RESISTENCIA DE MATERIALES PARTE II
WINSTON ACEIJAS PAJARES Ingeniero Mecánico
RESISTENCIA DE MATERIALES MATERIALES PARTE II Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del autor. © Reservados todos los derechos, Winston Aceijas Pajares. 20
!echa e impresa en "ima # Per$ Rurasqa qellasqa "ima # Per$ "laqtapi %e tiraron &00 ejemplares.
PROLOGO
'ste 'ste libr libro o est( est( dise dise)a )ado do para para estu estudi dian ante tess de terc tercer er a)o a)o de in*enier+a que llevan un primer curso de mec(nica de cuerpos deormables. "ue*o de haber discutido en el primer te-to la transormación del esuerzo en un punto, aqu+ se resuelve problemas que involucran a le-ión torsión en vi*as/ estabilidad de columnas. 'l primer cap+tulo se ha elaborado con la idea de repasar los dia*ramas de uerza cortante de momento lector por la acción de las car*as car*as e-tern e-ternas as sobre sobre vi*as, vi*as, aprend aprendido idoss previa previament mente e en el curso de 'st(tica. "ue*o se realiza el an(lisis de la distribución de esuer esuerzos zos normal normales es sus corres correspond pondien ientes tes deorm deormaci acione ones, s, la discusión inclue a vi*as de dos o m(s materiales. %e estudian tambin la distribución de los esuerzos cortantes. 'n el si*u si*uie ient nte e cap+ cap+tu tulo lo se trat trata a del del c(lc c(lcul ulo o de del delee-io ione nes1 s1 pendiente lecha, primero, el caso de vi*as isost(ticas/ lue*o los problemas de vi*as est(ticamente indeterminadas. ratamiento ratamiento especial se hace a las vi*as continuas continuas se presentan presentan al*unas aplicaciones de la teor+a en la solución de problemas de in*enier+a. A dierencia de la primera edición, en el cap+tulo sobre elementos estr estruc uctur tural ales es a car* car*a a de comp compre resi sión ón,, se pres presen enta ta rela relaci cion ones es
emp+ricas establecidas por la A3%4 para el c(lculo de la car*a cr+tica en columnas. 'n cuanto a los problema problemass resueltos, resueltos, se recomien recomienda da al lector que primero entienda el enunciado trate de resolver por s+ mismo, usan usando do sus sus cono conoci cimi mien ento toss de teor teor+a +a que que son son impr impres esci cind ndibl ibles es cono conoce cerl rlos os ante antes. s. "as "as solu soluci cione oness pres presen enta tada dass son son al deta detalllle, e, complementando as+ los aspectos teóricos de la asi*natura, por lo que que su*e su*eri rimo moss no trat trata ar de memo memori rizzar los los proc proce edimi dimien ento toss utilizados/ sino considerarlos como una orientación para la solución de las pre*untas. Aprovecho la oportunidad para a*radecer los comentarios su*erencia su*erenciass de los estudiantes estudiantes que utilizaron utilizaron a la primera primera edición edición R'%3%'543A 3A 6' 7A'R 7A'R3A"' 3A"'% % parte 2/ debo del e-to de R'%3%'54
maniestar que esto ue el incentivo principal para la elaboración de esta se*unda edición. 's mi deseo, deseo, ami*os estudiant estudiantes, es, que este libro libro sea de su a*rado a*rado se constitua en una contribución eectiva a su ormación como proesionales de la in*enier+a. "ima, enero del 202. W35%85 5. A4'39A% PA9AR'%
.ÍNDICE
Pág. PR8"8:8 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
;le-ión en vi*as Rela Relacio cione ness entr entre e car* car*a, a, uer uerza za cort cortan ante te mome moment nto o 4ons 4onstr truc ucci ción ón de los los dia* dia*ra rama mass de < 7 Problemas= 'su 'suer erzo zoss deo deorm rmac acio ione ness a-i a-ial ales es en vi*as vi*as> >
>2 2 7to 7todo do de %upe %uperp rpos osic ició ión n>& >& > Problem20C ;órmulas emp+ricas 22 Problemas2> ;órm ;órmul ulas as emp emp+r +ric icas as de la la %%R4 %%R4 A3% A3%42 42@ @ Problemas22 Apndice 22@ ablas blas de ;lec ;lecha hass pend pendie ient ntes es22 22C C ablas blas de Prop Propie iedad dades es de las las sec secci cion ones es 2& 2&
2 &
FLEXION EN VIGAS Bn elemento estructural razonablemente lar*o respecto a sus dimensiones laterales que soporta car*as perpendiculares a su eje eje lon* lon*ititu udina dinall se deno denomi min na vi*a vi*a.. 4ual ualquie quierr miem miemb bro estructural, a sea un eje, un trabe en un puente o en un ediicio, etc/ que se le le-iona bajo la aplicación de car*as, puede cons consid ider erar arse se como como vi*a vi*a.. Al i*ual i*ual que que los los dia* dia*ra rama mass de uer uerza za normal de momento torsor, los dia*ramas de uerza cortante de mome moment nto o
lec lecto torr
prop propor orci cion onan an ino inorm rmac ació ión n
impo import rtan ante te para para
determinar la uerza cortante el momento m(-imos en una vi*a. Bna vez determinado determinado el momento lector interno en una sección sección se puede calcular el esuerzo por le-ión. 'l dise)o de una vi*a inclue 2 partes1 en la primera se determinan los esuerzos internos as+ como las dele-iones DlechaE producidas por las car*as. "a se*unda parte est( relacionada con la selección del material la mejor sección transversal que resista tales esuerzos dele-iones. clasiiic icac ació ión n m(s m(s *ene *eneral raliz izad ada a cons consis iste te en Tipo Tipos s de Viga Vigas s.# "a clas a*ruparlas en1 vi*as est(ticamente determinadas est(ticamente indeterminadas. Vigas Isostáticas . %on aquellas en las cuales puede determinarse
las reacciones en los apoos con las ecuaciones de equilibrio. Bna vi*a vi*a simp simple leme ment nte e apo apoad ada, a, desc descan ansa sa sobr sobre e sopo soport rtes es en sus sus e-tre e-tremos mos que permit permiten en la rotac rotación ión// una vi*a vi*a en voladi voladizo zo est( est( ija ija Dsin rotaciónE en un e-tremo.
P
P1
w
P
M
Vigas simplemente apoyadas P1
P!
P
w
P
Vigas con voladizo P1
w
Vigas en voladizo
;i*ura D?. aE 'jemplos de vi*as isost(ticas
P
P1
P1
w
P
w
;i*ura ?. b ' jemplos de vi*as hiperest(ticas
Vigas Hiperestáticas. 4uando se tiene m(s reacciones incó*nitas
que ecuaciones de la est(tica, se dice que la vi*a es est(ticamente indeterminada. Bna vi*a en voladizo con apoo en el e-tremo, una vi*a con doble empotramiento una vi*a apoada sobre tres o m(s apoos Dvi*a continuaE, son ejemplos de vi*as hiperest(ticas.
".1
Re#$cione% en&re c$rg$' F(er)$ Cor&$n&e * Mo+en&o F#ec&or
"as "as car* car*as as que que act$ act$an an norm normal alme ment nte e pued pueden en ser1 ser1 peso peso propio de la vi*a, concentradas, distribuidas Duniormemente o noE, par. Para el c(lculo de reacciones, las car*as distribuidas pueden remp rempla laza zars rse e por por sus sus resu resultltan ante tess que que act$ act$an an en el cent centro ro de *ravedad del (rea de la car*a distribuida.# "as reacciones son las uerzas Fo pares que act$an en los soportes. 'l cortante vertical V D5 o G*E en cualquier sección es una suma al*ebraica de todas las uerzas que act$an paralelas a D sobreE un lado de la sección1 V = ∑F v v. V
,-.
,-.
M
M
V
M
V
,/.
M
V ,/.
aE 4onsiderando el eecto de car*as e-ternas ,-
M
M
V
,-
V
bE 4onsiderando las uerzas internas en la sección ;i*ura ?.2. 4onvención de si*nos para uerza cortante momento lector en las vi*as.
'l mome moment nto o lele-io iona nant nte e M D5#m D5#m o G*# G*#mE mE en cual cualqu quie ier r sección es la suma al*ebraica de los momentos de las uerzas e-ternas que act$an sobre la vi*a en un lado de la sección, respecto a uno de los ejes principales centroidales de inercia de la sección. 4onvención de si*nos. "a ;i*ura D?.2E ilustra la convención de si*nos que se usa com$nmente para la interpretación correcta de las ecuaciones dia*ramas de uerzas cortantes momentos lectores.
Lo% Di$gr$+$% 0e F(er)$ Cor&$n&e * Mo+en&o F#ec&or %on *r(icos que muestran la ma*nitud de la uerza cortante o del momento lector a lo lar*o de la vi*a. "a construcción del dia*rama de uerzas cortantes del dia*rama de momentos lectores se simpliica *racias a ciertas rela relaci cione oness e-is e-iste tent ntes es entr entre e car* car*a, a, uer uerza za cort cortan ante te mome momento nto lector. A in de obtener estas *r(icas matem(ticas, considrese la i*ura D?.E que ilustra un ejemplo de vi*a simplemente apoada que soporta una car*a distribuida w 5Fm w
A C
R A
X
C
H
∆ X L
;i*. ?.
R B
∆ x trazamos el
%epa %epara ramo moss el tram tramo o de vi*a vi*a de lon* lon*ititud ud dia*rama de cuerpo libre correspondiente1 w ⋅∆ x M
V
M-∆M V-∆V
∑ F =0
4ondición de equilibrio1
y
V −( V + ∆ V )− W ∆ X =0
w ∙ ∆ x =−∆ V → w=
−∆ V ∆x
'n el l+mite, para1 ∆ x → 0 dV =−w ( 6.1 ) dx
'sta 'sta relaci relación ón indica indica que la pendie pendiente nte dV / dX dela curva, de uerz uerza a corta ortant nte e Dpar Dpara a la vi* vi*a del ejem ejempl plo oE es ne*a ne*atitiva va,, numricamente i*ual a la car*a distribuida en ese punto. ambin, ambin, escribiendo el equilibrio de momentos1
∑ M
→ ( M + ∆ M )− M −V ∙ ∆ x + w ∙∆ x + C '
8rdenando convenientemente se tiene1
( )= ∆x 2
0
1 ∆ M =V − w ∙ ∆ x 2 ∆x
'n el l+mite, para ∆ x → 0 se tendr(1 V =
dM dx
D?.2E
Dpendiente de la curva de momentosE 3nte*rando D?.2E entre las secciones 4 6 X D
∫ Vdx (6.3 )
M D D − M C =
X C
"o que nos indica que,
M ( ¿ ¿ D − M C ) es el (rea bajo la curva de
¿
uerza cortante entre 4 6.
Con%&r(ccin 0e #o% 0i$gr$+$% V * M %e*$n lo indicado para V , se deduce que en la sección de la vi*a donde se aplica una car*a concentrada, en el dia*rama de las uerzas cortantes deber( aparecer un salto brusco de ma*nitud i*ual a la de la uerza e-terior. # 'n orma similar, en la sección donde se aplica un par de uerzas, en el dia*rama de los momentos lectores deber( aparecer un salto brusco de ma*nitud i*ual a la de este par de uerzas e-terior. Para vi*as que no soportan momentos distribuidos Dque ori*inan le-iónE, le-iónE, al dibujar los DFC DMF , as+ como al comprobarlos, debe usarse las relaciones dierenciales D?.E D?.2E entre M, V w las
que de estas se deducen. 6educciones esenciales de las relaciones D?.E D?.2E1 . "a uer uerza za cor cortant tante e es la pendi endien ente te de la rec recta tan* tan*en ente te al dia* dia*ra rama ma de mome moment ntos os lec lecto tore ress en la secc secció ión n dada/ dada/ la intensidad de la car*a distribuida DwE lo es de la tan*ente al dia*rama de uerzas cortantes. 2. 'n la secc secció ión n de la vi*a vi*a dond donde e la uerz uerza a corta cortant nte e es cero cero el momento lector tiene un valor e-tremo en la sección donde la uerza es cortante pasa bruscamente por su valor nulo, el *r(ico de M pierde pierde su monoton+a. >. 'n cada tramo de la vi*a la variación de la ma*nitud del momento lector entre dos secciones cualquiera es i*ual al (rea del del dia* dia*rrama ama de las las uer uerza zass corta ortan ntes tes entr entre e esta estass dos dos secciones secciones// siempre siempre cuando cuando no act$e sobre sobre este tramo pares concentrados e-teriores. &. %i el el ej eje x va diri*ido hacia la izquierda desde el e-tremo derecho de la vi*a, entonces1 V =
dM dX
?. "a concavidad de la curva del dia*rama de momentos tiene la misma dirección que la car*a distribuida.
'n *eneral, es conveniente trazar los dia*ramas de uerza cortante de momento lector por debajo del dia*rama de cuerpo libre de la vi*a. 'n la i*ura D?.>E se muestran dia*ramas para al*unos tipos de
car*a. 2 ,3.
2
P
R A
R A
R B
R B
-
-
/
/
Curva de3er grado
-
/
-P/ 2
WL /8
DMF
R B
curva parabolica
PF2 DFC
R A
-
-
P
2
P L/2
L/2
L
wL
2P
-
-
DFC
DMF
/ /
-wL/8 -3PL /2
M
M
L
L1
L2
R A
R B
DFC
/
-
DMF
# ;i*ura D?.>E. 6ia*ramas de uerza cortante momento lector
Ejemplo 6.1. Para la vi*a car*ada se*$n se muestra, trazar los
dia*ramas de uerza cortante momento lector.
&0 G5 I J 0 G5Fm
K -
A 4
,00 m
m
,& m
6
4alculo de reacciones1 LM c c J J 01
( 30 × 4 ) × 2 +50 × 1− 830 × 1.5 R A =¿ × 0.75 ¿ 4
R A =64.06 KN
LF Y Y J J 0
Rc= ( 30 × 5.5 +50 )−64.06
RC =150.94 KN
4onocidas las reacciones en los apoos, procedemos al trazado de los dia*ramas de uerza contante momento lector si*uiendo las instrucciones dadas anteriormente/ anteriormente/ o bien obteniendo previamente las ecuaciones de V M como como unciones de x.
&0 G5 K
I J 0 G5Fm
-
A
6
4 R4
R A ?>,0? >& 6;4 DG5E #2&,=>
2,> m
?C,&>
#0&,=>
67; DG5#mE
#,@&
razar PROBLEM 6.! . razar
dia*ramas de uerza cortante momento
lector de la vi*a con voladizo que se muestra en la ;i*ura. ? G5
G5
A
4
K 2m
G5Fm
2m
%8"B43M5
6ia*rama de cuerpo libre1
'
6 2m
2m
? G5
G5
G5Fm -
R A
2m
2m
2m
2m
R6
'quilibrio en la vi*a
∑ M =0
1
A
R D
-
6
−6 -
4
−3 -
3
−¿ -
2
2
¿ -
7= 0
R D=
72 6
=12 KN
L F Y Y J J 01 R A J N ? N DO2E 2 R A J
6eterminadas las reacciones, se completa los valores de las car*as e-ternas actuantes en la vi*a.
? G5
G5
G5Fm RK
R A ?
6;4 DG5E
#? ? 67; DG5#mE
#?
PR8K"'7A ?.. Para la vi*a de sección circular que se muestra,
hacer los *r(icos de uerza cortante momento lector. Q
Q
P
P2
P
P2
P J ? G5 >&S
P2 J C G5
?0S
T
R 00
?00.00
C00.00
200.00
Bnidades de lon*itud en mm
C00.00
?00.00
%8"B43M51 P1=6 KN y P2= 8 KN
4omo
son
car*as
inclinadas
consideramos los planos de car*a "# "$ para para dibujar los *r(icos de uerza cortante momento lector de la vi*a T P2T
P2T
PT
PT
R AT
RKT
enemos, para las componentes de P1 y P2
en la dirección dirección del
eje -1 P1 x = P1= cos45 ° → P1 x =3 √ 2 KN
P2 x = P2 cos60 ° → P2 x = 4 KN
R Ax y R Bx 4(lculo de reacciones en los apoos1 R
∑ F =0
U
∑ M =0
U
Y
B
R Ax + R Bx J # 0,>C&
P1 x (35,4 ) + R Ax ( 4.8 )− P2 x ( 3 ) + P1 X ( 1.8 ) + P2 x ( 0.6 )=0
Resolviendo, tenemos1
R Ax= % &,'6' () R Bx J ',*+* ()
'n la si*uiente i*ura se muestra el dia*rama de uerza cortante momento lector T P2T
P2T
PT
PT
R AT
RKT >,0
>.2>
6;4 DG5E
0.2
# 0.2 # >.2
2,&> 67; DG5#mE
2,2
# 2,> # 2,?2
4onsiderando ahora como car*as a las componentes de P1 y P2
en la dirección del eje Q.
P1 y = P1 sen 45 ° → P1 y =3 √ 2 KN
P2 y = P2 sen 60 ° → P2 y = 4 √ 3 KN
Plano z 4(lculo de reacciones R Ay y R By
∑ F =0 Y
R Ay + T By J 22,34
∑ M =0 B
− P1 Y ( 5.4 ) + R AY ( 4.8 )− P 2Y ( 3 )− P1 Y ( 1.8 ) − P2Y ( 0.1 )=0
Resolviendo tenemos1 R Ay J =,C G5
R By J 2,& G5
Q PQ
P2
P2
P
R A
RK ?,=
&,&C
6;4 DG5E #,> # >,2> #&,&C @,&
&,=
67; DG5#mE
# 2.&& #>,?
'jem 'jempl plo o
?.>. ?.>. 4ons 4onstr trui uirr los los dia* dia*ra rama mass de uerza uerzass cort cortan ante tess
momento lector de la vi*a con articulación lotante. I A
K Articulación Articulación ;lotante
2a
4
a
%8"B4385
Para condición de articulación lotante, el momento lector en la
sección K, es nulo. Para resolver descomponemos la vi*a en dos1 AK1 %implemente apoado K41 'n orma de voladizo Para ambos tipos de vi*as, la i*ura D?.>E nos proporciones sus respectivos dia*ramas de uerza cortante momento lector.
I A ;K
R A
;K 6;4 DG5E
R A
I a2 2 67; DG5#mE
2
#Ia
4.
ESF5ER6OS 7 DE FORMACIONES AXIALES EN VIGAS
'l obje objetitivvo prin princi cip pal del del estu estudi dio o de vi*a i*as es dete deterrmina minarr los los esuerzos normales en primera instancia, lue*o las deormaciones que *enera el sistema de car*as actuante.
8i9&e%i%: . 'l mater material ial de de la vi*a vi*a observ observa a la "e "e de !ooVe. !ooVe. 2. 'l módulo módulo de elas elastic ticida idad d a la tracci tracción ón a la compr comprens ensión ión es es el mismo. . "a coni coni*ur *uraci ación ón *eomt *eomtric rica a de la vi*a vi*a es tal tal que la la le-ión le-ión no el pandeo es el modo primario de alla. >. "as "as secc seccion iones es plan planas as ori*i ori*ina nalm lmen ente te perp perpen endi dicu cula lare ress al eje eje lon*itudinal de la vi*a Dpermanecen planasE perpendiculares al eje lon*itudinal despus de la le-ión1 esto es cualquier sección transversal no se encorva ni se alabea. &. 'n la vi*a deor deorma mada da,, los los planes planes de dicha dichass seccion secciones es tiene tiene una inters intersecc ección ión com$n/ com$n/ es decir decir una recta recta ori*in ori*inalm almente ente paralela al eje lon*itudinal de la vi*a se convierte en arco de circunerencia.
FLEXI;N P5RA %i en los e-tremos de la vi*a act$an momentos lectores i*uales opue opuest stos os Den Den el mism mismo o plen pleno o lon* lon*ititud udin inal alE, E, se dice dice que que est( est( sometida a le-ión pura. "a i*ura D?.&E ilustra ejemplos de vi*as a le-ión pura.
P
P 7
K K
A
A
P
6;4 6;4
7
P× a 67;
67;
;i*ura ?.&. 'jemplos de vi*as a le-ión pura.
8bsrvese que en los tramos de le-ión pura la uerza cortante es nula.
VIGAS CON SECCION SIMETRICA 4..1. F#e3in Si+<&ric$: Primero Primero estudiarem estudiaremos os los esuerzos deormacion deormaciones es de un elemento prism(tico que posee un plano de simetr+a es sometido en sus e-tremos a momentos lectores i*uales opuestos M z que act$an en el plano de simetr+a. 4onsideramos el sistema coordenado de manera que el eje Y es es eje de simetr+a el ori*en est( en
el centroide de la sección.
7z
z
-
7z
;i*ura ?.? 'squema de vi*a sometida a momento lector M z
'n la i*ura D?.?E, el plano de corte Q divide la vi*a en dos. %eparamos la porción izquierda trazamos su dia*rama de cuerpo libre D;i*ura ?.@E, mostrando las uerzas internas en el material. "a parte superior de la sección, soporta comprensión la parte inerior tracción/ por lo tanto, el eje viene a ser el neutro Dsobre cuos puntos es esuerzo es nuloE.
d; J σ-⋅dΑ D4ompresiónE
z
-
7
d; J σ-⋅dΑ DracciónE
;i*ura ?.@ ;uerzas dF actuantes actuantes en dA
4ondición de 'quilibrio
❑
∑ F = 0 :∫∫ σ dA =0 … . (6.4 ) x
x
A
∑ M = 0 :∫ (σ dA )=0 … . (6.5 ) y
x
A
❑
∑ M =0 :∫ Yσ dA = M … . (6.6 )
x
A
"a ecua ecuaci ción ón D?.> D?.>EE veri veriiica ca la cara caract cter er+s +stitica ca de par par del del momento M Z , pues la uerza de tracción la comprensión se anulan mutuamente. "a ecuación D?.&E resulta trivial si por hipótesis el eje Q es eje de simetr simetr+a +a de la secció sección n Dnótes Dnótese e que cualquie cualquierr
dA con
positivo tiene su XsimtricoY dA con ne*ativoE. 4oncluimos que la Ddistribución real de esuerzos es est(ticamente indete indetermi rminada nadaEE pues pues la ecuaci ecuación ón D?.?E D?.?E result resulta a insui insuicie ciente nte.. Para Para obtener
la
ecuación
complementaria
analizaremos
las
deormaciones producidas en el elemento. 'n la ;i*ura D?.CE se muestra una porción de vi*a deormada.# "a deormación del elemento causada por el momento lector 7 es medida con la DcurvaturaE de la supericie neutra.# "a curvatura es deinida como el inverso del radio de curvatura. 4onsideramos la ibra paralela a la supericie neutra a una distancia XY.
Podemos escribir para la deormación lon*itudinal en el tramo CD.
❑
X =
−! = − !
CD
( 6.7 )
∆ X
8
K
δ-
6H
4
KH
AH ∆-
;i*ura ?.C 'squema de vi*a deormada deormada Relaciones *eomtrica1 ! =Y × " ∧ ∆ x = #× # × "
Z. D?.CE
'n D?.@E1
❑ x =
Y # Z.. D?.=E
"+nea 5eutra
"a relación D?.=E nos indica que la deormación unitaria lon*itudinal de una ibra cualquiera es directamente proporcional a su distancia XY de la ibra neutra. %i utilizamos D?.=E en la "e de !ooVe1 σ x =
− $ #
∙y
D?.0E
ue nos muestra que el esuerzo normal var+a linealmente con la distancia desde la supericie neutra. Ahora, reemplazamos
σ X
de D?.0E en la ecuación de equilibrio
D?.?E
− $ #
❑
$ 2 y ( ¿ ∙ y ) dA = y dA P A
∫ M =−∫ ¿
D?.E
6e est(tica, la e-presión1
∫ y
2
dA es el momento de inercia de
la sección respecto al eje z .# .# Reemplazando en D?.E ordenando tenemos1 M % $& %
=
1
#
D?.2E
ue viene a ser la e-presión de la curvatura de la l+nea neutra.
6espejando ( $ / # ) de D?.0E reemplazando en D?.E D?.E M % =
−σ x Y
∙ & %
D?.E
;inalmente, el esuerzo normal1 σ x =
− M % & %
y
D?.>E
4u 4ua pres presen enta taci ción ón *r( *r(ic ica a se mues muestr tra a en la ;i*u ;i*ura ra D?.= D?.=E. E. 'l esuerzo m(-imo se producir( en Y = Y m" m" = - σ (x =
− M × C &
D?.&E
D4 se toma como 4 ó 42E 6e D?.>E D?.&E1
σ x =
Y σ C ( x
D?.?E
σm(-
D4ompresiónE 4
%uper. neutra
7z 2 4
σm(DracciónE
;i*ura ?.=. 'squema de la distribución del esuerzo normal
Para veriicar que el eje centroidal Z el eje neutro coinciden, sustituimos D?.?E en la ecuación de equilibrio D?.&E
∫ σ dA =∫ ( x
−Y C
)
σ (x dA =
−σ (x ❑ C
∫ YdA =0 A
∫ YdA =0
→
Q de 'st(tica sabemos que1 Xel producto de inercia con respecto a los ejes y –z ser( cero, si estos ejes son los ejes centroidales principales de la sección transversalY, con lo que se comprueba que el eje neutro es el eje # .
'n la ecuación D?.&E a la relación1 % J I z Fc, se le denomina md/lo els0ico de la secci o mome0o 2esis0e0e , como puede
verse depende $nicamente de la *eometr+a de la sección.#
− M % )
D?.& aE
6e esta esta ulti ultima ma rela relaci ción ón,, se conc conclu lue que que es reco recome mend ndab able le sele selecc ccion ionar ar una una secc secció ión n tran transv sver ersa sall con con el mao maorr valo valorr de XS Y posible. 'jemplo1 Para el caso de una sección rectan*ular de dimensiones b h. %u módulo resistente ser(1
*+ )=
& C
→ )=
12
+
3
1
= *+ 2 6
2
z h
1
) = A+ 6
b
Por tanto, tanto, a i*ualdad i*ualdad de (reas (reas XAY de la secció sección n transver transversal sal de orm orma a rect rectan an*u *ula larr, la vi*a vi*a con con maor maor altu altura ra h tend tendr( r( el mao maor r módulo de sección ser( m(s eectiva para resistir a la le-ión, salvo limitación por inestabilidad.
ELEMENTOS 8EC8OS DE VARIOS MATERIALES Para un elemento hecho de dos o m(s materiales con módulos de Qoun* dierentes, nuestra apro-imación para la determinación del esuerzo normal en el elemento debe ser modiicado. "a deormación normal mantiene su variación lineal con la distancia XY desde el eje neutro de la sección porque no depende del material. %in embar*o no podemos asumir que el eje neutro pase por el centroide de la sección transversal. σ x =
− $ #
∙y
(σ-E A
(ε-E A
A ". 5
(ε-EK
K
(σ-EK
;i*ura D?.0E 6istribución de esuerzos deormaciones en una barra de dos materiales DE 3 E B E.
'l esuerzo normal en cada material puede determinarse por la conocida relación. σ x =
− $ #
∙y
D?.0 repetidaE
Analicemos las condiciones D?.@E de equilibrio equilibrio para un tramo tramo de vi*a como la que se muestra 7
en la i*ura ?..
d; A
d F A =( σ X ) A × dA =
− $ A #
A
YdA
K
d;K
7
D?.?E d F B =( σ X ) B × dA =
− $ B #
;i*ura ?. YdA
'n la sección sección transversal debe debe actuar $nicamente $nicamente el par M . , F X =0 → F B− F A= 0
(∫ σ dA ) −(∫ σ dA ) = 0 X
$ B #
X
B
A
$ A
(∫ σ dA ) − # (∫ σ dA ) =0 X
X
A A
B
%e sabe que para los momentos de primer orden se cumple1 ❑
∫ ydA =Y´ × A → − $ (Y ´ A
A
´ B × A B ) =0 × A A ) + $ B ( Y
A
D?.CE
6ividiendo entre E A haciendo n = E B / E A, tenemos1
−Y ´ A × A A + n ( ´Y B × A B ) =0 6onde
´ A Y
e
´B Y son las distancias de la ". 5, a los 4. :. de
la porción de material A K respectivamente. "ocalización del eje neutro. onsidrese
H
el
sistema de ejes Q[# A# H A
zH
A
[ para para la sec sección ión ". 5
K
HK
;i*. ?.2
4
transversal, en el A H A que la distancia XY ija ija la pos posició ición n del del
´ eje neutro e Y ' A , Y´ ' B
son
las
distancias distancias del eje [ a los centros de
*
avedad
de
r
materiales A K.
los
6e la ecuación D?.CE1
´ A − $ B A B Y ´ B =0 $ A A A Y 6e acuerdo a la ;i*ura D?.2E podemos escribir1 $ A × A A ( Y´ ' A −Y ) − $B × A B ( Y − Y´ ' B ) = 0
´ ' − $ A Y´ ' =0 $ A A A− $ B A B ) + $ A A A Y −Y ( ( $ A B B B de donde1 $ A A A Y´ ' A + $ B A B Y´ ' B Y = $ A A A + $ B A B
D?.=E
'cuación que determina la posición del eje neutro $B $ A Y´ ' A + n A B Y´ ' B n= → Y = $ A A A + n A B
4on
D?.20E
'n *eneral para un elemento de varios materiales1 n
$ A Y´ ' ∑ − -
Y =
-
-
- 1
n
$ A ∑ − -
-
- 1
ESF5ER6O NORMAL
D?.2E
7
d; A
A z
-
K
7J7
d;K
;i*ura D?.E repetida
%e*unda condición de equilibrio1 , M =0 :
→
$ A
∫ σ Y X
A
❑
Y ∫ #
2
A dA +
A
∫ σ (−Y ) dA + M =0
dA +
$ B ❑
X
Y ∫ # ❑
2
B
A dA = M →
1
$ A & A + $B & B ) = M ( #
D?.22E
4omo la curvatura es $nica est( en relación directa con los esuerzos. σ A =
σ B=
− $ A Y A #
− $ B Y B #
1
−σ A
1
−σ B
→ = # $ A Y A A
→ = # $ B Y B
Reemplazando valores estas e-presiones en D?.2E
−σ A
− M $ A Y ( $ & + $ B & B ) = M → σ A = $ & + $ & $ A Y A A A A A B B σ B − M $ B Y $ A & A + $ B & B )= M → σ B= ( $ B Y B $ A & A + $ B & B
}
D?.2E
%i n = Eb / Ea: → σ A=
}
− M ∙ Y & A + n & B σ A =n σ B
− M ∙ Y σ B = ×n & A + n & B
D?.2>E
%i la vi*a de dos materiales tiene una sección transversal como la que se muestra la ;i*ura D?.2E
A
K
;i*ura D?.2E sección de dos materiales 'l momento le-ionante M es es soportado por los dos materiales1 M A N M B J M
D?.2&E
Bna relación a obtenida anteriormente, entre la curvatura el momento le-ionante es1 σ X =
− $ #
Y → σ X =
− M Y &
1
#
=
M $&
M B 1 / = # $ A & A # $ B & B 1
=
→
M A
M A $ A & A
=
M B
$B & B D?.2?E
6e D?.2?E despejando $B reemplazando en D?.2&E M A + M A ×
$B & B $ A & A
= M
M A ( $ $ A & A + $ B & B )= M $ A & A
"ue*o M A=
M $ A & A $ A & A + $ B & B
( 6.27)
M B=
M $ B & B
$ A & A A + $ B & B
D?.2CE
"os esuerzos normales que *eneran los momentos M A M B
σ A =
se*$n la ecuación D?.>E, son1 M A & A A
Y σ B=
M B & B
Y
Reemplazando D?.2@E D?.2CE
− M $ A & A Y − M $ B & B XY − M $ B XY σ A = σ B = → −σ B= $ A & A + ( $ A & A + $ B & B ) & A $ $ & $ & & ( A A B B ) B A + $ B & B − M ∙ Y − M ∙ Y σ A = 0 σ B= → σ B =n σ A & A + n & B & A + n & B
D?.2> RepetidaE
PR8K"'7A 1 6eterminar el m(-imo valor de P que que se le puede apli aplica carr a la vi*a vi*a de dos dos mate materi rial ales es cu cua secc secció ión n se indi indica ca,, sabiendo que los esuerzos admisibles a tracción comprensión son1 Acero1 \J200 V*Fcm2
\cJC00 V*Fcm2
'J2, - 106 V*Fcm2
Aluminio1 \J000 V*Fcm2 \cJ ?00 V*Fcm2 'J 0,@ - 106 V*Fcm2 P
A
K
2m
2m
K m
P
C C C
K
Ac Al
C cm C cm
%8"B4385
Por conveniencia, consideramos al aluminio como material A al acero como material K. "ocalización del eje neutro1 ;órmula D?.20E
Y =
( 2 × ( 16 × 8 ) 8 + ( 8 × 8 ) 4 ) + 3 ( 8 × 8 ) 12 ( 2 × 16 × 8 + 8 × 8 ) + 3 ( 8 × 8 )
=
4608 512
=9 c
4(lculo de los esuerzos normales1 \ Acero \ Al Primero evaluamos los momentos de inercia1 & A =2
& B=
[
1 12
1 12
3
2
][
× 8 × 16 + ( 8 × 16 ) × 1 +
8×8
3
1 12
]
+ ( 8 × 8 ) × 5 2 =5717.33 + 1642.66 → & A
+ 8 × 8 ( 7 −4 )2=382 c4
P
A
3
8×8
K
2m
P
K
2m
K
m
&0 P
67; V*#m
c
c
DE
H
DE D2E
DE
@ cm = cm
#00P
%e*$n el DMF de la vi*a tenemos dos opciones para considerar los valores m(-imos de los esuerzos de compresión tracción1 %ección en - J 2 m. la sección en - J > m. %ección en -J2 m.
Btilizando la ecuación D?.2>E para el esuerzo normal.
( σ A )1x =
− 50 P× P × (−9 ) =0.04565 P 7360 + 3 × 832
( σ B) 1x=
−50 P× P × ( 7 ) × 3=−0.1065 P 7360 + 3 × 832
DE
D4E
%ección en x = 4 m. 4orresponde a la ubicación del apoo K.
( σ A )1x =
−(−100 P ) × (−9 ) =0.0913 P 7360 + 3 × 832
( σ B) 1x=
−(−100 P ) × ( 7 ) × 3=+ 0.213 P 7360 + 3 × 832
D4E
DE
Para Para dete determ rmin inar ar el valo valorr m(m(-imo imo de P comp compre rend ndem emos os los los esuerzos m(-imos obtenidos con los esuerzos admisibles. 7aterial A DaluminioE 0.04565 × P= 100
0.0913 × P= 600
234 c
234 c
2
2
→ P1 =21905,8 234
→ P 2=6571,74 234
7aterial K DaceroE 0.213 × P=1200
234 c
2
→ P3 =5633,8 234
0.1065 × P= 800
234 c
2
→ P 4=7511,74 234
Por lo tanto, 0.04565 × P=100
234 c
2
→ P1x = P3 =5633,8 234
MET;DO DE LA SECCI;N TRANSFORMADA 4onsiste en asumir que la sección transversal es de un solo mate materi rial al Dnor Dnorma malm lmen ente te el de meno menorr 'E, 'E, pero pero obvi obviam amen ente, te, de *eometr+a dierente.
