Esfuerzos en Vigas
Esfuerzos por Esfuerzos Flexion
Esfuerzo por Flexión I. Introducción Por estática :
P
= 0
P
A
D C
B
a
b
a
+
2 = 0 2 2 = 0 2 22 = 0 = =0 2 = 0 =
Grafica de Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores:
a) El tramo de una viga se dice que trabaja a flexión pura cuando en cualquier sección de di dich cho o tr tram amo o so solo lo exi xist ste e mo mome ment nto o flector
P
P
+ -
V
P
P
b) El tramo tramo de una una viga viga se dice que que trabaja trabaja a flex fl exió ión n si simp mple le cu cuan ando do en cu cual alqu quie ierr sección de ese tramo solo existe momento flector y fuerza cortante
+
M Pa
Pa
Estud Est udiar iaremo emoss las rel relaci acione oness en entre tre:
c) Un tramo tramo de de na viga viga se dice dice que que trabaja trabaja a flexión compuesta cuando en cualquier secció sec ción n de ese tr tramo amo ex exist iste e mom momen ento to flector, fuerza cortante y fuerza normal
a) El momento momento flexionante flexionante y los esfuerzos esfuerzos normales normales por flexión que se producen producen b) La fuerz
vertical y los esfuerzo esfuerzo
Plano de Simetría Eje de la Viga
Superficie Neutra
Eje Neutro de la Sección Transversal
II. Hipótesis 1. Las secciones planas de las vigas, inicialmente planas, permanecen planas – hipótesis de navier 2. El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke 3. El modulo de elasticidad es igual a tracción (tensión) que a compresión 4. la viga es inicialmente recta y de sección constante 5. El plano en el que actúan las fuerzas contienen a uno de los ejes principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella
III. Desarrollo de la hipótesis de navier “Las secciones planas y perpendiculares al eje de la viga antes de la deformación, siguen siendo planas y perpendiculares al eje de la viga después de la deformación”
P 1
P 2 D
A C
B
a
P
1
b 2
a
P
Evaluando la sección 1-1 y 2-2 (porción deformada)
Fibras que se acortan
1
2 Fibras que ni se acortan ni se alargan a ellas de les denomina fibras neutras FIBRA NEUTRA
1
2
Fibras que se alargan
Tomando un elemento infinitesimal de la viga (dx) (por compatibilidad) Y b
a
y
Eje Neutro
ⅆ
X
Superficie neutra
Antes de la deformación Del grafico También Por Hooke
ⅆ
′ = ( )ⅆ = ⅆ = ⅆ − = − − Ɛ= − − = Ɛ=
b’
a’
M
Ɛ=-
M
y ⅆ
Luego de la deformación
( :radio de curvatura)
(Segmento deformado)
Por ley de Hooke obtenemos el esfuerzo normal en la fibra ab
E σ = E.Ɛ = E() =
-------------------------
La fuerza normal actuando en area infinitesimal seccion transversal A es:
Eje Neutro (EN)
ⅆ = σⅆ REEMPLAZANDO
ⅆ de la
-------------------------
ⅆ = E ⅆ
EN
-------------------------
Del equilibrio:
La fuerza axial resultante debe desaparecer La condición para que la fuerza axial sea cero es:
නA ⅆ = E න ⅆ = 0 La Integral La integral
Τ ≠ 0
Siendo la relación La ecuación se reduce a :
නA ⅆ = 0 ------------------------- Es el momento estatico del area diferencial ⅆ respecto respeto al EN ⅆ es el momento estático total del área
Por lo tanto:
E . . ത = 0
ത
; de esta relacion solamente puede ser nulo que el Eje Neutro (EN) pasa por el centroide (C)
0 , se concluye
Momento resultante sobre el eje y debe desaparecer La condición para que el momento resultante sobre el eje “y” es :
නA .ⅆ = E න .ⅆ = 0 La integral
-------------------------
.ⅆ,es el producto de inercia del area
de la sección transversal. de acuerdo a nuestra hipótesis, el eje “y“ es un eje de simetría de la sección transversal en cuyo caso esta integral es cero y l a ecuación β se satisface automáticamente
Momento resultante respecto al Eje Neutro debe der igual a M Igualando el momento resultante sobre el eje “z” a “m” nos da :
නA ⅆ = න E ⅆ = E න ⅆ = Recordando que
ⅆ =
,es el momento de inercia
Del área de la sección transversal respecto al eje neutro (eje z ), obtenemos la relación MOMENTO -
CURVATURA
=
Ó
=
IV. Formula de flexión: Modulo de Sección En la relación Momento – Curvatura, reemplazamos :
Por la tanto :
σ = E E.σ =
E.σ = 1
=
Tenga en cuenta que un momento de flexión positiva “M” provoca esfuerzo negativo (compresión) por encima del eje neutro y el esfuerzo positivo (tracción) por debajo del Eje Neutro. El valor máximo del esfuerzo por flexión si tener en cuenta su signo esta dado por:
. = =
Si :
= Τ
S = Modulo Resistente
de
sección
ó
c
h
EN
ℎ12 ℎ s = ℎൗ = 6 2
ⅆ s = 4 = 32
EN r d
SECCION CIRCULAR LLENA b SECCION RECTANGULAR
R
EN
r
c
= 4 ( )
EN
h
b SECCION HUECA TUBULAR
SECCION TRIANGULAR
= 2ℎൗ 3 ℎ = 24
Ejercicio N⁰ 1 Determine los esfuerzos, deformaciones y curvatura maximos producidos por flexion en la viga de acero
10 ൗ)
15 cm
W = 300
Τ
A
2cm C
B 6m
25cm
1.5m
I.
( = 2 ×
Calculo de fuerzas internas:
= 0 + 6 300 7.5 7.25 = 0 = .
= 0 , = 300(7.5) = .
1.2cm
. +
V -
S
56.25 kg . -m 2 +
.
M
= 6 843.75 956.25 = 2.8125 + = 1186.52 . - = 337.5 .
II. Propiedades de la sección 15cm
2cm
25cm
EN
ത = 15 2152612(1.2)(25)(12.5) (1.2)(25) = . ) (1.2)(25 ) (1.2)(25)(12.519.25) = (15)(2 15 2 2619.25 12 12
= .
1.2cm
∀ El momento flector maximo positivo .. / (,.) Y
Compresión
= . = . Z
M
= . Tracción
En tracción :
POR HOOKE :
En compresión :
652)(19.25) = 530.40 ൗ = (118,4306. 25 Ɛ = ൗ = 2.65×10− 652)(7.75) = 213.54 ൗ = (118,4306. 25 Ɛ = ൗ = 1.07×10−
∀ EL MOMENTO FLECTOR MAXIMO NEGATIVO TRACCION
Y
= . Z
337.5. (33,750.) EN TRACCION :
M
= .
POR HOOKE :
COMPRESION EN COMPRESION :
75) = 60.74 ൗ = (33750)(7. 4306.25 Ɛ = ൗ = 3.037×10− 25) = 150.87 ൗ = (33750)(19. 4306.25 Ɛ = ൗ = 7.54× 10−
Ejercicio N⁰ 2 Una sierra de banda de acero de 20mm de ancho y 0.60mm de espesor, corre sobre poleas de diámetro “d”, a) Encuentre el máximo esfuerzo de flexión en la sierra si d=500mm, b) cual es el valor mas pequeño de “d” para que el esfuerzo de flexión en la sierra no exceda de 400 MPa?. Utilice E=200 GPa para el acero. De la relación usamos valores absolutos Sección Transversal de la Sierra
=
a) Máximo esfuerzo de flexión para d=500mm 0.6mm Y
20mm
=
( . ) = 240x10^6 N/m2 = 240 MPa .
b) Calculo del valor mas pequeño de “d”
∗ (.) = = 0.15m = 2 * = 2 * 0.15m = 0.30m = 300mm
Ejercicio N⁰ 3 Una sección transversal cuadrada se coloca de modo que el eje neutro coincide con una de las diagonales. El modulo de sección se puede aumentar mediante la eliminación de las esquinas superior e inferior como se muestra. Encontrar la relación a/b que maximiza el modulo resistente. CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA
EN
C
2( )
= 4 2 (2) = 4 12 12 () = 3 4 3 4 4 = 3
MODULO DE SECCION “S”
= = 43 4 4 4 3 4 = = 3 3 DERIVANDO LA FUNCION “S” RESPECTO A “a”
ⅆ = 8 9 ------------------------- ⅆ 3 3 8 9 = 0 IGUALANDO = 0 8 = 9 = RPTA
-------------------------
Ejercicio N⁰ 4 La armadura simplemente apoyada esta sometida a una carga distribuida central. No tome en cuente el efecto de los elementos en diagonal y determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la armadura. El elemento superior es un tubo con un diámetro exterior de 1 pulgada y grosor de 3/16 de pulgada, el elemento inferior es una barra solida con un diámetro de ½ pulgada. 1.- Calculo de reacciones
= 0 18xRB-(100x6)x(6+3)=0, RB = 300Lb Por simetría RA = 300Lb
2.- Calculo de máximo momento flexionante
RA 3.- Calculo de Eje Neutro de la Sección Transversal 5/8”
1”
EN 5.75”
½”
(1/4+5.75+1/2)” =6.5” 1/4”
Y ER
=
El máximo momento flexionante se presenta en el centro de luz, es decir para L= 9 pies RB Mmax = 300Lb x 9Pie – 100Lb/pie x 3pie x 1.5pie = 2,250Lb.Pi Mmax = 2,250Lb.Pie = 27,000Lb.inch
×() × + −(− ) × () +.+ ×()+ × −(− ) Y = 4.6091 inch
4.- Calculo del Momento de Inercia respecto al EN El máximo momento flexionante se presenta en el centro de luz, es decir para L= 9 pies
5/8”
1”
EN 5.75”
½”
(1/4+5.75+1/2)” =6.5”
=
Y=4.6091”
Π × (Τ )
Π
×
(( ))
× 1 (1 2) × ሾ(6.5
1/4”
5.- Calculo del Esfuerzo Máximo de Flexión
=
.+. = 22,134.89 Lb/in2 = 22.1 ksi = ,..
= 22.1 ksi
Esfuerzos por Cortante
Deducción de la Formula del Esfuerzo Cortante Horizontal Cuando una viga se somete a cargas transversales, éstas no solamente generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortante interna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales se deslicen una sobre las otras. Para ilustrar mejor esto, utilizaremos una viga simplemente apoyada, conformada por tres tablones no unidos entre sí.
Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarse cómo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones y se aplica nuevamente la carga, no se presentará dicho deslizamiento. Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite el deslizamiento entre secciones longitudinales de una viga sometida a momento flector.
Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresión que nos permita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar el deslizamiento anteriormente descrito. Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura. Estudiaremos las fuerzas a las que está sometido un elemento diferencial de la misma.
En la figura podemos observar con mayor detalle el elemento diferencial dentro de la viga.
Se cumple:
Si suponemos que ‘H2>H1’, podemos plantear la primera condición de equilibrio en el elemento diferencial:
Al sustituir “H1” y “H2”, nos queda:
Recordando que:
Al introducir esto en la expresión anterior, obtenemos:
Si consideramos que ‘M1 - M2 = dM’, al despejar “t” nos queda:
Luego:
Tenemos finalmente nuestra expresión para el esfuerzo cortante en la viga:
Siendo
=
∶ Esfuerzo cortante horizontal Τ , ൗ : Fuerza cortante (,) : momento estatico del area que queda arriba o abajo del corte (,) : Momento de inercia de toda el area de la seccion Transveral con respecto al EN : ancho de la seccion FLUJO CORTANTE () Es la fuerza longitudinal por unidad de longitud transmitida a travez de la seccion de ordenadas
= =
Relación entre los esfuerzos cortantes horizontales y vertical
Y
EN
Z
X
= නⅆ
ⅆ
ⅆ ⅆ
A
.
ESFUERZOS
= 0
FUERZAS
ⅆⅆ ⅆ ⅆⅆ ⅆ = 0
= “Que un esfuerzo cortante que actúa en la cara de un elemento va acompañado siempre de otro numeralmente igual en una cara perpendicular al primero “
Espaciamiento de Remaches en Vigas Compuestas e PLANTA
e
e
b
EN
ELEVACION
SECCION
EL ESFUERZO CORTANTE HORIZONTAL Siendo
=
()
= Fuerza a resistir en longitud
= = = Por flujo cortante
= . = .
=
Despreciando el rozamiento, esta fuerza cortante ha de ser soportada por la resistencia cortante o al aplastamiento, la que sea mas pequeño de los remaches igualando
y
. =
al
Ejercicio N⁰ 1 Trazar una grafica de distribucion de esfuerzos para la viga . Calcular los valores a cada de V = 20 kn
I.
Y
60 mm
Z
EN
60 mm 180 mm
peralte, para un cortante
Calculo del momento de inercia (E.N)
−)(300×10 −) (120×10−)(180×10 −) (180× 10 = 12 12
60 mm
180 mm
30mm del
= 346.68 × 10−
II.
CALCULO DE LOS MOMENTOS ESTATICOS A 30mm POR DEBAJO 180 mm 30mm
150mm 135 mm EN ---------------------------------- EN
= = (180 × 10−)(30×10−)(135×10−) = (180× 10−)(30×10−)(135×10−) = (729× 10−) ×10)(729×10−) = 233.6× 10 ൗ = = (20 (346.68×10−)(0.18)
= 233.6
A 60mm POR DEBAJO DEL BORDE SUPERIOR 180 mm 60mm 150mm 120 mm EN ---------------------------------- EN
= = 0.18 0.06 0.120 = 1.296 × 10− )(1.296×10−) (20 × 10 = (346.68×10−)(0.18) = 415.37× 10 ൗ
= 415.37
A 90mm POR DEBAJO DEL BORDE SUPERIOR
= 1246.11
180 mm 60mm 30mm 150mm
120mm 75mm
× 10)(1.296×10−) = 1246.11 × 10 ൗ = (20(346.68×10 −)(0.06)
60mm
EN ---------------------------------- EN
= = 0.18 0.06 0.120 (0.03)(0.06)(0.075) = 1431× 10− )(1431×10 −) (20 × 10 = (346.68×10−)(0.06) = 1375.9× 10 ൗ
= 1246.11 A 120mm POR DEBAJO DEL BORDE SUPERIOR 180 mm 60mm 60mm 150mm
120mm 60mm 60mm
EN ---------------------------------- EN
= = 0.06 0.18 0.12 (0.06)(0.06)(0.6) = 1512× 10− )(1512×10 −) (20 × 10 = (346.68×10−)(0.06) = 1453 × 10 ൗ
= 1453.79
= = 0.06 0.18 0.12 (0.09)(0.06)(0.045) = 1539 × 10− )(1539×10 −) (20 × 10 = = (346.68×10−)(0.06) = 1479.75 × 10 ൗ
A 150mm POR DEBAJO (EJE NEUTRO) 180 mm 60mm 150mm 120mm
90mm 45mm
= 1479.75
EN ---------------------------------- EN 60mm
Y
233.6
|
Z
EN
415.37 1246.11 1375.9 1453.79 1479.75
415.37 233.6
1246.11
CORTANTE HORIZONTAL
Ejercicio N⁰ 2 Determine el espaciamiento necesario de los clavos para asegurar la viga t consistente de dos secciones de madera de actue como una unidad. la resistencia permisible para esfuerzo cortante horizontal de una clavo 10d es de
2×6g 94
6’’ 125lb 2’’
3’’ EN
EN
10’
6’’
5’’
2´´
EL FLUJO CORTANTE PARA CUALQUIER SECCION ES:
= . 6’’ 2’’ 3’’ 2’’ EN ---------------------------------- EN
= 136 = 125 = . = (125)(2136× 6 × 2) = . ൗ
Como se debe obtener una resistencia al esfuerzo cortante de espaciamiento de los clavos es :
= 22. 0694 ൗ = .
. por cada pulgada de longitud el
Ejercicio N⁰ 3
′′×′′
Se va a fabricar una viga de con seccion de madera como se muestran en la figura si los clavos de van a espaciar cada ¿cual de los arreglos es el mas deseable con respecto al esfuerzo cortante ?, Siendo
´
= 1000
2’’
A
2’’
B
8’’
8’’
2’’ 2’’
4’’ 8’’
2’’
2’’ 2’’
4’’ 8’’
2’’
12’’
EVALUACION DELA FUERZA CORTANTE HORIZONTAL SOBRE LOS CLAVOS
∀ CASO A 8’’ 2’’ 6’’ 5’’ EN ---------------------------------- EN
2 × 5) = (1000)(8× = . 981.3 = 81.52 ൗ = . (FUERZA TOTAL) = 81.52 × 3 = 244.56
DE
FUERZA CORTANTE SOPORTADA POR CADA CLAVO
= ൗ 2 = .
∀ CASO B 4’’ 2’’ 6’’ 5’’ EN ---------------------- EN
× 2 × 5) = (1000)(4 981.3 = 40.76 ൗ = 40.76 × 3 = 122.28 FUERZA CORTANTE SOPORTADA POR CADA CLAVO
= ൗ 2 = . CON RELACION A LA FUERZA CORTANTE SOPORTADA POR LOS CLAVOS ES PREFERIBLE EL ARREGLO
B
