INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS
Materia: Mecánica de Materiales I
Tema: Esfuerzos por Flexión y Deformación en Vigas
Docente: Gerardo Vega
Pacheco Zurita Pablo Alberto
4º C Mecánica
Coatzacoalcos, Veracruz
30 de mayo de 2011 1
Índice:
TEMA Unidad 2
2.1 2.2 2.3 2.5
PAG.
Esfuerzos por Flexión y Deformación en Vigas Introducción Tipo de vigas cargas y reacciones Diagrama de fuerzas cortantes momentos flexionantes Esfuerzos flexionantes y cortantes Deflexión en vigas
2.5.1
y
3 5 9 11 14 17
2.5.2
Método de las funciones singulares Método de las áreas de momentos
19
2.5.3
Método de superposición
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Conclusión Bibliografía Anexos
21 22 23
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Unidad 2 Esfuerzos por flexión y deformación en vigas Introducción En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están diseñadas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas. El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. El esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flector. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico. Teoría de vigas de Euler-Bernoulli La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales. Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricéntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son: 1. Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal, con módulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable. 2. Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical sólo depende de x: uy(x, y) = w(x). 3
3. Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra sólo sufren desplazamiento vertical y giro: ux(x, 0) = 0. 4. La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: σyy= 0. 5. Hipótesis de Bernouilli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado. Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de Euler-Bernouilli es una simplificación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis como exacta (cuando en vigas reales es sólo aproximadamente cierta). El conjunto de hipótesis (1)-(5) lleva a la siguiente hipótesis cinemática sobre los desplazamientos:
Deformaciones y tensiones en vigas Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos se llega a:
A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke, asumiendo σyy = 0,σzz = 0:
Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, o módulo de Young, y G el módulo de elasticidad transversal. Es claro que la teoría de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la energía de deformación tangencial, para tal fin deberá recurrirse a la teoría de Timoshenko en la cual:
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2.1 Tipo de vigas, cargas y reacciones Tipos de vigas Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su número de reacciones en dos grupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay una variedad de formas que varían según el tipo y posición de los apoyos. De manera general, encontramos dos tipos de vigas isostáticas, mientras que las hiperestáticas pueden ser de 5 (véase Figura 4). La figura muestra en forma esquemática los diferentes tipos y también la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que se deforma bajo la carga (Parker y Ambrose, 1995).
1 Condición requerida para la realización de un análisis estructural, al ser la estabilidad el segundo requisito que debe cumplir una estructura. 2 Estas ecuaciones se obtienen del estudio de la mecánica de los sólidos deformables o resistencia de materiales. 3 Condición necesaria pero no suficiente para considerar que la viga sea estable. Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.
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FUNDAMENTO TEÓRICO Las vigas son elementos estructurales sujetos principalmente a flexión. Consideremos la viga de la Figura 1 cuya sección transversal es prismática.
Figura 1 Viga en cantiliver sujeta a flexión.
Analizando el diferencial de longitudes se puede establecer la siguiente relación: Donde: k = Curvatura r = Radio de curvatura. dq = Incremento del ángulo de rotación q . El ángulo de rotación q del eje longitudinal de la viga en cualquier punto m1 es aquel comprendido entre el eje x y la tangente de la curva elástica. Este ángulo es positivo en sentido dexógiro y negativo en sentido dextrógiro. Si observamos ahora la Figura 2 podemos establecer que la primera derivada de la deflexión con respecto ax es la pendiente de la curva elástica.
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Figura 2 Diferencial de la viga sujeta a flexión.
También, podemos aseverar que el valor del diferencial de longitudes es aproximadamente igual al del diferencial dx. De lo anterior reescribimos la Ecuación 1:
Debido a lo pequeño del valor del ángulo de giro dentro de nuestro diferencial, el valor de la tangente de dicho ángulo es el ángulo mismo. Esto nos lleva a establecer:
Derivando la expresión anterior con respecto ax y sustituyendo en la Ecuación 2, tendremos:
La Ecuación 4 asocia la curvatura y la deflexión en la viga. Si la viga está compuesta de un material linealmente elástico, podemos escribir la siguiente relación:
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Donde: M= Momento flector. E= Módulo de elasticidad del material. I= Momento de inercia alrededor del eje de flexión. A la Ecuación 5 se le conoce como la ecuación de la curva elástica. Derivando esta ecuación podemos encontrar los valores de la fuerza cortante V y la carga q que actúan en la viga.
Las convenciones de signos utilizadas en las ecuaciones anteriores son mostradas en la Figura 3.
Una viga sujeta a flexión presentará dos componentes importantes en su deflexión, la de corte y la de momento. En la mayoría de los casos, con excepción de las vigas donde la relación longitud-peralte es pequeña, la aportación a la deformación por corte se desprecia. Para el cálculo de las deflexiones existen varios métodos de análisis tales como: doble integración, área-momento, viga conjugada y trabajo virtual.
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2.2 Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionantes Los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante ofrecen al ingeniero una gran cantidad de información útil para el diseño; de éstos se puede obtener información sobre el comportamiento en conjunto de un miembro, las posiciones en las cuales pueden cambiar las secciones transversales estructurales requeridas y aun los lugares donde puede usarse una articulación. En la mayoría de los casos, los diagramas son bastante fáciles de dibujar; puede ser a través de los gráficos de las ecuaciones o usando relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flexionante. Construcción de los diagramas El método usual para obtener los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante es construirlos a base de las siguientes relaciones: (1) La razón de cambio de la fuerza cortante en cualquier posición en una viga es igual al negativo de la carga distribuida aplicada en ese mismo punto:
(2) El cambio en fuerza cortante entre dos puntos cualesquiera es igual al área bajo el diagrama de carga entre esos dos mismos puntos:
(3) La razón de cambio de momento, es decir la pendiente del diagrama de momentos, en cualquier punto a lo largo de la viga, es igual a la fuerza cortante en ese mismo punto:
(4) El cambio en momento flexionante en dos puntos cualesquiera a lo largo de una viga es igual al área bajo el diagrama de fuerza cortante entre esos dos mismos puntos:
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CARGAS, DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El siguiente procedimiento proporciona un método para construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para una viga utilizando las relaciones vistas anteriormente: REACCIONES EN LOS SOPORTES. Determinar las reacciones en los soportes y resolver las fuerzas que actúan sobre la viga en componentes paralelas y perpendiculares al eje de la viga. 10
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE. Establecer los ejes V y X y trazar los valores de la fuerza cortante en los dos extremos de la viga. La pendiente del diagrama de fuerza cortante en cualquier punto es igual a la intensidad (negativa) de la carga distribuida en el punto. Si se necesita determinar un valor numérico de la fuerza cortante en el punto, se debe encontrar usando el método de secciones. DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE. Establecer los ejes M y X y trazar los valores del momento en los extremos de la viga. La pendiente del diagrama de momento flexionante en cualquier punto es igual a la intensidad de la fuerza cortante en el punto.Si se necesita determinar un valor numérico del momento flexionante en el punto, se debe encontrar usando el método de secciones.
2.3 Esfuerzos flexionantes y cortantes En ingeniería se necesita saber cómo responden los materiales sólidos a fuerzas externas como la tensión, la compresión, la torsión, la flexión o la cizalladura. Los materiales sólidos responden a dichas fuerzas con una deformación elástica (en la que el material vuelve a su tamaño y forma originales cuando se elimina la fuerza externa), una deformación permanente o una fractura. Los efectos de una fuerza externa dependientes del tiempo son la plastodeformación y la fatiga, que se definen más adelante. Flexión Es una combinación de compresión y de tracción. Mientras que las fibras superiores de la pieza sometida a un esfuerzo de flexión se alargan, las inferiores se acortan, o viceversa. Al saltar en la tabla del trampolín de una piscina, la tabla se flexiona. También se flexiona un panel de una estantería cuando se carga de libros o la barra donde se cuelgan las perchas en los armarios.
En la flexión obran fuerzas perpendiculares al eje recto de la barra o viga, el plano de carga corta a las secciones transversales en la flexión simple, según un eje principal, que cuando se trata de una sección transversal simétrica, es su eje de simetría, cuando se trata de flexión disimétrica, el plano de las cargas corta a las secciones transversales según rectas que no son ejes principales, si bien siguen pasando por el sector de gravedad de cada sección.
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Clasificación de la flexión Se dice que una pieza trabaja a la flexión cuando está solicitada por fuerzas que tienden a curvar su eje longitudinal. Un sólido prismático de sección constante o variable trabaja a la flexión simple cuando: • La sección tiene por lo memos un eje de simetría. • El plano de las fuerzas contiene al eje longitudinal y a uno de simetría. • La resultante de todas las fuerzas es normal al eje longitudinal. • Cuando la resultante fuera oblicua al eje longitudinal el sólido trabajará a la flexión compuesta. Ensayo de flexión El ensayo de flexión se emplea preferentemente en la fundición gris y más raramente en el acero, pero recibe también empleo en la madera, en el hormigón y en otros elementos constructivos. Generalmente se lleva a cabo disponiendo la barra a ensayar de modo que quede libremente apoyada sobre rodillos en ambos extremos y cargándola en el centro. En materiales tenaces no se puede determinar nada más que el límite de flexión por poderse doblar en 180º sin rotura, adquiriendo forma de “U”. En los materiales agrios se puede llegar a la rotura y con ello calcular la resistencia a la flexión.
Ensayos de Flexión Estática. - Este ensayo es complementario del ensayo de tracción. - No se hace siempre. Se hacen en piezas y materiales que van a e estar sometidas a flexión. - Se realiza igual sobre piezas cilíndricas, cuadradas que rectangulares. - Consistente en someter las probetas, apoyadas libremente por los extremos, a un esfuerzo aplicado en el centro o dos iguales aplicados a la misma distancia de los apoyos. - El ensayo se realiza colocando dos rodillos con la separación L=20D, siendo D el diámetro de la probeta 12
Corte simple Se produce cuando se aplican fuerzas perpendiculares a la pieza, haciendo que las partículas del material tiendan a resbalar o desplazarse las unas sobre las otras. Al cortar con unas tijeras un papel estamos provocando que unas partículas tiendan a deslizarse sobre otras. Los puntos sobre los que apoyan las vigas están sometidos a cizallamiento.
En un sólido prismático tenemos dos secciones infinitamente próximas (m) y (n), aplicando en los centros de gravedad las fuerzas P1 y P2 de sentido contrario, las secciones se deslizarán una respecto a la otra. Si suponemos fija la sección (m), la (n) se deslizará ocupando la molécula (b) la nueva posición (1b).
Llamemos Q al esfuerzo de cortadura y admitamos que se reparte uniformemente en toda el área de la sección A. La tensión tangencial de corte será:
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Por analogía con la tracción se admite que la relación llamada módulo de elasticidad tangencial G.
es una constante
Los ensayos han demostrado que la resistencia a la cortadura del hierro y del acero es igual a 4/5 de la resistencia a la tracción. Se admite que el límite elástico al corte es también igual a 4/5 del límite elástico a la tracción. En consecuencia, el coeficiente de trabajo al corte τad debe tomarse igual a 4/5 de σad en esos materiales. Tipos de corte:
2.5 Deflexión en vigas En análisis estructural, se considera a las deflexiones, como la respuesta estructural, por que expresa, un momento de parámetros, que responde, a una acción de cargas aplicadas (muertas, sismos, etc.), las deflexiones son en cantidades no visibles. Las deflexiones, en estructuras, se pueden estimar, mediante métodos de cálculo, que se hará mención de los más conocidos. • Método de trabajo real: Este método utiliza el principio de conservación de energía, que genera el trabajo externo, el cual debe ser igual al trabajo interno de deformación producto por los esfuerzos causados por las cargas. La desventaja del método radica en su limitación, porque solo analiza una incógnita, no se amplía este método a más de un desplazamiento o rotación. • Método de Castigliano: Este método es el Teorema de Castigliano, que, es la derivada parcial del trabajo de la deformación elástica, expresada en función de la fuerza; es igual al desplazamiento de su punto de paliación y sentido de las fuerzas. • Método de trabajo virtual: Este método es el más versátil de los métodos tradicionales, para evaluar deflexiones elásticas de estructuras. Este método solo es aplicable a aquellos casos, en donde está permitida la superposición, por su forma finita de análisis. 14
• Método de la doble integración: Este método permite ver, la ecuación de curvatura de la viga, la cual resulta del análisis de la ecuación diferencial de la línea elástica de una viga a flexión pura. La primera integración de la ecuación da la pendiente de la elástica en cualquier punto; la segunda integración se obtiene la ecuación de la elástica misma. • Método de área de momentos: Este método, se basa en dos teoremas, que resultan muy útiles, para el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas y pórticos. • Método de la viga conjugada: Este método consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica.
Deflexión de una viga Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se flexionan o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos a continuación, esta flexión y(x) está determinada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden, relativamente sencilla. Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetría.
Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría como se ve en la figura:
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Sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva de flexión o curva elástica o simplemente elástica. La curva de flexión describe la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que la flexión (o flecha) y(x)m medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante M(x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación:
Además, el momento flexionante M(x) es proporcional a la curvatura, k , de la curva elástica
Donde “E” e “I” son constantes, “E” es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e “I” es el momento de inercia de la sección transversal de ésta, respecto de un eje llamado eje neutro. El producto “EI” se denomina rigidez a la flexión.
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2.5.1 Método de las funciones singulares FUNCIONES SINGULARES Las funciones singulares (funciones de conmutación) son muy útiles en el análisis de circuitos, sirven como buenas aproximaciones a las señales de conmutación que surgen en los circuitos con operaciones de conmutación, describen algunas funciones del circuito sobre todo de la respuesta de paso de los circuitos RL o RC, este tipo de funciones son discontinuas o tienen derivadas discontinuas. Existen tres funciones singulares más ampliamente utilizadas en el análisis de circuitos: función escalón unitario, función impulso unitario y la función rampa unitaria. La función escalón unitario u(t) es para los valores negativos de t y 1 para los valores positivos de t. La función escalón unitario está definida por t=0, donde cambia abruptamente de 0 a 1. No tiene dimensión, comparado con las funciones matemáticas seno y coseno. Utilizamos la función escalón unitario para representar un cambio brusco en la corriente o la tensión, similar a los cambios que ocurren en circuitos de sistemas de control y en computadoras digitales. En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo, es entonces conveniente introducir la función escalón unitario.
Otra de las funciones utilizadas en el diseño de circuitos es la función impulso unitario, originada por la derivada de la función escalón unitario, donde: δ(t) es cero en todas partes excepto en t=0, donde esta indefinida. 17
Las corrientes y tensiones impulsivas que ocurren en circuitos eléctricos son resultado de operaciones de conmutación o de fuentes impulsivas, la función impulso unitario puede considerarse como un choque aplicado o resultante y es posible visualizarlo como un impulso de muy corta duración de área unitaria. Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.
Si integramos la función escalón unitario obtenemos la función rampa unitaria, esta función es cero para todos los valores negativos de t y tiene una pendiente unitaria para los valores positivos de t. La rampa cambia en una proporción constante, puede retardarse o adelantarse.
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2.5.2 Método de las áreas de momentos Este método se basa en la relación que existe entre el momento M y la curvatura y proporciona medios prácticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexión de la curva elástica de vigas y pórticos. El método tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de la curva elástica y el segundo la curvatura con la deflexión.
De la ecuación general de flexión tenemos:
Integrando:
Tengamos presente que
curvatura de un elemento viga
Teorema 1: El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.
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: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A. Se mide en radianes. Áreas positivas indican que la pendiente crece.
Teorema 2:
Por teoría de los ángulos pequeños tenemos: , si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.
Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B. El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva
entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.
Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones. Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.
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2.5.3 Método de superposición El método de superposición usa el principio de superposición de la teoría de la elasticidad lineal. El método de superposición consiste en descomponer el problema inicial de cálculo de vigas en problemas o casos más simples, que sumados o "superpuestos" son equivalentes al problema original. Puesto que para los casos más sencillos existen tablas y fórmulas de pendientes y deformaciones en vigas al descomponer el problema original como combinaciones de los casos más simples recogidos en las tablas la solución del problema puede ser calculada sumando resultados de estas tablas y fórmulas.
Conclusión: En ingeniería se necesita saber cómo responden los materiales sólidos a fuerzas externas como la tensión, la compresión, la torsión, la flexión o la cizalladura (corte). Los materiales sólidos responden a dichas fuerzas con una deformación elástica (en la que el material vuelve a su tamaño y forma originales cuando se elimina la fuerza externa), una deformación permanente o una fractura. En este trabajo se analizo los esfuerzos por flexión y deformación que se ejerce en las vigas, algunas de las cuales ya habíamos visto en clase. También se analizo los diferentes tipos y clases de vigas que existen, además de los diferentes tipos de análisis que hay para determinado caso, así como los métodos para la deflexión de vigas. Algo muy importante en el análisis estructural de las vigas, son los diagramas de fuerzas aplicadas ya que de ahí parte uno para poder determinar el tipo de esfuerzo al que una viga esta sometido, y también determinar la carga que puede llegar a soportar dicha viga.
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Bibliografía http://es.scribd.com/doc/18840535/tipos-de-apoyos http://www.slideshare.net/ptah_enki/diagramas-de-fuerza-cortante-y-momentoflexionante# http://es.scribd.com/doc/2469676/Esfuerzo-de-Corte-y-Flexion http://www.mitecnologico.com/iem/Main/DeflexionEnVigas http://www.ucasal.net/recursos/deflexion_de_una_viga.pdf http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:ZON_DbL51hEJ:www.geocities.ws/c arbajal_ev/0421116FUNCIONES_SINGULARES.doc+funciones+singulares&hl=es &gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESjogVP4WOtiai0We7zRhDGZmUuWqEEiY6oJk9of 4Y53BuAcD9gtq1u68D7HicgkVd1v5HBMPI4FzzEo5RwV94H9wkOlr9sqyJFWfhR N3cxCj1mANBkNLkao7cT8h77MegqpTLA&sig=AHIEtbSoiT35AEpvup5l6lSVrR6pTONjDQ http://ingcivil-2008.blogspot.com/2008/05/mtodo-de-area-de-momentos.html http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometricos/defl exiones%20geometricas.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica http://es.wikipedia.org/wiki/Pendientes_y_deformaciones_en_vigas
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Ejemplo: Determinar las flechas en los puntos B y C y la pendiente elástica en el punto B. E, I constantes.
20t
A 0.30
C
B 3m
3m
0.20
Pasos a realizar: 1. Encontrar el diagrama de momentos. 2. Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa. 3. Para encontrar q fijar un punto inicial al cual se le conozca la pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido. Cambio en q = área bajo M/EI 4. Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo. El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexión. ( X *Área bajo la curva de M/EI midiendo X desde el punto al que se le va a hallar la deflexión). 5. Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de M/EI indican qque la pendiente crece.
Ejercicio Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en función de EI.
M
A
M A 20 * 3 0
M A 60tf m
M
X
M X 60 20 x 0
23
M X 20 x 60 MX 0
0 x3
3 x 6
-60 x C
A 20t
M=60t-m 3m
3m
3m
20t
área
60 * 3 EI
180t * m 2 t 2 * EI 2 * m 4 m
adimensional (radianes)
A 0 condición de apoyo B ? B A
180 90 B 2 EI EI
A=0
B
CX B
B
C
Curva elástica tentativa
Flecha = momento de primer orden con respecto a B B/ A
si A 0 C / A
90 2 180m * * (3) EI 3 EI B
180 positivo EI
90 2 * 3 450m * 3 EI 3 EI
C B por no existir momento en ese tramo. 24
B
Ejercicio A 0 Determinar D y max
D A 5
D
M dx EI A
D/ A
D A
M/EI
YD
C / A
20 * 4 4 2 20 * 2 * 2 *2* 2 2 3 3
C / A
200 * 2 80 480 160 3 3 3 EI DESVIACIÓN POSITIVA
θD/A
160 26.67 EI 6 EI NEGATIVA
26.67 80.01 *3 EI EI
YD
80.01 22.5 57.51 EI EI EI
10
20/EI
15 * 3 3 22.5 * 2 3 EI
D
2m
4m
D/ A
C / A L
C
3m
15 * 3 45 22.5 2 EI 2 EI EI
A
15
25
∆D/A
∆C/A
remplazando en 1:
D
4.17 EI
C / A
20 * 4 40 EI * 2 EI
B A B
40 EI
66.67 EI
X 2 * 20 5 X 2 m A * 2 * 4 * EI 2 EI 2 26.67 5 X * EI 2 EI
X 3.27
Busquemos el punto de tangencia cero, 0 , punto de max
m/ A
3.27 20 3.27 29.14 * * 2 4 3EI EI
m A * x Ym
26.67 * 3.27 87.21 EI
58.1 EI
26
27
28
