FLEXION DE VIGAS METODO DE INTEGRACION
FLEXION DE VIGAS Las vigas se deforman deforman al momento de aplicarles cargas, por lo tanto su diseño se limita a que esa deformación no sea perceptible y menos que afecte el desempeño de la estructura.
Comporta rtamiento nto de las vigas
A
Viga noF no Flexi lexio on ad a
B
A
VigaFlexionada Lige ram ramente nte
B
A
Vigac igaconF on Flex lexiónC ión Crític ti ca
B
POR QUE NO SE DEBEN DEFORMAR DEFORM AR L LAS AS VIGAS En el área de la construcción es importante que las vigas no se deformen por múltiples razones. Una de las razones es que las vigas son las que soportan las cargas de las losas, bien sea de piso o de entrepiso, lo que implica que ellas son las responsables de trasladar las fuerzas hacia las fundaciones a través de las columnas o las vigas de riostra.
HASTA DONDE PUEDEN CEDER LA FLEXION EN Pieza general de máquina: ymax = 0.0005 - 0.003 plg/plg o mm/mm de LAS VIGAS longitud de viga Precisión moderada: ymax = 0.00001 - 0.0005 plg/plg o mm/mm de longitud de viga Alta Precisión: ymax = 0.0000001 - 0.00001 plg/plg o mm/mm
DEFINICION DE TERMINOS Para poder determinar el comportamiento de las vigas se necesita tener como base fundamental 5 elementos primordiales: Diagrama de carga o diagrama de cuerpo libre Diagrama de esfuerzo cortante Diagrama de momento flector Diagrama de deflexión Diagrama de pendiente
DIAGRAMA DE CARGA O DIAGRAMA DE CUERPO Es el diagrama que se utiliza para determinar las fuerzas externas que interactúan en el LIBRE sistema, cargas aplicadas y las reacciones en los apoyos, así como los momentos aplicados en puntos indicados.
DIAGRAMA DE ESFUERZO CORTANTE Es el diagrama que permite calcular los esfuerzos en cada sección de la viga.
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR Es una curva, o diagrama de variación del momento flector con respecto a la longitud de la viga y las fuerzas aplicadas sobre ella a lo largo del sistema. Aquí se incluyen los resultados calculados para contrarrestar el esfuerzo cortante debido a la flexión de la viga.
DIAGRAMA DE DEFLEXION Es un diagrama que tiene que ver directamente con la deformación de la viga. Esta gráfica muestra el eje neutro de la viga con respecto a la longitud de ésta y su deformación debido a las cargas a la que es sometida. La cantidad de deflexión se llamara “y”.
DIAGRAMA DE PENDIENTE Este diagrama no es más que una línea tangente que se traza a cada punto de la grafica de deflexión, esa tangente produce un ángulo con la línea horizontal y ese ángulo va variando a lo largo de la viga. En el punto donde la pendiente es cero define el punto de mayor flexión de la viga.
P
Vigacon carga
Hagaa clic parabmodificar el estilo de texto del patrón Mom ento Flector A A B Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Rb Ra Pendiente A Quinto nivel
B
●
●
B
●
Ra Esfue rzocortante
A
B -Rb Deflexion
A
B 2
1
RADIO DE CURVATURA En la flexión de vigas el radio depende de la curvatura de la viga, si la curvatura es muy pequeña el radio es muy grande, y cuando la curvatura es muy grande el radio es muy pequeño. Es radio es un punto analítico a partir del punto de máxima flexión de la viga. Ese radio es completamente perpendicular a ese punto y a partir de ahí se calcula el radio de curvatura.
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel Radio de cu rvatura ●
●
●
dy dx
RELACION ENTRE DEFLEXION Y CURVATURA Esto se toma a partir de un pequeño espacio infinitesimal de la curvatura donde las distancias se hacen muy cortas y tienden a ser líneas rectas, por lo tanto los diferenciales pueden ser tomados como líneas rectas y armar un triangulo, en cuyo ángulo opuesto al ángulo recto determina el valor de la pendiente.
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel ●
●
●
c
RIGIDEZ DE UNA VIGA: Se determina por el producto de E por I, donde E es el modulo elástico del material de la viga e I es el momento de inercia de la viga con respecto al eje neutro.
PRINCIPIOS BASICOS PARA DETERMINAR LA DEFLEXION EN VIGAS CON EL METODO DE INTEGRACIONES SUCESIVAS Para determinar la deformación de la viga se deben tomar en cuenta los siguientes elementos: Δs : longitud del segmento neutro δs : alargamiento de la línea conforme la viga se deforma R : radio de curvatura formado por la deflexión de la viga dθ : angulo formado por la deflexión de la viga
Por trigonometría se puede determinar la longitud del arco o del segmento de arco que forma δ.
Como en el eje neutro no hay alteraciones:
Entonces: Resolviendo las dos ecuaciones se tiene:
Igualando los valores:
Donde se puede definir al lado derecho de la segunda definición en el modulo unitario de ε:
Y sabiendo que:
Sabiendo que σ es el esfuerzo por flexion:
Por consiguiente todo da:
De donde combinando con otra ecuación queda:
Y definiendo 1/R como la curvatura de la viga y dándole a κ (kappa) queda todo como:
Tomando en cuenta que “y” es una función de “x” (y=f(x)) se puede determinar que la curvatura viene dada por la función:
Al igualar las dos ecuaciones anteriores:
Determina que:
UTILIZACION DEL METODO La integral expuesta determina el cálculo de momento para la viga en estudio.
Al resolver esta integral todo queda como:
UTILIZACION DEL Habiendo determinado que dy/dx = θ que es la pendiente de la curva de deflexión y al sustituir queda: METODO Esta ecuación se puede integrar de nuevo y se obtiene:
Siendo “y” la deflexión de la viga.
Ejemplo 30K
20K
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón Segundo nivel Tercer nivel 6pie 2pie B Cuarto nivel 2K/pie Quinto nivel ●
●
D
●
A
C 3pie
8pie Rb
Rd
Ejemplo 30K
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón Segundo nivel Tercer nivel 6pie 2pie B Cuarto nivel 2K/pie Quinto nivel
20K
●
●
D
●
A
C 3pie
8pie Rb=43K
Rd=23K
30K
Ejemplo
20K
6pie
B
2pie
D
2K/pie A
Según los datos obtenemos las ecuaciones de esfuerzo para cada uno de los tramos
C 3pie
8pie Rb
Rd
23 11 Esfue rzo Cortante
-19 -20 -23
-60
VAB = -20 VEC = -2x + 29 VCD = -2x -1
Mom ento Flector
0
0 0
42
Ejemplo El momento flector para el tramo AB = VABdx + C
Evaluando entre 0 y 3: C= 0 sabiendo que Mab = 0 en x= 0
Ejemplo Continuamos con el otro tramo:
Revisando en el diagrama de momento flector en x=3 Mbc = -60 haciendo una sustitución en la ecuación y despejando C se obtiene C=-138 entonces la ecuación queda:
Ejemplo Para el último tramo, Mcd
Verificando en el diagrama de Momento flector para x=9, Mcd=42, haciendo una sustitución en la ecuación y calculando C, C=132, queda la ecuación:
Ejemplo AHORA SE VUELVEN A INTEGRAR LA ECUACIONES PARA OBTENER LAS EXPRESIONES PARA θEI
Ejemplo AHORA SE VUELVEN A INTEGRAR LA ECUACIONES PARA OBTENER LAS EXPRESIONES PARA θEI
Ejemplo AHORA SE VUELVEN A INTEGRAR LA ECUACIONES PARA OBTENER LAS EXPRESIONES PARA θEI
Ejemplo AHORA SE VUELVE A INTEGRAR PARA OBTENER LAS ECUACIONES DE yEI
Ejemplo AHORA SE DEBEN DEFINIR LAS CONDICIONES DE FRONTERA
1.
En x=3 yabEI = 0
2.
En x=3 ybcEI = 0
3.
En x=11 ycdEI = 0
20K
30K
4.
En x=9, yacEI = ycdEI (curva de deflexion continua en c)
5.
En x=3, θabEI = θbcEI 6pie
B 6.
2pie
En x=9, θbcEI = θcdEI
D
2K/pie A
C
3pie
8pie Rb=43K
Rd=23K
Ejemplo Aplicando en las ecuaciones 4,5,6,7,8,9 Quedan 6 ecuaciones con 6 incognitas para resolver las incognitas C1,C2,C3,C4,C5,C6
Ejemplo Dando los valores: C1=397/3 C2=4018/12 C3=5281/6 C4=-307 C5=-507.25 C6= 3137.75
Ejemplo PARA CALCULAR LA PENDIENTE:
Ejemplo PARA CALCULAR LA DEFLEXION:
