I.E.P. I.E.P. “Leon ardo de Vinci”
Mes: Julio
Alumno (a): ........................................................ ........................................................ Grado: 5º Sección ión: ....... ...... Profesor: David P!"A# D$ #A "!!$
Circunferencia II 1. Ángulo Central Central
x° β°
α° α°
O
α
x
α°
2. Ángulo Inscrito Inscrito α°
β°
&
β
x
β
'()
x°
θ°
α
x
2θ°
β &
Triángulo inscrito a una Circunferencia Es aque aquell triá triáng ngul ulo o que que se encu encuen entr tra a en el interior de una circunferencia, la cual pasa por todos sus vértices.
3. Ángulo semi - inscrito 2β°
β° O
4. Ángulo Interior Interior
α°
!cutángulo
θ°
x°
x
α
θ &
O
O
5. Ángulo Exterior Exterior e c tá n g u lo
x°
O " tu s á n g u lo
β°
α°
x
α
β &
O"servaci#n $ En los % casos $ O $ Circuncentro Circuncentro $ Circunradio Circunradio Circuncentro $ Es el punto de concurrencia de las mediatrices
I.E.P. “Leon ardo d e Vinci” POSICIONES RELTI!S CIRC#N$ERENCIS '. Circunferencias exteriores
ENTRE
r
O
E
1
, +
* C
-
5. Circunferencias ortogonales
!
-
"OS
Mes: Julio
.
6. CIRC#N$ERENCIS CONC%NTRICS
/angentes comunes exteriores ! 0 C /angentes comunes interiores E+ 0 *
O 1 r
2. Circunferencias /angentes Exteriores
&. CIRC#N$ERENCIS INTERIORES
!
-
O
1
1
r
C
r
O
.
2
/angentes comunes exteriores
-
O1 < - r
! 0 C /angentes com3n interior 2 ⊥ O1
-
%. Circunferencias /angentes Interiores
C#"RIL'TERO INSCRITO 2lamado tam"ién cuadrilátero c5clico, es aquel que tiene sus cuatro vértices so"re una misma circunferencia. '.
%.
&. -
1
-
-
C
θ
C
O
r
C
θ
α
θ
α
α
!
2
!
-
/angente com3n exterior 2 ⊥ O1
α 6 θ 0 '()7
α 0 θ
'.
4. Circunferencias secantes
%. -
- θ
C
*
C
1
θ C
r
α
θ
α
α
! !
,
* ⊥ O1
α 6 θ 0 '()7
α0θ
α 0 θ
&. -
O
!
!
α0θ
I.E.P. “Leon ardo de Vinci” C#"RIL'TERO INSCRIPTI(LE Es aquel que puede ser inscrito en una circunferencia, si el cuadrilátero cumple con cualquiera de las propiedades del cuadrilátero inscrito, será inscripti"le. CSOS) '. 8n cuadrilátero es inscripti"le cuando la suma de las medidas de los ángulos interiores opuestos es igual a '()7. C -
Mes: Julio 2. Si O( es un cua/rante0 entonces se
cule ) !
α
α 0
4>7
-
O
β°
3. RC es un cua/rilátero inscritile0
entonces )
α=θ
.
O
α°
.
!
θ
*
:
+ 1,-
&. 8n cuadrilátero es inscripti"le cuando las diagonales forma con dos lados opuestos ángulos con iguales medidas. 2 a d o o p u e s to a C .
C
4. (C" es un cua/rilátero inscritile
C
-
α !
2 a d o o p u e s to a !-
β°
-
α° O .
!
+ !
O(SER!CIONES)
C .
1. 9i ! es diámetro, entonces se cumple $
RCO CP ) ♣ ! ; - $ es arco capa< de todos los ángulos que miden θ. ♣ !- 0 Cuerda capa<.
θ = 9 0° θ
θ
m ! ; - 0 %=)° - &θ !
O
-
;
θ θ
θ
!
-
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Mes: Julio
ACTIVIDADES EN AULA '. 9ea la figura. :allar m !C.
a? A)° d? '%>°
"? '))° e? '>)°
c? '&)°
>. En el gráfico. ! 0 C D m 0 '))°
a? >)° d? ()°
"? =)° e? A)°
c? @)°
&. e la figura ! 0 C. Calcular Bx
a? %)° d? ()°
"? 4)° e? A)°
c? =)°
%. e la figura. Calcular Bα
a? ')° d? &>°
"? '>° e? %)°
a? ')° d? 4)°
4. 9e tienen & circunferencias iguales. el gráfico. :allar m !C
c? %)°
=. En una circunferencia de centro BO D de radio se tra
c? &)°
"? &)° e? >)°
"? A)° e? '>)°
c? '')°
@. 9o"re una circunferencia de diámetro !se tra%°
"? %@° e? =)°
c? 4>°
(. En una circunferencia se tienen las cuerdas !- D -C tal que m!C mas m !C es igual a A)°. 9i ! 0 C. :allar m C a? A)° d? '()°
"? '&)° e? &))°
c? '>)°
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ACTIVIDADES
'. 9e tienen % circunferencias tangentes & a & en los puntos 2, l D F. 9i dicas circunferencias son iguales, es decir, tienen el mismo radio. :allar$ m 2IF. a? %)° d? '))°
"? =)° e? '&)°
e? '>)° =. ado el cuadrante !O D el semic5rculo de centro O'. :allar mC.
c? A)°
&. 9o"re una recta tangente en ! a una circunferencia se u"ica el punto de donde se tra)° e? =)°
a? >° d? &)° c? 4)°
"? ')° e? &>°
c? '>°
@. Expresar Bx 6 D en funci#n de θ
%. 9eg3n el gráfico m! 6 mC 0 %))°. :allar$ mE$
a? >)° d? ()°
"? =)° e? A)°
c? @)°
a? A)6
θ
&
"? θ
c? '()6
d? &θ 4. 9ean & circunferencias iguales. :allar m !C. a? %)° "? 4)° c? >)° d? =)° e? @)°
e? A)6θ
(. 9i$ ! 6 C 0 &4u D C 6 ! 0 4)u. Calcular G1;G.
>. 9ean & circunferencias iguales. :allar m O9O' a? =)° "? '&)° c? A)° d? '%)°
a? '=u d? ')
"? '4 e? (
c? '&
θ
&
CUADRILTERO INSCRIPTI! Mes: Julio LE
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CUADRILTERO INSCRIPTI !LE C#"RIL'TERO INSCRIPTI(LE Es aquel cuadrilátero que acepta que se le descri"a una circunferencia por sus cuatro vértices. 1ara que esto suceda es necesario D suficiente que el cuadrilátero cumpla con una de las dos condiciones siguientes$ 1rimera condici#n$
9i$ θ° 6 α° 0 '()° ⇒ !C es un cuadrilátero inscripti"le.
•
Segun/a Con/ici6n)
9i$ α° 0 θ° ⇒ !C es un cuadrilátero inscripti"le.
Oser7aciones) •
•
9i un cuadrilátero cumple con una de las dos condiciones, entonces se cumplirán las dos a la ve<. 9i un cuadrilátero es inscripti"le, entonces la medida de un ángulo interior es igual a la medida del ángulo exterior opuesto.
ado un triángulo al tra
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ACTIVIDADES EN AULA
'. En la figura calcular Bx a? A)° d? '@)°
a? '° "? &° c? %° d? >° e? =°
"? '&)° e? '()°
c? '>)°
>. En la figura calcular Bx a? '4° "? &(° c? %&° d? =&° e? &4°
&. 2a figura calcular B θ =. 9e tiene un cuadrilátero !C donde m 0''4, m 0==° D m C0%4. :allar$ m C! a? %4° d? %(° a? %'° d? %)°
"? =&° e? &)°
c? '(°
%. En la figura calcular Bx
"? @&° e? ()°
c? (&°
4. En la figura calcular Bx 6 D
c? >=°
@. 9o"re una semicircunferencia de diámetro !- se toman los puntos B1 D B; donde m1 H m; so"re la prolongaci#n de -! se toma el punto B/ de modo que /;0;. 9i !/0>. :allar !1. a? ' d? >
a? '(° d? @)°
"? %(° e? '@°
"? & e? 4
c? %
(. 9e tiene el cuadrilátero !C donde m 6 m 0'()° D m !0>m C. :allar m C. a? %)° d? '&)°
"? A)° e? '>)°
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS
c? =)°
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'. 9e tiene un trapecio !C inscrito en una circunferencia donde !- 88 C. . :allar$
m
.
m
C
'
a? '
"?
d? &
e? %
c?
&
' %
&. En la figura BO es centro. Calcular Bx
a? =)° d? '')°
"? >)° e? ()°
%. En la figura calcular
a? ' d? %
c? @)°
Mes: Julio
>. BI es el incentro de un triángulo !C inscrito en una circunferencia. onde la prolongaci#n de !I corta a dica circunferencia en el punto B*. 9i I* 0 >cm. :allar *. a? 'cm d? 4cm
"? &cm e? >cm
c? %cm
=. En la gráfica 1: 0 '& D !; 0 (. :allar !:
a? '4 d? '=
"? '& e? (
c? A
@. En la figura calcular Bx x D
"? 'J& e? &
c? 'J%
a? A)° d? ()°
"? 4>° e? '))°
c? =)°
a? '')°
"? A)°
c? ()°
d) 70°
e) 60°
(. Calcular Bx
4. En la figura calcular Bx
a? %)° d? @>°
"? 4>° e? =)°
c? @)°