2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior ■ Encontrar la derivada de una función por la regla del producto. ■ Encontrar la derivada de una función por la regla del cociente. ■ Encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas. ■ Encontrar las derivadas de orden superior de una función.
La regla del producto En la sección 2.2 se vio que la derivada de una suma de dos funciones es simplemente la suma de sus derivadas. La regla para derivar el producto de dos funciones no es tan simple.
TEOREMA 2.7 LA REGLA DEL ROD!"TO El producto de dos funciones derivables ƒ y g también es derivable. Además Además su derivada es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la derivada de la primera por la segunda. d ' f ( ( x ) g ( x ) ] = f ( ( x ) g ( x ) + g ( x x ) f ' ( x ) [ dx
Algunas demostraciones demostraciones matemátic m atemáticas as como en el caso de la regla de la suma DEMO#TRA"$%& Algunas son directas. !tras requieren pasos inteligentes cuyo motivo puede resultar imperceptible para el lector. Esta demostración presenta uno de esos pasos sumar y restar una misma cantidad la cual se muestra en distinto color. f ( ( x + ∆ x ) g ( x +∆ x )− f ( ( x x ) g ( x ) d [ f ( ( x ) g ( x ) ] = lim dx ∆x ∆ x →0
¿
lim ∆ x→ 0
¿
f ( ( x + ∆ x ) g ( x + ∆ x )−f ( ( x + ∆ x ) g ( x ) + f ( ( x + ∆ x ) g ( x )− f ( ( x ) g ( x ) ∆x
[
lim f ( ( x x + ∆ x ) ∆ x→ 0
]
[
g ( x + ∆ x )− g ( x ) f ( ( x + ∆ x )− f ( ( x ) + lim g ( x ) ∆x ∆x ∆x→0 lim g ( x + ∆ x )− g ( x )
¿
lim f ( ( x + ∆ x ) .
∆ x→ 0
∆x
∆ x→0
]
lim f ( ( x + ∆ x )− f ( ( x )
+ lim g ( x ) . ∆ x→ 0
∆x → 0
∆x
¿ f ( ( x ) g' ( x )+ g ( x ) f ' ( x )
!bservar que
lim f ( ( x + ∆ x )= f ( ( x ) ∆ x→0
porque se considera que ƒ es derivable y por tanto continua.
&OTA Algunas personas prefieren prefieren la siguiente siguiente versión versión de la regla del producto producto d [ f ( ( x ) g ( x )]= f ' ( ( x x ) g ( x x ) + f ( ( x ) g ' ( x ) dx La venta"a de esta forma radica en que se puede generali#ar con facilidad a multiplicaciones con tres o más factores. La regla del producto es e$tensiva a multiplicaciones con más de dos factores. %or e"emplo si ƒ g y h son funciones derivables de x entonces d ' f ( ( x ) g ( x ) h ( x ) ]= f ' ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( ( x ) g ( x ) h' ( x ) [ dx
%or e"emplo la derivada de
2
y = x senx cos x
es
dy 2 2 2 =2 x sen x cos x + x2 cos x cos x + x 2 sen sen x (−sen sen x )=2 x s en x cos x + x ( cos x − sen x ) dx
&OTA La prueba de la regla del producto para productos de más de dos factores se de"a al lector como e"ercicio &ver el e"ercicio '(').
LA REGLA DEL PRODUCTO
Cuando Leibniz elaboró originalmente una fórmula para la regla del producto, lo hizo motivado por la expresión
( x + dy ) ( y + dy )− xy de la cual restó
dx dy
(considerándolos despreciables) y calculando la forma diferencial
x dy + y dx . sta derivación tuvo como resultado la forma tradicional de la regla del
producto. (Fuente Fuente!! The History of Mathematics de "avid #. $urton) En términos generales la derivada del producto de dos funciones no está dada por el producto de 2 x ) =3 x −2 x sus derivadas. %ara observarlo basta con comparar el producto de las derivadas de ƒ ( x y
g ( x x ) =5 + 4 x
con la derivada obtenida en el e"emplo '.
EJEMPLO 1 Aplicaci'n de la regla del producto ncontrar la derivada de
#oluci'n
h ( x )=( 3 x −2 x
2
) ( 5 + 4 x ) .
h ( x )= ( 3 x −2 x '
2
) d [ 5 + 4 x ] + ( 5 + 4 x ) d [ 3 x − 2 x ] Aplicar la regladel producto . 2
dx
dx
¿ ( 3 x −2 x 2 ) ( 4 ) + ( 5 + 4 x ) ( 3− 4 x ) ¿ ( 12 x −8 x2 ) +( 15− 8 x −16 x 2 )
¿− 24 x 2+ 4 x + 15 En el e"emplo ' se cuenta con la opción de calcular la derivada con o sin la regla del producto. *in ella se escribir+a 2 3 2 2 D x ( 3 x − 2 x ) ( 5 + 4 x ) = D x [ −8 x + 2 x + 15 x ] =−24 x + 4 x + 15
[
]
En el siguiente e"emplo se debe utili#ar la regla del producto.
EJEMPLO 2 Aplicaci'n de la regla del producto 2
Encontrar la derivada de
y =3 x senx.
#oluci'n d 2 2 d [ sen x ] + sen x d [ 3 x2 ] Aplicarlaregladel producto. 3 x sen x ]=3 x [ dx dx dx
¿ 3 x2 cos x +( sen x )( 6 x ) ¿ 3 x2 cos x +6 x sen x ¿ 3 x ( cos x +2 senx ) EJEMPLO 3 Aplicación de la regla del producto
ncontrar la derivada de
y =2 x cos x −2 sen x .
#oluci'n
(
)
(
) (
dy d d d =( 2 x ) [ cos x ] + ( cos x ) [ 2 x ] −2 [ sen x ] dx dx dx dx x cos ¿ ¿ ( 2 x ) (−sen x )+ ( cos x ) ( 2 )− 2 ¿
)
¿− 2 x sen x
&OTA %bservar &ue en el e'emplo se usa la regla del producto cuando ambos factores son variables, y la del mltiplo constante cuando uno de ellos es constante.
La regla del cociente TEOREMA 2.( LA REGLA DEL "O"$E&TE El cociente ƒ, g de dos funciones derivables ƒ y g también es derivable para todos los valores de x para los que g ( x ) ≠ 0. Además la derivada de ƒ, g se obtiene mediante el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador todo dividido entre el cuadrado del denominador.
[ ]
g ( x ) f ( x )−f ( x ) g ' ( x ) d f ( x ) = , g ( x ) ≠ 0 2 dx g ( x ) [ g ( x ) ] '
DEMOSTRACIÓN *l igual &ue en la demostración del teorema +., la clave radica en sumar y restar una misma cantidad. f ( x +∆ x ) f ( x ) − g ( x + ∆ x ) g ( x ) d f ( x ) = lim Definiciónde derivada. dx g ( x ) ∆ x → 0 ∆x
[ ]
¿
lim
g ( x ) f ( x + ∆ x )−f ( x ) g ( x + ∆ x ) ∆ x g ( x ) g ( x + ∆ x )
∆ x→0
¿
lim ∆ x→0
lim
¿ ∆x →0
g ( x ) f ( x + ∆ x )−f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x )− f ( x ) g ( x +∆ x ) ∆ x g ( x ) g ( x + ∆ x ) g ( x ) [ f ( x + ∆ x ) −f ( x ) ] f ( x ) [ g ( x + ∆ x )− g ( x ) ] − lim ∆x ∆x ∆x → 0 lim [ g ( x ) g ( x + ∆ x ) ] ∆ x→ 0
g ( x ) lim
¿
[ f ( x + ∆ x ) −f ( x )] −f ( x ) lim [ g ( x + ∆ x )− g ( x )] ∆x
∆x → 0
[
lim g ( x ) g ( x + ∆ x ) ∆ x→ 0
g ( x ) f ( x )− f ( x ) g ' ( x ) '
¿
∆x → 0
[ g ( x )]
2
]
∆x
lim g ( x + ∆ x ) = g ( x )
!bservar que
∆ x→ 0
porque se considera que g es derivable y por tanto es
continua.
TECNOLOGA n una herramienta de gra-cación se pueden comparar las grá-cas de una función y de su derivada. or e'emplo, en la -gura +.++, la grá-ca de la función del e'emplo / parece incluir dos puntos con rectas tangentes horizontales. 0Cuáles son los valores de y - en dichos puntos1
EJEMPLO 4 Aplicaci'n de la regla del cociente Encontrar la derivada de
y =
5 x −2 2
x + 1
#oluci'n
( x +1 ) d [ 5 x −2 ]− (5 x −2 ) d [ x +1 ] 2
[
]
d 5 x −2 = dx x 2 + 1
2
dx
( x + 1 ) 2
( x +1 ) (5 )−(5 x −2 ) ( 2 x ) ¿ ( x +1 ) 2
2
¿
−5 x 2+ 4 x + 5 ( x 2+1 )2
dx
2
2
%bservar el uso de los par2ntesis en el e'emplo /. s recomendable utilizar par2ntesis en todos los problemas de derivación. or e'emplo, cuando se usa la regla del cociente, es conveniente encerrar todo factor y derivada en un par2ntesis y prestar especial atención a la resta exigida en el numerador. *l presentar las reglas de derivación en la sección precedente, se hizo hincapi2 en la necesidad de reescribir antes de derivar. l e'emplo siguiente ilustra este aspecto en relación con la regla del cociente.
EJEMPLO 5 Reescri)ir antes de derivar Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x )=
3−( 1 / x )
x + 5
en (−1, 1 )
Solución Comenzar por reescribir la función. f ( x )=
3−( 1 / x )
x + 5
( )
Funciónoriginal .
1
¿
¿
x 3 − x
x ( x + 5 ) 3 x −1 2
x + 5 x
Multiplicar por x a nuerador y denoinador ,
!eescri"ir .
( x +5 x ) ( 3 )−( 3 x −1 ) ( 2 x +5 ) f ( x )= !egla del cociente . ( x +5 x ) 2
'
2
2
( 3 x 2 +15 x ) −( 6 x 2 + 13 x −5 ) ¿ ( x 2 + 5 x )2 ¿
−3 x 2+ 2 x +5 #iplificar. 2 2 ( x +5 x )
on ob"eto de encontrar la pendiente en
(−1,1 ), evaluar ƒ $ (−1 ).
ƒ $ (−1 )=0 %endiente de la gr&fica en (−1, 1) .
Luego utili#ando la forma punto/pendiente de la ecuación de una recta se puede determinar que la ecuación de la recta tangente en ese punto es y =1 . 0er la figura 2.21.
o todo cociente requiere ser derivado mediante la regla del cociente. %or e"emplo cada uno de los cocientes del e"emplo siguiente se puede considerar como el producto de una constante por una función de x de modo que es más sencillo aplicar la regla del m3ltiplo constante.
EJEMPLO 6 Aplicaci'n de la regla del *+ltiplo constante Función original 2
a ¿ y =
x + x 6
y=
Reescribir
Derivar
Simplificar
1 2 ( x + x ) y ' = 1 ( 2 x + 3 ) y ' = 2 x +3 6 6 6
4
5 x 5 4 ' 5 5 3 3 ' " ¿ y = y = ( x ) y = ( 4 x ) y = x 8 8 8 2
c ¿ y =
−3 (3 x −2 x 2)
d ¿ y =
7 x
9 5 x
2
y=
y=
−3 (3 7
−2 x ) y ' =
−3 ( 7
−2 ) y ' =
6 7
9 −2 ' 9 ( x ) y = ( −2 x−3 ) y' = −183 5 5 5 x
&OTA ara distinguir la venta'a de la regla del mltiplo constante en ciertos cocientes, tratar de calcular las derivadas del e'emplo 3 mediante la regla del cociente. 4e llegará al mismo resultado, pero con un esfuerzo mucho mayor.
En la sección 2.2 se demostró la regla de la potencia sólo para e$ponentes n enteros mayores que '. En el e"emplo que sigue se ampl+a esa demostración a e$ponentes enteros negativos.
EJEMPLO 7 De*ostraci'n de la regla de la potencia e-ponentes enteros negativos *i n es un entero negativo e$iste un entero positivo k tal que
n =− . %or tanto usando la regla
del cociente se puede escribir d n [ x ]= d 1 = x ( 0 )−( 1 ) 2( x dx dx x ( x )
[ ]
¿
0 − x
x
−1
)
!egla del cociente y reglade la potencia .
− 1
2
¿− x − −1 ¿ n x n−1 . n=− . 4e tal modo la regla de la potencia d n n−1 [ x ] =n x !egladela potencia . dx es válida para todo entero. En el e"ercicio 56 de la sección 2.7 se pide demostrar el caso en el que n es cualquier n3mero racional.
Derivadas de las /unciones trigono*0tricas onocidas las derivadas de las funciones seno y coseno la regla del cociente permite establecer las de las cuatro funciones trigonométricas restantes.
TEOREMA 2.1 DER$ADA# DE LA# !&"$O&E# TR$GO&OM4TR$"A# d [ tan x ] =sec2 x d [ cot x ] =−csc2 x dx dx d [ sec x ]= sec x tan x d [ cscx ] =−csc x cot x dx dx
DEMO#TRA"$%& onsiderando tan x =( senx )/( cos x ) y aplicando la regla del cociente se obtiene ( cos x ) ( cos x )−( sen x ) (− sen x ) d Aplicar la regla del cociente [ tan x ] = d sen x = 2 dx
[ ]
dx cos x
cos x
2
¿
¿
2
cos x + sen x 2
cos x
1 2
cos x
¿ sec 2 x La demostración de las otras tres partes del teorema se de"a como e"ercicio &ver el e"ercicio 89).
EJEMPLO 8 Derivaci'n de /unciones trigono*0tricas Función
Derivada
a ¿ y = x − tan x
dy =1− sec2 x dx
" ¿ y = x sec x y = x ( sec x tan x ) + ( secx ) ( 1 )=( sec x )( 1 + xtanx ) '
EJEMPLO 9 Di/erentes /or*as de una derivada "erivar ambas formas de y =
1−cos x
sen x
=csc x −cot x
Solución Primera forma:
y=
1−cos x
sen x
( sen x ) ( sen x )−( 1− cos x ) ( cos x ) sen2 x + cos2 x −cos x 1−cos x y = = = 2 2 2 '
sen x
sen x
sen x
Segunda forma: y = cscx −cot x '
2
y =−cscx cot x + csc x
ara demostrar &ue ambas derivadas son id2nticas, basta escribir 1 −cos x 2
sen x
=
1 2
sen x
−
( )( ) 1
cos x
sen x
sen x
=csc 2 x −csc x cot x
El siguiente compendio muestra que gran parte del traba"o necesario para obtener la forma simplificada de una derivada se debe :acer después de derivar. !bservar que dos caracter+sticas de una forma simplificada son la ausencia de e$ponentes negativos y el agrupamiento de términos seme"antes.
Derivadas de orden superior As+ como al derivar una función posición se obtiene una función velocidad al derivar esta 3ltima se obtiene una función aceleraci'n. En otras palabras la función aceleración es la segunda derivada de la función posición. s ( t ) Función posición . v ( t )=s ( t ) Función velocidad . '
a ( t )=v ( t ) =s ( t ) Funciónaceleración. '
' '
t a ¿ ) es la
La función dada por
segunda derivada de s ( t ) y se denota como s ' ' ( t ) .
La segunda derivada es un e"emplo de derivada de orden superior . *e puede definir derivadas de cualquier orden entero positivo. %or e"emplo la tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. Las derivadas de orden superior se denotan como se muestra a continuación. '
'
%rieraderivada : y , f ( x ) ,
dy d , [ f ( x ) ] , D x [ y ] dx dx 2
2
d y d 2 #egunda derivada : y , f ( x ) , , f ( x ) ] , D x [ y ] 2 2 [ dx dx ' '
' '
3
3
4
4
d y d 3 (erceraderivada : y , f ( x ) , , f ( x ) ] , D x [ y ] 3 3 [ d x dx ' ' '
)uartaderivada : y
(4 )
' ' '
d y d , f ( x ) , , [ f ( x )] , D x4 [ y ] 4 4 dx dx (4 )
⋮ n
n
d y d n n −*siaderivada : y , f ( x ) , , f ( x ) ] , D x [ y ] n n [ dx dx ( n)
( n)
EJEMPLO 10 Aceleraci'n de la gravedad %uesto que la Luna carece de atmósfera un ob"eto que cae en ella no encuentra resistencia del aire. En '95' el astronauta 4avid *cott verificó que una pluma de ave y un martillo caen con la misma velocidad. La función posición para cada uno de esos ob"etos es 2 s ( t )=−0.81 t + 2 donde
s ( t ) es la altura en metros y t el tiempo en segundos. ;uál es la relación entre la fuer#a
de gravedad de la
#oluci'n %ara calcular la aceleración derivar dos veces la función posición. 2 s ( t )=−0.81 t + 2 Función posición. s ( t )=−1.6 t Funciónvelocidad . '
s ( t )=−1.62 Función aceleración . ' '
4e esta forma resulta que la aceleración de la gravedad en la Luna es de la aceleración de la gravedad en la
−9,8
2
s
,
−1.62 / s 2 . %uesto que
la fuer#a de gravedad de la
La masa de la Luna es de
22
7.349 1 0
5g y la de la 6ierra
24
5.976 1 0
5g. l radio de la
Luna es 7 5m y el de la 6ierra 3 8 5m. uesto &ue la fuerza de gravedad de un planeta es directamente proporcional a su masa e inversamente proporcional al cuadrado de su radio, la razón entre las fuerzas de gravedad en la Luna y en la 6ierra es
( 5.976 10 ) / 6378 - 6.0 ( 7.349 1 0 ) /1737 24
2
22
2
!"# E$ercicio% En los e5ercicios 6 a , utili8ar la regla del producto para derivar la /unci'n " 1. g ( x )=( x
2
+ 3 ) ( x 2− 4 x )
2. f ( x )=( 6 x + 5 ) ( x
3
−2)
3. h ( t )= √ t ( 1−t ) 2
4. g ( s )=√ s ( s
2
+8)
5. f ( x ) = x cos x 3
6. g ( x ) = √ x sen x
En lo% e$ercicio% & a '!( utili)ar la regla del cociente para deri*ar la +unción"
x
7. f ( x ) =
2
x + 1
8 . g ( t )=
2
t + 4 5 t −4
√ x
9 . h ( x ) =
3
x + 1
10 .h ( s ) =
s √ s −1
11 . g ( x )=
sen x
12 . f ( t )=
x
2
cos t 3
t
En lo% e$ercicio% '# a ',( encontrar ƒ -- x . / ƒ --c." Función
Valor de c
13. f ( x ) =( x
3
+ 4 x ) ( 3 x 2+ 2 x −5 ) c = 0
14. f ( x ) =( x
2
−2 x +1 ) ( x 3−1 ) c =1 2
x − 4 15. f ( x ) = c =1 x −3 x + 5 c = 4 x −5
16. f ( x ) =
17. f ( x ) = xcos x c =
18. f ( x ) =
/ 4
sen x / c= 4 x
En los e5ercicios 61 a 29, co*pletar la ta)la sin usar la regla del cociente. Función original
Reescribir
Derivar
Simplificar
2
x + 3 x
19. y =
7
20. y =
5 x
21. y =
6
22. y =
23. y =
2
−3
4
7 x
2
10 3 x
4 x
3
3/ 2
x 2
5 x −8 24. y = 11
En lo% e$ercicio% !0 a #,( encontrar la deri*ada de la +unción alge1raica" 25. f ( x )=
4 −3 x − x
2
2
x −1
3 x + 5 x + 3 ( ) 26. f x = 2 x −1
(
27. f ( x )= x 1−
4
4
x +3
(
28. f ( x )= x 1−
29. f ( x )=
2
x +1
3 x −1
√ x
30. f ( x ) =√ x ( √ x + 3 ) 3
31. h ( s )=( s
3
−2 )
)
2
)
32. h ( x )=( x
2
2
−1 ) 1
2− 33. f ( x ) =
x
x −3
34. g ( x )= x
2
(
2
x
35. f ( x ) =( 2 x
3
36. f ( x ) =( x
3
−
1
x + 1
)
+ 5 x ) ( x −3 ) ( x + 2 )
− x ) ( x2 + 2 ) ( x 2 + x −1 )
2
2
2
2
2
2
x + c 37. f ( x ) = 2 c es una constante 2 x − c
37. f ( x ) =
c − x c + x
c es una constante
En los e5ercicios 31 a :9 encontrar la derivada de la /unci'n trigono*0trica. 39. f ( t ) =t sent 2
40. f ( 0 ) =( 0 + 1 ) cos 0
41. f ( t )=
cos t
42. f ( x )=
t sen x x
3
43. f ( x )=− x + tan x 44. y = x + cot x 45. g ( t )= √ t + 6 csct 4
46. h ( x )=
1
x
47. y =
48. y =
−12 sec x
3 ( 1− sen x ) 2cos x
sec x x
49. y =−csc x − sen x 50. y = xsen x + cos x 51. f ( x ) = x tan x 2
52. f ( x ) =sen xcos x
2
53. y =2 xsen x + x cos x 53. h ( 0 )=5 0sec0 +0 tan 0
En lo% e$ercicio% 00 a 0,( u%ar un progra2a de c3lculo para deri*ar la% +uncione%" 55. g ( x )=
( )
x + 1 ( 2 x −5 ) x + 2
(
2
)
x − x −3 2 ( x + x + 1 ) 56. f ( x ) = 2 x + 1
57. g ( 0 ) =
0 1 −sen0
58. f ( 0 )=
sen0 1−cos 0
En los e5ercicios :1 a 2, evaluar la derivada de la /unci'n en el punto ;ue se indica. !tili8ar una
Punto
59. y =
(
)
1 + cscx / , − 3 1 − csc x 6
60 . f ( x )= tan x cot x ( 1,1 )
(
1 sect / ,− t /
61. h ( t )=
)
x senx + cos ¿
¿ 62. f ( x )=senx ¿
En los e5ercicios 3 a (, a encontrar la ecuaci'n de la recta tangente a la gr=/ica de f en el punto ;ue se indica, b utili8ar una
3
+ 4 x −1 ) ( x −2 ) ( 1, 4 )
64 . f ( x )=( x + 3 ) ( x
65 . f ( x ) =
x
x + 4
2
−2 ) (−2, 2)
(−5,5 )
x −1 1 ( 2, ) 3 x + 1
66 . f ( x )=
/
67 . f ( x )= tan x ( , 1) 4
68 . f ( x ) =sec x (
/ 3
,2)
Curvas famosas En lo% e$ercicio% 45 a &!( encontrar la ecuación de la recta
tangente a la gr36ca en el punto dado -la% cur*a% de lo% e$ercicio% 45 / &7 %e conocen co2o Brujas de Agnesi " La% cur*a% de lo% e$ercicio% &' / &! de deno2inan serpeninas."
En los e5ercicios 73 a 7, deter*inar el punto o los puntos donde la gr=/ica tiene tangente
73 . f ( x ) =
74 . f ( x )=
75 . f ( x ) =
2 x −1
x x
2
2
2
x + 1 x
2
2
x −1
76 . f ( x )=
x −4 2
x −7
77. Rectas tangentes Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de paralelas a la recta
2 y + x =6.
x + 1 ƒ ( x ) = x −1
4espués dibu"ar la gráfica de la función y las rectas tangentes.
7(. Rectas tangentes Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de
x ƒ ( x ) = x −1
(−1,5 ) . 4espués dibu"ar la gráfica de la función y las rectas tangentes.
que pasan por el punto
En los e5ercicios 71 y (>, veri/icar ;ue ƒ $ ( x )= g $ ( x ) , y e-plicar la relaci'n ;ue e-iste entre f y g . 3 x 5 x + 4 , g ( x )= x + 2 x + 2
79. f ( x ) =
80 . f ( x )=
sen x −3 x sen x + 2 x , g ( x ) = x x
En lo% e$ercicio% ,' / ,!( utili)ar la% gr36ca% de f / g( %iendo p ( x )= f ( x ) g ( x ) y 1 ( x )=
f ( x ) g ( x )
81. a ¿ 2ncontrar p ' ( 1)
" ¿ 2ncontrar 1 ' ( 4 ) 82 . a ¿ 2ncontrar p ' ( 4 )
" ¿ 2ncontrar 1 ' ( 7 )
(3. Área La longitud de un rectángulo está dada por
6 t + 5
y su altura es
√ t donde t es el
tiempo en segundos y las dimensiones están en cent+metros. Encontrar el ritmo de cambio del área respecto al tiempo.
(9. !"#$en El radio de un cilindro recto circular está dado por
√ t + 2
y su altura por
1 √ t , 2
donde t es el tiempo en segundos y las dimensiones se encuentran en pulgadas. Encontrar el ritmo de cambio del volumen respecto al tiempo.
(:. Re%!sici&n de inventari! El costo C de pedido y transporte de los elementos utili#ados para la fabricación de un producto es 200 x ) =100 + , x31 2 x + 30 x
(
)
donde C se mide en miles de dólares y x es el tama>o del pedido en cientos. Encontrar la ra#ón de cambio de C respecto a x cuando a) x =10 b) x =15 y c ) x =20. ;?ué implican estas ra#ones de cambio cuando el tama>o del pedido aumenta=
(. Le' de (!'"e Esta ley establece que si la temperatura de un gas permanece constante su presión es inversamente proporcional a su volumen. @tili#ar la derivada para demostrar que el ritmo de cambio de la presión es inversamente proporcional al cuadrado del volumen.
(7. )reci$ient! de$!gr*fic! @na población de 7 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de n3mero de acuerdo con la ecuación 4 t % (t )=500 1 + 2 50 + t
(
)
donde t se mide en :oras. alcular el ritmo de cambio al que está creciendo la población cuando t =2.
((. +#er,a gravitaci!na" La ley de la gravitación universal de eBton establece que la fuer#a F que e$iste entre dos masas m' y m2 es 4 1 2 F = 2 d donde G es una constante y d es la distancia entre ambas masas. Encontrar una ecuación que calcule el ritmo de cambio instantáneo de F respecto a d &suponer que m' y m2 representan puntos móviles).
(1. 4emostrar las siguientes reglas de derivación. a¿
d [ sec x ]= sec x tan x " ¿ d [ cscx ] =−csc x cot x dx dx
c¿
d [ cot x ] =−csc2 x dx
1>. Rit$! ! ve"!cidad de ca$bi! 4eterminar si e$iste alg3n valor de x en el intervalo ¿ tal que los ritmos de cambio de f ( x )= secx y de g ( x ) = cscx sean iguales. 16. M!de"! $ate$*tic! La siguiente tabla muestra las cantidades q &en millones) de computadoras personales embarcadas en Estados @nidos y los valores v &en miles de millones de dólares) de estos embarques durante los a>os '999 a 2(. La t representa el a>o y t =9 corresponde a '999. &Fuente !"S" Census #ureau.)
a) @tili#ar una :erramienta de graficación para encontrar los modelos c3bicos para el n3mero de computadoras personales embarcadas q&t ) y su valor v &t ) correspondiente. b) Cepresentar gráficamente cada uno de los modelos desarrollados al responder el apartado a). c ) Encontrar A = v ( t )/ 1 ( t ) , para obtener la gráfica $. ;?ué representa esta función= d ) Dnterpretar $-&t ) en el conte$to de estos datos.
12. -at."ites uando los satélites e$ploran la
0 que se muestra
en la figura. *i h representa la distancia que :ay entre el satélite y la superficie de la
a) 4emostrar que
h =r ( csc0 −1 ) .
b) Encontrar el ritmo al que cambia h respecto a
0
cuando
0=30 5
. &*uponer que
millas.)
En lo% e$ercicio% 5# a '77( encontrar la %egunda deri*ada de la +unción" 93. f ( x )= x
4
+ 2 x 3−3 x2 − x
94 . f ( x )=8 x
6
95 . f ( x )=4 x
3 /2
−10 x 5 + 5 x3
−2
96 . f ( x )= x + 3 2 x
97 . f ( x )=
x x −1
2 x + 2 x −1 ( ) 98 . f x =
x
99 . f ( x )= x sen x 100 . f ( x ) =sec x
En los e5ercicios 6>6 a 6>9, encontrar la derivada de orden superior ;ue se indica. 2 ' 101 . f ( x )= x , f ' ' ( x )
r =3960
2 '' 102 . f ( x ) =2− , f ' ' ' ( x )
x
(4 )
103 . f ( x ) =2 √ x , f ' ' '
( 4)
104 . f
( x )
( x )=2 x + 1 , f ( 6) ( x )
En los e5ercicios 6>: a 6>(, utili8ar la in/or*aci'n dada para encontrar f ' (2) . g ( 2 )=3 y g ( 2 )=−2 '
h ( 2 )=−1 y h ( 2 )= 4 '
105. f ( x ) =2 g ( x ) + h ( x ) 106 . f ( x )=4 −h ( x )
107 . f ( x )=
g ( x ) h ( x )
108 . f ( x ) =g ( x ) h ( x )
DE#ARROLLO DE "O&"ETO# 6>1. onstruir la gráfica de una función derivable f tal que f ' > 0 para 2 < x < 6 . E$plicar el ra#onamiento.
f ( 2 )= 0, f ' < 0 para
−6 < x < 2
y
66>. onstruir la gráfica de una función derivable f tal que f > 0 y f ' < 0 para todos los n3meros reales x . E$plicar el ra#onamiento.
En los e5ercicios 666 y 662 se *uestran las gr=/icas de f , f/ y f// so)re el *is*o plano cartesiano. ?"u=l es cu=l@ E-plicar el ra8ona*iento.
En lo% e$ercicio% ''# a ''4 %e 2ue%tra la gr36ca de f " Con%truir la% gr36ca% de f! / f!! "
667. ce"eraci&n La velocidad en m,s de un ob"eto es v ( t )=36 −t , 0 7t 7 6. alcular su velocidad y su aceleración cuando t =3 . ;?ué se puede decir acerca de la rapide# del ob"eto cuando 2
velocidad y aceleración tienen signos opuestos=
66(. ce"eraci&n La velocidad de un automóvil que parte del reposo es 100 t v ( t )= 2 t + 15 donde v se mide en pies por segundo. alcular su aceleración en a) 7 segundos b) ' segundos y c ) 2 segundos.
661. istancia de frenad! Al momento de aplicar los frenos un ve:+culo via"a a 66 pies,s &(7 millas 2 por :ora). La función posición del ve:+culo es s ( t )=−8.25 t + 66 t donde s se mide en pies y t en
segundos. @tili#ar esta función para completar la tabla y encontrar la velocidad media durante cada intervalo.
ara discusi'n 62>. M!vi$ient! de #na %artc#"a En la figura se muestran las gráficas de las funciones posición velocidad y aceleración de una part+cula.
a) opiar las gráficas de las funciones. Ddentificar cada una de ellas. E$plicar el ra#onamiento. b) En la ilustración identificar cuándo aumenta y disminuye la velocidad de la part+cula. E$plicar el ra#onamiento .
(3s#eda de #n %atr&n En los e5ercicios 626 y 622, desarrollar una /'r*ula general para ( n) f ( x ) , dada f ( x ) . 121. f ( x ) = x
122 . f ( x )=
n
1
x
623. (3s#eda de #n %atr&n onsiderando la función f ( x )= g ( x ) h ( x ) . a) @tili#ar la regla del producto para elaborar una regla general para encontrar (4 ) f $ $ ( x ), f $ $ $ ( x ) y f ( x ) . b) Empleando los resultados del apartado a) confeccionar una regla general para
( n)
f ( x ) .
( n)
629. (3s#eda de #n %atr&n 4esarrollar una fórmula general para
xf ( x )¿
¿
donde f es una
función derivable de x .
En los e5ercicios 62: y 62, encontrar las derivadas de la /unci'n f para n =1,2,3 y 4 . !tili8ar los resultados para ela)orar una regla general para f $ ( x ) en t0r*inos de n. 125. f ( x ) = x sen x n
126 . f ( x )=
cos x
x
n
Función
%cuación diferencial
127. y =
1
x
3
2
' '
'
, x > 0 x y + 2 x y = 0
128 . y =2 x
3
−6 x +10 − y '' ' − x y' ' −2 y ' =−24 x 2
129 . y =2 sen x + 3 y
' '
+ y =3
130 . y =3cos x + senx y
' '
+ y =0
erdader! ! fa"s! En los e5ercicios 636 a 63, deter*inar si la a/ir*aci'n es verdadera o /alsa. #i es /alsa, e-plicar por ;u0 o proporcionar un e5e*plo ;ue de*uestre ;ue lo es. 636. *i
y = f ( x ) g ( x ) , entonces
dy =f ' ( x ) g ' ( x ) . dx 5
632. *i y =( x +1 )( x +2 )( x + 3 )( x +4 ), entonces
d y =0. 5 dx
' 633. *i f ' ( c ) y g ' ( c ) son cero y h ( x )=f ( x ) g ( x ) entonces h ( c )=0 .
( n + 1) 639. *i f & x ) es un polinomio de n/ésimo grado entonces ƒ ( x )= 0 .
63:. La segunda derivada representa la ra#ón de cambio de la primera derivada. 63. *i la velocidad de un ob"eto es constante entonces su aceleración es cero.
637. Encontrar un polinomio de segundo grado
f ( x )=a x + "x + c 2
tal que su gráfica tenga una recta
tangente con pendiente de ' en el punto &2 5) y una intersección en x en &' ).
63(. ar las respuestas con un e"emplo.
631. alcular la derivada de f ( x )= x | x| . ;E$iste f ' ' ( 0 ) = 69>. Para %ensar *ean f y g funciones cuyas respectivas primera y segunda derivadas e$isten dentro del intervalo & . ;uál de las siguientes fórmulas es verdadera= ' '
''
' '
' '
'
'
a ¿ f g − f g =( f g − f g ) ' " ¿ f g + f g =( fg ) ' '
696. @tili#ar la regla del producto dos veces para demostrar que si f g y h son funciones derivables de x entonces d ' ' f ( x ) g ( x ) h ( x ) ] = f ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ' ( x ) [ dx
El +cono "A# indica que un e"ercicio debe utili#arse con un sistema algebraico por computadora.
