3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial

MATEMÁTICAS I Propedéutico I. Maestría en Fisicoquímica

CAP. III ANÁLISIS VECTORIAL CAP. Producto triple escalar y vectorial Benjamín Sánchez Rodríguez

CINVESTAV CINVESTA V - Unidad Mérida

Contenido 

Producto triple escalar y vectorial. 

Introducción.



Producto escalar triple.



Producto vectorial triple.



Aplicaciones.

MATEMATICAS I. PROPEUTICO I-FQ




Introducción 



En ocasiones, en las aplicaciones de vectores se presentan dos triples productos. productos. Uno es el producto A∙(BxC), denominado triple producto escalar de los vectores A, B y C (de hecho, los paréntesis no son necesarios ya que A∙BxC puede interpretarse sólo en una manera puesto que A∙B es un escalar).

Ax(BxC) que se denomina triple producto vectorial de los vectores A, B y C. El otro triple producto es

Aquí los paréntesis deben mantenerse. Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.




Introducción 



En el triple producto escalar, el producto produce un vector vector,, el cual producto punto con un escalar .

BxC A da

El resultado del triple producto vectorial es un vector que es perpendicular a A y a BxC. El plano definido por B y C es perpendicular a BxC y así el producto triple yace en este plano (ver figura la figura 1).

Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34




Introducción z

B x C

A

y

C

B x

A x (B x C)

Figura 1: Los vectores B y C están en el plano xy plano xy.. BxC es perpendicular al plano xy y es mostrado aquí a lo largo del eje z . Entonces Ax(BxC) es perpendicular al eje z eje z y por lo tanto esta de regreso en el plano xy plano xy.. Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34



Producto escalar triple. 

Teorema 1 



Si A, B y entonces:

C son tres vectores cualesquiera de V3

A ∙ B x C = A x B ∙ C

Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.




Demostración del teorema 1 

Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)



A ∙ B x C = (a1,a2,a3) ∙ [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] i

j

k

(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) = b1 b2 b3 = (b2c3-c2 b b3, b3c1-c3 b b1, b1c2-c1 b b2) c1 c2 c3

b3, b3c1-c3 b b1, b1c2-c1 b b2) A ∙ B x C = (a1,a2,a3) ∙ (b2c3-c2 b b2c3-a1c2 b b3, a2 b b3c1-a2c3 b b1, a3 b b1c2-a3c1 b b2) A ∙ B x C = (a1 b b3-a3 b b2)c1 + (a3 b b1-a1 b b3)c2 + (a1 b b2-a2 b b1)c3 A ∙ B x C = (a2 b b3-a3 b b2, a3 b b1-a1 b b3, a1 b b2-a2 b b1) ∙ (c1,c2,c3) A ∙ B x C = (a2 b Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edición.




Demostración del teorema 1 Por definición (a2 b b3-a3 b b2, a3 b b1-a1 b b3, a1 b b2-a2 b b1) = A x B, entonces:

A ∙ B x C = A x B ∙ C Con lo cual queda demostrado demostrado el teorema 1.

Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edición.




Ejemplo 1 



Verificar el teorema 1 para los siguientes tres vectores: = (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)

Solución:     

B x C = (3i + 4 j + k ) x (-5i + j -4k ) B x C = 3k - 12(- j j) - 20(-k ) - 16i + 10 j - 2(-i) B x C = -14i + 22 j + 23k 22 + 46 A ∙ (B x C) = (1,-1,2) ∙ (-14,22,23) = -14 – 22 A ∙ (B x C) = 10


A




Ejemplo 1. Solución:



A x B = (i – j + 2k ) x (3i + 4 j - 2k ) A x B = 4k - 2(- j j) - 3(-k ) + 2i + 6 j + 8(-i) A x B = -6i + 8 j + 7k (A x B) ∙ C = (-6,8,7) ∙ (-5,1,-4) = 30 +8 - 28 (A x B) ∙ C = 10



Esto verifica el teorema 1 para estos tres vectores.

   




Producto vectorial triple. 

Teorema 2 



Si A, B y entonces:

C son tres vectores cualesquiera de V3

A x (B x C) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C





Demostración del teorema 2 

Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)



A x (B x C) = (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] i

j

k

(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) = b1 b2 b3 = (b2c3-c2 b b3, b3c1-c3 b b1, b1c2-c1 b b2) c1 c2 c3

Ahora (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] =

i

j

k

a1

a2

a3

b2c3-c2 b b3

b3c1-c3 b b1

b1c2-c1 b b2

http://www.licimep.org/ http://www .licimep.org/MateFisica/Calcu MateFisica/Calculo%20vectorial/Pr lo%20vectorial/Problemas/1%20Algebr oblemas/1%20Algebra%20vectorial/D a%20vectorial/Demostr emostr




Demostración del teorema 2 Expresamos nuevamente (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] como A x (B x C)

A x (B x C) = [a1(b1c2-c1 b b2) - a3(b3c1-c3 b b1), a3(b2c3-c2 b b3) - a1(b1c2c1 b b2), a1(b3c1-c3 b b1) - a2(b2c3-c2 b b3)] Lo cual se puede escribir como: b1(a2c2+a3 b b3) - c1(a2 b b2+a3 b b3), b2(a1c1+a3c3) A x (B x C) = [ b c2(a1 b b1+a3 b b3), b3(a1c1+a2c2) - c3(a1 b b1+a2 b b2)]

http://www.licimep.org/ http://www .licimep.org/MateFisica/Calcu MateFisica/Calculo%20vectorial/Pr lo%20vectorial/Problemas/1%20Algebr oblemas/1%20Algebra%20vectorial/D a%20vectorial/Demostr emostr




Demostración del teorema 2 b3) - c1(a1 b b1+a2 b b2+a3 b b3), A x (B x C) = [b1(a1c1+a2c2+a3 b b2(a2c2+a1c1+a3c3) - c2(a2 b b2+a1 b b1+a3 b b3), b3(a3c3+a1c1+a2c2) c3(a3 b b3+a1 b b1+a2 b b2)]

c2(A ∙ B), A x (B x C) = [b1(A ∙ C) - c1(A ∙ B), b2(A ∙ C) – c b3(A ∙ C) – c c3(A ∙ B)] A x (B x C) = (b1,b2,b3) ∙ (A ∙ C) - (c1,c2,c3) ∙ (A ∙ B) A x (B x C) = B (A ∙ C) – C (A ∙ B)

A x (B x C) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C Con lo cual queda demostrado el teorema 2. http://www.licimep.org/ http://www .licimep.org/MateFisica/Calcu MateFisica/Calculo%20vectorial/Pr lo%20vectorial/Problemas/1%20Algebr oblemas/1%20Algebra%20vectorial/D a%20vectorial/Demostr emostr




Ejemplo 2 



Verificar el teorema 2 para los tres vectores del ejemplo número 1: A = (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)

Solución: 

Del ejemplo 1 sabemos que:



B x C = -14i + 22 j + 23k



Entonces:

i

j k



A x (B x C) =

1

-1 2

= -23i - 28 j + 22k - 14k - 44i - 23 j

-14 22 23 

A x (B x C) = -67i - 51 j + 8k Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.




Ejemplo 2. Solución: 

(A ∙ C) = (1,-1,2) ∙ (-5,1,-4) = -5 - 1 - 8 = -14



(A ∙ B) = (1,-1,2) ∙ (3,4,-2) = 3 - 4 - 4 = -5



Así



(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = -14(3,4,2) – (-5) (-5) (-5,1,-4)



(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = (-42,-56,28) – (25,-5,20) (25,-5,20)



(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = (-67,-51,8)



(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = -67i - 51 j + 8k



Esto verifica el teorema 2 para estos tres vectores.




Aplicaciones 

Producto escalar triple 

 

El pr producto oducto escalar triple tiene una interpretación geométrica directa. Los tres vectores A, B y C pueden ser interpretados como la definición de un paralelepípedo (ver figura 2).

|B x C| = |B| |C| sen Θ |B x C| = área de la base del paralelogramo.




Aplicaciones 

Producto escalar triple z

C B x C

A y

x 

B

Figura 2. Paralelepípedo que representa el producto escalar triple.. triple Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34



Aplicaciones 

Producto escalar triple 



La dirección, por supuesto, es normal a la base. Haciendo el producto punto con A, esto significa multiplicar el área de la base, por la proyección de A sobre la normal, o la base tantas veces por la altura. Por lo tanto

|A ∙ B x C| = volumen del paralelepípedo definido por los vectores A, B y C.




Aplicaciones  

Producto escalar triple Ejemplo 3 



Dados los puntos A(1,2,-3), B(-1,1,-2), C(4,2,-1) y D(-1,0,1) del espacio. Verifique si los puntos son coplanares y en caso de que no sean coplanares, hallar el volumen del tetraedro determinado.

Solución: 

Lo primero que tenemos que saber es que: “tres vectores son coplanares si y sólo s ólo si: s i: el producto escalar triple de los l os tres vectores es igual a cero”. Lo anterior se deduce de que el volumen del paralelepípedo tendrá volumen cero si y sólo si los vectores que lo definen están en el mismo plano (y por tanto tendrá altura cero). http://www.itescam.edu.mx/prin http://www .itescam.edu.mx/principal/sylabus/f cipal/sylabus/fpdb/recursos/ pdb/recursos/r52212.PDF r52212.PDF




Producto escalar triple Ejemplo 3. Solución: 

  

Como tenemos un criterio de coplanares en términos de vectores y la pregunta está hecha en términos de puntos, debemos construir los vectores. Conviene que sea con origen en el mismo punto, digamos que tal punto es A. Sean U, V y W los vectores definidos como sigue:

A = (-1,1,-2) - (1,2,-3) = (-2,-1,1) U = B – A A = (4,2,-1) - (1,2,-3) = (3,0,2) V = C – A W = D – A = (-1,0,1) - (1,2,-3) = (-2,-2,4)





Aplicando el teorema 1 calculamos

i 

UxV=

j

k

-2 -1 1 3

UxV∙W:

= (-2-0)i+(3+4) j = -2i+7 j+3k j+(0+3)k =

0 2



U x V ∙ W = (-2,7,3) ∙ (-2,-2,4) = 4-14+12



U x V ∙ W = 2





El resultado anterior indica que los vectores no son coplanares ya que el producto escalar triple es diferente de cero, el valor absoluto de este resultado determina el volumen del paralelepípedo, el volumen del tetraedro es la sexta parte del volumen del paralelepípedo, luego:



Volumen del tetraedro = 2/6 = 1/3 unidades cúbicas.



Aplicaciones 

Producto vectorial triple 

El pr producto oducto vectorial triple tiene importantes aplicaciones en el desarrollo de ecuaciones de Física como por ejemplo en las de: Conservación del momento angular, Ecuaciones de Maxwell, Ecuación de onda, entre muchas más.



En el ejemplo 4 se muestra como se simplifica el desarrollo de una ecuación mediante la aplicación del teorema del pr del producto oducto vectorial vectorial triple.

Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecánica cuántica y al electromagnetismo.




Producto vectorial triple Ejemplo 4 

El momento angular de una partícula es dado por: L = rxP = mrxv, donde P es el momento lineal. Con la velocidad lineal y angular relacionadas por v = ωxr, demostrar que: 



mr² [ω - r0(r0 ∙ ω)] L = mr²

Donde r0 es un vector unitario en la dirección de r. para r∙ω = 0 esto se reduce a L = I ω, con el momento de inercia I inercia I dado por mr² mr² .




Aplicaciones   



Producto vectorial triple Ejemplo 4: Solución: Como v = ω x r y además m es una constante: (1)  L = m(r x v) = m[r x (ω x r)] Como se observa, esto es un producto vectorial triple por lo tanto aplicamos el teorema 2:

L = m[ω(r ∙ r) - r(r ∙ ω) ] (2) Si r0 es un vector unitario en la dirección de r, entonces:  r0 = r/r (3) r0  r = r r 





donde r es es la magnitud del vector

r


CINVESTAV - Unidad Mérida

Aplicaciones 

Producto vectorial triple Ejemplo 4: Solución:



Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 2:





L = m[ω(r r0 ∙ r r0) - r r0(r r0 ∙ ω) ] L = m[ωr² (r0 ∙ r0) - r² r0(r0 ∙ ω) ]  Como r0 ∙ r0 = |r |² = 1 L = mr² [ω - r0(r0 ∙ ω) ]



La ecuación 5 es la demostración a la que se quería llegar.

 

(4)

0

(5)



Bibliografía. 




Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edición.



Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34.



Rogan J. y Muñoz V. Apuntes de un curso de Introducción a la física Matemática. http://fisica.ciencias.uchile.cl/~jrogan/cursos/mfm1o03/mfm1b.pdf



González J. F. El Producto Vectorial. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/jfgh.pdf



Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecánica cuántica y al electromagnetismo. http://arxiv htt p://arxiv.org/pdf/1 .org/pdf/1103.2387.pdf 103.2387.pdf



Apuntes: Producto Vectorial. http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r52212.PDF



Apuntes: http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20 Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%20triple%20producto%20 Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%2 0triple%20producto%20 vectorial.pdf

3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial

Recommend Documents