Análisis del comportamiento y diseño de una viga en concreto reforzado por el método método de los esfuerzos esfuerzos admisibles y calculo de deflexiones
a. Una viga simplemente apoyada apoyada de 9 m de luz, luz, está sometida sometida a la acción de una carga carga puntual P de 8 KN localizada localizada a 3m del extremo izquierdo; la sección de la viga es rectangular con dimensiones (30 x 40) cm. Los materiales a usar son: concreto de f´c= 28MPa y acero acero fy=420 MPa. y está reforzada en la zona de tensión con 4#4. Calcule los esfuerzos máximos en el concreto concreto y en el acero y obtenga la deflexión máxima de la viga. P = 8KN
40cm 3mt
37.5cm
6mt
30cm
Diagramas de cortante y momento:
Resistencia de los materiales:
f’c = 28MPa y fy = 420MPa Módulo de elasticidad del concreto Ec=3900 √f`c = 3900x√28=20636 MPa fc = 0.45*f’c = 12.6MPa Ŷ 40cm
Ŷ
37.5cm fs
30cm
εc
f c < f max
εs Distribución de deformaciones unitarias
f s < f y Distribución de esfuerzos
Para saber en qué estado se encuentra la viga, se hallan los esfuerzos máximos de compresión y tensión por flexión producidos por la carga y se comparan con los esfuerzos a utilizarse son los esfuerzos admisibles. Otra forma más sencilla es hallar el momento de agrietamiento usando el esfuerzo máximo permisible a tensión y compararlo con el momento flector actuante debido a la aplicación de la carga: El momento de agrietamiento se calcula usando la fórmula de flexión (
My
I
,
de donde M=σI/y). El esfuerzo a usar es el máximo permisible a tensión y para el momento de inercia se puede usar el de la sección total del concreto, despreciando el aporte del acero ya que, instantes antes de producirse el agrietamiento en la zona de tensión, el acero prácticamente no se esfuerza. Esfuerzo máximo permisible a la tensión (Módulo de rotura)
Esfuerzo máximo permisible a la compresión:
Para hallar el centroide y el momento de inercia de la viga se desprecia el aporte del acero.
Calculo del centroide: Como la sección es homogénea y se desprecia el acero tenemos que . Calculo del momento de inercia:
Calculo del momento de agrietamiento:
La carga Pcr correspondiente al agrietamiento obtenida de M= 2P sería P=Mcr/2=29.6/2=14.8 kN, que es mayor que la carga actuante P= 8kN; por tanto la viga no está agrietada bajo la acción de la carga de 8 kN. Visto de otra manera. Calculemos el momento máximo que la carga de 8 kN produce. :Del diagrama de momentos se obtiene que el máximo momento positivo es M=2P=2*8= 16 kN-m. Se observa entonces que Ma
Calculo de esfuerzos en el concreto y el acero debido a la carga P=8kN:
Esfuerzo a compresión en el concreto:
Se debe cumplir que fc
2.0 MPa < 12.6 MPa (se cumple)
Esfuerzo a tension en el concreto:
Se debe cumplir que f t > f tc
3.7MPa > 2MPa (se cumple)
Esfuerzo a tensión en el acero: El esfuerzo a compresión en el concreto alrededor del punto donde está localizado el acero es: y
Para hallar el esfuerzo correspondiente en el acero podemos hallar una ecuación que relacione los esfuerzos entre el acero y el concreto. Partiendo de que existe perfecta adherencia entre el acero y el concreto que lo rodea decimos que: ;
Por tanto
Se debe cumplir que f s < f y
420MPa > 16.96 MPa (se cumple)
De una tabla de resistencia de materiales se obtiene que la deflexión máxima se obtiene con la expresión
Pb(L2 b 2 ) 3 / 2
9 3EI
2
en
x
L
b
2
3
Reemplazando tenemos:
8x6.00(9 2
62 )3/ 2
9 3x20636000x 1.6x10
-3
=0,0281 m = 2.81 cm
Si la deflexión máxima permitida es δ=L/360 =900/360=2.5 cm, se ten dría que el diseño de la viga no es aceptable desde el punto de vista de control por deflexiones. Véase que se ha usado el momento de inercia de la sección total del concreto porque la viga para la carga aplicada de 8 kN no está agrietada. De igual modo se desprecia el aporte a la inercia del acero por cuanto el esfuerzo en él es muy bajo. A continuación se calcula el momento de inercia tomando en cuenta la presencia del acero a tensión.
Calculo del centroide y momento de inercia incluyendo el refuerzo a tensión de la viga:
Calculo del centroide: A Y 1)1200cm2 20cm
A*Y 24000cm3
2) 44.15cm2 Σ= 1244.15cm2
37.5cm
1655.45cm3 Σ=25655.45cm3
Calculo del momento de inercia:
Calculo del momento de agrietamiento:
La carga Pcr correspondiente al agrietamiento obtenida de M= 2P sería P=Mcr/2=33.03/2=16.52 kN Del diagrama de momentos se obtiene que el máximo momento positivo es M=2P=2*8= 16 kN-m. Se observa entonces que Ma
Calculo de esfuerzos:
Esfuerzo a compresión en el concreto:
Se debe cumplir que fc
12.6MPa > 1.9407MPa (se cumple)
Esfuerzo a tensión en el concreto:
Se debe cumplir que f ct > f tc Esfuerzo a tensión en el acero:
3.7MPa > 1.7924MPa (se cumple)
Para hallar este esfuerzo se debe tener un esfuerzo a compresión en el mismo punto.
Se debe cumplir que f s < f y
calculo de la deflexión: 8x6.00(9 2
420MPa > 15.127MPa (se cumple)
62 )3 / 2
9 3x20636000x 1.73x10 -3
=0,026 m = 2.6 cm
Como la deflexión máxima permitida es δ=L/360 =900/360=2.5 cm, se tendría que el diseño de la viga no es aceptable desde el punto de vista de control por deflexiones. La variación de la deflexión fue de tan sólo 2 mm entre considerar el aporte del acero y no considerarlo cuando la sección no está agrietada.
Aplicando una carga P = 20KN
En este caso, la sección está agrietada para esta carga P=20kN>Pcr=14.8KN). Asumimos entonces comportamiento lineal pero sección fisurada.
C H=40cm
C = distancia del extremo superior al eje neutro.
d=37.5cm
As’ = As*n B=30cm
Εc = f c/Ec
fc
C d-C
εs = f s/Es
f s
Por el método de la sección transformada se tiene:
Partiendo de que existe perfecta adherencia entre el acero y el concreto que lo rodea decimos que: ;
Teniendo de refuerzo 4 varillas #4, se calcula el área transversal de las varillas: Área varilla #4 = 1.27cm2 área total de varillas = 4*1.27 =5.08cm2 Entonces:
Calculo de la ubicación del eje neutro:
ΣMeje neutro = 0
C = 9.57cm =0.0957m
Momento de inercia:
En este caso, el momento de inercia de la sección agrietada I a=4.716E-4 m4 es mucho menor que el de la sección no agrietada I g= 1.73E-3 m4 (3.67 veces)
Tenemos que los esfuerzos admisibles especificados en el método de los esfuerzos admisibles son: Esfuerzo a compresión en el concreto: < 12.6MPa (cumple)
Esfuerzo a tensión en el acero: Para hallar este esfuerzo se debe tener un esfuerzo a compresión en el mismo punto.
> 210MPa (no cumple)
Calculo de la deflexión:
Inercia efectiva:
Mact = 2*P = 2*40KN = 80KN*m Mcr = 29.6KN*m
20x6.00(9 2
62 )3 / 2
9 3x20636000x 5.29x10 - 4
Mact > Mcr (se usa el Ie)
= 0,21 m = 21.28 cm
El diseño de la viga no es aceptable desde el punto de vista de control por deflexiones.
Aplicando una carga P =20KN y se introduce una fuerza de precompresión axial de 363KN:
Cables de postensado
Para peso propio: Ppropio = (0.4*0.3)*24 = 2.88KN/m
qL2/8
Centroides C1= C2 = L/2 =0.4/2 = 0.2mt Mòdulo de sección elástico S 1 = S2 = I/C = 1.6E-3/0.2 = 8E-3 m3 Esfuerzos normales máximos de flexión debido al peso propio Pp
Esfuerzo por postensado:
Área = 0.4*0.3 =0.12m2
Combinación de esfuerzos: Esfuerzos permisibles en el concreto, una vez se aplica el presfuerzo: A compresión: 0.6*f ’ci donde: f ’ci = 0.7*f’c ; f ci = 0.6*(0.1*28) = 11.76MPa A tensión: f ti = (f’ci)½ / 4 = (19.6)½ /4 = 1.1MPa
Después que se aplica la carga de servicio:
Hay una pérdida de 15% R = 1- perdida = 1-0.15 = 0.85 Pe = P*R = 363KN * 0.85 = 308.55KN P =20KN Postensado:
2*P Esfuerzos permisibles en el concreto después de las pérdidas:
A compresión: 0.45*f’c = 0.45*28 = 12.6MPa
A tensión: (f’c)½ /4 = (28)½ /4 =1.32MPa
En este caso, el esfuerzo máximo de compresión no sobrepasa el límite del hormigón, pero el de tensión sí supera al correspondiente permisible en el concreto. La sección se fisuraría.
Si la carga se aplica con una excentricidad e=0.15 por debajo del eje neutro:
Este tipo de carga es equivalente a la acción de la carga actuando axialmente σ =P/A mas el momento por excentricidad M p =Pe= 363x0,15= 54,45 kN-m
Esfuerzos que presentan cada fuerza: Para la de precompresión axial:
Para el momento:
Combinación de esfuerzos por acción de la fuerza de presforzado:
Esfuerzos por peso propio mas presforzado:
Combinación total:
Ahora el esfuerzo máximo de compresión se aproxima un poco al admisible en el concreto mientras que el esfuerzo máximo de tensión supera un poco al admisible de tensión, generando unas pequeñas fisuras y por tanto una pequeña deflexión de la viga. En este caso, puede recurrirse a incrementar la excentricidad del cable, si la sección lo permite, o aumentar la cantidad de cables o a adicionar acero convencional.
