número proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada estado esta dado por la matriz I N.Y. 60 A= Conn 20 Mass 10
Modelo II III 80 120 30 60 15 30
Algebra Lineal
IV 40 10 5
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Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25 000 y $30 000, respectivamente, para cada modelo de casa, del I al IV respectivamente. a. Escriba una matriz de columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa b. Encuentre la utilidad total esperada en cada estado si se venden todas las casas 14. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos, en las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes: CALIFICACIONES Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev Antonio 2.5 3.2 3.0 Jaime 4.0 2.5 3.5 Roberto 3.5 2.5 3.5 Santiago 3.0 2.0 2.5 Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido los siguientes "pesos" para para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 30 %, 2ª Ev: 30 % y 3ª Ev: 40 %. Se pide la nota final de de cada uno de los alumnos. 15. Un cinema tiene cuatro salas de la I a la IV, el precio de cada función es de $2 mil pesos por niño, $3 mil pesos por estudiante y $4 mil pesos por adulto. La asistencia a la matiné del domingo está dada por la matriz
A=
Cinema I Cinema II Cinema III Cinema IV
Niño 225 75 280 0
Estudiante 110 180 85 250
Adulto 50 225 110 225
Escriba una matriz de columna B que represente el precio de la entrada. Luego calcule A.B ¿Qué encuentra? 16. Un vendedor de automóviles puede comprar automóviles puede comprar automóviles medianos en 12% por debajo del precio de lista y también automóviles de lujo en 15% Algebra Lineal
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39
por debajo de los precios de lista. La siguiente tabla muestra la lista de precios para dos automóviles medianos y dos automóviles de lujo Medianos De lujo
25 000 36 000
28 000 42 000
Escriba estos datos en una matriz y multiplique a la izquierda por la matriz 0,88 0
0 0,85
¿Qué representa cada elemento de este producto matricial. Debe realizar y escribir el proceso? 17. Suponga que el banco tiene tres fuentes principales de ingresos (préstamos empresariales, préstamos para automóviles e hipotecas de casas) y que retira fondos de esta fuente para capital de riesgo que se usa para crear fondos para nuevos negocios. Suponga que el ingreso de estas fuentes por cada 3 años se da la siguiente tabla y el banco utiliza 45% de su ingreso de los préstamos empresariales, 20% de su ingreso de los préstamos para automóviles y 30% de su ingreso de las hipotecas de casas para obtener sus fondos de capital de riesgo. Escriba un producto matricial que dé el capital de riesgo disponible en cada uno de los tres años
20ñ01 ó 6 3 3 0 0 2 0 0 2 4 5 1 8 2 0 22000023 4585310150 1158861271 6634712025
18. Dos departamentos de una empresa, Ay B necesitan diferentes cantidades de los mismos productos. La siguiente tabla da las cantidades de los productos que los departamentos necesitan Departamento A Departamento B
Acero 30 20
Algebra Lineal
Plástico 20 10
Madera 10 20
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40
Dos proveedores, Ace y Kink surten estos tres productos, con los precios unitarios que se dan en la siguiente tabla
Ace 3000 150 150
Acero Plástico Madera
Kink 280 100 200
a. Use la multiplicación de matrices para encontrar cuánto costarán estos pedidos con los proveedores. b. ¿A qué proveedor debe comprar cada departamento? 19. La siguiente tabla muestra el presupuesto anual de gastos de una compañía, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados. Rubro
O u
in
Departamento
M
V
c n fa c
Abastecimiento Teléfono Transporte Salarios Servicios Materiales
0.7 0.5 2.2 251.8 30 788
D
a
ta ó
d n m
tr ta ib b
n
u c ió
10.2 6.1 8.8 81.6 1 0
A
is n
n
8.5 0.2 0.4 63.4 1 0
C o
e fi
a
1.1 1.3 1.2 35.2 1 0
il id a d
5.6 0.2 1.2 54.3 1 0
3.6 1 4.8 144.2 1 0
a. ¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los rubros de menor y mayor gasto? b. en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8% c. Suponga que hay un incremento de 20% en fabricación, un aumento de 3% en oficina, un incremento de 5% en ventas, un aumento de 20% en distribución, un incremento de 5% en contabilidad y un decremento de 3% en administración.
Encuentre la matriz presupuesto para los siguientes cambios “a lo largo de la tabla” Algebra Lineal
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Encuentre la nueva matriz de presupuesto multiplicando la matriz siguiente por la matriz original. 1.2 0 0 0 0 0
0
0
0
0
1.03
0
0
0
0
1.05
0
0
0
0
1.2
0
0
0
0
1.05
0
0
0
0
0 0 0 0 0.97 0
. El uso de la función MMULT de Excel y haga una aplicación
Algebra Lineal
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El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales
Donde los ai, bi, ci y di
para todo i=1,2 y 3 ε
R (Coeficientes)
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices, primero escribimos los coeficientes del sistema en la .
Matriz de los coeficientes
Cada columna contiene los coeficientes de una de las variables, el proceso continua aplicando cada una de los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Tener uno en la fila uno columna uno. Usar la fila uno solo para tener ceros en las otras entradas de la columna uno Usar la fila dos para tener uno en la fila dos columna dos Usar la fila dos solo para tener ceros en las otras entradas de la columna dos. Usar la fila tres para tener uno en la fila tres columna tres. Usar la fila tres solo para tener ceros en las otras entradas de la columna tres Algebra Lineal
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7. Repetir el proceso hasta obtener una ampliada [I|D], donde I es una matriz identidad de n x n y D una matriz de n x 1. Si el sistema de ecuación es de orden 3, obtenemos
10 01 0012 0 0 1 3 Є R, se concluye que
x = d1, y = d2 y z = d3 . Para verificar los Donde d1, d2 y d3 resultados se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, si se obtiene una identidad los valores obtenidos son conjunto solución.
Si un Sistema de Ecuaciones tiene solución se dice
sino es
.
. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de GaussJordan
– –
2x + 3y z = 70 3x y - 2z = -19 -2x + 2y + z = 35 La matriz ampliada sería
2 3 13 121970 21 13 132 2121935 1∗32 10 3211 12112435 2 2 1 35 2 2 1 35 1∗23 (0 7 5132 02 105 ) 3 1 1 0 3 35 11 11 1 2∗ 1 2 2 1 248 248 2 2/11/2 (00 15 1110 10511 ) 2∗53 00 10 115 1185 35 11 ( ) 11 11 7 10 01 1117 2481311 3∗ 1111 10 01 001221 3∗ 2 11 11 11 (0 0 1 17 ) =12 0 0 1 17
=21 =17
Veamos: En la Ec1: 2(12)+3(21)-17=24+63-17=70; En la Ec2: 3(12)-21-2(17)=36-21-34=-19; En la Ec3: -2(12)+2(21)+17=-24+42+17=35 Algebra Lineal
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. Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
–– –
2x + y 2z = 4 x + 3y z = -3 3x + 4y z = 7 2x + 2y + z = 9 x +z=3 4y 3z = -10
– 2=0 =7 2=3 22=3 2=1=4 2=2 342=2 2=2 =6 25=12 425=36 3
2=3 322=8 23=6
2x + 4y - 6z = 38 x + 2y + 3z = 7 3x - 4y + 4z = -19
=2 2=3 32=3 34=2 22=12=1 3=4 22=9 2=2 32=1 22=1 233=1 2= 1 2 2 4 231 02 3=1 0 1
2x+ 3y - 2z = 10 3x - 2y + 2z = 0 4x y + 3z = -1
–
x+y+z=0 2x- y + z = 1 x + y - 2z = 2
324=5 22=0 24=0 2=5 4=5 2=5 –– –– 2x y 2z = -1 3x + 3y + 4z = -2 2x y z = -3
. Obtener las matrices y que verifiquen el sistema:
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1. Una empresa fabrica 3 tipos de tabletas de chocolate: con leche, blanco y negro. Los principales ingredientes para la producción del chocolate son cacao, leche y café. Para la producción de chocolate con leche requiere de 5 unidades de cacao, 3 de leche, y 2 de café, para el blanco necesita 5 unidades de cacao, 4 de leche y 1 de café, mientras que para la elaboración del negro se emplean 5 unidades de cacao, 1 de leche y 3 de café. Antes de llegar el próximo pedido quedan en reserva 12000 unidades de cacao, 6800 de leche y 4600 de café. ¿Cuántas tabletas de cada tipo de chocolate puede producir con los ingredientes en existencia? Representamos los datos de forma matricial Tipos de Chocolate Cacao Leche Café
Ingredientes Con leche Blanco Negro (x) (y) (z) 5 5 5 3 4 1 2 1 3
Representamos la situación en forma de sistema de ecuaciones lineales 5x + 5y + 5z = 12000 3x + 4y + z = 6800 2x + y + 3z = 4600
2∗11 1/5 53 54 5112000 1 1 1 2400 1 1 1 2400 1∗32 6800 3 4 1 6800 0 1 2 400 1∗23 0 1 1 200 2∗13 2 1 3 4600 2 1 3 4600 10 10 32400 2800 10 10 32400 2800 3∗31 10 01 001000800 =1000 3∗22 =800 0 0 1 600 3/1 0 0 1 600 0 0 1 600 =600 Escribimos la matriz ampliada
Por lo tanto con los ingredientes en existencia se puede producir 1000 unidades de chocolate con leche, 800 unidades de chocolate blanco y 600 unidades de chocolate negro. 2. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y 3 Algebra Lineal
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toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes en kg (1 ton =1000 Kg) deberá producir de modo que se agote los suministros de ingredientes? Por datos, la matriz de coeficientes sería
4525 5015 750 30 35 25
Suponiendo que es la cantidad de fertilizante tipo A, la cantidad de fertilizante tipo B y la cantidad de fertilizante tipo C, el sistema de ecuaciones sería 25x + 15y = 1.5 45x + 50y + 75z = 5 30x + 35y + 25z = 3 La matriz ampliada quedaría
3/50 2/23 2545 1550 750 1.55 1/25 451 3/550 750 3/505 1∗452 10 3/523 750 23/10 6/5 1∗303 30 35 25 3 30 35 25 3 0 17 25 10 3/51 75/230 3/501/10 2∗3/51 10 01 75/232 1/100 10 01 75/232 1/100 0 0 700/23 1/2 3/ 700/23 0 0 1 0. 0 2 0 17 25 6/5 2∗173 3∗75/232 3∗21 10 01 000.0.0043 ≈0. ≈0.0034 0 0 1 0.02 ≈0.02
≈
≈≈
Veamos: En la Ec1: 25(0.04)+15(0.03)+0(0.02)=1.45 1.5 En la Ec2: 45(0.04)+50(0.03)+75(0.02)=1.8+1.5+1.5=4.8 5 En la Ec3: 30(0.04)+35(0.03)+25(0.02)=1.2+1.05+0.5=2.8 3 Es decir que para agotar los suministros de ingredientes se deben producir aproximadamente 0.04 ton (40 Kg) de fertilizante tipo A, 0.03 ton (30Kg) de fertilizante tipo B y 0.02 ton (20Kg) de fertilizante tipo C 3. Tres trabajadores A,B y C, para terminar un determinado mes, presenta a su empresa la siguiente plantilla de producción, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de mantenimiento y kilómetros de desplazamiento fijadas para cada uno de ellos Algebra Lineal
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A B C
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HORAS DE TRABAJO VIÁTICO 40 10 60 20 30 6
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KILÓMETROS 150 250 100
Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribución: miles de pesos por hora trabajada, miles de pesos por cada dieta y miles de pesos por kilómetro de desplazamiento y que paga ese mes un total de 3690 mil pesos al trabajador , 6060 mil pesos al trabajador y 2520 mil pesos al . Calcular x, y, z. Representamos la situación como sistema de ecuaciones lineales: 40x + 10y + 150z = 3690 (Ec 1) 60x + 20y + 250z = 6060 (Ec 2) 30x + 6 y + 100z = 2520 (Ec 3)
1 369 15 1 15 369 1 1/40 4060 1020 1502503690 1 4 4 4 4 4 4 6060 525 1∗602 0 5 25 6060 60 20 250 30 6 100 2520 30 6 100 2520 1∗303 0 32 252 4952 1 1 15 369 2∗ 1 5 1 66 1 0 4 4 4 4 2 2/500 312 255 2 4951052 2∗ 33 105 0 1 5 35 90 0 0 5 2 5 1 0 0 21 10 01 55210566 3∗ 1 2 0 1 0 15 3∗52 0 0 1 18 =21 0 0 1 18 Escribimos la matriz ampliada
Verificación En la (Ec1): 40(21)+10(15)+150(18) = 369 840 + 150 + 2700 = 3690 3690 = 3690
=15 =18
En la (Ec2): 60(21)+20(15)+250(18)= 6060 1260 + 300 + 4500 = 6060 6060 = 6060
En la (Ec3): 30(21)+6(15)+100(18)=2520 630 + 90 + 1800 = 2520 2520 = 2520
Por lo tanto el valor de la hora trabajada es de 21 mil pesos, la unidad de viático 15 mil y la de transporte 18 mil
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4. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para jardín: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la tabla. La compañía tiene un almacén de 400 unidades de madera, 1500 de aluminio y 600 de plástico. Para su producción de final de temporada desea agotar toda la existencia. Para lograrlo ¿cuántas sillas, mecedoras y sillones debe fabricar?
Madera Aluminio Plástico
Sillas 1 2 1
Mecedoras 1 3 1
Sillones 1 5 2
Si consideremos la cantidad de sillas, la cantidad de mecedoras y la cantidad de sillones, el sistema de ecuación sería x + y + z = 400 2x + 3y + 5z = 1500 x + y + 2z = 600 Escribimos la matriz ampliada
12 13 151500400 1∗22 10 11 13400700 2∗11 1 1 1 20 600 2 3001∗13 0 0 1 200 3∗21 10 01 00100100 00 10 31 700200 3∗32 0 0 1 200 =100
Veamos en En Ec1 100 + 100 + 200 = 400 400 = 400
=100 =200
En Ec2 2(100) + 3(100) + 5(200)=1500 200 + 300 + 1000 =1500 1500=1500
En Ec3 100 + 100 + 2(200)=600 200 + 400 =600 600=600
La producción final de temporada para agotar existencia tiene que ser 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sillones 5. Una compañía tiene un pedido para entregar tres productos A, B y C. La tabla da el volumen en pies cúbicos, el peso en libras y el costo del seguro en dólares para una unidad de cada uno de los productos. Si el camión puede transportar 8 000 pies cúbicos, Algebra Lineal
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12 400 libras y está asegurado por $52 600 ¿cuántas unidades de cada producto se pueden transportar?
Volumen unitario (pies cúbicos) Peso unitario (libras) Valor (dólares)
PRODUCTOS A B C 24 20 40 40 30 60 150 180 200
Consideremos el volumen en pies cúbicos, el peso en libras y el costo del seguro entonces el sistema de ecuaciones sería 24X + 20Y + 40Z = 8000 40X + 30Y + 60Z = 12400 150X + 180Y + 200Z = 52600 La matriz ampliada quedaría
24 40 2030 4060 12400 8000 124 401 5306 56031000124003 1∗402 1∗1503 150 180 200 52600 52600 150 180 200 10 51063 520331000280033 2 10 10 516 523 10002803 2∗ 56 1 0 1 550 0 50100 2600 1 03 00 10055 50 2600 1 2∗553 00 10 1602 12800 280 3160 00 10 2128080 3∗22 00 010 00110012080 =100
Veamos En Ec1: 24(100)+20(120)+40(80)=8000 2400 +2400 +3200 =8000 8000=8000 En Ec2: 40(100)+30(120)+60(80)=12400 4000 +3600 + 4800 =12400 12400=12400
=120 =80
En Ec3: 150(100)+180(120)+200(80)=52600 15000 +21600 +16000 =52600 52600=52600 Algebra Lineal
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Es decir que se puede transportar un volumen de 100 pies cúbicos, un peso de 120 libras y el costo del seguro es de 80 dólares por cada unidad de producto. 6. El precio de entrada a cierta exposición es de $2 000 para los niños, $5 000 para los adultos y $2 500 para los adultos mayores. En una jornada concreta, la exposición fue visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes niños al de adultos y adultos mayores juntos. La recaudación de dicho día ascendió a $650 000. a. Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos niños, adultos y adultos mayores visitaron la exposición ese día. b. Resolver el problema. Solución a. Por datos n + a + j =200 (Ec1) n = a + j podemos expresar como n a j = 0 (Ec2) 2000n + 5000a + 2500j = 650 000 (Ec3)
––
b. Escribimos la matriz ampliada
1 1 11 11 2000 1∗12 10 21 21 200200 22 1∗20003 2000 5000 2500 650000 0 3000 500 250000 10 11 11 200100 2∗11 10 01 01 150100 3 2∗30003 01 3000 500 250000 0 0 2500 50000 2500 =100 0 0 100 1 0 0 100 00 10 1110020 3∗12 00 10 01 8020 =80 =20 Verificando: En (Ec1): 100 + 80 + 20 = 200, 200=200 En (Ec2): 100 80 20 = 0, 0=0 En (Ec3): 2 000(100)+ 5000(80) + 2500(20)=650 000 200 000 + 400 000 + 50 000 = 650 000 = 650 000 650 000 = 650 000
––
Por lo tanto la exposición la visitaron 100 niños, 80 adultos y 20 adultos mayores. 7. En una fábrica de ropa se produce tres estilos de camisas que llamaremos A, B y C, cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas Algebra Lineal
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se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo A se necesitan 30 min para cortarlas, 42 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo B, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo C, 65 min para cortar, 50 min para coser y 38 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar? Por datos, organizamos las matrices
4230 5050 5065 = 480480 = ℎ 50 50 38 ℎ 480 305065=480 1 425050=480 2 505038=480 3
Como 1 hora tiene 60 minutos, 8 horas es equivalente a 480 minutos
Escribimos el sistema de ecuación. Consideremos: Los lotes de las camisas tipo A, el tipo B y el tipo C
Escribimos la matriz ampliada
→ 3042 5050 6550480480 1→30 421 550⁄3 1350⁄648016 1×422 1×503 480 480 50 50 38 50 50 38 → 10 205⁄3 1341⁄6 19216 2→20 10 51⁄3 4113⁄206 48165 2×→53 1 0 1003 2113 320 → 0 1003 2113 320 2× 1002 3 10 01 41 52044805 3→→ 10 01 41 52044805 3∗3∗4154 12 0 0 2 0 1 0200 00 1=0 0 →20 00 10 0148/50 =48/5 =0
500=480 501:030 50 05038650=480 42050 0 =480
Verificando En
; En (2)
(3):
Algebra Lineal
; En
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Solo se pueden producir 9.6 lotes de camisa tipo B. 8. Una empresa fabrica 3 productos A, B y C, cada uno de los cuales debe pasar por 3 diferentes máquinas M1, M2 y M3, a los largo del proceso de producción. Cada unidad A requiere 1 hora en la máquina A, 2 horas en M2 y 1 hora en M3. De la misma forma cada unidad del producto B necesita 2 horas, 2 Horas y 4 horas en las máquinas M1, M2 y M3 respectivamente y cada unidad del producto C necesita 3 horas, 5 horas y 2 horas en cada máquina. Las máquinas M1, M2 y M3 el número de horas máximo de producción son de 640 horas, 900 horas y 860 horas respectivamente. a. Organice los datos en forma de tabla b. Formule el sistema de ecuaciones que permite obtener el número de unidades máximas que se puede producir por producto. c. Resuelva el sistema planteado utilizando el método de reducción de GaussJordan. 9. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes deberá producir de modo que se agote los suministros de ingredientes? 10. Una empresa tiene tres minas con las siguientes composiciones: Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)
Mina A 1 2 1
Mina B 2 5 3
Mina B 3 7 1
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? 11. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimentos a un lago que mantiene tres especias de peces. Cada pez d e la especie I consume cada semana un promedio de una unidad de alimento 1, una unidad de alimento 2, y dos unidades de alimento 3. Cada pez de la especie II consume cada semana un promedio de tres unidades de alimento 1, cuatro unidades de alimento 2 y 5 unidades de alimento 3. Para un pez de la especie III, el consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 29 000 unidades del alimento 1, 34 000 unidades del alimento 2 y Algebra Lineal
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55 000 unidades del alimento 3. Suponemos que los tres alimentos se consumen. ¿Qué cantidad de cada especie existe en el lago? 12. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas. a. Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo, helados de vasito y granizadas que consume cada familia.
3 €, 12€ 15€,
b. Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 1 y el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada.
calcula
13. Un nutriólogo desea planear cierta dieta con base a tres tipos de alimentos. Los porcentajes de requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro contenidos en cada onza de los tres tipos de alimentos aparecen en la siguiente tabla
Proteínas(%) Carbohidratos(%) Hierro(%)
Tipo de Alimento I 10 10 5
Tipo de Alimento II 6 12 4
Tipo de Alimento III 8 6 12
Indique cuantas onzas de cada tipo de alimento debe incluir el nutriólogo en la comida para cubrir con exactitud los requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro 100% de cada uno. 14. Un fabricante de blusas produce tres tipos: sin manga, manga corta y manga larga. El tiempo requerido por cada departamento para producir una docena de blusas de cada tipo aparecen en la siguiente tabla Sin mangas Manga Corta Manga larga Corte 9 12 15 Confección 22 24 28 Empaquetado 6 8 8 Los departamentos de corte, confección y empaquetado disponen de un máximo de 80, 160 y 48 horas de trabajo respectivamente, por día. ¿Cuántas docenas de cada tipo de blusa se pueden producir al día si la planta opera a toda su capacidad? Algebra Lineal
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15. Una aéreo línea tiene tres tipos de avión que transportan tres tipos de carga. En la siguiente tabla se resume la carga aérea de cada tipo Tipo de Avión Pasajero Transporte Jumbo 100 100 100 150 20 350 20 65 35
Unidades transportadas Correo de primera clase Pasajeros Carga aérea
Suponga que en un día determinado, la compañía debe transportar 1100 unidades de correo de primera clase, 460 unidades de carga aérea y 1930 pasajeros. ¿Cuánta carga aérea de cada tipo debe programar? 16. Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos, Deluxe, Premium y Ultimate, que se deben pintar ensamblar y empacar para su distribución. La tabla da el número de horas requeridas en cada una de estas operaciones para cada tipo de sierra de mesa. Si el fabricante tiene 96 horas disponibles para pintar, 156 horas para ensamblar y 37 para empacar, ¿cuántas sierras de cada tipo se pueden producir al día?
Pintura Ensamble Empaque
Deluxe
Premium
Ultimate
1.6 2 0.5
2 3 0.5
2.4 4 1
17. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20 diarios en Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. a. Represente la situación en un sistema de ecuaciones lineales b. Utilice el método de reducción de Gauss-Jordan para calcular el número de días que pasó el viajero en cada país. 18. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en Algebra Lineal
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la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad? 19. Una empresa transportadora de maquinaria pesada posee tres tipos de camiones, A, B y C. Los camiones están en capacidad de transportar 3 clases de maquinaria. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es
Clase de Maquinaria
1 2 3
Tipos de Camiones A B C 2 1 1 0 1 2 1 2 0
A la empresa le adjudican un contrato para transportar 34 máquinas clase 1, 10 clase 2 y 25 clase 3. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requiere para cumplir con el contrato 20. Una refinería produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinación. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinación. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2, ¿cuántas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al máximo?. 21. Un industrial produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada tonelada de plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plástico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al día y la planta B 15 horas al día, ¿cuántas toneladas de cada tipo de plástico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad? 22. Un dietista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta Algebra Lineal
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debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan?
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El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n , un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n , el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por
| |
Si
=,, ,, =, ×, , ×, == == == × × ××== = = = == =√ =√ el determinante de A es el número que se obtiene de
Hallar el determinante de cada matriz
1. 2.
;
;
3. 4. 5. 6.
Dado el sistema de ecuación lineal ax + by = c dx + ey = f
= ; =
, con a, b, c, d, e y f R se cumple
Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por la regla de Cramer 3x + 2y = -7 x - 3y = 4 Algebra Lineal
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Aplicando la regla de Cramer
7 2 4 x= 32 -233 = -37--33--2422 = 21--9-48 = -1313 =-1 3 7 2 4 y= 32 -23 = 334-3---2722 = 1224-9-4 = -2613 =-2
, entonces x=-1
, entonces y = -2
Verificando
En la (Ec1) 3(-1) + 2(-2) = -7
En la (Ec2) 2(-1) – 3(-2) = 4
-3 – 4 = -7
-2 + 6 = 4
-7 = -7
4=4
Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuación lineal 4x – 3y = -5
3x + 4y = 1
5x – 2y = 4
2x + 3y = 12
3x - 2y = 4
2x – 3y = 12
2x – 3y = 5
3x + 2y =13
3x + 4y = 1
5x – 2y = 4
-4x + 3y= -5
x + 2y =3
2x – 3y =12
2x - 3y = 5
3x – 2y = 4
3x + 6y = 6
0.2x – 0.3y = 4 2,3x – y = 1.2
5 2 x
7
x
3 y
2
y
1;8
x – y = 2 2x + 2y = -2
11
1. En un teatro hay 70 personas entre adultos y niños cada adulto paga $4 000 y cada niño $1 500. Si el recaudo fue de $230 000 ¿cuántos adultos y cuántos niños entraron?
=70 1 5004 000=230 000
Definimos las magnitudes: , el número de niños y : el número de adultos. Organizamos el sistema, por datos Como hay 70 personas: (1) Como el recaudo fue de $230 000: (2) Aplicando la regla de Cramer
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70 1 000 280 000230 000 230 000 4 000 = 1 5001 4 0001 = 70×41 ×400000011×230 = ×1 500 4 0001 500 502 500000 =20 = 1 70 000 1 500 230 000 = 2 500 = 1 ×23012500200050070×1 500 = 230 000105 2 500 = 2 500 =50 20 50=70 =70 1 500204 1 500400050=230 000=230000000 70=70 30 000200 000=230 000 Verificando en En (1)
En (2)
2. Una compañía tiene ingresos gravables por $312 000. El impuesto federal es 25% de la parte que queda después de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es el 10% de la parte que queda después de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto de los impuestos federal y estatal. Sea el monto del impuesto federal e el monto del impuesto estatal Por datos , operando
= 312 000 ×0.25 =78 0000.25 1 = 312 000 ×0.10 =31 2000.10 2 0. 2 5=78 000 0.10=31 200 7 8 000 0. 2 5 31 200 1 = 0.110 0.125 = 7810.0007025800 = 700.920075 =72 000 1 78 000 23 400 0. 1 0 31 200 = 0.975 = 31 2007800 = 0.975 0.975 =24 000 , operando
Despejando (1) y (2)
Aplicando la regla de Cramer
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7722 000000=0000 == 7278 00000000000 0.252424 000 2424000000000000 == 3124200200000000 0.0.10710722 000000
Verificamos En (1)
En (2)
Por tanto el monto del impuesto impuesto federal será de $72 000 y el del estatal $24 000
3. Si fabrican 65 artículos en total y venden cada pulsera a $ 1.000 y cada libreta a $ 1.200 ¿Cuántas pulseras y cuántas libretas deben hacer para obtener $ 71.000 con la venta, si el costo en materiales de cada pulsera es de $ 300 y de cada libreta es de $ 100? ¿Cuánto dinero ganarán con esta venta? 4. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga $60 300. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $33 $ 33 800. Calcule el precio del kilogramo de cada producto 5. La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es $180 000 ¿cuáles son los capitales si se sabe que el primero se prestó al 5% y el segundo al 8%? 6. En un cine 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan $51 200 y 17 de niños y 15 de adultos $831 00. Hallar el precio de una entrada de niño y una de d e adulto. 7.
El viernes en el almacén “trapos” se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y
camisas a $18 000 cada una, las ventas totales totales de esas prendas fueron de $441 000. El sábado el almacén vendió cada pantalón y cada camisa a $20 000 y las ventas f ueron de $420 000 ¿cuántas pantalones y cuántas camisas se vendieron?
8. Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de d e 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional. 9. Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas. La empresa cobra una tarifa fija más un costo adicional por invitado. Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 ¿cuál es la tarifa fija y el costo por invitado?
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10. El alquiler de un automóvil tiene un costo fijo semanal, un recargo adicional que se cobra por cada kilómetro recorrido. Un viaje de una semana de 800 kilómetros kil ómetros cuesta $440 000 y uno de 1200 Km cuesta $560 000. Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilómetro recorrido. 11. Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16000 boletos. Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros ¿cuántos boletos de cada tipo debe vender? 12. Por usar el servicio de internet una compañía cobra un cargo de $2 000 hora/día y $2 500 hora/noche. si una persona pago $64 $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el número de horas diurnas y nocturnas del servicio. 13. Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta. Una tiene u n rédito de 10% sobre la inversión y la otra de 12%. Su ingreso total de estas es de $25 000 ¿En qué tasa tiene la mayor inversión y de cuánto es el monto? 14. El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de 1000. Si el pasaje para niños cuesta US $0.25 y el de adulto US $0.75 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650. ¿Cuántos niños y cuantos adultos utilizaron el bus en la mañana? 15. Juan compró plumeros rojos por $ 1 200 cada uno y azules por $ 800 cada uno. Si Juan compró 24 plumeros con el costo total de $24 800 ¿cuántos plumeros de cada color compró?
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, , , = ,, ,, ,, = | | = ,, × ,,,,××,,,,×,,× , , × , = = | | | | = = ==
Dado el sistema de ecuación lineal
, el determinante de A se obtiene:
Hallar el determinante de la matriz A
Se obtiene ampliando la matriz con las dos primeras filas o dos primeras columnas luego se suman los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas menos las suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas
= | | =
Hallar el determinante de la matriz A
Escribimos la matriz ampliada, agregando las dos primeras filas al final de esta, luego sumamos los productos de los elementos de las diagonales principales menos la sume de los productos de las diagonales secundarias
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| | = ×× ×× ×× ×× ×× ×× | | = == = = = × 2=1 23=0 34=1 = |||| , = |||| = |||| | | 2 1 1 || =13 21 34= | | 1 1 1 || = 01 12 43 =1 83 10 3 0 2 =5 3 2 =10 | | 2 1 1 || =13 01 43 =23 49 1=6131=20 || 2 1 1 || = 13 12 01 =22 0 1 16 =417=10 Hallar el determinante de cada matriz
Ejercicio. Resolver el sistema de ecuación lineal por determinante (1) (2) (3) Los valores de las variables se obtienen:
El determinante
se obtiene de la matriz de coeficientes, así
2(-8+3)-1(-4-9)+(-1)(-1-6)=2(-5)-(-13)-(-7)=-10+13+7=10
El determinante así
se obtiene remplazando en la columna de la columna de resultados,
El determinante así
se obtiene remplazando en la columna de la columna de resultados,
El determinante así
se obtiene remplazando en la columna de la columna de resultados,
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= |||| = 1010 =1 , = |||| = 2010 =2 = |||| = 1010 =1 2=1 23=0 34=1 21 21=1 12231=0 3 1 241=1 21=1 143=0 324=1 1=1 =0 1=1
Remplazando Verificando En (1)
En (2)
En (3)
0
Por tanto el conjunto solución es (1, -2, 1)
. Resolver cada sistema de ecuación lineal por determinante
=2 =0 =4 – – –
23=3 32=1 22=4 23=4 5=1 2=7 –– – – – – –
2x + y - z = -1 3x 2y + z = 3 -4x + 3y + 2z = -11 x + 2y z = 3 3x y + 2z = =-8 2x + 3y + z = -1
x + z -1 x+y=0 y + z = -3
x + y + z = -2 2x y + z = 1 -x + 2y z = -1
x + y+ z= 6 2x + y z = 1 x 2y + z = 0
x 2y + 2z = 3 x 2z = 4 y z = 1
: 1. Una fábrica produce tres tipos de camisas. Cada uno de los tres tipos de camisa tiene que pasar por tres departamentos de producción: corte, cosido y empaque. Según el tipo de camisa, el tiempo de trabajo que se ocupa en cada una está dado en la si guiente tabla: Departamento de corte Departamento de cosido Departamento de empaque
Tipo A 0.2 hr 0.3 hr 0.1 hr
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Tipo B 0.4 hr 0.5 hr 0.2 hr
Tipo C 0.3 hr 0.4 hr 0.1 hr
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Los departamentos de corte, cosido y empaque tienen disponibles como máximo 1160, 1560 y 480 horas de trabajo por semana respectivamente. ¿Cuántas camisas de cada tipo debe de producirse a la semana para ocupar al máximo la capacidad de cada departamento?
0.0.230. 4 0. 3 =1160 1 0. 5 0. 4 =1560 2 0.10.20.1=480 3 0. 2 0. 4 0. 3 || =0.0.31 0.0.52 0.0.41=0.20.050.08 0.40.030.04 0.30.060.05 || =0.0060.0040.003=0.001 1160 0. 4 0. 3 || =1560480 0.0.52 0.0.41=11600.050.08 0.4156192 0.3312240 || =34.814.421.6=1.2 0. 2 1160 0. 3 || =0.0.31 1560480 0.0.41=0.2156192 11600.030.04 0.3144156 || =7.211.63.6=0.8 0. 2 0. 4 1160 || =0.0.31 0.0.52 1560480 =0.2240312 0.4144156 11600.060.05 || =14.44.811.6=2 = |||| = 0.1.0012 =1200,= |||| = 0.0.0801 =800 = |||| = 0.0201 =2000
Escribimos el sistema de ecuaciones, consideremos la cantidad de camisas tipo A, las tipo B y las tipo C
Hallamos los determinantes
Ahora hallamos los valores de las variables
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Verificando
0.0.2212000. 0.40.438000. =116032000=1160 0.21200 0.4800 0.32000 =1160 0.0.3312000. 0.50.548000. =156042000=1560 0.0.1112000. 0.20.28000. 1=480 12000=480 En (1)
1160=1160
En (2)
1560=1560
En (3)
480=480 Por tanto se pueden producir 1200 camisas tipo A, 800 tipo B y 2000 tipo C 2. Un centro de diversión tiene capacidad para 101 mesas, las mesas cuentan con 4, 6 y 8 sillas, la capacidad total de sillas es de 552. En cierto día se ocupó la mitad de las mesas de 4 sillas, un octavo de las mesas de 6 sillas y un tercio de las de 8 sillas para un total de 35 mesas ¿Cuántas mesas de cada tipo se utilizaron ese día? Inicialmente vamos a hallar en número de mesas de cada tipo
=101① 468=552② =35③ 1 1 1 || =1/24 1/86 1/38 =1.16 101 1 1 || =55235 1/86 1/38 =56
Consideremos el número de mesas de 4 sillas, el número de mesas de 6 puestos y el número de mesas de 8 puestos Por datos el sistema de ecuación lineal sería
Calculamos los determinantes
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1 101 1 || =1/24 55235 1/38 =37.33 1 1 101 || =1/24 1/86 55235 =24.5 = |||| = 1.5616 =48 = |||| = 37.1.1363 =32 = |||| = 24.1.156 =21 Rempl②;azando en ① 483221=101; 1 01=101 4 4 8 6 3 2 8 2 1 =552; 5 52=552 , en ③; 48 32 21 =35;35=35 Calculamos los valores de las variables
Verificamos
;
, en
Por tanto el día del evento se utilizaron, 24 mesas de 4 sillas, 4 de 6 y 7 de 8. 3. En un local de comida rápida, una orden de 5 hamburguesas, 2 papas fritas y 3 refrescos cuesta 56 pesos. Una orden de 4 hamburguesas, 3 papas fritas y 2 refrescos cuesta 46 pesos. Una orden de 6 hamburguesas, 4 papas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco? 4. Una farmacia vende 10 frascos de vitamina A, 5 frascos de vitamina C y 25 frascos de vitamina D, todo por un valor de 355 pesos. Además, vende 20 frascos de vitamina A, 10 de vitamina C y 10 de vitamina D por un total de 310 pesos. Por otra parte vende 12 frascos de vitamina A, 4 de vitamina C y 15 de vitamina D por un total de 266 pesos. Encuentra el costo correspondiente a cada frasco de las vitaminas A, C y D. 5. Un laboratorista tiene tres soluciones que contienen cierto ácido. La primera solución contiene 10% de sustancia ácida, la segunda 30% y la tercera 50%. Desea utilizar las tres soluciones para obtener una mezcla de 60 litros que contenga 30% de ácido, Algebra Lineal
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utilizando tres veces más solución de la solución de 50% que la de 30% ¿Cuántos litros de cada solución debe usar? 6. Una mujer compró tres clases diferentes de acciones por $20 000. Una de ellas paga un 6% anual de intereses, otra paga un 7%, y la otra un 8% anual. Al final del primer año, la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 7% es de $940, y la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 8% es de $720. ¿Cuánto invirtió en cada una de las acciones?
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Dos matrices A y B son inversas si A.B = I y B.A = I, se llaman inversas la una de la otra, se denota A = B-1 o B = A-1
= − = ,− –b.c ≠ 0, si a.d – 34 12 12 41 13 26 12 34 Si
Donde a.d
b.c = 0, entonces A -1 no existe
Ejercicios. Calcule la traspuesta de cada matriz a. A =
b. B =
c. C =
d. D =
Para encontrar la inversa de una matriz cuadrada de orden superior a dos se sigue el siguiente procedimiento: 1. Forme una matriz ampliada [A|I], donde A es la matriz de n x n e I es la matriz identidad de n x n. 2. Utilice el método de Gauss-Jordan para obtener una matriz ampliada [I|B], es decir hasta que la matriz de la izquierda se transforme en una matriz identidad. 3. La matriz B de la derecha es la matriz inversa de A. Para verificar el producto de A.B debe ser igual a I. . Hallar y verificar la inversa de cada la matriz
1.
2 5 4 =11 43 32
Inicialmente se forma la matriz ampliada [A |I ] donde I es la matriz identidad es decir Algebra Lineal
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21 54 43 10 01 00 132 0 0 1
Luego se aplica el método de reducción de Gauss-Jordan para obtener la matriz ampliada [ I | B] La primera condición es tener 1 en la posición [1 , 1 ], como no se tiene la condición intercambiamos la filas 1 y 2, quedando
12 45 34 01 10 00 132 0 0 1 12 45 34 01 10 00 10 43 3201 1 2 00 132 0 0 1 075 0 1 1 Tener 0 en el resto de posiciones de la columna 1
Tener 1 en la posición [2,2]
F2/-3
F1*-2+F2
F1*-1+F3
Tener 0 en el resto de posiciones de la columna 2
Tener 1 en la posición [3,3]
10 41 2/33 1/30 2/31 00 10 01 1/32/3 1/34/3 5/32/3 00 0 7 5 0 1 1 0 0 1/3 7/3 11/3 1 10 01 12 // 331/34/3 5/32/3 00 10 01 0015 28 12 0 0 1 7 11 3 0 0 1 7 11 3 21 54 43 15 28 12 =10 01 00 1 3 2 7 11 3 0 0 1 F2*-4+F1 F2*7+F3
F3*-3
Tener 0 en el resto de posiciones de la columna 3
F3*-1/3+F1
F3*-2/3+F2
Para finalizar se verifica que A.B=I es decir
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1 1 3 1 25 1 51 1 1 3 1 2510 01 00 1∗12 10 32 57 11 01 00 2/2 1 5 1 0 0 1 1∗13 0 2 4 1 0 1 1/2 3/2 0 10 137 /521/21 1/20 00 2∗3∗1 10 01 11/2 7/2 1/2 1/2 0 0 2 4 1 0 1 2∗23 0 0 11 11 2 1 1 3/11 3∗ 1 1/2 3/2 0 1/2 1 1/2 10 01 11/2 1 0 0 2 1/2 1/2 0 3/22 2/11 7/22 7 0 1 0 7/2 3∗ 2 0 0 1 2/11 1/11 1/11 2 0 0 1 2/11 1/11 1/11 1/2 2/111 1/2 1 1 3 1 253/22 1 0 0 7/22 = 0 1 0 2/11 1/11 1/11 0 0 1 1 5 1 2 3 01 05 201 2.
Escribimos la matriz ampliada
Verificación
3.
10 01 0513 // 22 01 00 3∗52 23 2 010 105100 010 001 1/2 13 2 010 051100/ 2100 001 1∗32 1∗23 0 0 1 1 0 1 100 010 00111/23/21 010 501 1/2 10 50 =10 01 00 23 2 010 10513/2 1 0 1 001 Escribimos la matriz ampliada
Verificación
Algebra Lineal
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72
4. Calcule la inversa de cada matriz:
23 10 11 11 12 14 15 12 34 11 54 43 12 53 42 11 43 32
11 23 14 0 3 01 21 11 21 31 23 10 11 11 11 10 1 1 01 21
11 10 01 01 12 03 11 53 63 21 32 41 02 10 12 37 64 62
Algebra Lineal
1 2 10 11 31 13 35 1 1 5 1 21 1 2 11 32 4 21 2 21 11 11 02
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73
También se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de la matriz de coeficientes. De la misma manera que escribimos el sistema de tres ecuaciones como ecuación matricial de la forma AX =B, podemos hacerlo de forma general. Si A es una matriz de n x n, B y X son matrices de n x 1, entonces: AX = B Es una ecuación matricial. Si existe la inversa de la matriz A, entonces podemos usar esa inversa para despejar la matriz X en la ecuación matricial. El método de solución general es como sigue: AX =B Multiplicamos ambos lados de la igualdad por A -1, A-1 (AX) = A-1 B (A-1 A)X = A-1 B IX = A-1 B X = A-1 B Por lo tanto las matrices inversas se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones. Desafortunadamente este sistema funciona si solo si existe la inversa de la matriz de coeficientes . Use la matriz inversa para resolver cada sistema de ecuaciones
– – – 6 1 30 83 =21 32 11 01 =119 20 12 2 10 1 1 3 8 x+ z =1 x + 4y 3z = -3 x 2y + z = 3
x+y+z=3 2x + y + z = 4 2x + 2y + z = 10
Algebra Lineal
–– – – 12 11 21= 87 2 2 1 10 2x y 2z = 2 3x y + z = -3 x + y z = 7
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Wassily Leontief fue un economista estadunidense de origen ruso, premio nobel de economía en 1973, desarrollo una aplicación de las matrices útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las erogaciones (repartos de los gastos como de las inversiones que hace el contribuyente un año calendario) gubernamentales sobre la economía.
Se denomina modelo abierto porque algunas mercancías están disponibles para entidades ajenas a la economía.
Consideremos una matriz como la producción bruta de cierta economía, la matriz la matriz de consumo interno, también llamada matriz tecnológica y la matriz de demanda final o superávits disponible para los consumidores, para el gobierno o para la exportación, la ecuación matricial de demanda sería:
= = − − = − × = =−− =
, donde
representa el consumo interno, factorizando la ecuación matricial
, por igualación , como
, es decir
, sería la ecuación que permitiría hallar las producciones brutas. Problemas 1. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la matriz tecnológica
í = í 0.0.12 0.0.15
Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado. Encuentre la producción bruta de cada industria. Algebra Lineal
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–
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75
1 0 0,1 0,1 0,9 0,1 0,2 0,05 0,2 0,95 0 1
Hallemos I A =
I A1
0,95 0,1 1 (0,9)(0,95) (0,1)(0,2) 0,2 0,9
I A1
0,95 0,1 0,835 0,2 0,9
X
1
1,13 0,11 850 0,23 1,07 275
X
1,13 0,11 0,23 1,07
I A1
1,13 850 0,11 275 990,75 calzado X 0,23 850 1,07 275 489,75 ganado
Para verificar tenemos que comprobar que ( I
A) X
0,9
=
0,2
, veámoslo
0,1 990,75
0,99 489,75
842,7 267,4
2. Una economía primitiva con industria maderera y de energía tiene la siguiente matriz tecnológica
= í 0.0.12 0.0.24 = − =00..12 0.0.24 =3700 =10 0100..12 0.0.24=0.0.92 0.0.62 −
Si se desean superávits de 30 unidades de madera y 70 de energía encuentre la producción bruta de cada industria. Debemos hallar
, por datos:
y
Inicialmente hallamos
Calculamos la inversa de
:
es decir
Algebra Lineal
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Hallamos
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= − =−0.540.1 04 00..62 0.0.29=200..62 0.0.29=10..24 0.1.48 = −=10..24 0.1.48×3700=13864 = =0.0.92 0.0.62×13864 =3700
Para verificar tenemos que comprobar que
, veámoslo
Por tanto se tienen que producir 64 unidades de madera y 138 unidades de energía. 3. Cierta compañía posee dos industrias, agrícola y siderurgia. Para producir una unidad agrícola se requiere 0.1 unidades de ella misma y 0.02 unidades de siderurgia. Para producir una unidad de siderurgia se requiere 0.13 unidades de ella misma y 0.01 unidades agrícolas. Si se desean superávits de 2350 unidades agrícolas y 4552 de siderurgia ¿cuál debe ser la producción bruta?
í = í 0.0.012 0.0.0113 = í 2350 4552 =10 010.0.012 0.0.1031=0.0.902 0.0.8071 − − =10..0022 0.1.011 = − = −=25293.459.7596
Inicialmente organizamos las matrices tecnológica y de demandas, por datos y
Ahora
:
Calculamos la inversa de
es decir
Hallamos
Algebra Lineal
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= =24556.160.8280
Para verificar tenemos que comprobar que
77
, veámoslo
Por tanto se tienen que producir aproximadamente 2460 unidades agrícolas y 5294 unidades de siderurgia. 4. Un modelo simplificado de la economía sería: Salidas Productos Agrícolas 0.5 0.2 0.1
Entradas Productos Agrícolas Bienes Manufacturados Combustibles
Bienes Manufacturados 0.1 0.5 0.3
Combustible 0.1 0.3 0.4
La Matriz tecnológica será A=
0.5 0,2 0,1
0,1 0,5 0,3
0,1 0,3 0,4
Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de productos fabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones brutas? D= Debemos resolver: 1 0 0 0 1 0 0 0 1
–
I A=
1 0 0
0 1 0
0.5 0,2 0,1
0 0 1
-
0,5 0,2 0,1
0,1 0,5 0,3 0,1 0,5 0,3
0,1 0,3 0,4 0,1 0,3 0,4
Algebra Lineal
85 65 0 X1 X2 X3
x
=
85 = 65 0 0,5 -0,2 -0,1
-0,1 0,5 -0,3
-0,1 -0,3 0,6
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Debemos resolver la ecuación matricial 0,5 -0,2 -0,1
-0,1 0,5 -0,3
-0,1 -0,3 0,6
X1 X2 X3
=
85 65 0
La matriz ampliada es 0,5 -0,2 -0,1
-0,1 0,5 -0,3
-0,1 -0,3 0,6
85 65 0
Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene 1 0 0
0 1 0
0 0 1
300 400 250
De modo que las producciones brutas de las industrias son Agricultura: Manufactura: Combustible:
X1 X2 X3
Algebra Lineal
= = =
300 400 250
78
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5. Un pequeño pueblo tiene 3 industrias primarias, una mina de cobre, un ferrocarril, y una planta de energía eléctrica. Para producir una unidad (1 $) de cobre la mina gasta $0.20 de cobre, $0.1 de transporte, $0.2 de energía eléctrica. Para producir $1 de transporte, el ferrocarril requiere de $0.1 de cobre, $0.1 de transporte, y $0.4 de energía eléctrica. Para producir $ 1 de energía eléctrica, la planta destina $ 0.2 de cobre, $ 0.2 de transporte, y $ 0.3 de energía eléctrica. Suponga que durante un a ño hay una demanda externa de 1,2 millones de dólares de cobre, 0.8 millones de dólares de transporte, y 1.5 millones de dólares por concepto de energía ¿Cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica
í 0.0.21 0.0.11 0.0.24 = í 0.2 0.2 0.3 1. 2 0. 8 =− í 1. 5 = . – – 1 0 00.2 0.1 0.2= 0.8 0.1 0.2 00 10 01 0.0.12 0.0.12 0.0.43 0.0.12 0.0.92 0.0.74 – 1 0. 8 0. 1 0. 2 1 0 0 1 0. 1 2 0. 2 5 − 0. 8 =0.0.12 0.0.92 0.0.7400 10 01 0.0.12 0.0.92 0.0.74 1. 025 01 00 1∗0.1 2 10 0.0.8182 0.0.24521.0.2152 01 00 0. 828 0 0 1 1∗0.2 3 0 0.22 0.65 0.25 0 1
Ahora la matriz de superávits
Debemos calcula Hallamos I A
I A =
Calculamos (I A)-1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
Algebra Lineal
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80
10 0.112 0.0.24571.0.2153 1.013 00 2∗0.121 10 01 0.0.34071.0.2163 0.1.1133 00 3 233 10 0 1 0.054 0 0.1.2471 0.0.2246 10.0.5554 0 0.212 0 0.60.5 300.21.526 00.131 2∗0.0 23∗0. 00 10 0.1470.0.153 1.0.1434 1.085 3∗0.472 00 10 010.0.356 1.0.3434 0.1.8865 1. 4 1 0. 2 6 0. 5 5 − =0.0.356 1.0.3434 0.1.8865 −.= 1. 4 1 0. 2 6 0. 5 5 1. 2 2. 7 25 − . =0.0.356 1.0.3434 0.1.88650.1.85=2.3.778627 í Entonces
Calculamos
Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir aproximadamente 2.725 unidades de cobre, 2.786 de ferrocarril y 3.727 de energía. Para verificar el resultado se debe comprobar que
. = 0. 8 0. 1 0. 2 2. 7 25 1. 1 56 . =0.0.12 0.0.92 0.0.742.3.778627=0.1.754406
Por lo tanto la solución es correcta.
6. Una compañía que produce, gas, aceite y gasolina, se sabe que para producir una unidad de gas requiere 1/5 del mismo, 2/5 de aceite y 1/5 de gasolina. Para producir una unidad de aceite, requiere de 2/5 de gas y 1/5 de aceite. Para producir una unidad de gasolina usa 1 unidad de gas y una de. Finalmente Si tiene una demanda del mercado de 100 unidades de cada producto. ¿Determinar la producción bruta de cada industria para cumplir con su mercado? Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica Algebra Lineal
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81
= 2/51/51 1/52/51 1/500 100 =− 100100 = . – 1 0 0 1/5 2/5 1/5 4/5 2/5 1/5 – 00 10 012/51 1/51 00 =2/51 4/51 01 – ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 1/ 4 5 4 5 2 5 1 5 1 0 0 − =21⁄5 41⁄5 10 00 10 01 12⁄5 14⁄⁄52 10⁄45⁄04 10 00 1∗2⁄5 2 11 11⁄2 11⁄4 50⁄4 00 10 1∗13 ⁄3⁄4 15⁄⁄24 10 01 2/3⁄5 00 33⁄⁄52 110 10 11⁄2 11⁄⁄6455⁄⁄46 50⁄3 00 2∗1⁄2 1 10 01 11 ⁄⁄3655⁄⁄36 55⁄⁄63 00 3 0 1 0 0 1 0⁄210⁄53⁄2 5⁄52⁄2 2⁄13 0 31⁄20 3⁄14⁄3 5⁄54⁄3 05⁄6 1 0 2∗33∗1⁄2⁄31 ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 0 1 0 3∗1 62 0 1 1 6 5 6 5 3 0 5 3 5 2 1 3 3/1⁄2 0 0 1 5 5 2 001 5 5 2 ⁄ ⁄ ⁄ 10 3 5 2 2 3 − = 5⁄53 55⁄2 12⁄3 −.= Ahora la matriz de superávits
Debemos calcula Hallamos I A I A =
Calculamos (I A)-1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
Entonces
Calculamos
Algebra Lineal
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82
⁄ 10 3 − . = 5⁄3
55⁄⁄22 21⁄⁄33100100= 650450 5 5 2 100 1200 . = 4/5 2/5 1/5 650 100 . =2/51 4/51 01 1200450 =100100
Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir 650 unidades de gas, 450 de aceite y 1200 de gasolina. Para verificar el resultado se debe comprobar que
Por lo tanto la solución es correcta.
7. Considerando las industrias: química, la médica y la de servicios, se sabe que hay una demanda de la industria química de 0.25 de su propia producción, 0.35 de la médica, y 0.1 de servicios. Para producir una unidad de medicamentos, se requiere de 0.15 de la industria química, 0.2 de su propia producción y 0.1 de servicios. Existe también una demanda de la industria de servicios de 0.15 de medicamentos, 0.25 de químicos y 0.35 del mismo transporte. Si hay una demanda externa de 600 de químicos, de 1100 de medicinas y 600 de transporte ¿Cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? Por comodidad se trabajará con dos cifras decimales Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica
A=
Química Química 0.25 Médica 0.15 Servicios 0.25
Médica 0.35 0.20 0.15
Ahora la matriz de superávits 600 Química D= 1100 Médica 600 Servicios
Debemos hallar: Calculamos I - A
= −.
Algebra Lineal
Servicios 0.10 0.10 0.35
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83
1 0 0 0. 2 5 0. 3 5 0. 1 0 0. 7 5 0. 3 5 0. 1 0 =00 10 010.0.1255 0.0.2105 0.0.1305=0.0.1255 0.0.8105 0.0.6150 – 1 0. 7 5 0. 3 5 0. 1 0 1 0 0 − =0.0.1255 0.0.8105 0.0.615000 10 01 0.75 10.15 0.0.8406 0.0.11031.033 01 00 1∗0.152 10 0.0.7436 0.0.11311.0.3139 01 00 0. 723 253 0 0.26 0.61 0.33 0 1 0.25 0.15 0.65 0 0 1 2∗0.1∗0.461 10 0.146 0.0.11351.0.3236 1.036 00 10 01 0.0.11951.0.4246 0.1.6326 00 3 0 0.1 206 0.0.6119 1.0.4343 0.602 10 2∗0. 3∗0.263 0 0 0. 5 7 0. 3 9 0. 3 5 1 0. 5 7 1 91 1 0 0 1. 5 6 0. 7 3 0. 3 3 00 10 0.1150.0.2668 1.0.3661 1.075 3∗0.152 00 10 010.0.3688 1.0.4651 0.1.2765 1. 5 6 0. 7 3 0. 3 3 − =0.0.3688 1.0.4651 0.1.2765 −.= í 1. 5 6 0. 7 3 0. 3 3 600 1937 − . 0.0.3688 1.0.4651 0.1.27651100600=1979 é 2129 . = 0. 7 5 0. 3 5 0. 1 0 1937 547. 2 . =0.0.1255 0.0.8105 0.0.61501979 = 1079. 7 5 2129 602.75 Calculamos (I A)-1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
Entonces
Calculamos
=
Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir aproximadamente con 1937 unidades de industria química, 1979 de medicamentos y 2129 de servicios. Para verificar el resultado se debe comprobar que
Por lo tanto la solución es correcta.
Algebra Lineal
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84
8. Considerando las industrias: manufactura, agricultura y servicios. Por cada unidad de producción, manufactura requiere de 0.1 unidades la misma, 0.3 de agricultura y 0.3 de servicios. Por cada unidad de producción la agricultura utiliza 0.2 unidades de su propia producción, 0.6 de manufactura y 0.1 de servicios. Por cada unidad de producción del sector de servicio se consumen 0.1 de servicios, 0.6 unidades de manufactura, pero ninguno de agricultura. Determine los niveles de producción necesarios para satisfacer una demanda final de 18 unidades para manufactura, 18 para agricultura y 0 para servicios. Escribimos la matriz tecnológica
0. 1 0. 3 0. 3 = 0.0.66 0.02 0.0.11 1 8 = 180 = −. 1 0 0 0. 1 0. 3 0. 3 0. 9 0. 3 0. 3 =−00 10 010.0.66 0.02 0.0.11=0.0.66 0.08 0.0.91 2. 2 2 0. 8 3 0. 8 3 − =1.1.8458 1.0.9545 0.1.8636 = −. − 2.22 0.83 0.83×18=55 = . =1.1.8458 1.0.9545 0.1.8636 180 6837 =
La matriz de demanda final es:
Debemos hallar: Calculamos I - A
Calculamos
Calculamos
Para verificar calculamos
, veámoslo
Algebra Lineal
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85
0. 9 0. 3 0. 3 55 18 =0.0.66 0.08 0.0.91×6837=180
Por tanto para satisfacer una demanda final de 18 unidades para manufactura, 18 para agricultura y 0 para servicios se tienen que producir 55 unidades de manufactura, 68 y 37 de servicios. 9. Suponga que una economía tiene dos industrias, agricultura y minería, y la economía tiene una matriz tecnológica A M 0.4 0.2 Agricultura A= 0.1 0.3 Minería Si desean un superávit de 140 unidades agrícolas y 140 unidades de minerales, encuentre la producción bruta de cada industria 10. Supongamos que una economía tiene dos industrias, bienes y servicios. Una unidad de bienes requiere insumos de 0.2 unidades de bienes y 0.5 unidades de servicio. Una unidad de producción de servicios requiere 0.4 unidades de bienes y 0.3 de servicios. Si se desea una demanda final de 20 unidades de bienes y 30 de servicios implemente el modelo abierto de Leontieff para determinar las producciones brutas de cada i ndustria. 11. Dada la matriz tecnológica A con industrias a, b, c A=
0.0.12 0.0.51 0.0.32 0.3 0.2 0.1 150100 150
Halle la producción bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente matriz de superávits D=
12. La economía de una nación en vía de desarrollo tiene la siguiente matriz tecnológica Agricultura 0,1 0,02 0,05
Siderurgia 0,01 0,13 0,18 Algebra Lineal
Carbón 0,01 0,20 0,05
Agricultura Siderurgia Carbón
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86
Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 2 350 toneladas de productos agrícolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de carbón. La producción bruta de calzado es aproximadamente de 991 unidades y de ganado aproximadamente de 490 unidades 13. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica Agricultura 0,43 0,3 0,23
Industria 0,08 0,17 0,22
Servicios 0,06 0,05 0,1
Agricultura Industria Servicio
Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 490 unidades de productos agrícolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios. 14. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica Manufactura 0,5 0,2 0,1
Agricultura 0,4 0,3 0,1
Servicios 0,2 Agricultura 0,1 Industria 0,3 Servicio
Encuentre las producciones brutas si se quieren tener superávits de 50 unidades de para manufactura, 30 unidades para agricultura y 20 para servicios.
Algebra Lineal
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87
En dicho modelo se incluye la mano de obra (trabajo) y no hay superávits es decir D=0.
–
Para los modelos cerrados, la ecuación tecnológica no tiene solución única, de modo que la matriz (I A) no existe y por tanto no es posible usarla para encontrar la solución. Ejercicio. 1. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. Encuentre las producciones brutas de la industria
0.0.51 0.0.13 0.02 = 0.4 0.6 0.8 0.50.10.2= 0.0.40.10.60. 3 8== 0. 5 0. 1 0. 2 =0 0.40.0.10.60. 7 2=0=0 0. 0.15 0.0.17 0.02 00 0. 15 0.11 0.0.72 0.0 400 1∗0.1 2 10 0.0.628 0.0.044 00 0.4 0.6 0.21 00.2 0.0.4 4 0.60 0.2∗0.2 201 1∗0.1 4 030.041 0.068 0.04 0 0.268 00 0.168 0.0.004500 2∗0.683 00 10 0.00500 0.0.4015 =0=0 Escribimos el sistema de ecuaciones, suponiendo que productos, la de maquinarias y el trabajo
es la producción bruta de
Igualando a cero cada ecuación
Resolvemos utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
Despejando
Algebra Lineal
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88
=0. 4 1 =0.05
Por tanto la producción de productos es 0.41 la producción del trabajo y la de maquinarias es 0.05 la producción del trabajo. 5. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina por medio de la matriz A, encuentre las producciones brutas de la industria
0. 4 0. 3 0. 4 = 0. 2 0. 4 0. 2 0.4 0.3 0.2 0.40.30.4= 0.0.420.0.340. 0.22== 0. 6 0. 3 0. 4 =0 0.0.420.0.360. 0.82=0=0
Escribimos el sistema de ecuaciones, suponiendo que lucrativos, la de no lucrativos y el trabajo
es la producción bruta de
Igualando a cero cada ecuación
Resolvemos utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
0. 0.26 0.0.36 0.0.42 00 10.6 0.12 0.0.65 0.0.26600 1∗0.2 2 10 0.0.55 0.0.363600 0.4 0.3 0.8 0 1 0.5 0.0.4 60.63 0 0.2∗0.8 501 1∗0.1 4030.909 00.5 0.53 0 2/0.5 00 0.15 0.0.563600 2∗0.5 3 00 10 0.0.62600
Despejando
0. 9 9=0; =0. 9 9 0.66=0; =0.66
Es decir que las producciones lucrativas son el .099 del trabajo y las no lucrativas son de 0.66 del trabajo 6. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. Algebra Lineal
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0. 5 0. 4 0. 3 = ó í 0.0.41 0.0.51 0.0.34 0.50.40.3= 0.0.140.0.150. 0.43== 0. 5 0. 4 0. 3 =0 0.0.140.0.150. 0.63=0=0
Encuentre las producciones brutas de la industria
Escribimos el sistema de ecuaciones, suponiendo que manufactura, la de Energía y el trabajo
es la producción bruta de
Igualando a cero cada ecuación
Resolvemos utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
0. 0.45 0.0.45 0.0.33 00 10.5 0.14 0.0.58 0.0.3600 1∗0.4 2 10 0.0.188 0.0.546 00 1 3 0 0. 1 8 0. 5 4 0 0.1 0.1 0.6 0 1 0.80.1 0.0.61 00. 62∗0.0 81∗0. 1 1 0 3 0 2/0.18 00 0.118 0.35400 2∗0.183 00 10 0300
Despejando
3=0 =3 3=0;=3 ;
Es decir que la producción de manufactura es 3 veces el trabajo y la de generación de energía es 3 veces el trabajo 7. Suponga que una economía consiste en los sectores: portuario, manufactura y trabajo. El sector portuario para su funcionamiento requiere del 20% de su propia producción, el 60% de la producción manufacturera y 20% de la mano de obra. Para la producción manufacturera se requiere del 50% de sí misma, 10% del sector portuario y 40% de mano de obra. La mano de obra requiere del 10% del sector portuario, 10% de la Algebra Lineal
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manufactura y 80% de sí misma. Encuentre y explique la producción bruta de cada industria.
0.0.26 0.0.15 0.0.11 = 0.2 0.4 0.8 0.20.10.1= 0.0.260.0.450. 0.81== 0. 0.860.0.150.0.11=0=0 0.20.40.2=0
Escribimos la matriz tecnológica
Como incluye el trabajo se desarrolla basado en el modelo cerrado de Leontief. Escribimos el sistema de ecuaciones, suponiendo que es la producción bruta del sector portuario, la de manufactura, y el trabajo
Igualando a cero cada ecuación
Resolvemos utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
0. 0.68 0.0.15 0.0.11 00 10.8 0.16 0.0.152 0.0.11200 1∗0.6 2 10 0.0.1422 0.0.117200 2 3 0.2 0.4 0.1 20.012 0.12 0.02 2∗0.0.4 1210.2 10 1∗0. 0 0. 4 2 0. 1 7 0 2∗0. 1 21 0 0. 1 7 0 2/0.42 00 0.142 0.0.147100 2∗0.423 00 0.142 0.04100 2∗0.423
Despejando
0. 1 7=0 =0. 1 7 0.41=0;=0.41 ;
Es decir que la producción del sector portuario es 0.17 veces la producción de la mano de obra y la manufactura es 0.41 veces el trabajo 8. suponga que una economía consiste en los sectores de carbón, electricidad, y el trabajo. El carbón para su producción necesita del 0% de carbón, 40% de electricidad, y 60% de la mano de obra. Para la electricidad se necesita 60% de carbón, 10% de electricidad y Algebra Lineal
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91
20% de la mano de obra. La mano de obra necesita 40% de carbón, 50% de electricidad y 20% de ella misma. Encuentre y explique la producción bruta de cada industria.
ó 0 0. 4 0. 6 = 0.0.64 0.0.15 0.0.22 0. 4 00. 6 0= 0.0.6400. 1 00. 2 0= 00.500.20= 0. 4 00. 6 0=0 0.0.6400. 9 00. 2 0=0 00.500.80=0
Escribimos la matriz tecnológica
Como incluye el trabajo se desarrolla basado en el modelo cerrado de Leontief. Escribimos el sistema de ecuaciones considerando que representa la producción bruta de carbón, la producción bruta de electricidad y la producción bruta del trabajo
Igualamos a cero cada ecuación
Resolvemos utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
10.6 0.0.49 0.0.26 00 11 0.16 0.0.94 0.0.26 00 1∗0,6 2 10 0.0.646 0.0.566 00 2/0.66 0.4 0.5 0.8 0 0.4 0.5 0.8 0 1∗0,4 3 0 0.66 0.56 0 10 0.1 4 0.0.864 00 2∗0,4 1 10 01 0.0.9834 00 0 0.66 0.56 0 2∗0,661 0 0 0.00 0 Despejando
0. 9 3=0; =0. 9 3 0.84=0;=0.84
Por tanto la producción bruta de carbón es del 93% del trabajo y la de electricidad es del 84% del trabajo. 9. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. Algebra Lineal
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92
ó 716 12 163 = ó 165 16 165 14 13 12 716 12 163 = 516 16 165 = 14 13 12 = 5169 512 5163 =0 161 61 161 =0=0 4 3 2
Encuentre las producciones brutas de la industria Escribimos el sistema de ecuaciones considerando que representa la producción bruta de agricultura, la producción bruta de construcción y la producción bruta del trabajo
Igualamos a cero cada ecuación
Resolvemos utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
591616 1526 53168 00 1 916 5116 8596 51163 00 1∗ 516 2 10 8/9 1/3 00 2/ 59 5/9 5/12 14 13 12 0 14 13 12 0 1∗ 14 3 0 5/9 5/12 0 8 2∗ 1 1 8/9 1/3 0 3/4 00 2∗ 599 3 100 010 3/410 000 2/5/9 00 5/91 5/12 Algebra Lineal
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Despejando
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93
=0;= 3/4=0;=3/4
Por tanto la producción bruta de la agricultura es igual a la de del y la de la construcción es ¾ del trabajo. 10. Se da la matriz parcialmente reducida para la producción bruta de cada industria de un modelo cerrado de Leontief. Encuentre la producción bruta de cada industria
óí 3 10 7 = 00 200 100 0. 4 0. 1 0. 3 = í 0.0.24 0.0.63 0.0.52
11. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.
Encuentre las producciones brutas de la industria
12. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.
0. 4 0. 2 0. 2 = 0.0.42 0.0.53 0.0.53
Encuentre las producciones brutas de la industria
13. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.
Algebra Lineal
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94
0.0.26 0.0.15 0.0.11 = 0.2 0.4 0.8
Encuentre las producciones brutas de la industria
14. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.
0. 3 0. 2 0. 1 0. 0 5 = 0. 2 0. 3 0. 1 0. 1 0. 2 0. 1 0. 2 0. 1 0.3 0.4 0.6 0.75
Encuentre las producciones brutas de la industria
15. Suponga que una economía simple tiene cuatro industrias: agricultura, construcción, vestuario y transporte, y que se satisfacen las condiciones del modelo cerrado de Leontief. Los insumos y los productos están dados por la siguiente matriz.
Agricultura Construcción Vestuario Transporte
Agricultura
Construcción
Vestuario
Transporte
1/3 1/3 1/4 1/12
4/9 1/3 1/9 1/9
1/3 1/6 1/4 1/4
1/3 1/6 ¼ 1/4
Suponga que los ingresos a las industrias de agricultura, construcción, vestuario y transporte son P 1 , P 2 , P 3 , y P 4 respectivamente. Asuma que se cumple la condición de equilibrio, y determine los ingresos de cada sector de la economía.
Algebra Lineal
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95
<,>,≤,≥
Una desigualdad son dos expresiones aritméticas relacionadas con los operadores de relación: Para cada par de números reales a y b , es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: a < b ó a > b ó a=b Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. ·
es aquella que es válida para cualquier valor que se atribuya a las variables definidas en ella. Por ejemplo: x 2 +1 > x
·
es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las variables. Por ejemplo: 4x -12 > 0 que solamente satisface para x > 3.
,,, ∈ >< >< >< > > >< >< >< > <
Si (
)
:
Si Si
, entonces , entonces
Ejemplo Como 5 > 2 y 2 > -1 entonces 5 > -1 Como 3<5 y 5<9 entonces 3<9 Si
entonces
Ejemplo Como 7 > 2 entonces 7 + 3 > 2 + 3, 10 > 5 Si Si
entonces entonces
Ejemplo Como 6>2 y 7>3 entonces 6+7>2+3 Como 5<7 y 2<6 entonces 5+2<7+6 Si a > b y c > 0 entonces
Ejemplo Como 8>4 entonces 8*2>4*2, 16>8 Si a > b y c < 0 entonces
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96
Como 9>5 entonces 9*(-2)<5*(-2),-18<-10
> > 0 > > >< << 00 <> − > − − > − >0 –<0 >0> – <>0 ≠ 0 > 0 Si
entonces
Como 8>6 entonces
, 4 > 3
Si
entonces
Si
entonces
Como 8>4 entonces
, - 4 <-2
Como 6<9 entonces
, -2>-3
si y solamente si, si y solamente si,
Si entonces Como 5>3 entonces -5<-3 Si entonces
Subconjunto de los números reales y se clasifican en: Tipo
Definición
, , , ,
Grafica
∞ ≤≤ ∞ ≤≤ ∞ ≤≤ ∞
(
) = {x
/
[
] = {x
/
[
= {x
]= {x
/
/
Algebra Lineal
∞ ∞ ∞ ∞
Mis Notas de Clase
, ∞ =∈/> , ∞ =∈/≥ ∞, =∈/< ∞, =∈/≤
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∞ ∞ ∞ ∞
97
∞ ∞ ∞ ∞
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente). Ejercicios: Resolver cada inecuación justificando cada uno de los pasos y expresando el resultado en forma de intervalo y gráficamente 1.
3>7 33>73 0>73: >73: >4:
: Por Igualación Inverso aditivo Propiedad Modulativa de la suma Operando Algebra Lineal
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En notación de intervalos, la solución es mayores que 4. Gráficamente -
2.
∞
24<6 244<64: 20<64: 2<64: 2<10: < 1<< : : <5: :
∈4,∞
98
es decir todos los valores reales
∞
4
Por igualación Inverso Aditivo Propiedad Modulativa de la suma Operando Por igualación Inverso Multiplicativo
Propiedad Modulativa de la multiplicación Operando En notación de intervalos, la solución es , es decir todos los valores reales menores que 5. Gráficamente -
3.
− − ≥0 −+− ≥0
∈∞,5
∞
5
4236≥06 12≥0 122≥02 10≥02 1≥2 ≥ ≥1. ≥
∞
Operando
Operando
Operando
Igualando Inverso Aditivo Propiedad modulativa de la suma Por igualación Inverso multiplicativo Propiedad modulativa de la multiplicación Algebra Lineal
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99
Gráficamente -
En forma de intervalo
4.
-
5.
∞
∞
1/2
∞,1/2
5> −− >4 −− 5∗2>10>31>8 ∗2>4∗2 101>311>81 11>3>9 − < −− < − <<3 -11/3
∞
Por igualación Inverso Multiplicativo Por igualación Inverso aditivo Por igualación Inverso multiplicativo
-3
∞
+− >0
Inicialmente hallamos los valores críticos igualando el numerador y el denominador a cero
3=0, =3 1=0, =1 =3 =1 −−+− = − =0 =3 =1 + = =∞
Los valores críticos son y . Evaluamos esos valores críticos en la inecuación para ver si satisfacen la inecuación, si la satisfacen pertenecen al conjunto solución de lo contrario no pertenece, veamos Si Si
,
,
−
, no pertenece al conjunto solución
, no pertenece al conjunto solución
Algebra Lineal
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100
En una recta real representamos los valores críticos. Tomamos valores arbitrarios a derecha e izquierda de los valores críticos y lo evaluamos en la desigualdad. Si el valora remplazado satisface la desigualdad, el intervalo al cual pertenece el valor es conjunto solución, veamos Si Si
−−+− = −− = >0 =4 =0 +− = − =3<0 =2 +− = =5>0
Si
,
,
∞,3,13 ∞
, el intervalo (-
, el intervalo (-
,
, el intervalo (1,
Por tanto el conjunto solución de la inecuación
6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
31>5 23≥31 12≤9 − <1 21< − ≤1 + >2 − <1 − 1≥1 − − ≤3
Algebra Lineal
es conjunto solución
no es conjunto solución
es conjunto solución
+− >0
es
∞,3∪1,∞
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101
=40
=201600 > 40>201600 4020>1600 20>1600 >80 80,∞
1. Para un producto determinado la función del ingreso está dada por y la del costo , donde son las unidades vendidas. Para obtener utilidad, el ingreso tiene que ser mayor al costo ¿para qué valores habrá utilidad? Grafique.
En notación de intervalos la solución es venden más de 80 unidades -
∞
es decir habrá utilidad cuando se
∞
80
2. Una compañía de alquiler de vehículos renta un tipo de vehículo en US$33 por día y otro en US$20 día más una tarifa inicial de US$78 ¿Por cuántos días sería más barato rentar el segundo tipo de vehículo? Graficar. Sea Sea
=33=2078
la tarifa del primer tipo de vehículo es decir: la tarifa del segundo tipo de vehículo es decir
< 2078<33 78<3320 78<13 7813 < 6< ,∞
Como vamos a indagar por cuántos días el tipo dos es más barato que el tipo uno
La solución en forma de intervalo es es decir que la renta del vehículo tipo 2 es más barata que el tipo uno después del sexto día -
∞
6
∞
3. Una fábrica de camisetas produce N camisetas con un costo de mano de obra total (en dólares) de 1.2N y un costo total por material de 0.3 N . Los gastos generales para la Algebra Lineal
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102
planta son de $6000. Si cada camiseta se vende en $3, ¿cuántas camisetas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?
– 1.20.36000 3 331.20. 3 6000 >0 1 . 5 6000 >0 31.1.55>6000 6000>0 >>400060001.5 1.24000 0.34000 6000=12000 40
Para obtener utilidad se tiene que cumplir: Ingreso Costo > 0 Por datos el costo de producción es: Remplazando
, y los ingresos
Veámoslo El costo de producir camisetas es: El ingreso por la venta de camisetas es: 3(4000)=12000 Por tanto para obtener utilidad se tienen que vender más de 4000 camisetas
0.2
4. El ingreso mensual logrado por vender relojes de pulsera se calcula como U.M. El precio de costo de cada reloj es de 32 U.M. ¿Cuántas unidades deben venderse cada mes para obtener una utilidad de por lo menos 50 U.M.? Inicialmente hallamos la expresión de la utilidad.
=400. 2 = =400.2 32 =80. 2 ≥50 80.2 ≥50 80.2 80. =50 2 =50 80.2 50=0 √ 0.64440 = 8± = 8±0.√ 64440
Por datos el ingreso es utilidad es , remplazamos Por tanto
La condición es
y la ecuación de costo
=32
, luego debemos resolver la inecuación
Resolvemos la ecuación
, para hallar los valores críticos
Resolviendo por fórmula general
Algebra Lineal
. Como la
Mis Notas de Clase
Tenemos dos raíces ,y
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103
= 8±4.0.489 = 84.0.489 =7. 7 7≅8 = 84.0.489 =32.2≅32
Los valores críticos son 8 y 32, los representamos en la recta real y evaluamos valores arbitrarios en los intervalos comprendidos entre los valores críticos en la inecuación original
-
∞
10
∞, 8 8 , 3 2 =7 8 7 0. 2 7 =46. 8 <50 =10 8 1 0 0. 2 1 0 =60>50 =33 833 0.233 =46.2<50 8,32 0.062 Si Si Si
,
, ,
7
8
32
32,∞ 33
∞
, no cumple con la desigualdad. , si cumple con la desigualdad. , no cumple con la desigualdad.
Por tanto el conjunto solución es el intervalo , es decir que para vender por lo menos 50 U.M. deben venderse entre 8 a 32 relojes al mes
=1 000
5. Una vendedora tiene un ingreso mensual que se determina por medio de , donde es el volumen de ventas mensuales. ¿Cuánto debe vender para reunir por lo menos $3 500 en un mes?
6. Se pueden gastar máximo $900 en una cámara de video y algunas cintas de video. Planea comprar la cámara en $695 y las cintas en $5.75 cada una. Escriba una desigualdad que se pueda utilizar para encontrar el número de cintas que se podrían comprar ¿Cuántas cintas se podrían comprar? Grafique.
= −+ 0.05
7. Sea una función que representa los beneficios que obtiene una empresa, siendo x los años de vida de la misma. ¿a partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas?
50
8. Los ingresos mensuales logrados al vender cajas de dulces se calcula como U.M. El precio de costo de cada caja de dulce es de 1.5 ¿Cuántas cajas deben venderse cada mes para lograr una utilidad de por lo menos 60 U.M.? Algebra Lineal
Mis Notas de Clase
<
104
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, 1,2, 4,3,1,0 ,
2,1, 1,3,0,1 ,
Si las soluciones para esta desigualdad son los pares ordenados que satisfacen la desigualdad, como pero no lo son. La gráfica de la desigualdad consta de los puntos cuya coordenada es menor que la coordenada .
<
Ejercicio. Trace la gráfica de cada desigualdad 1.
≤21
Inicialmente graficamos
=21
y
x
Tenemos dos áreas una que está por encima y la otra por debajo de la gráfica. Tomamos dos valores arbitrarios de cada una de las áreas y lo evaluamos en la desigualdad. La solución de la desigualdad es del área al que pertenece el punto que satisface la desigualdad.
≤21 ≤21
0,0 =0 =0 0≤20≤10 1 2,1 =2 =1 1≤21≤32 1
Tomamos un punto por encima de la gráfica, el evaluamos en No satisface la desigualdad. Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el evaluamos en Si satisface la desigualdad.
Algebra Lineal
, es decir
, es decir
,
,
Mis Notas de Clase
105
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2,1
Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto , es decir aquellas que están por debajo de la gráfica, gráficamente y
x
2.
<1 =1
Trazamos
y
x
<1
Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el evaluamos en
Si satisface la desigualdad.
12 14 <1 34 <1
1,1 =1 =1
Algebra Lineal
, es decir
,
Mis Notas de Clase
<1
106
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Tomamos un punto por encima de la gráfica, el evaluamos en
< 11. 512<1< 1 1,1
2,2 =2 =2 , es decir
,
No satisface la desigualdad. Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto , es decir aquellas que están por debajo de la gráfica, gráficamente y
x
3.
2 <3 = Graficamos
y
x
Tomamos encima de la gráfica, el
, = = < < < , es decir
Algebra Lineal
< un punto por
, evaluamos en
Mis Notas de Clase
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107
2, 1 =2 =1 2 <3 221 <13 26<23 <2 1,2
Si satisface la desigualdad. Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el evaluamos en
, es decir
,
No satisface la desigualdad. Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto , es decir aquellas que están por encima de la gráfica, gráficamente y
x
4. 5. 6.
≥45 2 < ≥4
Para resolver gráficamente un sistema de desigualdades se siguen los siguientes pasos: Se grafican las inecuaciones en un solo plano. Se evalúan un punto arbitrario de cada región. Aquella región en la cual el punto satisfaga las dos inecuaciones es el conjunto solución
<2 >1
. Resuelva gráficamente cada sistema de desigualdades
1.
Trazamos las dos graficas
Algebra Lineal
Mis Notas de Clase
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y
108
Area 4
Area 3
Area 1
x
Area 2
2 , 1 =2 =1 <2 1<22 1<4 >1:1>21:1>3 2, 2 =2 =2 <2 2<22 2<4 >1: 2>21: 2>1 1, 1 =1 =1 <2 1<21 1<2 >1:1>11:1>0 3 , 5 =3 =5 <2 5<23 5<6 >1:5>31:5>4
Tenemos 4 áreas, entonces evaluamos un punto de cada área en la desigualdad: Del área 1: tomamos es decir y En : : Satisface En No satisface Del área 2: tomemos En : En
es decir y No Satisface No satisface
:
Del área 3: tomemos es decir y En : : No Satisface En satisface Del área 4: tomemos es decir y En : : Satisface En satisface
Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 4 y
Area 4
y = 2x
Area 3
Area 1
x
Area 2
y = x+1
Algebra Lineal
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2.
José F. Barros Troncoso
109
2<3 2≥1
Graficamos
y
x-2y>=-1
Area 4
Area 3
Area 1
x
Area 2
2x+y<3
2 , 1 =2 =1 2<3 221<35<3 1 , 0 =1 =0 2<3 2 1 0<3:2<3 2≥1:120 ≥1: 1 ≥1 2, 0 =2 =0 2<3 2 2 0<3:4<3 2≥1: 220 ≥1:2≥1 1 , 2 =1 =2 2<3 21 2<3:4<3
Evaluamos cada una de las áreas Del área 1: tomamos es decir y En : No Satisface Del área 2: tomemos En : En
Del área 3: tomemos En : En Del área 4: tomemos En :
es decir
y Satisface Satisface
es decir
es decir
y Satisface No Satisface
y No Satisface
Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 2
Algebra Lineal
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y
x-2y>=-1
Area 4
Area 3
Area 1
x
Area 2
2x+y<3
3.
2≤48 ≤30 2≤50 ≥0, ≥0
Graficamos
0,26 =0 =26
Evaluamos cada una de las áreas Del área 1: tomamos es decir
y
Algebra Lineal
110
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En
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111
2≤48:0226 ≤48:52≤48 0 , 3 2 =0 =32 2≤48:0232 ≤48:64≤48 0 , 5 2 =0 =52 2≤48:0252 ≤48:104≤48 3 2, 0 =32 =0 2≤48: 3 22 0 ≤48: 3 2≤48 ≤30: 3 20≤30: 3 2≤30 2 8, 0 =28 =0 2≤48: 2 82 0 ≤48: 2 8≤48 ≤30: 2 80≤30: 2 8≤30 2≤50: 228 0≤50: 5 6≤50 2 , 2 =2 =2 2≤48:22 2 ≤48: 6 ≤48 ≤30: 2 2≤30: 4 ≤30 2≤50: 22 2≤50: 6 ≤50
No satisface
Del área 2: tomemos En
es decir
y No satisface
Del área 3: tomemos En
es decir
y No satisface
Del área 4: tomemos En En
es decir
y Si satisface No Satisface
Del área 5: tomemos En En En
es decir
y Satisface Satisface No satisface
Del área 6: tomemos En En En
es decir
y Satisface Satisface satisface
Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 6 4. 8.
>34 <23 ≤2 2≤10 3≤15 ≥0, ≥0
5. 9.
3>4 2<1 ≥0 2≤0 2≤10 ≥0
6. 10.
24>0 65≤30 1>0 43≤0 ≤2 ≥0 ≤3 ≥0 ≥0 ≥2 ≥0 ≤5 7.
11.
1. Una compañía produce 2 tipos de trituradores de madera, económico y de lujo. El modelo de lujo requiere 3 horas de ensamble y ½ hora de pintura y el modelo económico requiere 2 horas de ensamble y 1 de pintura. El número máximo de horas de ensamble disponible es 24 horas por día y el número máximo de horas de pintura disponible es de 8 horas al día. Algebra Lineal
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Organizamos la información en una tabla Económico De Lujo Ensamble 2 3 Pintura 1 1/2
≤≤
112
Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos el tiempo requerido por las trituradoras económicas y el tiempo requerido por las trituradoras de lujo
≤ ≤ Graficamos y
x+1/2y<=8
Area 2
Area 3
2x+3y<=24
Area 1
x
Area 4
, = = ≤: ≤: ≤ ≤: ≤:≤ , = = ≤: , ≤:=≤= ≤: ≤:≤ , = = ≤: ≤: ≤ ≤: ≤: ≤
Evaluamos las áreas Del área 1: tomemos En En Del área 2: tomemos En Del área 3: tomemos En Del área 4: tomemos
es decir
y
Satisface
Satisface
es decir
y
No Satisface
es decir
y
No Satisface
es decir
y
Algebra Lineal
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113
Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas máximo se puede 8 unidades por cada tipo de triturador. y
x+1/2y<=8
Area 2
Area 3
2x+3y<=24
Area 1
x
Area 4
2. Una empresa fabrica dos tipos de reguladores eléctricos, uno de los cuales es inalámbrico. El regulador con cableado requiere 2 horas de fabricación y el inalámbrico necesita 4 horas. La compañía solo tiene 800 horas hábiles para utilizarlas en producción y el departamento de empaque puede empacar solo 300 reguladores por día. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción Organizamos la información en una tabla
Producción Empaque
Tipo de Reguladores Con Cableado Inalámbrico 2 4 1 1
≤ ≤
Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos el número de reguladores Con cableado que se producen y el número de reguladores inalámbricos que se producen
≤ ≤ Graficamos
Algebra Lineal
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, = = ≤: ≤: ≤ ≤: ≤: ≤ , = = ≤: ≤: ≤ ≤: ≤:≤ , = = ≤: ≤: ≤ ≤: ≤:≤ , = = ≤: ≤: ≤ ≤: ≤:≤
Evaluamos las áreas Del área 1: tomemos En En
es decir
114
y
Satisface Satisface
Del área 2: tomemos En En
es decir
Del área 3: tomemos En En
es decir
Del área 4: tomemos En En
es decir
y
No Satisface No Satisface
y
No Satisface No Satisface y
Satisface Satisface
Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas, máximo se pueden producir 300 unidades de cada equipo
Algebra Lineal
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115
3. Una fábrica produce dos tipos de sillas, estándar y afelpadas. Las estándar requieren 2 horas de fabricación y acabado y las afelpadas 3 horas. El tapizado se lleva 1 hora las estándar y 3 las afelpadas. Hay 240 horas al mes disponibles para la fabricación y acabado, y 150 horas para el tapizado. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción Organizamos la información en una tabla Tipo de Sillas Estándar Afelpadas Fabricación 2 3 Tapizado 1 3
≤ ≤
≤ ≤
Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos el número de sillas estándar y el número de sillas afelpadas
Graficamos
Algebra Lineal
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, = = ≤: ≤: ≤ ≤: ≤:≤ , = = ≤: ≤: ≤ ≤: ≤:≤ , = = ≤: ≤:≤ , = = ≤: ≤:≤
Evaluamos las áreas Del área 1: tomemos En En
es decir
y
Satisface Satisface
Del área 2: tomemos En En
es decir
Del área 3: tomemos En
es decir
Del área 4: tomemos En
116
y
Satisface No Satisface
y
No Satisface
es decir
y
No Satisface
Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas, máximo se pueden producir 120 sillas estándar y 50 afelpadas. Algebra Lineal
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117
4. Una compañía de sillas produce dos modelos de sillas. El modelo Secuoya toma 3 horas de trabajo para ensamblarlo y hora de trabajo para pintarlo. El modelo Saratoga toma 2 horas de trabajo para ensamblarlo y 1 hora de trabajo para pintarlo. El número máximo de horas de trabajo disponibles para ensamblar es de 160 por día, y el número máximo de horas de trabajo disponibles para pintar sillas es de 80 diarias. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción c. Indique el número máximo de cada silla que se pueden fabricar 5. Una fábrica produce dos tipos de sillas, estándar y afelpadas. Las estándar requieren 2 horas de fabricación y acabado y las afelpadas 3 horas. El tapizado se lleva 1 hora las estándar y 3 las afelpadas. Hay 240 horas al mes disponibles para la fabricación y acabado, y 150 horas para el tapizado. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción c. Indique el número máximo de cada silla que se pueden fabricar Algebra Lineal
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118
6. Un fabricante vende sillas y mesas. Para su fabricación, necesita 2 y 5 horas, respectivamente, de trabajo manual y 1 y 2 horas para pintarlas. Si el fabricante no puede sobrepasar las 200 horas de trabajo manual y 90 horas de pintura, se solicita a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de fabricación b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la fabricación c. Indique el número máximo de silla y mesas que se pueden fabricar 7.
Un comerciante desea comprar enfriadores y lavadoras, que cuestan 500 € y 400 €, 22000 € para invertir, se solicita
respectivamente. Si solo dispone de un sitio para almacenar 50 electrodomésticos, y de a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de fabricación b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la fabricación c. ¿Qué encuentra?
8. Un pastelero produce dos tipos de bollo. El tipo A lleve 400 g de harina y 100 g de azúcar, mientras que los del tipo B llevan 300 g de harina y 200 g de azúcar, Si e l pastelero tiene para cada día 30 Kg de harina y 10 Kg de azúcar. Se solicita: a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción. b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de producción. c. ¿Cuánto bollos de cada tipo puede producir? 9. En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. El número de bidones (recipiente hermético utilizado para contener, transportar y almacenar líquidos) de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones ¿máximo cuántos bidones de cada tipo se pueden almacenar?
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119
Espacio vectorial real. Es un conjunto V no vacío cuyos elementos reciben el nombre de vectores dotado de dos operaciones: 1. Una interna llamada suma que cumple las siguientes propiedades: I. Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) II. Conmutativa: u + v = v + u III. Elemento neutro: Hay un elemento 0 en V tal que u + 0 = u IV. Elemento opuesto: Cada elemento u tiene su elemento opuesto u talque u + (-u) =0 , es decir, (V, +) es un grupo conmutativo.
–
cada número real α y a cada vector u el vector αu y que verifica las Distributivvaa rreessppectectoo aa llaa ssuumama dede esvectcaloarreess::α.αuβv.u==αuαuαv βu α.βu=αβu
2. Una operación externa llamada producto de números reales por vectores que asocia a siguientes propiedades: I. II. III. IV.
Distributi Asociativa para escalares: Elemento neutro: 1.u = u
A los números reales se les llama escalares. Por cumplir las propiedades mencionadas diremos que la terna (V, +, ·) es un espacio vectorial. Ejemplos: En el conjunto
, , = , λ, = λ, λ
definimos las operaciones siguientes:
, puede comprobarse que se verifican todas las propiedades enunciadas por lo que la terna ( , +, ·) es un espacio vectorial real.
, , , , εR con l a s oper a ci o nes : , , λ, ,,,==λ, λ, λ,
Igualmente ocurre si consideramos
= {(
Algebra Lineal
);
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120
, , … , , , … , εR con las operaciones
En general, el conjunto = {( ); habituales definidas en los ejemplos de antes es un espacio vectorial. Son también espacios vectoriales:
λf x= =λfx
El conjunto de todas las funciones polinómicas con las operaciones
El conjunto de los números complejos. El conjunto de los vectores libres del plano o del espacio. etc.
Pepe va a una frutería y compra 3 kg de cerezas, 4 de peras, 3 de naranjas y 5 de manzanas. Luis compra 2 de cerezas, 2 de naranjas y 3 de manzanas. Se sabe que 1 kg de cerezas vale 120 U.M., 1 de peras 190 U.M., 1 de naranjas 80 U.M. y uno de manzanas 135 U.M. Se pide: 1. ¿Cuál es el vector de compras de Pepe? ¿Y el de Luis? 2. ¿Cuál es el vector de precios? 3. ¿Cuánto gasta cada uno de ellos? 4. Comprobar que se satisfacen las propiedades de los vectores.
Dado un espacio vectorial V, un subconjunto S, es un subespacio vectorial de V cuando es espacio vectorial respecto de las operaciones definidas en V. Para comprobar si un subconjunto es subespacio vectorial, no es necesario comprobar las ocho propiedades fundamentales. El siguiente teorema sirve para caracterizar los subespacios vectoriales: Un subconjunto S es un subespacio vectorial de V si se verifican estas dos propiedades:
SiλεRy uεSentoncesλuεS
1. Si u y v son elementos de S entonces u + v ε S
2.
=, , … ,
Consideremos un espacio vectorial V y sea un conjunto de vectores de V. Se llama combinación lineal de estos al vector obtenido de la siguiente forma: Algebra Lineal
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=∝ ∝ ⋯∝ ∝, ∝, … , ∝ , donde
121
son números reales.
Ejercicio: Sean los vectores u = (-2, 1); v = (0, 5) y w = (7, -3) vectores de combinaciones lineales con ellos.
. Forma
Solución: Haremos 2 combinaciones lineales de estos vectores eligiendo números reales cualesquiera, por ejemplo,
=2= 2, 1 0 , 5 2 7 , 3 =12, 10 =502=52,1 00,5 27,3 =24,11 , , … , 〈, , … , 〉 , ,, …, …, , , , … , = 1,2,1; = 1,2,3 =, ,, ,=α ,1, 2,1β , 1, 2, 3 =2α =α β2β =α 3β
El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de se representa por .o bien por y es un subespacio vectorial de V. Se le llama subespacio engendrado por y el conjunto es un sistema de generadores de dicho subespacio. Ejemplo: Si consideramos los vectores de vector de cumplirá la siguiente relación: , y de ahí resulta:
, cualquier
Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones paramétricas del subespacio.
, , … , α α ⋯α =0 α α ⋯α =0 , , … , α , α , … , α α α ⋯α =0
Un conjunto de vectores relación
de un espacio vectorial V se dice que es libre si la implica que
, es decir, que no hay ninguna combinación lineal de ellos que dé como resultado el vector cero, salvo las que tienen todos los coeficientes nulos. En este caso se dice que los vectores
son
Un conjunto de vectores es ligado si existen escalares , no todos nulos, que verifican la relación . También se dice que los vectores citados son . Algebra Lineal
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: Un conjunto de vectores son combinación lineal de los otros.
122
sí y solo sí alguno de ellos se puede expresar como
Tres vectores de un espacio vectorial linealmente dependientes?
,
verifican la relación
24=0
¿Son
Solución: Es claro que son linealmente dependientes porque la relación indicada es una combinación que da como resultado el vector cero y existen coeficientes no nulos. (Es este caso todos).Además, se puede expresar alguno de ellos como combinación lineal de los otros. Basta con despejarlo en la relación dada: 2u-4v+w=0; w = -2u + 4v
, , … ,
Si entre los vectores figura el vector 0, son linealmente dependientes. Un solo vector, si es distinto de cero, es linealmente dependiente. Dos vectores de , son linealmente dependientes sí y solo sí tienen las respectivas componentes proporcionales.
. La dependencia lineal de un conjunto de vectores podemos estudiarla aplicando las transformaciones de Gauss. Si llegamos a obtener un cuadro de vectores de modo que en la diagonal no haya ningún cero y debajo de la diagonal todas las componentes sean nulas, el conjunto de vectores es libre. Si resulta algún vector con todas sus componentes nulas se trata de un conjunto ligado.
1,1,1, 1,1,1 2,1, 3 1 1 11 11 ~0 1 01 21~0 1 31 10 2 1 2 0 3 0 0 0 2
Ejemplo: Estudiemos la dependencia lineal de los vectores
En la última transformación hemos cambiado el orden de los vectores segundo y tercero.
Algebra Lineal
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123
Ahora tenemos todos los elementos de la diagonal principal y debajo de dicha diagonal , por tanto, los vectores son linealmente independientes. .
, , … ,
Sea V un espacio vectorial. Un conjunto de vectores es una base de V si se cumple: 1. Los vectores son linealmente independientes. 2. Todo vector de V puede expresarse como combinación lineal de
, , =α1, 2 β0, 3
, , … ,
En el espacio vectorial los vectores (1, 2) y (0, 3) constituyen una base ya que se verifican las dos condiciones señaladas:
Son linealmente independientes. Cualquier vector de puede expresarse como combinación lineal de ellos; en efecto, y resolviendo se obtiene ;
Existen los números buscados (escalares) y por tanto,
∝= = − , =1, 2 − 0,3 ,
Estos escalares reciben el nombre de coordenadas del vector {(1, 2), (0, 3)}
respecto de la base
Un espacio vectorial puede tener muchas bases distintas pero todas tienen el mismo número de vectores. Teorema de la base: Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que forman la base.
. =1,0 = 0,1 = 1,0,0, = 0,1,0 = 0,0,1
La dimensión del espacio vectorial
es dos.
En el espacio vectorial los vectores (2, 1, 3), (0, 4, 1) y (0, 0, 6) constituyen una base como puede comprobarse. La dimensión de es tres. Bases canónicas: En los vectores el nombre de base canónica de En
y
la base canónica la forman los vectores
Algebra Lineal
forman una base que recibe y
.
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124
= 1,0,0,…,0 == 00,,10,,01,,……,,00 = 0,0,0,…,1 =, , … ,
En general, la base canónica de
la forman los vectores:
Debe advertirse la diferencia entre sistema de generadores y una base. Dos vectores linealmente independientes de
forman una base del espacio vectorial
Tres vectores l i. de forman una base del espacio vectorial En general, n vectores l. i. constituyen una base de
3
.
Se llama rango de un sistema de vectores al número máximo de vectores l. i. que hay entre ellos, es decir, es la dimensión del espacio vectorial que engendran. Para calcular el rango podemos utilizar el método de Gauss. Una vez conseguida la matriz escalonada, el rango es el número de vectores (filas) no nulos. : Halla el rango del sistema de vectores: S = {(-1, 1, -1, 1), (-1, 1, -1, 0), (2, -2, 2, -1), (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 0, 0)}
11 11 11 10 10 10 10 11 2[1 21 20 10 ] ~ [ 00 00 01 11 ] ~intercambiamos filas adecuadamente 11 10 10 10 10 11 11 11 0~ 0 10 11 11 ~ 00 10 11 11 00 00 00 11 00 00 00 10 Solución:
Una vez escalonada la matriz vemos que hay cuatro filas no nulas, luego el rango es 4. Algebra Lineal
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125
.
3,2,, 3, 2 , , 3,2,, =α1,4,5,2 β1,2,3,1 α4α2β=2 β=3 5α3β= { 2α β= } 2α2β=6 4α2β=2 e obtiene 2α = 8 2β = 2; 2β = 10;
1. Determina para que el vector los (1, 4, -5, 2) y (1, 2, 3, 1)
pertenezca al subespacio engendrado por
Solución: El vector
ha de ser combinación lineal de (1, 4, -5, 2) y de (1, 2, 3, 1), luego y resulta el sistema
Resolvemos el sistema formado por las dos primeras ecuaciones:
, y sumando s - 4; ;valores obtenidos a las ecuaciones tercera y cuarta obtenemos:
y llevando los
x = - 5α + 3β = 10 +15 = 25 y = 2α + β = -4 + 5 = 1
2. Sea S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}. Halla las ecuaciones paramétricas de L(S).
, , , , =α1,1,0 β0,1, =αβ =α =β =, , ∈; =; =; =; , ∈
Solución: Cualquier vector , y de ahí
de L(S) cumplirá la siguiente relación:
, que son las ecuaciones paramétricas del subespacio L(S). 3. Halla un sistema de generadores del espacio vectorial Algebra Lineal
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126
, , = , , = ,, ,, =1,1,1 1,1,1
Solución:
, luego un sistema de generadores es S = {(1, 1, 1), (-1, 1, 1)}
4. Prueba que los vectores (1, 1, 2, 0), (1, 1, 0, 6), (-1, 2, 0, 1) y (1, 1, 1, 3) son linealmente dependientes. Escribe la relación de dependencia.
1 1 11 20 06~10 01 22 06~10 13 22 01~10 13 22 01 1 11 2 10 31 00 03 21 13 00 00 12 36 00 00 01 03
Solución:
De la 2ª matriz pasamos a la 3ª simplemente intercambiando filas.
Finalmente obtenemos una fila formada por ceros, luego los vectores son linealmente dependientes. Necesariamente uno de ellos será combinación lineal de los otros restantes. Probamos la siguiente relación:
1, 1, 2, 0 = α 1, 1, 0, 6 β 1, 2, 0, 1 λ 1, 1, 1, 3 lo que nos l eva al siguiente αβλ=1 α2βλ=1 6αβ3λ=0 λ=2 , y operando en las dos primeras ecuaciones con el valor de λ que resulta, l egamos a αβ2=1 →2α2β=1 α2β=2 α2β2=1 , y se obtiene α = 1; β = 0 Podemos comprobar también que los valores obtenidos de α y de β verifican la -
sistema de ecuaciones:
-
4ªecuación del sistema, por tanto, la relación de dependencia es:
(1, 1, 2, 0) = -1(1, 1, 0, 6) + 0(-1, 2, 0, 1) + 2(1, 1, 1, 3) Algebra Lineal
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127
O bien,
1. 1. 0. 2 =0 1 1 11 20 06~10 01 22 06 1 11 2 10 31 00 03 21 13 10 13 22 01 10 13 22 01 00 00 12 36 00 00 01 03 2 2 2 2 =0 1 1 0 2 =0 = ,,, ∈;232=0 ,,, ´,´,´,´ 232=0 2´ 3´ ´ 2´ = 0 2´´ 3´ ´ 2´ =0 , ´ , ´ , ´ ∈ ,,, ´,´,´,´∈ Para,cual,,qui er número real λ secum 232=0 λ232=0 2λ3 λ λ2 λ =0 λ,λ,λ,λ ∈ λ,,, ∈
1(1, 1, 2, 0) +1(1, 1, 0, 6) - 0(-1, 2, 0, 1) - 2(1, 1, 1, 3) = (0, 0, 0, 0)
La relación de dependencia puede obtenerse directamente al aplicar el método de Gauss como vamos a ver:
Intercambiamos filas y las ponemos en el orden que se indica:
Vemos que la expresión tanto , es decir, relación que hemos obtenido antes. 5. En el espacio vectorial
conduce al vector cero, por que es la misma
consideramos el conjunto
Prueba que F es un subespacio vectorial de Solución: Si y
son elementos de se verifica que:
Y entonces sumando, , lo que implica que el vector , o lo que es lo mismo
y se cumple la 1ª propiedad.
Si
es un elemento de se cumple plirá que , y de ahí que , luego el vector o bien que caracteriza a todo subespacio vectorial.
Algebra Lineal
y se cumple la 2ª propiedad
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128
Demues t r a el s i g ui e nt e t e or e ma: “ solosíalgunodeel osse puedeexpresarcomocombinaciónlinealdelosotros” Luego F es un subespacio vectorial de
6.
Un conjunto de vectores son linealmente dependientes sí y
Solución.
α, α, … , α =0 α ≠0 α ≠0 = α α ⋯ α α α α , , … 1.=λ λλ λ⋯λ ⋯λ , , … , ´,´ = ´ , ´; λx, y =λx,0 ∈ 〈1,2,3,0,4,3,0,1,0,3,2,0〉 = 1,2,6, = 0,5,1, = 2,1,0 = 1,1,1,0, = 0,1,1,0, = 1,1,0,0 , , , ,, , Supongamos que son linealmente dependientes. Entonces, , y algún Si suponemos que
, luego
podemos escribir:
es combinación lineal de
Supongamos ahora que uno de ellos es combinación lineal de los demás, por ejemplo,
tanto,
1. En el conjunto
Entonces podemos `poner: , donde ya hay un coeficiente distinto de cero y, por son linealmente dependiente.
se definen las operaciones siguientes:
Comprueba que
no es espacio vectorial respecto de las operaciones definidas.
2. Sea v = (-1, 5, 2, 0). Determina si 3. Prueba que los vectores linealmente independientes.
son
4. Dados los vectores
de
a. Determina si forman un conjunto libre o ligado. b. Da un vector, , no nulo, de modo que sea un conjunto ligado. c. Da un vector, , de modo que sea libre. Algebra Lineal
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129
=1,2,4,3 , , y = 5,,4,3, = 1,0,,1, = 1,,1,3
d. Expresa 5. Calcula
José F. Barros Troncoso
como combinación lineal de
para que los siguientes vectores de
sean linealmente dependientes.
6. Determina por el método de Gauss la dimensión y una base del subespacio vectorial engendrado por los vectores (1, 1, 2, 0), (1, 1, 0, 6), (-1, 2, 0, 1) y (1, 1, 1, 3)
=1,2,3, 2,5,7, 1,1,0 F=2,,2, ∈ ;, ∈ F=,,, ∈ ;2 32=0 E=, , , ; =0, =0
7. Sea el conjunto
a. Estudia si constituye un sistema de generadores de b. Halla una base y la dimensión de L(H)=. 8. Sea el conjunto
. Deduce una base de F.
9. Halla la dimensión y una base de
10. Dados los vectores (2, -2, 3), (0, 4, -5) y (1, 1, -1) de , hallar una base del subespacio que engendran y completarla hasta obtener una base de 11. Da una base del subespacio vectorial de
siguiente:
1. Pepe va a una frutería y compra 3 kg de cerezas, 4 de peras, 3 de naranjas y 5 de manzanas. Luis compra 2 de cerezas, 2 de naranjas y 3 de manzanas. Se sabe que 1 kg de cerezas vale 120 U.M., 1 de peras 190 U.M., 1 de naranjas 80 U.M. y uno de manzanas 135 U.M. Se pide: a. b. c. d.
¿Cuál es el vector de compras de Pepe? ¿Y el de Luis? ¿Cuál es el vector de precios? ¿Cuánto gasta cada uno de ellos? Comprobar que se satisfacen las propiedades de los vectores.
2. Una compañía constructora almacena tres mezclas básicas A, B y C. Las cantidades se miden en gramos y cada unidad" de la mezcla pesa 60 gr. Pueden hacerse mezclas especiales de argamasa efectuando combinaciones de las tres mezclas básicas. Por ello, Algebra Lineal
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las mezclas especiales posibles pertenecen al espacio generado por los tres vectores que representan las tres mezclas básicas. La composición de _estas es: ABC A B C Cemento 20 18 12 Agua 10 10 10 Arena 20 25 15 Grava 10 5 15 Tobas 0 2 8 a. ¿Es posible hacer una mezcla que contenga 1000 gr. de cemento, 200 de agua, 1000 de arena, 500 de grava y 300 de tobas? ¿Por qué? Si se puede, ¿cuántas unidades de cada mezcla básica se necesitan para esta fórmula? b. Supóngase que se desean hacer 5400 gr. de argamasa de manera que contenga 1350 gr de cemento, 1675 de arena y 1025 de grava. Si la razón de agua con cemento es de 2 a 3, ¿qué cantidad de tobas debe utilizarse para obtener los 5400 gr de argamasa? ¿Se puede formular ésta como una mezcla especial? Si es así, ¿cuántas unidades de A, B y C se necesitan para formular esta mezcla especial? 3. El señor Oriol cuenta, entre las muchas empresas que integran su holding, con una que se dedica a la fabricación de televisores, Oriol TV S.A., en la cual se producen cuatro tipos de artículos: Gama alta: TV 14", TV 18" Gama baja: TV 14", TV 18". Con el fin de realizar una previsión de ventas para el año próximo, ha encargado a la consultoría PRIVASA un estudio de mercado. Los resultados del análisis fueron los siguientes: Gama alta: Ventas de TV 14" (A1) = 100N + 218E Gama alta: Ventas de TV 18" (A2) = 90N + 153E Gama baja: Ventas de TV 14" (B1) = 300E Gama baja: Ventas de TV 18" (B2) = 500E, Siendo N el número de familias con renta anual superior a los 24000 euros y E el número de grandes almacenes en los que se comercializan los productos. Se pide: a. Construye el vector de nivel de ventas de los cuatro artículos y comprueba que el conjunto de esos vectores constituye un subespacio vectorial de . b. Calcula la base del subespacio de generado por el vector formado por el nivel de ventas de los cuatro artículos. c. Interpreta la dimensión de dicho subespacio.
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d. ¿En qué condiciones las ventas de los cuatro productos serán nulas? 4. Supongamos un país en el que el gobierno fija políticamente los precios del pan, de la carne y de la gasolina, estando estos precios relacionados por:
= 100; = 10 ,
, siendo y respectivamente las variaciones de precios del pan, de la carne y de la gasolina con respecto al período anterior. Comprueba que el conjunto de vectores de variaciones de precios administrados es un subespacio vectorial de . Obtén una base y la dimensión. ¿Qué interpretación económica se le puede dar a la dimensión?
5. Sabemos que en un país existen multitud de tipos de interés y también que en los libros de economía se habla sólo del tipo de interés a secas. Consideremos tipos de interés reales (nominales menos la tasa de inflación) y la economía de la eurozona; para no hacer interminable la lista, tomemos cuatro de los más conocidos: el tipo de interés del mercado interbancario a un mes, el rendimiento interno de obligaciones privadas, el de los pagarés del tesoro a un año y el de las obligaciones, y denotémoslos por IM, ROB, RP y ROE, respectivamente.
= ;;;: = 1; 6; = 0; 75; = 1;4
Esto nos permite definir un vector de tipos de interés reales dado por De una cuidadosa observación de los distintos tipos vemos que están relacionados por: Se pide: a. ¿Podemos decir que los vectores de tipos de interés reales forman un subespacio vectorial de ? b. En caso afirmativo, calcúlese su dimensión y una base. c. ¿Consideras que la abstracción de los libros de economía es excesiva o que por el contrario no se pierde ninguna información trabajando con un único tipo de interés? Si podemos trabajar con uno solo, ¿cambian algo los resultados al tomar diferentes tipos?
= ; ; ; ;= = ; = ,
6. Sea el subespacio vectorial
, donde es el crecimiento de los salarios nominales, es el crecimiento de los impuestos directos, es el crecimiento de los impuestos indirectos es el crecimiento de los precios y es el crecimiento del gasto público. Se pide: a. Demuestra que V es efectivamente un subespacio vectorial. b. Calcula una base y la dimensión. Dale una interpretación económica.
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; ; ; ; ∈ 0,2 ; 0,2 ,0,0,8, , ; ∈ , ,,,; , , ∈ ;
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7. En una economía hay cinco variables básicas: variación de precios , variación de la cantidad de dinero , variación de renta , variación de impuestos y variación de gasto público , componentes del vector en que se fijan los distintos agentes económicos: Los agentes de la economía se dividen en dos grandes grupos: el sector privado, cuyas creencias sobre la evolución de las cinco variables clave de la economía se resumen en , mientras el otro gran grupo, el sector público, cree que estas variables están ligadas por , significando las cinco coordenadas de cada subespacio las arriba indicadas. Se pide: a. Demostrar que las creencias de cada grupo constituyen un subespacio vectorial de . b. Si la evolución de la economía viene dada por la suma de los dos tipos de creencias, obtén la. c. ¿Tienen en común ambos grupos alguna creencia?
8. Una empresa de fabricación de ordenadores personales ofrece en el mercado dos productos, el `súper' y el `extra'. Los costos totales en que incurre la empresa vienen dados por la expresión
= 2 2
, siendo y las cantidades producidas de ordenadores `súper' y `extra', respectivamente. Por otra parte, en la fabricación se emplean dos clases de tecnologías: nacional y extranjera. La empresa sabe que para producir un ordenador súper necesita emplear tres componentes nacionales y dos extranjeros, mientras que para producir un ordenador extra necesita tres nacionales y un extranjero. Se pide obtener los costos totales de la empresa en función de las dos clases de tecnologías empleadas. Supón que los componentes nacionales son un vector de la forma , mientras que los extranjeros vienen dados por
; 0
0;.
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