Álgebra Lineal (Ejercicios por capítulos)
Profesores: Javier Enrique Camargo García Solange Roa Fuentes (Con la colaboración de Daniel Herrera) Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander Bucaramanga, 2016
Contenido
1. Ge Geome ometrí tría a en R2 y R3
1
1.1. Definiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3. Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2. Sistemas de ecuaciones lineales
21
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2. Métod odoos de solución directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3. Métod odoos iterados de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.1. Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.2. Método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3. Matrices
35
3.1. Operaciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2. Inversa de un matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.3. Métod odoo de Gaussss-Jorda rdan para calcular inversas . . . . . . . . . . . .
38
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4. Subespacios
49
4
Contenido 4.1. Generado, dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . .
49
4.2. Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.3. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.4. Más acerca de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5. Valores y vectores propios
65
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.3. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
6. Ortogonalidad
83
6.1. Nociones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6.2. Complementos y proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . .
84
6.3. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . .
86
6.3.1. Factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.4. Diagonalización ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Referencias
95
Capítulo 1
Geometría en R2 y R3 1.1. 1.1.
Defin Definic icio ione ness gene genera rale less
En el desarrollo de estas notas trabajaremos en el espacio R
n
= (x1 ,...,xn ) : x 1 , x2 ,...,xn son reales , n
{
} ∈ N.
Cada elemento de Rn le llamaremos vector . Si u es un vector, entonces escribiremos u horizontal o verticalmente, según convenga como:
u = (x1 , x2 ,...,xn ) o u =
x1 x2
.. .
xn
.
Los elementos de Rn los denotaremos por u, v o w. Si u, v ∈ Rn, entonces u = (a1 ,...,an ) y v = (b1 ,...,bn ), donde a1 ,...,an , b1 ,...,bn están en R. Definimos: u + v = (a1 + b1 ,...,an + bn ),
y si α ∈ R,
αu = αu = (αa1 ,...,αan ).
Cuando escribamos 0 ∈ Rn, hacemos referencia a 0 = ( 0,..., 0,..., 0). En el siguiente teorema enunciaremos algunas propiedades de los vectores de Rn. u, v , w Teorema 1.1. Si u,
∈ R
n
∈ ∈ R, entonces:
y α, β
2
1. Geometría en
2 R
y R3
1. u + v = v + v + u; 2. (u + v) + w = u = u + + (v (v + w); 3. u + 0 = u; u ;
−
4. u + ( u) = 0; 5. α(u + v) = αu + αu + αv; αv; 6. (α + β )u = αu = αu + + βv; βv ; 7. α(βu) βu ) = (αβ )u; 8. 1u = u = u..
La siguiente definición nos permite definir: ángulo, longitud, proyecciones y distancia entre vectores, como veremos mas adelante. n
Definición 1.2. Si u, v
v = (b1 ,...,bn ) por
∈ R , definimos el producto producto punto entre u = (a1 ,...,a
n)
y
n
u.v = a 1 b1 + ... + ... + an bn =
ai bi .
i=1
Este producto es también llamado producto escalar .
Las propiedades enunciadas en el siguiente teorema las utilizamos constantemente cuando se involucre el producto escalar. Teorema 1.3. Sean u, u, v , w
n
∈ R
y α
∈ R. Entonces
1. u.v = v.u v .u;; 2. u.( u.(v + w) = u.v + u.v + u.w; u.w; 3. (αu) αu).v = α( α(u.v) u.v); 4. u.u
≥ 0 y u.u = u.u = o o si y solo si u = 0.
Por la condición 4 del Teorema 1.3, podemos definir1 la norma o longitud de un √ vector u ∈ Rn , denotado por ||u||, como ||u|| = (u.u) u.u) 2 = u.u. Teorema 1.4. Sean u
1.
∈R
n
y α
∈ R. Entonces
||u|| ≥ 0 y || ||u|| = 0 si y solo si u = 0; Versión ón [Versi
alpha
1.2. Rectas y planos 2.
3
||αu|| = |α|||u||.
El siguiente resultado muestra dos útiles desigualdades muy conocidas. n
∈ R . Entonces
Teorema 1.5. Sean u, v
1. u.v
| | ≤ ||u||||v|| (Desigualdad de Cauchy-Schwarz); 2. ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v || (Desigualdad del triángulo). Como ya definimos la norma de un vector, es natural y geométricamente conveniente definir la distancia entre dos vectores como d(u, v) = ||u − v||, para cualesquiera Teoremas 1.3 y 1.4, el siguiente resultado muestra propiedades u, v ∈ Rn. Similar a los Teoremas de la distancia entre dos vectores. n
∈ R . Entonces
Sean u,, v, w Teorema 1.6. Sean u 1. d(u, v )
= v;; ≥ 0 y d(u, v) = 0 si y solo si u = v
2. d(u, v ) = d( d (v, u); 3. d(u, v )
≤ d( d (u, w) + d(w, v).
Otra aplicación del producto punto es definir el ángulo entre dos vectores. Sean u, v ∈ Rn, definimos el ángulo entre u y v como θ ∈ R tal que cos θ =
u.v . u v
|| |||| ||
Lo anterior muestra que u y v son perpendiculares o ortogonales si u.v = 0. Equivalentemente, podemos decir que dos vectores u y v son perpendiculares si satisfacen la versión Rn del Teorema de Pitágoras; es decir, si ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 . Definición 1.7. Sean u, v
u por
n
proyección ción de v sobre ∈ R , con u = 0. Definimos la proyec
Proyu (v) =
1.2. .2.
u.v u. u.u
Rec Rectas y plan lanos
Esta sección se desarrolla en R2 o R3 . Una recta que pasa por 0, es la familia de múltiplos de un vector u (u es llamado vector director ). Esto es, si u ∈ Rn , la recta lu que pasa por 0 esta dada por la colección
{
lu = αu : αu : α α Topología general]
∈ R}.
4
1. Geometría en
2 R
y R3
Si adicionalmente, necesitamos que esta recta pase por un punto b ∈ Rn , solamente sumamos b a cada punto de lu , como mostramos en la siguiente definición. Definición 1.8. La ecuación vectorial de una recta l en R2 (o R3 ) es el conjunto
de puntos x
∈ R2 o ( x ∈ R3) tal que x = tu + b,
2 donde u, b R (o u, b equivalente, dados u, b
∈ R3) y t ∈ R. u es lamado vector director . De forma ∈ R2 (o u, b ∈ R3), podemos decir que l = {tu + b : t ∈ R}.
∈
Supongamos que u =
a b c
y b = x y z
x0 y0 z0
= t
, entonces la recta l esta dada por
a b c
+
x0 y0 z0
.
Que se representa por las siguientes ecuaciones llamadas ecuaciones paramétricas : x = at + x0 ; y = bt + y0 ; z = ct + z0 .
De manera similar obtenemos las ecuaciones paramétricas si u, b ∈ R2 .
Para encontrar la ecuación de un plano , que solo tiene sentido en R3 por argumentos dimensionales que abordaremos mas adelante, podemos definirlo como las familia de puntos perpendiculares a un vector n que pasan por un punto p dado. Definición 1.9. La ecuación normal de un plano
x
∈ R3 tal que n.(x
− p) = 0
P en R3 es el conjunto de puntos
o equivalentemente
n.x = n.p,
∈ R3. n es llamado vector normal del plano P . Si n = (a,b,c), x = (x,y,z) y p = (x0 , y0 , z0 ), entonces P esta dado por una expresión llamada ecuación general del plano P de la forma donde n, p
ax + by + cz = d, donde d = ax 0 + by0 + cz0 . [Versión
alpha
1.3. Producto cruz
1.3.
5
Producto cruz
El producto cruz o producto vectorial solo se define en propiedades que enunciaremos en el Teorema 1.11.
R3
y será de utilidad por las
Definición 1.10. Sean u, v R3 . Definimos el producto cruz o producto vectorial entre u y v, denotado por u v, por
∈
× u × v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ),
donde u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ). Teorema 1.11. Sean u, v, w
∈ R3. Entonces
1. u
× v = −(v × u); 2. (u × v).u = 0 y (u × v).v = 0; 3. u.(v × w) = (u × v).w; 4. ||u × v ||2 = ||u||2 ||v ||2 − (u.v)2 . Nótese que el producto vectorial u × v nos permite encontrar un vector en pendicular tanto a u como a v .
1.4.
R
3
per-
Ejercicios
1. Un vector en R2 o R3 se dibuja en posición estándar como una flecha de (0, 0) o (0, 0, 0) al punto, como representamos en los siguientes ejemplos: 3 (2, −2, 3)
2
(−3, 1) 1 −3
−2
1
−1
1 2
−
( 3, 1) en posición estándar Topología general]
−
(2, 2, 3) en posición estándar
6
1. Geometría en
2 R
y R3
a ) Dibuje los vectores (5, 2), (0, 25 ), ( 4, 0), (0.3, 1.6) y (
−
− 72 , −4) de R2 en
−
posición estándar. b ) Dibuje los vectores (2, 4, 1), (−3, 0, −1), ( 23 , − 75 , − 23 ) y ( −4, −3.2, −1.8) de R3 en posición estándar.
−−→
2. Dados dos puntos A y B , AB representa el vector que parte de A y llega a B . −−→ Por ejemplo, si A = (1, 1) y B = (−2, −1) el vector AB se representa:
1 −3
−2
A
−1
B
−−→
Vector AB , donde A = (1, 1) y B = (−2, −1)
−−→
Con lo que el vector en posición estándar se calcula como AB = B − A = (−2, −1) − (1, 1 ) = (−3, −2) y se representa como mostramos en el punto −−→ anterior. Para cada uno de los siguientes pares de puntos, dibuje el vector AB . −−→ Luego calcule y vuelva a dibujar AB como un vector en posición estándar. a ) A = (2, 2) y B = (3, 4).
−
b ) A = 2, 23 y B =
− 1 2, 3
.
c ) A = (2, 1, 3) y B = ( 4, 2, 0).
− − − − d ) A = (3, −4, 5) y B = (−2, 3, −6).
3. Un viajero camina 4 km al norte y luego 5 km al noreste. Dibuje los vectores desplazamiento que representen el viaje del caminante y dibuje un vector que represente el desplazamiento neto del caminante desde el punto de partida. 4. Sean u = (2, 1) y v = (3, −2). a ) Dibuje en posición estándar u, v y
−v.
b ) Calcule y dibuje en posición estándar u + v y u
− v.
5. Considerando los vectores u = (−1, 3), v = (0, −7), w = realice las operaciones que se indican:
3 1 4, 2
−
yz=
3 2, 2
[Versión
,
alpha
1.4. Ejercicios
7
a )
−v − u. b ) −4w + 3u. c )
2 3 w + 2z .
d ) (u e )
− w) − (v + z). 1 4 − (u + v) 2 3 (z − w).
6. Considerando los vectores x = (1, 2, 3), y = (−2, 0, −1), z = w = (−4, −2, 0), realice las operaciones que se indican:
3 5,
−
1 3 3, 2
y
a ) x + y
− w. b ) −2z − 3w. √ √ c ) 2x + 2w. d ) (−x − y) + (−z − w). e ) 23 (x + y + w) − 30z . 7. Ilustre usando ejemplos, todas las propiedades enunciadas en los Teoremas 1.1, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 y 1.11. 8. Simplifique la expresión vectorial dada utilizando las propiedades de los vectores en Rn . a ) 2(a
− 3b) + 3(2b + a). b ) −3(a − c) + 2(a + 2b) + 3(c − b).
9. Despeje el vector x en términos de los vectores a y b utilizando las propiedades de los vectores en Rn . a ) x
− a = 2(x − 2a). b ) x + 2a − b = 3(x + a) − 2(2a − b). c ) 2x − 3b = −(x + 3a).
a menudo podemos escribir cualquier vector w ∈ R2 como combinación lineal de los vectores u y v ; esto es, existen números reales α y β tales que w = αu + βv . Por ejemplo, (3, 23 ) es combinación lineal de (1, 0) y (0, 1), pues (3, 23 ) = 3(1, 0) + 23 (0, 1) y lo dibujamos:
10. Dados u, v ∈
Topología general]
2 R ,
8
1. Geometría en
3 2
(0, 1) (0, 1)
(3,
(1, 0)
3 2
2 R
y R3
)
3(1, 0)
Por mostrar otro ejemplo, nótese que (1, 1) = 3(−1, 1) + 2(2, −1); es decir, (1, 1) es combinación lineal de (−1, 1) y (2, −1). Entonces dibujamos los ejes coordenadas con respecto a (−1, 1) y (2, −1) y localizamos (1, 1) de la siguiente manera: (−3, 3)
(1, 1) (−1, 1)
(2, −1) (4, −2)
Dibuje los ejes coordenados con respecto a u y v y localice w. Muestre gráficamente que w es combinación lineal de u y v en cada caso. a ) u = b ) u = c ) u =
− − − −
1 1 ,v= y w = 2u + 3v. 1 1 2 2 ,v= yw= 3 1
−
2 ,v = 1
−u − 2v.
2 y w = 1
−u + 2v.
11. Escriba el vector w como una combinación lineal de los vectores u y v . a ) u = (2, 5), v = (3, 1) y w = (4, 3). b ) u = (1, 1), v = (2, 2) y w = ( c ) u = d ) u =
− −
3 2 ,v= yw= 1 5
2 ,v= 1
1 yw= 2
−
− 12 , − 12 ).
− −
5 . 13
6 . 7
[Versión
alpha
1.4. Ejercicios
9
12. Encuentre u · v en cada caso. a ) u = b ) u =
− − −
1 3 yv= . 2 1
2 9 yv= . 3 6
1 2 c ) u = 2 y v = 3 . 3 1 d ) u =
0 0 1 y v = 0 . 0 1
√ √
e ) u = (1, 2, 3, 0) y v = (4,
−√ 2, 0, −5).
13. Encuentre u y proporcione un vector unitario en la dirección de u. a ) u = b ) u =
− − − 1 . 2
2 . 3
1 c ) u = 2 . 3 d ) u =
0 1 . 0
√ √
e ) u = (1, 2, 3, 0).
14. Encuentre la distancia d(u, v) entre u y v en cada caso. a ) u = b ) u =
− −
1 3 yv= . 2 1
2 9 yv= . 3 6
1 2 c ) u = 2 y v = 3 . 3 1 Topología general]
10
1. Geometría en d ) u =
−
2 R
y R3
0 0 1 yv= 0 . 0 1
√ √ √ e ) u = (1, 2, 3, 0) y v = (4, − 2, 0, −5). 15. Determine si el ángulo entre u y v es agudo, obtuso o recto. a ) u = b ) u =
− − −− 2 y v = 1
2 1 yv= 1
1 . 3
1 2 . 1
c ) u = (5, 4, 3) y v = (1, 2, 1).
−
− − d ) u = (1, 2, 3, 4) y v = (−3, 1, 2, −2). e ) u = (1, 2, 3, 4) y v = (5, 6, 7, 8).
16. Encuentre el ángulo entre u y v . a ) u = b ) u =
− − −− 2 y v = 1
2 1 yv= 1
1 . 3
1 2 . 1
c ) u = (5, 4, 3) y v = (1, 2, 1).
−
− − d ) u = (1, 2, 3, 4) y v = (−3, 1, 2, −2). e ) u = (1, 2, 3, 4) y v = (5, 6, 7, 8).
17. Sea A = (−3, 2), B = (1, 0) y C = (4, 6). Pruebe que el △ABC es un triángulo rectángulo. 18. Sea A = (1, 1, −1), B = (−3, 2, −2) y C = (2, 2, −4). Pruebe que el △ABC es un triángulo rectángulo. 19. Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una arista adyacente. 20. Un cubo tiene cuatro diagonales. Demuestre que ningún par de ellas son perpendiculares. 21. Un paralelogramo tiene diagonales determinadas por los vectores d1 = (2, 2, 0) y d 2 = (1, −1, 3). Demuestre que el paralelogramo es un rombo (todos los lados tienen igual longitud) y determine la longitud del lado. [Versión
alpha
1.4. Ejercicios
11
22. El rectángulo ABCD tiene vértices en A = (1, 2, 3), B = (3, 6, −2) y C = (0, 5, −4). Determine las coordenadas del vértice D. 23. Determine el punto de intersección de las rectas:
−
x = 2 3s y = 3 + 2s z = 4 + 2s
y
x = 5 + 2t y = 1 3t z = 2+t
−
24. Encuentre la proyección de v sobre u; Proyu (v), represente estos vectores gráficamente y verifique que v − Proyu (v) es ortogonal a u. a ) u = b ) u = c ) u =
− − − −− − 1 yv= 1 3 5
4 5 2 3 2 3 1 3
yv=
3 . 1
1 . 2
2 2 . 2
yv=
25. Encuentre el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C . a ) A = (1, 1), B = (2, 2) y C = (4, 0).
−
b ) A = ( 1, 2), B = (0, 1) y C = (2, 1).
−
−
−
c ) A = (3, 1, 4), B = (4, 2, 6) y C = (5, 0, 2).
−
−
26. Encuentre todos los valores del escalar k para el cual los dos vectores u y v son ortogonales. a ) u = (1, 2) y v = ( 2k, k).
−
b ) u = (2, 1) y v = (k2 , k).
−
c ) u = d ) u =
−
− − − 2 k + 1 yv= . 3 k 1 1 1 y v = 2
k2 k . 3
27. Describa todos los vectores v = Topología general]
x 3 que son ortogonales a u = . y 1
12
1. Geometría en
2 R
y R3
28. Si a y b son reales fijos, describa todos los vectores v = (x, y) que son ortogonales a u = (a, b). 29. (Teorema de Pitágoras en Rn .) Demuestre que u, v ∈ lares si y solo si ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 .
n
R
son perpendicu-
||u||2 + ||v||2. 30. Muestre un ejemplo de vectores u y v en R3 tales que ||u + v||2 = 31. En que condiciones se tienen las siguientes igualdades para los vectores u y v en R2 o R3 : a ) u + v = u + v .
b ) u + v = u − v . 32. Demuestre que (u + v) · (u − v) = u2 − v2 para todos los vectores u y v en n
R
.
33. Demuestre que u + v2 + u − v2 = 2 u2 + 2 v2 para todos los vectores u y v en Rn . 34. Dibuje un diagrama que muestre a u, v , u + v y u − v en R2 y use el ejercicio anterior para deducir un resultado acerca de los paralelogramos. 35. Demuestre que u · v = Rn .
1 4
u + v2 − 41 u − v2 para todos los vectores u y v en
36. Demuestre que u + v = u − v si y solo si u y v son ortogonales. 37. Dibuje un diagrama que muestre a u, v , u + v y u − v en R2 y use el ejercicio anterior para deducir un resultado acerca de los paralelogramos. 38. Demuestre que u + v y u − v son ortogonales en
n
R
si y solo si u = v.
39. Dibuje un diagrama que muestre a u, v , u + v y u − v en R2 y use el ejercicio anterior para deducir un resultado acerca de los paralelogramos. 40. Demuestre que si u es ortogonal tanto a v como a w, entonces u es ortogonal a v + w. 41. Demuestre que si u es ortogonal tanto a v como a w, entonces u es ortogonal a sv + tw, para todos los escalares s y t. 42. Demuestre que u es ortogonal a v − Proyu (v) para todos los vectores u y v en = 0. Rn , donde u 43. Muestre las siguientes propiedades de las proyecciones: [Versión
alpha
1.4. Ejercicios
13
a ) Demuestre que Proyu (Proyu (v)) = Proy u (v). b ) Demuestre que Proyu (v
− Proy (v)) = 0. u
c ) Explique (a) y (b) geométricamente.
44. En la siguiente figura se sugiere otro método para demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, donde se muestra que, en R2 o R3 , Proyu (v) ≤ v. Demuestre que esto es equivalente a la desigualdad de Cauchy-Schwarz. v
u
Proy (v ) u
45. Si P = (0, 1) y d = (2, 1), podemos encontrar una recta en R2 con vector director d y que pasa por P , como mostramos en la Definición 1.8, por l = {(x, y) : (x, y) = t(2, 1) + (0, 1), t ∈ R}. Luego la ecuación vectorial de esta recta es
x 2 0 = t + . y 1 1
De donde se deducen las ecuaciones paramétricas
x = 2t y = t + 1
.
Además, esta recta la representamos como sigue: (x, y) = t (2, 1) + (0, 1)
P = (0, 1) d = (2, 1)
Escriba la ecuación de la recta que pasa por P con vector director d en forma vectorial y en forma paramétrica, y represente esta recta gráficamente. Topología general]
14
1. Geometría en a ) P = b ) P =
2 R
y R3
− − − − − − 2 y d = 1
1 . 3
3 y d = 3
1 . 1
0 1 c ) P = 0 y d = 1 . 0 4 d ) P = (3, 1, 2) y d = (1, 0, 5). e ) P = (1, 2, 1) y d = (0, 1, 0).
−
46. Proporcione la ecuación vectorial de la recta que pasa por P y Q.
− − − −
1 3 y Q = . 2 0 b ) P = ( 2, 1) y Q = (1, 2). 4 2 1 y Q = 1 . c ) P = 3 3 d ) P = ( 2, 0, 1) y Q = (2, 0, 1). a ) P =
−
−
47. Como mostramos en la Definición 1.9, si P = (0, 2, 3) y el vector normal es n = (1, 0, 2), entonces la ecuación normal de un plano esta dada por
− 2, z − 3) = 0.
(1, 0, 2).(x, y
Resolviendo, tenemos que la ecuación general del plano es x + 2z = 6.
Además, se representa gráficamente por x + 2z = 6
P = (0, 2, 3) n = (1, 0, 2)
[Versión
alpha
1.4. Ejercicios
15
Escriba la ecuación normal y general del plano que pasa por P y tiene vector normal n.
−
0 3 a ) P = 1 y n = 2 . 0 1 b ) P =
3 1 1 y n = 0 . 2 5
48. Proporcione la ecuación general del plano que pasa por P , Q y R.
1 4 a ) P = 1 , Q = 0 y R = 1 2
−
0 1 . 1
1 0 0 b ) P = 0 , Q = 1 y R = 0 . 0 0 1
c ) P = (1, 1, 1), Q = (0, 1, 2) y R = (2, 1, 1).
−
d ) P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0) y R = (1, 1, 1).
49. De la misma forma como se mostró la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de una recta, podemos hacerlo para un plano. Si u y v son vectores directores de un plano y P un punto arbitrário, tenemos que la ecuación vectorial esta dada por x = su + tv + P, donde s, t
∈ R.
Si escribimos u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) y P = (x0 , y0 , z0 ) tenemos las ecuaciones paramétricas:
x = su 1 + tv1 + x0 y = su 2 + tv2 + y0 z = su 3 + tv3 + z0
.
Escriba la ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas del plano que pasa por P con vectores directores u y v en cada caso:
0 2 a ) P = 0 , u = 1 y v = 0 2 Topología general]
−
3 2 . 1
16
1. Geometría en b ) P =
−
4 1 1 , u = 1 y v = 3 0
2 R
y R3
−
1 1 . 1
c ) P = (1, 1, 2), u = (2, 0, 2) y v = (1, 1, 1).
−
d ) P = (1, 1, 1), u = (0, 1, 1) y v = (1, 2, 0).
−
50. Considere la ecuación vectorial x = P + t(Q − P ) donde P y Q corresponden a puntos distintos P y Q en R2 o R3 . a ) Encuentre el punto medio de P Q cuando P = (2, 3) y Q = (0, 1).
−
b ) Encuentre el punto medio de P Q cuando P = (1, 0, 1) y Q = (4, 1, 2).
−
c ) Encuentre los dos puntos que dividen P Q del inciso (a) en tres partes
iguales. d ) Encuentre los dos puntos que dividen P Q del inciso (b) en tres partes iguales. 51. Considere L la recta que pasa a través del punto P = (1, −1, 1) y tiene vector director d = (2, 3, −1). Para cada uno de los siguientes planos P , determine si L y P son paralelos, perpendiculares o ninguno de los dos. a )
P = {(x,y,z) : 2x + 3y − z = 1}. b ) P = {(x,y,z) : 4x − y + 5z = 0}. c ) P = {(x,y,z) : x − y − z = 3}. d ) P = {(x,y,z) : 4x + 6y − 2z = 0}. 52. El plano P 1 tiene la ecuación 4x − y + 5z = 2. Para cada uno de los planos P del ejercicio anterior, determine si P 1 y P son paralelos, perpendiculares o ninguno de los dos.
53. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos dados: a ) 2x + 3y
− 4z + 5 = 0 y −3x + 2y + 5z + 6 = 0. b ) 3x − 2y − 5z + 4 = 0 y 2x + 3y + 4z + 8 = 0 . c ) −x + 2y + z = 0 y 2x − y + 2z + 8 = 0 .
54. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine un par de planos cuya intersección sea la recta dada: [Versión
alpha
1.4. Ejercicios a ) b) c )
− −
17
−
x = 2 3t; y = 3 + t; z = 2 4t.
x 2
2
−
=
y 3
− = 4
z +4
3
.
x = 4t; y = 5t + 1; z = t + 2.
−
55. Determine si el conjunto de puntos esta o no en la misma recta: a ) (2, 3, 2), (4, 2, 3), (0, 8, 1) ;
{ − − − − } b ) {(−1, 1, 0), (1, 2, 3), (−3, 0, −3), (− 13 , 34 , 1)}; c ) {(−2, 4, 2), (3, 5, 1), (4, 2, −1)}.
56. Encuentre la ecuación vectorial de la recta en R2 que pasa a través de P = (2, −1) y es perpendicular a la recta con ecuación general 2x − 3y = 1. 57. Encuentre la ecuación vectorial de la recta en R2 que pasa a través de P = (2, −1) y es paralela a la recta con ecuación general 2x − 3y = 1. 58. Encuentre la ecuación vectorial de la recta en R3 que pasa a través de P = (−1, 0, 3) y es perpendicular al plano con ecuación general x − 3y + 2z = 5. 59. Encuentre la ecuación vectorial de la recta en R3 que pasa a través de P = (−1, 0, 3) y es paralela a la recta con ecuaciones paramétricas
x = 1 t y = 2 + 3t z= 2 t
−
.
− −
60. Encuentre la ecuación normal del plano que pasa por P = (0, −2, 5) y es paralelo al plano con ecuación general 6x − y + 2z = 3. 61. Encuentre el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de los puntos P = (1, 0, −2) y Q = (5, 2, 4). 62. Encuentre el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de los puntos P = (1, 0, 0) y Q = (0, 1, 0). 63. Encuentre la distancia desde el punto Q hasta la recta L en cada caso: Topología general]
18
1. Geometría en a ) Q = (2, 2) y
L con ecuación vectorial
b ) Q = (0, 1, 0) y
2 R
y R3
− − − x = y
L con ecuación vectorial
1 +t 2
1 . 1
x 1 y = 1 +t z 1
2 0 . 3
64. Encuentre la distancia desde el punto Q hasta el plano P en cada caso: a ) Q = (2, 2, 2) y
P con ecuación general x + y − z = 0. b ) Q = (0, 0, 0) y P con ecuación general x − 2y + 2z = 1. 65. Encuentre el punto R sobre L que esté más cerca de Q en cada caso del Ejercicio 63.
66. Encuentre la distancia entre las rectas paralelas en cada caso: a ) b)
− − − x 1 = +s y 1 x y = z
2 x 5 y = +t 3 y 4
2 . 3
1 1 x 0 1 0 +s 1 y y = 1 +t 1 . 1 1 z 1 1
67. Encuentre la distancia entre los planos paralelos en cada caso: a ) 2x + y
− 2z = 0 y 2x + y − 2z = 5.
b ) x + y + z = 1 y x + y + z = 3.
68. Encuentre el ángulo agudo entre los planos con las ecuaciones dadas: a ) x + y + z = 0 y 2x + y
− 2z = 0. b ) 3x − y + 2z = 5 y x + 4y − z = 2. 69. Calcule u × v
− −
0 a ) u = 1 y v = 1 b ) u =
3 1 . 2
3 0 1 yv= 1 . 2 1 [Versión
alpha
1.4. Ejercicios c ) u =
19
− −− 1 2 y v = 3
2 4 . 6
1 1 d ) u = 1 y v = 2 . 1 3
70. Demuestre que e1 × e2 = e 3 , e2 × e3 = e 1 y e3 × e1 = e2 . 71. Con la definición del producto cruz, demuestre que u × v es ortogonal a u y v . 72. Con la ayuda del producto cruz, encuentre la ecuación normal del plano.
0 a ) El plano que pasa por P = (1, 0, 2) paralelo a u = 1 y v = 1
−
−
3 1 . 2
b ) El plano que pasa por el origen y tiene vectores directores u = ( 1, 2, 3) y v = (1, 1, 1).
−
c ) El plano que pasa por P = (0, 1, 1), Q = (2, 0, 2) y R = (1, 2, 1).
−
R3
73. Sean u y v vectores en
−
y θ el ángulo entre u y v .
a ) Demuestre que u
× v = u v sen θ. b ) Demuestre que el área A del triángulo determinado por u y v (como se muestra en la figura) está dada por
A
1 = u 2
× v
v u
Figura: Área determinado por u
y v.
c ) Use el resultado del inciso (b) para calcular el área del triángulo con vértices A = (1, 2, 1), B = (2, 1, 0) y C = (5, 1, 3).
−
Topología general]
20
1. Geometría en
2 R
[Versión
y R3
alpha
Capítulo 2
Sistemas de ecuaciones lineales 2.1.
Introducción
Definición 2.1. Una ecuación lineal en las variables x1 ,...,xn es una ecuación
que se puede escribir como
a1 x1 + ... + an xn = b,
(2.1)
donde los coeficientes a1 ,...,an y el término constante b son números reales. Además, una solución de (2.1) es un vector (s1 ,...,sn ) Rn tal que a1 s1 + ... + an sn = b.
∈
Definición 2.2. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de
ecuaciones lineales; es decir, se escribe de la forma: a11 x1 + ... + a1n xn = b 1 ; a21 x1 + ... + a2n xn = b 2 ; ... am1 x1 + ... + amn xn = b m . El anterior es un sistema de ecuaciones lineales de n variables x 1 ,...,xn , y m ecuaciones. Además, una solución del sistema es un vector (s1 ,...,sn ) Rn que es solución de cada una de las m ecuaciones. Finalmente, el conjunto solución es la familia de todas las soluciones del sistema.
∈
Como veremos en el desarrollo de los ejercicios, un conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales se presenta en una y solo una de las siguientes alternativas: 1. El sistema tiene una única solución,
22
2. Sistemas de ecuaciones lineales 2. El sistema tiene infinitas soluciones, ó 3. El sistema no tiene solución.
2.2.
Métodos de solución directa
Si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a11 x1 + ... + a1n xn = b 1 ; a21 x1 + ... + a2n xn = b 2 ; ... am1 x1 + ... + amn xn = b m ,
tenemos dos matrices importantes asociados a este sistema: La matriz de coeficientes definida por
a11 a21
a12 ... a22 ...
.. .
a1n a2n
.. .
.. .
am1 am2 ... amn
.
La matriz aumentada definida por
a11 a21
.. .
a12 ... a22 ...
.. .
a1n a2n
.. .
am1 am2 ... amn
| | | |
b1 b2
.. .
bm
.
Si el sistema es tal que b1 = b 2 = ... = b m = 0, diremos que el sistema de ecuaciones lineales es un sistema homogéneo . Para un sistema homogéneo el sistema siempre va tener solución; es decir, si tenemos un sistema homogéneo, entonces el sistema tiene única solución o infinitas soluciones. Definición 2.3. Dos matrices del mismo tamaño A y B se dicen equivalentes por renglones si existe una secuencia de las siguientes operaciones que convierta una
en la otra: 1. Intercambio de dos renglones. [Versión
alpha
2.2. Métodos de solución directa
23
2. La multiplicación de un renglón por una constante diferente de cero. 3. La adición de un multiplo de un renglón a otro renglón. Las operaciones descritas se conocen como operaciones elementales . Teorema 2.4. Dos sistemas de ecuaciones lineales tienen el mismo conjunto solu-
ción si sus matrices aumentadas son equivalentes por renglones.
El primer método de solución se trata, como sugiere el Teorema 2.4, de encontrar la matriz aumentada del sistema y hacer operaciones elementales (Definición 2.3) para encontrar un sistema de ecuaciones “más simple” que nos permita fácilmente encontrar la solución. Una matriz se dice escalonada si satisface las siguientes propiedades: 1. Cualquier renglón que se componga enteramente de ceros esta en la parte inferior. 2. En cada renglón distinto de cero, la primera entrada distinta de cero, denominada la entrada principal , se encuentra en una columna a la izquierda de cualquier entrada principal debajo de ella. Definición 2.5 ( Eliminación gaussiana ). Este método consiste en encontrar una
matriz escalonada equivalente por renglones a la matriz aumentada del sistema. Se puede describir paso a paso de la siguiente forma: 1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales. 2. Utilice operaciones elementales para reducir la matriz aumentada a la forma escalonada. 3. Mediante sustitución hacia atrás, resuelva el sistema equivalente que corresponde a la matriz reducida.
Cuando llegamos al paso 3 en la definición anterior, y el sistema tiene solución, como mencionamos anteriormente, el sistema puede tener una única solución o infinitas soluciones. En caso que tenga infinitas soluciones existe más de una manera de asignar parámetros expresando las variables correspondientes en términos de otras variable; estas últimas se conocen como variables libres . Definición 2.6. El rango de una matriz es el número de renglones distintos de cero
en su forma escalonada. Topología general]
24
2. Sistemas de ecuaciones lineales
El siguiente resultado es de utilidad para identificar cuantas variables libres debemos usar en la solución de un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones. Teorema 2.7 ( Teorema del rango ). Sea A la matriz de coeficientes de un sistema
de ecuaciones lineales con n variables. Si el sistema es consistente (tiene solución), entonces número de variables libres = n rango(A).
−
Terminamos esta sección describiendo el método de eliminación por Gauss-Jordan que resulta muy similar a la eliminación gaussiana. Definición 2.8. Diremos que una matriz se encuentre en forma escalonada reducida si satisface:
1. Cualquier renglón formado enteramente de ceros se encuentra en la parte inferior. 2. La entrada principal en cada renglón distinto de cero es un 1. 3. Cada columna que contiene un 1 en su entrada principal, tiene ceros en cualquier otro sitio. Definición 2.9 (Eliminación por Gauss-Jordan ). Este método consiste en en-
contrar una matriz escalonada reducida equivalente por renglones a la matriz aumentada del sistema. Se puede describir paso a paso de la siguiente forma: 1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales. 2. Utilice operaciones elementales para reducir la matriz aumentada a la forma escalonada reducida. 3. Si el sistema es consistente (tiene solución), resuelva para las variables principales en términos de cualquier variable libre restante.
El método de solución por Gauss-Jordan muestra de manera inmediata, sin ningún cálculo adicional, la solución del sistema.
2.3.
Métodos iterados de solución
Sea A =
a12 a22
··· ···
a1n a2n
an1 an2
···
ann
a11 a21
.. .
.. .
...
.. .
,
[Versión
alpha
2.3. Métodos iterados de solución
25
una matriz cuadrada. Diremos que A tiene diagonal estrictamente dominante si |aii | > j =i |aij |, para cada i ∈ {1,...,n}.
Consideremos sistemas de ecuaciones lineales [A : b] donde A es una matriz cuadrada con diagonal estrictamente dominante. En esta situación tenemos dos maneras -muy similares entre si- de encontrar soluciones aproximadas por métodos iterados. 2.3.1.
Método de Jacobi
Sea [A : b] un sistema de ecuaciones lineales donde A ∈ M n×n es una matriz cuadrada con diagonal estrictamente dominante y b ∈ Rn . El sistema en su forma expandida se representa: a11 x1 + ... + a1n xn = b 1 ; a21 x1 + ... + a2n xn = b 2 ;
.. .
(2.2)
an1 x1 + ... + annxn = b n .
En cada ecuación i, despejamos la respectiva variable xi :
x1 = x2 =
b1 b2
j =1
bn
j =2
−
a1 j x j
a11 a22
.. . xn =
− −
a2 j x j
; ;
j =n anj x j
ann
.
Damos un valor inicial para cada variable x10 , x20 ,...,xn0 y reemplazamos en las ecuaciones anteriores para encontrar x11 , x21 ,...,xn1 de la siguiente forma:
x11 = x21 =
b1 b2
Topología general]
j =1
bn
a1 j x j 0
a11
j =2
a22
.. . xn1 =
− −
−
a2 j x j 0
; ;
j =n anj x j 0
ann
.
26
2. Sistemas de ecuaciones lineales
Repetimos este proceso para encontrar x12 , x22 ,...,xn2 reemplazando los valores encontrados para x11 , x21 ,...,xn1 .
x12 = x22 =
b1
j =1
a1 j x j 1
a11
b2
j =2
a2 j x j 1
a22
.. . xn2 =
− −
bn
−
; ;
j =n anj x j 1
ann
.
De esta manera, inductivamente si conocemos x1k , x2k ,...,xnk , para algún k , podemos encontrar x1k+1 , x2k+1 ,...,xnk+1 ,
x1k+1 = x2k+1 =
b1 b2
j =1
bn
a1 j x jk
a11
j =2
a22
.. . xnk+1 =
− −
−
a2 j x jk
; ;
j =n anj x jk
ann
.
y afirmamos que x11 , x12 , x13 ,... converge a la solución del sistema x1 ; la sucesión x21 , x22 , x23 ,... converge a la solución del sistema x 2 ; y xn1 , xn2 , xn3 ,... converge a la solución del sistema x n . Esto es, entre más veces realice este proceso iterativo podrá encontrar una mejor aproximación (x1k , x2k ,...,xnk ) a la solución del sistema 2.2.
2.3.2.
Método de Gauss-Seidel
Este método es muy similar al método de Jacobi, se puede decir que es una versión mejorada del método de Jacobi pues, con menos iteraciones podemos encontrar una mejor aproximación de la solución. Consideremos igual un sistema de ecuaciones lineales [A : b], donde A es una matriz con diagonal estrictamente dominante. [Versión
alpha
2.3. Métodos iterados de solución
27
a11 x1 + ... + a1n xn = b 1 ; a21 x1 + ... + a2n xn = b 2 ;
(2.3)
.. .
an1 x1 + ... + annxn = b n .
En cada ecuación i, despejamos la respectiva variable xi :
x1 = x2 =
b1 b2
j =1
a1 j x j
a11 j =2
a2 j x j
a22
.. . xn =
− −
bn
−
; ;
j =n anj x j
ann
.
Igual, damos valores iniciales arbitrarios x10 , x20 ,....,xn0 , la diferencia es que ahora para encontrar cada término utilizamos la solución inmediatamente anterior así: x11 =
b1
−
j =1 a1 j x j 0
a11
;
Ahora para encontrar x21 usamos x11 , x21 =
x31 =
b3
b2
− a21 x11
n j =3
−
a2 j x j 0
a22
− a31 x11 − a32x21 − a33
n j =4
;
a2 j x j 0
;
para obtener xn1 por xn1 =
bn
−
n 1 j =1
−
anj x j 1
ann
Repitiendo este proceso construimos paso a paso la sucesión {(x1k , x2k ,...,xnk )}∞ k =1 , que converge a la solución (x1 , x2 ,...,xn ) de 2.3. Topología general]
28
2. Sistemas de ecuaciones lineales
2.4.
Ejercicios
1. Determine cuáles de las ecuaciones con variables x, y y z , son lineales. Si alguna ecuación no es lineal, explique por qué.
√ a ) x − πy + 5z = 0. 3
b ) x2 + y 2 + z 2 = 1.
c ) x−1 + 7y + z = sin d ) 2x
π
.
9
− xy − 5z = 0. √ e ) 3cos x − 4y + z = 3.
2. Muestre que el vector v es solución del sistema de ecuaciones lineales dado: 2x y = 0 a ) 3x + y z = 1 ; v = x y z = 1 b)
− − − − − 2x − y + 2z = 0 4x + y + 2z = 1 ; x + 2y − z = −1 x − y = 0
1 2 2 3, 3, 3
− − .
7 11 2 , 4, 2
v=
.
c ) x + y + z = 1 ; v = 1, 1, 1 . 2x + z = 1
3. Encuentre las matrices aumentadas de los sistemas lineales. a )
−
x y =0 2x + y = 3 2x1 + 3x2 x3 = 1 x1 + x3 = 0 x1 + 2x2 2x3 = 0
b)
− −
−
4. Encuentre un sistema de ecuaciones lineales que tenga la matriz dada como su matriz aumentada. a )
b)
0 1 2 1 1 0
1 1 1 0 1 1
− − −1 1 1
| | |
0 3 2 1 0 2
1 1 1
| − | | 1 1 3
2 4 0
[Versión
alpha
2.4. Ejercicios
29
5. Determine cuales de las siguientes matrices se encuentran en forma escalonada, forma escalonada reducida o ninguna de las dos. a )
b)
c )
d )
e )
f )
2 0 0
4 1 1 2 0 0
−
0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 5 0 0 4 7 0 0 1 0 0 1 1 0 0
2 0 1 0
1 0 1 4 0 0
− 3 0 4 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
−2 0 −1
6. Dibuje gráficas que correspondan a los sistemas de ecuaciones lineales dados. Determine geométricamente si cada sistema tiene solución única, un número infinito de soluciones o ninguna solución. Luego resuelva cada sistema algebraicamente para confirmar su respuesta. a )
x+y =0 2x + y = 3
b)
x 2y = 0 2x 4y = 1
c )
x+y =1 2x + 2y = 2
d )
x 2y = 7 3x + y = 7
− −
−
7. Demuestre que las matrices dadas son equivalentes por renglones y encuentre una secuencia de operaciones elementales que conviertan A en B . Topología general]
30
2. Sistemas de ecuaciones lineales a ) A = b ) A =
− − − 1 2 3 ;B= 3 4 1 2 0 1 1 1 1
1 0
1 3 1 0 ; A = 3 5 1 2 2
−1 1 0
8. Utilice las operaciones elementales para reducir las matrices dadas a su forma escalonada y su forma escalonada reducida. a ) b) c ) d )
e )
f ) g )
− − − − −− − − − − − − − 1 1 2 3
1 6 4 2
2 3
4 1
2 6
1 4 1
2 5 1
2 3 6
4 8 5 8 0 4
1 0 1
1 0 1 1 1 0
3 5
6 10
3 6 1
3 5
9. Resuelva el sistema de ecuaciones dado usando eliminación gaussiana o por Gauss-Jordan. x1 + 2x2 3x3 = 9 a ) 2x1 x2 + x3 = 0 4x1 x2 + x3 = 4
− −
−
− −
3x1 + 6x2 6x3 = b ) 2x1 5x2 + 4x3 = 5x1 28x2 26x3 =
− −
c )
x + 2y = 2x + y + z = x+y z =
−
−
−1 1 −1
9 6 8
−
[Versión
alpha
2.4. Ejercicios
31
x1 3x2 2x3 = 0 d ) x1 + 2x2 + x3 = 0 2x1 + 4x2 + 6x3 = 0
−
−
−
x1 + x2 x3 = 7 e ) 4x1 x2 + 5x3 = 4 2x1 + 2x2 3x3 = 0 f )
− − − x1 + x2 − x3 4x1 − x2 + 5x3 6x1 + x2 + 3x3
= 7 = 4 = 18
3w + 3x + y = 1 g ) 2w + x + y + z = 1 2w + 3x + y z = 2 h )
i )
− −x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 2x1 − 6x2 + x3 − 2x4 x1 − 3x2 + 4x3 − 8x4 −2x − y + 3z = 0 −3x + 4y − z = 0 5x + 3y + 2z
j ) k )
l )
= = =
= 0
x + 2y 3x + 4y
−z = 4 − 2z = 7 x + 2y − 4z = 4 −2x − 4y + 8z = −8 w − 2x + y + z = 2 3w + 2y − 2z = −8 4x − y − z = 1 3w + 3y − z = 0
x+y = 4 m ) 2x y = 7 3x + 2y = 8
−
w + x + 2y + z w x y + z n ) x+y w + x + z
− −
= = = =
a + b + c + d a + 2b + 3c + 4d ñ ) a + 3b + 6c + 10d a + 4b + 8c + 15d Topología general]
1 0 1 2
− = = = =
10 30 65 93
2 1 4
− −
32
2. Sistemas de ecuaciones lineales
10. Determine por inspección; es decir, sin realizar ningún cálculo, si el sistema de ecuaciones lineales con la matriz aumentada dada tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. Justifique sus respuestas. a )
b)
| | |
0 0 1 0 1 3 1 0 1 3 1 2
−2 2 4
2 1 1
0 1 3 1 6 2
| 1 | −1 | 0
− −
11. ¿Para qué valor o valores de k , si hay alguno, los sistemas de ecuaciones lineales tendrán: ninguna solución, solución única o infinitas soluciones? a )
kx + y = 2x 2y =
b)
x + ky = 1 kx + y = 1
−
−2 4
x + y + z = 2 c ) x + 4y z = k 2x y + 4z = k 2
−
−
x + y + kz = d ) x + ky + z = kx + y + z =
1 1 2
−
12. Proporcione ejemplos de sistemas homogéneos de m ecuaciones lineales con n variables con m = n y con m > n que tengan: a ) un número infinito de soluciones. b ) una solución única.
13. Encuentre la recta de intersección entre los planos representados por las ecuaciones generales. a ) 3x + 2y + z =
−1 y 2x − y + 4z = 5. b ) 4x + y − z = 0 y 2x − y + 3z = 4. c ) x + y = 0 y x − z = 0.
14. Muestre un ejemplo que satisfaga cada una de las siguientes afirmaciones y justifique ampliamente su respuesta. a ) Tres planos diferentes que tengan una recta de intersección común. [Versión
alpha
2.4. Ejercicios
33
b ) Tres planos que se intercepten en pares, pero que no tengan un punto
común de intersección. c ) Tres planos, exactamente dos de los cuales son paralelos. d ) Tres planos que se intercepten en un solo punto. 15. Determine si las rectas x = p + su y x = q + tv se intersectan y, si lo hacen, encuentre su punto de intersección. a ) p =
−
− −
1 2 2 ; q = 2 ; u = 1 0
3 b ) p = 1 ; q = 0
−
−
1 2 ; v = 1
1 1 . 0
1 1 2 1 ; u = 0 ; v = 3 . 1 1 1
16. Sean p = (1, 2, 3), u = (1, 1, −1) y v = (2, 1, 0). Describa todos los puntos q = (a,b,c) tales que la recta a través de q con vector director v intersecta la recta con la ecuación vectorial x = p + su. 17. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales. x + y 2z = 4 a ) x + 3y z = 7 . 2x + y 5z = 7 b)
− − − 3w + 8x − 18y + z w + 2x − 4y w + 3x − 7y + z
= 35 = 11 . = 10
18. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los planos x + 2y + 3z = 4 y 5x + 6y + 7z = 8. 19. Encuentre el punto de intersección de las siguientes rectas, si existe.
− − −− x 1 y = 2 +s z 3
1 x 1 y y = 2 z
5 2 +t 4
1 1 . 1
20. Determine si el vector v es una combinación lineal de los vectores restantes. a ) b) c ) d ) e )
v v v v v
= (1, 2), u1 = (1, 1) y u2 = (2, 1). = (3, 1, 2), u1 = (1, 1, 0) y u2 = (0, 1, 1). = (1, 2, 3), u1 = (1, 1, 0) y u2 = (0, 1, 1). = (6, 2, 1, 2), u1 = (1, 1, 0, 1), u2 = ( 1, 0, 1, 1) y u3 = (1, 1, 1, 1). = (1, 2, 0, 1), u1 = (2, 1, 1, 1) y u2 = (2, 1, 2, 1).
Topología general]
−
−
−
−
−
−
−
34
2. Sistemas de ecuaciones lineales
[Versión
alpha
Capítulo 3
Matrices 3.1. 3.1.
Opera Operaci cion ones es y prop propie ieda dade dess
Como hemos visto, una matriz es un arreglo rectangular de números llamados entradas o elementos de la matriz. Para una matriz A de n filas y m columnas, en su manera general escribimos
A =
a11 a21
a12 a22
··· ···
a1m a2n
an1 an2
···
anm
.. .
.. .
...
.. .
.
En adelante, algunas veces, denotaremos la matriz A = (aij )i≤n,j ≤m. Definición 3.1 (Suma y multiplicación por escalar). Sean A = (aij )i≤n,j ≤m y
B = (bij )i≤n,j ≤m matrices de n filas por m columnas, y α
∈ R. Entonces:
1. A + B = (aij )i≤n,j ≤m + (b ( bij )i≤n,j ≤m = (aij + bij )i≤n,j ≤m, y 2. αA = αA = α α((aij )i≤n,j ≤m = (αaij )i≤n,j ≤m.
De manera natural tenemos A
1)B = (a − b − B = A + (−1)B ij
ij )i n,j m .
≤ ≤
En el siguiente teorema enunciamos propiedades de la suma y multiplicación por escalar. 0 representa la matriz de ceros.
36
3. Matrices
Teorema 3.2. Sean A, B y C matrices C matrices del mismo tamaño y α y λ números reales.
1. A + B = B + B + A, 2. (A + B ) + C = A + (B (B + C ), 3. A + 0 = A A,, 4. A + ( A) = 0,
−
5. α(A + B ) = αA + αA + αB, αB , 6. (α + λ)A = αA = αA + + λA λA,, 7. α(λA λA)) = (αλ) αλ)A, 8. 1A = A = A.. Definición 3.3 (Multiplicación matricial ). Sean A de n filas y m columnas y B
de m filas y k columnas; escribimos A = (aij )i≤n,j ≤m y B = (bij )i≤m,j ≤k , entonces AB = C = (cij )i≤n,j ≤k es una matriz de n filas y k columnas, donde para cada i, j , las entradas están definidas por m
cij = a i1 b1 j + ai2 b2 j + ... + ... + aim bmj =
aik bkj .
k =1
Nótese que cada cij es el producto punto entre la i-ésima fila de la matriz A por la j -ésima columna de la matriz B . Si k ∈ N, denotamos por I k la matriz de k × k tal que las entradas son 1 si hace parte de la diagonal y 0 si no hace parte de la diagonal; esto es, I k = (tij )i,j ≤k donde tij = 0 si i = j , y tii = 1 para cada i ∈ {1,...,k}. I k le llamamos la matriz identidad de k × k. Teorema 3.4. Sean A, B y C matrices C matrices y α
∈ R.
1. A(BC ) BC ) = (AB) AB )C , 2. A(B + C ) = AB + AB + AC , 3. (A + B )C = AC + + BC , BC , 4. α(AB) AB ) = (αA) αA)B = A A((αB) αB ), 5. I m A = A = AI n , donde A es de m identidad de tamaño respectivo.
× n y I
n
y I m representan las matrices Versión ón [Versi
alpha
3.2. Inversa de un matriz
37
Sea A = (aij )i≤n,j ≤m de n filas y m columnas. Definimos la transDefinición 3.5. Sea transpuesta puesta de A, denotada por AT , como la matriz AT = (a ji j i )i≤n,j ≤m de m filas y n
columnas; es decir, A decir, A T es la matriz que resulta al intercambiar las filas y las columnas de A. = A T y se dice antisimétrica si A = −AT . Una matriz A se dice simétrica si A = A
Finalizamos esta sección con algunas propiedades de la transpuesta. Teorema 3.6. Sean A y B matrices y α un número real.
1. (AT )T = A A,, 2. (A + B )T = A T + B T , 3. (αA) αA)T = αAT , 4. (AB) AB )T = B T AT , 5. (Ar )T = (AT )r , donde r
3.2. 3.2.
r
∈ N y A
= AA...A ( r -veces).
Inversa ersa de un matr matriz iz
Sea A una matriz de n Definición 3.7. Sea que denotamos por A−1 de n
matriz inversa de A es una matriz × n, la matriz
× n, con la propiedad que = I n . AA−1 = A −1 A = I
Si A−1 existe, diremos que A es invertible. Teorema 3.8. Si A =
a b c d
y ad
A−1 = Además, si ad
− bc = 0, entonces A es invertible y 1
ad
d c
− bc −
− b a
.
− bc = bc = 0, entonces A no es invertible.
A continuación mostramos algunas propiedades de la inversa de una matriz. Teorema 3.9. Sean A y B matrices invertibles de n
1. A−1 es invertible y (A−1 )−1 = A A.. Topología general]
× n y α = 0. Entonces:
38
3. Matrices 2. αA es invertible y (αA)−1 = α1 A−1 . 3. AB es invertible y (AB)−1 = B −1 A−1 . 4. An es invertible, para cualquier entero no negativo n, y (An )−1 = (A−1 )n .
En la Definición 2.3 se mostró cuales son la operaciones elementales sobre una matriz. Definición 3.10. Una matriz cuadrada se dice matriz elemental si se puede ob-
tener al realizar una operación elemental de la matriz identidad.
Sean A una matriz de n × n y E una matriz elemental. No es difícil verificar que si a A le hacemos la operación elemental asociada a E , entonces la respuesta es la matriz EA. Con esta observación, si A es equivalente por renglones a la matriz identidad I n , entonces existen E 1 ,...,E k matrices elementales tales que E k ...E 1 A = I n ; esto es A−1 = E k ...E 1 . Teorema 3.11. Sea A una matriz de n
valentes:
× n. Las siguientes afirmaciones son equi-
1. A es invertible. 2. Ax = b tiene solución única para cada b
n
∈R .
3. Ax = 0 tiene solamente la solución trivial. 4. La forma escalonada reducida por renglones de A es I n . 5. A es producto de matrices elementales.
3.3.
Método de Gauss-Jordan para calcular inversas
Sea A una matriz de n×n. Supongamos que A es invertible; es decir, existen E 1 ,...,E k matrices elementales tales que E k ...E 1 A = I n . De esta forma, si consideramos paralelamente las operaciones elementales que realizamos a A también a la matriz identidad I n , obtenemos E k ...E 1 I n que claramente es A−1 . Este proceso lo podemos hacer de forma más simple, tomando la matriz ampliada [A : I n ] realizar operaciones elementales a esta matriz ampliada para obtener I n en lugar de A y la matriz resultante en el lado derecho es justo A−1 . La secuencia paso a paso sería: [Versión
alpha
3.4. Ejercicios
[A : I n ]
39
→ [E 1A : E 1 I ] → [E 2E 1A : E 2E 1 I ] → ... ... → [E ...E 1 A : E ...E 1 I ] = [I n
n
k
3.4.
k
n
n
: A −1 ].
Ejercicios
− − 3 0 , B = 1 5
1. Sean A =
4 0
−2 2
1 , C = 3
1 2 3 4 5 6
, D =
0 2
−
−
3 , 1
1 . Calcule las operaciones indicadas (si es posible). 2
E = 4 2 , F = a ) A + 2D . b ) 2D
− 5A. c ) B − C . d ) B − C . T
e ) AB .
f ) B 2 . g ) D + BC . h ) B T B . i ) E (AF ). j ) F (AF ). k ) F E . l ) EF . m ) B T C T n ) DA ñ ) A3 . o ) (I 2
T
− (CB)
.
− AD.
− A)2.
2. Proporcione un ejemplo de una matriz A de 2 × 2 distinta de cero tal que A2 = 0. 3. Sea A = B = C .
Topología general]
2 1 . Encuentre B y C matrices de 2 6 3
× 2, tales que AB = AC , pero
40
3. Matrices 4. Sea A una matriz cuadrada de n × n. a ) Demuestre que A + AT es simétrica y A
T
es antisimétrica.
−A
b ) Demuestre que las matrices AAT y AT A son simétricas.
5. Demuestre que toda matriz cuadrada se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
a b . Demuestre que A es invertible si y solo si ad c d Además, si A−1 existe, encuentre A−1 .
6. Sea A =
− bc = 0.
7. Demuestre que cualquier matriz elemental es invertible y que la inversa es nuevamente una matriz elemental. 8. Escriba el sistema dado de ecuaciones lineales como una ecuación matricial de la forma Ax = b . a )
x1 2x2 + 3x3 = 0 . 2x1 + x2 5x3 = 4
b)
−x1 + 2x3 x1 − x2
−
−
= = =
x2 + x3
9. Sea A =
1 2 . 1
− −
0 1 . 1 1
−
a ) Calcule A2 , A3 ,...,A7 . b ) ¿Qué es A2001 ? ¿Por qué?
10. Sea B = 11. Sea A =
1 2 1 2
1 2
√ − √ √ √ − 1 2
. Encuentre y justifique B 2011.
1 1 . Encuentre una fórmula para A n (n 0 1
usando inducción matemática. 12. Sea A =
cos θ sin θ
≥ 1) y verifique su fórmula
sin θ . cos θ
cos2θ sin2θ . a ) Demuestre que A2 = sin2θ cos2θ
−
[Versión
alpha
3.4. Ejercicios
41
b ) Demuestre, mediante inducción matemática, que An =
para n ≥ 1 . 13. Resuelva la ecuación para X , dado que A =
1 2 yB= 3 4
− − cos nθ sin nθ
sin nθ cos nθ
1 0 . 1 1
a ) X
− 2A + 3B = 0. b ) 3X = A − 2B . c ) 2(A + 2B) = 3X .
d ) 2(A
− B + 2X ) = 3(X − B).
14. Demuestre que, para matrices cuadradas A y B , AB = BA si y sólo si (A − B)(A + B) = A 2 − B 2 . 15. Si B =
− −
a b , encuentre las condiciones de a , b , c y d para las que AB = BA. c d
a ) A = b ) A = c ) A =
1 1 . 0 1 1 1
1 . 1
1 2 . 3 4
16. Encuentre las condiciones de a, b, c y d para los que B =
1 0 0 0 tanto con como con . 0 0 0 1
a b conmuta c d
17. Demuestre que, si AB y BA están ambas definidas, entonces AB y BA son ambas matrices cuadradas. 18. Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todas las entradas abajo de la diagonal principal son cero. Por tanto, la forma de una matriz triangular superior es
∗ ∗ ∗ 0
0 0
.. .
.. .
0 0
Topología general]
∗
··· ∗ ∗ ··· ∗ ∗ . . . .. .
···
∗
0
.. .
∗
42
3. Matrices donde las entradas marcadas * son arbitrarias. Una definición más formal de tal matriz A = (aij )i,j ≤n es que a ij = 0 si i > j . Demuestre que el producto de dos matrices triangulares superiores n × n es triangular superior.
19. Mediante inducción, demuestre que para toda n ≥ 1, (A1 + A2 + ··· + An )T = T T AT 1 + A2 + ··· + An . T T 20. Mediante inducción, demuestre que para toda n ≥ 1, (A1 A2 ··· An )T = A T n ··· A2 A1 .
21.
a ) Demuestre que si A y B son matrices simétricas de n n, entonces también lo es A + B .
×
b ) Demuestre que si A es una matriz simétrica de n lo es kA para cualquier escalar k.
22.
× n, entonces también
a ) Proporcione un ejemplo para demostrar que si A y B son matrices simétricas de n n, entonces AB no necesita ser simétrica.
×
b ) Demuestre que, si A y B son matrices simétricas de n es simétrica si y sólo si AB = BA.
× n , entonces AB
23. Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si AT = − A. ¿Cuáles de las siguientes matrices son antisimétricas? a ) b)
c )
d )
− − − − −
1 2 . 2 3
0 1
1 . 0
0 3 1
3 0 2
−1 2 0
0 1 2 1 0 5 . 2 5 0
.
24. Demuestre que la diagonal principal de una matriz antisimétrica debe consistir completamente de ceros. 25. Si A y B son matrices de n × n antisimétricas, ¿en qué condiciones AB es antisimétrica? 26. Demuestre que, si A es una matriz de n × n, entonces A − AT es antisimétrica. [Versión
alpha
3.4. Ejercicios
43
27. La traza de una matriz A = (aij )i,j ≤n de n × n es la suma de las entradas en su diagonal principal y se denota mediante tr(A). Esto es, tr(A) = a 11 + a22 +
··· + a
nn .
Si A y B son matrices de n × n , demuestre las siguientes propiedades de la traza a ) tr(A + B) = tr(A) + tr(B). b ) tr(kA) = ktr(A), donde k es un escalar.
28. Demuestre que si A y B son matrices de n × n, entonces tr(AB) = tr(BA). 29. Si A es cualquier matriz, ¿a qué es igual tr(AAT )? 30. Demuestre que no hay matrices de A y B de 2 × 2 tales que AB − BA = I 2 . 31. Encuentre la inversa de la matriz dada (si existe). a ) b) c ) d ) e ) f )
− − − − − − 4 7 . 1 2 1 2 . 3 4 3 4 . 6 8 0 1 . 1 0 a b a c
b . a
1
1
b d
1
1
, donde ni a, b, c ni d son 0.
1 2 3 32. Sea A = , b1 = , b2 = 2 6 5
1 2 , y b3 = . 2 0
a ) Encuentre A−1 y úsela para resolver los tres sistemas Ax = b1 , Ax = b2 y Ax = b 3 . b ) Resuelva los tres sistemas al mismo tiempo mediante la reducción por renglones de la matriz aumentada [A b 1 b2 b3 ], usando la eliminación de
Gauss-Jordan. Topología general]
|
44
3. Matrices c ) Cuente cuidadosamente el número total de multiplicaciones individuales
que realizó en (a) y en (b). Debe descubrir que, incluso para este ejemplo de 2 × 2, un método usa menos operaciones. Para sistemas más grandes, la diferencia es incluso más pronunciada, y esto explica por qué los sistemas de cómputo no usan uno de dichos métodos para resolver sistemas lineales. 33. Demuestre que la matriz identidad I n de n × n es invertible y que I n−1 = I n . 34.
a ) Proporcione un contraejemplo para demostrar que (AB)−1 = A −1 B −1 .
b ) ¿En qué condiciones de A y B , (AB)−1 = A−1 B −1 ? Argumente amplia-
mente su afirmación. 35. Mediante inducción, demuestre que si A1 , A2 ,...,An son matrices invertibles del mismo tamaño, entonces el producto A1 A2 ··· An es invertible y (A1 A2 ··· An )−1 = −1 −1 1 A− n ··· A2 A1 . 36. Proporcione un contraejemplo para demostrar que (A + B)−1 = A −1 + B −1 . 37. Resuelva la ecuación matricial dada para X. Simplifique sus respuestas tanto como sea posible. (En palabras de Albert Einstein, “todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más sencillo”.) Suponga que todas las matrices son invertibles. a ) XA−1 = A3 . b ) AXB = (BA)2 . c ) (A−1 X )−1 = (AB −1 )−1 (AB 2 ). d ) ABXA−1 B −1 = I + A.
1 38. Sean A = 1 1
2 1 1
−
−
− − −
1 1 1 0 1 2 1 1 ,B = 1 1 1 , C = 1 1 1 , D = 0 1 2 1 2 1 1 Encuentre una matriz elemental E que satisfaga la ecuación dada.
−
−
1 3 2
2 1 1
− − 3 −
a ) EA = B . b ) EB = A. c ) EA = C . d ) EC = A . e ) EC = D . f ) ED = C . g ) ¿Existe una matriz elemental E tal que EA = D ? ¿Por qué sí o por qué
no? [Versión
alpha
3.4. Ejercicios
45
39. Encuentre la inversa de la matriz elemental dada. a ) b) c ) d )
e )
f )
g )
h )
40. Sea
−
3 0 . 0 1 1 2 . 0 1 0 1 . 1 0 1 1 2
1 0 0 1 0 0
0 . 1
− 0 2 . 1
0 0 1 0 1 0 . 1 0 0
1 0 0 0 c 0 , c = 0. 0 0 1 1 0 0 0 1 c , c = 0. 0 0 1
A =
1 1
0 . 2
− −
Encuentre una secuencia de matrices elementales E 1 , E 2 ,...,E k tales que E k ··· E 2 E 1 A = I 2 . Use esta secuencia para escribir A y A−1 como productos de matrices elementales. 41.
a ) Demuestre que si A es invertible y AB = 0, entonces B = 0. b ) Ofrezca un contraejemplo para demostrar que el resultado en el inciso 41a ) puede fallar si A no es invertible.
42.
a ) Demuestre que si A es invertible y BA = CA, entonces B = C . b ) Ofrezca un contraejemplo para demostrar que el resultado en el inciso 41a ) puede fallar si A no es invertible.
Topología general]
46
3. Matrices
43. Una matriz cuadrada A se llama idempotente si A2 = A . (La palabra idempotente viene de la palabra latina idem, que significa “igual”, y potere, que significa “tener poder”. Por tanto, algo que es idempotente tiene “la misma potencia” cuando se eleva al cuadrado.) a ) Encuentre tres matrices de 2
× 2 idempotentes. b ) Demuestre que la única matriz de n × n idempotente invertible es la matriz identidad I n.
44. Demuestre que si una matriz simétrica es invertible, entonces su inversa también es simétrica. 45. Demuestre que si A y B son matrices cuadradas, y AB es invertible, entonces A y B son invertibles. 46. Use el método de Gauss-Jordan para encontrar la inversa de la matriz dada (si existe). a ) b)
c )
d )
e )
f )
g )
− − − − − − − 1 2 . 3 4
1 a . a 1
2 0 1 5 2 3 1 3 2
1 1 3
1 1 . 0
2 2 . 1
1 1 0 1 1 1 . 0 1 1
a 0 0 1 a 0 . 0 1 a 0 2 1 0
1 1 1 1
1 0 3 1
0 2 . 0 1 [Versión
alpha
3.4. Ejercicios
47
√ √ − 2
h )
4 2 0 0
Topología general]
√ 02 0 0
√ 2 2 0 1 3
0 0 . 0 1
48
3. Matrices
[Versión
alpha
Capítulo 4
Subespacios 4.1.
Generado, dependencia e independencia lineal
Definición 4.1. Un vector v es combinación lineal de v 1 ,...,vk si existen escalares
c1 ,...,ck tales que v = c1 v1 + ... + c k vk . Los escalares c1 ,...,ck son llamados los coeficientes de la combinación lineal .
Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, digamos con n variables y m ecuaciones, entonces el sistema lo podemos escribir por [A : b], donde b ∈ Rm . De la Definición 4.1, es fácil aceptar la siguiente observación: Observación 4.2. Un sistema de ecuaciones lineales con matriz aumentada [A : b]
es consistente si y solo si el vector b es combinación lineal de las columnas de A. Definición 4.3. Si S = v1 ,...,vk es un conjunto de vectores de Rn , entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S se llama el espacio generado de S y notaremos por gen v1 ,...,vk o gen(S ).
{
}
{
}
El espacio generado, como veremos más adelante, esta muy ligado al concepto de dependencia e independencia lineal que definimos a continuación. Definición 4.4. Un conjunto de vectores v1 ,...,vk de Rn se dice linealmente dependiente si existen escalares no todos cero c 1 ,...,ck tales que c 1 v1 +...+ck vk = 0. En caso contrario decimos que el conjunto v1 ,...,vk es linealmente independiente .
{
{
}
}
Una manera de estudiar la dependencia o independencia lineal es, como su nombre lo dice, mirar si uno de los vectores “depende” de los demás, esto es, un vector es combinación lineal de los otros vectores del conjunto. De la Definición 4.4, si {v1 ,...,vk }
50
4. Subespacios
es linealmente dependiente, entonces existen escalares no todos cero, c1 ,...,ck tales que c1 v1 + c2 v2 + ... + ck vk = 0.
Luego, si c j = 0, para algún j ∈ {1,...,k }, entonces despejando c j v j = ( c1 )v1 + ... + ( c j −1 )v j −1 + ( c j +1 )v j +1 + ... + ( ck )vk .
−
−
−
−
Como c j = 0, podemos escribir v j por v j =
− c1 c j
v1 + ... +
− − c j 1 c j
v j −1 +
− c j +1 c j
v j +1 + ... +
− ck c j
vk ,
es decir, v j es combinación lineal de los demás vectores o depende de los demás vetores. Similarmente, si ningún vector es combinación lineal de los otros vectores decimos que el conjunto es linealmente independiente. Teorema 4.5. Sea v1 ,...,vk un conjunto de vectores de Rn . Si v1 ,...,vk es li-
{
} { } nealmente independiente y w ∈ / gen{v1 ,...,v }, entonces {v1 ,...,v , w} es linealmente n
k
independiente.
Con el siguiente resultado enunciamos algunas propiedades importantes de los conceptos definidos en esta sección. Proposición 4.6. Sea v1 ,...,vk un conjunto de vectores de Rn .
{
}
1. Si k > n, entonces v1 ,...,vk es linealmente dependiente.
{
}
2. Si k < n, entonces gen v1 ,...,vn = Rn .
{
}
Terminamos este capítulo con un resultado que relaciona la independencia lineal con el espacio generado. Teorema 4.7. Sea v1 ,...,vn un conjunto de vectores de Rn . Entonces, v1 ,...,vn
{
}
{
}
es linealmente independiente si y solo si gen v1 ,...,vn =
4.2.
R
n
.
{
}
Bases y dimensión
Definición 4.8. Un subconjunto V
1. v1 + v2
n
⊂R
es un subespacio de Rn , si V =
∅ y:
∈ V para cada v1, v2 ∈ V . [Versión
alpha
4.2. Bases y dimensión
51
∈ V para cualquier v ∈ V y α ∈ R.
2. αv
A continuación mostramos algunos ejemplos de subespacios: Teorema 4.9. Sean v1 ,...,vk vectores de Rn . El espacio generado gen v1 ,...,vk n
R
{
es un subespacio.
}⊂
Los siguientes son ejemplos de subespacios asociados a matrices. Definición 4.10. Sea A una matriz de m
× n. Definimos:
1. Espacio renglones de A, ren(A) espacio generado por los renglones de A. 2. Espacio de columnas de A, col(A) espacio generado por las columnas de A. 3. Espacio nulo de A, nul(A) = v sistema homogéneo [A : 0].
n
{ ∈ R
: Av = 0 ; es decir, la solución del
}
Definición 4.11. Sea V un subespacio de Rn . Un conjunto de vectores β = v1 ,...,vk
{
es una base de V si
}
1. v1 ,...,vk es linealmente independiente, y
{
}
{
}
2. gen v1 ,...,vk = V . Teorema 4.12. Sea V un subespacio de Rn . Si β 1 = v1 ,...,vk
{
} y β 2 = {w1,...,w } l
son base de V , entonces k = l; es decir, cualquier base de un subespacio tiene la misma cantidad de vectores.
El teorema anterior muestra que la dimensión de un subespacio es única. Definición 4.13. Sea V un subespacio de Rn . Si β = v1 ,...,vk es una base de V ,
{
}
entonces diremos que V tiene dimensión k y escribimos dim(V ) = k.
Sea A una matriz de m×n. Sabemos que para A, asociamos los subespacios col(A),ren(A) y nul(A). Teorema 4.14. Sea A una matriz de m
× n. Entonces dim(col(A)) = dim(ren(A)).
En adelante usaremos las siguientes convenciones: 1. ρ(A) = dim(col(A)) = dim(ren(A)) se conoce como rango de A. Topología general]
52
4. Subespacios 2. ν (A) = dim(nul(A)) se conoce como nulidad de A.
El siguiente resultado, como vernos constantemente, nos será de gran utilidad. Teorema 4.15 (Teorema
del Rango). Si A es una matriz de m × n, entonces ρ(A) + ν (A) = n.
Con los resultados expuestos en esta sección podemos dar un teorema fundamental para matrices invertibles: Teorema 4.16. Sea A una matriz de n
valentes:
× n. Las siguientes afirmaciones son equi-
1. A es invertible. 2. Ax = b tiene un única solución para cualquier vector b
n
∈R .
3. Ax = 0 tiene solo solución trivial. 4. La forma escalonada reducida de A es I n . 5. A es el producto de matrices elementales. 6. ρ(A) = n. 7. ν (A) = 0. 8. Las columnas de A son linealmente independientes. 9. Las columnas de A generan Rn. 10. Las columnas de A forman una base de Rn . 11. Los renglones de A son linealmente independientes. 12. Los renglones de A generan Rn . 13. Los renglones de A forman una base de Rn . [Versión
alpha
4.3. Transformaciones lineales
4.3.
53
Transformaciones lineales
Definición 4.17. Sean V
n
y W se conoce como transformación lineal si:
⊂R
⊂R
m
subespacios. Una función T : V
1. T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ), para cualesquiera vectores v1 , v2 2. T (αv) = αT (v), para cada α
→ W
∈ V ;
∈ R y v ∈ V .
Si A es una matriz de m × n, podemos definir T A : cada x ∈ Rn .
Rn
m
por T A (x) = Ax para
→R
Teorema 4.18. Si A es una matriz de m
× n, entonces T
transformación lineal.
A: R
n
→R
m
es una
Recíprocamente si T : Rn → Rm es una transformación lineal podemos encontrar una matriz AT que represente la transformación T como mostramos en el siguiente teorema: Teorema 4.19. Sea T : Rn
→R
m
{
}
una tranformación lineal. Si β = e1 ,...,en es
la base canónica de Rn , entonces
AT = A = [ T (e1 ) T (e2 ) ... T (en ) ] es la matriz tal que T (x) = Ax, para cada x
n
∈R .
Definición 4.20. Sean V un subespacio de Rn y β =
∈
∈
{v1 ,...,v } una base de V . k
Si v V , entonces existen únicos α1 ,...,αk R tales que v = α1 v1 + ... + αk vk . Definimos el vector coordenadas de v en términos de β , denotado como [v]β , por el vector en Rk : [v]β = (α1 ,...,αk ).
A continuación mostramos otro ejemplo de transformación lineal. Teorema 4.21. Sean V un subespacio de Rn y β =
Entonces, T : V
k
→R
{v1 ,...,v } una base de V . k
definida por T (v) = [v]β es una transformación lineal.
Definición 4.22. Sea T : V
→ W una transformación lineal. Decimos que:
1. T es inyectiva, si siempre que T (v) = 0, tenemos que v = 0. 2. T es sobreyectiva, si para cada w Topología general]
∈ W existe v ∈ V tal que T (v) = w.
54
4. Subespacios 3. T es un isomorfismo si T es inyectiva y sobreyectiva. Además, si T es un isomorfismo diremos que V y W son isomorfos y escribimos V = W .
Teorema 4.23. Para cualquier subespacio V de Rn
transformación lineal T : V esto, V = Rk .
∼
k
→R
∼ y β = {v1 ,...,v } base de V , la k
definida por T (v) = [v]β es un isomorfismo. De
El isomorfismo usando el vector coordenadas nos permite representar matricialmente una transformación lineal de muchas maneras dependiendo de las bases, como mostramos en el siguiente resultado. n
m
⊂ R , W ⊂ R subespacios, β 1 = {v1,...,v } base de V y β 2 = {w1 ,...,w } base de W . Si T : V → W es una transformación lineal, entonces existe una matriz A ( ) = A de l × k, tal que Teorema 4.24. Sean V
k
l
T β1 β2
[T (v)]β2 = A[v]β1 , para cada v V . Además,
∈
A = [ [T (v1 )]β2 [T (v2 )]β2 ... [T (vk )]β2 ].
4.4.
Más acerca de transformaciones lineales
Como vimos en el Teorema 4.24, cualquier transformación lineal se puede representar con una matriz. Así, es natural referirnos a nulidad y rango de una transformación. Definición 4.25. Sean T : V
→ W una transformación lineal y β 1 = {v1 ,...,v } y n
β 2 = w1 ,...,wm bases de V y W , respectivamente. Definimos:
{
}
1. ρ(T ) = ρ(AT (β1 β2 ) ), llamamos el rango de T . 2. ν (T ) = ν (AT (β1 β2 ) ), llamamos la nulidad de T .
Es importante resaltar que el rango y la nulidad de una transformación lineal no dependen de la selección de las bases; es decir, si β 1 y λ1 son bases de V , y β 2 y λ2 son bases de W , entonces ν (AT (β1 β2 ) ) = ν (AT (λ1 λ2 ) ) y ρ(AT (β1 β2 ) ) = ρ(AT (λ1 λ2 ) ). A continuación mostramos como caracterizar transformación inyectiva y sobreyectiva, usando el rango y la nulidad. Teorema 4.26. Sea T : V
→ W una transformación lineal. Entonces:
1. T es inyectiva si y solo si ν (T ) = 0. [Versión
alpha
4.5. Ejercicios
55
2. T es sobreyectiva si y solo si ρ(T ) = dim(W ).
Sean U, V y W subespacios, y sean T : U → V y L : V → W transformaciones lineales. Entonces L ◦ T : U → W es una transformación lineal. Con el siguiente resultado mostramos que la composición de transformaciones es equivalente a la multiplicación de matrices. Teorema 4.27. Sean U, V y W subespacios, y β 1 , β 2 y β 3 bases de U, V y W ,
respectivamente. Si T : U
→ V y L : V → W son transformaciones lineales, entonces AL◦T (β1 β3 ) = A L(β2 β3 ) AT (β1 β2 ) .
Definición 4.28. Sea T : V
→ W una transformación lineal. Decimos que T es invertible si A ( ) es invertible, para algunas bases β 1 de V y β 2 de W . Además, si T es invertible, podemos definir T −1 : W → V una transformación lineal tal que T β1 β2
1 [T −1 (w)]β1 = A − [w]β2 , T (β1 β2 )
para cada w W .
∈
4.5.
Ejercicios
1. Determine si el vector b está en el generador de las columnas de la matriz A.
− − − − − − − −
1 2 3 10 a ) A = 4 5 6 ; b = 11 . 7 8 9 12 b ) A =
1 1 1
2. Demuestre que
3. Demuestre que
1 0 1 1 ; b = 0 1
R2
R3
2 1 . 3
= gen
2 , 1
1 2
= gen
1 1 , 1
1 1 , 1
.
1 1 1
.
4. Demuestre que u, v y w están todos en gen(u, u + v, u + v + w). Topología general]
56
4. Subespacios 5. Determinar si los conjuntos de vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes. Si, para alguno de ellos la respuesta puede determinarse por inspección (esto es, sin cálculos), establezca por qué. Para cualquier con junto que sea linealmente dependiente, encuentre una relación de dependencia entre los vectores. a )
b)
c )
d )
e )
f )
g )
h )
i )
− − − − − − − − − − − − 3 1 , 4
2 1 1
.
1 1 1 , 2 , 1 3
1 1 2
.
3 2 2 , 1 , 2 3
1 2 6
.
0 2 2 1 , 1 , 0 2 3 1 2 3 , 7
.
5 4 3 1 , 3 , 1 1 0 5
3 6 0 4 , 7 , 0 5 8 0
.
1 2 3 4 3 2 , , 3 4 2 0 5 4
.
0 0 0 4 0 0 3 3 , , , 0 2 2 2 1 1 1 1 3 1 , 1 1
1 1 3 1 , , 1 3 1 1
.
.
1 1 1 3
.
6. Responda detalladamente cada una de las siguientes preguntas: [Versión
alpha
4.5. Ejercicios
57
a ) Si las columnas de una matriz A de n
× n son linealmente independientes
como vectores en Rn, ¿cuál es el rango de A? b ) Si los renglones de una matriz A de n × n son linealmente independientes como vectores en Rn, ¿cuál es el rango de A? 7. Responda detalladamente cada una de las siguientes preguntas: a ) Si los vectores u, v y w son linealmente independientes, ¿ u + v , v + w y u + w también son linealmente independientes? b ) Si los vectores u, v y w son linealmente independientes, ¿ u u w también son linealmente independientes?
−
− v, v − w y
8. Suponga que S = {v1 ,...,vk , v} es un conjunto de vectores de Rn , para algún n , y que v es una combinación lineal de v1 ,...,vk . Si S ′ = {v1 ,...,vk }, demuestre que gen(S ) = gen(S ′ ). 9.
a ) Suponga que el vector w es una combinación lineal de los vectores u1 ,...,uk y que cada ui es una combinación lineal de los vectores v 1 ,...,vm . Demuestre que w es una combinación lineal de v1 ,...,vm y por tanto gen(u1 ,...,uk ) gen(v1 ,...,vm ).
⊆
b ) En el inciso (a), suponga además que cada v j también es una combinación lineal de u1 ,...,uk . Demuestre que gen(u1 ,...,uk ) = gen(v1 ,...,vm ). c ) Use el resultado del inciso (b) para demostrar que R
3
[Sugerencia: Se sabe que
= gen
R3
1 1 1 0 , 1 , 1 0 0 1
= gen(e1 , e2 , e3 )].
10. Sea {v1 ,...,vk } un conjunto linealmente independiente de vectores en Rn y sea v un vector en Rn . Suponga que v = c 1 v1 + c2 v2 + ... + ck vk con c 1 = 0. Pruebe que {v, v2 ,...,vk } es linealmente independiente. 11. Sea {v1 ,...,vk } ⊂ Rn un conjunto linealmente independiente. Demuestre que si w∈ / gen{v1 ,...,vk }, entonces {w, v1 ,...,vk } es linealmente independiente. 12. En cada caso, encuentre vectores v y w para que el conjunto de vectores genere el espacio respectivo: 3 { − } R . b ) {(1, 2, 2), (0, 1, −1), v} genere R3 .
a ) (1, 2, 1), v , w genere
Topología general]
58
4. Subespacios 4 { − } R . d ) {(1, −1, −1, 1), (2, 1, 1, 3), v , w } genere R4 .
c ) (1, 1, 2, 1), (1, 1, 0, 3), v , w genere
13. En cada caso, encuentre vectores v y w para que el conjunto de vectores sea linealmente independiente: a ) (4, 1, 1), v , w .
{ − } b ) {(1, 3, 2), (0, 0, −1), v}. c ) {(1, −1, 2, −1), (1, 1, 0, 3), v , w }. d ) {(−1, 1, −1, 2), (2, 1, −3, 1), v , w}. 14. Demuestre que, si las columnas de B son linealmente dependientes, entonces también lo son las columnas de AB . 15. Demuestre que, si los renglones de A son linealmente dependientes, entonces también lo son los renglones de AB . 16. Muestre detalladamente cuales de los siguiente conjuntos son subespacios. a ) (0, 0) .
{ } b ) {(x,y,z) ∈ R3 : x = y = 2z }. c ) {(x,y,z) ∈ R3 : z = −3x, y = 0}. d ) {(x,y,z) ∈ R3 : x − z + 2y − 1 = 0}. e ) {(x,y,z) ∈ R3 : |x − y | = |y − z |}. f ) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 }. g ) {(x, y) ∈ R2 : x 2 − y = 0}. h ) {(x, y) ∈ R2 : xy = 0}. i ) {(x,y,z,w) ∈ R4 : x − 2y + z + w = 0}. j ) {(x,y,z,w) ∈ R4 : x − 2yz + w = 0}. k ) {(x,y,z,w) ∈ R4 : x + y + w = 0}. 17. Muestre un conjunto S ⊂ R2 tal que: a ) s1 + s 2 ∈ S para cualesquiera s1 , s2 ∈ S , pero existen α ∈ R y s ∈ S donde αs ∈ / S . b ) αs ∈ S para cada s ∈ S y α ∈ R, pero existen s1 , s2 ∈ S tales que s1 + s2 ∈ / S . 18. Sean v1 ,...,v vectores de R , demostrar que gen{v1 ,...,v } es subespacio de k
n
R
n
k
.
[Versión
alpha
4.5. Ejercicios
59
19. Determine si b ∈ col(A) y w ∈ ren(A) en cada caso: a ) A = b ) A =
1 0 1
− − −
−1
1 0 1 1
1
1 2 1
, b =
3 1 4
−
, b =
2 3
yw=
1 1 0
yw=
1 1 1
2 4
−5
20. Encuentre un valor de a, si es posible, para que el conjunto {(−1, 2, 1), (−2, a, 1), (5, 2, sea linealmente dependiente. 21. En los siguientes ejercicios proporcione bases y dimensión de ren(A),col(A) y nul(A). a ) A = b ) A =
c ) A = d ) A = e ) A = f ) A =
g ) A =
h ) A =
i ) A = Topología general]
− − − −− − − − − − − − − − − 1 0 1 1 1 0 1
1 1
1 2 1
1 1 0 1 0 1
3 1 4
0 1 1
1 1 1
2 1
4 0 2 1 2 1 4 4
1 2
3 6
1 3 1
1 2 1 4 0 4
1 0 1
2 4
1 2 3 1 4 3 0 6 5
0 4 0 0 1 0
2 0 1 6 1 2
0 0 1 0 0 2 1 2 4
60
4. Subespacios j ) A =
1 2 3 0 0 4 0 0 6
22. Demuestre que si β 1 y β 2 son bases de un espacio vectorial V , entonces β 1 y β 2 tienen la misma cantidad de vectores. 23. Sea A una matriz de m × n que representa la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales homogéneo Ax = 0. Demostrar que la solución de Ax = 0 es un subespacio de Rn . 24. Encuentre todos los posibles valores de ρ(A) y ν (A) dependiendo del número real a. a ) A =
b ) A =
− −
1 2 a a 3 2
2 a 4a 2 2 1
−
2 3 1
−
−1 −2 a
25. Determine si el siguiente conjunto de vectores es base de
R3 .
a ) (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)
{ } b ) {(1, −1, 3), (−1, 5, 1), (1, −3, 1)} c ) {(1, 4, −1), (2, 1, 2), (−3, 3, −4)} d ) {(1, −2, 1), (−1, −1, 4), (3, −3, 3)} 26. Determine si el siguiente conjunto de vectores es base de
R
4
.
a ) (1, 1, 1, 1), (2, 0, 0, 1), (4, 2, 2, 1), (7, 3, 3, 1)
{ − − − − − } b ) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, −2, −2, 1), (0, 2, 2, 1)} c ) {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)} d ) {(1, −1, 0, 0), (0, 1, 0, −1), (0, 0, −1, 1), (−1, 0, 1, 0)} 27. Si A es una matriz de m × n, demuestre que todo vector de nul(A) es ortogonal a todo vector de ren(A).
28. Si A y B son matrices de n × n tales que ρ(A) = ρ(B) = n, demuestre que ρ(AB) = n . 29. Demuestre que ρ(AB) ≤ ρ(B). [Versión
alpha
4.5. Ejercicios
61
30. Muestre ejemplos de matrices A y B tales que ρ(AB) < ρ(B). 31. Demuestre que ρ(AB) ≤ ρ(A). 32. Muestre ejemplos de matrices A y B tales que ρ(AB) < ρ(A). 33. Demuestre que para cualquier matriz A, ρ(A) = ρ(AT ). 34. Sean A de m × n y B de n × k. Demuestre que ρ(AB) ≤ m´ın{ρ(A), ρ(B)}. 35. Sean A y B matrices de n × n . Demuestre que si B es invertible, entonces ρ(AB) = ρ(BA) = ρ(A). 36. Si B = CAD, donde C y D son matrices invertibles, demuestre que ρ(B) = ρ(A). 37. Demuestre que para matrices A y B de m × n, ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B). 38. Muestre un ejemplo de matrices A y B de m × n, tales que ρ(A + B) < ρ(A) + ρ(B). 39. Si A es una matriz de n × n, demuestre que ρ(A) < n si y solo si existe un vector x ∈ Rn con x = 0 y Ax = 0. 40. Suponga que A es una matriz tal que para cualquiera k renglones son linealmente independientes mientras que para cualesquiera k + 1 renglones son linealmente dependientes. Demuestre que ρ(A) = k .
→ R3 es una transformación lineal. Entonces: a ) Si T (−1, 2, 5) = (1, 2, 3) calcule T (2, −4, −10). b ) Si T (1, −1, 2) = (1, 1, 1) y T (1, 3, 2) = (−1, 3, 1), encuentre T (1, 5, 2).
41. Suponga que T :
R3
c ) Si T es sobreyectiva, calcular ν (T ).
42. Sea T :
R3
→ R4 la transformación lineal definida por: T (x,y,z) = (x + y + 2z, −x + y + z, 2x − 2y − 2z, x − y − z).
(i) Encuentre Nu(T ) y calcule una base. (ii ) Encuentre ν (T ) y ρ(T ). 43. Determine cuales de las siguientes transformaciones lineales son inyectivas: (i) T : (ii ) T :
2 R
→ R3 definida por T (x, y) = (x − y, 2x − y, x + y). 3 2 R → R definida por T (x,y,z) = (x, z).
Topología general]
62
4. Subespacios
→ R3 definida por T (x, y) = (x − y, x − y, x − y). R3 → R3 definida por T (x,y,z) = (x + y − z, x + y + z, x + z). 44. ¿Puede determinar una transformación lineal T : R3 → R3 tal que Im(T ) = {(x,y,z) : 2x + 3y − 5z = 0}? (ii i) T : (iv) T :
2 R
Si es posible defínala específicamente, en caso contrario justifique su respuesta. 45. Sean V = {(x,y,z,w) ∈ R4 : x − 2y + z = 0} y W = {(x,y,z,w) ∈ R4 : x = 2y y z = w = 0}. Encuentre una transformación lineal T : V → R2 tal que Nu(T ) = W . 46. Sean V = {(x,y,z)
∈ R3
: 2x T (x, 2x + 3z, z) = (x,z, 2x z).
− y + 3z
−
= 0 y T : V
}
→ R3 definida por
a ) Encuentre la matriz de representación A en términos de las bases β 1 = (1, 2, 0), (0, 3, 1) y β 2 la base canónica de R3 .
{
}
{
}
b ) Encuentre la matriz de representación B en términos de las bases β 1 = (1, 2, 0), (0, 3, 1) y β 2 = (1, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1) .
{
−
}
c ) Encuentre matrices invertibles P y Q tales que P A = BQ.
47. Demuestre que si T : V → W es una transformación lineal y dim (V ) = dim(W ), entonces T es inyectiva si y solo si T es sobreyectiva. 48. Para cualquier subespacio V de Rn y β = {v1 ,...,vk } una base de V , demostrar que la transformación lineal T : V → Rk definida por T (v) = [v]β es un isomorfismo. 49. Demuestre que las siguientes funciones son transformaciones lineales. a ) T (x, y) = (x + y, x b ) T (x, y) = (x, x)
− y)
c ) T (x, y) = ( y, x + 2y, 3x
− 4y) d ) T (x,y,z) = (x − y + z, 2x − y + 3z) −
e ) T (x,y,z) = (x + z, y + z, x + y)
f ) T (x,y,z) = (x + z, 0, x + y)
50. Muestre con ejemplos que las siguientes funciones no son transformaciones lineales. a ) T (x, y) = (y 2 , x) [Versión
alpha
4.5. Ejercicios
63
b ) T (x, y) = ( x , y )
| |||
c ) T (x, y) = (xy,x + y) d ) T (x, y) = (x + 1, y
− 1)
e ) T (x,y,z) = (x,y, 1)
f ) T (x,y,z) = (ex , ey , ez )
51. Usando bases canónicas, encuentre la representación lineal de cada una de las transformaciones lineales definidas en el Ejercicio 49. 52. Determine si cada transformación lineal definida en el Ejercicio 49 es inyectiva, sobreyectiva, isomorfismo o ninguna de las anteriores. 53. Determine para cada transformación lineal definida en el Ejercicio 49, ρ(T ) y ν (T ). 54. Encuentre en cada caso, si es posible, una transformación lineal que satisfaga las condiciones señaladas:
→ R3 tal que ν (T ) = 1 y im(T ) = {(x,y,z) : x = 2y}. b ) T : R3 → R3 tal que nul(A) = col(A), donde A es una matriz que repre-
a ) T :
R3
senta la transformación lineal T . c ) T : R3 → R3 tal que nul(T ) = {(x,y,z) : x + 2y − 3z = 0} y im(T ) = {(x,y,z) : x = 2y = −z}.
55. Encuentre la representación matricial de cada una de las transformaciones lineales en términos de las bases indicadas. 3 a ) T : R2 R definida por T (x, y) = (x y, x+y, 2y); β 1 = (1, 1), (1, 1) , β 2 = (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) .
{
→
−
}
{
− }
b ) T : R3 R3 definida por T (x,y,z) = (x + 2z, x + y + z, 2x + z); β 1 = β 2 = (1, 0, 1), ( 1, 1, 1), (0, 1, 0) .
{
→
− −
}
−
c ) T : R3 R2 definida por T (x,y,z) = (x+y 2z, y +3z); β 1 = (1, 1, 2), (0, 1, 0), (2, 1, 1) , β 2 = (1, 2), (1, 1) .
Topología general]
→
}
{
− }
−
{ −
64
4. Subespacios
[Versión
alpha
Capítulo 5
Valores y vectores propios Este capítulo lo desarrollamos en matrices cuadradas con coeficientes reales.
5.1.
Introducción
Definición 5.1. Sea A una matriz de n
× n. Un número real λ es llamado valor propio de A si existe un vector v ∈ R , v = 0, tal que Av = λv. n
Como vimos en el capítulo anterior, una matriz A de n × n es una transformación lineal T A : Rn → Rn tal que T A (u) = Au, para cada u ∈ Rn . Con esta interpretación geométrica, λ es un valor propio de A si existe un vector no nulo v tal que su transformación T A (v) es un multiplo escalar de v o los vectores v y T A (v) son paralelos. Si consideramos la matriz de rotación, para 0 < θ < π ,
cos θ Aθ = sen θ
− sen θ cos θ
,
representa la transformación lineal que a cada vector u ∈ R2 , T Aθ (u) rota u un ángulo θ en sentido positivo; es decir, no existe un vector diferente de cero v tal que v y T Aθ (v) sean paralelos y por tanto, Aθ no tiene valores propios. Es importante resaltar que si estudiamos valores propios sobre los números complejos C, toda matriz tiene valores propios. Sin embargo, para nuestros objetivos solamente consideraremos valores propios sobre R. Por esta razón, tiene sentido decir que una matriz no tiene valores propios.
66
5. Valores y vectores propios
Definición 5.2. Sean A una matriz de n
el espacio propio asociado a λ por
× n y λ un valor propio de A. Definimos
n
E λ = v
{ ∈ R
: Av = λv .
}
Nótese que el espacio propio se puede escribir como E λ = {v ∈ Rn : (A − λI n )v = 0}; esto es E λ = N u(A − λI ). Con esta observación es inmediata la prueba del siguiente teorema. Teorema 5.3. Sea A una matriz de n
E λ es un subespacio de Rn .
× n. Si λ es un valor propio de A, entonces
Nótese que como λ es un valor propio de A, existe un vector v = 0 tal que v ∈ E λ ; es decir 1 ≤ dim(E λ ) ≤ n, para cualquier espacio propio E λ .
5.2.
Determinantes
En esta sección introducimos la noción de determinante y lo usamos como una herramienta para encontrar valores propios de una matriz. Definición 5.4. Sea A = (aij )i,j ≤n una matriz de n
define de manera inductiva por: Si A es una matriz de 2
× 2,
det(A) = det Si A es una matriz de 3
× n. El determinante de A se
a b c d
= ad
− bc.
× 3,
det(A) = det((aij )i,j ≤3 ) = a 11 det(A11 )
− a12 det(A12 ) + a13det(A13 ), donde A 1 es una matriz de 2 × 2 que resulta al quitar la primera fila y j −ésima columna de A, para cada j ∈ {1, 2, 3}. En general, para cualquier matriz A de n × n, det(A) = a 11 det(A11 ) − a12 det(A12 ) + ... + (−1) +1 det(A1 ) = = (−1)1+ a1 det(A1 ), j
n
n
n
j
j
j
j =1
donde A1 j es una matriz de n 1 n y j ésima columna de A, para cada j
−
− × − 1 que resulta al quitar la primera fila ∈ {1,...,n}. [Versión
alpha
5.3. Diagonalización
67
Algunas propiedades útiles de los determinantes las presentamos en el siguiente teorema. Teorema 5.5. Sea A una matriz de n
× n.
1. Si B se obtiene al intercambiar dos renglones o columnas de A, entonces det(B) = det(A).
−
2. Si A tiene renglones o columnas linealmente dependientes, entonces det(A) = 0. 3. Si B se obtiene al multiplicar un renglón o columna de A por k det(B) = kdet(A).
∈ R, entonces
n
4. Si A es una matriz de n
× n, entonces det(kA) = k det(A). 5. Si B es una matriz de n × n, entonces det(AB) = det(A)det(B). 6. Si A, B y C son matrices idénticas excepto que el i−ésimo renglón o columna de C sea la suma de los i−ésimos renglones o columnas de A y B, entonces det(C ) = det(A) + det(B).
7. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón o columna de A a otro renglón o columna, entonces det(B) = det(A).
Sabemos que una matriz es invertible si y solo si los renglones y columnas son linealmente independientes. Así, por el enunciado 2, del teorema anterior, se sigue el siguiente corolario. Corolario 5.6. Sea A una matriz de n
det(A) = 0.
× n. Entonces A es invertible si y solo si
Además, como 1 = det(I n ) = det(AA−1 ) = det(A)det(A−1 ). Tenemos que det(A−1 ) =
5.3.
1 . det(A)
Diagonalización
Como vimos, un valor propio de una matriz cuadrada A es un λ ∈ R tal que existe v = 0 donde Av = λv . Dicho de otra forma, un valor propio es tal que el sistema homogéneo
− λI )v = 0, tiene infinitas soluciones; es decir, A − λI no sea invertible. Con esta observación es (A
n
n
inmediata la prueba del siguiente resultado: Topología general]
68
5. Valores y vectores propios
Proposición 5.7. Sea A una matriz de n
solo si det(A
− λI ) = 0. n
× n. Un real λ es valor propio de A si y
Dada una matriz A de n × n, para encontrar los espacios propios podemos hacerlo de la siguiente manera: 1. Calcular p(x) = det(A − xI n ); esta función es un polinomio de grado n y se conoce como polinomio propio. 2. Calcular las raíces de p. Estas raíces, por la Proposición 5.7, son los valores propios de A. 3. Para cada valor propio λ, encontrar el espacio nulo de la matriz A − λI n ; este espacio es el espacio propio E λ . 4. Encuentre una base de cada espacio E λ .
× n, λ1,...,λ valores propios diferentes de , para cada i ∈ {1,...,k}, entonces β 1 ∪ ... ∪ β es un conjunto
Teorema 5.8. Sean A una matriz de n
k
A. Si β i es base de E λi linealmente independiente.
Definición 5.9. Sean A y B matrices de n
k
× n. Decimos que A y B son semejantes
o A es semejante a B si existe una matriz invertible P tal que A = P BP −1 .
Algunas propiedades de las matrices semejantes se presentan en el siguiente teorema. Teorema 5.10. Sean A y B matrices semejantes de n
× n. Entonces:
1. det(A) = det(B). 2. A es invertible si y solo si B es invertible. 3. A y B tienen el mismo rango. 4. A y B tienen el mismo polinomio propio. 5. A y B tienen los mismos valores propios.
Recuerde que una matriz D es diagonal, si las coordenadas fuera de la diagonal son todas cero. Si D es una matriz diagonal, entonces, a simple vista podemos calcular: determinante, rango, nulidad, valores propios, polinomio propio y potencias. Por esta razón, es útil determinar si una matriz es semejante a una matriz diagonal. A estas matrices se les llama diagonalizables . [Versión
alpha
5.4. Ejercicios Definición 5.11. Una matriz A de n
matriz diagonal.
69
× n es diagonalizable si A es semejante a una
Para cada valor propio λ, existen números importantes que nos ayudarán a determinar si una matriz es diagonalizables. 1. La multiplicidad algebraica de λ es su multiplicidad como raíz del polinomio propio. 2. La multiplicidad geométrica de λ es la dimensión de su espacio propio E λ . Proposición 5.12. Sea A una matriz de n
× n. Si λ es un valor propios de A, enton-
ces la multiplicidad geométrica de λ es menor o igual que la multiplicidad algebraica de λ.
El siguiente es conocido como Teorema de Diagonalización . Teorema 5.13. Sea A una matriz de n
× n cuyos distintos valores propios son
λ1 ,...,λk . Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. A es diagonalizable;
2. La unión de las bases de los espacios propios E λ1 ,...,E λk , tiene n vectores; 3. La multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométrica de cada valor propio λ1 ,...,λk .
Del teorema anterior, además se puede inferir que si A es diagonalizable; es decir, A = P DP −1 , donde D es una matriz diagonal, entonces P = [v1 v2 ... vn ] y D = [λi ]ni=1 tales que λ1 ,...,λn son valores propios de A, podrían no ser diferentes, y las columnas de P , v1 ,...,vn son vectores propios asociados a λ 1 ,...,λn , respectivamente. Finalizamos este capítulo con una manera de calcular potencias enteras no negativas de matrices diagonalizables. Teorema 5.14. Sean A una matriz diagonalizable y n
D es una matriz diagonal, entonces An = P D n P −1 .
5.4.
∈ N. Si A = P DP −1, donde
Ejercicios
1. Demuestre que v es un vector propio de A y encuentre el valor propio correspondiente en cada caso: Topología general]
70
5. Valores y vectores propios a ) A = b ) A = c ) A = d ) A =
− − − − − − − − − 0 3 1 ,v= . 3 0 1 2 3 ,v= 3 2
2 . 2
1 1 , v = 6 0
4 5
1 . 2
2 2 , v = . 7 10
3 0 e ) A = 0 1 1 0
0 2 ,v= 1
2 1 . 1
1 3 f ) A = 1 2 1 1
1 0 ,v= 1
2 1 . 1
2. Demuestre que λ es un valor propio de A y encuentre un vector propio correspondiente a este valor propio en cada enunciado: a ) A = b ) A = c ) A = d ) A =
− − − − − 2 2
2 , λ = 3. 1
2 2
2 , λ = 1
−2.
0 4 , λ = 1. 1 5 1 0 2 1 1 1 , λ = 2 0 1
3 1 e ) A = 0 1 4 2
−1.
1 2 , λ = 3. 0
3. Encuentre geométricamente los valores y vectores propios de A. a ) A = b ) A = c ) A =
−
1 0 (reflexión en el eje y ). 0 1
0 1 (reflexión en la recta y = x ). 1 0 1 0 (proyección sobre el eje x). 0 0 [Versión
alpha
5.4. Ejercicios d ) A =
71 16 25 12 25
director e ) A =
12 25 9 25 4 5 ). 3 5
−
(proyección sobre la recta que pasa por el origen con vector
2 0 (estiramiento por un factor de 2 horizontalmente y un factor 0 3
de 3 verticalmente). f ) A =
0 1
1 (rotación de 90 ◦ en sentido contrario al de las manecillas 0
del reloj en torno al origen). 4. Encuentre todos los valores propios de la matriz A. Obtenga bases para cada uno de los espacios propios correspondientes. Ilustre los espacios propios y el efecto de multiplicar los vectores propios por A.
4 a ) A = 2 b ) A = c ) A = d ) A =
−1 . 1
0 2 . 8 6 2 5 . 0 2
2 1 . 1 2
−
5. Demuestre: a ) A es semejante a A. b ) Si A es semejante a B , entonces B es semejante a A. c ) Si A es semejante a B y B es semejante a C , entonces A es semejante a C .
6. Demuestre que si A es una matriz de n × n con n diferentes valores propios, entonces A es diagonalizable. 7. Demuestre que A es invertible si y solo si 0 no es un valor propio. 8. Sean A una matriz cuadrada de n × n, λ un valor propio de A y v un vector propio correspondiente a λ. Demuestre las siguientes afirmaciones: a ) Para cualquier entero positivo n, λn es valor propio de An con vector propio v . Topología general]
72
5. Valores y vectores propios b ) Si A es invertible, entonces
1 λ
es valor propio de A−1 con vector propio v .
9. Calcule los determinantes de cada matriz y determine si es invertible. a )
b)
c )
d )
e )
f )
g )
h )
i )
− − − − − − − − 1 0 3 5 1 1 . 0 1 2 1 3 0
0 3 1
1 1 0
2 2 . 1
1 0 1
0 1 . 1
1 1 0 0 1 1 . 1 0 1 1 2 3 2 3 1 . 3 1 2 1 2 3 4 5 6 . 7 8 9
0 a 0 b c d . 0 e 0 1 2 0 1
1 5 1 4
0 2 0 2
3 1 0 3
2 3 2 1
0 0 2 0
3 6 . 0 1
1 1 . 4 0
10. Use las propiedades de los determinantes para evaluar por inspección el determinante dado. Explique su razonamiento. a )
1 1 3 0 2 2
−
1 2 . 2 [Versión
alpha
5.4. Ejercicios b)
c )
d )
e )
f )
g )
h )
73
− − − − − − − − − 3 0 0
1 0 2 5 . 0 4
0 0 3
0 1 5 2 . 1 4
2 1 1
3 3 5
4 1 2 0 5 4
1 0 0 0
0 0 1 0
0 3 0 0
1 0 1 0
3 2 . 1
0 1 0 0
2 0 0 0
0 1 1 0
4 2 . 2
0 0 . 0 1
0 0 0 1
1 0 0 1
0 0 . 4 0
0 1 . 0 1
a b c 11. Encuentre los determinantes, suponiendo que d e f = 4. g h i
a )
b)
c )
3a 3d 3g
−b −e −h
2c 2f . 2i
d e f a b c . g h i
a + g b + h c + i d e f . g h i
Topología general]
74
5. Valores y vectores propios d )
e )
2c b a 2f e d . 2i h g a 2d
− 3g
2e
g
b
− 3h h
c 2f
− 3i i
.
12. Encuentre todos los valores de k para los cuales A es invertible. a )
b)
− −
−
k k 3 . 0 k + 1 1 k 8 k 1
k k 0 k2 4 k2 . 0 k k
13. Suponga que A y B son matrices de n × n con det A = 3 y det B = Encuentre los determinantes indicados.
−2.
a ) det(AB). b ) det(A2 ). c ) det(B −1 A). d ) det(2A). e ) det(3B T ).
14. Sean A y B son matrices de n × n. a ) Demuestre que det(AB) = det(BA). b ) Si B es invertible, demuestre que det(B −1 AB) = det(A). c ) Si A es idempotente (esto es, A2 = A ), encuentre todos los posibles valores de det(A). d ) Una matriz cuadrada A se llama nilpotente si Am = 0 para algún m > 1.
(La palabra nilpotente proviene del latín nil, que significa “nada”, y potente, que significa “ tener poder”. En consecuencia, una matriz nilpotente es aquella que se vuelve “nada (esto es: la matriz cero) cuando se eleva a alguna potencia.) Encuentre todos los posibles valores de det(A) si A es nilpotente. 15. Calcule (1) el polinomio propio de A , (2) los valores propios de A , (3) una base para cada espacio propio de A y (4) la multiplicidad algebraica y geométrica de cada valor propio. [Versión
alpha
5.4. Ejercicios a ) A = b ) A =
75
− − − − − − − − − − − 1 3 . 2 6
1 1
9 . 5
1 c ) A = 0 0
1 0 2 1 . 0 3
1 1 0 d ) A = 1 0 1 . 0 1 1 e ) A =
f ) A =
g ) A =
1 1 0
1 1 0 2 1 1
1 0 . 1
4 0 1 2 3 2 . 1 0 2
1 h ) A = 2 3 i ) A =
2 0 1 1 . 1 1
0 3 2 2 . 0 1
3 1 0 0
2 0 j ) A = 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 1
1 2 3 0
0 0 . 4 1
1 3 . 3 2
a ) Encuentre A10 x. Topología general]
1 2
1 1 y v2 = que 1 1 5 y λ2 = 2, respectivamente, y x = . 1
16. Sea A es una matriz de 2 × 2 con vectores propios v1 = corresponden a valores propios λ1 =
−
76
5. Valores y vectores propios b ) Encuentre Ak x. ¿Qué sucede conforme k se vuelve grande (esto es, k
∞)? 17. Sea A es una matriz de 3 × 3 con vectores propios v1 =
1 v3 = 1 que corresponden a valores propios λ1 = 1 2 respectivamente, y x = 1 . 2 a ) Encuentre A20 x.
− 13 , λ2
1 0 , v2 = 0 =
1 3
1 1 0
y
y λ3 = 1,
b ) Encuentre Ak x. ¿Qué sucede conforme k se vuelve grande (esto es, k
∞)? 18.
→
→
a ) Demuestre que para cualquier matriz cuadrada A, AT y A tienen el mismo
polinomio propio y en consecuencia los mismos valores propios. b ) Dé un ejemplo de una matriz A de 2 × 2 para la cual AT y A tengan diferentes espacios propios. 19. Sea A una matriz nilpotente (esto es: Am = 0 para algún m > 1). Demuestre que λ = 0 es el único valor propio de A. 20. Sea A una matriz idempotente (esto es, A2 = A ). Demuestre que λ = 0 y λ = 1 son los únicos valores propios posibles de A. 21. Si v es un vector propio de A con su correspondiente valor propio λ y c es un escalar, demuestre que v es un vector propio de A − cI con su valor propio correspondiente λ − c. 22.
a ) Encuentre los valores propios y espacios propios de A =
3 2 . 5 0
b ) Encuentre los valores propios y espacios propios de A −1 , A
− 2I y A + 2I .
23. Sean A y B matrices de n × n con valores propios λ y µ, respectivamente. a ) Muestre un ejemplo para demostrar que λ + µ no necesita ser un valor propio de A + B . b ) Construya un ejemplo para demostrar que λµ no necesita ser un valor propio de AB . [Versión
alpha
5.4. Ejercicios
77
c ) Suponga que λ y µ corresponden al mismo vector propio x. Demuestre que, en este caso, λ + µ es un valor propio de A + B y λµ es un valor propio de AB .
24. Demuestre que A y B no son matrices semejantes. a ) A = b ) A =
− − − 4 1 1 0 ,B= . 3 1 0 1 1 2 ,B= 3 4
2 2
2 1 4 c ) A = 0 2 3 , B = 0 0 4
5 . 4
1 0 0 1 4 0 . 2 3 4
1 0 2 1 0 3 d ) A = 0 1 2 , B = 1 2 2 . 1 1 4 1 0 3
25. Una diagonalización de la matriz A se da en la forma P −1 AP = D . Mencione los valores propios de A y las bases para los espacios propios correspondientes. a ) b)
− − − − − − − −− 2 1
1 1
5 2
2 3
1 3
1 3
1 3 1 8 3 4
1 3
0
c )
5 8
1 4
1 8
3 8
1 4 3 8
− − − − − −
1 1 4 0 . = 1 2 0 3
2 1 1 0 1 0 2 0 1
1 0
1 3
1 8
1 2
1 3 3 2 0 2 3 3 1
1 0 1
0 1 1
3 2 3
0 1 1
1 3 0 0 0 = 0 1 0 . 2 0 0 0 1 6 0 = 0 1 0
26. Para cada matriz, determine si es diagonalizable. a ) b) c ) d )
− − − − − − 2 5
2 1
3 4
1 2
1 1
4 2
1 0 2 1
−
Topología general]
0 2 0
0 0 . 2
78
5. Valores y vectores propios e ) f ) g )
h )
i )
j )
k )
l )
m )
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 1 1
1 2
3 2 5 1 1 1 0
1 2 1
1 1 1 2 0 1
0 1 1
2 1 1
2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
2 3 1 2 0 2
3 1 1
1 1 1
1 1 1
1 4 1
1 0 1
2 4 4
6 0 0
3 3 1
3 1 3
27. Determine si A es diagonalizable y, si lo es, encuentre una matriz invertible P y una matriz diagonal D tales que P −1 AP = D . a ) A = b ) A =
− −
1 2 . 2 1
3 4 . 1 1
1 2 0 c ) A = 0 1 2 . 0 0 2 1 0 1 d ) A = 0 1 1 . 1 1 0 [Versión
alpha
5.4. Ejercicios
79
− − −− −
1 0 0 e ) A = 1 1 3 . 3 0 1 f ) A =
1 2 1 1 0 1 . 1 1 0
1 g ) A = 3 2
1 2 1
4 1 1
3 2 4 h ) A = 2 0 2 4 2 3 1 1 i ) A = 0 0
1 1 0 0
2 0 j ) A = 0 0
0 2 0 0
1 0 2 0
0 0 2 0
1 2 . 1 1
4 0 . 0 2
−
28. Calcular la potencia indicada de la matriz. 5
a ) b) c ) d )
− − − − − − − − 5 8 . 4 7
3 1
9
5 . 3
1 6 1 0
0 1
10
.
3 2
5
k
e )
f )
0 3 . 1 2
1 0 1 1 0 1 1 0 1
Topología general]
8
.
.
80
5. Valores y vectores propios g )
1 0 0
1 1 0
−
2002
− 1 0 1
.
29. Encuentre todos los valores (reales) de k para los cuales A sea diagonalizable. a ) A = b ) A = c ) A =
1 1 . 0 k 1 k . 0 1 k 1 . 1 0
1 0 k d ) A = 0 1 0 . 0 0 1 1 k 0 e ) A = 0 2 0 . 0 0 1 1 1 k f ) A = 1 1 k . 1 1 k
30. Si A y B son matrices invertibles, demuestre que AB y BA son semejantes. 31. Demuestre que si A y B son matrices semejantes, entonces tr(A) = tr(B). 32. En general, es difícil demostrar que dos matrices son semejantes. Sin embargo, si dos matrices semejantes son diagonalizables, la tarea se vuelve más sencilla. Demuestre que A y B son semejantes al demostrar que son semejantes a la misma matriz diagonal. Luego encuentre una matriz invertible P tal que P −1 AP = B . a ) A = b ) A =
− − − − − − − −− 3 0 5 4
2 c ) A = 0 0
1 1 2 ,B= . 1 2 1 3 ,B= 2
1 1 . 6 4
1 0 3 2 2 1 ,B= 1 2 0 1 2 2
5 1 . 4 [Versión
alpha
5.4. Ejercicios
81
1 d ) A = 1 2
−
0 2 1 1 ,B= 0 1
−
3 6 4
−2 5 4
−
0 0 . 1
33. Demuestre que si A es semejante a B , entonces AT es semejante a B T . 34. Sea A una matriz invertible. Demuestre que, si A es diagonalizable, también lo es A−1 . 35. Sean A y B matrices semejantes. Pruebe que las multiplicidades algebraicas de los valores propios de A y B son iguales. 36. Demuestre que si A es una matriz diagonalizable tal que todo valor propio de A es 0 o 1, entonces A es idempotente (esto es, A2 = A ). 37. Sea A una matriz nilpotente (esto es: Am = 0 para algún m > 1 ). Pruebe que si A es diagonalizable, entonces A debe ser la matriz cero. 38. Suponga que A es una matriz de 6 × 6 con polinomio propio cA (λ) = (1 + λ)(1 − λ)2 (2 − λ)3 . a ) Demuestre que no es posible encontrar tres vectores linealmente independientes v1 , v2 , v3 en R6 tales que Av1 = v 1 , Av2 = v 2 y Av3 = v 3 . b ) Si A es diagonalizable, ¿cuáles son las dimensiones de los espacios propios E −1 , E 1 y E 2 ?
39. Sea A =
a b . c d
a ) Demuestre que A es diagonalizable si (a lizable si (a d)2 + 4bc < 0.
−
− d)2 + 4bc > 0 y no es diagona-
b ) Encuentre dos ejemplos para demostrar que si (a d)2 + 4bc = 0, entonces A puede o no ser diagonalizable.
Topología general]
−
82
5. Valores y vectores propios
[Versión
alpha
Capítulo 6
Ortogonalidad 6.1.
Nociones generales
Definición 6.1. Un conjunto de vectores v1 ,...,vk
para cada i
{
n
}⊂R
se dice ortogonal si v i = 0
∈ {1,...,k} y v .v = 0 cuando i = j. Teorema 6.2. Si {v1 ,...,v } es un conjunto de vectores en R {v1 ,...,v } es linealmente independiente. i
j
k
n
ortogonal, entonces
k
Sea W un subespacio de Rn . Si β = {v1 ,...,vk } ⊂ W es un conjunto ortogonal que además, es base de W , decimos que β es una base ortogonal de W . Siempre, como veremos mas adelante, es posible encontrar una base ortogonal para cualquier subespacio. Uno de los beneficios de tener una base ortogonal es que de manera inmediata tenemos el vector coordenadas. Teorema 6.3. Sea v1 ,...,vk una base ortogonal de un subespacio W de Rn . Si
w
∈ W , entonces
{
}
w =
w.v1 w.vk v1 + ... + vk . v1 .v1 vk .vk
A menudo es útil además de tener un conjunto ortogonal, que cada vector este normalizado o de norma 1. Definición 6.4. Un conjunto de vectores v1 ,...,vk
{
}
|| ||
{
n
} ⊂ R se dice ortonormal ∈ {1,...,k}. Además, si β =
si v1 ,...,vk es ortogonal y vi = 1 para cada i v1 ,...,vk es base de un subespacio W de Rn , diremos que β es una base ortonormal de W .
{
}
84
6. Ortogonalidad
Nótese que si {v1 ,...,vk } es una base ortogonal de un subespacio W , entonces basta tomar wi = ||vvii || , para cada i ∈ {1,...,k}, y {w1 ,...,wk } es una base ortonormal de W . Además, por el Teorema 6.3, si w ∈ W , entonces w = (w.w1 )w1 + ... + (w.wk )wk . Definición 6.5. Una matriz Q de n
forman una base ortonormal de Rn .
× n se dice ortogonal se las columnas de Q
Supongamos que Q = [v1 v2 ... vn ] donde {v1 ,...,vn } es ortonormal. No es difícil ver que QT Q =
T
v1 v2T
.. .
vnT
[v1 v2 ... vn ] = I n .
De lo anterior se puede verificar el siguiente teorema. Teorema 6.6. Una matriz Q es ortogonal si y solo si Q es invertible y Q−1 = Q T .
A continuación mostramos algunas propiedades de las matrices ortogonales. Proposición 6.7. Sea Q una matriz ortogonal de n
1.
× n. Entonces:
n
||Qv|| = ||v||, para cualquier vector v ∈ R .
2. Qu.Qv = u.v para cualesquiera par de vectores u, v
n
∈ R .
3. Q−1 es ortogonal. 4. det(Q) =
±1.
5. Si λ es valor propio de Q, entonces λ = 1.
| |
6.2.
Complementos y proyecciones ortogonales
Definición 6.8. Sea W un subespacio de Rn . Decimos que v
n
∈ R
es ortogonal a W si v.w = 0 para cada w W . El conjunto de vectores ortogonales a W se conoce como complemento ortogonal de W y se denota por W ⊥ ; es decir,
∈
W ⊥ = v
n
{ ∈ R
: v.w = 0, para cada w
∈ W }. [Versión
alpha
6.2. Complementos y proyecciones ortogonales
85
Algunas propiedades del complemento ortogonal se enuncian en el siguiente teorema. Teorema 6.9. Sea W un subespacio de Rn , entonces:
1. W ⊥ es un subespacio de Rn ; 2. (W ⊥ )⊥ = W ;
∩ W ⊥ = {0}; 4. Si W = gen{w1 ,...,w }, entonces v ∈ W ⊥ si y solo si v.w = 0 para cada i ∈ {1,...,k}; 5. Para cada v ∈ R , existen únicos w ∈ W y w′ ∈ W ⊥ tales que v = w + w ′ . ⊥ 3. W
i
k
n
Por esta razón se dice que W y W son espacios complementarios.
Nótese que de la afirmación 5 del teorema anterior, si v = w + w′ , donde w ∈ W y w′ ∈ W ⊥ , entonces v − w ∈ W ⊥ y v − w′ ∈ W ; es decir, si v ∈ Rn , w es el vector en W tal que la diferencia v − w es ortogonal a todo vector de W , y w′ es el vector en W ⊥ tal que la diferencia v − w′ es ortogonal a todo vector de W ⊥ . Definición 6.10. Sean W un subespacio de Rn y v
de v sobre W como
n
∈ R . Definimos la proyección
∈ W es tal que v = w + w′ , con w′ ∈ W ⊥. Además, si {w1 ,...,w } es una base ortogonal de W y {w1′ ,...,w′ } es base ortogonal de W ⊥ , entonces {w1 ,...,w , w1′ ,...,w′ } es base ortogonal de R . Luego v ∈ R se proy W v = w donde w k
k
l
escribe como v=
v.w1 w1 .w1
w1 + ... +
l n
′ ′ v.wk wk .wk
wk +
v.w1 w1′ .w1′
w1 + ... +
n
′ v.wl wl′ .wl′
wl′ .
Ahora, por la unicidad de la descomposición de v = w+w′ , donde w ∈ W y w ′ ∈ W ⊥ , tenemos que w=
v.w1 w1 .w1
w1 + ... +
v.wk wk .wk
wk
y w′ =
′ v.w1 w1′ .w1′
Proposición 6.11. Sean W un subespacio de Rn y v
base ortogonal de W , entonces proy W (v) = Además, proyW (v) = v ⊥
Topología general]
− proy
v.w1 w1 .w1
W (v).
w1 + ... +
w1′ + ... +
n
′ ′ v.wl wl′ .wl′
wl .
∈ R . Si {w1,...,w } es una
v.wk wk .wk
k
wk .
86
6. Ortogonalidad
Terminamos esta sección con algunas propiedades adicionales del espacio complemento ortogonal. Teorema 6.12. Sea W un subespacio de Rn . Entonces
dim(W ) + dim(W ⊥ ) = n.
Consecuentemente tenemos: Teorema 6.13. Sea A una matriz de m
× n. Entonces:
1. ren(A)⊥ = nul(A) y col(A)⊥ = nul(AT ). 2. ν (A) + ρ(A) = n.
6.3.
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
En esta sección vemos como, dado un conjunto de vectores linealmente independiente {v1 ,...,vk } ⊂ Rn , existe un conjunto ortogonal {w1 ,...,wk } ⊂ Rn tal que gen{v1 ,...,vl } = gen {w1 ,...,wl } para cada l ∈ {1,...,k }. Esta manera de encontrar el conjunto ortogonal se conoce como proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt . Sea {v1 ,...,vk } ⊂ Rn un conjunto linealmente independiente. Encontremos inductivamente un conjunto ortogonal {w1 ,...,wk } ⊂ Rn tal que gen v1 ,...,vl = gen w1 ,...,wl para cada l
} { } ∈ {1,...,k}. Como gen{v1 } = gen{w1 }, definamos w1 = v1 . Para encontrar w2 , debemos dar un vector en R tal que w1 .w2 = 0 y gen{v1 , v2 } = gen{w1 , w2 }. Sabemos, por la independencia lineal de { v1 ,...,v }, que v2 ∈/ gen{v1 }. Así, si queremos un vector ortogonal a w1 , es natural pensar en la proyección ortogonal de v2 sobre w1 , ya que v2 − proy (v2 ) es ortogonal a w1 . Sea w2 = v2 − proy (v2 ). Es fácil ver que gen{v1 , v2 } = gen{w1 , w2 }. Siguiendo con este proceso inductivamente, definimos w = v − proy { } v para cualquier l ∈ {1,...,k}, para obtener el conjunto {w1,...,w }; como mostramos en el siguiente teorema. Teorema 6.14. Sea {v1 ,...,v } ⊂ R un conjunto linealmente independiente. Defi{
n
k
w1
l
l
w1
gen w1 ,...,wl−1
l
k
k
n
namos:
w1 = v 1 . w2 = v 2
−
v2 .w1 . w1 .w1 w1
[Versión
alpha
6.4. Diagonalización ortogonal w3 = v 3 .. . wk = v k
−
v3 .w1 w1 .w1 w1
−
vk .w1 w w1 .w1 1
−
87
v3 .w2 w2 .w2 w2 .
vk .wk−1 wk−1 .wk−1
vk .w2 w w2 .w2 2
w −1 . − ... − De manera similar, para cada l ∈ {2,...,k }, definimos
−
l 1
wl = v l
− − i=1
{
k
vl .wi wi . wi .wi
}
Entonces w1 ,...,wk es ortogonal y
{
}
{
}
∈ {1,...,k}.
gen v1 ,...,vl = gen w1 ,...,wl para cada l 6.3.1.
Factorización
QR
El proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt nos lleva a escribir una matriz A, con columnas linealmente independientes, como el producto de una matriz Q con columnas ortogonormales y una matriz R triangular superior. Este proceso de escribir A como QR se conoce como factorización QR. Sea A = [v1 ...vk ] una matriz de n × k tal que las columnas { v1 ,...,vk } son linealmente independientes. Con el proceso de Gram-Schmidt, podemos construir un con junto {w1 ,...,wk } ortonormal, tal que gen{v1 ,...,vl } = gen{w1 ,...,wl } para cada l ∈ {1,...,k}. Así, vl ∈ gen{w1 ,...,wl } para cada l ∈ {1,...,k}. Con lo que existen rij ∈ R, tales que vl = r1l w1 + r2l w2 + ... + rll wl , para cada l ∈ {1,...,k}, tenemos que [v1 ... vk ] = [w1 ... wk ]
Teorema 6.15. Sea A una matriz de n
r11 r12 . . . r1k 0 r22 . . . r2k
.. .
.. .
0
0
.. .
.. .
. . . r kk
.
× k con columnas linealmente independientes. Entonces A se puede ser factorizada como A = QR, donde Q es una matriz de n × k con columnas ortonormales y R es una matriz triangular superior invertible.
6.4.
Diagonalización ortogonal
Definición 6.16. Sea A una matriz cuadrada. Diremos que A es diagonalizable
ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que A = QDQT . Topología general]
88
6. Ortogonalidad
Nótese que si A = QDQT , entonces A T = (QDQT )T = (QT )T DT QT = QDQT = A; es decir, A es simétrica. Teorema 6.17. Si A es diagonalizable ortogonalmente, entonces A es simétrica.
Algunas propiedades de las matrices simétricas se enuncian en el siguiente teorema. Teorema 6.18. Sea A una matriz simétrica. Entonces:
1. Los valores propios de A son reales. 2. Si v1 y v2 son vectores propios correspondientes a distintos valores propios de A, entonces v1 y v2 son ortogonales ( v1 .v2 = 0).
Con el teorema anterior, si suponemos que una matriz simétrica es diagonalizable, entonces cada espacio propio tiene una base ortonormal, por el proceso de GramSchmidt, y los vectores de diferentes espacios propios son ortogonales; es decir, A es diagonalizable ortogonalmente. Esta situación efectivamente, siempre se tiene para matrices simétricas. Teorema 6.19. Sea A una matriz de n
es diagonalizable ortogonalmente.
6.5.
× n. Entonces A es simétrica si y solo si A
Ejercicios
1. Determine cuáles conjuntos de vectores son ortogonales. a )
b)
c )
d )
− − − − − − − − − − 3 2 1 , 4 , 2 1
1 1 . 2
4 1 2 , 0 , 2 2
2 5 . 1
3 1 , 1
1 2 , 3
1 2 , 1
4 1 , 2
2 2 . 4
2 6 . 1
[Versión
alpha
6.5. Ejercicios
e )
f )
89
− − − − − − − 2 3 , 1 4
2 1 , 1 0
1 0 , 1 1
1 1 1 1 , , 0 1 1 0
−
4 6 . 2 7
0 1 . 1 1
−
2. Demuestre que los vectores dados forman una base ortogonal para R2 o R3 . Luego exprese w como una combinación lineal de dichos vectores base. Proporcione el vector coordenada [w]B de w con respecto a la base B = {v1 , v2 } de R2 o B = {v1 , v2 , v3 } de R3 . a ) v1 = b ) v1 = c ) v1 =
− −
− −−
4 1 ; v2 = ; w = 2 2
3 ; v2 = 1
− − − 1 . 3
2 1 ; w = . 6 2
1 1 0 ; v2 = 2 ; v3 = 1 1
1 d ) v1 = 1 ; v2 = 1
2 1 ; v3 = 1
1 1 1 ; w = 1 . 1 1 0 1 1 ; w = 2 . 1 3
3. Determine si el conjunto ortogonal de vectores dado es ortonormal. Si no lo es, normalice los vectores para formar un conjunto ortonormal. a ) b)
3 5 4 5 1 3 2 3 2 3
4 5 3 . 5 2 3 1 3
− − − ,
,
1 2
,
.
5 2
0
4. Determine si la matriz dada es ortogonal. Si lo es, encuentre su inversa. a ) b)
− − 0 1 . 1 0 1 2 1 2
1 3
1 2
Topología general]
1 3
0
2 5 2 5 4 5
.
90
6. Ortogonalidad c )
d )
−
cos θ sin θ cos2 θ sin θ 1 2 1 2 1 2
−112 1 2
2 1 2 1 2
2
− cos θ sin θ 0
1 2 1 2 1 2
− 12
1 2
−
− sin
θ cos θ sin θ . cos θ
− 1 2 1 2
1 2
.
5. Si Q es una matriz ortogonal, demuestre que cualquier matriz obtenida al reordenar los renglones de Q también es ortogonal. 6. Sea Q una matriz ortogonal de 2 × 2 y sean x y y vectores en R2 . Si θ es el ángulo entre x y y , demuestre que el ángulo entre Qx y Qy también es θ . (Esto demuestra que las transformaciones lineales definidas por matrices ortogonales conservan el ángulo en R2 , un hecho que es verdadero en general.) 7.
a ) Demuestre que una matriz ortogonal de 2 2 debe tener la forma
×
−
a o b
b a donde es un vector unitario. a b
b ) Al usar el inciso (a), demuestre que toda matriz ortogonal de 2 cos θ sin θ cos θ sin θ la forma o donde 0 θ < 2π. sin θ cos θ sin θ cos θ
−
−
c ) Demuestre que toda matriz ortogonal de 2
− a b
b a
× 2 es de
≤
× 2 corresponde a una rotación
o a una reflexión en R2 . d ) Demuestre que una matriz Q ortogonal de 2 × 2 corresponde a una rotación en R2 si det Q = 1 y a una reflexión en R2 si det Q = −1. 8. Sean A y B matrices ortogonales de n × n. T
a ) Demuestre que A A + B
T
B = A + B .
b ) Use el inciso (a) para demostrar que, si det A +det B = 0, entonces A + B
no es invertible.
9. Encuentre el complemento ortogonal W ⊥ de W y proporcione una base para W ⊥ . a ) W = b ) W =
x : 2x y
−y =0
.
x : 3x + 2y = 0 . y [Versión
alpha
6.5. Ejercicios c ) W =
d ) W =
e ) W =
f ) W =
91
−
x y : x + y z x y : z
−z =0
x + 3y
.
− 5z = 0
x y : x = t, y = z
.
−t, z = 3t
x y : x = 2t, y = z
.
−t, z = 21 t
.
10. Encuentre bases para el espacio renglón y el espacio nulo de A. Verifique que todo vector en renglón (A) es ortogonal a todo vector en nulo (A).
a )
b)
− −
1 5 0 1 1 2 2 2
−1 2 1 1
− 1 0 2 4
−
3 1 . 2 1
0 4 2 2
−
1 0 3 5
−
1 2 . 1 1
11. Sea W el subespacio generado por los vectores dados. Encuentre una base para W ⊥ . a ) w1 =
b ) w1 =
c ) w1 =
Topología general]
− − −
− −
2 4 1 , w2 = 0 . 2 1 1 0 1 1 , w2 = . 1 2 1 3 2 1 , w2 = 6 3
1 2 2 5 , w3 = . 3 6 2 1
−
92
6. Ortogonalidad
d ) w1 =
−
3 2 0 , w2 = 1 4
−
1 2 2 , w3 = 0 1
− −
3 2 6 . 2 5
12. Encuentre la proyección ortogonal de v sobre el subespacio W generado por los vectores ui . (Puede suponer que los vectores ui son ortogonales.) a ) v =
− −−
−
7 1 , u1 = . 4 1
1 1 b ) v = 2 , u1 = 1 , u2 = 3 1 1 c ) v = 2 , u1 = 3 d ) v =
− − 1 1 . 0
2 2 , u2 = 1
4 1 2 1 , u1 = , u2 = 3 0 2 1
1 1 . 4 0 1 , u3 = 1 1
−
−
1 0 . 1 1
13. Encuentre la descomposición ortogonal de v con respecto a W . a ) v = b) v =
c ) v =
− − −
− −
2 , W = gen 2
1 3
.
4 2 , W = gen 3
1 2 1
4 2 , W = gen 3
1 2 , 1
2 1 d ) v = , W = gen 5 3
.
1 1 1
1 0 1 1 , 1 1 0 1
.
.
14. Sea W un subespacio de Rn y v un vector en Rn . Suponga que w y w′ son vectores ortogonales con w en W y que v = w + w′ . ¿Es necesariamente cierto que w ′ está en W ⊥ ? Demuestre que es verdadero o encuentre un contraejemplo. [Versión
alpha
6.5. Ejercicios
93
15. Sea {v1 ,...,vn } una base ortogonal para Rn y sea W = gen (v1 ,...,vk ). ¿Es necesariamente cierto que W ⊥ = gen (vk+1,...,vn )? Demuestre que es verdadero o encuentre un contraejemplo. 16. Sea W un subespacio de
n
R
y sea x un vector en
R
n
.
a ) Demuestre que x está en W si y sólo si proy w (x) = x . b ) Demuestre que x es ortogonal a W si y sólo si proy w (x) = 0 c ) Demuestre que proy w (proyw (x)) = proyw (x).
17. Los vectores dados forman una base para R2 o R3 . Aplique el proceso de GramSchmidt para obtener una base ortogonal. Luego normalice esta base para obtener una base ortonormal.
−−
−
−
1 1 a ) x1 = , x2 = . 1 2 b ) x1 = c ) x1 =
1 , x2 = 3
2 . 2
1 0 3 1 , x2 = 3 , x3 = 2 . 1 3 4
1 0 0 d ) x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = 0 . 1 1 1
18. Los vectores dados forman una base para un subespacio W de R3 o R4 . Aplique el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortogonal para W . 1 3 a ) x1 = 1 , x2 = 4 . 0 2 b ) x1 =
1 1 1 2 1 8 , x2 = , x3 = . 2 0 1 1 2 0
19. Encuentre la descomposición ortogonal de v con respecto al subespacio W . a ) v =
−
Topología general]
4 4 , W como en el ejercicio 18(a). 3
94
6. Ortogonalidad
1 4 , W como en el ejercicio 18(b). b) v = 0 2
20. Use el proceso de Gram-Schmidt para encontrar una base ortogonal para los espacios columna de las matrices. a )
b)
0 1 1 1 0 1 . 1 1 0 1 1 1 1
− −
2 0 1 1
1 1 . 1 5
21. Encuentre una base ortogonal para
22. Encuentre una base ortogonal para
R3
que contenga al vector
R4
3 1 . 5
que contenga a los vectores
1 0 . 3 2
− 2 1 0 1
y
23. Encuentre las entradas faltantes de Q para hacer Q una matriz ortogonal. a ) Q =
1 2
1 3 1 3 1 3
√ √ ∗ √ ∗ − √ √ ∗ √ ∗ ∗ √ ∗ ∗ − √ ∗∗ ∗∗ 0
1 2
b ) Q =
1 2 1 2 1 2 1 2
2 14 1 14
0
.
.
3 14
24. Encuentre una factorización QR de la matriz dada. [Versión
alpha
