CAPÍTULO 5
FÓRMULAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE
5.1 FÓRMULA DE LA RAÍZ CUADRADA
Antes de practicar las fórmulas (7) y (8) del producto y del cociente, conviene deducir una fórmula para la raíz cuadrada, en virtud de que en muchas funciones aparece la necesidad de derivarlas. Si y =
1 / 2
u , para derivarla debe hacerse primero y = u
mula de la potencia un. Haciéndolo se llega a que 1 / 2
y = u dy dx
=
1 u 2
1 −1 2
du dx
n - 1
n
u
75
du dx
y entonces emplear la fór-
del producto y del cociente
Fórmulas
1 − 12 du = u dx dx 2 dy 1 du dy
=
dx
2u
1 2
dx
du dy dx
=
dx 2 u
La derivada de una raíz cuadrada es la derivada del subradical (lo que está adentro del radical) entre dos veces el radical original.
Por ejemplo, si y =
2
x − 3 x + 7 , su derivada se puede obtener rápidamente emplean-
do la fórmula anterior, colocando en el numerador la derivada de x2 - 3 x + 7 (la derivada del subradical), o sea 2 x - 3, y en el denominador dos veces el radical original, esto es dy dx
=
2
2x − 3 2 x − 3x + 7
Debe tenerse cuidado de que esta fórmula solamente puede emplearse para raíces cuadradas, no para raíces cúbicas o de otro orden.
76
del producto y del cociente
Fórmulas
5.2 FÓRMULA DEL PRODUCTO (7)
d dx
uv = u
dv dx
+v
du
fórmula del producto
dx
en donde u representa a uno de los factores y v representa al otro factor.
Ejemplo 1: Hallar la derivada de y = ( x 2 + 5 x − 11)( x3 − 7 x2 − 9) Solución:
Empleando la fórmula (7) del producto, en donde u representa el primer factor y v representa el segundo factor, o sea u = x2 + 5 x ! 11 v = x3 ! 7 x2 ! 9
entonces empleando dicha fórmula: dy dx dy dx
= ( x 2 + 5 x − 11)
=u
dv dx
+v
du dx
d
3 2 3 2 x − 7 x − 9 ) + ( x − 7 x − 9) ( dx
dv
u
v
dx
dy dx
d
2 x + 5 x − 11) ( dx
du dx
= ( x 2 + 5 x − 11)( 3 x 2 − 14 x ) + ( x3 − 7 x2 − 9 ) ( 2 x + 5 )
77
del producto y del cociente
Fórmulas
Ejemplo 2: Calcular la derivada de y = ( x 2 − 5 x − 9 ) Solución:
5x + 4
En este caso los dos factores son u = x 2 - 5 x - 9
v=
1/ 2
5 x + 4 = (5 x + 4)
Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene: dy dx
d
= ( x 2 − 5 x − 9 )
1/ 2
dx
( 5 x + 4)
1/ 2
+ ( 5 x + 4)
dv
u
2 x − 5 x − 9) ( dx
v
dx
d
du dx
Para derivar (5 x + 4)1/2 debe emplearse la fórmula (6) de un de la potencia, página 69: 1 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ 1/ 2 − 1 d = ( x − 5 x − 9 ) ⎢⎜ ⎟ ( 5 x + 4 ) 2 ( 5 x + 4 ) ⎥ + ( 5 x + 4 ) ( 2 x − 5) dx dx ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦
dy
2
⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ − 1/ 2 1/ 2 = ( x 2 − 5 x − 9 ) ⎢⎜ ⎟ ( 5 x + 4 ) ( 5 ) ⎥ + ( 5 x + 4 ) ( 2 x − 5) dx ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦
dy
dy dx
=
5 ( x 2 − 5 x − 9) 1/ 2
2 ( 5x + 4)
1/ 2
+ ( 5 x + 4 )
o bien
78
( 2 x − 5)
del producto y del cociente
Fórmulas
dy dx
5 ( x 2 − 5 x − 9 )
=
2 5x + 4
8
+ ( 2 x − 5 )
Ejemplo 3: Hallar la derivada de y = ( 7 x 2 − 3) ( 9 − 3 x ) Solución:
5x + 4
5
En este caso los dos factores son u = (7 x2 - 3)8 v = (9 - 3 x)5
Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene: dy dx
8
= ( 7 x 2 − 3)
u
d
5
5
(9 − 3 x ) + ( 9 − 3 x )
dx
dv
7 x2 − 3) ( dx
8
v
dx
d
du dx
Para calcular las derivadas de (9 - 3 x)5 y de (7 x2 - 3)8 debe emplearse en ambas la fórmula (6) de un de la potencia de la página 69: 8 ⎡ 7 d ⎤ 4 d 5 ⎡ ⎤ = ( 7 x 2 − 3) ⎢5 ( 9 − 3x ) 7 x2 − 3) ⎥ ( 9 − 3x )⎥ + ( 9 − 3x ) ⎢8( 7 x2 − 3) ( dx dx dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
dy
dy
8 7 4 5 = ( 7 x 2 − 3) ⎡ 5 ( 9 − 3x ) ( − 3)⎤ + ( 9 − 3x ) ⎡⎢ 8 ( 7 x2 − 3) (14 x )⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ dx
79
del producto y del cociente
Fórmulas
dy dx
8
4
5
= − 15 ( 7 x 2 − 3 ) ( 9 − 3x ) + 112 x ( 9 − 3 x ) ( 7 x2 − 3 )
7
5.3 FÓRMULA DEL COCIENTE
(8)
d ⎛ u ⎞ ⎜ ⎟= dx ⎝ v ⎠
v
du
dv
−u
dx
v
dx
2
fórmula del cociente
en donde u representa al numerador y v representa al denominador.
Ejemplo 4: Hallar la derivada de y = Solución:
6 x + 7 8 x − 9
Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, en donde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso: u = 6 x + 7 v = 8 x - 9
Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:
d ⎛ u ⎞
⎜ ⎟= dx ⎝ v ⎠
dy
=
v
du dx
−u v
dv dx
2
( 8 x − 9 )
d dx
(6x + 7) − (6x + 7) (8x − 9)
dx
80
2
d dx
( 8x − 9)
del producto y del cociente
Fórmulas
dy
=
dx
(8 x − 9 )( 6 ) − ( 6 x + 7 )( 8) 2 (8x − 9 )
En este caso, aunque no es indispensable, conviene realizar las multiplicaciones indicadas en el numerador, pues así habrá reducción de términos: dy
=
dx
dy
48 x − 54 − 48 x − 56 2 (8x − 9)
=
dx
Ejemplo 5: Derivar y = Solución:
− 110
(8x − 9 )
( 5 x2 − 7 x − 9)
2
4
9 x − 1
Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, en donde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso: u = (5 x2 - 7 x - 9)4 v = 9 x - 1
Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:
d ⎛ u ⎞
⎜ ⎟= dx ⎝ v ⎠
v
du dx
−u v
2
81
dv dx
del producto y del cociente
Fórmulas
dy
=
( 9 x − 1)
d dx
4
( 5 x2 − 7 x − 9 ) − ( 5 x2 − 7 x − 9) ( 9 x − 1)
dx
dy dx
=
⎡ ( 9 x − 1) ⎢ 4 ( 5 x 2 − 7 x − 9 ) ⎣
=
dx
( 9 x − 1)
2
4
⎦
dx
( 9 x − 1)
2
( 9 x − 1) ⎡⎣⎢ 4 ( 5 x 2 − 7 x − 9 ) ( 20 x − 7 ) ⎤⎦⎥ − 9 ( 5x2 − 7 x − 9 ) 3
dy
d
( 5 x2 − 7 x − 9) ⎤⎥ − ( 5 x2 − 7 x − 9) ( 9 )
d
3
4
( 9 x − 1)
dx
4
2
Y ordenando conforme a las reglas de escritura para cada término: Primero se escribe el signo; después el coeficiente numérico; a continuación los factores monomios (letras solas) en orden alfabético; luego los factores polinomios y en seguida los radicales:
3
dy dx
=
4 ( 9 x − 1) ( 5 x 2 − 7 x − 9 ) ( 20 x − 7 ) − 9 ( 5 x2 − 7 x − 9)
( 9 x − 1)
4
2
Ejemplo 6: Calcular la derivada del ejemplo anterior utilizando la fórmula del producto.
Solución:
La función original y =
( 5 x 4 − 7 x − 9)
4
que tiene la forma de un cociente puede escri-
9 x − 1 4
birse como y = ( 5 x 4 − 7 x − 9) ( 9 x − 1)
−1
para que adquiera la forma de un producto. De
esta forma, u = (5 x4 - 7 x - 9)4 y v = (9 x - 1)- 1
82
del producto y del cociente
Fórmulas
Entonces, recordando la fórmula del producto: d dx
uv = u
dv dx
+v
du dx
Sustituyendo: dy dx
= ( 5 x 4 − 7 x − 9 )
4
d
( 9 x − 1)
−1
dx
+ ( 9 x − 1)
−1
dv
u
dx
+
d
5 x4 − 7 x − 9) ( dx
4
du
v
dx
4 ⎡ − 2 d ⎤ = ( 5 x 4 − 7 x − 9) ⎢ − 1( 9 x − 1) ( 9 x − 1)⎥ + dx dx ⎣ ⎦
dy
3 d −1 ⎡ ⎤ + ( 9 x − 1) ⎢ 4 ( 5 x 4 − 7 x − 9 ) 5 x4 − 7 x − 9) ⎥ ( dx ⎣ ⎦
dy
4
−2 = ( 5 x 4 − 7 x − 9 ) ⎡ − 1( 9 x − 1) ( 9 )⎤ + ⎣ ⎦ dx
3 −1 + ( 9 x − 1) ⎡⎢ 4 ( 5 x 4 − 7 x − 9) ( 20 x3 − 7) ⎤⎥ ⎣ ⎦
Finalmente ordenando de acuerdo con las reglas de escritura: dy dx
=−
9 ( 5 x 4 − 7 x − 9 )
( 9 x − 1)
4
2
83
3
+
4 ( 5 x4 − 7 x − 9) ( 20 x3 − 7) 9x − 1
del producto y del cociente
Fórmulas
Para verificar que es el mismo resultado que el obtenido en el ejemplo anterior cuando se derivó con la fórmula del cociente, debe efectuarse la suma de fracciones de este último resultado sacando común denominador: 4 3 − 9 ( 5 x 4 − 7 x − 9 ) + ( 9 x − 1) ⎡⎢ 4 ( 5 x4 − 7 x − 9) ( 20 x3 − 7) ⎤⎥ dy ⎣ ⎦ = 2 dx ( 9 x − 1)
3
dy
=
4 ( 5 x 4 − 7 x − 9 ) ( 20 x 3 − 7 ) ( 9 x − 1) − 9 ( 5 x 4 − 7 x − 9 )
( 9 x − 1)
dx
84
2
4
del producto y del cociente
Fórmulas
EJERCICIO 11 (Áreas 1, 2 y 3)
Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1)
y =
( 6 x 2 + 11x − 9)( 5 x2 − 13x + 21)
2)
y = x − 7 x + 3
3)
y =
( 7 x5 + 7 x4 )( 4 x2 − 4 x + 17)
4)
y =
5)
y =
( 6 − 18x − x )( x
+ 19 x − 5)
6)
⎛ 3 x 7 2 x 5 ⎞ ⎛ 2 x3 9x ⎞ y = ⎜ − + ⎟⎜ ⎟ 7 ⎠ ⎝ 11 19 ⎠ ⎝ 8
7)
y =
( 3x7 − 6 x2 + 6)
4 x − 11
8)
y = 4 x
9)
y = x5
10)
y = 3x
11)
y = ( 6 x − 5 )
12)
y =
13)
y = 5 x
14)
y = ( 4 x + 7 )
15)
y =
16)
y =
17)
9 − x 2 y = 5 x3 + x
18)
y =
20)
y =
19)
21)
y =
y =
2
2
4x + 7
7 9
11
(5 − 8x )
( 5 − 3x5 )
8
7 x + 11 5
x − x
3 x 4 + x − 7 x
6 x
22)
8
( 6 x − 7 )
85
(
y =
)( 5 x4 − x2 + 11)
3
( 6 x6 − 2 x3 + 8 x)( 9 x3 + 7 x)
( x2 + 2 x − 7 )
2
2
3
( 2 x3 + 3 x2 − 6 x − 9 )
(1 − x2 )
5 7
5
(
5 x − 11 5 x + 11 x
7 x5 − 6 x + 1 2
x + 1
( 2 x + 3) 5 x 2
5
4
(1 + x2 ) 2
4
x − 5x + 8
)
7
7
del producto y del cociente
Fórmulas
23)
y =
25)
y =
27)
y =
( 7 x3 − x2 )
5
11 x3 x x − 1 x 3
24)
6 x 2 + x y = 7 ( 2 x + 9 )
26)
y =
2 x x 2 + x 4
7
28)
2 x + 1
86
y =
( x 2 − 7 x + 9) 3 ( x 2 + 7 x − 9)
