MATEMATICAS FINANCIERAS CAPITULO 4
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ANUALIDADES
EJERCICIOS R ESUELTOS ESUELTOS
1. Cuando su hijo cumple 12 años, un padre hace un deposito de $X en una fiduciaria con el objeto de asegurar sus estudios universitarios, los cuales iniciará cuando cumpla 20 años. Suponiendo que para esa época el valor de la matrícula anual en la universidad será de $300000 y que permanecerá constante durante los seis años que duran los estudios universitarios, ¿cuál debe ser el valor de $X? $ X? Suponga una tasa del 30%. $300.000 30%
0 12
1 13
2 14
3 15
4 16
5 17
6 18
7 19
8 1
9 2
10 3
11 4
12 5
13 6
X
Valor presente de la serie en 8, P8 = (A/i)(1 – (1+i)-n) + 300.000 P8 = (300.000/0,3)(1 – (1+0,3)-5) + 300.000 P8 = 1´030.670,92 El anterior valor en 0 Po = (S)/(1+i)n) = 1´030.670,92/(1+0,3) 8 Po = 126.349
2. Una persona solicita un préstamo el día 1 de marzo de 1989 y planea efectuar pagos mensuales de $12 000, desde el 1 de octubre de 1989, hasta el 1 de agosto de 1990. Si le cobran un interés del 3.5% efectivo mensual, ¿cuál será el valor del préstamo? $12.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
01.10.89
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
01.08.90
01.03.89
El valor de la serie en 7, será igual a: P7 = (A/i)(1 – (1+i)-n) + 12.000 P7 = (12.000/0,035)(1 – (1+0,035)-10) + 12.000 P7 = 111.800
1 CARLOS MARIO MORALES C DICIEMBRE 2009 –
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El valor en 0, es igual: P0 = (111.800)/(1+0,035)7 P0 = $ 87.873
3. Un señor deposita el primero de abril de 1986 $10 000, en un fondo que paga el 36% NS (CS) ¿Cuántos retiros semestrales de $8 000 podrá hacer, si el primer retiro lo hace el primero de abril de 1989? Meses Del 01.04.86 al 01.04.87
12
Del 01.04.87 al 01.04.88
12
Del 01.04.88 al 01.03.89
11
Número total de meses
35
Tasa de Interés J=ixm 0,36 / 2 = i i = 18% ES Convertimos i en EM; así: (1+0,18)2 = (1+i)12 (1+0,18)1/6 = (1+i) (1+0,18)1/6 – 1 = i i = 2,79% EM Valor futuro del depósito inicial S = P(1+0,0279)35 S = 26.198 Retiros P = (A/i)(1 – (1+i)-n) 26.198 = (8.000/0,0279)(1 – (1+0,0279)-n) (log(0,9086)/Log(1,0279)) = -n n = 3,48 n=4
4. Un inversionista deposita hoy $100 000 y $300 000, en 3 años; al final del año 5 comienza a hacer depósitos anuales de $50 000, durante 6 años, ¿cuánto dinero podrá retirarse en forma indefinida, comenzando al final del año 14? Utilice una tasa del 20% efectivo anual
S14
S11A 20% EA
0
1
100.000
2
3
4
5
300.000
6
7
8
9
10
11
12
13
14
50.000
2 CARLOS MARIO MORALES C DICIEMBRE 2009 –
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EJERCICIOS R ESUELTOS
S14 = 100.000(1+0,2)14 + 300.000(1+0,2)11 + S11A(1+0,2)3 Valor futuro de la serie (11) S11A = (50.000/0,2)((1+0,2)6 – 1)) S11A = 496.496 S14 = 1´283.918 + 2´229.025 + 857.945 S14 = 4´370.888 La anualidad perpetua que se podría retirar es: P = A/ i Pxi=A A = $874.177
5. Una empresa pretende tomar una casa-lote que requiere la suma de $2.000.000 anuales como costo de mantenimiento y de $3.000.000 cada 4 años para reparaciones adicionales. Por otra casa-lote que le ofrecen, se requerirá de una suma de $3.000.000 anuales para mantenimiento y de $2.500.000 cada tres años para reparaciones adicionales. Si la casa-lote se usará por tiempo indefinido
y suponiendo
una tasa de interés del 35% efectivo anual. ¿cuál de las dos
alternativas es más conveniente tomar? Caso Casa lote 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
….
n-2
6
….
n-2
n-1
n
n-1
n
$2´000.000 $3´000.000
Caso Casa lote 2 0
1
2
3
4
5
$3´000.000 $2´500.000
Caso Casa lote 1 Tasa de Interés Necesitamos convertir la tasa de interés efectiva anual, a una tasa efectiva por cuatrienio (cuatro años) (1+0,35)1 = (1+i)1/4 i = 232,15% Valor presente de esta alternativa P = A1/i1 + A2/i2 P = (2´000.000/0,35) + (3´000.000/2,3215)
3 CARLOS MARIO MORALES C DICIEMBRE 2009 –
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P= 7´006.553 Caso Casa lote 2 Tasa de Interés Necesitamos convertir la tasa de interés efectiva anual, a una tasa efectiva por tres años (1+0,35)1 = (1+i)1/3 i = 146,03% Valor presente de esta alternativa P = A1/i1 + A2/i2 P = (3´000.000/0,35) + (2´500.000/1,4603) P= 10´283.404 Conclusión Se toma la decisión por la casa de campo 1 que es la opción con menor VALOR PRESENTE
6. Con intereses al 24% NT (CT), ¿Cuál debe ser el valor de los pagos semestrales vencidos que, hechos por 10 años, amortizarán una deuda de $1´200.000?
0 1 $1´200.000
2
3
4
….
16
17
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20
Tasa de Interés J=ixm 0,24 / 4 = i i = 6% ET Considerando que preguntan por los pagos semestrales, entonces es necesario hallar la tasa efectiva semestral (1+0,06)4 = (1+i)2 i = 12,36% ES Calculo de los pagos Semestrales P = (A/i)( 1- (1+i) -n) A = (1´200.000 x 0,1236) / (1-(1,1236) -20) A = $164.293 la cuota semestral que hay que cancelar para pagar la deuda
7. Resolver el problema anterior si los pagos son anticipados.
0 1 $1´200.000
2
3
4
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20
4 CARLOS MARIO MORALES C DICIEMBRE 2009 –
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Calculo de los pagos Semestrales anticipados P´= P(1+i) P = (A/i)( 1- (1+i) -n)(1+i) A = (1´200.000 x 0,1236)(1+0,1236)/ (1-(1,1236) -20) A = $146.220 la cuota semestral anticipada que hay que cancelar para pagar la deuda
8. Un señor desea comprar una póliza de seguro que garantice
a
su esposa el pago de $40.000
mensuales durante 10 años y adicionalmente $50.000 al final de cada año durante este mismo período. Si el primer pago se efectúa al mes del fallecimiento del señor, hallar el valor de la póliza de seguro suponiendo que la compañía de seguros garantiza el 24% NM (CM).
50.000
40.000
0 P=?
1
2
3
…
12
13
14
15
…
25
…
120
Tasa de Interés J=ixm i = 0,24 / 12 = 0,02 = 2%EM Adicionalmente se requiere la tasa efectiva anual (1+0,02)12 = (1+i)1 i = 26,82% EA El valor de la póliza debe ser igual al valor presente de la serie anual mas la serie mensual: P = (40.000/0,02)(1-(1+0,02)-120) + (50.000/0,2682)(1-(1+0,2682)-12) P = 1´989.871
5 CARLOS MARIO MORALES C DICIEMBRE 2009 –
