INSTITUTO TECNOLOGICO DE CAMPECHE CARRERA: INGENIERA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL
RESUMEN 5° Parcial APLICACIÓN DE LAS DRIVADAS DRIVADAS ALUMNO: GIMENEZ ZUNZA MIGUEL
MAESTRO: Víctor Manuel Sánche Cru
GRADO 1ER SEMESTRE
GIMENEZ SUNZA JESUS MIGUEL
GRUPO: VS1
UNIDAD 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA 5.1.- RECTA NORMAL Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES. Una tan!ente a una cur"a e# una recta $ue toca la cur"a en un #olo %unto & t'ene la ('#(a %en)'ente $ue la cur"a en e#e %unto* Una nor(al a una cur"a e# una recta $ue e# %er%en)'cular a la tan!ente )e la cur"a* La tan!ente & la nor(al en un ('#(o %unto en cual$u'er #u%er+'c'e #'e(%re #on %er%en)'culare# entre #í* D'+erente# #oluc'one# #e %ue)en ut'l'ar %ara encontrar la ecuac',n )e la tan!ente )e cual$u'er cur"a & - !./0 en lo# %unto# /12 &1* La %en)'ente )e la tan!ente a la cur"a & - !./0 en lo# %unto# /12 &1 e#tá )a)a %or !3./102e# )ec'r2 el "alor )e la %r'(era )er'"a)a )e la +unc',n en /12 &1* El conce%to )e tan!ente & nor(al cont'ene )o# ca#o# e#%ec'ale#4 10* S' la %en)'ente )e la recta tan!ente e# 52 entonce# la recta tan!ente e# %aralela al e6e /* En tale# ca#o#2 la ecuac',n )e la tan!ente en el %unto /12 &1 e# & - &1* 70* S' la tan!ente e# %er%en)'cular al e6e /2 entonce# en e#e ca#o2 la %en)'ente t'en)e al 'n+'n'to & la recta tan!ente e# %aralela al e6e &* La ecuac',n #e con"'erte entonce# en / - /1* Otro t8r('no '(%ortante a#oc'a)o con el conce%to )e cur"a e# el )e la# cur"a# orto!onale#* Cuan)o )o# o (á# cur"a# #e 'nter#ectan %er%en)'cular(ente entre #í2 entonce# #e le# conoce co(o cur"a# orto!onale#* La# tan!ente# )e la# cur"a# orto!onale# #on %er%en)'culare# entre #í* A)e(á#2 el %ro)ucto )e #u# %en)'ente# e# 91* E#ta# %ro%'e)a)e# %ue)en #er (u& :t'le# %ara la )eter('nac',n )e cur"a# orto!onale#* Por e6e(%lo4 Su%on!a(o# la recta & - .1 ; Encuentre la %en)'ente )e & - .1 ; )&>)/ - )..1 ;
0 / & la recta & - .1 <
0/2 o=tene(o#
0/0 > )/
-1; Del ('#(o (o)o2 %ara la recta & - .1 <
0/2 la %en)'ente re#ulta #er 1
< Mult'%l'can)o la %en)'ente )e e#ta# )o# recta#2 o=tene(o# (1*(7 - .1 ; 0* .1 < 0 (1*(7 - < 1 Por tanto2 e#ta# )o# recta# #e )'ce $ue #on orto!onale#2 e# )ec'r2 #e 'nter#ectan entre #í en án!ulo )e ?5 @*
GIMENEZ SUNZA JESUS MIGUEL
0/
5.2.- TEOREMA DE ROLLE TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO. El teore(a )e "alor (e)'o .)e La!ran!e02 teore(a )e lo# 'ncre(ento# +'n'to#2 teore(a )e onnet< La!ran!e o teoría )el %unto (e)'o e# una %ro%'e)a) )e la# +unc'one# )er'"a=le# en un 'nter"alo* Al!uno# (ate(át'co# con#')eran $ue e#te teore(a e# el (á# '(%ortante )e cálculo ."er ta(='8n elteore(a +un)a(ental )el cálculo 'nte!ral0* El teore(a no #e u#a %ara re#ol"er %ro=le(a# (ate(át'co#B (á# ='en2 #e u#a nor(al(ente %ara )e(o#trar otro# teore(a#* El teore(a )e "alor (e)'o %ue)e u#ar#e %ara )e(o#trar el teore(a )e Ta&lor &a $ue e# un ca#o e#%ec'al* El Teore(a )e Rolle a+'r(a $ue #' + e# una +unc',n "alora)a real la cual e# cont'nua en el 'nter"alo cerra)o a2 = & )'+erenc'al en el 'nter"alo a='erto .a2 =0 tal $ue + .a0 - + .=02 entonce# e/'#te un %unto en el 'nter"alo a='erto .a2 =0 )on)e la %en)'ente )e la tan!ente traa)a en e#e %unto e# 5* Con#')ere una +unc',n "alora)a real $ue e# cont'nua en un 'nter"alo cerra)o a2 = & )'+erenc'a=le en el 'nter"alo a='erto .a2 =0 tal $ue el "alor )e la +unc',n e# '!ual en lo# e/tre(o# +'nale#* Da)o $ue e# )'+erenc'a=le en el 'nter"alo a='erto .a2 =02 %or tanto2 %ue)e tener tan!ente# en "ar'o# %unto# )e la !rá+'ca )e la +unc',n* S'n e(=ar!o2 ha=rá al (eno# un %unto en la !rá+'ca )on)e la tan!ente #erá %aralela al e6e & %or tanto #u %en)'ente #erá 5*
La 'nter%retac',n !eo(8tr'ca )el teore(a )el "alor (e)'o no# )'ce $ue ha& un %unto en el $ue la tan!ente e# %aralela a la #ecante*
GIMENEZ SUNZA JESUS MIGUEL
5. !UNCIÓN CRECIENTE " DECRECIENTE# M$%IMOS " M&NIMOS DE UNA !UNCIÓN# CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. La )e+'n'c',n )e +unc',n e#tr'cta(ente cr'ci'()' * +'cr'ci'()' en un %unto #e o=t'ene #'n (á# $ue #u#t'tu'r el #í(=olo %or & el H %or el * E# %rec'#o )'+erenc'ar el #'!n'+'ca)o )e +unc',n crec'ente o )ecrec'ente en un 'nter"alo )el )e +unc',n crec'ente o )ecrec'ente en un %unto* J Una función e# creciente en un intervalo a,b #' al to(ar )o# %unto# cuale#$u'era )el ('#(o2 x 1 & x 72 con la con)'c',n x 1 x 72 #e "er'+'ca $ue f . x 1 0 f . x 7 0*
Se )'ce estrictamente creciente #' )e x 1 x 7 #e )e)uce $ue f(x 1 ) < f(x 7 ).
J Una función e# decreciente en un intervalo a,b #' %ara cuale#$u'era %unto# )el 'nter"alo2 x 1
& x 72
$ue cu(%lan x 1 x 72 entonce# f(x 1 ) H f(x 7 )* S'e(%re $ue )e x 1 x 7 #e )e)uca f(x 1 ) > f(x 7 )2 la +unc',n #e )'ce estrictamente decreciente* CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA
Se lla(a Cr'ter'o )e la %r'(era )er'"a)a al (8to)o o teore(a ut'l'a)o +recuente(ente en el cálculo (ate(át'co %ara )eter('nar lo# (ín'(o# & (á/'(o# relat'"o# $ue %ue)en e/'#t'r en una +unc',n(e)'ante el u#o )e la %r'(era )er'"a)a o )er'"a)a %r'nc'%al2 )on)e #e o=#er"a el ca(='o )e #'!no2 en un 'nter"alo a='erto #eKala)o $ue cont'ene al %unto crít'co * Sea un %unto crít'co )e una +unc',n $ue e# cont'nua en un 'nter"alo a='erto $ue cont'ene a * S' e# )er'"a=le en el 'nter"alo2 e/ce%to %o#'=le(ente en 2 entonce# co(o #'!ue* 1* S'
en
ca(='a )e %o#'t'"a a ne!at'"a en 2 entonce#
%ue)e cla#'+'car#e
t'ene un (á/'(o relat'"o
*
7* S' *
ca(='a )e ne!at'"a a %o#'t'"a en 2 entonce#
* S' e# %o#'t'"a en a(=o# la)o# )e e# n' un (ín'(o n' un (á/'(o relat'"o*
t'ene un (ín'(o relat'"o en
o ne!at'"a en a(=o# la)o# )e c2 entonce#
5.4.- ANÁLISIS DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES. GIMENEZ SUNZA JESUS MIGUEL
no
En +unc',n )e "ar'ac',n acota)a2 ta(='8n conoc')o co(o V +unc',n2 e# un nu(ero real con "alore# )e +unc',n cu&a "ar'ac',n total e#tá l'('ta)o .+'n'to04 la !rá+'ca )e una +unc',n con e#ta %ro%'e)a) #e co(%orta ='en en un #ent')o %rec'#o* Para una +unc',n cont'nua )e una #ola "ar'a=le2 %or #er )e "ar'ac',n acota)a #'!n'+'ca $ue la )'#tanc'a a lo lar!o )e la )'recc',n )e la &E6e#2 )e6an)o )e la)o la contr'=uc',n )el (o"'('ento a lo lar!o )e / E6e#2 $ue recorre un %unto (o"'('ento a lo lar!o )e la !rá+'ca t'ene un "alor +'n'to* Para una +unc',n cont'nua )e "ar'a# "ar'a=le#2 el #'!n'+'ca)o )e la )e+'n'c',n e# la ('#(a2 e/ce%to %or el hecho )e $ue la tra&ector'a cont'nua $ue #e con#')era $ue no %ue)e #er to)o el !rá+'co )e la +unc',n )a)a .$ue e# un h'%er#u%er+'c'e en e#te ca#o02 %ero %ue)e #er ca)a 'nter#ecc',n )e la %ro%'a !rá+'ca con un h'%er%lano .en el ca#o )e +unc'one# )e )o# "ar'a=le#2 una %lano0 %aralelo a un +'6o /E6e# & al & E6e#
5.5.- CALCULO DE APRO%IMACIONES USANDO LA DI!ERENCIAL Se )e+'ne en e#ta #ecc',n el conce%to )e la )'+erenc'al2 $ue no# %er('te re%re#entar la )er'"a)a co(o un coc'ente & hallar el "alor a%ro/'(a)o )e la "ar'ac',n )e una +unc',n alre)e)or )e un %unto* La )e+'n'c',n e#ta (ot'"a)a %or el #'!u'ente raona('ento !eo(8tr'co* Sea P./52 &50 un %unto +'6o #o=re la !rá+'ca )e & - + ./0 To(an)o el %unto P./52 &50 co(o or'!en2 #e 'ntro)uce un nue"o #'#te(a )e coor)ena)a# cu&o# e6e# )/ & )&#on %aralelo# a lo# e6e# ant'!uo#* En e#te nue"o #'#te(a )e coor)ena)a#2 la recta tan!ente en el %unto P %a#a %or el or'!en & en con#ecuenc'a2 #u ecuac'n e# =a#tante #'(%le2 a #a=er4 )& - ()/2 )on)e ( e# la %en)'ente* Ahora2 co(o la %en)'ente en el nue"o #'#te(a e# la ('#(a $ue la )el ant'!uo2 e#to e# ( - + Q./02 #e t'ene entonce#4 )& - + Q./0 )/ Lo anter'or no# %er('te )ar la )e+'n'c',n +or(al )e la# )'+erenc'al*
GIMENEZ SUNZA JESUS MIGUEL
5.6.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS La o%t'('ac',n #e re+'ere al t'%o )e %ro=le(a $ue #e ocu%a )e la )eter('nac',n )e la +or(a (á# a%ro%'a)a %ara real'ar c'erta tarea* Con el +'n )e re#ol"er e#to# %ro=le(a#2 #e calculan lo# "alore# (ín'(o# & (á/'(o# )e la +unc',n* E#to# 'nclu&en encontrar la )'#tanc'a (ín'(a %ara lle!ar a un %unto2 el co#to (ín'(o %ara hacer )eter('na)a o%erac',n2 etc* La +unc',n cu&o (á/'(o o (ín'(o nece#'ta )eter('na#e %or lo !eneral e#tá #u6eta a c'erta# re#tr'cc'one# $ue )e=en to(ar#e en cuenta* E#to# %ro=le(a# #on )'+erente# a lo# %ro=le(a# ut'l'a)o# %ara encontrarlo# "alore# (ín'(o# o (á/'(o# locale#* Lo# Pro=le(a# )e o%t'('ac',n #,lo #e ocu%an )e lo# "alore# (á/'(o# o (ín'(o# $ue una +unc',n %ue)e to(ar & no )el (ín'(o o (á/'(o en un 'nter"alo* E# )ec'r2 la o%t'('ac',n =u#ca el (ín'(o o (á/'(o !lo=al .a=#oluto0 & no el local* El (ín'(o o (á/'(o a=#oluto e# el (a&or entre el (ín'(o o (á/'(o local2 re#%ect'"a(ente* Pue)e ha=er ca#o#2 )on)e el (ín'(o o (á/'(o !lo=al no e/'#te %ara una +unc',n*
GIMENEZ SUNZA JESUS MIGUEL
